Baøi 38: Trong khoâng gian Oxyz cho maët phaúng P ñi qua ba ñieåm A1,3,2 , B1,2,1 vaø C1,1,3 Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc vớ[r]
(1)HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG KHOÂNG GIAN Chuyên đề 15: A KIẾN THỨC CƠ BẢN: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ z I Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC không gian x' x'Ox : trục hoành y'Oy : truïc tung z'Oz : truïc cao O : gốc toạ độ JG JJG JJG e1 , e2 , e3 : veùc tô ñôn vò • • • • • K e3 y' x K e1 O K e2 z' Quy ước : Không gian mà đó có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxyz gọi là khoâng gian Oxyz vaø kyù hieäu laø : kg(Oxyz) II Toạ độ điểm và véc tơ: JJJJG Định nghĩa 1: Cho M ∈ kg(Oxyz) Khi đó véc tơ OM biểu diển cách theo JJJJG JG JJG JJG JG JJG JJG z e1 , e2 , e3 hệ thức có dạng : OM = xe1 + ye2 + ye3 với x,y,z ∈ \ Bộ số (x;y;z) hệ thức trên gọi là toạ độ điểm M y Kyù hieäu: M(x;y;z) M ( x: hoành độ điểm M; y: tung độ điểm M, z: cao độ điểm M ) O x M ( x; y; z) ñ/n ⇔ JJJJG JG JJG JJG OM = xe1 + ye2 + ze3 YÙ nghóa hình hoïc: • z M2 R z M3 O M y p x = OP Q x x y M1 117 Lop10.com ; y= OQ ; z = OR y (2) G G Định nghĩa 2: Cho a ∈ kg(Oxyz) Khi đó véc tơ a biểu diển cách theo G JG JJG JJG JG JJG JJG e1 , e2 , e3 hệ thức có dạng : a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 với a1 ,a2 ∈ \ G Bộ số (a1;a2;a3) hệ thức trên gọi là toạ độ véc tơ a G a = (a1; a2 ) Kyù hieäu: G a=(a1;a2 ;a3 ) G JG JG J JJG a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 ñ/n ⇔ II Các công thức và định lý toạ độ điểm và toạ độ véc tơ : Ñònh lyù 1: Neáu A( x A ; y A ; zA ) vaø B(x B; yB ; zB ) thì JJJG AB = ( xB − x A ; yB − y A ; zB − zA ) G G Neáu a = (a1; a2 ; a3 ) vaø b = (b1; b2 ; b3 ) thì Ñònh lyù 2: ⎧a1 = b1 G G ⎪ * a = b ⇔ ⎨a2 = b2 ⎪a = b ⎩ G G * a + b = (a1 + b1; a2 + b2 ; a3 + b3 ) G G * a − b = (a1 − b1; a2 − b2 ; a3 − b3 ) G * k a = (ka1; ka2 ; ka3 ) (k ∈ \ ) III Sự cùng phương hai véc tơ: Nhaéc laïi • Hai véc tơ cùng phương là hai véc tơ nằm trên cùng đường thẳng nằm trên hai đường thaúng song song • Định lý cùng phương hai véc tơ: G G G G Ñònh lyù : Cho hai véc tơ a và b với b ≠ G G a cuøng phöông b G G ⇔ ∃!k ∈ \ cho a = k b G G Nếu a ≠ thì số k trường hợp này xác định sau: G G k > a cùng hướng b G G k < a ngược hướng b G a k = G b Ñònh lyù : JJJG JJJG A, B, C thaúng haøng ⇔ AB cuøng phöông AC 118 Lop10.com (3) G G Ñònh lyù 5: Cho hai veùc tô a = (a1; a2 ; a3 ) vaø b = (b1; b2 ; b3 ) ta coù : ⎧a1 = kb1 ⎪ ⇔ ⎨a2 = kb2 ⇔ a : a2 : a3 = b1 : b2 : b3 ⎪a = kb ⎩ G G a cuøng phöông b IV Tích vô hướng hai véc tơ: Nhaéc laïi: GG G G G G a.b = a b cos(a, b) G2 G a =a G G GG a ⊥ b ⇔ a.b = Ñònh lyù 6: G G Cho hai veùc tô a = (a1; a2 ; a2 ) vaø b = (b1; b2 ; b3 ) ta coù : GG a.b = a1b1 + a2 b2 + a3b3 G Ñònh lyù 7: Cho hai veùc tô a = (a1; a2 ; a3 ) ta coù : G a = a12 + a22 + a32 Ñònh lyù 8: Neáu A( x A ; y A ) vaø B(x B ; yB ) thì AB = ( xB − x A )2 + ( yB − y A )2 + (zB − zA )2 G G Ñònh lyù 9: Cho hai veùc tô a = (a1; a2 ; a3 ) vaø b = (b1; b2 ; b3 ) ta coù : G G a⊥b ⇔ a1b1 + a2 b2 + a3b3 = G Ñònh lyù 10: Cho hai veùc tô a = (a1; a2 ; a3 ) G vaø b = (b1; b2 ; b3 ) ta coù : GG G G a1b1 + a2 b2 + a3b3 a.b cos(a, b) = G G = a.b a12 + a22 + a32 b12 + b22 + b32 V Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k: Định nghĩa : Điểm M gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( k ≠ ) : JJJG JJJG MA = k.MB • • • A M B 119 Lop10.com (4) Ñònh lyù 11 : Neáu JJJG JJJG A( x A ; y A ; zA ) , B(x B ; yB ; zB ) vaø MA = k.MB ( k ≠ ) thì x A − k x B ⎧ ⎪ xM = − k ⎪ y A − k y B ⎪ ⎨ yM = 1− k ⎪ zA − k zB ⎪ ⎪ zM = − k ⎩ Ñaëc bieät : x A + xB ⎧ ⎪ xM = ⎪ y +y ⎪ M laø trung ñieåm cuûa AB ⇔ ⎨ yM = A B ⎪ zA + zB ⎪ ⎪ zM = ⎩ BAØI TẬP ỨNG DỤNG: Baøi 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba ñieåm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3) Tìm điểm D cho tứ giác ABCD là hình bình hành Baøi 2: Trong Kg(Oxyz) cho ba ñieåm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0) a.Chứng minh tam giác ABC vuông b Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC c Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ A VI Tích có hướng hai véc tơ: G G Định nghĩa: Tích có hướng hai véc tơ a = (a1; a2 ; a3 ) và b = (b1; b2 ; b3 ) là véc tơ G G ký hiệu : ⎡⎣ a; b ⎤⎦ có tọa độ là : G G ⎛a ⎡ a; b ⎤ = ⎜ ⎣ ⎦ ⎝ b2 a3 a3 ; b3 b3 a1 a1 a2 ⎞ ; ⎟ b1 b1 b2 ⎠ G a = (a1; a2 ; a3 ) Cách nhớ: G b = (b1; b2 ; b3 ) Tính chaát: • • • G G G ⎡ a; b ⎤ ⊥ a vaø ⎣ ⎦ G G G ⎡ a; b ⎤ ⊥ b ⎣ ⎦ JJJG HJJG SΔABC = ⎡⎣ AB; AC ⎤⎦ A B JJJG JJJG S ABCD = ⎡⎣ AB; AD ⎤⎦ C D A' A • VABCD A' B'C ' D' D' C JJJG JJJG JJJG = ⎡⎣ AB; AD ⎤⎦ AA' B C' B' D C A 120 Lop10.com B (5) • JJJG JJJG JJJG VABCD = ⎡⎣ AB; AC ⎤⎦ AD • G G a cuøng phöông b • G G G G G G a, b, c đồng phẳng ⇔ ⎡⎣ a, b ⎤⎦ c = D G G G ⇔ ⎡⎣ a; b ⎤⎦ = C A B BAØI TẬP ỨNG DỤNG: Baøi 1: Cho boán ñieåm A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1) a Chứng minh bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng b Tính dieän tích tam giaùc ABC c Tính thể tích tứ diện ABCD Bài 2: Tính thể tích tứ diện ABCD biết A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3) ĐƯỜNG THẲNG VAØ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN I Caùc ñònh nghóa: Véc tơ phương đường thẳng: VTCP đường thẳng : G G G ñn ⎧ a ≠ ⎪ a là VTCP đường thẳng ( Δ ) ⇔ ⎨ G ⎪⎩a có giá song song trùng với (Δ) K a K a ( Δ) Chuù yù: • Một đường thẳng có vô số VTCP, các véc tơ này cùng phương với • Một đường thẳng ( Δ ) hoàn toàn xác định biết điểm thuộc nó và VTCP noù Caëp VTCP cuûa maët phaúng: K a K b a α b G Cho mặt phẳng α xác định hai đường thẳng cắt a và b Gọi a là VTCP đường G thẳng a và b là VTVP đường thẳng b Khi đó : JGJJG Cặp (a,b) gọi là cặp VTCP mặt phẳng α Chuù yù : • Một mặt phẳng α hoàn toàn xác định biết điểm thuộc nó và cặp VTCP noù 121 Lop10.com (6) K n Veùc tô phaùp tuyeán ( VTPT) cuûa maët phaúng : α G G G ñn ⎧ n ≠ ⎪ n laø VTPT cuûa maët phaúng α ⇔ ⎨ G ⎪⎩n có giá vuông góc với mpα Chuù yù: • Một mặt phẳng có vô số VTPT, các véc tơ này cùng phương với • Một mặt phẳng hoàn toàn xác định biết điểm thuộc nó và cặp VTPT nó Cách tìm tọa độ VTPT mặt phẳng biết cặp VTCP nó: G ⎧⎪a = (a1; a2 ; a3 ) Định lý: Giả sử mặt phẳng α có cặp VTCP là : ⎨ G thì mp α coù moät VTPT laø : b ( b ; b ; b ) = ⎪⎩ G G G ⎛a n = ⎡⎣ a; b ⎤⎦ = ⎜ ⎝ b2 a3 a3 ; b3 b3 a1 a1 ; b1 b1 a2 ⎞ ⎟ b2 ⎠ K K K n = [a , b ] K a K b α BAØI TẬP ỨNG DỤNG: Tìm moät VTPT cuûa maët phaúng α bieát α ñi qua ba ñieåm A(-2;0;1), B(0;10;3), C(2;0;-1) II Phöông trình cuûa maët phaúng : Ñònh lyù 1: Trong Kg(Oxyz) Phöông trình maët phaúng α ñi qua ñieåm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) vaø coù moät G VTPT n = ( A; B; C ) laø: K n = ( A; B ; C ) α M ( x0 ; y ; z ) A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = z Ñònh lyù 2: Trong Kg(Oxyz) Phöông trình daïng : K n = ( A; B ; C ) α M0 y Ax + By + Cz + D = với A2 + B2 + C ≠ laø phöông trình toång quaùt cuûa moät maët phaúng 122 Lop10.com x (7) Chuù yù : G • Neáu (α ) : Ax + By + Cz + D = thì (α ) coù moät VTPT laø n = ( A; B; C ) • M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ (α ) : Ax + By + Cz + D = ⇔ Ax + By0 + Cz0 + D = Các trường hợp đặc biệt: Phương trình các mặt phẳng tọa độ: • (Oxy):z = • (Oyz):x = • (Oxz):y = Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: (Oyz ) z y O (Oxz ) x ⎧ A(a; 0; 0) ⎪ • Phöông trình maët phaúng caét caùc truïc Ox, Oy, Oz taïi ⎨ B(0; b; 0) ⎪C (0; 0; c) ⎩ x y z laø: + + =1 a b c (Oxy ) (a,b,c ≠ 0) C c O a b B BAØI TAÄP AÙP DUÏNG: A Baøi 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba ñieåm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3) Vieát phöông trình maët phaúng (ABC) Baøi 2: Cho ñieåm A(1;3;2), B(1;2;1), C(1;1;3) Viết phương trình tham số đường thẳng (d) qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác III Vị trí tương đối hai mặt phẳng - Chùm mặt phẳng : Một số quy ước và ký hiệu: ⎧a1 = tb1 ⎪a = tb ⎪⎪ ( a , a , , a ) ⎧ n Hai boä n soá : ⎨ gọi là tỷ lệ với có số t ≠ cho ⎨ ⎩(b1 , b2 , , bn ) ⎪ ⎪ ⎪⎩an = tbn a a1 a2 Kyù hieäu: a1 : a2 : : an = b1 : b2 : : bn = = = n b1 b2 bn Vị trí tương đối hai mặt phẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng α , β xác định phương trình : JJG (α ) : A1 x + B1y + C1z + D1 = coù VTPT n1 = ( A1; B1; C1 ) JJG ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = coù VTPT n2 = ( A2 ; B2 ; C2 ) K n1 K n2 K K n1 K n1 α n2 α α β β 123 Lop10.com K n2 β (8) (α ) caét (β ) ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 (hay: ⇔ A1 B1 C1 D1 = = ≠ A B2 C2 D2 (α ) ≡ (β ) ⇔ A1 B1 C1 D1 = = = A B2 C2 D2 (α ) // (β ) Ñaëc bieät: A1 B1 B C C A ≠ ≠ ) ≠ B2 C2 C2 A2 A B2 α ⊥ β ⇔ A1 A2 + B1B2 + C1C2 = Chuøm maët phaúng : α β γ a Định nghĩa: Tập hợp các mặt phẳng cùng qua đường thẳng gọi là chùm mặt phaúng • Δ goïi laø truïc cuûa chuøm • Một mặt phẳng hoàn toàn xác định biết i Truïc cuûa chuøm ii Hai mặt phẳng chùm b Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng α , β cắt xác định phương trình : (α ) : A1 x + B1y + C1z + D1 = ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = Khi đó : Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến α và β có phương trình dạng: (γ ) : λ ( A1 x + B1y + C1z + D1 ) + μ ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = (λ + μ ≠ 0) Chuù yù: λ = vaø μ ≠ thì γ ≡ β λ ≠ vaø μ = thì γ ≡ α Ñaëc bieät : Nếu λ ≠ và μ ≠ thì γ ≠ α và β trường hợp này phương trình γ có thể viết dạng sau: m(A1 x + B1y + C1z + D1 ) + (A x + B2 y + C2 z + D2 ) = (A1 x + B1y + C1z + D1 ) + n(A x + B2 y + C2 z + D2 ) = 124 Lop10.com α β γ (9) ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN I Phương trình đường thẳng: 1.Phương trình tham số đường thẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) Phương trình tham số đường thẳng (Δ ) qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) G vaø nhaän a = (a1; a2 ; a3 ) laøm VTCP laø : z K a ⎧ x = x0 + ta1 ⎪ (Δ) : ⎨ y = y0 + ta2 ⎪ z = z + ta ⎩ (Δ) M0 M ( x, y , z ) y (t ∈ \) O x Phương trình chính tắc đường thẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) Phương trình chính tắc đường thẳng (Δ ) qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) G vaø nhaän a = (a1; a2 ; a3 ) laøm VTCP laø : (Δ ) : x − x0 y − y0 z − z0 = = a1 a2 a3 Phương trình tổng quát đường thẳng : Trong không gian ta có thể xem đường thẳng là giao tuyến hai mặt phẳng nào đó ⎧(α ) : A1 x + B1y + C1z + D1 = Xem (Δ ) = α ∩ β với ⎨ ta coù ñònh lyù sau ⎩( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) heä phöông trình: ⎧ A1 x + B1y + C1z + D1 = với A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 ⎨ A x + B y + C z + D = ⎩ 2 2 là phương trình tổng quát đường thẳng G ⎧⎪(α ) : A1 x + B1y + C1z + D1 = ( nα = ( A1; B1; C1 )) Chuù yù: Neáu (Δ): ⎨ thì ( Δ ) coù moät VTCP laø : G β A x B y C z D n A B C ( ) : ( ( ; ; )) + + + = = β ⎪⎩ 2 2 2 G G G ⎛B a = ⎡⎣ nα , n β ⎤⎦ = ⎜ ⎝ B2 C1 C1 ; C2 C2 125 Lop10.com A1 ; A1 A2 A2 B1 ⎞ ⎟ B2 ⎠ (10) II Vị trí tương đối đường thẳng và mặt phẳng : 1.Vị trí tương đối đường thẳng và mặt phẳng : K a (Δ ) K n (Δ ) K n K n M α K a M K a (Δ ) M α α Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho : G x − x0 y − y0 z − z0 coù VTCP a = (a1; a2 ; a3 ) vaø qua M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) đường thẳng (Δ ) : = = a1 a2 a3 G coù VTPT n = ( A; B; C ) vaø maët phaúng (α ) : Ax + By + Cz + D = Khi đó : (Δ) caét (α ) ⇔ Aa1 + Ba2 + Ca3 ≠ ⎧Aa1 + Ba2 + Ca3 = ⇔ ⎨ ⎩ Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠ ⎧Aa1 + Ba2 + Ca3 = ⇔ ⎨ ⎩ Ax0 + By0 + Cz0 + D = (Δ) // (α ) (Δ) ⊂ (α ) K a Ñaëc bieät: (Δ ) ⊥ ( α ) ⇔ a1 : a2 : a3 = A : B : C K n α ⎧ pt(Δ) Chuù yù: Muoán tìm giao ñieåm M cuûa ( Δ ) vaø ( α ) ta giaûi heä phöông trình : ⎨ tìm x,y,z ⎩ pt(α ) Suy ra: M(x,y,z) Vị trí tương đối hai đường thẳng : M M0 ' Δ1 K a K b K u M0 K u' Δ2 Δ1 Δ2 ' Δ1 M M K u K u' M0 Δ2 M M 0' K u ' Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : G x − x0 y − y0 z − z0 (Δ1 ) : coù VTCP u = (a; b; c) vaø qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) = = a b c JG x − x0 y − y0 z − z0 ' (Δ ) : coù VTCP u = = = (a' ; b' ; c' ) vaø qua M'0 ( x0' ; y0' ; z0' ) ' ' ' a b c 126 Lop10.com Δ1 K u' Δ2 (11) G JG JJJJJJJG • (Δ1 ) và (Δ ) đồng phẳng ⇔ ⎡u, u' ⎤ M0 M0' = ⎣⎢ ⎦⎥ JG JJJJJJJG G ⎧ ⎡u, u' ⎤ M M ' = ⎪ ⎥⎦ 0 • (Δ1 ) caét (Δ ) ⇔ ⎨ ⎢⎣ ⎪⎩a : b : c ≠ a' : b' : c' • (Δ1 ) // (Δ ) ⇔ a : b : c = a' : b' : c' ≠ ( x0' − x0 ) : ( y0' − y0 ) : ( z0' − z0 ) • (Δ1 ) ≡ (Δ ) ⇔ a : b : c = a' : b' : c' = ( x0' − x0 ) : ( y0' − y0 ) : ( z0' − z0 ) G JG JJJJJJJG ⇔ ⎡u, u' ⎤ M0 M0' ≠ ⎣⎢ ⎦⎥ • (Δ1 ) vaø (Δ ) cheùo ⎧ pt(Δ1 ) Chuù yù: Muoán tìm giao ñieåm M cuûa (Δ1 ) vaø (Δ ) ta giaûi heä phöông trình : ⎨ tìm x,y,z ⎩ pt(Δ2 ) Suy ra: M(x,y,z) III Goùc khoâng gian: Góc hai mặt phẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng α , β xác định phương trình : (α ) : A1 x + B1y + C1z + D1 = ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = K n = ( A2 ; B ; C ) Gọi ϕ là góc hai mặt phẳng (α ) & ( β ) ta có công thức: cos ϕ = A1 A2 + B1 B2 + C1C2 A12 + B12 + C12 A22 + B22 + C22 α 0 ≤ ϕ ≤ 90 β Góc đường thẳng và mặt phẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng (Δ ) : K n1 = ( A1 ; B1 ; C1 ) x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c vaø maët phaúng (α ) : Ax + By + Cz + D = Gọi ϕ là góc hai mặt phẳng ( Δ ) & (α ) ta có công thức: (Δ ) K a = ( a ; b; c ) K n = ( A; B ; C ) α sin ϕ = Aa + Bb + Cc A2 + B + C a + b + c 3.Góc hai đường thẳng : Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : x − x0 y − y0 z − z0 = = (Δ1 ) : a b c x − x0 y − y0 z − z0 = = (Δ ) : a' b' c' 127 Lop10.com 0 ≤ ϕ ≤ 90 (12) K a1 = ( a; b; c ) Gọi ϕ là góc hai mặt phẳng (Δ1 ) & (Δ ) ta có công thức: Δ1 aa ' + bb ' + cc ' cos ϕ = Δ2 a + b + c a '2 + b '2 + c '2 K a = (a ' ; b' ; c' ) 0 ≤ ϕ ≤ 90 IV Khoảng cách: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho maët phaúng (α ) : Ax + By + Cz + D = vaø ñieåm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) Khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng (α ) tính công thức: M ( x0 ; y ; z ) d ( M0 ; Δ) = α H Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B2 + C 2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng ( Δ ) qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP G u = (a; b; c ) Khi đó khoảng cách từ điểm M1 đến (Δ ) tính công thức: M1 K u JJJJJJG G ⎡ M0 M1; u ⎤ ⎣ ⎦ d ( M1 , Δ) = G u (Δ ) M ( x0 ; y0 ; z ) H Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng chéo : G (Δ1 ) coù VTCP u = (a; b; c) vaø qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) JG (Δ ) coù VTCP u' = (a' ; b' ; c' ) vaø qua M'0 ( x0' ; y0' ; z0' ) Khi đó khoảng cách (Δ1 ) và (Δ ) tính công thức K Δ1 u M0 M ' K u' G JG JJJJJJJG ⎡ u, u' ⎤ M M ' ⎢⎣ ⎥⎦ 0 d (Δ1 , Δ ) = G JG' ⎡ u, u ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ Δ2 128 Lop10.com (13) BAØI TAÄP REØN LUYEÄN -*** Bài 1: Trong Kg(Oxyz) cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A'(0;01) Gọi M, N là trung điểm AB và CD Tính khoảng cách hai đường thẳng A'C và MN Viết phương trình mặt phẳng chứa A'C và tạo với mặt phẳng Oxy góc α biết cos α = Bài 2: Trong Kg(Oxyz) cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng : ⎧x = + t x y −1 z +1 ⎪ d1 : = & d : ⎨ y = −1 − 2t = −1 ⎪z = + t ⎩ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1 và d2 Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1, N thuộc d2 cho ba điểm A,M,N thẳng hàng Bài 3: Trong Kg(Oxyz) cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng : x−2 y +2 z −3 x −1 y −1 z +1 = = = = & d2 : d1 : −1 −1 1 Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1 Viết phương trình đường thẳng Δ qua A, vuông góc với d1 và cắt d2 Baøi 4: Trong Kg(Oxyz) cho ñieåm A(0;1;0), B(2;3;1), C(-2;2;2), D(1;-1;2) Chứng minh các tam giác ABC, ABD, ACD là các tam giác vuông Tính thể tích tứ diện ABCD Gọi H là trực tâm tam giác BCD, viết phương trình đường thẳng AH Baøi 5: Trong Kg(Oxyz) cho ñieåm A(1;1;2), B(-2;1;-1), C(2;-2;1) Vieát phöông trình maët phaúng (ABC) Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc điểm O trên mặt phẳng (ABC) Tính thể tích tứ diện OABC Bài 6: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng: ⎧x = 1+ t ⎧x − 2y + z − = ⎪ Δ1 : ⎨ vaø Δ : ⎨ y = + t ⎩ x + y − 2z + = ⎪ ⎩ z = + 2t Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng Δ1 và song song với đường thẳng Δ2 Cho điểm M(2;1;4) Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng Δ2 cho đoạn thẳng MH có độ daøi nhoû nhaát Bài 7: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng (P) : 2x-y+2=0 và đường thẳng ⎧(2m + 1) x + (1 − m)y + m − = dm : ⎨ ⎩mx + (2m + 1)z + 4m + = Xác định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P) Baøi 8: Trong Kg(Oxyz) cho maët phaúng (P) :x-y+z+3=0 vaø hai ñieåm A(-1;-3;-2), B(-5;7;12) Tìm tọa độ điểm A’ là điểm đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P) Giả sử M là điểm chạy trên mặt phẳng (P) Tìm giá trị nhỏ biểu thức : MA+MB ⎧2 x + y + z + = Bài 9: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng Δ : ⎨ vaø maët phaúng (P): 4x-2y+z-1=0 ⎩x + y + z + = 129 Lop10.com (14) Viết phương trình hình chiếu vuông góc đường thẳng Δ trên mặt phẳng (P) ⎧ x − az − a = ⎧ax + 3y − = Bài 10: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng: d1 : ⎨ vaø d : ⎨ ⎩y − z + = ⎩ x − 3z − = Tìm a để hai đường thẳng d1 và d2 cắt Với a=2, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d2 và songsong với đường thẳng d1 Tính khoảng cách d1 và d2 a=2 Bài 11: Trong Kg(Oxyz) cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc tọa độ, B(a;0;0).D(0;a;0), A’(0;0;b) (a>0,b>0) Goïi M laø trung ñieåm cuûa caïnh CC’ Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b a Xác định tỷ số để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với b Bài 12: Trong Kg(Oxyz) cho tứ diện ABCD với A(2;3;2), B(6;-1;-2), C(-1;-4;3), D(1;6;-5) Tính góc hai đường thẳng AB và CD Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng CD cho tam giaùc ABM coù chu vi nhoû nhaát Bài 13: Trong không gian với hệ tọa dộ Đề các vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng ⎧3 x − z + = x y +1 z vaø d2 : ⎨ = d1 : = ⎩2 x + y − = Chứng minh d1, d2 chéo và vuông góc với Viết phương trình tổng quát đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1, d2 và song song x −4 y −7 z−3 với đường thẳng Δ : = = −2 Bài 14: Trong không gian với hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz cho tứ diện OABC với A(0;0; a ), B(a;0;0), C(0; a ;0) (a>0) Gọi M là trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AB và OM Bài 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz cho hai điểm A(2;1;1), ⎧3 x − y − 11 = B(0;-1;3) và đường thẳng d : ⎨ ⎩ y + 3z − = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trung điểm I AB và vuông góc với AB Gọi K là giao điểm đường thẳng d và mặt phẳng (P), chứng minh d vuông góc với IK Vieát phöông trình toång quaùt cuûa hình chieáu vuoâng goùc cuûa d treân maët phaúng coù phöông trình x + y − z +1 = Bài 16: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : ⎧x + y − z + = x −1 y + z (d1 ) : = = vaø (d ) : ⎨ 1 ⎩x +1 = Lập phương trình đường thẳng Δ qua M(0;1;1) cho Δ vuông góc với (d1) và cắt (d2) Bài 17: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : ⎧3 x − y − = x +1 y + z − (d1 ) : = = vaø (d ) : ⎨ −2 −1 ⎩5 x + +2 z − 12 = Chứng minh d1 và d2 chéo Tính khoảng cách hai đường thẳng trên Lập phương trình đường thẳng Δ qua M(-4;-5;3) cho Δ cắt d1 và d2 Bài 18: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình : x +1 y −1 z − = = (d ) : vaø (P):x-y-z-1=0 2 130 Lop10.com (15) Lập phương trình đường thẳng Δ qua A(1;1;-2) cho Δ ⊥ d và Δ//(P) Bài 19: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : ⎧ x − 2y + z − = x −1 y +1 z (d1 ) : = = vaø (d ) : ⎨ −1 ⎩2 x − y + z + = vaø maët phaúng ( P ) : x + y + z − = Lập phương trình đường thẳng Δ cho Δ ⊥ ( P ) và Δ cắt hai đường thẳng d1 và d2 Bài 20: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng : x −1 y − z vaø ñieåm I(2;-1;3) = = (d ) : −1 Gọi K là điểm đối xứng I qua (d) Tìm toạ độ điểm K Bài 21: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng : x y −1 z + vaø ñieåm A(1;2;1) = (d ) : = Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d) Bài 22: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : ⎧2 x + y + = ⎧3 x + y − z + = (d1 ) : ⎨ vaø (d ) : ⎨ ⎩x-y+z-1=0 ⎩2 x − y + = Chứng minh d1 và d2 cắt Tìm toạ độ giao điểm I d1 và d2 Laäp phöông trình maët phaúng (P) ñi qua d1 vaø d2 Tính thể tích phần không gian giới hạn (P) và các mặt phẳng toạ độ Baøi 23: Trong Kg(Oxyz) cho hai ñieåm A(1;2;1) , B(2;1;3) vaø maët phaúng (P): x-3y+2z-6 = Lập phương trình mặt phẳng (Q) qua A, B và vuông góc với (P) Vieát phöông trình chính taéc cuûa giao tuyeán cuûa (P) vaø (Q) Gọi K là điểm đối xứng A qua (P) Tìm toạ độ điểm K ⎧2 x + y − = Bài 24: Trong Kg(Oxyz) cho hai điểm A(1;2;-1) và B(7;-2;3) và đường thẳng (d): ⎨ ⎩y + z − = Chứng minh (d) và AB đồng phẳng Tìm toạ độ giao điểm I0 đường thẳng (d) với mặt phẳng trung trực đoạn AB Tìm I ∈ (d ) cho tam giaùc ABI coù chu vi nhoû nhaát Baøi 25: Trong Kg(Oxyz) cho hai ñieåm A(0;0;-3) , B(2;0;-1) vaø maët phaúng (P): 3x - 8y + 7z -1 = Tìm toạ độ giao điểm I đường thẳng AB và mặt phẳng (P) Tìm điểm C thuộc mặt phẳng (P) cho tam giác ABC Baøi 26: Trong Kg(Oxyz) cho hai ñieåm A(1;2;3) , B(4;4;5) vaø maët phaúng (P): z = Tìm M ∈ (P) cho MA+MB laø nhoû nhaát Tìm N ∈ (P) cho NA − NB là lớn Baøi 27: Trong Kg(Oxyz) cho hai ñieåm A(3;1;0) , B(-9;4;9) vaø maët phaúng (P): 2x - y + z + = Tìm M ∈ (P) cho MA − MB là lớn Bài 28: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình : x y − z +1 = (d ) : = vaø (P):x-y+3z+8=0 Vieát phöông trình hình chieáu cuûa (d) leân (P) Bài 29: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : 131 Lop10.com (16) (d1 ) : ⎧ x + 3z − = x − y −1 z = = vaø (d ) : ⎨ −1 ⎩y − = Chứng minh d1 và d2 chéo Lập phương trình đường vuông góc chung hai đường thẳng d1 và d2 Bài 30: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : x −1 y z + x y −1 z − = = = (d1 ) : vaø (d ) : = 1 −2 Chứng minh d1 và d2 chéo Tìm toạ độ các điểm A, B đường vuông góc chung AB d1 và d2 Bài 31: Cho tam giác ABC có toạ độ các đỉnh : A(0;1;0); B(2;2;2); C(-2;3;4) x −1 y + z + và đường thẳng (d ) : = = 2 −1 Tìm toạ độ điểm M nằm trên (d) cho AM ⊥ AB Tìm toạ độ điểm N nằm trên (d) cho VNABC = Baøi 32: Trong Kg(Oxyz) cho O(0;0;0), A(6;3;0), B(-2;9;1) vaø S(0;5;8) Chứng minh SB ⊥ OA Chứng minh hình chiếu cạnh SB lên mặt phẳng (OAB) vuông góc với OA Gọi K là giao điểm hình chiếu đó với OA Tìm toạ độ điểm K Gọi P, Q là trung điểm các cạnh OS và AB.Tìm toạ độ M thuộc SB cho PQ vaø KM caét Bài 33: Cho hai đường thẳng : =0 ⎧ x + 2y − z x −1 y − z − (d1 ) : = = vaø (d ) : ⎨ ⎩ x − y + 3z − = Tính khoảng cách hai đường thẳng (d1) và (d2) Bài 34: Viết phương trình tham số đường thẳng nằm mặt phẳng y+2z=0 và cắt hai đường thẳng : ⎧x = 1− t ⎧x = − t ⎪ ⎪ (d1 ) : ⎨ y = t vaø (d ) : ⎨ y = + 2t ⎪ z = 4t ⎪z = ⎩ ⎩ Baøi 35: Cho boán ñieåm A(-4;4;0), B(2;0;4), C(1;2;-1), D(7;-2;3) Chứng minh bốn điểm A,B,C,D nằm trên cùng mặt phẳng Tính khoảng cách từ C đến đường thẳng AB Tìm trên đường thẳng AB điểm M cho tổng MC+MD là nhỏ Bài 36: Cho hình tứ diện ABCD biết tọa độ các đỉnh A(2,3,1) ; B(4,1,-2) ; C(6,3,7) ; D(-5,-4,8) Tính độ dài đường cao hình tứ diện xuất phát từ D Baøi 37: Trong khoâng gian Oxyz cho ñieåm A(-1,2,3) vaø hai maët phaúng (P):x-2 = , (Q):y-z-1=0 Viết phương trình mặt phẳng (R) qua A và vuông góc với hai mặt phẳng (P) , (Q) Baøi 38: Trong khoâng gian Oxyz cho maët phaúng (P) ñi qua ba ñieåm A(1,3,2) , B(1,2,1) vaø C(1,1,3) Viết phương trình tham số đường thẳng (d) qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó Bài 39: Lập phương trình đường thẳng (d) qua điểm A(1,2,3) và vuông góc với hai đường ⎧2x + y − = ⎧x − y + 4z + 10 = thaúng (d1 ) : ⎨ vaø (d ) : ⎨ ⎩2x − 4y − z + = ⎩2x + z − = Bài 40: Lập phương trình đường thẳng (d) qua điểm A(3,2,1) song song với mặt phẳng 132 Lop10.com (17) ⎧x + y − = (P): x+y+z-2 = và vuông góc với đường thẳng (d) : ⎨ ⎩4y + z + = ⎧x − 3z − = và có khoảng cách Bài 41:Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d): ⎨ ⎩y + 5z − = đến điểm A(1,-1,0) Bài 42: Cho hai đường thẳng (d1) và (d2) có phương trình là : ⎧x + 8z + 23 = ⎧x − 2z − = vaø (d ) : ⎨ (d1 ) : ⎨ ⎩y − 4z + 10 = ⎩y + 2z + = Chứng tỏ (d1) và (d2) chéo Tính khoảng cách (d1) và (d2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1) , mặt phẳng (Q) chứa (d2) cho (P)//(Q) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với Oz và cắt (d1) và (d2) MAËT CAÀU TRONG KHOÂNG GIAN I Phöông trình maët caàu: Phöông trình chính taéc: Ñònh lyù : Trong Kg(Oxyz) Phöông trình cuûa maët caàu (S) taâm I(a;b;c), baùn kính R laø : z (S) : ( x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 (S ) I R M ( x; y; z ) O y (1) Phương trình (1) gọi là phương trình chính taéc cuûa maët caàu Ñaëc bieät: Khi I ≡ O thì (C ) : x + y + z2 = R2 x Phöông trình toång quaùt: Ñònh lyù : Trong Kg(Oxyz) Phöông trình : x + y + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = với a2 + b2 + c2 − d > là phương trình mặt cầu (S) có taâm I(a;b;c), baùn kính R = a2 + b2 + c2 − d BAØI TẬP ỨNG DỤNG: Cho ñieåm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3) Vieát phöông trình maët caàu ñi qua boán ñieåm A, B, C, D Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính cuûa maët caàu II Giao cuûa maët caàu vaø maët phaúng: Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho maët phaúng (α ) vaø maët caàu (S) coù phöông trình : (α ) : Ax + By + Cz + D = (S ) : ( x − a)2 + ( y − b)2 + ( z − c)2 = R2 Gọi d(I; α ) là khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng α 133 Lop10.com (18) Ta coù : (α ) caét maët caàu (S) ⇔ d(I;α ) < R (α ) tieáp xuùc maët caàu (S) ⇔ d(I;α ) =R (α ) khoâng caét maët caàu (S) ⇔ d(I;α ) > R (S ) (S ) I (S ) I R R R α H α M H α Chuù yù : Khi α cắt mặt cầu (S) thì cắt theo đường tròn (C) Đường tròn (C) này có: • • • (C ) I M ⎧⎪ Ax + By + Cz + D = ⎨ 2 2 ⎪⎩( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R Tâm là hình chiếu vuông góc tâm mặt cầu trên mặt phẳng α Bán kính r = R2 − d (I ,α ) Phương trình là: -Heát 134 Lop10.com M r H (19)