ĐỀ THI HSG TOÁN 8

Tia Bx vuông góc với AC. Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm I đến AC không đổi khi B di chuyển trên AC. Tính giá trị đó. Bài 3: Cho hình vuông ABCD. Trên c[r]

Đề 1:

NGUYỄN GIA THIỀU 2000 – 2001 Bài 1:

1) Phân tích đa thức thành nhân tử: 3 3

a +b + −c abc

2) Tìm giá trị lớn biểu thức: 2

A= − −x y +xy x y+ +

3) Giải phương trình: 3 3 4 5 6 0

x + x + x− =

4) Giải bất phương trình: 2

x x

− >

+

Bài 2: Cho đoạn thẳng AC = m Lấy điểm B thuộc đoạn AC không trùng A C Tia Bx vng góc với AC Trên tia Bx lấy điểm D E cho BD = BA, BE = BC

1) Chứng minh CD = AE CD AE⊥

2) Gọi M, N trung điểm AE, CD Gọi I trung điểm MN Chứng minh khoảng cách từ điểm I đến AC không đổi B di chuyển AC

3) Tìm vị trí điểm B đoạn AC cho tổng diện tích hai tam giác ABE BCD có giá trị lớn Tính giá trị

Bài 3: Cho hình vuông ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M Vẽ BH vng góc với CM Nối DH Vẽ HN vng góc với DH ( N thuộc BC)

1) Chứng minh tam giác DHC đồng dạng với tam giác NHB 2) Chứng minh AM.NB = NC.MB

Đề

NGUYỄN GIA THIỀU 2000 – 2001 Bài 1:

1) Tính giá trị biểu thức:

3 2

25

:

10 25

x y

x x y y

− −

− + − −

Biến 9 4 2 3

x + y − xy = xy x− −

2) Giải phương trình: 2 3 3 2 2 2 0

x + x + x− =

Bài 2:

1) Chứng minh rằng: 2 3 3 3 0

x +xy y + − x − y+ ≥

2) Chứng minh rằng: (a b c a b c + − )( − + )(− + +a b c )≤abc với a, b, c độ dài ba

cạnh tam giác

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N trung điểm BC AD Gọi K điểm nằm C D Gọi P Q theo thứ tự điểm đối xứng K qua tâm M N

1) Chứng minh Q, A, B, P thẳng hàng

2) Gọi G giao điểm PN QN Chứng minh GK qua điểm I cố định thay đổi đoạn CD

1) Tam giác FHE đồng dạng với tam giác BHC

2) H giao điểm đường phân giác tam giác DEF Đề

NGUYỄN DU QUẬN GÒ VẤP 2000 – 2001 Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

1) 3 2 2

3 3

x − y + y−

2) 5 8 4

x − x + x−

Bài 2: Tìm x, y, z thỏa mãn: 4 2 2 12 4 14

x + y +z = x + y − z−

Bài 3: Cho biểu thức:

2

2

1

:

1 1

x x x x

A x

x x x x x x

+ + −

⎛ ⎞

=⎜ + − ⎟ + − +

− + − +

⎝ ⎠

1) Rút gọn biểu thức A

2) Tìm điều kiện x để A có giá trị âm

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A Về phía ngồi tam giác, ta vẽ hình vuông ABDE ACGH

1) Chứng tỏ tứ giác BCHE hình thang cân

2) Kẻ đường cao AI tam giác ABC Chứng tỏ đường thẳng AI, DE, GH đồng qui

Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ BH vng góc với AC H Gọi M, K trung điểm AH CD Chứng minh BM MK⊥

Đề

NGUYỄN DU QUẬN NHẤT 2000 – 2001 Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

1) 2

ab ac b + + + bc c+

2) 2 2 3

x + x −

3) (x −2 )(x −3 )(x −4 )(x− + 1)

Bài 2: Rút gọn tính giá trị biểu thức với x + y = 2001

( ) ( ) ( )

( ) ( 2)

x x y y xy

A

x x y y xy

+ + + + −

=

+ + + +

Bài 3: Thực phép tính:

(b c c a a b )( ) (c a a b b c )( ) (a b b cc a)( )

+ + +

+ +

− − − − − −

Bài 4: Cho a b c+ + = 1 1

a b c+ + = Chứng minh

2 2 1

a +b +c =

Bài 5: Với sợi dây , em nêu cách kiểm tra xem gỗ hình tứ giác có dạng hình chữ nhật

Bài 6: Cho hình thang ABCD (AB//CD) điểm M nằm tứ giác ABCD, vẽ hình bình hành MDPA, MCQB Chứng minh PQ song song CD

HOA LƯ 2000 – 2001 Bài 1: Cho x, y, z ba số khác thỏa mãn

2002 1 1 2002

x y z

x y z

+ + = ⎧

⎪

⎨ + + = ⎪⎩

Chứng minh ba số x, y, z tồn hai số đối Bài 2: Cho a, b, c ba số thỏa điều kiện: 2 2 20

14

a b c

a b c

+ + = ⎧

⎨ + + =

⎩ Hãy tính giá trị biểu thức: 1 4

A= +a +b + c

Bài 3: Tìm ba số x, y, z cho: 5 4 10 22 26 0

x + y − xy + x − + + + +x y z =

Bài 4: Chứng minh bất đẳng thức sau: 1) ( 2 )( )

1

a +b a + ≥ a b với a, b

2) 1

a b + ≥ a b+ với a, b >

3) 1 1 1

3 3 2

a + b b + + c c + + a ≥ a + b c b + + + c a c + + + a b+

với a, b, c >

Bài 5: Cho tứ giác lồi ABCD Trên hai cạnh AB CD ta lấy hai điểm E F cho: AE CF

BE = DF Chứng minh đường chéo qua trung điểm I đoạn thẳng EF

thì AC chia đơi diện tích tứ giác ABCD Đề

QUẬN 9, 2000 – 2001 Bài 1: Phân tích thành nhân tử:

1)

3 x −2 1x−

2) 6 2 11 6

x + x + x+

Bài 2:

1) Giải phương trình:

( )

2

0

2

x

x x x x

+ + − =

− −

2) Giải bất phương trình sau: 2

x x

+ <

−

Bài 3: Chứng minh xyz = thì: 1 1 + +x xy +1 + +y yz +1+ +z xz =

Bài 4:

1) Với số hữu tỉ a, b chứng minh rằng: 3 0

a +a b ab + +b ≥

2) Cho 2

7 x +8 xy +7 y =10 Tìm giá trị lớn nhỏ x2 +y2

Bài 6: Cho tam giác ABC Trên cạnh BC, CA AB lấy điểm M, N, P Lần lượt đặt diện tích tam giác ANP, MPB, MNC, ABC S S S S 1 , , ,2 3

1) Chứng minh:

S AN AP

S = AC AB

2) Chứng minh S1 S2 S3

64

S S S ≤ S

Đề

NGUYỄN GIA THIỀU 2001 – 2002 Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

1) 3 3

a − + +b c abc

2) ( 2 )( 3 )( 6 4)

a + a + a + +a + a

Bài 2: Giải phương trình: 1) 2 4 2 2 0

x − x +x − x+ =

2) 2 2 2

5 15 13 40

x − x + + x − x + + x − x+ =

Bài 3:

1) Chứng minh bất đẳng thức: 2 2

a +b +c +d +e ≥ab ac ad ae+ + +

2) Tìm giá trị nhỏ

A=x + giá trị tương ứng x x

3) Tìm giá trị lớn

2

1

x x

B x

+ =

+ giá trị tương ứng x

Bài 4: Cho tam giác ABC cân C Kẻ đường phân giác AA1 góc A đường trung

tuyến CC1 tam giác Biết AA1 = 2CC1 Tính số đo góc nACB

Bài 5: Cho tứ giác ABCD có AC = 10cm, BD = 12cm Hai đường chéo AC BD cắt O, biết góc n 30o

AOB = Tính diện tích tứ giác ABCD

Bài 6: Trên hai cạnh AB BC hình vng ABCD lấy hai điểm P Q theo thứ tự cho BP = BQ Gọi H chân đường vuông góc kẻ từ B xuống CP Chứng minh

n 90o

DHQ =

Đề

HOA LƯ 2001 – 2002 Bài 1: Tính giá trị biểu thức A x y

x y

− =

+ biết rằng: ( )

2

2 0,

x − y =xy x ≠ x y+ ≠

Bài 2: Giải phương trình: 2 2 1

x− x − = −m x với m tham số

Bài 3: Cho a, b hai số thỏa mãn:

2

2

2

4

b a

a

+ + = Chứng minh ab ≥ − Dấu đẳng thức xảy nào?

Bài 4:

2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 3 3 2 2 1

P=x + x + x + x+

Bài 5: Cho tam giác ABC, gọi D điểm thuộc cạnh BC Chứng minh

2 2 .

AB CD AC BD AD BC CD DB DC+ − = ( hệ thức Stewart)

- Nếu D trung điểm BC, tìm hệ thức liên hệ trung tuyến cạnh tam giác

- Nếu AD phân giác góc A, tìm hệ thức liên hệ phân giác cạnh tam giác

Đề

NGUYỂN DU QUẬN NHẤT 2001 – 2002 Bài 1: Cho 1 1

x + + = Tính y z 2

yz xz xy

x + y + z

Bài 2: Giải phương trình: 1) 2 2 0

x + x − − = x

2) 2

4

x x

x x x x

+ + − =

− − − −

Bài 3:

1) Chứng minh bất đẳng thức: 2

a +b +c ≥ab ac bc+ +

2) Cho a, b, c ba số dương Chứng minh: a b c 1

bc ac ab + + ≥ + + a b c

Bài 4: Cho tam giác ABC có trung tuyến AD BE vng góc O Cho AC = b, BC = a Tính diện tích hình vng cạnh AB

- Đề 10

HOÀNG HOA THÁM 2001 – 2002 Bài 1: Giải phương trình bất phương trình sau:

1) x − + − = x 2) ( 2 )( )

2

x x

x x

− −

≤

+ +

Bài 2: Chứng minh rằng:

1) 4 2 14 12 4

x + y +z + ≥ x + y + z với x, y, z

2) Với a, b, c ba số dương: bc ac ab a b c a + b + c ≥ + +

Bài 3:

1) Tìm giá trị nhỏ 3

y x = + + x

2) Tìm giá trị lớn y = − x − +

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A có độ dài cạnh huyền (đơn vị độ dài).Gọi AM, BN CP trung tuyến tam giác

1) Tính: 2

2) Chứng minh < AM BN CP+ + <

Bài 5: Cho tam giác ABC Trên tia đối tia BA CA lấy hai điểm di động M N cho BM = CN Gọi I trung điểm NM Điểm I di động đường nào?

Đề 11

QUẬN 9, 2001 – 2002 Bài 1:

1) Phân tích đa thức thành nhân tử: 10 16

x − x+

2) Tìm giá trị nguyên x để A B# Biết

10 5,

A= x − x − B = x−

Bài 2:

1) Giải bất phương trình sau: 1

m x + < − m x

2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2 x x

A

x

− +

= với x khác 3) Tìm giá trị lớn lớn 2

5

x B

x

+ =

+

Bài 3: Cho tứ giác ABC Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD DA 1) Chứng minh

2

AB CD

NQ ≤ +

2) Trong trường hợp

2

AB CD

NQ= + tứ giác ABCD hình gì? Trong trường hợp

này, vẽ đường thẳng song song với AB cắt AD E, cắt MP O cắt BC F Chứng minh O trung điểm EF

Bài 4: Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC lấy điểm M Gọi P giao điểm hai đường thẳng AM CD Chứng minh rằng: 2 2 12

AB = AM + AP

Đề 12

QUẬN NHÁT, 2001 – 2002 Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

1) 2

4 x −9 y +4 x −6y

2) 2001.2002

x − −x

Bài 2: Cho ba số a, b, c thỏa mãn a b c+ + = Chứng minh rằng: 2 0

a +a c abc b c b− + + =

Bài 3: Chứng minh: (x +1 )(x +2 )(x +3 )(x+4 0)+ ≥ với giá x Bài 4: Rút gọn tính giá trị biểu thức:

2

4 4

x x

x x x

+ +

+ − − với x = 2002 Bài 5:

1) Cho tứ giác ABCD Gọi E, F trung điểm AD BC Tìm điều kiện tứ giác để

2

AB CD

2) Gọi M, N, P Q theo thứ tự trung điểm DF, EB, AF EC Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành

Đề 13

QUẬN 10, 2001 – 2002 Bài 1: Giải phương trình

1) x

x

+ = 2) x

x

+ =

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức 3 2 2 1

A= x + x+ giá trị lớn biểu

thức:

B x x= −

Bài 3:

1) Chứng minh rằng: ( 11 6 6)

a + a − a − # với a∈]

2) Chứng minh tổng lập phương ba số nguyên liên tiếp chia hết cho Bài 4: Chứng minh bất đẳng thức sau:

1) 12

9

ab a b

ab

+ ≥

+ với a > 0; b >

2) (a b c b c a a c b + − )( + − )( + − )≤abc với a, b, c số đo ba cạnh tam giác

Bài 5: Cho tam giác ABC, vẽ đường phân giác AH Gọi I trung điểm AB, đường thẳng vng góc với AB I cắt AH O Dựng M điểm cho O trung điểm AM

1) Chứng minh tứ giác IOMB hình thang vng

2) Gọi K trung điểm OM Chứng minh tam giác IKB cân 3) Chứng minh tứ giác AIKC có tổng góc đối 180o

Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn, kẻ ba đường cao AD, BE CF Chứng minh: 1) nAEF =nABC

2) EB phân giác nFED

Đề 14

NGUYỂN DU QUẬN NHẤT, 2002 – 2003

Bài 1: Cho a b hai số dương Chứng minh rằng:

1 ab

a b

≤ + Bài 2: Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức:

2

1

x x

P

x x

+ + =

− + Bài 3: Giải phương trình:

2

5

x x

x x

+ − =

+ + Bài 4: Cho biểu thức

3

2 2

n n

A

n n n

+ −

=

+ + +

2) Tìm tất số tự nhiên n để A nhận giá trị ngun

Bài 5: Cho hình vng ABCD cạnh a, lấy điểm I cạnh AB Đường thẳng DI cắt đường thẳng BC E Đường thẳng CI cắt đường thẳng AE M cắt đường thẳng AD P Đường thẳng BM cắt AP K Đặt AI = x BM cắt DE P

1) Tính BE AP theo a x 2) Suy AK = AI

3) Chứng minh DF BF⊥

Đề 15

QUẬN NHẤT, 2002 – 2003 Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

1)

6

x + x+

2) ( )( )

1 12

x − +x x − +x −

Bài 2:

1) Cho x+ + = Chứng minh: y z x3 + y 3 +z 3 =3xyz

2) Rút gọn phân thức:

( ) ( ) ( )

3 3

2 2

3

x y z xyz

x y y z z x

+ + −

− + − + −

Bài 3: Cho x, y, z độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh:

( )2

2 2 2

4

A = x y − x +y −z >

Bài 4: Tìm số dư phép chia biểu thức

(x +1 )(x +3 )(x +5 )(x+7 2002)+ cho x 2 +8 12x+

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A ( AC > AB), đường cao AH Trên tia HC lấy HD = HA Đường vng góc với BC D cắt AC E

1) Chứng minh AE = AB

2) Gọi M trung điểm BE Tính góc nAHM