[r]
(1)Phòng GD-ĐT việt yên THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN n¡M häc 2011-2012
Mơn: TỐN 8
(Thêi gian lµm bµi : 120 phót)
Bài (4 điểm)
Cho biểu thức: A = (x
2
+y)(y+1
4)+x
2
y2+3
4(y+ 3) x2y2+1+(x2− y)(1− y)
a) Chứng minh giá trị A khơng phụ thuộc vào x. b) Tìm giá trị nhỏ A?
Bài (4 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử
x1 x2 x3 x4 24
b) Tìm a b để đa thức x4 + x3 + ax2 + 4x + b chia hết cho x2 - 2x +
Bài (6 điểm) Cho tam giác ABC, gọi M trung điểm BC Một góc xMy bằng 600 quay quanh điểm M cho cạnh Mx, My cắt cạnh AB AC lần l -ợt D E Chứng minh:
a) BD.CE= BC2
4 .
b) DM, EM lần lợt tia phân giác góc BDE CED. c) Chu vi tam giác ADE không đổi.
Bài (4điểm)
1 Tỡm nghim nguyờn ca phương trình xy +y = x3 + x2 +
2 Giải phương trình
1 1 2.2011
1 1
1.3 2.4 3.5 x x 2012
Bµi (2 ®iÓm) Cho
4 1
x y
a b a b vµ x2+y2=1 Chøng minh r»ng:
2012 2012
1006 1006 1006
2
( )
x y
a b a b
Phòng GD-ĐT việt yên HNG DN CHM HC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2011-2012
(2)a x2y2 + + (x2 – y)(1 – y) = x2y2 + + x2 – x2y – y + y2
= x2(y2 – y + 1) +(y2 – y + 1) = (x2 + 1)(y2 – y + 1)
(x2 + 1)[
2
1
( )
2
y
] > với x,y
2 2
( )( ) ( )
4
x y y x y y
= x2y +
2
4 x
+ y2 +4
y
+ x2y2 +
3 y +
= x2(y2 + y +
4 ) + (y2 + y +
4 ) = (x2 + 1)(y2 + y + )
Rút gọn A = y
2
+y+1
4 y2− y+1
Chứng tỏ A không phụ thuộc x
b) A =
y+1
2¿
2
¿ y −1
2¿ +3 ¿ ¿ ¿ ¿
, với y
Dấu “ =” xảy ⇔ y = -1/2
Vây GTNN A y = -1/2
Bài (4 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử
x1 x2 x3 x4 24
5 24
x x x x
=
2
5 5 24
x x x x
x2 5x 52 52
=
2 5 5 10
x x x x
b Bài phần đề Hiền HN (2011-2012)
1
x4 + x3 + ax2 + 4x + b
§Ĩ x4 + x3 + ax2 + 4x + b chia hÕt cho x2– 2x+ th×
(2a +6)x + b - 2(a +4) =
2a a a
b 2(a 4) b 2( 4) b
Vậy a = -3; b = giá trị cần tìm Bài (6 điểm)
H K I E D M B C A x2–2x+ 2 x2+ 3x + a + 4 x4–2x3+
2x2
3x3+( a – 2)x2 +4x+b
3x3 – 6x2 + 6x ( a +4)x2 – 2x + b
– –
( a +4)x2 – 2( a +4)x + 2( a +4)
–
(3)a Trong tam gi¸c BDM ta cã : ^D
1=1200−M^1
V× ^M
2 =600 nªn ta cã : ^M3=1200−^M1
Suy ^D1=^M3
Chøng minh ΔBMD ΔCEM (1) Suy BD
BM= CM
CE , từ ú BD.CE=BM.CM
Vì BM=CM= BC
2 , nên ta cã BD.CE= BC
2
4
b Tõ (1) suy BD
CM= MD
EM mà BM=CM nên ta có
BD
BM= MD EM
Chøng minh ΔBMD ΔMED (c.g.c)
Từ suy ^D1=^D2 , DM tia phân giác góc BDE Chứng minh tơng tự ta có EM tia phân giác góc CED
c Kẻ MI, MK, MH theo thứ tự vng góc với AB, DE, AC Suy AI, AH không đổi Chứng minh DI = DK, EK = EH
Chứng minh chu vi tam giác ADE AI + AH khơng đổi
Bµi (4®iĨm)
a) xy +y = x3 + x2 +
y(x+1) = x2(x+1) +7 (x+1)(y - x2) =7
Do x, y nguyên nên x+1 y- x2 ước Hay x+1 y-x2 Ư(7) ={ 1;-1;7;-7}
Ta có bảng giá trị tương ứng x+1,y-x2
v i x , y nh sau:ớ ư
x+1 -1 -7
y-x2 7 1 -7 -1
x -2 -8
y 37 -3 63
Vậy cặp số (x;y) thỏa mãn pt (0;7); (6;37); (-2;-3); (-8;63) b Ta có:
2
2 1
1
1
2 2
x x x
x x x x x x
Vậy:
1 1 2.2011
1 1
1.3 2.4 3.5 x x 2012
3 2
x
y
E
D
M C
B
(4)
2
2 2 1
2 2.2011
1.3 2.4 3.5 2012
x x x
2 2.2011
2 2012
x x
1 2011 2012 x
x
x= 2010
Bài 5: (2điểm)
Ta cã:
4 1
x y
a b a b
4 ( 2 2)
x y x y a b a b
( v× x2+y2=1)
(a+b)(bx4 + ay4)=ab(x2 +y2)2 Nhân hai vế thu gọn ta đợc
(ay2 - bx2)2 =
ay2 = bx2
2
x y a b
¸p dơng tÝnh chÊt tØ lƯ thøc ta cã
2 2 1
x y x y
a b a b a b
2 1
x y
a b a b
2012
1006 1006
1
( )
x
a a b vµ
2012
1006 1006
1
( )
y
b a b
VËy:
2012 2012
1006 1006 1006
2
( )
x y
(5)