Bài tập thể tích khối đa diện khối cầu, khối trụ, khối nón - phần 2 docx

Tính thể tích khối chóp SABCD GIẢI Trong ∆SCD hạ SH CD Vì ∆SCD cân tại S ⇒H là trung điểm CD... H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD.. Chứng minh rằng: SC AHK và tín

C

K B

H

S⋄ABCD= 3S∆BCD = 289123a2

⇒VSABCD= 13 S⋄ABCD.SH = 31 289123a2.12017a

= 170 3a3

Bài 13: hình chóp SACD có đáy ABCD là hình chữ nhật, ∆SCD cân tại S và nằm trong

mặt phẳng  (ABCD) ∆SAB có SA = a, ASB = 2 ỏ và nằm trong mặt phẳng lập với (SCD) một góc ỏ Tính thể tích khối chóp SABCD

GIẢI

Trong ∆SCD hạ SH CD

Vì ∆SCD cân tại S

⇒H là trung điểm CD

SH CD

(SCD) (ABCD

⇒SH (ABCD) Gọi K là trung điểm AB

Ta có HK AB

AB SH (vì SH (ABD))

⇒AB (SKH) ⇒ AB SK ⇒ ∆SAB cân tại S

Dễ thấy ((SAB), (SCD)) = KSH = ỏ

∆SAB có SK = acos ỏ , AB = 2AK = 2asin ỏ

∆SHK vuông tại H có SH =SK.cosỏ = acos2ỏ

KH = SKsinỏ = asinỏcosỏ SABCD =AB.BC = 2asinỏ.asinỏcosỏ

.

3SH1 S ABCD  a sin ỏ

Bài 14: Hình chóp SABCD có ∆ABC vuông tại B, SA b (ABC) ACB =60o,

BC = a, SA = a 3, M là trung điểm SB Tính thể tích MABC

GIẢI

H

C A

B

a M

Cách 1

SA b (ABC)

Từ M kẻ MH // AS cắt AB tại H ⇒ MH b (ABC)

Vì M trung điểm SB H- trung điểm

2

1 SA a

2

1 2

1 2

2

1 3

1 3

Cách 2

2 1



 SM SB V

V

ASABC

MABC

VMABC= 21VSABC

mà VSABC = 31SA.S∆ABC = 3 3 3 6

2 1 2

2

1 3

⇒VMABC= 41 a3

Bài 15: Hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông tâm O, SA (ABCD),

AB = a, SA = a 2 H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD Chứng minh rằng: SC (AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK

GIẢI

A

C O

H

a

N F E

B

D

S

y

x

AH SB (gt) (1)

BC AB (vì ABCD là hình vuông)

BC SA (vì SA (ABCD))

⇒BC (SAB) BC AH (2)

Từ (1) (2) ⇒AH (SBC ⇒AH SC (3)

Chứng minh tương tự ta có: SC AK (4)

Từ (3) (4) ⇒ SC (AKH)

Gọi {F} = KH ∩ SO ⇒ (SAC) ∩ (AHK) = AF

Kéo dài AF cắt SC tại N

Trong (SAC) kẻ đường thẳng qua O//SC cắt AN tại E ⇒ OE (AHK)

Vì OA = OC; OE//CN OE = 12 CN

1 1 1

AD AS

a a a AD AS AD



Dễ thấy AH =a 32

∆AKH cân tại A

Dễ thấy ∆SBD có SD SK  KH BD mà SK = 2 2 2 2 2 2

SA AK  a  a 

SD = a 3

⇒ KH BD  a a  32  SO SF

3 3 2

HK = 32 BD = 32a 2

OF = 31SO ⇒ OF SF  21

∆SAC có : OA = OC

⇒

2

1





SF

OF SN

2

1SN =

2

1a

S∆AHK =

2

1KH

4

2

9

2

2a2

3

1

S OE

27

2

2 a 3

* Có thể dùng PP toạ độ để tính thể tích OAHK như sau:

Chọn hệ toạ độ như hình vẽ.Ta có:

A(0,0,0) , B(a,0,0) ,D(0,a,0) , S(0,0,a 2) , O(

2

a,

2

a , 0)

∆SKA
∆ SAD ⇒

SD

SA SA

SK  ⇒ SK=

3

2a

⇒K(0,2

3a , 2

3

a )

∆ABS có AS2 SB.SH⇒ SH=

3

2a

⇒H(2

3a,0, 2

3

a )

3

2 , 0 , 3

2 ( a a

AH 

3

2 , 3

2 , 0 ( a a

,0)

2

, 2 (a a

AO

[AH, AK] =(

9

4 , 9

2 2 , 9

2

2 a2  a2 a2

a K

O

C

D

a

N

I

B

⇒VOAHK=

6

1|[AH, AK].AO|= 3

27

2

a

Bài 16: Hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 2,

SA = a, SA (ABCD) M, N lần lượt là trung điểm AD và SC {I} = BM ∩ AC Tính thể tích hình chóp ANIB

GIẢI

SA (ABCD)

Gọi {O} = AC ∩ BD

Trong ∆SAC có ON // SA

⇒ON  (ABCD) ⇒ NO (AIB)

Ta có NO = 12 SA  a2

Tính S∆AIB= ?

ABD só I là trọng tâm

⇒S∆ABI= 32 S∆ABO= 32.41 S⋄ABCD = 32 a.a 2 = 6

2 2

a

⇒SANIB= 31NO.S∆AIB= 31.2a.a26 2  a3362

Bài 17 Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

(SAD)(ABCD), ∆SAD đều Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC, CD

Tính thể tích hình chóp CMNP

GIẢI

A

C

N a

D

P

B M

F E

S

y

x z

- Gọi E là trung điểm AD (CNP) ≡ (ABCD) ⇒ SE AD

(SAD) (ABCD)

⇒SE  (ABCD)

- Gọi F là hình chiếu của M lên (ABCD) ⇒ MF // SE Dễ thấy F ∈ EB và F là trung điểm EB

Ta có MF = 21 SE = 12.a23  a43

S∆CNP= 41SCBD  81S ABCD  81a2

VCMNP = 12S∆NCP.MF = 31 81a2.a43  a3963

Nhận xét: có thể dùng phương pháp toạ độ để giải với gốc toạ độ O

0x ≡ EN, oy ≡ ED, oz ≡ ES

Bài 18: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ bán kính đáy bằng chiều

cao bằng a Trên đường tròn tâm O lấy A, Trên đường tròn tâm O’ lấy B sao cho AB = 2a Tính thể tích hình chóp OO’AB

GIẢI

B

A

O

Kẻ đường sinh AA’ Gọi D đối xứng với A’ qua O’, H là hình chiếu của B trên

A’D

Ta có BH A’D

BHA’A

⇒BH là đường cao của tứ diện BAOO’

SAOO’ =

2

2

a , A’B = AB2 AA' 2 a 3

∆A’BD vuông ở B ⇒ BD=a

∆O’BD đều ⇒ BH=

2

3

a ⇒VBAOO’ = .

3

1

BH SAOO’ = a2123

Bài 19: Cho hình chóp có ABCD là hình chữ nhật; AB = a.AD = 2a;

SA  (ABCD); (SA, (ABCD) = 60 o Điểm M thuộc cạnh SA, AM = a33 .

(BCM) ∩ SD ={ N} Tính thể tích hình chóp S.BCMN

GIẢI

A

D

C B

N M

H

Ta có SAB=600

∆SAB vuông tại A có AM =

3

3

a , AB = a ⇒ ABM = 300

Kẻ SH⊥ BM thì SH là đương cao của hình chóp S.BCMN

ta có SH=SB sin 300 = a

BC//(SAD) ⇒MN//BC ⇒

AD

MN SA

3

4

SA

SM AD



⇒SBCMN =

3 3

10 ).

( 2

BM BC

⇒VSBCMN = .

3

1

SH SBCMN = 10273a3

Bài 20: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang; BAD = ABC = 90o;

AB = BC = a; AD = 20; SA b (ABCD); SA = 2a M, N lần lượt là trung điểm SA và SD Chứng minh rằng BCMN là hình chữ nhật và tính thể tích hình chóp S.BCNM

GIẢI

S H

Ta có BC//AD ,BC= AD

2

2

1 ⇒BC = MN , BC// MN (1)

BC ⊥AB

BC ⊥SA

⇒BC ⊥(SAB) BC AM (2)

Từ (1) và (2) ta có BCNM là hình chữ nhật

Kẻ SH ⊥BM thỡ SH⊥(BCNM)

⇒VSBCNM=

3

1SBCNM.SH=

3

3

3

a

Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1có ABC vuông AB = AC = a;

AA1= a 2 M là trung điểm AA1 Tính thể tích lăng trụ MA1BC1

Hướng dẫn:

+Chọn mặt đáy thích hợp ⇒ V = 122

3

a

+Có thể dùng cả phương pháp toạ độ

Bài 22: Tứ diện ABCD có AB = x có các cạnh còn lại bằng 1

a.Tính thể tích tứ diện theo x

b.tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACD

c Tìm x để thể ABCD đạt giá trị lớn nhất

GIẢI

a

H C

B

C

D

Cách 1:

Gọi H là Hình chiếu của D lên (ABC) vì DA = DC = DB = 1 ⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC mà ∆ABC cân H ∈ CC’ với C’ là trung điểm AB

S∆ABC= CC'.AB 4 x .x 4 x2 x

4

1 4 2

1 2

4 2 2 2

1 1

4 cos sin 4 sin



 





2

3 4

1



 



2

4

3

x

x





3 3 4 4 4 x 12x 3

Cách 2:

B

A

D M

C'

Gọi M là trung điểm CD ⇒ CD  ABM

Vì ∆ACD và ∆BCD đều ⇒ AM = BM = 23

VABCD = 2VCBMA= 2.13CM.S∆ABC= 21.SABM

3 2

4

2 2

2

23 2

1x ( )  (x)  x 3 x

121

2 4

3

b)

SACD=

4

3 ⇒d(B,(ACD))=

ACD

ABCD

S

V

3

3



c)

12 3 x x  12  x2 x  8

Dấu “=” xảy ra ⇔ x2= 3-x3 ⇔x = 23 và thể tích lớn nhất là

8 1

Bài 23: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với

mặt đáy ABCD và SA=h.Điểm M thuộc cạnh CD.Đặt CM=x.Hạ

SH vuông góc với BM.Tính thể tích khối tứ diện SABH.Tìm x để thể tích khối này là lớn nhất

C A

S

M D

B

H

Ta có BM  SH (gt)

BM  SA (Vì SA (ABCD)

SABM =

2

1SABCD =

2

1a2

Mà SABM =

2

1AH.BM ⇒ AH=

2 2

2 2

x a

a BM

a





∆SAH vuông ở A có SH=

2 2

2 2

2 2

x a

a h

AH SA









∆BAH vuông ở H có BH=

2 2 2

2

4 2

2 2

x a

ax x

a

a a

AH AB













SABH =

2

1AH.BH =

2

1

2 2

3

x a

x a



VSABH =

2 2

3

6

1 3

1

x a

xh a SA

S ABH



ax

xh

12

1 2

6



Dấu bằng xảy ra khi a=x tức M trùng D

Bài 24: Hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy

ABC và SA = a.Điểm M thuộc cạnh AB Đặt góc ACM bằng 

Hạ SH vuông góc với CM

a)Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện SAHC

b)Hạ AI vuông góc với SC,AK vuông góc với SH Tính thể tích khối tứ diện SAKI

Đáp số

a)Vmax=

12

3

a b)VSAKI =

) sin 1 ( 24

2 sin

2

3







a

CÓ THỂ TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN NHỜ VIỆC CHIA THÀNH

CÁC KHỐI NHỎ HOẶC BỔ SUNG THÊM

Bài 25: Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi một bằng nhau AB = CD =a, AC =

BD = b, AD = BC = c

Tính thể tích ABCD

GIẢI

H C P

Q

R B

+Dựng ∆PQR sao cho B, C, D lần lượt là trung điểm PQ, QR, PR

+S∆DCR= S∆BCQ= S∆PDB= 41 S∆PQR

⇒S∆BCD= 14 S∆PQR

AD = BC = PR

D là trung điểm PR

Tương tự AP b AQ, AQb AR

VAPQR= 41 S∆PQRAR

Bài 26: VABCD =

6

1AD.BC.MN.Sin ỏ Trong đó ABCD là tứ diện có MN là độ dài của đoạn vuông góc chung của các cặp cạnh đối AD và CB, ỏ =(AD, BC)

Hướng dẫn: Dùng hình hộp ngoại tiếp tứ diện này

Bài 27: Cho hình chóp SABC có tất cả các góc phẳng ở đỉnh A và B của tam diện đều

bằng ỏ AB = a Tính thể tích hình chóp SABC

GIẢI

C A

B

S

E

F

a

-Dễ thấy∆ SAB, ∆CAB là các tâm giác cân tại S và C

-Gọi E là trung điểm AB ⇒ AB b SE

AB b CE

⇒AB b (SCE)

⇒VSABC = VASEC+ VBSEC = 31S∆SEC.(AE+BE) = 31S∆SEC.AB

Tính S∆SEC= ?

∆SEC cân tại E vì ES = EC (∆SAB = ∆ACB (g.c.g))

Gọi F là trung điểm SC ⇒ EF b SC

∆SBC cân tại B vì BC =BS (Vì ∆SAB = ∆CAB (g.c.g))

FS = FC

⇒FBC = 3 Tam giác vuông EBC có CE = 2 tan

Tam giác vuông FBC có BC = CE2 EB2 2

cos cos 2cos

a

a EB

Sin2 = BC FC ⇒FC = BC sin2 = 2cos sin2



a

Tam giác vuông EFC có

EF2 = EC2- FC2 = 4 tan2 4cossin 4 cos12 (sin2 sin2 2

2

2 2

2 2



a

2 2

cos





2 2

2 cos

2 2 sin sin sin

a

VSABC = 12cos32 sin2 sin2 sin2 2

a