Bài tập thể tích khối đa diện khối cầu, khối trụ, khối nón - phần 2 docx

http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến S A D C K B H S⋄ABCD = 3S∆BCD = 12 3289 2 a ⇒VSABCD = 3 1 S⋄ABCD.SH = 17 120 12 3289 3 1 . 2 a a = 170 3 a 3 Bài 13: hình chóp SACD có đáy ABCD là hình chữ nhật, ∆SCD cân tại S và nằm trong mặt phẳng  (ABCD). ∆SAB có SA = a, ASB = 2 ỏ và nằm trong mặt phẳng lập với (SCD) một góc ỏ. Tính thể tích khối chóp SABCD GIẢI Trong ∆SCD hạ SH  CD Vì ∆SCD cân tại S ⇒ H là trung điểm CD. SH  CD (SCD)  (ABCD ⇒ SH  (ABCD) G ọi K là trung điểm AB Ta có HK  AB AB  SH (vì SH  (ABD)) ⇒AB  (SKH) ⇒ AB  SK ⇒ ∆SAB cân tại S Dễ thấy ((SAB), (SCD)) = KSH = ỏ ∆SAB có SK = acos ỏ , AB = 2AK = 2asin ỏ ∆SHK vuông tại H có SH =SK.cosỏ = acos 2 ỏ KH = SKsinỏ = asinỏcosỏ. SABCD =AB.BC = 2asinỏ.asinỏcosỏ = 2a2sin 2 ỏcosỏ ⇒VSABCD = 23 3 2 .3 1 sinaS ABCD SH  ỏ Bài 14: Hình chóp SABCD có ∆ABC vuông tại B, SA b (ABC). ACB =60 o , BC = a, SA = a 3 , M là trung điểm SB. Tính thể tích MABC GIẢI H C A B a M Cách 1. SA b (ABC) T ừ M kẻ MH // AS cắt AB tại H ⇒ MH b (ABC) http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến Vì M trung điểm SB H- trung điểm MH= 2 3 2 1 a SA  S∆ABC = 3.60tan 2 2 1 2 1 2 1 aaaBCAB o  VMABC = 42 3 2 2 1 3 1 3 1 3 .3 a a ABC aMHS   Cách 2. 2 1  SB SM V V ASABC MABC VMABC = SABC V 2 1 mà VSABC = 3 1 SA.S∆ABC = 63.3 3 2 1 2 2 1 3 1 aaa  ⇒VMABC = 3 4 1 a Bài 15: Hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông tâm O, SA  (ABCD), AB = a, SA = a 2 . H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. Chứng minh rằng: SC  (AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK. GIẢI A C O H K a a N F E B D a 2 S y x AH  SB (gt) (1) BC  AB (vì ABCD là hình vuông) BC  SA (vì SA  (ABCD)) ⇒BC  (SAB) BC  AH (2) T ừ (1) (2) ⇒AH  (SBC ⇒AH  SC (3) Ch ứng minh tương tự ta có: SC  AK (4) T ừ (3) (4) ⇒ SC  (AKH) G ọi {F} = KH ∩ SO ⇒ (SAC) ∩ (AHK) = AF Kéo dài AF cắt SC tại N Trong (SAC) kẻ đường thẳng qua O//SC cắt AN tại E ⇒ OE  (AHK) http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến Vì OA = OC; OE//CN OE = 2 1 CN Tam giác vuông SAD có 222 111 ADASAK  ⇒ AK = 3 2 3 .2 . 222 a a aa ADAS ADAS   Dễ thấy AH = 3 2 a ∆AKH cân tại A Dễ thấy ∆SBD có BD KH SD SK  mà SK = 2 2 2 2 2 2 3 3 2 a SA AK a a     SD = a 3 ⇒ SO SF a a BD KH  3 2 33 2 HK = 3 2 BD = 2 3 2 a OF = 3 1 SO ⇒ 2 1  SF OF ∆SAC có : OA = OC ⇒ 2 1  SF OF SN OE ⇒OE = 2 1 SN = 2 1 a S ∆AHK = 2 1 KH. 4 2 2 HK AK  = 9 22 2 a ⇒ V =  AHK . 3 1 SOE 27 22 3 a * Có thể dùng PP toạ độ để tính thể tích OAHK như sau: Chọn hệ toạ độ như hình vẽ.Ta có: A(0,0,0) , B(a,0,0) ,D(0,a,0) , S(0,0,a 2 ) , O( 2 a , 2 a , 0) ∆SKA  ∆ SAD ⇒ SD SA SA SK  ⇒ SK= 3 2a ⇒K(0, 2 3 a , 2 3 a ) ∆ABS có SHSBAS . 2  ⇒ SH= 3 2a ⇒H( 2 3 a ,0, 2 3 a ) Ta có ) 3 2 ,0, 3 2 ( a aAH  ) 3 2 , 3 2 ,0( a aAK  ,0) 2 , 2 ( aa AO  [ AKAH, ] =( 9 4 , 9 22 , 9 22 222 aaa  ) http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến a K O C D A a 2 a N I B ⇒ VOAHK= 6 1 |[ AKAH, ]. AO |= 3 27 2 a Bài 16: Hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 2 , SA = a, SA  (ABCD). M, N lần lượt là trung điểm AD và SC. {I} = BM ∩ AC. Tính thể tích hình chóp ANIB. GIẢI SA  (ABCD) G ọi {O} = AC ∩ BD Trong ∆SAC có ON // SA ⇒ON  (ABCD) ⇒ NO  (AIB) Ta có NO = 22 1 a SA  Tính S∆AIB = ? ABD só I là tr ọng tâm ⇒S∆ABI = 3 2 S∆ABO = 4 1 3 2 . S⋄ABCD = 3 2 a.a 2 = 6 22 a ⇒ SANIB = 3 1 NO.S∆AIB = 36 2 6 2 23 1 32 aa a  Bài 17. Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, (SAD)  (ABCD), ∆SAD đều. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC, CD. Tính thể tích hình chóp CMNP GIẢI A C N a D P B M F E S y x z - Gọi E là trung điểm AD. (CNP) ≡ (ABCD) ⇒ SE  AD (SAD)  (ABCD) ⇒SE  (ABCD) - G ọi F là hình chiếu của M lên (ABCD) ⇒ MF // SE. Dễ thấy F ∈ EB và F là trung điểm EB http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến Ta có MF = 2 1 SE = 4 3 2 3 2 1 . aa  S∆CNP = 2 8 1 8 1 4 1 aSS ABCDCBD   VCMNP = 2 1 S∆NCP.MF = 96 3 4 3 2 8 1 3 1 3 . aa a  Nhận xét: có thể dùng phương pháp toạ độ để giải với gốc toạ độ O . 0x ≡ EN, oy ≡ ED, oz ≡ ES Bài 18: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ bán kính đáy bằng chiều cao bằng a. Trên đường tròn tâm O lấy A, Trên đường tròn tâm O’ lấy B. sao cho AB = 2a. Tính thể tích hình chóp OO’AB GIẢI B A A' O' O H D Kẻ đường sinh AA’. Gọi D đối xứng với A’ qua O’, H là hình chiếu của B trên A’D. Ta có BH  A’D BH  A’A ⇒ BH  (AOO’A’) ⇒BH là đường cao của tứ diện BAOO’ SAOO’ = 2 2 a , A’B = 3' 22 aAAAB  ∆A’BD vuông ở B ⇒ BD=a ∆O’BD đều ⇒ BH= 2 3a ⇒VBAOO’ = . 3 1 BH SAOO’ = 12 3 2 a Bài 19: Cho hình chóp có ABCD là hình chữ nhật; AB = a.AD = 2a; SA  (ABCD); (SA, (ABCD) = 60 o . Điểm M thuộc cạnh SA, AM = 3 3 a . (BCM) ∩ SD ={ N}. Tính thể tích hình chóp S.BCMN GIẢI http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến S A D C B N M H Ta có SAB=60 0 ∆SAB vuông tại A có AM = 3 3a , AB = a ⇒ ABM = 30 0 Kẻ SH⊥ BM thì SH là đương cao của hình chóp S.BCMN ta có SH=SB sin 30 0 = a BC//(SAD) ⇒MN//BC ⇒ AD MN SA SM  ⇒MN = 3 4. a SA SMAD  ⇒SBCMN = 33 10 ).( 2 1 2 a BMBCMN  ⇒VSBCMN = . 3 1 SH SBCMN = 27 310 3 a Bài 20: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang; BAD = ABC = 90 o ; AB = BC = a; AD = 20; SA b (ABCD); SA = 2a. M, N lần lượt là trung điểm SA và SD. Ch ứng minh rằng BCMN là hình chữ nhật và tính thể tích hình chóp S.BCNM GIẢI A D S H M N http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến Ta có BC//AD ,BC= AD 2 1 ,MN//AD , MN= AD 2 1 ⇒BC = MN , BC// MN (1) BC ⊥AB BC ⊥SA ⇒BC ⊥ (SAB) BC AM (2) T ừ (1) và (2) ta có BCNM là hình chữ nhật Kẻ SH ⊥BM thỡ SH⊥ (BCNM) ⇒VSBCNM= 3 1 SBCNM.SH= 3 1 BC.NM.SH= 3 3 a Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABCA 1 B 1 C 1 có ABC vuông. AB = AC = a; AA 1 = a 2 . M là trung điểm AA 1 . Tính thể tích lăng trụ MA 1 BC 1 Hướng dẫn: +Chọn mặt đáy thích hợp ⇒ V = 12 2 3 a +Có thể dùng cả phương pháp toạ độ Bài 22: Tứ diện ABCD có AB = x có các cạnh còn lại bằng 1. a.Tính thể tích tứ diện theo x. b.tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACD c. Tìm x để thể ABCD đạt giá trị lớn nhất GIẢI a. H C B C D Cách 1: http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến Gọi H là Hình chiếu của D lên (ABC) vì DA = DC = DB = 1 ⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC mà ∆ABC cân H ∈ CC’ với C’ là trung điểm AB S∆ABC = xxxABCC x .4.4'. 2 4 1 42 1 2 1 2  HC = R∆ABC = 2 4 2 2 22 4 1 1.4 cossin4 sin2 x xx C x xx CC      ⇒Tam giác vuông HCD có HD 2 = CD 2 - DC 2 = 2 2 2 4 3 4 1 1 x x x     ⇒ HD = 2 2 4 3 x x   ⇒VABCD = 2 2 2 2 3 1 1 1 3 3 4 12 4 . . 4 . . 3 x x ABC x S HD x x x        Cách 2: B A D M C' Gọi M là trung điểm CD ⇒ CD  ABM Vì ∆ACD và ∆BCD đều ⇒ AM = BM = 2 3 VABCD = 2VCBMA = 2. 3 1 CM.S∆ABC = ABM S  . 2 1 3 2 S∆ABM = 2 1 MC’.AB = 2 4 2 2 2 2 3 2 1 3)()(. xx xx  VABCD = xxx x .33 2 12 1 2 43 1  b) S ACD= 4 3 ⇒ d(B,(ACD))= ACD ABCD S V 3 = xx .3 3 1 2  c) V ABCD = 2 2 2 3 1 1 1 12 12 2 8 3 . . x x x x      Dấu “=” xảy ra ⇔ x 2 = 3-x 3 ⇔ x = 2 3 và thể tích lớn nhất là 8 1 Bài 23: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy ABCD và SA=h.Điểm M thuộc cạnh CD.Đặt CM=x.Hạ SH vuông góc với BM.Tính thể tích khối tứ diện SABH.Tìm x để thể tích khối này là l ớn nhất. GIẢI http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến C A S M D B H Ta có BM  SH (gt) BM  SA (Vì SA  ( ABCD) ⇒BM  AH S ABM = 2 1 SABCD = 2 1 a 2 Mà SABM = 2 1 AH.BM ⇒ AH= 22 22 xa a BM a   ∆SAH vuông ở A có SH= 22 2 222 xa a hAHSA   ∆BAH vuông ở H có BH= 22 22 4 222 xa ax xa a aAHAB     SABH = 2 1 AH.BH = 2 1 22 3 xa xa  VSABH = 22 3 . 6 1 . 3 1 xa xha SAS ABH   ha ax xha 2 3 12 1 2 6 1  Dấu bằng xảy ra khi a=x tức M trùng D. Bài 24: Hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy ABC và SA = a.Điểm M thuộc cạnh AB. Đặt góc ACM bằng  Hạ SH vuông góc với CM a)Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện SAHC b)Hạ AI vuông góc với SC,AK vuông góc với SH Tính thể tích khối tứ diện SAKI. Đáp số a)V max = 12 3 a b)V SAKI = )sin1(24 2sin 2 3    a http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến CÓ THỂ TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN NHỜ VIỆC CHIA THÀNH CÁC KHỐI NHỎ HOẶC BỔ SUNG THÊM Bài 25: Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi một bằng nhau AB = CD =a, AC = BD = b, AD = BC = c Tính th ể tích ABCD GIẢI H C P Q R B +Dựng ∆PQR sao cho B, C, D lần lượt là trung điểm PQ, QR, PR. +S∆DCR = S∆BCQ = S∆PDB = 4 1 S∆PQR ⇒ S∆BCD = 4 1 S∆PQR AD = BC = PR D là trung điểm PR ⇒AR  AP Tương tự AP b AQ, AQ b AR V APQR = 4 1 S∆PQRAR Bài 26: VABCD = 6 1 AD.BC.MN.Sin ỏ. Trong đó ABCD là tứ diện có MN là độ dài của đoạn vuông góc chung của các cặp cạnh đối AD v à CB, ỏ =(AD, BC) Hướng dẫn: D ùng hình hộp ngoại tiếp tứ diện này. Bài 27: Cho hình chóp SABC có tất cả các góc phẳng ở đỉnh A và B của tam diện đều bằng ỏ. AB = a. Tính thể tích hình chóp SABC GIẢI [...]...  EB  ( 2  FC Sin 2 = BC ⇒ FC = BC sin Tam giác vuông EFC có 2 2 2 EF = EC - FC = S∆SEC = = 1 2 a2 2 cos2  VSABC = a2 4  2 = a 2 cos  tan 2   EF.SC = EF.FC = 2 EB cos   a 2 cos  ) a 2cos  sin  2 a 2 sin 2  2 2 4 cos  a 2 cos   a2 1 4 cos 2  (sin 2   sin 2  2 a sin 2   sin 2  2 cos  sin  2 2 sin  sin 2   sin 2  2 2 a3 12 cos2  sin  sin 2   sin 2  2 2 http://ebook.here.vn...S F C A a E B -Dễ thấy∆ SAB, ∆CAB là các tâm giác cân tại S và C AB b SE -Gọi E là trung điểm AB ⇒ AB b CE ⇒AB b (SCE) ⇒VSABC = VASEC + VBSEC = 1 S∆SEC.(AE+BE) = 1 S∆SEC.AB 3 3 Tính S∆SEC = ? ∆SEC cân tại E vì ES = EC (∆SAB = ∆ACB (g.c.g)) Gọi F là trung điểm SC ⇒ EF b SC ∆SBC cân tại B vì BC =BS (Vì ∆SAB = ∆CAB (g.c.g)) FS = FC  ⇒FBC = 3 Tam giác vuông EBC có CE =  tan  2 Tam giác vuông FBC... 2 4 cos  a 2 cos   a2 1 4 cos 2  (sin 2   sin 2  2 a sin 2   sin 2  2 cos  sin  2 2 sin  sin 2   sin 2  2 2 a3 12 cos2  sin  sin 2   sin 2  2 2 http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến . 2 22 cos 1 4 cos4 sin 2 4 sin(sintan 2 2 2 2 22 2      a a a S∆SEC = 2 1 EF.SC = EF.FC = 2cos 22 22 cos2 sin sinsin      aa  = 2 22 2 cos2 sinsin.sin. 2 2     a VSABC = 2 22 2 cos 12 3 sinsin.sin. 2     a . ABCD) ⇒BM  AH S ABM = 2 1 SABCD = 2 1 a 2 Mà SABM = 2 1 AH.BM ⇒ AH= 22 22 xa a BM a   ∆SAH vuông ở A có SH= 22 2 222 xa a hAHSA   ∆BAH vuông ở H có BH= 22 22 4 22 2 xa ax xa a aAHAB     SABH = 2 1 AH.BH. xxxABCC x .4.4'. 2 4 1 42 1 2 1 2  HC = R∆ABC = 2 4 2 2 22 4 1 1.4 cossin4 sin2 x xx C x xx CC      ⇒Tam giác vuông HCD có HD 2 = CD 2 - DC 2 = 2 2 2 4 3 4 1 1 x x x     ⇒ HD = 2 2 4 3 x x   ⇒VABCD