Chương 1 chủ đề 5 rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

BÀI RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN I TĨM TẮT LÍ THUYẾT Đê’ rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai, ta cần biết vận dụng linh hoạt phù họp phép biên đổi đơn giản như: - Đưa thừa sơ' ngồi dâu căn; - Đưa thừa sô' vào dâu căn; - Trực thức mẫu; - Quy đồng mẫu thức Các toán liên quan đến toán rút gọn biêu thức chứa bậc hai thường là: - Tìm giá trị biểu thức biết giá trị biến; - Tìm giá trị biến biết giá trị biểu thức; - Tìm giá trị nguyên biến đê’ biểu thức nhận giá trị nguyên; - Tìm giá trị thực biến đế biểu thức nhận giá trị nguyên; - So sánh biểu thức với sô' biếu thức khác; - Tìm giá trị lớn giá trị nhò cua biêu thức II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Rút gọn biểu thức chúa bậc hai tìm giá trị biểu thúc biết giá trị biến Phương pháp giải: Thực theo hai bước: Bước Để rút gọn biểu thức chứa bậc hai cho, ta sử dụng phép biên đổi đưa thừa sơ' ngồi vào dâu căn, trục thúc mẫu, quy đồng mẫu thức cách linh hoạt Bước Đê’ tìm giá trị biểu thức biết giá trị cùa biên ta rút gọn giá trị biên (nêu cần) sau thay vào biểu thức dược rút gọn tính kết CÁC BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Rút gọn biểu thúc chứa bậc hai tìm giá trị biểu thức biết giá trị biến 1.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên P 1A Cho biểu thức a) b) x x   x x 3 víi x 0 vµ x 9 x Rút gọn P Tính giá trị P trường hợp: i) x      21 x ii) 1   x1   Q     víi x 0 vµ x 4  : x  x    x    1B Cho biểu thức a) b) Rút gọn Q Tính giá trị Q trường hợp:  x  27  10  18  x 2 2  2  Dạng 2: Rút gọn biểu thức chứa bậc hai tìm giá trị biến biết giá trị biểu thức  x x  2 2 x  M    :    víi x 0 vµ x 1 x  x x  x x  x     2A Cho biểu thức a) Rút gọn M M b) Tìm x để 1  x 2 N   x x   2B Cho biểu thức a) Rút gọn N N b) 4 x víi x 0  x 1  Tìm x để Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa bậc hai tìm giá trị biến để biểu thức đạt giá trị nguyên 2.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên   x   x A     víi x 0 vµ x 1  :   x  x  1  x   3A Cho biểu thức a) Rút gọn A M A b) Tìm x nguyên để A 3B Cho biểu thức a) b) x 2 vµ B = x x 1 x 1  x x x 3 có giá trị nguyên  x  x 2  víi x 0 vµ x 4  : x   x   x Rút gọn B Tìm x nguyên để C = A ( B – ) có giá trị nguyên  x  P   víi x 0 vµ x 4 : x  x  x   4A Cho biểu thức a) Rút gọn P b) 7P Tìm x thực để có giá trị nguyên 4B Cho hai biểu thức  15  x  x 1 1 x A   vµ B= víi x 0 vµ x 25  : x  25 x  x   x   a) b) Rút gọn A Tìm x thực để M= A - B có giá trị nguyên Dạng 4: Rút gọn biểu thức chứa bậc hai so sánh biểu thức với số (hoặc biểu thức khác) Phương pháp giải: Để so sánh biểu thức M với số a, ta xét hiệu M-a xét dấu hiệu này, từ đến kết phép so sánh 5A Cho hai biểu thức A a) x1 x vµ B= x 3 x 1  víi x 0, x 1,x 25 x  x  Rút gọn B 3.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên x  x   C  A.B  víi  x  x   b) So sánh 5B Cho biểu thức: A a) x 9 x x 5 x vµ B= víi x 0, x 9,x 25 x x  25 x x  Rút gọn biểu thức A B A P B so sánh P với Đặt b) Dạng 5: Rút gọn biểu thức chứa bậc hai tìm giá trị lớn nhất( giá trị nhỏ nhất) biểu thức Phương pháp giải: Chú ý Biểu thức P có giá trị lớn a, kí hiệu tồn giá trị biến để dấu “=” xảy Pmax a nÕu P a với giá trị biến Biểu thức P có giá trị nhỏ b, kí hiệu Pmin b nÕu P b với giá trị biến tồn giá trị biến để dấu “=” xảy 6A Cho hai biểu thức A x 2 x  x vµ B= x x  x 6  x 3 x  x 1 3 x víi x 0, x 4,x 9 a) Rút gọn B A P B Tìm giá trị nhỏ P b) Đặt x x 3x  P   víi x 0 vµ x 9 x  x  x  6B Cho biểu thức a) Rút gọn P b) Tìm giá trị lớn nhâ't P II BÀI TẬP VỂ NHÀ M Cho biêu thức: x x  x 6  x  x 1  víi x 0 , x 4,x 9 x  3 x a) Rút gọn M b) Tính giá trị M X = 11 - c) Tìm giá trị thực x để M = 2 4.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ khơng làm khơng nên d) Tìm giá trị thực x đê’ M < e) Tìm giá trị X nguyên để M nguyên _ 3x + V9x-3 VX+1 VX-2 Q Cho biêu thức: , 3x  9x   x x  a) Rút gọn Q b) Tính giá trị Q x = + c) Tìm giá trị x đê’ Q = x 1 x  víi x 0 vµ x 1 x  1 x d) Tìm giá trị x để Q > e) Tìm x  Z ®Ĩ Q  Z x 0 vµ x 1 Với cho biểu thức:    x x x  P     :    x  x x  x  x    x x  x  x 1 x 1  a) b) c) d) e) Rút gọn P Tìm giá trị x đê’ P < Tìm giá trị x để P = Tìm x nguyên đế P nguyên Tìm giá trị nhỏ P x 2   x x  4  P  x    víi x 0 vµ x 1,x 4  :  x    x  1  x   10 Cho biểu thức: a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x thỏa mãn P < c) Tìm giá trị nhỏ nhâ't P 5.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên N 11* Cho biêu thức x2  x 2x  x 2(x  1)   víi x>0 vµ x 1 x  x 1 x x1 a) Rút gọn N b) Tìm giá trị nhỏ N x c) Tìm x đê’ biểu thức M = N nhận giá trị nguyên 12 Chứng minh đẳng thức sau: a b a b4  a víi a+b>0 vµ b 0 a  2ab  b a) b a b a b 2b b    víi a 0, b 0 vµ a b a b b) a  b a  b b  a BÀI RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 1A a) Rút gọn ta P x 2 víi x 0, x 9 x 3 b) i) Ta cã x=    4 (TM § K x 0, x 9) Thay x=4 vào P tính P= ii) Tìm x=2 (TM § K x 0, x 9) 4 Thay x=2 vào P tính P= Q 1B a) Rút gọn ta x 5 víi x 0, x 4 x 2 b) i) Ta cã x=    1 (TM § K x 0, x 4) 6.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Thay x=1 vào Q tính Q= ii) Tìm x=2 (TM § K x 0, x 4) 8 2 Thay x=2 vào Q tính Q= x víi x 0, x 1 x1 M 2A a) Rút gọn ta M   2x  x   b) Ta có    x  x  0 Giải ta x= 4 x N 2B a) Rút gọn ta N  b) Ta có   x   víi x 0 x 1  x  2 x  0  1 x  4;   4 Giải ta x 1 víi x 0,x 1 x  3A a) Rút gọn ta M  x  3 x 3 b) Rút gọn ta A x  N, Để M nguyên, ta cần có   x  ¦ (7) Từ tìm x=6 x 2 víi x 0,x 4 x  3B a) Rút gọn ta 2 C x b) Rút gọn ta B ta có C ngun,   x  ¦ (2) Giải ta x   0,1,6,16 7.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm khơng nên Ta có c ngun (yfx —2) e ư(2) P 4A a) Rút gọn ta M Đặt x  víi x 0,x 4 14 7P M x  víi x 0,x 4 Ta có Cách Tìm < M Mà M  Z nªn M   1;2 64 Từ tìm x = ; x=  A 4B a) Rút gọn ta x  víi x 0,x 25 x M  x víi x 0,x 25 b) Ta có Cách Tìm M < Mà M  Z  M = Từ tìm x = (TMĐK víi x 0,x 25 ) x Cách Đặt  x n với n nguyên n x 0  n   n 0 1 n Ta có Từ tìm x = (TMĐK víi x 0,x 25 ) B 5A a) Rút gọn ta C b) Rút gọn ta x 6 x  víi x 0,x 1 x  x 1 x víi x>0,x 1 8.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên   x1 x Xét hiệu C-3 = 0 víi x 0,x 25,x 1 Từ ta có C> A 5B a) Rút gọn ta x x B x  x  víi x 0,x 25,x 9 x x  P-1 = x  < nên P< b) Ta có x 1 B x  víi x 0,x 4,x 9 6A a) Rút gọn ta x 2 x 5 B x  víi x 0,x 4,x 9 b) Tìm 4 P ( x  1)  2 x 1 4 x  x  Ta có P    x 1 x 1 (TMĐK víi x 0,x 4,x 9 ) 4  x 0 x 1  Dấu"=" xảy Vậy tìm Pmin 6B x  víi x 0,x 9 a) Rút gọn ta b) Tìm Pmin 1  x 0 P M a) Rút gọn ta b) Từ x 11   Thay x 3  x 1 x  víi x 0,x 4,x 9 x 3  (TMĐK víi x 0,x 4,x 9 ) vào M tính M = - 2 c) Tìm x = 49 x  < Từ tìm x  9,x 4 d) Ta có M < M 1  x  víi x 0,x 4,x 9 e) Ta có  9.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Từ điều kiện x M nguyên ta tìm x = {l; 16; 25; 49} a) Gợi ý: x  x  ( x  2)( x  1) Q Rút gọn ta víi x 0,x 1 x   (TMĐK) b) Ta có Thay x 1 x1 x   vào Q tìm Q 32 3 c) Ta có Q = x= (TMĐK) Q d) Ta có x 3  0  2( x  1) x    x 1 e) Tương tự 3A Ta có Q = + x  Từ tìm x {0;4;9} P a) Rút gọn ta P b) Ta có x1 x  víi x 0,x 1 x3  0 2( x  1) Từ tìm x  9,x 1 x1  tìm x = (TMĐK) x  c) Giải P 1  x  • Từ điều kiện P ngun, tìm x = d) Ta có P 1  e) Từ x  tìm Pmin = -1 x = P P  Ta có 10 a) Rút gọn thu x1 x  víi x 0,x 4,x 1 x 4 Giải kết hợp điều kiện ta x  16,x 1,x 4 10.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên P 1  c) Tương tự 6A Ta có Từ tìm Pmin  x 2  x 0 11 a) Rút gọn ta N x  x  với x > x 1 1 3  N  x      x  4 Dâù ”=” xảy  b) Ta có N   x  4 Vậy c) Trường hợp Xét x = O => M = O Z Trường hợp Xét x 0  0M   x 1 x x 1 x 2 Khả Với M = 1, tìm x = ± (TM) Khả Với M = 2, tìm x = (KTM) Vậy giá trị tìm x = x = ± 12 a) Sử dụng cơng thức: Ta có VT =  A Khi A 0 A  A    A Khi A