Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI A Kiến thức cần nhớ Bước 1: Tìm điều kiện xác định biểu thức - Nếu biểu thức chứa phân thức mẫu số phải khác khơng - Nếu biểu thức chứa bậc chẵn biểu thức dấu phải lớn *) Chú ý: Các tốn thường gặp có kết hợp phân thức bậc chẵn Khi giải riêng lẻ phần, sau kết hợp kết lại với để chọn kết luận cung Bước 2: Phân tích tử số mẫu số thành nhân tử rút gọn *) Chú ý: Các dạng đa thức, đẳng thức thường gặp để phân tích đa thức thành nhân tử -  x x x 1   -  x x x  1 -  xy  x  x x x    x 1 xy  y x y  x y x x  xy  x  x  x1  ) xy  y x y x x   ) x y   x 1   x  x  A  B   A  B   A2  B (hằng đẳng thức  ) -  x 1   x  1  x    x    (hằng đẳng thức   A3  B  A  B   A2  AB  B  x y  y x  xy  x x y x  x  x 1  x    y   x x y y  x  x 1 A3  B  A  B   A2  AB  B   1 (hằng đẳng thức - x 1 x   x    y   x xy y  (hằng đẳng thức -  1   x1 A2  B  A  B   A  B   x 1 )  -  x   x  x  x 1  x   x  x  x  1 -   x2  x  x x x 1  x  x  x 1   x 1 (hằng đẳng thức    x 1 x   x  x 1  x 1  x1 A2 2 AB  B  A B  2 ) Bước 3: Quy đồng - Tìm mẫu số chung: Là tích nhân tử chung riêng nhân tử lấy với số mũ lướn - Nhân tử phụ: Lấy mẫu chung cho mẫu để nhân tử phụ tương ứng - Nhân nhân tử phụ với tùng tử giữ nguyên mẫu chung Bước 4: Phá ngoặc cách nhân khai hạng tử với triển đẳng thức Bước 5: Thu gọn cách cộng, trừ hạng tử đồng dạng Bước 6: Phân tích tử thành nhân tử Bước 7: Rút gọn lần cuối Dạng 1: Rút gọn biểu thức chứa bậc hai tìm giá trị biểu thức biết giá trị biến Cách giải: Thực theo hai bước Bước 1: Để rút gọn biểu thức chứa bậc hai cho, ta sử dụng phép biến đổi đưa thừa số vào dấu căn, trục thức mẫu, quy đồng mẫu thức cách linh hoạt Bước 2: Để tìm giá trị biểu thức biết giá trị biến ta rút gọn giá trị biến (nếu càn) sau thay vào biểu thức rút gọn tính kết Bài 1: Cho biểu thức P x x   x x 3 x  với x 0 x 9 a) Rút gọn P b) Tính giá trị P trường hợp - x  64  6 - x  21 1 Lời giải x x   x x 3 P a) Ta có  P x  64  6  thay x 4 vào P ta - x  x x x   x 3    2 2 x  x 3  x 3   x  x 3  21 P 1   1 Thay x 2 vào P ta  2 2 2 2  2 4 (thỏa mãn) 21 2 (thỏa mãn) P 4 Bài 2:   x1   Q    1  : x  x    x    Cho biểu thức với x 0 x 4 a) Rút gọn Q b) Tính giá trị Q trường hợp - x  27 10  18  - x  x 2  x 0; x 9  x 3 b) Ta có: x  x 2  2 Lời giải a) Ta có:   x1   x   x1  Q   :         :   x  x    x    x  x    x  x  2 x 5  x 0; x 4    x  2 x 2 x  27  10  18   x     1 b) Ta có (thỏa mãn điều kiện) Thay x 1 vào Q ta Q 2 - x 2  2 2 (thỏa mãn) Thay x 2 vào Q ta Q 8 2 Dạng 2: Rút gọn biểu thức chứa bậc hai tìm giá trị biến biết giá trị biểu thức Cách giải: Để tìm giá trị biến biết giá trị biẻu thức tá dụng kết biểu thức rút gọn giá trị biết biểu thức đề để tìm kết Bài 1:  x x  2 2 x  M    :    x  x  1  x x x  x   Cho biểu thức với x 0 x 1 a) Rút gọn M b) Tìm x để M 1 Lời giải  x x  2 2 x  x M     :    x1  x  x  1  x x x  x  a) Ta có: , với x 0; x 1 b) Ta có: M 1  x  x  0     x  x  0  x  Bài 2:  x2 N   x x   Cho biểu thức  x  x   với x 0 a) Rút gọn N b) Tìm x để N Lời giải 4 (thỏa mãn) a) Ta có:  x2 N    x x 1 N  b) Ta có   x x   x 1  x  x 1   , với x 0  1 x  2 x  0  x  4;   4   Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa bậc hai tìm giá trị biến để biểu thức nhận giá trị nguyên Cách giải: Ta xét hai trường hợp sau Trường hợp 1: Tìm giá trị nguyên biến để biểu thức nhậ giá trị nguyên Trường hợp 2: Tìm giá trị thực biến để biểu thức nhận giá trị nguyên Bài 1:   x   x A    1  :   x  x    x   với x 0 x 1 Cho biểu thức a) Rút gọn A b) Tìm x nguyên, x số phương để M  A x 1 x  x   x 1 x  có giá trị nguyên Lời giải    x 1 x   x x   x A    1     :   :  x  x    x    x  x  1  x   a) Ta có:  x 1 x   x     :   x  x  1  x  b) M  A x   x 1 x 1 :    x x  1 x1 x 1 x  1  x   với x 0 x 1 x 1 x  x  x 1 x 1 x  x      x  3 x 1 x 3 x 1 x  x 3 x 3 Để M nguyên, ta cần có x  N  x  3  U    1; 7  x 16 (thỏa mãn)b Vậy x 16 giá trị cần tìm Bài 2:  x  x 2 x 2 B    : A  x x   x  x   Cho hai biểu thức , với x 0 x 4 a) Rút gọn B b) Tìm x nguyên để C  A  B   có giá trị nguyên Lời giải  x  x 2  x x 2 x 2 x 2 B       : : x x   x   x  x   x  x 2  a) Ta có: , với x 0 x 4 C  A  B  2  b)  x 2  x 2 2     x   x 2 x   x    U    1; 2  x   0;1;6;16 Ta có C nguyên  Bài 3:  x  P    x  x  x , với x 0 x 4   Cho biểu thức a) Rút gọn P 7P b) Tìm x thực để có giá trị nguyên Lời giải  x  x x 4 x  2  P        x  x  2 x x x 2  x 2  x a) Ta có: , với x 0 x 4 b) Đặt M 14 7P M x  , với x 0 x 4 Ta có Cách 1: Ta tìm Từ tìm x 0M  Mà M  Z  M   1; 2 64 ;x  9 14 n x  Cách 2: Đặt , với n nguyên Ta có 14  6n 64 x 0   n   n   1; 2  x  ; x  3n 9 Bài 4:  15  x  x 1 1 x A    : B x  25 x  x     x , với x 0 x 25 Cho hai biểu thức a) Rút gọn A b) Tìm x thực để M  A  B có giá trị nguyên Lời giải  a) Ta có:   15  x  x   15  x x  A      :  x  25 x  25 x  25 x  x       :   x 1  x x 1 , với x 0 x 25 b) Ta có: M A  B  1 x x   x 1 x 1 x  , với x 0 x 25 Cách 1: Tìm M  Mà M  Z  M 0  x 0 (thỏa mãn điều kiện) Cách 2: Đặt Ta có: x n x 1 , với n nguyên n x 0  n   n 0  x 0 1 n (thỏa mãn điều kiện) Dạng 4: Rút gọn biểu thức chứa bậc hai so sánh biểu thức với số (hoặc biểu thức khác) Cách giải: Để so sánh biểu thức M với số a , ta xét hiệu M  a xét dấu hiệu này, từ đến kết phép so sánh Bài 1: Cho hai biểu thức x1 x 3 B   x  1 x x  x  , với x 0 x 1; x 25 A a) Rút gọn B x  x   C  A.B   x  x với   b) So sánh Lời giải a) Ta có: B x 3    1 x x  x  x 3    5 x1 x  x 1 x x 6  x x  , với x 0 x 1 x   x   x  x  x   x  x  x 1  C  A.B       x  5 x x x1 x   x x   b) Ta có: , với x  ; x 1 Xét hiệu  C 3  x1 x 0 (vì x  0; x 1; x 25 ) Từ ta có: C  Bài 2: Cho hai biểu thức A x x 9 x x 5 x  B x  x x  25 , với x 0 x 9; x 25 a) Rút gọn biểu thức A, B b) Đặt P A B Hãy so sánh P với Lời giải a) Rút gọn b) Ta có: P A x x B x  x  , với x 0 x 9; x 25 8 A x5 P  1   P 1  B x  x 3 Dạng 5: Rút gọn biểu thức chứa bậc hai tìm GTNN (hoặc GTLN) biểu thức Cách giải: Chú ý - Biểu thức P có giá trị lớn a , ký hiệu Pmax a, P a với giá trị biến tồn giá trị biến để dấu “=” xảy - Biểu thức P có giá trị nhỏ b , ký hiệu Pmin b, P b với giá trị biến tồn giá trị biến để dấu “=” xảy Bài 1: Cho hai biểu thức A x 2 x 5 x B  x  x x 6 a) Rút gọn biểu thức B b) Đặt P A B Hãy tìm giá trị nhỏ P Lời giải a) Rút gọn b) Tìm  P Ta có: P B x 1 x  , với x 0 x 4; x 9 x  x 5 x  , với x 0 x 4; x 9  x 1  2 x 1   x 1 4 x 1 x  x 1  x   x , với x 0 x 4; x 9 Dấu “=” xảy  x 1   x 1 x 1 (thỏa mãn điều kiện) Vậy Pmin 4  x 1 Bài 2: Cho biểu thức P x x 3x    x 3 x  x  , với x 0 x 9 a) Rút gọn biểu thức P b) Hãy tìm giá trị lớn P Lời giải a) Rút gọn P x  , với x 0 x 9 b) Tìm Pmax 1  x 0 10 BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Cho biểu thức A 15 x  19 x  2 x    x  x  1 x x 3 a Tìm x để biểu thức A có nghĩa c Tìm x để A b Rút gọn A 2 d So sánh A với e Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên Lời giải  x 0   x  x  0    x    a) Điều kiện:  x  0 b) Ta có: A  x 0   x 1 15 x  19 x  2 x  x  22    ( x 0; x 1) x  x  1 x x 3 x 3 A  c) Ta có: A d) Xét hiệu:  x 0   x  0    x  0 x  22  ( x 0; x 1)  x  44 3 x   x 3 2 x  22 x  60    0 A 3 x  3 3( x  3) 11 x 35  x 1225(tm) x  22 Z  x 3 A Z  e) Ta có:  x   U (19) 19 Z    x 3 x    x  19  x 256 (thỏa mãn) Bài 2: Cho biểu thức M x  x  x 6 x  x 1   x 0; x 4; x 9  x  3 x a Rút gọn M b Tính giá trị M x 11  c Tìm giá trị thực x để M 2 d Tìm giá trị thực x để M  e Tìm x ngun để M có giá trị ngun Lời giải a) Ta có: M x  x  x 6 b) Ta có: x 11   x  x 1 x 1   ( x 0; x 4; x 9) x  3 x x x 3  2(tm)  M 1  2 c) Ta tìm x 49 0  x  0  x  x 4 M 1  d) Ta có: e) M x 1 1  ( x 0; x 4; x 9)  x   1;16; 25; 49 x x Bài 3: Cho biểu thức Q 3x  x   x x  x 1 x  ( x 0; x 1) x  1 x a Rút gọn Q b Tính giá trị Q x 4  c Tìm giá trị x để Q 3 d Tìm giá trị x để e Tìm x ngun để Q có giá trị nguyên Lời giải a) Rút gọn được: Q x 1 ( x 0; x 1) x1 12 Q b) Ta có: x 4   x  1  Q  32 3 c) Ta có: Q 3  x 4 (thỏa mãn) Q d) Có: x 3  0 2( x  1) e) Rút gọn được: Q 1  x  1  x 1 ,Q  Z  x1   x  U    1; 2  x   0; 4;9 Bài 4:    x x x  P     :    x 0; x 1 x  x x  x  x    x x  x  x  x    Cho biểu thức a Rút gọn P b Tìm giá trị x để c Tìm giá trị x để P P d Tìm x nguyên để P nguyên Lời giải    x x x  x1 P    ( x 0; x 1)  :    x  x x  x  x    x x  x  x 1 x   x 1  a) Ta có: P b) Ta có: x  0 2( x  1) P  c) Có: d) Ta có: P 1  0  x    x 1 x1   x 4(tm ) x 1  PZ  x 1   x   U    x 0 (thỏa mãn) Bài 5: Cho A x  ;B  ( x  0; x 1) x  x x x1 a Tính giá trị biể thức B x 9 b Rút gọn C  A : B c Tìm giá trị x để C 3 d So sánh C với 13 e Chứng minh C  f Tìm x nguyên để biểu thức C có giá trị ngun g Tìm giá trị nhỏ biểu thức C h Tìm giá trị m để nghiệm x thỏa mãn bất phương trình:  x C  x  m  Lời giải a) Với x 9 thỏa mãn điều kiện xác định  B   x x2 C    C  : x ( x  1)  x  x  x1 b) Ta có: C 3  C  c) Ta có: x2 x2 x 3   0  x  x  0  x x x  x 1(loai )  x 4(tm)  C 3  x 4   127  2x     x  4x  x   4 16 C     ;x 0 x 0 C  4 x 4 x x d) e) Xét hiệu: f) g) h) C C 2 x2 x  x  ( x  1)   2   C 2 x x x x2 2  x  Z  x x x C x  U (2)  x   1; 2  x   1; 4  x 4 x2  x 2 2(cosi )  Amin 2  x x  x C  x  m    x  x  x 2 x (thỏa mãn) x 1  m   x  x   m   x  x   m   4 1 1     x    m     x     m; x   2 2    1    x     m    m  m 1  2 4 14 1  x 0  x    2  Bài 6: Cho x 1 x  x 1    x 0; x 1 x x1 x 1 A a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị A x 9 c Tìm giá trị x để A d Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên e Tìm m để phương trình mA  x  có hai nghiệm phân biệt x để A  f Tính giá trị g Tìm giá trị nhỏ biểu thức A Lời giải a) Ta có: A A  c) d) A x 1 x  x 1 x     ( x 0; x 1) x x1 x 1 x 1 x 1  x 1 (loại) Vậy khơng có giá trị x để x  2( x  1)   2  x 1 x 1  x 1 e)  -3 -1 x -4 -2  -  - t/m t/m Điều kiện x   U (3) x 1 x  x   0; 4  A A  Z mA  x   m x1  x   2m x  m  x  x 1 15 x   x  (2m  1) x  m  0 Đặt t  x (t 0; t 1)  (1)  t  (2m  1)t  m  0(*) Phương trình có hai nghiệm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác   (2m  1)   4.( m  2)       P 0  m   t2  t1 0     S    2m    a  b  c 0 1  (2m  1)  m  0  4m2   0m  m 2   m 2  1 m    m  Vậy điều kiện m 2 f) A 1  Ta có: x1 x  1 x  1  0 x 1 x 1 x 0x  DKXD  x  1x  x 0 x 1 x 0 x 1 x  20 x 2 x4 Kết hợp với điều kiện ta được: x  4; x 1 g) ( x 0; x 1); co : x 0  x 1 A 2  Dấu “ = ” xảy  x  1  3   x 1 2   A  x 1 x 0  x 0(tm)  Amin   x 0 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Biểu thức   3 2      3 2   có kết số nào? a 12 b 13 c 14 d 15 Lời giải Chọn đáp án D Giải thích: 16 Ta có:   3 2        2  2 5  3.2  2  2    5 2.5  10  10  3.2  2.2  10  10  3.5 10   15 15 Câu 2: 5  50  5 75  Rút gọn 24  có kết số nào? a b c d Lời giải Chọn đáp án A Giải thích: Ta 5 có:  50  5 75  24   25  50  5 75  24   25  25  30  20   1 3 5 3 Câu 3: Giá trị nhỏ biểu thức x  x  số nào? a  b  c  d  Lời giải Chọn đáp án C Giải thích: Ta có: Dấu   2 x  x  2 x  x    x     “=” xảy  2 x  0  x  0  x  Giá trị nhỏ biểu thức x  x   Câu 4: 17 x 2 2  1 a 1        1   a2   a   a  a  Biểu thức có kết rút gọn số nào? a 1 b c d  Lời giải Chọn đáp án C Giải thích: Ta có:    1 a 1     1 a 1 a 1   1         a  a  a   a    a  a  a  a        a 1  a a 1 a 1  a 1  a 1  a  a  a 1      1     a  a  a2  a  a  a a  a  a a            Câu 5:  a   2 a Rút gọn    a1      a 1 a 1   a   ta kết nào? a b  c d  Lời giải Chọn đáp án B Giải thích: Ta có:   a   a1       2 a   a 1 a 1  a   a   a    a 1  a  1  a 1 a1  a 4 a  2 a a Câu 6: Rút gọn M a  ab  a b ab , với a  0, b  ta được: 18  a  a  a 1  a  a  a a a M  ab c M b M  ab ab b d Một kết khác Lời giải Chọn đáp án B Giải thích: Với a, b  , ta có: ab  ab  ab  ab b b M Câu 7:  1 x x   1 x  Q   x     x  1 x    Rút gọn , với x  x 1 a Q  x b Q  x c Q 1 d Q  Lời giải Chọn đáp án C Giải thích: Với x  0; x 1 , ta có: 2  1 x  x 1  x   1 x   1 x x   1 x   1 x x  x  x   1 x  Q   x            1 x 1 x   1 x   1 x     1 x     x   1 x  1     x 1   x  1 x 1 x  1 x       1 x 1 x  1 x   1 x  Câu 8: Giá trị biểu thức N     bằng: a N 4 b N  c N   d N 2 19 Lời giải Chọn đáp án D Giải thích: Ta có: Do       ;9    N  9  94   2   2   2  2   2 Câu 9: Tập nghiệm phương trình x  x   12   12  là: a S   3 b S   3;6 c S   6;9 d S  3;  9 Lời giải Chọn đáp án D Giải thích: Ta có:  x  3 x  x   12   12    x  6  x  3   6     x     3   3 3  x 3  x   Vậy tập nghiệm phương trình S  3;  9 Câu 10: Cho x 1 2x 1 2x P   1 2x  1 2x Tính giá trị biểu thức a P  b P 1 c P  d Lời giải Chọn đáp án B Giải thích: 20 P 