Bài tập toán cao cấp

ThS ĐỖ THÚY HẰNG ThS NGUYỄN THỊ QUYÊN BµI TËP TO¸N CAO CÊP TRƯỜNG ĐẠI HỌC LÂM NGHIỆP - 2017 THS ĐỖ THÚY HẰNG, THS NGUYỄN THỊ QUYÊN BÀI GIẢNG BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP TRƯỜNG ĐẠI HỌC LÂM NGHIỆP - 2017 LỜI NĨI ĐẦU Các mơn Tốn cao cấp B, C môn học đại cương mơn Tốn giảng dạy cho hầu hết sinh viên Trường Đại học Lâm nghiệp Việc có tài liệu tập bám sát nội dung lý thuyết mơn Tốn cao cấp việc làm cần thiết trực tiếp phục vụ thầy q trình giảng dạy, giúp sinh viên học tập hiểu sâu sắc lý thuyết làm thành thạo dạng tập để em đạt kết tốt cho môn học Bởi vậy, biên soạn giảng Bài tập toán cao cấp Nội dung giảng gồm chương: - Chương 1: Hàm số biến số thực; - Chương 2: Đạo hàm, vi phân hàm biến; - Chương 3: Phép tính tích phân hàm biến; - Chương 4: Ma trận - Định thức - Hệ phương trình; - Chương 5: Hàm hai biến; - Chương 6: Phương trình vi phân Trong đó, Thạc sỹ Nguyễn Thị Quyên biên soạn chương 1, 3; Thạc sỹ Đỗ Thúy Hằng biên soạn chương 4, Mỗi chương giảng cấu trúc gồm phần: Bài tập có lời giải, tập sinh viên vận dụng để tự giải nhằm hướng dẫn sinh viên nắm cách thức làm dạng tập tự luyện tập dạng tương tự Hơn nữa, chương, tác giả cố gắng đưa vào phần tập tham khảo ứng dụng thực tế số khái niệm toán học vào đời sống, kinh tế, kỹ thuật để tạo tò mò, hứng thú sinh viên với mơn học, từ giúp em có thêm động lực để học tốt Bài giảng biên soạn lần đầu sở phân định cụ thể dạng tập đưa vào ứng dụng thực tế môn học nên không tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp đồng nghiệp, bạn sinh viên toàn thể độc giả Xin chân thành cảm ơn! Nhóm tác giả Chương HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ THỰC 1.1 Kiến thức cần ghi nhớ 1.1.1 Tìm tập xác định, tập giá trị, tìm hàm ngược hàm số 1.1.2 Tìm giới hạn hàm số - Khi giải tốn tìm giới hạn, trước tiên cần kiểm tra xem hàm số cần tìm giới hạn có thuộc dạng vơ định hay khơng - Các dạng vô định:  ; ;   ;  0;1 ; 0 ; 00  - Nếu khơng thuộc dạng vơ định khơng cần biến đổi, việc áp dụng định lí, tính chất phép tính giới hạn để tính trực tiếp - Nếu gặp dạng vơ định (có thể có giới hạn hay khơng có giới hạn), ta cần phải biến đổi, ‘khử’ dạng vơ định để tìm giới hạn - Phương pháp biến đổi để khử dạng vô định đa dạng, tùy toán cụ thể mà ta có cách khác Dưới số phương pháp thường gặp: Phương pháp biến đổi giản ước, nhân với biểu thức liên hợp để khử căn; Phương pháp sử dụng công thức giới hạn bản; Phương pháp thay VCB (VCL) tương đương phương pháp ngắt bỏ VCB bậc cao, ngắt bỏ VCL bậc thấp; Phương pháp Lo - pi - tan (thuộc chương 2) 1.1.3 Xét tính liên tục, tìm phân loại điểm gián đoạn hàm số 1.2 Bài tập có lời giải Bài 1: Tìm tập xác định hàm số sau: y  1 ln( x 1) y  y  2x   arcsin x 2x  x  x 1  y  sin x   ln(25  x ) x2  3x   ln x y  lg x 1 Bài 2: Tìm miền giá trị hàm số sau: y  x  3x  2 y = ln(1 – 2sinx) y  arcsin 2x 1 x Bài 3: Tìm hàm ngược hàm số sau: y = 2x – y  x 1 ( x  1) x 1 y   x2 ;(2  x  0) Bài 4: Tính giới hạn sau (sử dụng biến đổi giản ước, nhân với biểu thức liên hợp để khử căn):  ) lim( x 1  x  x x 2 x  x  14 x7 4x   x2 2 lim x  11x  21 lim x 2 x 1 lim x 8 lim x( x   x) lim x  x   x  x 1  x  Bài 5: Tính giới hạn sau(biến đổi đưa công thức giới hạn bản): lim  x ln  x  1  ln x  x  m lim x 0 lim lim x 0 1  x  n 1  x x lim x 0 lim x 0  1 x x x2  x   arctan  x   lim t anx  sinx x 0 1 x 1 cos x cos2 x cos3x x 0  cos x lim x3 cos x  cos x lim sin x  t anx   sinx x3 x 0  t anx  1 t anx sin x Giới hạn dạng 1 : 10 lim ( x  x  x 1 ) x 1 11 lim ( x   x2   3x x3  x 1 1 x ) x  x 1 t2  3x  x 1  12 lim   x   3x   x  13 lim  cos  t  t   tg x  15 lim    x a a 14 lim x cos x x 0  x 2a ; a0  sin x 17 lim  cos x  x2 16 lim  cos3x  x 0 x 0 x2  cos x  18 lim   x   cos2 x  Bài 6: Tính giới hạn sau cách sử dụng tính chất VCB VCL: (1 cos x)arcsin x x0 x tan2 x sin3x x 0 arctg x lim lim (1 cos5x)arcsin x lim x 0 e2 x 1 tan x sin(e x 1 1) lim x 1 ln x esin x  esin x lim x  ln 1  x  lim    lim  tan x x 0 lim   sin 3x 1 x 0 ln 1  tan x  ln1 x sin x  lim e  sin x x0  cos3x  tan 5x x0 10 lim x  x5   x 0  e x  1   cot x arcsin x  sin x x  tan x  ln 1  x  ln  x  x5 11 lim 3x 12 lim sin x  cos4x -1   x 0 ln  x3  arcsin x  tan x Bài 7: Khảo sát tính liên tục hàm số:   x sin x  f ( x)   x 1 x   e2 x  x  f ( x )   x  x  x  x    1  f ( x)  e x x  0 x   Bài 8: Xác định giá trị tham số để hàm số sau liên tục miền xác định: 2 x  1 f ( x )     ax x 1 x 1 3 x  a  f  x    sin x ln  x  x3   x   x  Bài 9: Tìm điểm gián đoạn phân loại điểm gián đoạn hàm số sau: y  x2  y  x2  x  x  3 y  y  x2  y  y  x cot an x y  x3  x x2 x  1 x2  x 1 e2  x  1 cos3x  y   ln  x  2 x   1 x  e x 3  x  x  LỜI GIẢI Bài 1: y  1 ln( x 1)  x2 1    x2 1  e  x  [  e  1, 1)  (1, e  1] Điều kiện:  1 ln( x 1)  Vậy TXĐ hàm số là: D=[  e  1, 1)  (1, e  1] y  x  x 1  Lập bảng: x -∞ x  x 1  3x  x  3x  Vậy TXĐ hàm số là: D=R/{-2/3, 4/3} y  2x   arcsin x 2x  2 x    Điều kiện:  2x    1  x   Hệ vô nghiệm nên TXĐ hàm số là: D =  y  sin x   ln(25  x )  5   k 2 sin x     k 2  x    5   6  x ,  Điều kiện:  6  25  x  5  x     5  Vậy TXĐ hàm số là: D   ,  6  y  lg x2  3x   ln x x 1  x  3x  0  Điều kiện:  x   x  (0,1)  (2, ) x   Vậy TXĐ hàm số là: D  (0,1)  (2,  ) Bài 2: y  x2  3x  TXĐ: D  (,1]  [2, ) Ta có: y  x  3x   Với y  y0  , giải phương trình: y0  x  3x   x  3x   y02  +∞ p ( x)  x; q ( x)  e  x * p ( x)dx   xdx  x  C * p( x)dx    xdx   x  C 2 * q( x).e  p ( x )dx dx   e x e x dx   dx  x  C    y  e  p ( x )dx  q( x).e  p ( x )dx dx  K  e x  x  K ; K  R Vậy nghiệm tổng quát (2.1) là: y   x  K  e x ; K  R 2) y 'cos x  y sin x  sin x ( cosx  0) sin x sin x  cos x cos x  y ' y.t anx  2sin x  y ' y (2.2) Đây phương trình vi phân tuyến tính cấp đó: p ( x )   t anx: q(x) = sin x Áp dụng công thức nghiệm phương trình vi phân tuyến tính cấp 1: p x dx  p x dx y    q  x  e    dx  C  e      Ta có: y  e  tan xdx   2sin xe   tan xdx dx  C    sin x    dx cos x dx  C    2sin xe  y e     d cos x  d cos x ln    cos x  y  e cos x   2sin xe cos x dx  C   y  e   2sin x cos xdx  C        y e sin x dx cos x  ln cos x   2sin xeln cos x dx  C      2sin xd sin x  C  cos x   y sin x  C   cos x   y Tìm nghiệm riêng phương trình: y’xlnx – y = 3x3 ln2x thỏa mãn: y x e  Giải: - Nếu x ln x   x  0; x  x = 0; x = nghiệm kỳ dị phương trình 150 - Nếu x ln x   x  0; x  Từ phương trình y’xlnx – y = 3x3 ln2x chia hai vế cho xlnx ta được: y ' y  x ln x x ln x Đây phương trình vi phân tuyến tính cấp y Bước 1: Giải phương trình tương ứng: y0 x ln x dy   y dx x ln x y ' dy  dx ( y  0) y x ln x dy d ln x   y ln x  ln y  ln ln x  C1  ln C ln x   y  C.ln x y  C ln x nghiệm tổng quát phương trình Bước 2: Biến thiên số: Từ y  C ln x coi C hàm số x: y  C ln x  y '  C 'ln x  C x Thay y y’ vào phương trình không ta được: C 'ln x  C  C ln x  3x ln x x x ln x  C 'ln x  3x ln x  C '  3x  dC  3x 2dx   dC   x dx  C  x3  K ( K  R )   Vậy nghiệm tổng quát (3) là: y  x3  K ln x; K  R Bước 3: Thay điều kiện đầu vào nghiệm tổng qt phương trình khơng để tìm K.Ta có: y x e  151     e3  K ln e  K   e3   Vậy nghiệm riêng cần tìm là: y  x3   e3 ln x 4) y ' y  x e y Đây phương trình Bec- nu -li với   : y ' y x e x y' y  y  e2 y x y' Đặt: u  y  u '  phương trình trở thành phương trình: u ' u  e 2 y x Đây phương trình vi phân tuyến tính ẩn u, đó: p( x)  ; q( x)  e Áp dụng cơng thức nghiệm phương trình vi phân tuyến tính cấp 1:   q  x  e  p  x  dx dx  C    x    dx   dx 2   e e dx  C  ue     u e   p  x  dx u  x e u  x e  x 1x   x   e e dx  C   u  e   e x dx  C        e x  C   y  e    x e x  C    Bài 3: Giải phương trình vi phân sau: 1) y '' y ' y  e x (2 x  3) f ( x)  e x (2 x  3)    1; n  *Giải phương trình tương ứng: y” – 5y’ + 6y = Phương trình đặc trưng là:k2 – 5k + = Phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệtk1 = 2, k2 = Vậy nghiệm tổng quát phương trình vi phân tương ứng là: 152 ytn  C1e2 x  C2e3 x Tìm nghiệm riêng phương trình khơng nhất:y”-5y’ + 6y = ex(2x+3) Ta thấy α =1 nghiệm phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng phương trình khơng có dạng:Y = ex(Ax + B) Tính Y’, Y’’ thay Y, Y’, Y’’ vào phương trình khơng để tìm A,B Y  e x (Ax  B) Y '  e x (Ax  A  B) Y ''  e x (Ax  A  B) Thay vào phương trình: Y '' 5Y ' 6Y  e x (2 x  3)  e x (Ax  A  B )  5e x (Ax  A  B )  6e x (Ax  B )  e x (2 x  3)  Ax  A  B  x  2 A  A     3 A  B  B  Nghiệm riêng phương trình khơng là: Y = ex(x+3) Vậy nghiệm tổng quát phương trình không là: y  ytn  Y  C1e2 x  C2e3x  e x (x  3) 2) Tìm nghiệm riêng phương trình y '' y ' y  4e3x thỏa mãn: y x 0  1; y ' x 0  f ( x)  4e3 x    3; n  *Giải phương trình tương ứng: y” – 6y’ + 9y = Phương trình đặc trưng là: k2 – 6k + = Phương trình đặc trưng có nghiệm kép: k = k1 = k2 = Nên nghiệm tổng quát phương trình vi phân là: ytn   C1  C2 x  e3 x Tìm nghiệm riêng phương trình không nhất: y” – 6y’ + 9y = 4e3x Ta thấy α = nghiệm kép phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng phương trình khơng có dạng: Y = Ax2e3x Tính Y’, Y’’ thay Y, Y’, Y’’ vào phương trình khơng để tìm A 153 Y  Ax 2e3 x  Y '  Axe3 x  3Ax 2e3 x  e3 x 3Ax  Ax    Y ''  3e3 x 3Ax  Ax  e3 x  Ax  A    e3 x 9Ax  12 Ax  A   Y '' 6Y ' 9Y  4e3 x      e3 x 9Ax  12 Ax  A  6e3 x 3Ax  Ax  9Ax 2e3 x  4e3 x  2A   A2 Nghiệm riêng phương trình khơng là: Y = 2x2e3x Vậy nghiệm tổng qt phương trình khơng là: y  ytn  Y   C1  C2 x  e3 x  x2e3 x Ta có:   y  C1  C2 x  x e3 x     y '  (C2  x)e3 x  C1  C2 x  x e3 x  x  x  3C2 x  3C1  C2 e3 x y x    C1  y ' x    3C1  C2  C  C    3C1  C2  C2  1 Vậy nghiệm riêng cần tìm là:Y = (1 – x + 2x2)e3x 3) y '' y ' y  x  x f ( x)  x  x    0; n  *Giải phương trình tương ứng: y” – 2y’ + 5y = Phương trình đặc trưng là: k2 – 2k + = Phương trình đặc trưng có nghiệm phức liên hợp: k1 = + 2i; k2 = – 2i Vậy nghiệm tổng quát phương trình vi phân là: ytn  e x  C1cos2 x  C2 sin x  Tìm nghiệm riêng phương trình khơng nhất: y '' y ' y  x  x Ta thấy α = khơng nghiệm phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng phương trình khơng có dạng: Y = Ax2 + Bx + C 154 Tính Y’, Y’’ thay Y, Y’, Y’’ vào phương trình khơng để tìm A, B, C Y  Ax  Bx  C Y '  Ax  B Y ''  A  Y '' 2Y ' 5Y  x  x    A   Ax  B   Ax  Bx  C  x  x  Ax   4 A  5B  x   A  B  5C   x  x  A 1 A      4 A  B   B  2 A  B  5C    C   2 Nghiệm riêng phương trình khơng là: Y  x  x  Vậy nghiệm tổng quát phương trình khơng là: y  ytn  Y  e x  C1cos2 x  C2 sin x   x  x  4) y '' y ' y  e3 x  (2 x  1)e2 x f ( x )  f1 ( x )  f ( x ) f1 ( x)  e3 x  1  3; n1  f ( x)  e2 x  2 x  1    2; n2  *Giải phương trình tương ứng: y” – 3y’ + 2y = Phương trình đặc trưng là: k2 – 3k + = Phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệt: k1 = 1; k2 = Nghiệm tổng quát phương trình vi phân là: ytn  C1e x  C2e2 x Tìm nghiệm riêng phương trình khơng nhất:y” – 3y’ + 2y = e3x Ta thấy α1 = nghiệm phương trình đặc trưng nênnghiệm riêng phương trình khơng có dạng: Y = Ae3x Tính Y’, Y’’ thay Y, Y’, Y’’ vào phương trình khơng để tìm A 155 Y1  Ae3 x Y '1  Ae3 x Y ''1  Ae3 x Y ''1  3Y '1  2Y1  e3 x  Ae3 x  Ae3 x  Ae3 x  e3 x  Ae3 x  e3 x  2A   A  3x Nghiệm riêng phương trình khơng (1) là: Y1  e Tìm nghiệm riêng phương trình khơng nhất: y '' y ' y  e2 x (2 x  1) (2) Ta thấy α2 = nghiệm đơn phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng phương trình khơng có dạng: Y2  x(Ax  B)e2 x  (Ax  Bx)e2 x Tính Y2’, Y2’’ thay Y2, Y2’, Y2’’ vào phương trình (2) để tìm A,B Y2  (Ax  Bx )e x Y2 '  (2 Ax  B )e x  2(Ax  Bx)e x  e2 x (2Ax  Ax  Bx  B )  e2 x (4Ax  Ax  4Bx  A  4B)  3e2 x (2Ax  Ax  2Bx  B)  2(Ax2  Bx)e2 x  e2x (2x  1)  Ax  A  B  2x  2 A  2  A  1   2 A  B   B  Nghiệm riêng phương trình khơng (2) là: Y2 = (-x2 + 3x)e2x Theo nguyên lý chồng chất nghiệm nghiệm riêng phương trình là: Y = Y1 + Y2 Y 3x e  (  x  x )e x Vậy nghiệm tổng qt phương trình khơng là: y  ytn  Y  C1e x  C2e x  e3 x  (  x  x )e x 156 4) y '' y ' 13 y  e2 x (25 x  8) f ( x)  e2 x (25 x  8)    2; n  *Giải phương trình tương ứng:y” – 4y’ + 13y = Phương trình đặc trưng là: k2 – 4k + 13 = Phương trình đặc trưng có nghiệm phức liên hợp:k1 = + 3i; k2 = – 3i Vậy nghiệm tổng quát phương trình vi phân là: ytn  e2 x  C1cos3x  C2 sin 3x  Tìm nghiệm riêng phương trình khơng nhất: y '' y ' 13 y  e2 x (25x  8) Ta thấy α = -2 không nghiệm phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng phương trình khơng có dạng: Y = e-2x (Ax + B) Tính Y’, Y’’ thay Y, Y’, Y’’ vào phương trình khơng sau dùng phương pháp cân hệ số để tìm A, B Y  e2 x (Ax  B) Y '  2e2 x (Ax  B)  Ae2 x  e2 x  2 Ax  A  2B  Y ''  2e2 x  2 Ax  A  2B   Ae2 x  e2 x  Ax  A  4B   Y '' 4Y ' 13Y  e2 x (25x  8)  e2 x  Ax  A  4B   4e2 x  2 Ax  A  2B   13e2 x (Ax  B)  e2 x (25x  8)  25 Ax  A  25B  25x  25 A  25  A  1   8 A  25B   B  Nghiệm riêng phương trình khơng là: Y = -xe-2x Vậy nghiệm tổng qt phương trình khơng là: y  ytn  Y  e2 x  C1cos3x  C2 sin 3x   xe2 x 6.3 Bài tập tự giải Bài 1: Giải phương trình vi phân sau:     a) y  xy dx  x  yx dy    b) (1  y ) e x dx  e y dy  (1  y )dy  157 c) x  y dx  ydy  d) x yy ' y   Bài 2: Giải phương trình vi phân sau: a)  xy ' 1 ln x  y b) y  x( y ' x cos x) c) y '  y cos x  y tan x d) xy2y’ – 2y3 = x3y2 e) (y4 + 2x)y’ = y Bài 3: Giải phương trình vi phân sau: a) y’’ -2y’ + 3y = e-x(x+4) b) y’’ -3y’ + 2y = e3x(x2+ x) c)y’’ -6y’ + 8y = ex +e2x d) y’’ + y’ = 4x2ex Bài 4: Tìm nghiệm phương trình vi phân: a) y’- ytgx=  cos x ; thỏa mãn y(0) =  b) x  y ' xy  ; thỏa mãn y(0) = c) y ' y  ; thỏa mãn y(1) = x x d) y’’ - 5y’ + 6y = (2x+3)ex thỏa mãn y(0) = 5; y’(0) = 6.4 Ứng dụng phương trình vi phân (Tham khảo) Phương trình vi phân có vai trò quan trọng nhiều ngành nghề như: sinh học, y học, kinh tế học, vật lý, hóa học kỹ thuật Một khả đặc biệt quan trọng phương trình vi phân dự đốn việc xảy 6.4.1 Định luật nguội dần Newton Định luật nguội dần Newton nói rằng: Mức độ nguội dần vật thể nóng tỷ lệ thuận với chênh lệch nhiệt độ nhiệt độ T nhiệt độ T0 mơi trường xung quanh Cụ thể: Xét vật thể nóng nhiệt độ môi trường T0 gọi T(t) nhiệt độ vật thể nóng thời điểm t, ta có phương trình vi phân: 158 dT  k (T  T0 ) dt Giải phương trình vi phân trên: dT dT  k (T  T0 )   kdt dt (T  T0 )  dT   kdt (T  T0 )  ln T  T0  kt  C  T  T0   ekt  C   ekt eC  T  Aekt  T0 ( A  eC ) Một ứng dụng định luật: Ứng dụng pháp y (giúp tìm thời gian nạn nhân bị sát hại) Ví dụ: Một người bị chết nhà với nhiều vết thương thể nên gia đình báo cảnh sát Cảnh sát đến trường vào lúc 25 phút Nhiệt độ nạn nhân thời điểm đo 300C Sau cảnh sát đo nhiệt độ nạn nhân 290C Nhiệt độ phòng thời gian nạn nhân tìm thấy 200C Hỏi nạn nhân bị sát hại nào? Giải: Từ số liệu ta có:T0 = 200C Tại t = (lúc 25 phút) T = 300C Tại t = T = 290C Thay T0 = 200C vào T = Aekt + T0 ta có: T = Aekt + 20 Thay t = (lúc 25 phút) T = 300C vào T = Aekt + 20 ta có: 30  Ae0  20  A  10 Vậy ta có: T  10ekt  20 Thay t = T = 290C vào T = 10ekt + 20 ta được: 29  10e k  20  e k  t ln Vậy T  10e 10 9  k  ln 10 10  20 Ngay sau nạn nhân bị sát hại, ta coi nhiệt độ nạn nhân cịn mức bình thường T = 370C 159 t ln Thay T = 37 vào T  10e t ln 37  10e 10  20  t  ln 10  20 ta được: 17 : ln  5,0361 (giờ) 10 10 Nạn nhân bị sát hại trước phát (lúc 25 phút) 5,0361giờ (5,0361 = 2,166 phút) Vậy nạn nhân bị sát hại vào khoảng 23 phút sáng 6.4.2 Bài toán tiền gửi tiết kiệm Ví dụ: Cơ Hoa gửi 300 triệu tài khoản tiết kiệm trả lãi ghép theo tỷ lệ 7% năm Mỗi tháng cô gửi tự động vào tài khoản thêm triệu a) Giả sử lãi suất tiền gửi chuyển thêm vào hàng tháng gần lãi suất tiền gửi liên tục Viết toán giá trị ban đầu so với số dư theo thời gian b) Ước tính số tiền cô Hoa sau năm Giải: Một năm cô Hoa gửi thêm vào tài khoản là: × 12 = 60 triệu Ta có phương trình vi phân tuyến tính cấp 1: P '  0,07 P  60 P' 1 0,07 P  60 P'  dt  dt 0,07 P  60  P' dt   dt 0,07 P  60  ln  0,07 P  60   t  C 0,07   ln  0,07 P  60   0,07  t  C   0,07 P  60  e  P (t )  0,07  t  C  0,07  t  C  60 e  0,07 0,07 Thay t = ta được: 160 300   60 0,07C  e 0,07 0,07  e0,07C   300  857   0, 07  80,99 C ln 80,99 0,07 Vậy P(t )  80,99 0,07t 60 e  0,07 0,07 b) Ước tính số tiền Hoa sau năm: 80,99 0,075 60 e  0,07 0,07  1641,86  857,14  784,72  P (5)  Vậy số tiền Hoa có tài khoản sau năm là: 784,72 triệu (Nếu không gửi tiết kiệm số tiền cô Hoa sau năm là: 300 + 5×60 = 600 triệu) 6.4.3 Bài tốn tốc độ phân rã rađium Ví dụ: Biết tốc độ phân rã rađium tỷ lệ thuận với khối lượng có Tìm quy luật phân rã rađium, biết khối lượng ban đầu thời gian T cần thiết để phân rã hết nửa khối lượng rađium ban đầu Áp dụng biết T = 1500 năm.Hỏi sau 70 năm phân rã hết phần trăm khối lượng rađium ban đầu? Giải: Kí hiệu M(t) khối lượng rađium thời điểm t, M0 khối lượng rađium ban đầu (t = 0) Khi tốc độ phân rã dM (tốc độ đại lượng âm dt khối lượng rađium giảm theo thời gian) Theo điều kiện tốn ta có phương trình vi phân: dM   k M ; ( M  0) dt Giải phương trình vi phân trên: dM   k M ; ( M  0) dt dM dM    k dt      k dt M M  ln M   kt  C1 (C1  cons tan) 161 Vậy nghiệm tổng quát phương trình là: M  C.e kt (C số) Lưu ý M = M0 t = thay điều kiện đầu vào nghiệm tổng quát phương trình vi phân ta được: M  C.e k  M  C Thay C = M0 vào nghiệm tổng quát phương trình vi phân ta nghiệm riêng: M  M e kt K hệ số tỷ lệ Theo giả thiết M  M0 t  T nên ta có: M0 1 1 ln  M e  kT  e  kT    kT  ln  k   ln  2 T T Vậy quy luật phân rã rađium biểu diễn công thức: M  M e Áp dụng: T = 1500 ta có: M  M e Do đó: M (70)  M e0,00046270    ln t T ln t 1500  M e 0,000462t M (70)  e0,03234  0,9682  96,82% M0 Vậy qua 70 năm phân rã hết 3,18% lượng rađium ban đầu 162 TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Thị Tuấn Anh (2007) Bài toán ứng dụng cực trị kinh tế Nhà xuất Bách Khoa, Hà Nội Vũ Khắc Bảy (2013) Tốn cao cấp Nhà xuất Nơng nghiệp Hà Nội Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2012) Bài tập toán cao cấp tập 1, 2, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, Hà Nội Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2012) Toán học cao cấp tập 1, 2, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, Hà Nội Võ Hoàng Trọng (2015) Đạo hàm, tích phân ứng dụng Chuyên san EXP - Đại học Khoa học, TP Hồ Chí Minh http://www.edurite.com/kbase/application-of-matrices-in-real-life http://thapsang.vn/sung-ban-toc-do-va-khai-niem-dao-ham http://doc.edu.vn/tai-lieu/luan-van-ung-dung-cua-toan-hoc-pho-thongvao-thuc-tien-37047/ http://www.ungdungtoan.vn/website/index.php/thi-du-thuc-tien 10 https://toanhoctuoidep.wordpress.com/2014/08/08/dao-ham-la-gi-3/ 163 MỤC LỤC Chương HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ THỰC 1.1 Kiến thức cần ghi nhớ 1.2 Bài tập có lời giải 1.3 Bài tập tự giải 22 Chương ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 26 2.1 Kiến thức cần ghi nhớ 26 2.1.1 Nắm vững cơng thức quy tắc tính đạo hàm 26 2.1.2 Thuộc đạo hàm 26 2.1.3 Quy tắc Lopitan tính giới hạn hàm số 27 2.2 Bài tập có lời giải 27 2.3 Bài tập tự giải 33 Chương PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 36 3.1 Kiến thức cần ghi nhớ 36 3.2 Bài tập có lời giải 37 3.3 Bài tập tự giải 64 Chương MA TRẬN - ĐỊNH THỨC - HỆ PHƯƠNG TRÌNH 72 4.1 Kiến thức cần đạt 72 4.2 Bài tập có lời giải 76 4.3 Bài tập tự giải 111 4.4 Một số ứng dụng ma trận, hệ phương trình 112 4.4.1 Ứng dụng mật mã 112 4.4.2 Ứng dụng ma trận giải hệ phương trình tuyến tính 115 Chương HÀM HAI BIẾN 117 5.1 Kiến thức cần đạt 117 5.2 Bài tập có lời giải 119 5.3 Bài tập tự giải 138 5.4 Ứng dụng hàm hai biến(Giới thiệu) 139 5.4.1 Ứng dụng cực trị có điều kiện 139 5.4.2 Ứng dụng phương pháp bình phương tối thiểu 140 Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 142 6.1 Kiến thức cần đạt 142 6.2 Bài tập có lời giải 145 6.3 Bài tập tự giải 157 6.4 Ứng dụng phương trình vi phân (Tham khảo) 158 6.4.1 Định luật nguội dần Newton 158 6.4.2 Bài toán tiền gửi tiết kiệm 160 6.4.3 Bài toán tốc độ phân rã rađium 161 164 ...THS ĐỖ THÚY HẰNG, THS NGUYỄN THỊ QUYÊN BÀI GIẢNG BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP TRƯỜNG ĐẠI HỌC LÂM NGHIỆP - 2017 LỜI NĨI ĐẦU Các mơn Tốn cao cấp B, C môn học đại cương mơn Tốn giảng dạy cho hầu... phần: Bài tập có lời giải, tập sinh viên vận dụng để tự giải nhằm hướng dẫn sinh viên nắm cách thức làm dạng tập tự luyện tập dạng tương tự Hơn nữa, chương, tác giả cố gắng đưa vào phần tập tham... lý thuyết làm thành thạo dạng tập để em đạt kết tốt cho môn học Bởi vậy, biên soạn giảng Bài tập toán cao cấp Nội dung giảng gồm chương: - Chương 1: Hàm số biến số thực; - Chương 2: Đạo hàm, vi