Đang tải... (xem toàn văn)
Ph¬ng ph¸p miÒn gi¸ trÞ vµ ph¬ng ph¸p hµm sè ë trªn mang néi dung kiÕn thøc ë bËc phæ th«ng trung häc nªn kh«ng ¸p dông vµo viÖc gi¶ng d¹y ë bËc THCS mµ chØ dµnh cho gi¸o viªn d¹y ë bËc [r]
(1)môc lôc
a mở đầu Trang 1/ Cơ sở lý luận Trang 2/ Mục đích nghiên cứu đề tài Trang 3/ Phạm vi nghiên cứu Trang 4/ Phơng pháp nghiên cứu Trang
5/Thêi gian hoµn thµnh Trang
b Nội dung đề tài Trang 3.1 Khái niệm phơng trình vô tỉ Trang 3.2 Phơng pháp chung Trang 3.3 phơng pháp giải phơng trình vơ tỉ bản Trang a Phơng pháp nâng lên luỹ thừa Trang b Phơng pháp đa pt chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối Trang c Phơng pháp đặt ẩn phụ Trang 10 d Phơng pháp đa phơng trình tích Trang 13 e Phơng pháp đa hệ phơng trình Trang 16 g Phơng pháp bất đẳng thức Trang 18 h.Phơng pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Trang 20 i Phơng pháp sử dụng dấu “ = “ở BĐTkhông chặt Trang 21 k Một số PP khác Trang 23 4/ Kết quả Trang 24
Bµi so¹n thùc nghiƯm Trang 25
c kÕt luận kiến nghị Trang 33 d - tài liƯu tham kh¶o Trang 35
a më đầu 1 Cơ sở khoa học :
a)C¬ së lý ln:
Tốn học mơn học có ứng dụng hầu hết tất ngành khoa học tự nhiên nh lĩnh vực khác đời sống xã hội
Vì tốn học có vị trí đặc biệt việc phát triển nâng cao dân trí Tốn học khơng cung cấp cho học sinh (ngời học )những kiến thức bản,những kĩ tính tốn cần thiết mà cịn điều kiện chủ yếu rèn luyện kĩ t logic,một phơng pháp luận khoa học
(2)Hiện từ lớp học sinh đợc hoàn thiện việc mở rộng tập số hữu tỉ Q thành tập số thực R Trong giáo viên dạy phơng trình vơ tỉ khai thác phân tích đề , mở rộng tốn mới, dẫn đến học sinh gặp toán giải phơng trình vơ tỉ lúng túng cha biết cách giải giải đợc nhng cha chặt chẽ mà cịn mắc nhiều sai lầm tìm tập xác định, nâng lên luỹ thừa, đa biểu thức ngồi dấu giá trị tuyệt đối
Vì phát triển lực t cho học sinh thông qua việc giải phơng trình vơ tỉ cần thiết tơi xin đợc trình bày phần nhỏ để khắc phục tình trạng giải phơng trình vơ tỉ góp phần nâng cao chất lợng học mơn toán học sinh trờng THCS
Trong đề tài đợc đa số phơng trình vơ tỉ phù hợp với trình độ học sinh THCS
+ Trang bị cho học sinh số phơng pháp giải phơng trình vơ tỉ áp dụng để làm tập
+ Rút số ý làm phơng ph¸p
+ Chọn lọc số tập hay gặp phù hợp cho phơng pháp giải , cách biến đổi
+ Vận dụng giải tốn có liên quan đến phơng trình vơ tỉ
Tơi hi vọng đề tài giúp ích cho học sinh trờng THCS việc học giải phơng trình vơ tỉ Qua em có phơng pháp giải đúng, tránh đợc tình trạng định hớng giải tốn sai cịn lúng túng việc trình bày lời giải, giúp học sinh làm việc tích cực đạt kết cao kiểm tra
b) Cơ sở thực tế:
b.1 Kết quả:
Qua kết khảo sát, kiểm tra trớc áp dụng đề tài với 40 học sinh thấy kết tiếp thu giải phơng trình vơ tỉ nh sau:
§iĨm díi 5 §iĨm - 6 §iĨm - 8 §iĨm - 10
SL % SL % SL % SL %
20 50% 14 35% 12,5% 2,5%
b.2
Nguyên nhân thực tế trên:
(3)có lối dẫn đến kết thấp đặc biệt học sinh trung bình em khó giải
2 Mục đích nghiên cứu đề tài
- Trang bị cho học sinh số kiến thức giải phơng trình vơ tỉ nhằm nâng cao lực học mơn tốn,giúp em tiếp thu cách chủ động sáng tạo cơng cụ giải tập có liên quan đến phơng trình vơ tỉ
- Gây đợc hứng thú cho học sinh làm tập SGK , sách tham khảo giúp học sinh giải đợc số tập
- Giải đáp đợc thắc mắc, sữa chữa đợc sai lầm hay gặp giải ph-ơng trình vơ tỉ q trình dạy học
- Giúp học sinh nắm vững cách có hệ thống phơng pháp áp dụng thành thạo phơng pháp để giải tập
- Thông qua việc giải phơng trình vơ tỉ giúp học sinh thấy rõ mục đích việc học tốn học tốt tập phơng trình vơ tỉ Đồng thời góp phần nâng cao chất lợng giáo dục
3 Phạm vi nghiên cứu- Đối t ợng nghiên cøu :
Phát triển lực, t học sinh thơng qua tốn giải phơng trình vô tỉ học sinh THCS
Đề tài áp dụng học sinh THCS chủ yếu học sinh khối luyện tập ,ơn tập cuối kì ,cuối năm cho kì thi trờng ,thi vào cấp 4 Các ph ơng pháp nghiên cứu tiến hành :
4.1 Ph ơng pháp nghiên cứu :
Tham khảo thu thập tài liệu Phân tích,tổng kết kinh nghiệm Kiểm tra kết chất lợng học sinh
4.2.Phơng pháp tiến hành :
Thông qua dạng phơng trình vô tỉ đa phơng pháp giải khắc phục sai lầm hay gặp , dạng tập tự giải
5 Thời gian hoàn thành :
(4)b- nội dung đề tài
3.1 Khái niệm phơng trình vô tỉ
3.1.1 Khái niệm: Phơng trình vô tỉ phơng trình chứa ẩn dấu 3.1.2 Các ví dô :
a) √x −1=1 b) √3x+7−√x+1=2
c) x − x+3 ❑
√x2− x+1 =3 d)
¿
x√3x −1
√x2−1 −
√x2−1
√x+1=4
¿
3 2.Ph ơng pháp chung :
Để giải phơng trình chứa dấu ta tìm cách khử dấu
Cụ thể : - Tìm ĐKXĐ phơng trình
- Biến đổi đa phơng trình dạng học - Giải phơng trình vừa tìm đợc
- So s¸nh kết với ĐKXĐ kết luận nghiệm
3.3 Một số ph ơng pháp giải ph ơng trình vô tỉ bản:
a Ph ơng pháp nâng lên luỹ thừa (Bình ph ơng lập ph ơng hai vế ph ơng trình ):
a.1 Các ví dụ :
* Giải phơng trình dạng : f(x)=g(x) Ví dụ 1: Giải phơng trình : √x+1=x −1 (1)
§KX§ : x+1 ⇔ x -1
Với x -1 vế trái phơng trình khơng âm Để phơng trình có nghiệm x-1 ⇒ x 1.Khi phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình : x+1 = (x-1)2 ⇔ x2 -3x=
⇔ x(x-3) =
¿
x=0 x=3
¿{
¿
(5)VÝ dụ 2: Giải phơng trình: x+x 1=13
⇔√x −1¿=13− x
¿
§KX§ :
¿
x −1≥0 13− x ≥0
¿{
¿
⇔
¿
x ≥1 x ≤13
¿{
¿
⇔ x ≤13 (2)
Bình phơng hai vế (1) ta đợc : 13− x¿2
x −1=¿
⇔x2−27x+170
=0
Phơng trình có nghiệm x1=10 x2=17 Chỉ có x1=10 tho· m·n (2)
VËy nghiÖm phơng trình x=10
* Giải phơng trình dạng : f(x)+h(x)=g(x) Ví dụ 3: Giải phơng tr×nh: √1− x −√2+x=1
⇔√1− x=1+√2+x (1) §KX§: 1− x ≥0
2+x ≥0 ⇔
x ≤1
x ≥ −2 ⇔ −2≤ x ≤1 Bình phơng hai vế phơng trình (1) ta đợc :
1− x=1+22+x+2+x x2+x 1=0 Phơng trình có nghiƯm x=−1−√5
2 tho· m·n (2) VËy nghiƯm cđa phơng trình x=15
2
Ví dụ 4: Giải phơng trình:
x+1 +37 x=2 (1) Lập phơng trình hai vế (1) ta đợc:
x+1+7− x+3√3(x+1)(7− x) 2=8 ⇔ (x-1) (7- x) =
⇔ x =-1
x =7 (đều thoả mãn (1 )) Vậy x=−1; x=7 nghiệm phơng trỡnh
* Giải phơng trình dạng : √f(x)+√h(x)=¿ √g(x)
(6)VÝ dơ5: Gi¶i phơng trình x+1 - x 7 = 12 x ⇔ √x+1 = √12− x + √x −7 (1)
§KX§:
¿
x+1≥0 12− x ≥0 x −7≥0
⇔
¿x ≥ −1
x ≤12 x ≥7
⇔1≤ x ≤12
¿{ {
¿
Bình phơng hai vế ta đợc: x- = √(12− x)(x −7) (3)
Ta thấy hai vế phơng trình (3) thỗ mãn (2) bình phơng vế phơng trình (3) ta đợc :
(x - 4)2 = 4(- x2 + 19x- 84)
⇔ 5x2 - 84x + 352 = 0
Phơng trình cã nghiÖm x1 = 44
5 x2 = thoả mãn (2)
VËy x1 = 44
5 vµ x2 = lµ nghiƯm phơng trình
* Giải phơng trình dạng : √f(x)+√h(x)=¿ √g(x) + √q(x) VÝ dô 6: Giải phơng trình : x+1 + x+10 = √x+2 + √x+5 (1)
§KX§ :
¿
x+1≥0 x+10≥0
x+2≥0 x+5≥0
¿{ { {
¿
¿
x ≥ −1 x ≥ −10
x ≥ −2 x ≥ −5
¿{ { {
¿
x ≥ -1 (2)
Bình phơng hai vế (1) ta đợc :
x+1 + x+ 10 + √(x+1)(x+10) = x+2 + x+ + √(x+2)(x+5)
⇔ 2+ √(x+1)(x+10) = √(x+2)(x+5) (3)
Với x -1 hai vế (3) dơng nên bình phơng hai vế (3) ta đợc √(x+1)(x+10) = 1- x
(7)
¿
x ≥ −1 x ≤ −1
¿{
¿
x = lµ nghiƯm phơng trình (1)
a.2 Nhận xét :
Phơng pháp nâng lên luỹ thừa đợc sử dụng vào giải số dạng phơng trình vơ tỉ quen thuộc, song trình giảng dạy cần ý nâng lên luỹ thừa bậc chẵn
Víi hai sè d¬ng a, b nÕu a = b a2n = b2n ngợc lại (n= 1,2,3 )
Từ mà ý điều kiện tồn căn, điều kiện hai vế phơng trình vấn đề mà học sinh hay mắc sai lầm, chủ quan sử dụng phơng phỏp ny
Ngoài phải biết phối hợp vận dụng phơng pháp với nhiều phơng pháp khác lại với
a.3 Bài tập áp dông:
1 √x2
−4 = x- 2 √1+x√x2
+4 = x+ √1−√x + √4+x =3
√x+45 -
√x −16 =1
5 √1− x = √6− x - √−(2x+5) √3 x −1 + √3 x −2 = 2x
7 √x + √x+y = √x −1 + √x+4
b Ph ơng pháp đ a ph ơng trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối :
b.1 C¸c vÝ dơ :
Ví dụ1: Giải phơng trình: √9x2−24x
+16=− x+4 (1)
§KX§:
¿
9x2−24x+16≥0 − x+4≥0
¿{
¿
⇔
3x −4¿2≥0∀x ¿
x ≤4
¿ ¿ ¿
x
Phơng trình (1) |3x 4| = -x + ⇔
¿
3x −4=− x+4 3x −4=x −4
¿{
¿
¿
x=2 x=0
¿{
(8)VÝ dô : Giải phơng trình : x24x=4 +
√x2−8x
+16 = §KX§: ∀x¿∉
¿
R
Phơng trình tơng đơng : |x −2| + |x −4| = Lập bảng xét dấu :
x
x- - + + x- - - + Ta xÐt c¸c kho¶ng :
+ Khi x < ta cã (2) ⇔ 6-2x =5
⇔ x = 0,5(tho¶ m·n x 2)
+ Khi x ta cã (2) ⇔ 0x + =5 v« nghiÖm + Khi x > ta cã (2) ⇔ 2x – =5
⇔ x =5,5 (tho¶ m·n x > )
Vậy phơng trình cho có nghiệm x = 0,5 x = 5,5
VÝ dô 3 : Giải phơng trình: x 4x 1+3 + x −6√x −1+8 = §KX§: x
Phơng trình đợc viết lại :
√(x −1)−4√x −1+4 + (x1) x19 = √x −1−2¿
2
¿ √¿
+ √x −1−3¿
¿ √¿
= ⇔ |√x −1−2| + |√x −1−3| =1 (1)
- NÕu x < ta cã (1) ⇔ 2- √x −1 + - √x −1 =
⇔ √x −1 =2 ⇔ x= không thuộc khoảng xét
- Nếu x 10 (1) 0x = Phơng trình có vô số nghiệm - Nếu x> 10 (1) -5 = phơng trinh vô nghiệm
Vậy phơng trình có vô số nghiệm : x 10
b.2 NhËn xÐt :
Phơng pháp đa phơng trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối đợc sử dụng giải số dạng phơng trình vơ tỉ quen thuộc nh song thực tế cần lu ý cho học sinh :
(9)- Học sinh thờng hay mắc sai lầm lúng túng xét khoảng giá trị ẩn nên giáo viên cần lu ý để học sinh tránh sai lầm
b.3 Bµi tËp ¸p dơng :
1 √x2
−6x+9 + √x2+10x+25 = √x2
+2x+1 + √x2−4x+4 = √x2+4x+4 √x+3+4√x −1 + √x+8−6√x −1 = √x+3+3√2x −5 + √x −2−√2x −5 = √2
c.Ph ơng pháp đặt ẩn phụ:
c C¸c vÝ dơ :
VÝ dơ 1: Giải phơng trình: 2x2 + 3x +
√2x2+3x+9 =33 ĐKXĐ : ∀ x R Phơng trình cho tơng đơng với: 2x2 + 3x +9 +
√2x2
+3x+9 - 42= (1) Đặt 2x2 + 3x +9 = y > (Chú ý học sinh thờng mắc sai lầm không đặt
điều kiện bắt buộc cho ẩn phụ y)
Ta đợc phơng trình : y2 + y – 42 = 0
⇒ y1 = , y2 = -7 Cã nghiƯm y =6 tho¶ m·n y>
Từ ta có √2x2
+3x+9 =6 2x2 + 3x -27 = Phơng trình có nghiÖm x1 = 3, x2 = -
2
Cả hai nghiệm nghiệm phơng trình cho
VÝ dơ 2: Gi¶i phơng trình: x +
x = 12 ĐKXĐ : x o
Đặt
√x = y ⇒ √x = y2 ta cã phơng trình mới
y2 + y -12 = phơng trình có nghiệm y= y = - (lo¹i)
√x = ⇒ x = 81 nghiệm phơng trình cho
VÝ dơ 3: Giải phơng trình: x+1 + 3 x - √(x+1)(3− x) = (1)
§KX§ :
¿
x+1≥0 3− x ≥0
¿{
¿
¿
x ≥ −1 x ≤3
¿{
¿
-1 x
Đặt √x+1 + √3− x = t ⇒ t2 = + 2 √(x+1)(3− x)
⇒ √(x+1)(3− x) = t
2−4
(10)t2 – 2t = ⇔ t(t-2) =
t=0
¿
t=2
¿ ¿ ¿ ¿
+ Víi t = phơng trình vô nghiệm
+Với t = thay vµo (2) ta cã : √(x+1)(3− x) = ⇒ x1 = -1; x2 = (tho¶
m·n)
Vậy phơng trình cho có nghiệm x1 = -1và x2 =
VÝ dô 4: Giải phơng trình : √x3
+1 = 2( x2 + 2) Ta cã x3
+1 = x+1 x2 x+1 Đặt x+1 = a ; √x2− x
+1 = b a2 + b2 = x2 + Phơng trình cho đợc viết
5ab = 2(a2 + b2)
⇔ (2a- b)( a -2b) =
2a −b=0
¿
a −2b=0
¿ ¿ ¿ ¿
+ Trêng hỵp: 2a = b
⇔ √x+1 = √x2
− x+1 ⇔ 4x + = x2 – x +1
⇔ x2 – 5x -3 = 0
Phơng trình có nghiệm x1 = 5−√37
2 ; x2 =
5+√37 + Trêng hỵp: a = 2b
⇔ √x+1 = √x2
− x+1 ⇔ x+ = 4x2 -4x + = 0
⇔ 4x2 -5x + = ph¬ng trình vô nghiệm.
Vy phng trỡnh ó cho cú nghiệm x= 5+√37
2 vµ x=
5−√37
Ví dụ 5: Giải phơng trình: √x+1 + (x+1) = x- + √1− x + √1− x2 (1)
(11)ĐKXĐ: -1 x phơng trình (1) trở thµnh u + 2u2 = -t2 + t +3ut
⇔ (u –t ) 2 + u(u-t) + (u-t) = 0
⇔ (u-t)(2u – t +1 ) =
¿
u=t 2u+1=t
¿{
¿
⇔
¿
√x+1=√1− x 2√x+1+1=√1− x
¿{ ¿ ¿ x=0 x=−24 25 ¿{ ¿
thoả mãn điều kiện -1 x nghiệm phơng trình cho
VÝ dụ 6: Giải phơng trình: x −2√x −1 + ❑
√x+2√x −1 = x+3 §KX§ : x
Đặt √x −1 = t ⇒ x = t2 + phơng trình cho trở thành
t+1¿2 ¿ √¿
+ t −1¿
¿ √¿
= t2+4
⇔ |t+1| + |t −1| = t2+4
⇔
¿
t2−4t+4=0 t2
=0
¿{
¿
(t 1)
¿
t=2 t=0
¿{ ¿ ¿ x=5 x=1 ¿{ ¿
§kX§: x≥
Vậy phuơng cho có nghiệm x= 1và x= c.2
NhËn xÐt :
Phơng pháp đặt ẩn nhằm làm cho phơng trình đợc chuyển dạng hữu tỉ Song để vận dụng phơng pháp phải có nhận xét,đánh giá tìm tịi h-ớng giải cách đặt ẩn nh cho phù hợp nh :
Đặt ẩn phụ để đợc phơng trình chứa ẩn phụ (Vd 3-1,3-2,3-3) Đặt ẩn phụ để đa biểu thc nhúm (VD 3-4; 3-5)
c.3. Bài tập áp dông:
1/ x2 – +
√x2−6 = 2/ x √1
x - 2x
√x = 20
3/
√x2 - 3
(12)4/ √x3
+8 = 2x2 – 6x +4
5/ √x+6√x −9 + √x −6√x −9 = x+23 d Ph ơng pháp đ a ph ơng trình tích :
d.1.C¸c vÝ dơ :
VÝ dơ 1: Giải phơng trình: x+10x+21 = √x+3 + √x+7 - (1) §KX§ : x -3
Phơng trình (1) có dạng :
√(x+3)(x+7) - √x+3 + √x+7 +6 = ⇔ √x+3 ( √x+7−3¿ -2( √x+7−3¿ ) =3
⇔ ( √x+7−3¿ ( √x+3−2 ) =0
⇔
¿
√x+7−3=0
√x+3−2=0
¿{
¿
¿
x+7=9 x+3=4
¿{
¿
¿
x=2 x=1
¿{
¿
§KX§
Vậy phơng trình cho có nghiệm x = 1; x =
VÝ dô 2: Giải phơng trình:
1 x + x+2 =1 ĐKXĐ : x -2 Đặt x+2 = t Khi dã
√1− x =
3 t2 Phơng trình (1)
√3− t2 + t =
⇔
√3− t2 = 1- t ⇔ 3- t3 = (1-t) 3
⇔ t3 - 4t2 + 3t + =0
⇔ (t-2) ( t2 -2t -1) = 0
Từ phơng trình ta tìm đợc x=2 ; x= + √2 nghiệm phơng trình (1)
VÝ
dơ3: Giải phơng trình: (4x-1)
x2
+1 = 2(x2 + 1) + 2x - (1) Đặt
x2
+1 =y ; y (1) ⇔ (4x-1) y = 2y2 + 2x -1
⇔ 2y2 - (4x -1) y + 2x – 1= 0
⇔ ( 2y2 - 4xy + 2y) – ( y- 2x+1) = 0
⇔ (y- 2x+1) (2y- 1) =
Giải phơng trình ta tìm đợc x = ; x =
(13)Ví dụ4: Giải phơng trình: ( √1+x −1 )( √1− x+1 ) = 2x §KX§: -1 x (1)
đặt √1+x = u (0 u √2 )
suy x = u2 -1 phơng trình (1) trở thành :
(u -1 ) ( √2− u2
+1¿ = ( u2 -1)
⇔ (u -1 ){ ( √2− u2
+1¿ - (u+1)} =
⇔ (u-1) ( √2− u2
−2u −1¿ =
u −1=0
¿
√2− u2−2u −1=0
¿ ¿ ¿ ¿
(+) u-1 = ⇒ u =1 ( tho¶ m·n u ) suy x = tho¶ m·n (1) (+) √2− u2
−2u −1 = ⇔ √2− u2 = 2u +
⇔
¿
2u+1≥0 2− u2=(2u+1)
¿{
¿
(tho¶ m·n v× u ) 5u2 + 4u - = 0
¿
u1=−1<0(loai) u2=1
5
¿{
¿
nªn cã x = u22 -1 = (
5 )2 – = −24
25 thỗ mãn điều kiện (1) Vậy phơng trình cho có nghiệm x = x = −24
25
d.2.NhËn xÐt :
Khi sử dụng phơng pháp đa phơng trình tích để giải phơng trình vơ tỉ ta cần ý bớc sau
+ Tìm tập xác định phơng trình
(14)+ Nghiệm phơng trình tập hợp nghiệm phơng trình f(x) = g( x) = ; thuộc tập xác định
+ Biết vận dụng,phối hợp cách linh hoạt với phơng pháp khác nh nhóm số hạng,tách số hạng đặt ẩn phụ thay cho biểu thức chứa ẩn đa phơng trình dạng tích quen thuộc ó bit cỏch gii
d.3.Bài tập áp dụng:
1 √x3−7x −6 = 0 √x2− x −2 - 2
√x2− x
+2 = √x −1 x(x+5) =
√x2+5x −2−2 2( x2 + 2x + 3) = 5
x3
+3x2+3x+2
e Ph ơng pháp đ a hệ ph ơng trình :
e.1.Các ví dụ :
Ví dụ1: Giải phơng trình: √25− x2 -
√15− x2 =2 §KX§: x2 15
Đặt: √25− x2 = a (a 0) (* ) √15− x2 = b ( b 0) ( ** ) Từ phơng trình cho chuyển hệ phơng trình :
¿
a −b=2
(a − b)(a+b)=2(a+b) a+b ≠0
¿{ {
¿
¿
a −b=2 a+b=5
¿{
¿
¿
a=7 b=3
¿{
Thay vào phơng trình (*) ta có : 25 –x2 = 49
4 ⇔ x2 = 51
4 ⇒ x = ±√ 51
2 ( ĐkXĐ ) Vậy phơng trình cho có nghiệm x = ±√51
2
Ví dụ 2: Giải phơng trình: (5− x)√5− x+(x −3)√x −3
√5− x+√x −3 = (1) §KX§ : x
Đặt
5 x=u(u 0)
√x −3=t(t ≥0)
¿{
(15)Ph¬ng trình (1 ) trở thành hệ phơng trình :
¿
u2
+t2=2 u2−ut+t2=2
¿{
¿
ut =
¿
u=0 t=0
¿{
¿
¿
x=3 x=5
¿{
¿
(thâa m·n ®iỊu kiƯn )
Vậy phơng trình đẫ cho có nghiƯm x =3 ; x=
VÝ dơ3: Giải phơng trình:
2 x + √x −1 = §KX§: x
Đặt
3
2 x=u
√x −1=t(t ≥0)
¿{
¿
Khi ta có u3 = – x ; t2 = x- nên u3 + t3 = 1
Phơng trình cho đợc đa hệ:
¿
u+t=1(1) u3+t3
=1(2)
¿{
¿
Từ phơng trình (1) u = t Thay vào phơng trình (2) ta có : ( – t )3 + t2 = 1
⇔ t( t2 - 4t + = 0
⇔
¿
t=0 t2−4t+3=0
¿{
¿
t=0 t=1 t=3
¿
no
¿{
¿{
¿
Từ ta đợc x= 3; x =2 ; x = 10 (ĐKXĐ x ) nghiệm phơng trình cho
VÝ dơ 4: Giải phơng trình: x+1
3
√¿
+ x −1¿
¿
3
√¿
(16)a2 = x+1¿
2
¿
3
√¿
b2 = x −1¿
2
¿
3
√¿
ab = √3 x2−1 Ta đợc phơng trình : a2 + b 2 + ab = ( 1)
¿
a3=x+1 b3=x −1
¿{
¿
Ta đợc phơng trình : a3 – b3 = (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã hƯ phơng trình :
a2+b2+ab=1 a3 b3
=2
{
Từ hệ phơng trình ta suy a –b = ⇒ b = a –
Thay vào hệ phơng trình (1) ta đợc : (a -1 )2 = ⇒ a =1
Từ ta đợc x =
Vậy nghiệm phơng trình : x =
e.2.NhËn xÐt :
Qua ví dụ cho ta thấy phơng pháp hệ phơng trình có điểm sáng tạo đặc thù riêng, địi hỏi học sinh phải t phơng pháp đợc áp dụng cho học sinh , giỏi Ta cần ýmột số im sau:
+ Tìm điều kiện tồn phơng trình
+ Bin i phng trỡnh xut nhân tử chung
+ Đặt ẩn phụ thích hợp để đa việc giải phơng trình việc giải hệ phơng trình quen thuộc
Ngồi ngời học biết kết hợp phơng pháp với phơng pháp khác nh phơng pháp đặt ẩn phụ , phơng pháp sử dụng đẳng thức
e.3.Bµi tËp áp dụng:
Giải phơng trình sau : 1
x +
1
√2− x2 = 2
(17)3
√1− x +
√1+x =1
√x −1 +
√x −21 = √2x −3 √4−√4+x = x
g Ph ơng pháp bất đẳng thức :
g.1 Ph ơng pháp chứng tỏ tập giá trị hai vế rời , ph ơng trình vơ nghiệm
g.1.1.C¸c vÝ dơ :
Ví dụ1 : Giải phơng trình: x 1 - √5x −1 = √3x −2 (1)
§KX§:
¿
x −1≥0 5x −1≥0 3x −2≥0
¿{ {
¿
¿
x ≥1 x ≥1 x ≥2
¿{ {
¿
Với x x < 5x √x −1 < √5x −1 Suy vế trái (1) số âm , vế phải số khơng âm Vậy phơng trình vơ nghim
Ví dụ2: Giải phơng trình: √x2−6x
+11 + √x2−6x+13 + √4 x2−4x+5 = + √2 ⇔ x −3¿
2
+2
¿ √¿
+ x −3¿
+4
¿ √¿
+ x −2¿
+1
¿
4
√¿
= + √2 (*)
Mµ x −3¿
+2
¿ √¿
+ x −3¿
+4
¿ √¿
+ x −2¿
+1
¿
4
√¿
√2 + √4 + = + √2
⇒ Vế phải phơng trình cho lớn vế trái Vậy phơng trình cho vơ nghiệm
g.1.2.Bµi tËp ¸p dơng:
1 ❑
√x −1 - ❑
√x+1 = 2 √x2
+6 = x - √x2−1 ❑
√6− x + ❑
√x+2 = x2 - 6x +13
g.2 Sử dụng tính đối nghịch hai vế :
g.2.1.C¸c vÝ dơ :
(18)√3x2
+6x+7 + √5x2+10x+14 = – 2x – x2 (1) Ta cã vÕ tr¸i cđa (1)
√3x2
+6x+7 + √5x2+10x+14 =
x+1¿2+4 3¿
√¿
+ √5(x+1)+9 √4 + √9 =
VÕ ph¶i cđa (1) : -2x –x2 = – (x + 1)2 5
Vậy hai vế x = -1 Do phơng trình (1) có nghiệm x = -1
Ví dụ2: Giải phơng trình: x 4 + √6− x = x2 -10x + 27 (1)
ĐKXĐ: x Xét vế phải (1) ta cã :
x2 – 10x + 27 = ( x-5)2 + víi mäi x vµ vÕ tr¸i cđa (1)
( √x −4−√6− x
2 )
2
x −1
¿
√6−4¿2 ¿ ¿
√¿ ¿ ¿
=1 hay √x −4 + √6− x
V× phơng trình (1) có nghiệm :
x2−10x+27=2(∗)
√x −4+√6− x=2(**)
¿{
¿
Giải phơng trình (*) ta dợc x = giá trị thoả mÃn (**) Vậy x =5 nghiệm phơng trình (1)
g.2.2 Bài tập áp dông :
1 √3x2
−12x+16 + √y2−4y+13 = √3x2
+6x+12 + √5x2−10x+9 = 3-4x -2x2 x2
−3x+3,5 = √(x2−2x+2)(x2−4x+4)
h Ph ơng pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số :
h.1.C¸c vÝ dơ :
Ví dụ1: Giải phơng trình :
√x −2 + √x+1 = (1) §KX§: x
Ta thấy x =3 nghiệm với phơng trình (1) Với x >
(19)Víi x< vµ x -1 ⇔ -1 x th×
√x −2 < 1, x+1 < nên vế trái (1) nhỏ
VËy x= lµ nghiƯm nhÊt cđa phơng trình (1)
Ví dụ 2: Giải phơng tr×nh :
√x2+28 + √3 x2+23 + √x −1 + √x = √2 + (1)
§KX§:
¿
x −1≥0 x ≥0
⇔x ≥1
¿{
¿
Ta thÊy x =2 lµ nghiƯm cđa (1)
h2.NhËn xÐt :
Khi giải phơng trình vơ tỉ mà ta cha biết cách giải thờng ta sử dụng phơng pháp nhẩm nghiệm ,thử trực tiếp để thấy nghiệm chúng Rồi tìm cách chứng minh ngồi nghiệm khơng cịn nghim no khỏc
h.3.Bài tập áp dụng :
1
√x2+26 + √x + √x+3 =
2 2x2 + x2 3x = √2x2+2x+3 + √x2− x+1
i Ph ơng pháp sử dụng điều kiện xảy dấu “ = ” bất đẳng thức không chặt
i.1.C¸c vÝ dơ :
VÝ dơ1: Giải phơng trình
x 2 + y+1995 + √z −1996 =
2 (x+y+z) §KX§ : x 2; y -1995; z 1996
Phơng trình (1) ⇔ x+y+z = √x −2 + √y+1995 + √z −1996 ⇔ √x −2−1¿2
¿ + √
y+1995−1¿2
¿ + √
z −1996−1¿2 ¿ =
¿
√x −2=1
√y+1995=1
√z −1996=1
¿{ {
¿
¿
x=3 y=−1994
z=1997
¿{ {
¿
( tho· m·n §KX§ )
(20)VÝ dơ 2: Giải phơng trình: 3x2
+6x+7 + √5x2+10x+14 = – 2x – x2
⇔ x+1¿
+4 3¿
√¿
+ x+1¿
+9 5¿
√¿
= – (x+1)2 (*)
VÕ tr¸i cđa (*) x+1¿
+4 3¿
√¿
+ x+1¿
+9 5¿
√¿
+ = VÕ ph¶i cđa (*) – (x+1)2 5
Vì phơng trình (*) có nghiệm hai vế phơng trình (*) ⇔ x+ = ⇔ x = -1 Vậy phơng trình cho có nghiệm x =-1
VÝ dơ3: Giải phơng trình: x
4x 1 +
√4x −1
x =2 (1)
§KX§: x>
áp dụng bất đẳng thức a b+
b
a víi a,b > x¶y dÊu “=” vµ chØ a =b
DÊu “=” cđa (1) x¶y x= √4x −1 ⇔ x2 - 4x +1 = (do x>
4 ) Giải phơng trình ta tìm đợc x= 2±√3 (thoả mãn ĐKXĐ)
VËy x= 2±√3 nghiệm phơng trình
i.2 Nhận xét :
Khi sử dụng phơng pháp bất đẳng thức để giải phơng trình vơ tỉ ta cần ý bớc sau :
+ Biến đổi phơng trình dạng f(x) = g(x) mà f(x) a , g(x) a (a số )
Nghiệm phơng trình giá trị x thoả mãn đồng thời f(x) =a g(x) = a
+ Biến đổi phơng trình dạng h(x) = m (m số ) mà ta ln có
h(x) m h (x) m nghiệm phơng trình giá trị x làm cho dấu đẳng thức xảy
+ áp dụng bất đẳng thức : Cơsi, Bunhiacopxki
i.3 Bµi tËp ¸p dông:
1 √2x2
−8x+12 = -
√3x2−12x
(21)3 19√x −1 + 5√4x2
−1 + 95√6x2
−3x+2 = 3 x
2
−6x+15 x2−6x
+11 = √x
2
6x+18
k Một số ph ơng pháp khác :
k.1.Ph ơng pháp miền giá trị :
Ví dụ1: Giải phơng trình: x+1 + x+15 x 183x=9 (1) Ta tìm miền giá trị hàm sè :
y = √x −1 + √x+1−√5− x −√18−3x=9 tập xác định [1;5] ta có:
y, =
2√x+1+ 2√x −1+
1 2√5− x+
3
2√18−3x > víi mäi x x−
1 x −2=2
Do hàm số y liên tục đồng biến nên miền giá trị hàm số √3x
hay √x −√3 Suy y =
¿
√x=y , y ≥0 √3=z
¿{
¿
vµ
ymax = + [(y − z)(y+z)]2+(y z)2 với x [1;5]
Để phơng tr×nh (1) cã nghiƯm th× y ∀ y , z ymax nhng điều không
xảy
y = < ymax = + √x −2 <
Do phơng trình (1) vơ nghiệm khơng tồn giá trị x √x −1 để y(xi) =
k.2.Ph ơng pháp hàm số:
Ví dụ 2: Giải phơng trình: x3 +1 = 2
x2+7x+7 (1)
Ta cã: (1)
¿
√2− x=a
√x −1=b
¿{
¿
¿
a+b=1(2) a3+b2=1(3)
b≥0(4)
¿{ {
¿
(22)y =
¿
x2+y2=2
x+ y=2
¿{
¿
có hàm ngợc y = x2
+7x+7 (vì y = √x2+7x+7
y=1
¿
y=−5 3loai
¿ ¿ ¿ ¿
x = √x2
+7x+7 )
Do nghiệm phơng trình x
+1 =
3
2x 1 nghiệm phơng
tr×nh
√2− x+√x −1=1 = x x3 -2x + =
¿
3
√2− x=a
√x −1=b
¿{
¿
x = hc x =
¿
a+b=1(2) a3+b2=1(3)
b≥0(4)
¿{ {
¿
Vậy nghiệm phơng trình lµ x= vµ x =
a=0⇒b=1⇒x=2
¿
a=1⇒b=3⇒x=10
¿
a=−2⇒b=0⇒x=1
¿ ¿ ¿ ¿
k.3 NhËn xÐt:
(23)Chẳng hạn nh ví dụ ta đa hệ phơng trình nh sau: x3 + = 2
x+
√2− x2=2 Đặt t = 2 2x -1 = t3
Ta cã hÖ: x3 + = 3t
2x -1 = t3
x3 – t3 + (x-t) = 0
x1 =1 ; x2,3 = √2
4/ KÕt qu¶.
4.1/ NhËn xÐt:
Trên tơi giới thiệu với bạn số phơng pháp giải phơng trình vơ tỉ, kết thu đợc rõ ràng vận nhiều dạng tốn, ứng dụng tốn khơng phải Nếu nh rèn luyện cho học sinh dạng tốn trang bị cho em lợng kiến thức khơng phải nhỏ Trong ch-ơng trình tốn phổ thơng cịn nhiều phch-ơng pháp Trên tơi trình bày số phơng pháp thơng dụng chơng trình trung học sở Tuy nhiên với dạng tốn khơng phải đối tợng tiếp thu cách dễ dàng, giáo viên phải khéo léo lồng vào tiết dạy nhằm thu hút phát huy sáng tạo cho học sinh Đây vấn đề hoàn toàn mẻ khó khăn cho học sinh mức trung bình, giáo viên nên cho em làm quen dần Dạng tốn có tác dụng tơng hỗ, cao dần từ kiến thức sách giáo khoa, giúp học sinh khắc sâu kiến thức biết t sáng tạo, biết tìm cách giải dạng toán mới, tập trung “Sáng tạo” vấn đề
4.2 Kết sau áp dụng đề tài
Sau áp dụng đề tài thấy chất lợng qua kiểm tra đợc nâng lên đáng kể, đặc biệt đối tợng HS trung bình chất lợng đợc nâng lên rõ rệt
§iĨm díi 5 §iĨm - 6 §iĨm - 8 §iĨm - 10
SL % SL % SL % SL %
5 12,5% 20 50% 10 25% 12,5%
bài soạn thực nghiệm
Luyện tập: Phơng trình vô tỉ
A Mục tiêu: Kiến thức:
(24)2 Kĩ năng:
- Rèn luyện kĩ giải phơng trình vô tỉ số phơng pháp: + Phơng pháp nâng lên lịy thõa
+ Phơng pháp đa phơng trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối + Phơng pháp đặt ẩn phụ
+ Phơng pháp hệ phơng trình + Phơng pháp bất đẳng thức
- Phát triển t cho học sinh thông qua việc lựa chọn phơng pháp thích hợp để giải phơng trình
3.Thái độ:
- Gi¸o dơc tÝnh cÈn thËn, xác làm việc B Chuẩn bị giáo viên học sinh:
- Giỏo viờn: Mỏy chiu, giấy ghi đề tập lời giải số kiến thức cần nhớ – Máy tính bỏ túi – Phiếu học tập
- Häc sinh: GiÊy trong, bảng nhóm, bút viết bảng, giấy nháp, ôn tập phơng pháp giải phơng trình vô tỉ Máy tính bá tói
C Hoạt động dạy học:
Hoạt động thày Hoạt động trò
I, Hoạt động : Kiểm tra nhắc lại
mét số kiến thức
HS 1: Thế phơng trình vô tỉ Lấy ví dụ?
HÃy nêu số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ
HS 2: HÃy phân tích sai lầm lời giải sau:
* Giải phơng trình:
x 1=5x 1+3x 2+215x213x+2(3)
HS lên bảng trả lời
- PTVT phơng trình chứa ẩn dấu
5
3√15x −√15x −2=
3√15x VD: Phơng trình
- Nêu vài phơng pháp giải phơng trình vô tỉ
HS lên bảng phân tích sai lầm lời giải
(25)Lêi gi¶i: Chun vÕ:
√x −1=√5x −1+√3x −2(2)
Bình phơng hai vế:
x 1=5x1+3x2++215x213x+2(3)
Rút gọn:
27x=215x213x+2(4)
Bình phơng hai vế: 14x + 49x2 =
4(15x2 – 13x + 2)(5)
Rót gän:
11x2 – 24x +4 = 0
x1=
11; x2=2 (11x – 2)(x – 2) =
GV: Đa đề lời giải lên hình GV Gọi HS dới lớp lần lợt nhận xét phần trả lời HS HS
GV đa lời giải hình để HS dới lớp theo dõi rút kinh nghiệm GV cho điểm HS
II, Hoạt ng 2: Luyn tp
1 Phơng pháp nâng lªn lịy thõa.
GV : đa tập lên hình Gọi HS đọc đề
GV cho lớp suy nghĩ tìm
phơng pháp giải Nói rõ kiến thức cần
chỳ ý n điều kiện để thức có nghĩa ta phải có điều
kiện x ≥ Do giá trị không nghiệm (1)
¿
2−7x≥0
(2−7x)2=4(15x2−13x+2)
¿ ¿{
¿
- Sai lầm thứ hai không đặt điều kiện để biến đổi tơng đơng Các phơng trình (4) (5) khơng tơng đơng Phơng trình (4) tơng đơng với hệ:
Vì x = không nghiệm (1)
HS: Cả lớp theo dõi nhận xét bạn bảng
HS: C lớp theo dõi lời giải hình
HS đọc to đề
HS: C¶ líp suy nghĩ tìm phơng pháp giải
(26)GV cho HS hoạt động theo nhóm (Mỗi nhóm bài)
GV gọi đại diện ba nhóm nêu phơng pháp giải nhóm
GV gọi nhóm cử đại diện đem bảng nhóm lên bảng trình bày (bằng phơng pháp nâng lên lũy thừa)
GV : Tại phơng trình ta khơng đặt điều kiện cho tồn thức không đặt điều kiện trớc bình phơng hai vế
GV tæng kÕt
2 Phơng pháp đa phơng trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối.
GV đa đề tập lên hình Gọi HS đọc to đề
- HS c bi
HS nêu phơng pháp giải tập - Cả lớp làm vào giấy
Giải phơng trình:
x+1+37 x=2 Giải :
Lập phơng hai vế (áp dụng H§T): (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
x+1+7− x+3√3(x+1) (7− x) 2=8
⇔(x+1) (7 x)=0
x1=1; x2=7
Đợc:
Vậy phơng tr×nh cã hai nghiƯm: x1= - 1; x2 =
Bài tập 2: Giải phơng trình
x+2x 1+x −2√x −2=2(1)
Gi¶i:
Điều kiện xác định: x ≥
Ta cã: (1)⇔√(x −1)+2√x −1+1+¿+√(x −1)−2√x −1+1=2 ⇔√(√x −1+1)2+√(√x −1−1)2=2
(27)GV gäi HS nêu phơng pháp giải tập
GV cho HS hoạt động cá nhân, làm BT vào giấy
Gọi HS lên bảng làm
GV thu vài em đa lên hình để lớp nhận xét
GV tiÕp tơc cho c¶ lớp nhận xét HS làm bảng
Nêu vấn đề: Ngồi phơng pháp trên, ta cịn giải phơng trình theo cách khác?
GV chốt lại: Đối với tập ta nên chọn phơng pháp đa phơng trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối tốt
3 Phơng pháp đặt ẩn phụ GV đa đề tập lên hình Gọi HS đọc to đề bi
GV cho HS suy nghĩ hỏi phơng pháp giải phơng trình Theo em ta nên chọn phơng pháp nào? Vì sao?
GV gọi HS lên bảng làm
GV yờu cu HS c lp hoạt động nhóm - Một nửa lớp làm theo phơng pháp đặt ẩn phụ
- Mét nưa líp thùc hiƯn chun vÕ vµ
+ NÕu x >
Thì có phơng trình:x 12+x x 111=1 =2 x 1=1
x 1=1 x=2
(không thuộc khoảng xÐt) + NÕu ≤ x ≤ 2, ta cã phơng trình:
x 1+1x 1+1=2
0 x 1=0
Phơng trình có vô số nghiệm x
Vậy phơng trình (1) có nghiệm: x
Bài tập 3: Giải phơng trình 3x2+21x+18+2x2+7x+7=2(1) Giải:
Điều kiện x2 + 7x + 0 x2+7x+7=y(y 0) Đặt
x2 + 7x + = y2 (*)
(1) ⇔ 3y2 + 2y – = 0
y1=1; y2=−5
(28)bình phơng hai vế giải cách quy phơng trình bậc hai
(Nhờ phơng pháp nhẩm nghiệm)
GV gi nhúm lm theo phơng pháp đặt ẩn phụ nhận xét làm bạn bảng (bổ sung cho hoàn thiện)
GV gọi nhóm làm theo phơng pháp đem bảng nhóm lên bảng trình bày Cho lớp nhận xét rút phơng pháp tối u cho cách giải tập
4 Phơng pháp hệ phơng trình. GV đa tập lên hình
Gi HS đọc to đề
GV cho c¶ lớp suy nghĩ tìm phơng pháp giải
GV: tập có số cách giải khác nhau, song giải theo phơng pháp hệ phơng trình GV gọi HS nêu ĐKXĐ phơng tr×nh
GV yêu cầu HS đặt ẩn phụ đa đến việc giải hệ phơng trình
GV lần lợt gọi HS đứng chỗ làm miệng giải phơng trỡnh
GV ghi bảng
+ =
- Thay y = vµo (*), ta cã x2 + 7x + = 1
⇔ x2 + 7x + = 0
a – b + c = – + =
nªn x1 = - ; x2 = - (tháa m·n ®iỊu
kiƯn x2 + 7x + ≥ 0).
VËy ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiƯm : x1
= - ; x2 = -
Bµi tËp 4: Giải phơng trình
x 2+x+1=3() Giải:
ĐKXĐ: x ≥ - (1)
√x −2=y
x+1=z(z 0) Đặt
Khi ú x = y3
x + = z2 (**)
Nªn Z2 – Y3 = 3
Phơng trình cho đa đợc hệ :
¿
Y+Z=3(2) Z2−Y3=3(3)
Z ≥0(4)
¿{ {
¿
(29)5 Phơng pháp bất đẳng thức. GV ghi đa đề tập lên hình Gọi HS đọc đề
GV cho HS suy nghĩ phút nêu câu hỏi:
Để giải phơng trình ta có nên dùng phơng pháp:
- Nâng lên lũy thừa
- a phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
- Đặt ẩn phụ.đợc không?
Theo em, ta dùng phơng hay để giải phơng trình này?
Gọi HS lên bảng làm
Phát phiếu häc tËp cho häc sinh lµm
Yêu cầu lớp làm sau nhận xét bạn bảng
GV gäi HS nhËn xÐt bæ sung cho bạn bảng
Thu phiu học tập để nhận xét chấm điểm
y3 – y2 + 6y – = 0
⇔ (y – 1)(y2 + 6) = 0
⇔ y = (cßn y2 + ≥ 6).
Thay y = vµo (5) cã Z = (TM (4)) Thay z = vµo (**) ⇒ x = (TM (1))
a/√x2
+6=x −2√x2−1 b/√2x2+8x+6+√x2−1=2x+2
c/x 2+4 x=x26x+11 d/x3+1=232x 1
Bài tập 5: Giải phơng trình
Giải:3x2
+6x+7+5x2+10x+14 3(x+1)2+4+5(x+1)2+9
4+9
Vế trái:
Vậy vế trái có giá trị (1) DÊu “=” x¶y ⇔ (x + 1)2 = 0
⇔ x = - VÕ ph¶i:
– 2x – x2 = -(x2 + 2x + 1) + 5
= - (x + 1)2 + ≤ (2)
DÊu “=” x¶y ⇔ x = -
Từ (1), (2) VP có giá trị VT chúng
Tại x = -
Vậy phơng trình (*) có nghiệm x = -
(30)Chúng ta đợc học phơng trình vơ tỉ cách giải phơng trình vơ tỉ Mỗi phơng trình có nhiều cách giải khác nhau, song thờng gặp số phơng pháp giải sau:
- Phơng pháp nâng lên lũy thừa
- Phng pháp đa phơng trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối - Phơng pháp đặt ẩn phụ
- Phơng pháp hệ phơng trình - Phơng pháp bất đẳng thức
Các em cần nghiên cứu sâu sắc phơng pháp tùy tập cụ thể mà sử dụng phơng pháp giải cho phù hợp để đạt hiệu tốt Một điều vô quan trọng ĐKXĐ phơng trình
IV Hoạt động 4: Hớng dẫn nhà. Xem kĩ va luyn
Làm tập sau:
Bài tập 1: Giải phơng trình
Bài tập 2: Giải phơng trình
(31)c
kết luận kiến nghị: -1, Kết luận:
Trên số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ mà áp dụng giảng dạy thực tế trờng THCS cho học sinh đại trà nh q trình ơn luyện , bồi dỡng học sinh giỏi Tôi đồng nghiệp thu đợc kết sau :
+ Häc sinh tiếp thu nhanh dễ hiểu hơn, hứng thú tích cực học tập yêu thích môn to¸n
+ Học sinh tránh đợc sai sót bản, có kĩ vận dụng thành thạo nh phát huy đợc tính tích cực học sinh
Tuy nhiên để đạt đợc kết nh mong muốn , đòi hỏi ngời giáo viên cần hệ thống, phân loại tập thành dạng, giáo viên xây dựng từ kiến thức cũ đến kiến thức từ cụ thể đến tổng quát, từ dễ đến khó phức tạp ,phù hợp với trình độ nhận thức học sinh
Ngời thầy cần phát huy trọng tính chủ động tích cực sáng tạo học sinh từ em có nhìn nhận bao qt, tồn diện định hớng giải toán đắn Làm đợc nh góp phần nâng cao chất lợng giáo dục nhà trờng
2, KiÕn nghÞ:
Để đề tài tiếp tục đợc ứng dụng vào công tác giảng dạy năm học tiếp theo, mong ban giám hiệu trờng THCS Bảo Khê tiếp tục tạo điều kiện Trong đề tài chắn không tránh khỏi hạn chế định Vậy mong đợc giúp đỡ nh góp ý thầy ,cơ giáo cho tơi để tơi rút kinh nghiệm q trình giảng dạy năm học sau
Để hoàn thành đề tài việc tự nghiên cứu tài liệu, qua thực tế giảng dạy tơi cịn nhận đợc giúp đỡ đồng nghiệp emhọc sinh lớp trờng THCS Bảo Khê giúp tơi hồn thnh sỏng kin ny
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Bảo Khê, ngày 25 tháng năm 2012
Ngời thực hiƯn:
(32)Ngun Minh Đức
D tài liệu tham khảo - SGK Toán 7-Nhà xuất GD 2003
- SGK Đại số 9-Nhà xuất GD
- Mt s phát triển Đại số 9-Nhà xuất GD 2001 - Toán bồi dỡng Đại số - Nhà xuất GD 2002
- Toán nâng cao chuyên đề Đại số 9- Nhà xuất GD 1995 - Để học tốt Đại số - Nhà xuất GD 1999
- Phơng trình hệ phơng trình không mẫu mực - Nhà xuất GD 2002 - 23 chuyên đề toán sơ cấp - Nhà xuất trẻ 2000
- Những đề thi tài liệu khác có liên quan
Xác nhận đánh giá
(33)