Chuyen de PHEP BIEN HINH TRONG MAT PHANG

_ Quy tắc f được xác định bằng các phép dựng hình cơ bản trong mặt phẳng như: Tìm giao điểm của hai đường thẳng đã được xác định nào đó, dựng đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc[r]

TRƯỜNG THPT LÝ TỰ TRỌNG

CHUYÊN ĐỀ:

TÍCH CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG

Người thực hiện: GV Phan Thị Thanh Huyền

MỤC LỤC Chương 1: Mở đầu

1.1 – Lý chọn đề tài

1.2 – Sơ lược phép biến hình mặt phẳng 1.2.1 – Phép biến hình

1.2.2 – Phép dời hình 1.2.3 – Phép đồng dạng

Chương 2: Tích phép biến hình mặt phẳng. 2.1 – Tích hai phép tịnh tiến

2.2 – Tích hai phép đối xứng trục 2.3 – Tích hai phép đối xứng tâm 2.4 – Tích hai phép quay

2.5 – Tích hai phép vị tự

2.6 – Tích phép đối xứng trục phép tịnh tiến 2.7 – Tích phép quay phép đối xứng trục 2.8 – Mở rộng

Chương 3: Bài tập áp dụng.

Chương 1: MỞ ĐẦU

1.1 – Lý chọn đề tài

Phép biến hình khái niệm nói khó học sinh trung học phổ thơng Mục đích việc đưa nội dung phép biến hình vào chương trình tốn phổ thông nhằm cung cấp cho học sinh công cụ để giải toán đồng thời tập cho học sinh làm quen với phương pháp tư suy luận Tuy nhiên, việc dạy học chủ đề phép biến hình trường trung học phổ thơng người ta nhắm đến ba cấp độ:

Cấp độ 1: Phép biến hình gắn liền với mối liên hệ hai hình hai phần hình ( đặc trưng hàm hồn tồn vắng mặt)

Cấp độ 2: Phép biến hình hiểu ánh xạ từ mặt phẳng, hay tổng quát , từ khơng gian lên nó, mặt phẳng không gian nghiên cứu với tư cách tập hợp điểm

Cấp độ 3: Phép biến hình xem cơng cụ giải tốn hình học Trong đó, cấp độ trọng tâm, cịn cấp độ đòi hỏi cao thấp tùy vào thể chế dạy học

Trong chuyên đề này, đề cập đến phép biến hình mặt phẳng, tích phép biến hình mặt phẳng vài ứng dụng chúng vào việc giải tốn hình học

Trên thực tế, sách giáo khoa Hình học 11 (cơ nâng cao) khơng nói đến tích phép biến hình mặt phẳng lại đề cập đến việc “thực liên tiếp phép biến hình” Chính vậy, với chun đề nhỏ này, tơi hi vọng giúp em học sinh hiểu rõ “ Tích phép biến hình mặt phẳng” ứng dụng vào giải tốn

1.2 – Sơ lược phép biến hình mặt phẳng. 1.2.1 – Phép biến hình.

Ta kí hiệu tập hợp tất điểm mặt phẳng P Khi hình H mặt phẳng tập P kí hiệu H P.

a) Định nghĩa

Một song ánh f P:  P từ tập điểm P lên gọi phép biến hình mặt phẳng

:

'

f P P

M M

 

Điểm M'f M( ) gọi ảnh điểm M qua phép biến hình f Ngược lại

Nếu H hình P ta xác định tập hợp

 

' ' ( )

H  M f M MH

Khi H' gọi ảnh hình H qua phép biến hình

f hình H gọi tạo ảnh hình H ' qua phép biến hình f đó.

b) Sự xác định phép biến hình.

Muốn xác định phép biến hình f P:  P ta cần nêu rõ quy tắc f cách sau đây:

_ Quy tắc f xác định phép dựng hình mặt phẳng như: Tìm giao điểm hai đường thẳng xác định đó, dựng đường thẳng qua điểm vng góc với đường thẳng cho trước, dựng đường trịn với tâm bán kính cho,

_ Quy tắc f xác định biểu thức liên hệ tọa độ ( ; )x y điểm M với tọa độ ( '; ')x y điểm M'f M( ) hệ tọa độ Oxy nào

đó

c) Phép đồng nhất

Phép biến hình f P:  P, biến điểm M thành gọi là

phép đồng Kí hiệu:

:

e P P

M M





d) Điểm bất động phép biến hình.

Một điểm MP điểm bất động (hoặc điểm kép) phép biến

hình f f M( )M .

e) Phép biến hình đảo ngược.

Trong mặt phẳng, cho phép biến hình f M:  M' Khi phép biến hình

biến M' M gọi phép biến hình đảo ngược phép biến hình f

Kí hiệu: f1

Mỗi phép biến hình f có phép biến hình đảo ngược f1 Nếu f f1 phép biến hình f gọi phép biến hình đối hợp.

f) Tích phép biến hình

Dễ dàng chứng minh được:

Tích hai phép biến hình phép biến hình Tích phép biến hình có tính chất kết hợp

1.2.2 – Phép dời hình

a) Định nghĩa

Phép dời hình phép biến hình bảo tồn khoảng cách hai điểm

Nhận xét: i) Phép đồng phép dời hình

ii) Đảo ngược phép dời hình phép dời hình

b) Các phép dời hình

i) Phép tịnh tiến ĐỊNH NGHĨA:

Trong mặt phẳng P cho vectơ v 

,

phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ cho MM  'v gọi phép tịnh tiến theo vectơ v

 Kí hiệu: Tv , vectơ v



gọi vectơ tịnh tiến ii) Phép đối xứng trục

ĐỊNH NGHĨA:

Trong mặt phẳng P cho đường thẳng d cố định, phép biến hình biến điểm M thành điểm M’

sao cho đoạn thẳng MM’ nhận d làm đường trung trực phép biến hình gọi phép đối xứng trục d

Kí hiệu: Đd, với d trục đối xứng

Nếu điểm M thuộc đường thẳng d ta lấy M’ trùng với M iii) Phép đối xứng tâm

ĐỊNH NGHĨA:

Trong mặt phẳng P cho điểm O cố định,

phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ cho O trung điểm đoạn thẳng MM’

gọi phép đối xứng tâm O

Kí hiệu: ĐO, điểm O gọi tâm đối xứng

iv) Phép quay

ĐỊNH NGHĨA:

Trong mặt phẳng P, cho điểm O cố định góc lượng giác  Phép quay tâm O, góc quay 

là phép biến hình biến điểm O thành nó, biến điểm M thành điểm M’

cho OM OM' OM OM, '   

Kí hiệu: QO; , O tâm quay,  góc quay.

Nhận xét : - Phép quay tâm O, góc quay 0o phép đồng nhất.

- Phép quay tâm O, góc quay ; phép đối xứng tâm O.

1.2.3 Phép đồng dạng a) Phép vị tự

ĐỊNH NGHĨA :

Trong mặt phẳng cho điểm O cố định số k 0 Phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ cho OM 'kOM gọi phép vị tự tâm O, tỉ

số k

Kí hiệu : VO k;  , O gọi tâm vị tự, k gọi tỉ số vị tự.

Nhận xét : - Phép vị tự tỉ số phép đồng - Phép vị tự tỉ số -1 phép đối xứng tâm

b) Phép đồng dạng

ĐỊNH NGHĨA :

Một phép biến hình f P:  P gọi phép đồng dạng biến hai

điểm A, B mặt phẳng thành hai điểm A’=f(A) B’=f(B) cho ln có A’B’=kAB, k số thực dương xác định Số k gọi tỉ số đồng dạng

Nhận xét : - Phép dời hình phép đồng dạng tỉ số - Phép vị tự tỉ số k phép đồng dạng tỉ số /k/

- Phép đảo ngược phép đồng dạng tỉ số k phép đồng dạng tỉ số 1/k

- Tích phép đồng dạng tỉ số k1 với phép đồng dạng tỉ

Chương : TÍCH CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 2.1 – Tích hai phép tịnh tiến.

Tích hai phép tịnh tiến theo vectơ u v phép tịnh tiến theo vectơ u v

  .

Chứng minh :

Trong mặt phẳng lấy điểm M bất kì

Giả sử:

'

' ''

( )

( )

u v

T M M

T M M

 





Ta có:

'

' ''

MM u

M M v

 

 

 

Suy MM'' MM'M M' ''  u v

    

Vậy Tu v  ( )M M''

* Nhận xét: Tích hai phép tịnh tiến có tính chất giao hốn (Bạn đọc tự kiểm chứng)

2.2 - Tích hai phép đối xứng trục.

a Tích hai phép đối xứng có trục song.

Tích hai phép đối xứng trục theo thứ tự có trục a b song song

với phép tịnh tiến theo vectơ v có phương vng góc với hai trục,

có hướng từ avà b có mơđun hai lần khoảng cách hai trục đó.

Chứng minh:

Gọi Đa Đb hai phép đối xứng trục có hai trục a b song song

Với điểm M ta có M’= Đa(M), M’’= Đb(M’)

Đường thẳng a đường trung trực đoạn MM’ gọi H trung điểm MM’ MM ' 2  HM' HM'a.

Tương tự, gọi H’là trung điểm M’M” M M' '' 2 M H' '

 

M H' 'b 

Vậy MM''MM'M M' ''

  

2(HM'M H' ') 2 HH'

  

Mặt khác ta nhận thấy ba điểm M, M’, M’’ nằm đường thẳng vng góc với a b, đồng thời vectơ HH'khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M và

vectơ có hướng từ a đến b, có phương vng góc với a b, có độ dài khoảng cách hai trục Do phương đường thẳng MM’ khơng đổi ln vng góc với a b Như tích hai phép đối xứng trục Đa Đb

biến điểm M thành điểm M’’ với MM'' 2 HH'

 

phép tịnh tiến theo vectơ

2HH'.

v

u M’

Do đó: ĐbĐa= T2HH'



* Chú ý: Tích hai phép đối xứng khơng có tính chất giao hốn

Nhận xét: Mỗi phép tịnh tiến phân tích thành tích hai phép đối xứng có trục song song

b Tích hai phép đối xứng có trục cắt nhau:

Tích hai phép đối xứng trục theo thứ tự có trục a b cắt nhau tại O phép quay tâm O góc quay  lần góc hai đường

thẳng a b.

Chứng minh:

Gọi Đa Đb phép đối xứng trục với hai trục a b cắt O Với

một điểm M khác O, ta gọi M’ = Đa(M),

M’’ = Đa(M’)

Như tích ĐbĐa biến điểm M thành M’’

Gọi H H’ trung điểm MM’ M’M’’ H’b

Ta có

( , ') 2( , ')

( , '') 2( ', ')

OM OM OH OM

OM OM OM OH

 

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

  

Do

(    OM OM           ,                '')              (OM OM, ') ( OM OM', '')

2 ( OH OM, ') ( OM OH', )

   

(OH OH               , ') 2( , ) a b

Trong (a,b) góc định hướng tạo a b Góc xác định sai khác bội số  Dó ( , )a b   k (OM OM, ') 2  k2 

 

Ngoài OM = OM’ = OM’’

Nếu M  O tích ĐbĐa biến O thành O

Vậy tích hai phép đối xứng trục có trục cắt O tạo thành góc  phép quay tâm O với góc 2 .

a

Nhận xét:

i Tích phép đối xứng có trục vng góc O phép đối xứng tâm O

ii Mỗi phép quay ta phân tích thành tích hai phép đối xứng có trục cắt

(Bạn đọc tự kiểm chứng)

2.3 – Tích hai phép đối xứng tâm:

Tích hai phép đối xứng tâm I1, I2 (I1I2) theo thứ tự phép tịnh

tiến theo véctơ 2I I1



Chứng minh:

Gọi ĐI1 ĐI2 hai phép đối xứng tâm I1, I2.

Với điểm M

Giả sử ĐI1(M) = M’

ĐI2(M’) = M’’

Ta có

1

'

'' '

MM MI

MM M I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1 1

0

'' ' ' '' 2( ' )

2( ' )

2

MM MM M M MI M I

MI M I I I I I

    

  





    

        

Vậy T2I I1 2( )M M''



2.4 – Tích hai phép quay:

a Tích hai phép quay tâm.

Tích hai phép quay Q( ; )O1 v Qà ( ;O2)là phép quay Q( ;O12)

Chứng minh:

Gọi Q( ; )O1 v Q( ;O2)là hai phép tâm O góc quay 1 phép quay tâm O góc quay

2

 với điểm M bất kì

Giả sử

1 ( ; )

( ; )

( ) '

( ') ''

O O

Q M M

Q M M





Ta có

'

( , ')

OM OM

OM OM 

  

 

Và

' ''

( , '') ( , ') ( ', '')

OM OM

OM OM OM OM OM OM  

 



   



Vậy Q( ;O12)( )M M ''.

b Tích hai phép quay khác tâm:

Phân tích:

Giả sử

1

2

( ; ) ( ; )

O O Q Q





Qua O1,O2 kẻ đường thẳng d1, d2 cho

   

1; O O ;1 2

2

d O O  d 

Đặt f Q(O2;2)Q(O1; ).1

= (Đd2ĐO O1 2)(ĐO O1 2Đd1) = Đd2(ĐO O1 2ĐO O1 2)Đd1 = Đd2 Đd1

(Vì tích ĐO O1 2ĐO O1 phép đồng nhất)

Nếu d1 // d2 f phép tịnh tiến

Nếu d1 cắt d2 f phép quay

Tóm lại:

Tích hai phép quay Q(O1; )1 v Q(O2;2) phép quay

hoặc phép tịnh tiến. 2.5 – Tích hai phép vị tự.

a Tích hai phép vị tự tâm.

Tích hai phép vị tự V( ; )O k1 v V( ; )O k2 là phép vị tự V( ; )O k2 ,k k k

Chứng minh

Giả sử: V( ; )(O k1 M)M' , M bất kì

2

( ; )(O k M') M''

V 

Ta có

1

2

'

'' '

OM k OM

OM k OM k k OM



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vậy OM ''kOM k k k,  2.                            

Nhận xét: Nếu k k1 1 tích phép đồng

b Tích hai phép vị tự khác tâm.

Tích hai phép vị tự khác tâm phép vị tự có tâm thẳng hàng với hai tâm hai phép vị tự cho đặc biệt phép tịnh tiến hay phép đồng nhất.

Chứng minh:

Giả sử có hai phép vị tự V(O k1; )1 v Và (O k2; ).2

Với hai điểm A, B ta có

1

( ; )O k ( ) ' '

V AB A B

vớiA B' 'k AB1

                            2

(O k; )( ' ') '' ''

V A B A B

với A B'' ''k A B2 ' '

                           

Do A B'' ''k k AB2

                           

Vậy tích V(O k2; ) (2 VO k1; )1

Phép vị tự k k2 1

Phép tịnh tiến phép đồng k k2 1

* Cách xác định tâm vị tự O tích V(O k2; ) (2 VO k1; )1

Ta thấy tâm O phải nằm đường thẳng O1O2

Giả sử V(O k1 1; )( )O O' ta có O O '1 k1O O1

                            (1) Khi V(O k2; )2 ( ')O O (vì O O ''V(O k2; )2 )

Nên O O kO O2  '

                            (2) Nhưng O O2 'O O O O2 1 '

                                         

Do O O2 "O O k O O O O2  2( 1 ')k O O2( 1kO O1 )

                                                                                    Theo (1)

2 1 2 1

O O  O O k O O   k k O O

1 (1 1) 2(1 2)

Nên

2

1

2

1 1

k

O O O O

k k                                (*)

Vì O O1, điểm O hoàn toàn xác định nhờ (*)

Vậy:

Nếu k k1 1thì V(O k2; ) (VO k1 1; ) phép vị tự tâm O xác định

hệ thức (*), tỉ số k k k 2.

Nếu k k1 1 A B" "AB

                           

, V(O k2; ) (2 VO k1; )1 phép tịnh

tiến O1 O2 phép đồng O1 O2.

2.6 – Tích phép đối xứng trục Đd phép tịnh tiến Ta

 . Đặt f ĐdTa



.

a) Nếu a d 

Kẻ đường thẳng d1 thỏa

1 ( , ) 2 d d a d   

Khi Ta ĐdĐd1

Suy f ĐdTa



Đd(ĐdĐd1) = Đd1

Vậy tích phép đối xứng trục Đd phép tịnh tiến Ta

 , a



vng góc với trục đối xứng d phép đối xứng trục

b) Nếu a khơng vng góc với d

Phân tích a a 1a2

                            

Trong a1 d a, d

                            

f Đ

dTa



= Đd(T Ta1 a2

                            )

= (Đd

)

a a

T T 

(với d1 xác định trường hợp a)

Ta gọi tích phép tịnh tiến Ta phép đối xứng trục Đd , với a d



 một

Nhận xét: Phép đối xứng trượt có tính chất giao hốn nghĩa là: ĐdTa Ta

  Đd

2.7 – Tích phép quay phép đối xứng trục. Giả sử g ĐdQ( ; )O

Kẻ d1, d2 thỏa:

 d1 cắt d2 O

 d2 d



( , )

d d 

Khi đó: g ĐdQ( ; )O

= Đd(Đd2Đd1)

= (ĐdĐd2Đd1)

= T2aĐd1

Nếu ad1



thì g phép đối xứng trục. Nếu a



không vuông góc với d1 g phép đối xứng trượt.

2.8 – Mở rộng.

a Tích số chẵn phép đối xứng có trục đối xứng song song một phép tịnh tiến.

b Tích số lẻ phép đối xứng trục có trục đối xứng song song là một phép đối xứng trục.

c Tích số chẵn phép đối xứng trục có trục đối xứng đồng quy là phép quay.

d Tích số lẻ phép đối xứng trục có trục đối xứng đồng quy là một phép đối xứng trục.

e Tích hai phép đối xứng trượt có trục song song phép tịnh tiến f tích ba phép đối xứng trục phép đối xứng trượt.

Chương 3: BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Cho hai điểm A, B cố định đường tròn (O; R) cho trước Một điểm M di động (O; R) Gọi N trung điểm đoạn AM Dựng hình bình hành ABCN Xác định phép biến hình điểm M thành C chứng tỏ tập hợp điểm C đường trịn có bán kính xác định

Giải. Ta có

1

AN  AM

                           

Vậy ( ; )12

( )

A

V M N

Mặt khác: NCAB Vậy TAB( )N C

Do : ( ; )12

( )

AB A

T V M C

Vậy phép đồng dạng tích phép vị tự phép tịnh tiến biến M thành C

Vì N chạy đường trịn bán kính

R

nên C chạy đường trịn bán kính

2

R

Bài : Tam giác ABC có M, N, P trung điểm BC, CA, AB S

Giải Gọi G trọng tâm tam giác ABC

Xét tích

 ; 1 ( ; 1)

S G

f V  V





1

( ; ) ( ; 1)

G S

V

V

A M I





 

B  N  J

C  P  K

Suy I, J, K ảnh A, B, C qua phép vị tự f tâm S’, tỉ số  

1

2

k  

Vậy AI, BJ, CK đồng quy S’

b) Ta có

2

1 1 1

'

1

1 1

2 k

GS GS GS

k k                                                 4 ' 3

GS  GS

  ; ' G V S S       

Vậy S’ thuộc đường tròn ảnh (ABC) qua

4 ;

3

G

V 

 

 

* Bài tập tự giải

Bài 1: cho hai đường tròn (O), (O’) tiếp xúc A đường thẳng d, điểm M thay đổi d từ M kẻ hai tiếp tuyến MN MP đến (O) Hai đường thẳng AN, AP cắt (O’) N’, P’ Chứng minh đường thẳng N’P’ qua điểm cố định M thay đổi d

Bài 2: Dựng hình vng nội tiếp tam giác cho Trong hai đỉnh của hình vng nằm cạnh, hai đỉnh nằm hai cạnh lại tam giác

Bài 4: Cho hai đường trịn cố định (O1), (O2) ngồi Đường tròn (O3) thay

đổi tiếp xúc với (O1), (O2) M N Cho biết bán kính (O1), (O2)

khơng Chứng minh MN qua điểm cố định

Bài 5: Cho hình ABCD vng A D có AB = 2AD = 2CD M điểm thay đổi cạnh CD Đường thẳng vng góc với AM M cắt BC N Chứng minh trung điểm I MN thuộc đường thẳng cố định

Tài liệu tham khảo:

1 Văn Như Cương (chủ biên), 2007, Hình học 11 nâng cao, NXB Giáo dục Văn Như Cương (chủ biên), 2007, Bài tập hình học 11 nâng cao, NXB Giáo dục

3 Văn Như Cương, Trần Phương Dung, Phan Thị Minh Nguyệt, 2007, Câu hỏi trắc nghiệm khách quan tập tự luận Hình học 11, NXB Giáo dục

4 Nguyễn Mộng Hy, 2004, Các phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo dục

5 Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), 2007, Hình học 11, NXB Giáo dục

6 Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), 2007, Bài tập hình học 11, NXB Giáo dục Đỗ Thanh Sơn, 2006, Phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo dục Lê Ngơ Hữu Lạc Thiện, 2007, Bài tập hình học sơ cấp