Trong phân môn đại số - chương trình toán các lớp 7,8,9 THCS số tiết về dạy học các bài toán rút gọn biểu thức đại số đã chiếm một vị trí quan trọng, làm nền tảng để phát triển khả nă[r]
(1)KHOA TOÁN TIN
……
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC VỀ NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM
Tên đề tài:
“RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ”
Người hướng dẫn : ThS Phạm Hoàng Hà
Cán giảng viên khoa Toán –Tin, ĐHSP Hà Nội Người thực : Trần Văn Trung
Số báo danh, ngày sinh : 29-03-1980
Trường: PTDTBTTH THCS Trạm Tấu
(2)MỤC LỤC
TT Nội dung Trang
1 PHẦN I: MỞ ĐẦU 4
2 1. Lý chọn đề tài
3 1.1 Lý khách quan
4 1.2 Lý chủ quan
5 Mục đích nghiên cứu
6 Nhiệm vụ nghiên cứu
7 Phạm vi đối tượng nghiên cứu
8 Phương pháp nghiên cứu
9 PHẦN II: NỘI DUNG 7
10 Chương 1: Cơ sở lý luận thực tiễn
11 Cơ sở lý luận
12 Cơ sở thực tiễn
13 Mục đích, yêu cầu, chuẩn kiến thức, kỹ
14 Thực trạng 10
15 Chương 2: Các giải pháp 11
16 I Lý thuyết áp dụng 11
17 II Các biện pháp để thực 12
18 Chương 3: Thực nghiệm sư phạm 41
19 Mục đích thực nghiệm 41
20 Nội dung thực nghiệm 41
21 Kết thực nghiệm 49
22 PHẦN III: KẾT LUẬN 50
(3)CÁC TỪ VÀ CỤM TỪ ĐƯỢC VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI GDTHCS: Giáo dục trung học sở
2 THCS: Trung học sở THPT: Trung học phổ thông
4 GV: Giáo viên
5 HS: Học sinh
6 BGDĐT: Bộ Giáo dục Đào tạo
7 SGK: Sách giáo khoa
8 SGV: Sách giáo viên
9 SBT: Sách tập
10 KHTN: Khoa học tự nhiên
(4)PHẦN I: MỞ ĐẦU
1 Lý chọn đề tài
1.1 Lý khách quan:
Như biết giáo dục nói chung giáo dục bậc THCS nói riêng nhằm giúp học sinh hình thành sở ban đầu cho phát triển đắn lâu dài đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ kĩ để học sinh tiếp tục học lên Mục tiêu giáo dục giai đoạn phải đào tạo người có trí tuệ phát triển, giầu tính sáng tạo có tính nhân văn cao Để đào tạo lớp người Bộ giáo dục xác định ''Phải áp dụng phương
pháp dạy học bồi dưỡng cho học sinh lực tư sáng tạo, năng lực giải vấn đề" tiếp tục khẳng định "Phải đổi giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện thành nếp tư sáng tạo của người học, bước áp dụng phương pháp tiên tiến, phương tiện đại vào trình dạy học, dành thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh''
Mơn tốn mơn học chiếm vị trí quan trọng then chốt nội dung chương trình mơn học bậc THCS Các kiến thức kĩ mơn tốn THCS có nhiều ứng dụng đời sống, chúng cần cho người lao động, cần thiết để học môn học khác THCS lớp Môn toán giúp học sinh nhận biết mối quan hệ số lượng hình dạng khơng gian giới thực Nhờ mà học sinh có phương pháp nhận thức số mặt giới xung quanh biết cách hoạt động có hiệu đời sống Mơn tốn góp phần quan trọng việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp giải vấn đề góp phần phát triển trí thơng minh, cách suy nghĩ độc lập, linh hoạt, sáng tạo, giúp vào việc hình thành phẩm chất cần thiết quan trọng người lao động như: cần cù, cẩn thận, có ý chí vượt khó khăn, làm việc có kế hoạch, có nề nếp tác phong khoa học.Q trình học mơn tốn phải nhằm mục đích đào tạo người mà xã hội cần Đất nước ta bước vào kỉ ngun khoa học thơng tin, địi hỏi phải đầu tư suy nghĩ để tìm biện pháp tốt làm cho học sinh nắm vững tri thức tốn phổ thơng, thiết thực có kĩ thực hành tốn, giúp cho học sinh phát triển lực tư lôgic, khả diễn đạt xác ý tưởng mình, khả tưởng tượng bước đầu hình thành nhân cách qua học mơn tốn Hình thành học sinh phẩm chất đạo đức có lực cần thiết giáo dục đề
(5)Phạm Văn Đồng nói: “Tốn học mơn thể thao trí tuệ giúp cho rèn luyện tính thơng minh sáng tạo” Do trang bị cho học sinh kiến thức tốn học khơng gồm khái niệm, định nghĩa, quy tắc, tổng quan, … Mà phải trang bị cho học sinh kĩ phương pháp giải tập, vận dụng toán học vào thực tế sống Bắt đầu từ năm lớp 7, học sinh làm quen với loại toán rút gọn biểu thức, loại toán tiếp tục dạy kĩ lớp 8, lớp Nó có mặt hầu hết đề thi học kì, thi học sinh giỏi, thi tốt nghiệp, tuyển sinh vào trường THPT
1.2 Lý chủ quan:
Đại số mơn đặc biệt tốn học Nếu sâu vào nghiên cứu môn đại số hẳn chứng kiến “Cái khơng gian ba chiều” lí thú mà khơng vơi cạn Rút gọn biểu thức đại số nội dung quan trọng chương trình tốn trường THCS Việc rút gọn biểu thức đại số không đơn giản biến đổi thơng thường mà địi hỏi hiểu biết lơ gic cách giải tốn có yếu tố sáng tạo; có ý nghĩa việc rèn luyện óc phân tích biểu thị tốn học mối liên quan đại lượng thực tiễn Trong phân mơn đại số - chương trình tốn lớp 7,8,9 THCS số tiết dạy học toán rút gọn biểu thức đại số chiếm vị trí quan trọng, làm tảng để phát triển khả tốn
Về hai phía giáo viên học sinh có khó khăn dạy học kiểu Đây vấn đề quan trọng thiết Lâu tìm kiếm phương pháp dạy học sinh giải toán rút gọn đạt hiệu Các tài liệu, sách tham khảo, sách hướng dẫn cho giáo viên chưa có sách đề cập đến phương pháp dạy kiểu Có gợi ý chung sơ lược Đặc biệt nhiều học sinh thường xem nhẹ việc rút gọn biểu thức đại số vơ tình qn ứng dụng quan trọng chìa khóa, tảng để giải vấn đề toán học trường THCS
Một số em chưa biết cách giải loại toán này, mà ta gọi phương pháp Đi theo kết tốn rút gọn biểu thức có dạng tốn: Giải phương trình, bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức, tìm giá trị biến x để biểu thức nhận giá trị nguyên …Vì vậy, phần mà không rút gọn biểu thức học sinh khơng thực bước cần có kết rút gọn biểu thức
(6)vậy giáo viên trực tiếp giảng dạy mơn tốn cần có giải pháp tích cực để nâng cao chất lượng giảng dạy phần rút gọn biểu thức đại số
Trước tình hình trên, thân Tơi giáo viên tốn cấp THCS, trăn trở nhiều vấn đề Với đề tài Tơi khơng có tham vọng lớn để bàn vấn đề: “Giải toán” trường phổ thông Tôi xin đề xuất một vài ý kiến phương pháp dạy kiểu “Rút gọn biểu thức đại số" học sinh lớp 8,9 THCS mà Tôi áp dụng thành công
2 Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu rút gọn biểu thức vấn đề phân
môn đại số, nhằm giúp cho học sinh hiểu rõ phương pháp tiếp cận cách giải
toán rút gọn biểu thức Trên sở phát khó khăn đồng thời đề
những giải pháp thực đạt hiệu cao việc giảng dạy học tập trường PTDTBTTH THCS Trạm Tấu (huyện Trạm Tấu, tỉnh Yên Bái)
3 Nhiệm vụ nghiên cứu
- Điều tra sơ việc dạy học đồng nghiệp, em học sinh
trường PT DTBTTH THCS Trạm Tấu (huyện Trạm Tấu, tỉnh Yên Bái việc dạy học "Rút gọn biểu thức đại số".)
- Phát khó khăn, vướng mắc q trình dạy học
- Từ đề xuất số biện pháp nhằm nâng cao chất lượng dạy học
rút gọn biểu thức đại số
- Thực nghiệm giải pháp trường đánh giá kết đạt
4 Phạm vi đối tượng nghiên cứu
- Đối tượng: Học sinh khối 8,9 đặc biệt học sinh giỏi khối
- Giới hạn kiến thức: Chương trình đại số lớp 7, 8, trường THCS
5 Phương pháp nghiên cứu
Trong trình nghiên cứu để tìm phương pháp dạy có hiệu rút
gọn biểu thức đại số Tôi sử dụng phương pháp sau:
- Phương pháp điều tra, vấn: Nghiên cứu nắm tình hình lớp,
từng học sinh để có phương pháp dạy học thích hợp
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu mục tiêu dạy học môn
(7)- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Xây dựng kế hoạch dạy học, chuẩn
bị kĩ cho tiết lên lớp, tiến hành dạy,thực kiểm tra đánh giá từ nắm tình hình học tập học sinh để từ điều chỉnh trình dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi, giúp đỡ học sinh yếu Tham khảo tài liệu đồng nghiệp, dự số lớp học, tham khảo ý kiến đồng nghiệp; thu thập tư liệu cho dạy tranh ảnh, tốn, đố vui, trị chơi, sách báo có liên quan…
PHẦN II: NỘI DUNG
Chương 1: Cơ sở lý luận thực tiễn 1 Cơ sở lý luận:
- Căn Luật Giáo dục, Điều 27 Mục tiêu giáo dục phổ thông: Điều 27 Mục tiêu giáo dục phổ thông, cụ thể sau:
Mục tiêu giáo dục phổ thông giúp học sinh phát triển tồn diện đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ kỹ bản, phát triển lực cá nhân, tính động sáng tạo, hình thành nhân cách người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên vào sống lao động, tham gia xây dựng bảo vệ Tổ quốc
- Xuất phát từ mục tiêu chung giáo dục trung học sở:
Giáo dục THCS nhằm giúp học sinh củng cố phát triển kết
của Tiểu học, có trình độ học vấn phổ thơng sở hiểu biết ban đầu kĩ thuật hướng nghiệp học nghề vào sống lao động
- Học hết chương trình THCS học sinh đạt yêu cầu sau:
+ Yêu nước, hiểu biết, có niềm tin vào lý tưởng độc lập dân tộc vào chủ
nghĩa xã hội
+ Có kiến thức phổ thơng bản, tính giản, thiết thực, cập nhật làm
(8)+ Có kỹ bước đầu vận dụng vào kiến thức kinh nghiệm thu
được thân
+ Hình thành phát triển lực chủ yếu
- Xuất phát từ mục tiêu mơn tốn trung học sở: Đào tạo người mà
xã hội cần:
+ Làm cho học sinh nắm vững tri thức tốn phổ thơng thiết thực
+ Có kĩ thực hành tốn
+ Hình thành học sinh phẩm chất đạo đức kĩ cần thiết
như mục tiêu giáo dục THCS đề Ngoài việc cung cấp cho học sinh số kiến thức Toán dạy cho học sinh biết tính tốn, mục tiêu mơn Tốn đề cập đến phương pháp, kĩ phát triển lực trí tuệ học sinh phẩm chất đạo đức
- Căn Chỉ thị 3398/CT-BGDĐT, ngày 12/8/2011 Bộ GD&ĐT
nhiệm vụ trọng tâm giáo dục mầm non, giáo dục phổ thông, giáo dục thường
xuyên giáo dục chuyên nghiệp năm học 2011 - 2012;
- Căn Công văn số 5358/BGDĐT-GDTrH, ngày 12/8/2011 Bộ
GD&ĐT hướng dẫn nhiệm vụ giáo dục trung học 2 Cơ sở thực tiễn:
2.1 Nội dung rút gọn biểu thức đại số
a) Khái niệm biểu thức đại số:
- Ở lớp 5, lớp học sinh biết đến khái niệm biểu thức: Các số
được nối với dấu phép tính (cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa) làm thành biểu thức
Ví dụ: 5+3-2 ; 12:6.2 ; 153.47 ; 4.32- 5.6 ; 13.(3+4) ;… biểu thức Những biểu thức gọi biểu thức số
- Khái niệm biểu thức đại số lớp 7: Trong toán học, vật lý…ta thường
(9)Ví dụ: Các biểu thức: 4x ; 2.(5+a) ; 3.(x+y) ; x2 ; xy ; 150 t ;
1 0,
x ; …
những biểu thức đại số
b) Các mạch kiến thức có liên quan đến việc rút gọn biểu thức đại số chương trình tốn THCS:
* Ở lớp 7: Đơn thức -> Đơn thức đồng dạng (cộng, trừ đơn thức đồng dạng) -> Đa thức (cộng, trừ đa thức; đa thức biến cộng, trừ đa thức biến)
* Ở lớp 8: Cóhẳn chương phân thức đại số, bao gồm: Phân thức đại
số-> tính chất phân thức-> Rút gọn phân thức-> Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức-> Phép cộng, trừ phân thức đại số-> Phép nhân, chia phân thức đại số-> Biến đổi biểu thức hữu tỉ (tìm giá trị phân thức) Giáo viên cần ý đến vấn đề sau:
3 Yêu cầu chuẩn kiến thức, kỹ
- Trên vành số ngun có hai phép tốn: cộng nhân Đối với phép
cộng, nhóm aben Do với phép trừ biết hai số nguyên a b ta
tìm số nguyên x cho b+x = a; x gọi hiệu a b
kí hiệu x=a-b Phép tìm hiệu gọi phép trừ Trong đó, biết hai số
nguyên a b, b ≠ 0, ta tìm số nguyên x
cho bx= a Nói cách khác, vành số nguyên chưa có phép chia cho số khác Để tìm tập hợp số chia cho số khác ta mở rộng vành số nguyên thành trường số hữu tỉ Ở số nguyên a
đồng với số hữu tỉ dạng
1 a
a ≠0 có số hữu tỉ
a, ký hiệu a
-1, gọi
là nghịch đảo a, mà a.a-1= a
.1
a =1 Nhờ khái niệm này, với hai số nguyên
tùy ý a b, b ≠ 0, ta có:
a:b =
1 a :
1 b
=
1 a
.(
1 b
)-1 = a
.1 b =
a b
Bây với hai số nguyên a b tùy ý, b ≠ 0, ta tìm số hữu tỷ x
sao cho bx = a Đó
x = a.b-1 =
1 a
.(
1 b
)-1 =
1 a
.1 b =
(10)- Đối với tập đa thức trường số, tình hình tương tự Đối với
phép cộng nhóm aben Do có phép trừ đa thức Phép nhân đa thức có tính chất giao hốn, kết hợp phân phối phép cộng Vì tập đa thức trường số có cấu trúc vành Song với hai đa thức tùy ý A B, B ≠ 0, tìm đa thức C để A= BC Nên ta lại phải mở rộng vành thành trường phân thức hữu tỉ phương pháp tương tự mở rộng vành số nguyên thành trường số hữu tỉ Vì việc cốt lõi yêu cầu giáo viên phải cho học sinh nắm được: Định nghĩa khái niệm phân thức đại số khái niệm phân thức đại số nhau; định nghĩa phép cộng phép nhân phân thức, định nghĩa phân thức đối, phân thức nghịch đảo từ định nghĩa phép trừ phép chia phân thức
4 Thực trạng:
- Việc dạy học giáo viên học sinh thực tiễn địa phương
là học sinh miền núi, trình độ nhận thức chậm, chưa nỗ lực học tập Đa số em sử dụng loại sách tập có đáp án hướng dẫn giải để tham khảo, nên gặp tập có dạng khác em thường lúng túng chưa tìm hướng giải thích hợp, sử dụng phương pháp trước, phương pháp sau, phương pháp phù hợp nhất, hướng tốt
- Giáo viên chưa thật đổi phương pháp dạy học đổi chưa triệt để
- Phụ huynh chưa thật quan tâm mức đến việc học tập
mình theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở học tập nhà
- Phương pháp chung để giải tốn cần có gợi ý để thầy hỗ trợ cho học sinh, để học sinh tự suy nghĩ tìm lời giải Trước giải tốn phải tìm hiểu kĩ nội dung yêu cầu đề bài: Đâu cần tìm? Cái cho?
Cái phải tìm thỏa mãn điều kiện cho trước hay khơng? Hay chưa đủ? Hay thừa?
… Tìm cách giải hợp lí
- Việc rút gọn biểu thức vấn đề phân mơn
(11)tính giá trị biểu thức hay chứng minh biểu thức, rút gọn biểu thức Học
sinh lúng túng rút gọn phải sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, sử dụng phép toán tính chất cá phép tốn, học sinh hay nhầm lẫn Do giáo viên cần rèn luyện cho học sinh có kĩ trình bày lời giải cho dạng tập, để giúp phần giải dạng tập rút gọn biểu thức đại số khắc phục vướng mắc Tôi đưa đề tài tập rút gọn biểu thức đại số mà Tơi tìm hiểu, tập hợp thông qua thực tế giảng dạy
Chương 2: Các biện pháp sư phạm cần thực để góp phần nâng cao chất lượng dạy học rút gọn biểu thức đại số
Đề tài hướng dẫn học sinh THCS giải loại toán rút gọn biểu thức đại số
Tôi đề cập ba vấn đề qua ba dạng toán sau:
+ Dạng 1: Rèn luyện nhuần nhuyễn toán SGK, SBT để tìm hướng giải
+ Dạng 2: Rèn luyện cho học sinh dạng tốn tổng hợp để phát huy
tính tích cực, sáng tạo học sinh
+ Dạng 3: Trên sở cần tận dụng thời gian để rèn luyện kỹ giải tập nâng cao THCS học sinh giỏi
I Lý thuyết áp dụng
1 Khái niệm biểu thức đại số:
Tính giá trị biểu thức đại số, đơn thức, đa thức
2 Tính chất biểu thức đại số
- Nhớ đẳng thức đáng nhớ
- Cộng trừ nhân chia đa thức
- Phân tích đa thức thành nhân tử, quy tắc đổi dấu
- Rút gọn phân thức
- Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức
- Cộng trừ phân thức đại số
- Nhân chia phân thức đại số
(12)3 Hiểu bậc hai
- Các phép tính rút gọn biểu thức có chứa bậc hai
- Căn bậc ba
II Các biện pháp để thực Phương pháp giải:
Để rút gọn biểu thức A ta thực sau:
- Tìm điều kiện biến để biểu thức có nghĩa (mà ta gọi tắt tìm điều
kiện xác định cho biểu thức chứa chữ);
- Quy đồng mẫu số chung (nếu có);
- Đưa bớt thừa số chung khỏi thức (nếu có);
- Thực phép tính cộng, trừ, nhân, chia, luỹ thừa, khai căn;
- Cộng trừ số hạng đồng dạng;
- Với điều kiện xác định tìm trả lời kết qủa rút gọn biểu thức
Dạng 1: Các tập minh hoạ
Rèn tính nhuần nhuyễn: Yêu cầu với dạng phải khai thác triệt để kết hợp với kiến thức học để tìm lời giải Đầu tiên giúp em làm quen với biểu thức đại số đến rút gọn biểu thức đại số Tôi chọn
tốn đơn giản có SGK SBT phù hợp với đối tượng học sinh
Bài 1.1:
Tính giá trị biểu thức đại số sau x = 1; y = -1; z =
a) (x2y - 2x - 2z)xy b) xyz + 2x
2y
y2 + 1
Hướng suy nghĩ:
- Đây tốn tính giá trị biểu thức làm quen lớp Đầu
bài cho biểu thức cho biết giá trị x, y, z Do học sinh thay giá trị x, y, z vào biểu thức thực phép tính, trình thực luơn để ý đến dấu luỹ thừa
Giải tóm tắt
a) Thay x = 1; y = -1; z = vào biểu thức (x2y - 2x - 2z)xy ta được:
(13)b) Thay x = 1; y = -1; z = vào biểu thức xyz + 2x
2y
y2 + ta được:
1.(-1).3 + 2.1
2.(-1)
(-1)2 + = -3 + -2
2 = -3 - = -4
Học sinh hay mắc sai lầm biến đổi luỹ thừa dấu
Bài 1.2
Rút gọn phân thức:
a) 36(x - 2)
2
32 - 16x b)
7x2 + 14x + 7
3x2 + 3x
Hướng suy nghĩ:
- Để giải toán học sinh cần phải nắm bước rút gọn
phân thức;
- Sử dụng đẳng thức đáng nhớ cho phù hợp;
- Vận dụng quy tắc đổi dấu Giải tóm tắt:
a) 36(x - 2)
3
32 - 16x =
36(x - 2)3 16(2 - x) =
36(x - 2)3 -16(x - 2) =
-9(x - 2)2
b) 7x
2 + 14x + 7
3x2 + 3x =
7(x + 1)2 3x(x + 1) =
7(x + 1) 3x
Lưu ý học sinh hay nhầm lẫn biến đổi ý a hay viết
-9(x - 2)
2
4 =
9(2 - x)2
Bài 1.3
Cho hai biểu thức:
A = x +
1 x + +
x -
x(x +5) B =
3 x +
Chứng tỏ A = B Hướng suy nghĩ:
- Học sinh nhận thấy biểu thức A phép cộng phân thức, muốn chứng tỏ A = B ta phải làm ?
- Rút gọn biểu thức A so sánh với biểu thức B, kết luận
(14)A = x +
1 x + +
x - x(x +5)
= x + + x + x - x(x + 5)
= x(x + 5)3x = x + 53 = B => đpcm
Bài 1.4:
Rút gọn biểu thức:
A = x + x2 - -
x + x2 - x Hướng suy nghĩ:
- Muốn rút gọn biểu thức nhớ dạng tổng quát
A B -
C D =
A B + (-
C D )
- Phải nhớ quy tắc trừ hai phân thức
- Quy đồng mẫu hai phân thức
Cách giải:
A = x + x2 - -
x + x2 - x =
x +
(x - 1)(x + 1) -
x +
x(x - 1) (1)
MTC: x(x + 1)(x - 1)
Ta có:
A = x(x + 3) (x - 1)(x + 1) -
(x + 1)(x + 1) x(x - 1)
= x(x + 3)
(x - 1)(x + 1) +
-(x + 1)2
x(x - 1)
= x
2 + 3x - x2 - 2x - 1
x(x + 1)(x - 1)
= x -
x(x + 1)(x - 1) = x(x + 1)
Bài 1.5:
Rút gọn biểu thức:
a) 2x
2 - 20x + 50
3x +
x2 - 1
4(x - 5)3 b)
x + x2 - 4
8 - 12x + 6x2 - x3
(15)Hướng suy nghĩ:
- Nhớ tổng quát: A B
C D =
AC BD
- Quy tắc đổi dấu
- Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, đẳng thức;
- Phân tích tử mẫu thành nhân tử (cónhân tử chung để rút gọn)
Cách giải:
a) 2x
2 - 20x + 50
3x +
x2 - 1
4(x - 5)3 =
2(x2 - 10x + 25)(x - 1)(x + 1)
3(x + 1)4(x - 5)3
= 2(x - 5)
2(x - 1)
3.4(x - 5)3
= 6(x - 5)x -
b) x + x2 -
8 - 12x + 6x2 - x3
9x + 27 =
(x + 3)(2 - x)3
(x - 2)(x + 2)9(x + 3)
= (2 - x)
3
-2(2 - x)(x + 2).9
= -(2 - x)
2
9(x + 2)
Học sinh mắc phải: Không nắm đẳng thức, nắm đẳng thức vận dụng hay quên không nhớ
Bài 1.6:
Rút gọn biểu thức sau: x2 + x
5x2 - 10x + :
3x + 5x +
Hướng suy nghĩ :
- Nhớ tổng quát: A B :
C D =
A B
D C
- Vận dụng đẳng thức;
- Phân tích tử mẫu thành nhân tử, rút gọn
Cách giải:
x2 + x
5x2 - 10x + 5 :
3x + 5x + =
x2 + x
5x2 - 10x + 5
(16)= x(x + 1).5(x - 1) 5(x - 1)2.3(x + 1)
= x 3(x - 1)
Học sinh đa số biến đổi dạng
Bài 1.7:
Biến đổi biểu thức 2x x - -
3 x2 - 1
thành phân thức
Đây biểu thức không khó học sinh lớp muốn biến đổi thành phân thức phải viết chúng dạng phép tính ngang sau thực phép tính, ta cóthể viết sau:
A = 2x x - -
3 x2 - 1
= (x - 12x - 2) : ( x23 - 1 )
= x -
(x - 1)(x + 1)
3 =
2.(x + 1)
Bài 1.8:
Rút gọn biểu thức cóchứa dấu bậc hai:
a) + 5 - +
5 -
5 + b) 5 +
1
2 20 +
Hướng suy nghĩ:
- Ta cần thực phép biến đổi ?
- Học sinh nhớ lại phép biến đổi bậc hai
- Phối hợp để rút gọn biểu thức chứa bậc hai
Cách giải:
a) + 5 - +
5 - 5 + =
(5 + )2 + (5 - )2
(5 - )(5 + )
(17)b) 15 + 12 20 + = 552 +
1
2 4.5 +
= 55 + 22 + =
Bài 1.9:
Cho biểu thức P = ( 2a - a )
2 ( a -
a + -
a +
a - ) Với a > a ≠
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm a để P <
Hướng suy nghĩ:
- Muốn rút gọn biểu thức cần tìm tập xác định cho biểu thức;
- Biến đổi biểu thức cách thực phép toán P;
- Tìm giá trị a, so sánh với điều kiện đề
Giải tóm tắt:
a) P = ( 2a - a )
2 ( a -
a + -
a + a - )
Với a > a ≠
2
2
2
2
a a a
P ( ) ( )
2 a a a
a a ( a 1) ( a 1)
P ( )
2 a ( a 1)( a 1)
a a a a a
P ( )
a a
(a 1)4 a a P
4a a
Vậy P = a a
a > a ≠
b) Tìm a để P <
Với a > a ≠ nên a >
P = - a
(18)Bài 1.10:
Rút gọn: a) 8a3 - 5a b) 3
125
Hướng suy nghĩ:
- Vận dụng quy tắc khai bậc ba tích khai triển;
- Thực phép tính đưa khỏi bậc ba
Cách giải:
a) 8a3 - 5a = 3 8 3 a3 - 5a = 2.a - 5a = 3a
b)
3 1
125 =
(1 )
3 = 1
5
Dạng 2: Rèn cho học sinh dạng toán rút gọn biểu thức, những dạng toán tổng hợp địi hỏi học sinh cókĩ giải tốn rút gọn, phát
huy tính tích cực sáng tạo
Bài 2.1:
Rút gọn biểu thức:
A = 3x x3 - +
x - x2 + x + Hướng suy nghĩ:
- Học sinh nhớ quy tắc cộng phân thức không mẫu
- Nắm ba bước quy đồng
- Vận dụng đẳng thức thứ phân tích tử mẫu thành nhân tử
Giải tóm tắt
A = 3x x3 - +
x - x2 + x +
= 3x
(x - 1)(x2 + x + 1) +
x - x2 + x +
= 3x + (x - 1)
2
(x - 1)(x2 + x + 1)
= 3x + x
2 - 2x + 1
(19)= x
2 + x + 1
(x - 1)(x2 + x + 1) = x -
Bài 2.2:
Rút gọn biểu thức:
B = x + 1x - x
2 - 2x -3
x2 - 5x + 6
Hướng suy nghĩ:
- Muốn rút gọn phải nhớ lại cách tách hạng tử để phân tích đa thức thành
nhân tử Giải tóm tắt
B = x - x +
x2 - 2x -3
x2 - 5x +
= x - x +
x2 - 3x + x - 3
x2 - 2x - 3x +
= x - x +
x(x - 3) + (x - 3) x(x - 2) - 3(x - 2)
= (x - 2)(x - 3)(x + 1)(x + 1)(x - 2)(x - 3) =
Học sinh hay mắc phải: không nhận cách tách hạng tử để phân tích thành nhân tử
Bài 2.3: Rút gọn biểu thức C = (
x2 + x -
2 - x x + ) : (
1
x + x - 2)
Hướng suy nghĩ:
- Xem thứ tự thực phép toán biểu thức;
- Phải quy đồng mẫu làm phép toán ngoặc trước, ngồi ngoặc sau
Cách giải:
C = ( x2 + x -
2 - x x + ) : (
1
x + x - 2)
= [ x(x +1) -
2 - x x + ] :
1 + x2 - 2x
x
(20)= (1 - x)
2.x
x(x + 1).(1 - x)2 = x +
Học sinh chiếm phần đa biết rút biểu thức dạng
Một số học sinh thường nhân đơn thức với đa thức cịn sai dấu, khơng nhớ đẳng thức
Bài 2.4:
Cho biểu thức Q = (x + 2)
2
x (1 - x2 x + ) -
x2 + 6x +
x
a) Tìm điều kiện biến để giá trị biểu thức xác định
b) Rút gọn Q
c) Chứng minh Q xác định Q luơn cógiá trị âm
d) Tìm giá trị lớn Q
Hướng suy nghĩ:
Học sinh nhận biết cách tìm điều kiện để Q xác định Cách rút gọn biểu thức Q
Hiểu cách chứng minh để Q cógiá trị âm, cónghĩa Q < với x Hiểu cách tìm giá trị lớn Q, Q < với x
Đây dạng tốn tổng hợp địi hỏi học sinh phải có kĩ vận dụng kiến thức học để trình bày lời giải
Cách giải:
a) Điều kiện biến x ≠ x ≠ -
b) Rút gọn Q
Q = (x + 2)
2
x (1 - x2 x + ) -
x2 + 6x +
x
= (x + 2)(x + - x
2) - (x2 + 6x + 4)
x
= x
2 + 2x - x3 + 2x + - 2x2 - x2 - 6x -4
x
= -x
3 - 2x2 - 2x
x =
-x(x2 + 2x + 2)
x
= - (x2 + 2x + 2)
(21)Học sinh tách hạng tử tự sau đưa dạng đẳng thức
Q = - (x2 + 2x + + 1)
= - (x + 1)2 -
Có: -(x + 1)2 < với x
- <
=> Q = -(x + 1)2 - < với x
d) Ta có: -(x + 1)2 ≤ Với x
Q = - (x + 1)2 - ≤ - với x
GTLN Q = -1 x = -1 (TMĐK) Học sinh thường hạn chế ý c,d
Bài 2.5: Cho biểu thức P = 3(x + 1) x3 + x2 + x + 1
Tìm x để P có giá trị ngun
Hướng suy nghĩ:
- Học sinh phải rút gọn
- Tìm x để P có giá tri ngun
Cách giải:
P = 3(x + 1)
x3 + x2 + x + =
3(x + 1)
(x3 + x2) +( x + 1)
= 3(x + 1)
x2(x + 1) +(x + 1)
= 3(x + 1)
(x + 1)(x2 + 1) = x2 +
Vậy để P nhận giá trị nguyên x2 + = Ư(3) = {±1; ±3}
Với x2 + = => x =
Với x2 + = -1 => Khơng có giá trị x thoả mãn
Với x2 + = => x2 = => x = ± Z
Với x2 + = -3 => Khơng có giá trị x thoả mãn
Vậy với x = P nhận giá trị nguyên
(22)M = ( a - a +
1
a - ) :
a + a - a +1
Rút gọn so sánh giá trị M với Hướng suy nghĩ:
- Đây biểu thức tổng hợp, rút gọn biểu thức cóchứa bậc hai tương
đối khó với học sinh
- Phải thực phép tính ngoặc trước đến phép chia
- So sánh M với nghĩa xét M –
Cách giải: *Rút gọn:
M = ( a - a +
1
a - ) :
a + a - a +1
= + a a ( a - 1)
( a - 1)2
a + =
a - a
Vậy M = a -
a ( với a > 0, a ≠ 1)
*So sánh M với
Ta có M = a - a =
a a -
1
a = -
a
Do a > => a > =>
a >
Nên -
a <
Vậy M <
* Học sinh phần đa cịn hạn chế giải tốn dạng này, kĩ biến đổi
các phép tính cần lưu ý cho học sinh phần
Bài 2.7: Cho biểu thức:
Q = a
a2 - b2 - ( + a
a2 - b2 ) :
b
a - a2 - b2
a) Rút gọn Q
(23)Hướng suy nghĩ:
- Biểu thức tương đối tổng hợp cócác phép tính cộng, trừ, nhân, chia
cóchứa bậc hai;
- Học sinh phải biết thực phép tính ngoặc trước sau tiếp đến
phép nhân phép trừ;
- Biết thay giá trị a vào biểu thức thực phép tính
Cách giải:
a) Rút gọn:
Q = a
a2 - b2 - ( +
a
a2 - b2 ) :
b
a - a2 - b2
= a
a2 - b2 -
a2 - b2 + a
a2 - b2
a - a2 - b2
b
= a
a2 - b2 -
b
a2 - b2 =
a - b a2 - b2
= ( a - b )
2
(a - b)(a + b) =
a - b a + b
b) Khi cóa = 3b ta có:
Q = 3b - b 3b + b =
2b 4b =
1
Nhược điểm đa số học sinh thực biểu thức dạng cịn hạn chế thực phép tính
Thay giá trị a vào biểu thức chứa
Bài 2.8
Chứng minh đẳng thức
(1 - a a
1 - a + a )(
1 - a - a )
2 =
Hướng suy nghĩ:
- Đây dạng chứng minh biến đổi vế trái đẳng thức cho kết vế phải
- Xét xem vế trái đẳng thức có dạng đẳng thức nào?
(24)Cách giải:
Ta có: VT = (1 - a a
1 - a + a )(
1 - a - a )
2
= (1 - ( a )
3
1 - a + a )(
1 - a
(1 - a )(1 + a ) )
2
= ( (1 - a )(1 + a + a)
1 - a + a )( 1 + a )
2
= (1 + a )2(
1 + a )
2 = = VP => đpcm
Bài 2.9:
Cho biểu thức:
Q = ( a - -
1 a ): (
a + a - -
a + a - )
a) Rút gọn Q với a > 0, a ≠ a ≠
b) Tìm a để Q = -1
c) Tìm a để Q > Hướng suy nghĩ:
- Học sinh phải hiểu yêu cầu đề bài, biết cách tìm tập xác định biểu
thức cónghĩa;
- Biết cách tìm a để Q = -1, tìm a để Q >
Cách giải:
a) Rút gọn:
Q = ( a - -
1 a ): (
a + a - -
a + a - )
= a - ( a - 1) a ( a - 1) :
(a - 1) - (a - 4) ( a - 2)( a - 1)
= a - a + a ( a - 1) :
a - - a + ( a - 2)( a - 1)
=
a ( a - 1)
( a - 2)( a - 1)
(25)= a - a
b) Q = -1
a -
a = -1 với a > a ≠1; a ≠
a - = -3 a
a =
a =
2 (TMĐK)
c) Q >
a - a >
Vì a > a ≠1; a ≠ a >
Vậy a -
a > a - >
a >
a > (TMĐK)
Bài tốn tương đối khó với học sinh rút gọn biểu thức cóchứa bậc hai, đa số học sinh hạn chế cách biến đổi phép toán để rút gọn
Bài 2.10: Cho biểu thức
P = x - -
1 x ): (
x + x - -
x + x - )
a) Tìm điều kiện để p xác định
b) Rút gọn P
c) Tìm x để P =
Hướng dẫn cách giải:
- Đây biểu thức có chứa bậc hai, học sinh phải biết tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa
(26)Biết cách tìm x để P =
Cách giải:
a) Điều kiển x để P xác định là: x > , x ≠ 1; x ≠
b) Rút gọn:
P = ( x - -
1 x ): (
x + x - -
x + x - )
= x - ( x - 1) x ( x - 1) :
( x + 1)( x - 1) - ( x - 2)( x + 2) ( x - 2)( x - 1)
= x - x - x ( x - 1) :
x - - x +4 ( x - 2)( x - 1)
=
x ( x - 1)
( x - 2)( x - 1)
3
= x - x
a) P = 14
x - x =
1
4 ( với x > ; x ≠1; x ≠4)
x - = x
x =
x = 64 (TMĐK)
Kết luận: P =
4 x = 64
Bài 2.11
Cho biểu thức B =
3
3
2 12 45 19 33
x x x
x x x
a) Rút gọn B
b) Tìm x để B > Hướng dẫn cách giải:
- Đây phân thức, học sinh phải biết phân tích mẫu thức trước tìm điều
(27)- Biết cách tìm x để B >
Cách giải:
a) Phân tích mẫu:
3x3 – 19x2 + 33x – = (3x3 – 9x2) – (10x2 – 30x) + (3x – 9)
= (x – 3)(3x2 – 10x + 3)
= (x – 3)[(3x2 – 9x) – (x – 3)]
= (x – 3)2(3x – 1)
Đkxđ: (x – 3)2(3x – 1) x x
b) Phân tích tử, ta có:
2x3 – 7x2 – 12x + 45 = (2x3 – 6x2 ) - (x2 - 3x) – (15x - 45)
= (x – 3)(2x2 – x – 15)
= (x – 3)[(2x2 – 6x) + (5x – 15)]
= (x – 3)2(2x + 5)
Với x x
3
Thì B =
3
3
2 12 45 19 33
x x x
x x x
=
2
(x - 3) (2x + 5) 2x + (x - 3) (3x - 1) 3x -
c) B > 2x +
3x - >
1
3 5 1
2 2 3
5
3 1
2
2
5 x
x
x x
x
x
x x
x
x
Vầy với x >
3 x < -
2 thì B >
Khi giải toán học sinh cần vận dụng tốt phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử giải bất phương trình
Bài 2.12
Cho biểu thức D =
3 2
2
2
x x x x x x
(28)a) Rút gọn biểu thức D
b) Tìm x ngun để D có giá trị nguyên
c) Tìm giá trị D x =
Hướng dẫn cách giải:
- Đây phân thức có chứa giá trị tuyệt đối, học sinh phải biết xét giá trị
tuyệt đối trước tìm điều kiện để biểu thức cónghĩa
- Biết cách tìm x ngun để D nguyên
Cách giải:
a) Nếu x + > x 2 = x + nên ta có:
D =
3 2
2
2
x x x x x x
=
3 2
2
2 ( 1)( 2)
( 2) ( 2) ( 2)( 2)
x x x x x x x x
x x x x x x x
Nếu x + < x 2 = - (x + 2) nên ta có:
D =
3 2
2
2
x x x
x x x
=
3 2
2 ( 1)( 2)
( 2) ( 2) ( 2)( 2)
x x x x x x x
x x x x x x x
Nếu x + = x = - biểu thức D khơng xác định b) Để D có giá trị nguyên
2 x x
2 x
có giá trị nguyên
+)
2 x x
có giá trị nguyên
x(x - 1) x - x
x > - x > -
Vì x(x – 1) tích hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho với x > -
+)
2 x
có giá trị nguyên x x = 2k 2k (k Z; k < - 1) x < - x < - x
c) Khi x = ta có D =
2 x x
= 6(6 1) 15
Trong trình giải toán học sinh dễ bỏ sót trường hợp x + =
Bài 2.13 Cho biểu thức
(29)3 3 3 : 1 1 xy y x y y x x y x y x y x y x A
a ) Rút gọn A;
b) Biết xy = 16 Tìm giá trị x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị
Hướng dẫn cách giải:
- Để giải toán cần lưu ý tìm đkxđ biểu thức dấu căn, mẫu thức thứ
tự thực phép toán phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Cách giải:
Đkxđ : x > , y >
a) 3 3 : 1 1 xy y x y y x x y x y x y x y x A y x xy y x xy y xy x y x xy y x y x xy y x
:
x y
xy y x y x xy y x xy
2 :
xy y x y x xy xy y x
b) Ta có
2
x y x y xy
x y 2 xy.
Do
16 16 2 xy xy xy y x
A ( vì xy = 16 )
Vậy A =
16 x y x y xy
Học sinh lúng túng vận dụng bất đẳng thức Cauchy
Bài 2.14
Cho biểu thức
x x x x x x x x P 2 2 2 2 2 1 3 1 1
(30)b) Rút gọn biểu thức P
c) Tính giá trị P với x 3 2 2
Hướng dẫn cách giải:
Theo thứ tự thực phép tính ta phải làm phép tính từ dấu ngoặc trước Đối với nhân tử thứ hai ta quy đồng mẫu, nhân tử thứ thì
không Tại vậy? Bởi vì quy đồng mẫu thì tính toán phức tạp Ta
trục thức mẫu, kết nhanh chóng
Cách giải
a) Biểu thức P có nghĩa :
2 x x x x 3 x x x x x x x
b) Đkxđ : x1;x 2;x3 x x x x x x x x P 2 2 1 x x x x x x x x x x x x x x 2 2 2 1 x x x x x x x x x x x 2 2 1 x x x x x x x x x x 2 3 1 x x x x x x x
x
1 2
c) Thay
2
1 2
3
x vào biểu thức
x x
P 2 , ta có:
1 2 2 2 2 2
P
(31)
Bài 2.15: Cho biểu thức:
P =( ) : ( )
4
2
x x x
x
x x x x
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị x để P = -1
c) Tìm m để với giá trị x > ta có: (m x3)P x
Hướng dẫn cách giải:
- Trước tìm đkxđ cần phân tích mẫu thức thành nhân tử trước,
trình rút gọn cần đặt thêm đk cho x , lưu ý cách giải phương trình bạc hai, giải
bất phương trình
Cách giải
a) Ta có: x2 x x( x 2)
• ĐKXĐ:
0
0
4
2
x
x x
x x
x
• Với x > x 4 ta có:
P = ( ) : ( )
4
2 ( 2)
x x x
x
x x x x
1 2( 2)
4 ( 2)
:
( 2)( 2) ( 2)
4 8
:
( 2)( 2) ( 2)
x x
x x x
x x x x
x x x x x
x x x x
:
( 2)( 2) ( 2)
x x x
x x x x
( Đk: x9)
4 ( 2) ( 2) ( 2)
( 2)( 2) (3 )( 2)
4
x x x x x x x
x x x x x
x
x
(32)Với x > , x 4,x9 thì P =
x x
b) P = -
1
x
x
( ĐK: x > 0, x4,x9 )
4
4
x x
x x
Đặt x y đk y >
Ta có phương trình: 4y2 y
Các hệ số: a + b + c = 4- 1-3 =0
1
y
( không thoả mãn đk y > 0)
3
y ( thoả mãn đk y > 0)
Với
4
y x thì x =
16 ( thoả mãn đkxđ)
Vậy với x =
16 thì P = -
c) m( x 3)P x (đk: x > 0; x4,x9)
4
( 3)
3
.4
1
x
m x x
x m x x
x m
x
( 4x > 0)
• Xét 1 1
4 4 4
x x
x x x x
Có x > (thoả mãn đkxđ)
1
x
( hai phân số dương tử số, phân số có mẫu số lớn thì
(33)
1
4 36
1 1
4 4 36
1
4 18
x x x
Theo kết phần ta có :
5
5
18
1 18
4
x x
m x
m
x
Kết luận: với , 18
m x thì m( x 3)P x
Học sinh thường gặp khó khăn phần c
Dạng toán tổng hợp nên rút gọn học sinh hay nhầm lẫn thực
phép tính nên số học sinh với dạng tốn cịn hạn chế
Dạng 3: Các dạng toán rèn luyện cho học sinh khá, giỏi rút gọn biểu thức đại số, rút gọn biểu thức chứa
Bài 3.1
Rút gọn biểu thức
A = x
2 - y2 - z2+ 2yz
x2 + xz - y2 - yz :
x + y - z x + y + z
Hướng suy nghĩ
- Để rút gọn biểu thức gợi ý cho học sinh phân tích tử, mẫu biểu
thức bị chia thành nhân, đem chia cho biểu thức chia => A = ? Cách giải
A = x
2 - y2 - z2+ 2yz
x2 + xz - y2 - yz :
x + y - z x + y + z
Ta có: x2 - y2 - z2 + 2yz = x2 - (y - z)2 = (x + y - z)(x - y +z)
(34) A = (x + y - z)(x - y + z) (x - y)(x + y + z)
(x + y + z) (x + y - z) =
x - y + z x - y
Bài 3.2: Rút gọn biểu thức P =
x - ( x2
x2 + xy -
x2 - y2
xy - y2
xy + y2 )(
x + y x2 + xy + y2 ) Hướng suy nghĩ:
- Học sinh nắm ước rút gọn biểu thức;
- Thực phép tính noặc trước, trình thực biết phân tích
mẫu thành nhân tử, để xuất tử mẫu có nhân tử chung để rút gọn Cách giải:
P = x - (
x2
x2 + xy -
x2 - y2
xy - y2
xy + y2 )(
x + y x2 + xy + y2 )
= x - [
x2y - (x2 - y2)(x + y) - y2x
xy(x + y) ]
x + y x2 + xy + y2
= x - [
xy(x - y) - (x - y)(x + y)2
xy(x + y) ]
x + y x2 + xy + y2
= 2x - [ (x - y)(xy - x
2 - 2xy - y2)
xy(x + y) ]
x + y x2 + xy + y2
= 2x + (x - y)(x
2 + 2xy + y2)
xy(x + y)
x + y x2 + xy + y2
= 2x + x + yxy
Bài 3.3
Rút gọn biểu thức
M =
1 + b + ca
1 - a b + c
b
2 + c2 - (b - c)2
a + b + c
Đây dạng tập học sinh lớp 8,9 xong để làm đòi hỏi học sinh phải có kĩ rút gọn biểu thức
(35)M = + b
2 + c2 - a2
2bc
1 + b + ca
1 - a b + c
b
2 + c2 - (b - c)2
a + b + c
= 2ab + b
2 + c2 - a2
2bc
a + b + c b + c b + c - a
b + c b
2 + c2 - b2 + 2bc - c2
a + b + c
= (b + c)
2 - a2
2bc
a + b + c b + c - a
2bc a + b + c
= (b + c + a)(b + c - a)
2bc
a + b + c b + c - a
2bc a + b + c
= a + b + c
Bài 3.4:
Rút gọn biểu thức
Q= ( +
1 +
1
5 12 -
1 )
1
Hướng suy nghĩ:
- Ta biến đổi phép tính thức
Cách giải:
Xét 12 -
1 =
5 12 -
6 =
- 12 =
( - )2
12
5 12 -
1 =
1
( - )2
12 =
3 -
Q = ( +
1 +
3 - )
1
= ( 33 + 62 + - 6 )
= 3
1 =
1
Bài 3.5
(36)P = m + n
m + n : ( m + n mn +
n
m - mn - m mn + n )
Với m = + , n = -
- Đây biểu thức chứa chứ, trước hết ta phải rút gọn biểu thức sau
đã thay giá trị m, n vào biểu thức rút gọn thực phép tính Cách giải:
Ta rút gọn phần nằm ngoặc đơn:
m + n mn +
n
m - mn - m
mn + n =
m + n mn +
n
m ( m - n ) -
m
n ( m + n )
= (m + n)(m - n) + n n ( m + n ) + m m ( m - n )
mn (m - n)
= n mn + m mn mn (m - n) =
mn (m + n) mn (m - n) =
m + n m - n
B = m + n m + n :
m + n m - n =
m - n
m + n m - n
Thay m = + , n = - vào biểu thức B ta có:
B = + - -
= + -
4 -
= + -
3 -
=
Vậy B =
Bài 3.6
Cho A =
1 2
m m
m n
; B =
1 1
2 3 n Tính A B
A, B hai biểu thức có tính quy luật , để tính A
B ta cần rút gọn A & B
(37)A =
1
1 1
1 ( 1)
1 2 n 2
n n n n
n n
n n n n
= 1 1 1 1 nB
1 2 2
n n
n n n n
A B = n
MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ RÚT GỌN BIỂU THỨC
Bài 1:Chứng minh rằng
2
Bài 2: Rút gọn biểu thức sau :
a) 11 10 b) 14 c) 11 6
2 10
Bài 3: Tính : ( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5)
Bài 4: Rút gọn biểu thức : A =
2
x 4(x 1) x 4(x 1)
x x 4(x 1)
Bài 5: Chứng minh đẳng thức sau :
a b b a
a) : a b
ab a b
(a, b > ; a ≠ b)
14 15
b) :
1
a a a a
c) 1 a
a a
Bài 6: Cho đẳng thức :
2
a a b a a b
a b
2
(a, b > a2 – b > 0)
(38)
2 3
a)
2 2
3 2 2
b)
17 12 17 12
2 10 30 2
c) :
2 10 2
Bài 7: Rút gọn : a b ab : a b a b
a b ab b ab a ab
Bài 8: Cho A 1 a2: a a a a a a
1 a a
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị A với a =
c) Với giá trị a | A | = A
Bài 9: Cho biểu thức :
a b a b b b
B
a ab ab a ab a ab
a) Rút gọn biểu thức B
b) Tính giá trị B a 6
c) So sánh B với -1
Bài 10: Cho biểu thức:
1 a b
A :
a a b a a b a b
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm b biết | A | = -A
c) Tính giá trị A a 5 ; b 2
Bài 11: Cho biểu thức:
a a 1
A a a
a a a
(39)b) Tìm giá trị A a
2
c) Tìm giá trị a để A A
Bài 12: Cho biểu thức:
A a a a a a
2 a a a
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị A để A = -
Bài 13: Thực phép tính :
1 a a a a
A :
1 a a a a
Bài 14: Rút gọn biểu thức sau :
3
x y 1 1
a) A :
x y
xy xy x y xy x y x y
với x 2 ; y 2
b)
2 2
x x y x x y
B
2(x y)
với x > y >
c)
2
2 2a x C
1 x x
với
1 a a
x
2 a a
; < a <
d)
2
2
a b
D (a b)
c
với a, b, c > ab + bc + ca =
e) E x x x x 2x
x 2x x 2x
Bài 15: Cho biểu thức :
2
2
x x 2x x x 2x
A
x x 2x x x 2x
a) Tìm giá trị x để biểu thức A cónghĩa
b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A <
(40)P =
1 1 1
: x x
x
x x x x
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị biểu thức, biết x = 2
2 3
c) Tìm giá trị x thoả mãn: P x 6 x 3 x4
Bài 17: Chứng minh giá trị biểu thức D không phụ thuộc vào a:
2 a a a a a a
D
a
a a a
với a > ; a ≠
Bài 18: Cho biểu thức
B a c ac
a c a c
a c
ac c ac a ac
a) Rút gọn biểu thức B
b) Tính giá trị biểu thức B c = 54 ; a = 24
c) Với giá trị a c để B > ; B <
Bài 19: Cho biểu thức :
A= m+2mn2 m 2mn2 12
1+n n n
với m ≥ ; n ≥
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị A với m 56 24 5
c) Tìm giá trị nhỏ A
Bài 20: Rút gọn biểu thức
2
2
1 x x 1 x x
D
x x
1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x
(41)Bài 21: Xét biểu thức:
2
x x 2x x
y
x x x
a) Rút gọn y Tìm x để y =
b) Giả sử x > Chứng minh : y - | y | =
c) Tìm giá trị nhỏ y ?
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
1 Mục đích thực nghiệm:
Là đánh giá nhận thức học tập học sinh việc tiếp cận giải
toán rút gọn biểu thức đại số, từ giáo viên cócách điều chỉnh giúp học
sinh khắc phục tồn
2 Nội dung thực nghiệm:
Chủ đề Kiến thức Kĩ
Rút gọn phân thức
Học sinh nắm vững vận dụng quy tắc rút gọn phân thức
Học sinh bước đầu nhận biết trường hợp cần đổi dấu biết cách đổi dấu để xuất nhân tử chung tử mẫu Rèn kỹ rút gọn phân thức
Luyện tập
Học sinh nắm vững biết vận dụng tính chất để rút gọn phân thức, biết sử dụng trường hợp đổi dấu
Cókỹ việc phân tích thành nhân tử để rút gọn phân thức
(42)MỘT SỐ GIÁO ÁN MINH HỌA
Giáo án 1:
Ngày soạn :9/11/2011
Ngày dạy : 10/11 2011 Lớp 8A Lớp 8B
Tuần 11 – Tiết 23 : Bài 3: RÚT GỌN PHÂN THỨC I MỤC TIÊU
Kiến thức :- Học sinh nắm vững quy tắc rút gọn phân thức Cókỹ rút gọn phân thức, hiểu sở lý thuyết rút gọn phân thức tính chất phân thức
- HS bước đầu nhận biết trường hợp cần đổi dấu biết cách đổi dấu trình rút gọn phân thức
2 Kỹ Năng :- Tiếp tục củng cố kỹ PTĐT thành nhân tử, kỹ
trình bày, kỹ nhân (chia) đơn đa thức, đổi dấu số hạng BTĐS
3 Thái độ :-HS cóthái độ cẩn thận, u thích mơn học
II CHUẨN BỊ
GV : SGK , SGV Bảng phụ, phấn màu ,phiếu học tập
HS : SGK, Gỉai tập nhà
III CÁC HOẠT ĐỘNG TRÊN LỚP Ổn định lớp
Kiểm tra sĩ số hs:
Lớp: 8A: Lý do: Lớp 8B: Lý do: 2 Kiểm tra cũ
H
HOOẠẠTTĐĐỘỘNNGGGGVV HOẠT ĐỘNG HS NỘI DUNG
HS1 : Phát biểu tính chất phân thức , viết dạng tổng quát ?
Chữa Tr 38 SGK
HS : Phát biểu quy tắc đổi dấu
Chữa ( b ) SBT
GV nhận xét cho điểm :
HS trả lời : Bài :
Chia x5 -1 cho x –
thương x4+x3+x2+x +
x5 – = ( x -1 )
(x4+x3+x2+x + )
5
2
4
1 ( 1)( 1)
1 ( 1)( 1)
1
x x x x x x
x x x
x x x x x
HS : Trả lời
Chữa tập ( b) SBT
Bài :
Chia x5 -1 cho x –
thương x4+x3+x2+x +
x5 – = ( x -1 )
(x4+x3+x2+x + )
5
2
4
4
1
( 1)( 1)
( 1)( 1)
1
x x
x x x x x x x
x x x x x
(43)2
2
2
8
(4 2)(15 )
2(4 1)
2(2 1)(15 )
2(2 1) 2(2 1)(15 )
2 1
15 15 x x x x x x x x x x x x x x x
HS nhận xét làm bạn
2
2
2
8
(4 2)(15 )
2(4 1)
2(2 1)(15 )
2(2 1) 2(2 1)(15 )
2 1
15 15 x x x x x x x x x x x x x x x
Bài
Ở đẳng thức a cách chia tử mẫu cho đa thức ta phân thức gọn Làm gọi rút gọn phân thức Ta xem cách rút gọn phân thức có giống cách rút gọn phân số hay không ?
H
HOOẠẠTTĐĐỘỘNNGGGGVV HOẠT ĐỘNG HS NỘI DUNG
GV Nhờ tính chất phân số , phân số rút gọn Phân thức có tính chất giống tính chất phân số Ta xét xem rút gọn phân thức ?
GV : Qua tập bạn sửa bảng ta thấy tử mẫu phân thức có nhân tử chung sau chia tử mẫu cho nhân tử chung ta phân thức đơn giản GV cho HS làm ?1 tr 38 SGK
Hỏi : Em có nhận xét hệ số số mũ phân thức tìm so với hệ số số mũ tương ứng phân thức cho ? GV : Cách biến đổi gọi rút gọn phân thức
GV Chia lớp thành
HS : Nhân tử chung tử mẫu 2x2
3
2 2
4 : 2 10 10 :
x x x x
x y x y x y
HS : Tử mẫu phân thức tìm có hệ số nhỏ , số mũ thấp so với hệ số số mũ tương ứng phân thức cho
HS hoạt động nhóm Bài làm nhóm :
3 2
5
14 14 :
)
21 21 :
x y x y xy x
a
xy xy xy y
2 4
5
15 15 :
)
20 20 :
x y x y xy x b
xy xy xy y
1/ Rút gọn phân thức :
?* Nhân tử chung : 2x2 chia tử mẫu cho 2x2
a y x x y x x x y x x 2 : 10 : 10 2 3 b x x x 100 25 10
2
Muốn rút gọn phân thức ta có thể :
• Phân tích tử mẩu thành
nhân tử (nếu cần) tìm nhân tử chung
• Chia tử mẩu cho nhân
tử chung
VD:
3 2
5
14 14 :
)
21 21 :
x y x y xy x a
xy xy xy y
2 4
5
15 15 :
)
20 20 :
x y x y xy x b
xy xy xy y
3
2 2
6 : )
12 12 : 2 x y x y x y x x c
x y x y x y
(44)nhóm 5 2 3 14 ) 21 15 ) 20 ) 12 ) 10 x y a xy x y b xy x y c x y x y d x y
GV cho HS làm việc cá nhân ?2
GV hướng dẫn bước làm :
-Phan tích tử mẫu thành nhân tử tìm nhân tử chung
-Chia tử mẫu cho nhân tử chung
Tương tự em rút gọn phân thức sau
( HS hoạt động nhóm , nhóm làm câu )
2 2 2 2 ) 5 4 ) 10 ) ( 3) ) x x a x x x x b x x c x x x x d x
Hỏi : Qua VD em rút nhận xét : Muốn rút gọn phân thức ta làm ?
GV yêu cầu HS nhắc lại bước làm ?
GV em đọc VD SGK Tr39
Rút gọn phân thức sau :
3 2(3 ) x x
GV nêu ý SGK
3
2 2
6 : )
12 12 : 2 x y x y x y x x c
x y x y x y
2 2 2
3 3 2
8 :
)
10 10 :
x y x y x y d
x y x y x y xy
Đại diện nhóm trình bày lời giải
HS làm vào , HS lên bảng làm
HS hoạt động nhóm
2
3 2
2
2
2
2
2 ( 1) )
5 5 ( 1) 4 ( 2) )
3 3( 2) 10 2(2 5) )
2 (2 5)
( 3) ( 3) ( 3) )
9 ( 3)( 3)
x x x x
a
x x x x x
x x x x
b
x x
x x
c
x x x x x
x x x x x x d
x x x x
HS nhận xét
HS : Muốn rút gọn phân thức ta :
-Phân tích tử mẫu thành nhân tử để tìm nhân tử chung -Chia tử mẫu cho nhân tử chung
Hai HS Trả lời HS đọc ví dụ
HS suy nghĩ tìm cách rút gọn
3 (3 ) 2(3 ) 2(3 )
x x
x x
HS đọc ví dụ
HS hoạt động nhóm
2 3
2 2
3 2
8 )
10
8 : 2 4
10 : 2 5
x y d
x y
x y x y
x y x y xy
2
3 2
2
2
2
2
2 ( 1) )
5 5 ( 1) 4 ( 2) )
3 3( 2) 10 2(2 5) )
2 (2 5)
( 3) ( 3) ( 3) )
9 ( 3)( 3)
x x x x
a
x x x x x
x x x x
b
x x
x x
c
x x x x x
x x x x x x d
x x x x
3( ) )
3( 2) 3(2 ) )
(2 )(2 ) (2 )(2 ) ( 1) (1 )
)
1
(1 ) )
(1 ) (1 ) y x a
y x
x x
b
x x x x x
x x x x
(45)SGK
GV cho HS hoạt động nhóm rút gọn phân thức sau :
3( ) ) x y a y x ) x b x ) x x c x ) (1 ) x d x 3( ) )
3( 2) 3(2 ) )
(2 )(2 ) (2 )(2 ) ( 1) (1 )
)
1
(1 ) )
(1 ) (1 ) y x a
y x
x x
b
x x x x x
x x x x
c x x x x d x x
4 Vận dụng - Củng cố
H
HOOẠẠTTĐĐỘỘNNGGGGVV HOẠT ĐỘNG HS NỘI DUNG
Bài Tr 39 SGK GV yêu cầu HS làm vào , gọi HS lên bảng trình bày
Hỏi : Nêu bước rút gọn phân thức Cơ sở cuả việc rút gọn phân thức ?
HS làm vào HS lên bảng
HS1 : 5 )
x y x a
xy HS2 :
2
3
10 ( ) )
15 ( ) 3( ) xy x y y b
xy x y x y
HS3 :
2 2 ( 1)
)
1
x x x x
c x
x x
HS4 :
2
( ) ( ) )
( ) ( ) ( )( 1)
( )( 1)
x xy x y x x y x y d
x xy x y x x y x y
x y x x y x y x x y
HS : Cơ sở việc rút gọn phân thức tính chất phân thức 5 )
x y x a
xy
2
3
10 ( )
)
15 ( ) 3( )
xy x y y
b
xy x y x y
2
2 2 ( 1)
)
1
x x x x
c x x x 2 ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( 1) ( )( 1)
x xy x y d
x xy x y x x y x y x x y x y
x y x x y x y x x y
5.Hướng dẫn nhà
(46)Giáo án 2:
Ngày soạn :9/11/2011
Ngày dạy : 10/11/2011 Lớp 8A Lớp 8B
Tuần 11 – Tiết 24 : LUYỆN TẬP I MỤC TIÊU
Kiến thức :- Củng cố để học sinh nắm khái niệm chung phân thức: định nghĩa – tính chất phân thức, cách rút gọn phân thức
2 Kỹ năng:- Rèn kỹ rút gọn phân thức; kỹ PTĐT thành nhân
tử; kỹ trình bày tập tốn thể loại
3 Thái độ :-HS có thái độ cẩn thận, u thích mơn học
II CHUẨN BỊ
GV : SGK, SGV , Bảng phụ, phấn màu , giải tập mẫu
HS : SGK, Nắm vững lí thuyết ,chuẩn bị tập nhà
III CÁC HOẠT ĐỘNG TRÊN LỚP Ổn định lớp
Kiểm tra sĩ số hs:
Lớp: 8A: Lý do: Lớp 8B: Lý do: 2 Kiểm tra cũ
H
HOOẠẠTTĐĐỘỘNNGGGGVV HOẠT ĐỘNG HS NỘI DUNG
HS1 : ) Muốn rút gọn phân thức ta làm ? Chữa tr 40 SGK GV lưu ý HS không biến đổi nhầm
2
9( 2) 9(2 )
4
x x
HS2 : Phát biểu tính chất phân thức Viết công thức tổng quát
Chữa 11tr40 SGK GV nhận xét cho điểm HS
GV kiểm tra số lớp
GV nhận xét cho điểm
HS : Trả lời làm tập Bài :
3 3
2
36( 2) 36( 2) 36( 2) )
32 16 16(2 ) 16( 2) 9( 2)
4
x x x
a
x x x
x
2
)
5
( ) ( )
5 ( ) ( )
5
x xy b
y xy
x x y x y x
y y x y y x
x y
HS2 : Trả lời Bài 11 Tr40
3 2 2
5 3
3
2
12 2
)
18 3 15 ( 5) 3( 5) )
20 ( 5) x y xy x x a
xy xy y y
x x x
b
x x x
HS nhận xét sửa
Chữa tr 40 SGK
(47)Dạy
H
HOOẠẠTTĐĐỘỘNNGGGGVV HOẠT ĐỘNG HS NỘI DUNG
Bài 12 Tr 40 SGK Hỏi : Muốn rút gọn phân thức
2
3 12 12 x x x x
ta làm
thế ?
Em thực điều ?
GV gọi HS lên bảng thực hai câu a , b
GV cho HS làm thêm câu theo nhóm
Nhóm :
3
80 125 )
3( 3) ( 3)(8 )
x x
c
x x x
Nhóm
:
2
9 ( 5) ) 4 x d x x
Nhóm :
2
3
32 )
64 x x x e
x
Nhóm :
f) 2 4 x x x x
Bài 13 Tr 40 SGK GV yêu cầu HS làm vào
GV theo dõi HS làm lớp
HS : Ta phải phân tích tử mẫu thức thành nhân tử chia tử mẫu cho nhân tử chung
HS lên bảng thực
a
4
3 12 12 x x x x = 2 2
3( 4) 3( 2) ( 8) ( 2)( 4)
3( 2) ( 4)
x x x
x x x x x x
x x x x
HS2 : 2 2
7 14 7( 1) )
3 3 ( 1) 7( 1) 7( 1)
3 ( 1)
x x x x
b
x x x x
x x
x x x
HS nhận xét
HS hoạt động nhóm
Sau phút đại diện nhóm trình bày lời giải
HS làm , Hai HS lên bảng làm
a) 45 (3 )3 45 ( 3)3 2
15 ( 3) 15 ( 3) ( 3) x x x x
x x x x x
b)
2
3 2 3
3
( )( )
3 ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
y x y x y x
x x y xy y x y
x y x y x y
x y x y
HS : Muốn chứng minh đẳng thức ta biến đổi hai vế đẳng thức để vế cịn lại
Hoặc ta biến đổi hai vế để biểu thức HS : Đối với câu a ta biến đổi vế
Bài 12 SGK Tr 40 SGK a
2
3 12 12 x x x x = 2
3( 4)
( 8)
3( 2)
( 2)( 4)
3( 2)
( 4)
x x
x x
x
x x x x
x x x x
2 2
7 14
)
3
7( 1)
3 ( 1)
7( 1) 7( 1)
3 ( 1)
x x b x x x x x x x x
x x x
Bài 13 Tr 40 SGK a)
3
3
45 (3 ) 15 ( 3)
45 ( 3)
15 ( 3) ( 3)
x x
x x
x x
x x x
b) 2
3 2
3 3 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) y x x x y xy y
y x y x x y
(48)Bài 10 Tr17 SBT Hỏi : muốn chúng minh đẳng thức ta làm ?
GV cụ thể câu a ta làm ?
GV : Em thực điều ?
GV : cách làm tương tự câu a em làm câu b
GV gọi HS nhận xét
trái so sánh với vế phải
1 HS lên bảng , HS khác làm vào
2 2
2 2 2
2
2
2 ( )
2 ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( )
( )
2
x y xy y y x xy y
x xy y x xy x y
y x y y x y
x x y x y x y x y x x y y x y xy y
x y x y
Vế trái = vế phải
Vậy đẳng thức chứng minh HS :
Biến đổi vế trái :
2 2
3 2 2
2
3 2
2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )( )( )
x xy y x xy xy y x x y xy y x x y y x y
x x y y x y x y x y x y x y x y x y x y
xy
Sau biến đổi vế trái vế phải Vậy đẳng thức chứng minh
Bài 10 Tr17 SBT
2
2
2
2 2
2
2
2
2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 2
x y xy y
x xy y
y x xy y
x xy x y
y x y
x x y x y x y
y x y
x y x x y
y x y xy y
x y x y
2
3 2
2 2 2 2 2
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
1
x xy y
x x y xy y
x xy xy y
x x y y x y
x x y y x y
x y x y
x y x y x y x y x y
xy
4 Vận dụng – Củng cố
H
HOOẠẠTTĐĐỘỘNNGGGGVV HOẠT ĐỘNG HS NỘI DUNG GV yêu cầu HS nhắc lại tính chất
cơ phân thức
Quy tắc đổi dấu, nhận xét cách rút gọn phân thức
HS nhắc lại tính chất phân thức, quy tắc đổi dấu, nhận xét cách rút gọn phân thức
Hướng dẫn nhà
(49)3 Kết thực nghiệm
Qua kết nghiên cứu giảng dạy Tôi nhận thấy :
- Học sinh rèn phương pháp tự học, tự phát vấn đề, biết nhận dạng số toán, nắm vững cách giải Kĩ trình bày tốn khoa học, rõ ràng
Đa số em u thích học Tốn học, nhiều học sinh tích cực xây dựng
- Học sinh có hứng thú để giải tập phần rút gọn biểu thức Tốn học nói chung
- Trước kết giảng dạy lớp đạt 80% đến 85% trung bình, sử dụng kinh nghiệm kết giảng dạy tăng lên từ 96% đến 98% từ trung bình trở lên
Kết cụ thể: So sánh kết 02 năm học đối tượng lớp học sinh tương đương
+ Năm học: 2010-2011
TT Khối lớp
Số HS
Giỏi Khá TB Yếu
SL % SL % SL % SL %
1 A,B 70 10 14,2 20 28,5 35 50 7,14 A,B 68 13,2 24 35,2 32 47,0 4,41
+ Năm học: 2011-2012
TT Khối lớp
Số HS
Giỏi Khá TB Yếu
SL % SL % SL % SL %
(50)PHẦN KẾT LUẬN
Việc hệ thống "Rút gọn biểu thức đại số" dạy tiết, hai tiết, … mà q trình dạy tốn Chẳng hạn em học sinh lớp em học khái niệm biểu thức đại số, mà học dến vấn đề người
giáo viên hướng dẫn cho học sinh phạm vi đó, từ học sinh dần
dần lĩnh hội kiến thức cách có hệ thống vận dụng hợp lí dạng tập Trong thực tế dạng tốn, vấn đề thường có nhiều phương án giải quyết, phương pháp có nhiều ưu điểm, nhược điểm riêng Đối với đối tượng học sinh giỏi giáo viên nên khuyến khích tìm tịi nhiều cách khác để qua em củng cố kiến thức, rèn kĩ năng, phát triển tư
toán học linh hoạt sáng tạo, vận dụng kiến thức học vào việc rút gọn Với
học sinh trung bình làm tập điểm hình đơn giản Với học sinh giỏi em có thói quen tư sâu Tìm hướng suy nghĩ để giải tập, có kĩ đơn giản hóa vấn đề phức tạp Đặc biệt nhiều học sinh hứng thú học tốn, có học sinh tìm tập để làm đề nghị giáo viên tập khó
*Những kinh nghiệm rút ra:
Thực tiễn thực trường Trạm Tấu, nhiều năm với hai
khối 8,9 đạt kết 70% học sinh biết suy nghĩ tìm cách rút gọn.Trong
50% học sinh giải tốt tập có liên quan đến rút gọn
Trong q trình thực đề tài, Tôi nhận thấy để làm tốt đề tài yêu cầu
giáo viên học sinh phải thực tốt số nội dung sau:
- Đối với giáo viên:
+ Nghiên cứu SGK, SBT tài liệu tham khảo, nâng cao;
+ Tránh số sai lầm mà học sinh hay vướng mắc;
+ Giúp học sinh suy nghĩ để giải tập chủ yếu
+ Trong trình làm tập rèn luyện cho học sinh làm thành
(51)+ Trước làm tập giáo viên phải nghiên cứu thật kĩ giải nhiều
phương pháp;
+ Khi đưa toán yêu cầu học sinh giải nhiều
cách (nếu có thể) sau tìm lời giải hay
- Đối với học sinh:
+ Học sinh phải nắm kiến thức bản, cách học lí thuyết trước
khi làm tập;
+ Rèn thói quen khơng phụ thuộc nhiều vào sách vở;
+ Đứng trước toán rút gọn phải đọc kĩ đề bài, tìm hiểu xem vận dụng
phương pháp học cho phù hợp;
+ Với toán phải rút học cho thân
Trên đề tài Tôi đưa với mục đích nghiên cứu hiểu sâu chất việc rút gọn biểu thức đại số quan trọng q trình học tốn trường THCS Do nghiên cứu đề tài Tôi có thêm hiểu biết
mình, gióp phần nâng cao chất lượng giảng dạy thân năm
Đề tài "Rút gọn biểu thức đại số" chương trình tốn THCS tổng hợp kiến thức từ lớp đến lớp 9, có nhiều dạng tập trình bày logic
Ngồi SGK SBT Tơi cịn tham khảo thêm tập nâng cao, bên cạnh Tơi
tham khảo thêm đồng nghiệp Tôi giảng dạy nghiên cứu toán THCS Tuy nhiên nội dung đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận giúp đỡ thầy giáo góp ý đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện
Phú Thọ, ngày 20 tháng năm 2012
(52)PHẦN V: TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Nâng cao phát triển Toán 7- (Hai tập), Vũ Hữu Bình - nhà xuất Giáo
dục
2 Nâng cao phát triển Tốn 8- (Hai tập), Vũ Hữu Bình - nhà xuất Giáo
dục
3 Nâng cao phát triển Toán 9- (Hai tập), Vũ Hữu Bình - nhà xuất Giáo
dục
4 Ơn tập Đại số 9, Vũ Hữu Bình ( Chủ biên) - nhà xuất Giáo dục
5 Ôn tập tự kiểm tra đánh giá Toán 9, Trần Phương Dung ( Chủ biên)- nhà
xuất Giáo dục
6 Luyện tập Đại số 9, Nguyễn Bá Hịa - nhà xuất Giáo dục
7 Toán nâng cao –(Hai tập), TS Vũ Thế Hựu - nhà xuất Giáo
dục
8 400 toán mở rộng lớp 7, Dương Đức Kim – Đỗ Duy Đồng - nhà
xuất Đại học quốc gia Hà Nội
9 Toán nâng cao tự luận trắc nghiệm Đại số 9, TS Nguyễn Văn Lộc - nhà
xuất Giáo dục
10 Tuyển tập tốn hay khó Đại số 9, Nguyễn Đức Tấn - nhà xuất
Giáo dục
11 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Đại số, Nguyễn Vũ Thanh -
nhà xuất Giáo dục
12 Luyện giải ơn tập Toán 7- (Hai tập), Vũ Dương Thụy ( Chủ biên) - nhà
xuất Giáo dục
13 Luyện giải ơn tập Toán 8- (Hai tập), Vũ Dương Thụy ( Chủ biên) - nhà
xuất Giáo dục
14 Sổ tay kiến thức Toán THCS, Vũ Dương Thụy ( Chủ biên), Tơn Thân - Vũ Hữu Bình - nhà xuất Giáo dục
15 Luyện giải ơn tập Toán 8- (Hai tập), Vũ Dương Thụy ( Chủ biên) - nhà
xuất Giáo dục
16 Các dạng toán phương pháp giải Toán –(Hai tập) Tơn Thân ( Chủ biên)- Vũ Hữu Bình- Nguyễn Vũ Thanh- Bùi Văn Tuyên - nhà xuất Giáo
dục
17 Toán bồi dưỡng học sinh lớp 8, Tơn Thân - Vũ Hữu Bình – Đỗ Quang Thiều - nhà xuất Giáo dục