Với những công cụ đơn giản như định lý Vi-et, một số phương pháp thuần tuý thường dùng như đặt ẩn phụ, phương pháp hàm số… chúng tôi xin đưa ra một số ví dụ về các bài toán được giải khô[r]
(1)ĐẶT VẤN ĐỀ.
Việc không sử dụng định lý đảo dấu tam thức bậc hiển nhiên đem lại không khó khăn cho học sinh việc giải tốn cho giáo viên trong quá trình giảng dạy Tuy nhiên, hồn cảnh lại có cách thức khác để tiếp cận tìm nhiều phương pháp để giải toán Với công cụ đơn giản định lý Vi-et, số phương pháp tuý thường dùng đặt ẩn phụ, phương pháp hàm số… chúng tơi xin đưa số ví dụ tốn giải khơng định lý đảo dấu tam thức bậc 2.
Rất mong quan tâm, đóng góp ý kiến q thầy bạn. I.SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ÉT ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1.Định lí Vi-ét cho phương trình bậc hai:
Hai số x1, x2 nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (1)
1 2
b c
S = x + x = - P = x x =
a a
2.Bài tập vận dụng:
Bài 1: Tìm giá trị m để phương trình x2 – 2(m-1)x + m2 + 4m – = 0 a) Có hai nghiệm trái dấu
b) Có hai nghiệm lớn -1 c) Có hai nghiệm nhỏ
d) Có hai nghiệm x1, x2 cho x1 < < x2 Lời giải:
Ta có: ∆’ = – 6m
Phương trình cho có hai nghiệm ∆’ hay m 1 (*) Với điều kiện (*), phương trình cho có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn
x1 + x2 = 2(m-1), x1x2 = m2 + 4m –
(2)
1 2
x x - (x + x ) + <
m 4m – - m 1
3 m
Vậy m 1
c) Ta có x1 > -1, x2 > -1
2 2
x +1 > x +1 >
(x +1)(x +1) > (x +1) + (x +1) > m + 6m - > 2m >
-3 + 15 < m
Vậy 3 15m1
d)Ta có: x1 <1, x2 <1
2 2
x -1 < x -1 <
(x -1)(x -1) > (x -1) + (x -1) < m + 2m - > 2(m - 2) < -1+ < m m < -1- Vậy
-1+ < m m < -1-
Bài 2: Tìm giá trị m để đường thẳng y = x + m cắt đồ thị hàm số y =
x -1
x + 3 hai
điểm thuộc hai nhánh đồ thị Lời giải:
PT hồnh độ giao điểm x + m =
(3)Với x ≠ -3, PT tương đương với: x2 + (m+2)x + 3m + = 0(1)
Yêu cầu toán thỏa mãn PT(1) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn x1<-3<x2 Đến ta lại trở toán Bài
Bài 3: Tìm giá trị m cho PT x2 +(2m+1)x + m2 -10 = có hai nghiệm x
1, x2 thỏa mãn -6 < x1 < < x2
Lời giải:
PT có hai nghiệm x1, x2 ∆ = (2m+1)2 – 4(m2 – 10) ≥ hay m ≥ -39/4 (1) Khi x1 + x2 = -2m -1 x1x2 = m2 – 10
Ta có – < x1 , – < x2 < x1 + 6, < x2 + Do ta có hệ:
1
1
(x 6)(x 6)>0 m -12m + 92 > 11 (2) (x 6)+(x 6)>0 12 - (2m +1) > m
Lại có x1 < < x2 x1 – < < x2 – Do ta có
(x1 – 1) ( x2 – 1) < m2 + 2m – < - < m < (3) Từ (1), (2) (3) ta – < m < giá trị cần tìm BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
Bài 1: Tìm m để PT (m + 1)x2 – (2m + 3)x + 1- m = có tất nghiệm lớn 1. Bài 2: Tìm m để PT x2 – ( m+2)x – m2 – = có hai nghiệm thỏa mãn x
1 < < x2 < Bài 3: Tìm m để PT (m+1)x2 – (8m+1)x + 6m = có nghiệm thuộc (0; 1). Bài 4: Tìm giá trị m để PT m.4x+ (2m+3)2x – 3m - = có hai nghiệm trái dấu. II.ĐẶT ẨN PHỤ
1.Kiến thức liên quan:
Với ∆ = b2 – 4ac Phương trình bậc hai (1) có : - Hai nghiệm trái dấu P <
- Hai nghiệm âm ∆ 0, S < P > 0
- Hai nghiệm dương ∆ 0, S > P > 0
Với cách nhìn nhận x < (>)a x – a < (>)0, ta đưa tốn việc so sánh nghiệm t phương trình ẩn t = x - a với số
2.Bài tập vận dụng
(4)a) Có hai nghiệm trái dấu b) Có hai nghiệm lớn
c) Có hai nghiệm x1, x2 cho x1 < < x2 Lời giải:
PT có hai nghiệm m + ≠ ∆’ = (m+1)2 – (m+2)(m+1)(m+3) ≥ 0 hay m ≠ -2, m ≤ -1(*)
a)PT có hai nghiệm trái dấu (m+2)(m2 + 4m + 3) <
m < -3 -2 < m < -1
b) Đặt x = t + Khi PT trở thành : (m+2)(t+1)2 – 2(m+1)(t+1) + m2 + 4m + = 0 hay (m+2)t2 + 2t + m2 + 3m + = (2)
Yêu cầu toán thỏa mãn PT(2) có hai nghiệm dương
2
-2 > m + m + 3m +
> m +
(với ĐK (*) ) hệ vơ nghiệm.
Vậy khơng có giá trị m thỏa mãn toán c) Đặt x = t + Khi x < t < 0, x > t > Ta PT : (m+2)t2 + (2m + 6)t + m2 + 4m + = 0(3)
Yêu cầu toán thỏa mãn PT(2) có hai nghiệm trái dấu Tức (m+2)( m2 + 4m + 7) < hay m < -2
Vậy m < -2
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: Tìm giá trị m để PT mx2 – 2( m+ 2)x + m + = 0
a) Có hai nghiệm trái dấu, b) Có hai nghiệm nhỏ c) Có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn -1< x1 < < x2
Bài 2: Tìm giá trị m đề đường thẳng y = mx + cắt đồ thị hàm số
x + x +1 y =
x +1
(C) hai điểm phân biệt
(5)III.PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Bài 1: Tìm giá trị m để PT 4x – m.2x+1 + 1+2m = có hai nghiệm < x
1 < < x2 Lời giải:
Đặt t = 2x ( t>0) ta t2 – 2mt + 2m = m =
t
2(t -1)
,(1)( t = khơng nghiệm PT)
Ta thấy với t > ,PT 2x = t có nghiệm.
Vì u cầu tốn thoả mãn (2) có hai nghiệm < t1 < < t2 Xét f(t) = VP(1), t ≥ 0, f(t) liên tục [0; +∞)\ 1
f’(t) =
2
2t - 4t
(2t - 2) , f’(t) = t = 0, t= 2
Ta có bảng biến thiên hàm f(t)
x f’(x) - +
f(x) +∞ 16/3
Vậy toán thỏa mãn m >
Bài 2: Tìm giá trị m cho đường thẳng y = -3 cắt đồ thị hàm số y = x4 + 2mx2 + 2m điểm phân biệt thỏa mãn: có điểm có hồnh độ lớn 1,5; điểm cịn lại có hồnh độ nhỏ 0,5
Lời giải:
PT hoành độ giao điểm : x4 + 2mx2 + 2m + = - 2m =
x +
x +1 (1)
Xét hàm số f(x) = VP(1), f(x) liên tục R f’(x) =
5 2
2 2
2x + 4x - 6x 2x(x -1)(x + 3)
(x +1) (x +1)
f’(x) = x = 0, x = 1
Bảng biến thiên f(x)
(6)f’(x) - + - + f(x)
+∞ +∞
49/20 129/52
Vậy 129/52 < -2m < hay -3/2 < m < -129/104
IV ỨNG DỤNG VÀO CÁC BÀI TỐN CỰC TRỊ VÀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU TRONG KHẢO SÁT HÀM SỐ.
Bài 1: Tìm giá trị m để hàm số y = x3 +6x2+3(m+4)x đạt cực trị x
1, x2 thỏa mãn:
a) x1 < 1, x2 < b) x1 < < x2 c) -3 < x1 <-1 < x2
Thực tế, hàm số bậc muốn có cực trị phương trình y’=0 phải có 2 nghiệm phân biệt Vậy nên, yêu cầu tốn chuyển thành : “ Tìm m để phương trình bậc 2: y’=0 có nghiệm thoả mãn :….” Đến xin mời bạn đọc tự làm tiếp.
Bài 2: Tìm m để hàm số
a. y=x3+3mx2-(m+4)x+2, đồng biến (2; ) b. y=-x3-3mx2+(2m-1)x+1, nghịch biến ( ;1).
Ở toán này, giải dựa dấu biệt thức của y’
Trong trường hợp >0, y’ có nghiệm phân biệt,
a) y’=0 có hai nghiệm nhỏ 2. b) y’=0 có nghiệm lớn 1.