Sử dụng bất đẳng thức phụ cauchy schwarz vào giải toán bất đẳng thức cưc trị trong đại số cho đối tươngnhóm học sinh khá giỏi lớp 9b trường THCS điện biên

I MỞ ĐẦU I.1 Lí chọn đề tài Triển khai thực Nghị số 29-NQ/TW đổi toàn diện giáo dục đào tạo giai đoạn 2021-2025, Ủy viên Trung ương Đảng, Bộ trưởng Bộ Giáo dục Đào tạo Phùng Xuân Nhạ cho biết, bối cảnh đất nước cịn nhiều khó khăn nguồn lực hạn hẹp, với quan tâm Đảng Nhà nước, phối hợp có hiệu bộ, ngành, địa phương, đặc biệt nỗ lực đội ngũ nhà giáo, cán quản lý giáo dục cấp, nghiệp giáo dục đào tạo nước ta tạo chuyển biến chất lượng, hiệu quả, tổ chức quốc tế ghi nhận, đánh giá cao Đáng ý, chất lượng giáo dục mũi nhọn giới đánh giá cao đấu trường quốc tế Kết thi Olympic học sinh Việt Nam giai đoạn 2016-2020 có bước tiến vượt bậc với 49 huy chương vàng, so với 27 huy chương Vàng giai đoạn 2011-2015 Năm học 2020-2021 tỉnh hóa xếp thứ tồn quốc số học sinh đoạt giải kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia Bên cạnh Đại hội Đảng toàn quốc lần thứ XII xác định nhiệm vụ chủ yếu: Tiếp tục đổi mạnh mẽ, đồng yếu tố GD & ĐT theo hướng coi trọng phát triển phẩm chất, lực người học; hoàn thiện hệ thống giáo dục quốc dân theo hướng hệ thống giáo dục mở, học tập suốt đời xây dựng xã hội học tập Trước yêu cầu đổi GD&ĐT nay, đòi hỏi giáo viên nhà trường cần ý thức sâu sắc trách nhiệm trình giảng dạy, đặc biệt giáo viên giảng dạy mơn tốn, song song với nhiệm vụ giảng dạy việc phát huy sáng tạo, tính tích cực nhằm phát triển lực trí tuệ tồn diện cho học sinh Giúp cho học sinh có hứng thú học u thích mơn Tốn học sinh có lực đặc biệt Là móng cho chất lượng mũi nhọn nước nhà Bất đẳng thức nội dung lâu đời quan trọng Toán học Ngay từ đầu, đời phát triển bất đẳng thức đặt dấu ấn quan trọng, chúng có sức hút mạnh mẽ người u tốn, khơng vẻ đẹp hình thức mà bí ẩn mang đến ln thơi thúc người làm tốn phải tìm tịi, sáng tạo Bất đẳng thức cịn có nhiều ứng dụng mơn khoa học khác thực tế Ngày nay, bất đẳng thức ln chiếm vai trị quan trọng thường xuất kì thi học kỳ, kỳ thi học sinh giỏi cấp THCS, THPT, thi Đại học, thi quốc gia, quốc tế… Một bất đẳng thức cổ điển quan trọng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ứng dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz từ đời đến nhà toán học lỗi lạc nghiên cứu phát triển Chúng ta gặp nhiều kết hợp bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với bất đẳng thức khác Bản thân tơi ln suy nghĩ để tìm tịi cách giải, kỹ phân tích tốn để giúp học sinh học tiếp thu chiếm lĩnh kiến thức tốt Xuất phát từ lí tơi định chọn đề tài “ Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy Schwarz vào giải toán Bất đẳng thức – Cực trị Đại số cho đối tượng nhóm học sinh giỏi lớp 9B trường THCS Điện Biên.” làm đề tài nghiên cứu cho Nhằm trang bị cho học sinh kiến thức kỹ thuật sử dụng ứng dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz Từ em chủ động cách giải, chủ động tư tìm hướng giải cho toán bất đẳng thức – cực trị I.2 Mục đích nghiên cứu a Đối với Giáo viên: - Nâng cao trình độ chun mơn phục vụ cho trình giảng dạy - Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức b Đối với học sinh: - Giúp học sinh học tập mơn tốn nói chung việc giải tập chứng minh Bất đẳng thức nói riêng Trang bị cho học sinh số kiến thức nhằm nâng cao lực học mơn tốn giúp em tiếp thu cách chủ động, sáng tạo làm công cụ giải số tập liên quan đến bất đẳng thức - Kích thích mạnh mẽ ý thức tự giác, lịng say mê ý chí vươn lên học tập tu dưỡng học sinh - Nắm vững cách có hệ thống kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz ứng dụng bất đẳng thức giải tập liên quan I.3 Đối tượng nghiên cứu Học sinh cấp học THCS chủ yếu học sinh khối ôn luyện thi vào 10, thi vào trường chuyên, bồi dưỡng đổi tuyển học sinh giỏi cấp I.4 Phương pháp nghiên cứu - Trong trình nghiên cứu đề tài dùng phương pháp sau: - Đọc sách, nghiên cứu thu thập, xử lí tài liệu sưu tầm - Điều tra, giáo viên học sinh Tự tìm hiểu đối tượng học sinh - Đúc rút phần kinh nghiệm qua đồng nghiệp thân q trình giảng dạy Thơng qua tài liệu: Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tập, sách tham khảo, đề thi kỳ thi học sinh giỏi, thi vào 10, thi thử Các chuyên đề bồi dưỡng toán THCS, nâng cao phát triển Toán 9, phương pháp giải toán Bất đẳng thức, báo tốn học tuổi trẻ kênh thơng tin khác II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM II.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong chương trình giáo dục trung học sở, mơn tốn môn học quan trọng, thành phần thiếu văn hóa phổ thơng người mới, mơn tốn có tiềm khai thác góp phần phát triển lực trí tuệ chung, rèn luyện phát triển thao tác tư phẩm chất tư Trong q trình giải tốn nhà trường kỳ thi học sinh giỏi cấp, chuyền đề bất đẳng thức chun đề hay lý thú mà thường xuyên có mặt kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp, đặc biệt cấp THCS kỳ thi vào lớp 10 Đứng trước tốn có nhiều cách giải khác song việc tìm lời giải hợp lý ngắn gọn, thú vị độc đáo việc không dễ thơng qua mà thu kết nhanh chóng Bất đẳng Cauchy Schwarz bất đẳng thức kinh điển Vì khai thác bất đẳng thức vào việc giải toán khác đem lại kết nhiều mặt, kích thích tính sáng tạo học sinh Trong đề tài xin minh họa số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, thấy ứng dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz việc giải dạng toán khác Nhằm giúp học sinh thấy hay, đẹp, thú vị học tốn nói chung bất đẳng thức nói riêng Từ đó, giúp học sinh tự tin, tích cực, sáng tạo học toán, giúp học sinh thêm yêu thích, nâng cao chất lượng, kết học tập Để phục vụ cho kỳ thi học sinh giỏi lớp cấp thành phố cấp tỉnh, thi vào 10 tới xin sâu giải bất đẳng thức – cực trị áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz cho số vào số ví dụ điển hình II.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm II.2.1 Thuận lợi Trường THCS Điện Biên vốn có truyền thống thi đua dạy tốt, học tốt tích cực Điều thơi thúc tơi tìm tịi, sáng tạo, để hồn thiện phương pháp giảng dạy để em học sinh học tập cách tốt nhất, hiệu Trước tiến hành nguyên cứu đề tài tiến hành khảo sát đội ngũ học sinh giỏi dự thi cấp thành phố năm học 2018-2019 tốn bất đẳng thức 87,5% học sinh khơng làm được(7/8 học sinh), 12,5 học sinh có hướng cịn dài việc lập luận, trình bày tốn cịn nhiều sai sót Trao đổi kiến thức em cịn mơ hồ bất đẳng thức hầu hết đề thi cấp thành phố phần lớn có bất đẳng thức, cực trị đặc biệt đề thi cấp tỉnh, đề thi cuối kỳ, vào lớp 10 Chính lý mà thân học sinh nhóm giỏi mong muốn tiếp cận, khai thác mảng kiến thức Do cá nhân tơi mạnh dạn thực đề tài nghiên cứu nhằm giúp em học sinh nhóm giỏi lớp 9B trường trung học sở Điện Biên cho thầy cô giáo, học sinh khối tham khảo cải thiện mảng bất đẳng thức thông qua việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz vào giải toán bất đẳng thức – cực trị đại số II.2.2 Khó khăn Bên cạnh thuận lợi nêu cịn khơng khó khăn, tồn ảnh hưởng đến kết dạy học như: Trước hết phải kể đến ý thức tự giác học tập người học chưa cao, khả tự học, tự rèn học sinh giảm sút nhiều ( mạng xã hội, cám dỗ sống, quan điểm cá nhân phụ huynh lệch lạc xem nhẹ việc học…) Nhiều học sinh thông minh ngại va chạm, ý thức vươn lên chưa cao Các em có suy nghĩ, trăn trở làm tập khó làm tập sai động lực để em tâm tự làm lại cho chưa nhiều Một điều việc lưu giữ (quá trình ghi nhớ), tái (trình bày lời viết) học sinh chưa tốt, em lười làm tập nhà II.2.3 Thực trạng việc giải tập toán học sinh - Trong mảng kiến thức bất đẳng thức, em tỏ lúng túng lập luận, trình bày số dạng tập nêu Vì mà em quên nhanh nhiều kiến thức phần dẫn đến ngại làm tập Trong đó, để học mơn tốn tốt, muốn nhớ lâu kiến thức đường vơ hiệu luyện giải tập - Một số học sinh lớp 9B trường THCS Điện Biên, kỹ phân tích, nhận dạng, tìm dấu hiệu tốn cịn hạn chế, lúng túng, gặp nhiều khó khăn - Qua khảo sát mức độ hứng thú học giải toán bất đẳng thức kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ mức độ thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao với em học sinh nhóm – giỏi lớp 9B kết thu Bảng 1: Mức độ hứng thú học sinh giải toán bất đẳng thức Khơng Hứng thú Bình thường hứng thú Lớp Sĩ số SL % SL % SL % 9B 37,5 37,5 25 Bảng 2: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ mức độ thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao Lớp Sĩ số Thông hiểu SL Vận dụng thấp % SL % Vận dụng cao SL 9B 75 50 ( Bài kiểm tra thời gian 60’- đề phần phụ lục) % 12,5 II.3 Các giải pháp thực II.3.1 Các giải pháp giải vấn đề - Giáo viên dạy chuyên đề bất đẳng thức Cauchy Schwarz phải theo lộ trình: lí thuyết => thực hành : từ nhận biết => thông hiểu => vận dụng thấp => vận dụng cao=> khai thác => phát triển toán - Phần tập phải theo giai đoạn phù hợp với lộ trình - Các ví dụ, tập phải có đổi mới, đa dạng, phong phú, chất lượng - Học sinh tự học, tự nghiên cứu, kết hợp với giáo viên dạy phải sâu vào chất, tìm quy luật, phương pháp để giải toán cách khoa học - Hướng dẫn học sinh cách phân tích tập, không sâu vào giải cụ thể - Học sinh phải làm nhiều tập khác nhau, bổ sung kiến thức sâu vào tìm hiểu dấu hiệu đặc biệt (nếu có) - Kết hợp với kiểm tra, đánh giá - Luôn bám theo quy tắc chứng minh bất đẳng thức, cự trị II.3.2 Biện pháp tổ chức thực hiện: II.3.2.1 Lý thuyết Đầu tiên xin nhắc lại nội dung bất đẳng thức Cauchy-Schwarz - Với hai số thực a1, a2, , an b1, b2, , bn ta có bất đẳng thức: (a12  a12   a12 )(b12  b12   b12 ) �(a1b1  a2b2   anbn ) Dấu xảy ab i i  aj bj với i≠j Ta nhìn bất đẳng thức dạng khác sau: Với hai số thực a1, a2, , an b1, b2, , bn thoả mãn bi a2 a a  a  a   an  dương ta có:    n � b1 b2 bn b1  b2   bn Dấu xảy ab i i  aj bj với i≠j Để sử dụng thật tốt bất đẳng thức học sinh phải có nhìn hai chiều với bất đẳng thức Nói chung bất đẳng ứng dụng giải toán nhiều hay dễ sử dụng so với bất đẳng thức dạng tắc Bây ta vào xét ví dụ để thấy sức mạnh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz A CÁC BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ THƯỜNG GẶP ( trường hợp đặc biệt bất đẳng thức Cauchy Schwarz) 1 1) Với x, y�R ta có: x  y �x  y 1 2) Với x, y, z�R ta có: x  y  z �x  y z a, b�R � a2 b2 (a  b)2  � 3) Với �  ta có: x y x y �x, y�R �a, b,c �R 4) Với �  �x, y, z�R ta có: a2 b2 c2 (a  b  c)2   � x y z x  y z B CÁC BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ KHÁC 1) a2  b2  c2 �ab  bc  ca (a  b  c)2 2) a  b  c � 3) (a  b c) �3(ab  bc  ca) … 2 a  b c  p � � 4) Bất đẳng thức Schur ta có: 9r �p(4q  p ) với �ab  bc  ca  q � abc  r � 5) (a  b  c)2 �(3a  b c)(a  b  c)  (a  3b  c)(a  b  c)  (a  b  3c)(a  b  c) 6) Cho a,b,c độ dài cạnh tam giác ta ln có: a+b-c >0 (hoặc a-b+c>0; -a+b+c>0) 7) Bất đẳng thức AM-GM Với x,y,z số khơng âm ta có: x  y  z �33 xyz C CÁC ĐẲNG THỨC bc bc ca ac ab ab       a  b c a  b a  c b c b a c  a c  b a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 2) 2  2  2  2  2  2  2  a b b a c a a c b c c a a c 1) 3) 3a2+(b+c)2= (2a2+2bc)+ (a2+b2+c2) 4) 4a2+b2+c2= 2a2+(a2+b2)+(a2+ c2) D NHỮNG QUY TẮC CHUNG KHI CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC - CỰC TRỊ KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY SCHWARZ Quy tắc song hành: Hầu hết bất đẳng thức có tính đối xứng việc sử dụng chứng minh cách song hành, giúp ta hình dung kết nhanh chóng định hướng cách giải nhanh Quy tắc dấu bằng: Dấu “=” bất đẳng thức quan trọng Nó giúp ta kiểm tra tính đắn chứng minh Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào điểm rơi bất đẳng thức Quy tắc tính đồng thời dấu bằng: khơng học sinh mà số giáo viên nghiên cứu chứng minh bất đẳng thức thường hay mắc sai lầm này, áp dụng liên tiếp song hành bất đẳng thức không ý đến điểm rơi dấu Một nguyên tắc áp dụng song hành bất đẳng thức điểm rơi phải đồng thời xảy ra, nghĩa dấu “ = ” phải được thỏa mãn với điều kiện biến Quy tắc biên: Cở sở quy tắc biên tốn quy hoạch tuyến tính, tốn tối ưu, tốn cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm nhiều biến miền đóng Ta biết giá trị lớn nhất, nhỏ thường xảy vị trí biên đỉnh nằm biên Quy tắc đối xứng: Đối với bất đẳng thức có tính chất đối xứng vai trị biến bất đẳng thức nhau, dấu “ = ” thường xảy vị trí biến Nếu tốn có gắn hệ điều kiện đối xứng ta dấu “ = ” xảy biến mang giá trị cụ thể Chiều bất đẳng thức giúp ta định hướng cách chứng minh: đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân ngược lại II.3.2.2 Các bước hướng dẫn học sinh giải tập Tôi xin sâu vào phân tích cách tìm hướng cho toán áp dụng bất đẳng thức CAUCHY SCHWARZ lưu ý II.3.2.2.1 Phần nhận biết, thông hiểu Các toán mở đầu Từ bất đẳng thức phụ sau: a, b�R � a2 b2 (a  b)2  � Với �  ta có: x y x y �x, y�R a b  x y (*) Dấu “=” xảy Áp dụng giải ví dụ sau: Ví dụ ( Đề kiểm tra khảo sát mức độ vận dụng thấp) �x, y�R Với � Tìm giá trị nhỏ �x  y �5 A 1  4x 9y Phân tích, tìm lời giải: �x, y�R yêu cầu toán Ta bám theo quy tắc tính đồng thời �x  y �5 Từ � dấu “=” quy tắc biên Hướng A �f (x  y) �f (5) Do ta áp dụng bất đẳng thức (*) để biến đổi A theo hướng mong muốn 2 1 �1  � �5 � �2 3� �6 � Nên ta viết � � � A   �� x y x y 36 �1 �x  �  Khi dấu “=” xảy �2x 3y  � �y  �x  y  � Lưu ý: +) Khi trình bày toán học sinh phải chứng minh bất đẳng thức phụ (*) trước áp dụng kiểm tra giá trị biến x,y dấu “=” xảy +) Khai thác hiệu quy tắc tính đồng thời xảy dấu “=” quy tắc biên �a, b,c �R Ví dụ Với �  �x, y, z�R Chứng minh : a2 b2 c2 (a  b  c)2   � x y z x  y z Phân tích, tìm lời giải: Do vai trò biến => bám theo quy tắc đối xứng song hành Quy tắc tính đồng thời dấu “=” Khi vế trái bất đẳng thức có dạng phân thức, tử thức viết dạng bình phương dùng bất đẳng thức (*) lần ta có: �a2 b2 � c2 (a  b)2 c2 (a  b c)2 VT  �  � �  �  VP x y z x  y z �x y � z �a b �x  y a b c � Dấu “=” xảy �  x y  z �a  b  c � �x  y z Lưu ý: Nếu quy nạp cho số, số,… n số Đó bất đẳng thức Cauchy Shwarz tổng quát: Với hai số thực a1, a2, , an b1, b2, , bn thoả mãn bi dương ta có: a12 a22 an2  a1  a2   an     � b1 b2 bn b1  b2   bn Dấu xảy ab i i  aj bj với i≠j Ví dụ (Đề kiểm tra khảo sát mức độ thông hiểu) Cho x,y,z > x  y  x �4 Tìm giá trị nhỏ P  x2 y2 z2   yz zx x y Hướng dẫn Cách    x2 yz y2 zx z2 x y  �x;  �y;  �z yz zx x y x yz x yz  P x y x 2 2 Cách 2:  x  y  z   x  y  z   x2 y2 z2 P   � y  z z  x x  y 2 x  y  z  2 Lưu ý: Với toán kiểm tra khảo sát nhóm giỏi có học sinh làm được( có học sinh làm theo cách 1, có học sinh làm theo cách học sinh làm theo cách khác) Ta thấy bất đẳng thức a2 b2 c2 (a  b  c)2   � x y z x  y z cho ta lời giải đơn giản, đẹp đến nhường nào! 2.3.2.2.2 Phần vận dụng Trong phần xin sâu việc vận dụng bất đẳng thức sau: �a, b,c �R Với �  �x, y, z�R Chứng minh : a b a2 b2 c2 (a  b  c)2   � (**) x y z x  y z c Dấu “=” xảy x  y  z Tôi chia thành dạng toán : II.3.2.3 Cụ thể dạng toán Dạng VẬN DỤNG THEO CHIỀU TỪ TRÁI QUA PHẢI CỦA BẤT ĐẲNG THỨC (**) (Ta tạm gọi bất đẳng thức cộng mẫu) a) Vận dụng thấp Ví dụ (Chuyên Kiên Giang 2018-2019) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn: x  y z  x2 y2 z2   �1 Chứng minh rằng: y z z  x x  y Phân tích, tìm lời giải: Do vai trị biến x, y, z số thực dương thỏa mãn: Nên ta bám theo quy tắc song hành, quy tắc dấu “=” Mặt khác thấy vế trái bất đẳng thức có dạng phân thức, tử phân thức có dạng bình phương, mẫu thức có biến khơng đầy đủ Do ta nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz (bất đẳng thức cộng mẫu) biến đổi đại số để đưa VT  f (x, y, z) �f (x  y  z)  f (2)  VP x2 y2 z2 (x  y  z)2 x  y  z   �  Cụ thể: y  z z  x x  y 2(x  y  z) Mà x  y  z  => Bất đẳng thức chứng minh y z �x   � Lưu ý: +) Dấu “=” xảy khi: �y z z  x x  y x  y  z  �x  y  z  � +) Kiểm tra thỏa mãn bất đẳng thức kết luận Ví dụ Cho số a,b,c số thực dương Chứng minh rằng: a b c   �1 b  2c c  2a a  2b Phân tích, tìm lời giải: Ta thấy: Vai trị a,b, c => Nên ta bám theo quy tắc song hành, quy tắc dấu “=” Vế trái có dạng phân số Tuy nhiên: Tử số phân số khơng phải bình phương số nên ta tạo Vậy ta tạo cách nào? ( nhân tử mẫu phân thức với số tử) a b c a2 b2 c2 VT       b 2c c  2a a  2b a(b 2c) b(c  2a) c(a  2b) Khi ta liên tưởng đến bất đẳng thức (**) Như để chứng minh bất đẳng thức ta chứng minh (a  b  c)2 �1 3(ab  bc  ca) Nghĩa ta chứng minh tử lớn mẫu Khi ta liên tưởng đến bất đẳng thức (a  b  c)2 �3(ab  bc  ca) => Bất đẳng thức chứng minh Lưu ý: Phải nắm vững bất đẳng thức phụ làm ta phải chứng minh đày đủ bất đẳng thức phụ Ví dụ (Chun Hịa Bình: 2019-2020) � a, b�R a b  � Cho � Chứng minh : 2 1 4b 1 4a a  b  4ab � Phân tích, tìm lời giải: � a, b�R Từ giả thiết � a  b  4ab � +) Ta khai thác 4ab  a  b �2 ab ( Bất đẳng thức cosi cho số)  4ab�1 Nên ta bám theo quy tắc song hành, quy tắc dấu “=”, Quy tắc biên Đây bước đệm để ta biến đổi vế trái theo hướng sau +) Ta quan sát thấy vế trái vai viết dạng tổng phân thức mà mẫu thức biến không đầy đủ, dấu bất đẳng thức lớn nên ta nghĩ đến bất đẳng thức cộng mẫu Cụ thể VT  a2 b2 (a  b)2 a b 1  �   1 �  VP 2 a  4ab b 4ba a  b 4ab(a  b) 1 4ab 1 4ab Lưu ý: - Trong trình biến đổi ý chiều bất đẳng thức để lựa chọn chiều bất đẳng thức phụ từ ta có hướng cho tốn - Tìm Min A Max 1  Min(- ) với quy ước A> A A Ví dụ (Chuyên Đắc Lắc 2019-2020) a, b,c �R � a3  b3 b3  c3 c3  a3   �2 Cho �2 2 Chứng minh rằng: a b c 3 a  2b b  2c c  2a � Phân tích, tìm lời giải: - Khi toán cho biết giá trị biểu thức a2  b2  c2 ; ab+bc+ca; a+b+c ta liên tưởng đến bất đẳng thức phụ chúng - Ta thấy vế trái tách thành nhóm tốn có dạng đơn giản hơn, từ nhận thấy dạng bất đẳng thức Cauchy Schwarz( bất đẳng thức cộng mẫu) � a3 b3 c3 � � b3 c3 a3 � VT  �      �� � M  N �a  2b b  2c c  2a � �a  2b b  2c c  2a �   a2  b2  c2 a4 b4 c4 M   � a  2ab b2  2bc c2  2ca a2  b2  c2  2(ab  bc  ca) a  b2  c2  32 �2 2  1 a  b  c  2(a2  b2  c2 )    a2  b2  c2 b4 c4 a4 N   � ba  2b2 cb  2c2 ac  2a2 2(a2  b2  c2 )   ab  bc  ca) a  b2  c2 32 � 2  1 2(a  b  c )  a2  b2  c2 => VT �2  VP Dấu “=” xảy a=b=c=1 Lưu ý: +) Cái hay toán ta chia nhỏ công việc, đưa từ phức tạp thành đơn giản, đưa lạ quen, sử dụng bất đẳng thức ab  bc  ca �a2  b2  c2 để biến đổi đưa VT �f (a2  b2  c2 )  f (3) Để có lời giải đẹp b) VẬN DỤNG CAO Ví dụ ( Đề kiểm tra khảo sát mức độ vận dụng cao) Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1 1   Tìm giá trị nhỏ A  a (b  c) b (c  a) c (a  b) Phân tích, tìm lời giải: +) Từ A abc=1 ta thấy vai trò biến => quy tắc đối xứng, quy tắc dấu “=” +) Với yêu cầu tìm giá trị nhỏ A ta liên tưởng đến bất đẳng thức phụ, biến đổi A theo hướng A �f (abc)  f (1) 10 Mặt khácTa thấy biểu thức A có dạng phân số, bậc mẫu lớn bậc tử Điều dẫn đến việc dùng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz Tuy nhiên sau 1 (1 1 1)2   � sử dụng A  a (b c) b3(c  a) c3(a  b) a3(b  c)  b3(c  a)  c3(a  b) Ta thấy toán trở nên khó khăn dẫn đến bế tắc 1 Khi ta xét phân thức = đại diện a2  a3(b  c) a(b  c) Lúc việc áp dụng bất đẳng thức lại may lại hiệu rõ rệt 1 1 1   2 (ab  bc  ca)2 ab  bc  ca A a  b  c � a b c   a(b c) b(c  a) c(a  b) 2(ab  bc  ca) 2(ab  bc  ca) Khi với abc=1 ta nghĩ đến việc 33 a2b2c2 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: VT �  2 Lưu ý: +) Khi dùng bất đẳng thức cauchy schwarz hay bất đẳng thức AM-GM , abc=1 ta có a = b = c bất đẳng thức biến đổi phải chiều +) Ở có học sinh nhóm khảo sát làm nhiên cách làm dài, phức tạp Ví dụ (Chuyên Khoa học tự nhiên 2020-2021) Cho a,b,c ba số dương thỏa mãn: a+b+c =3 a(a  bc)2 b(b  ac)2 c(c  ab)2   �4 Chứng minh rằng: b(ab  2c2 ) c(bc  2a2 ) a(ca  2b2 ) Phân tích, tìm lời giải: Từ a+b+c=3 yêu cầu toán ta biến đổi VT theo hướng VT �f (a  b  c)  f (3) Ta thấy VT biến có vai trị chiều bất đẳng thức �nên ta liên tưởng tới bất đẳng thức Cauchy Schwarz( bất đẳng thức cộng mẫu) Cũng lí mà ta biến đổi vế trái sau: a(a  bc)2 b(b  ac)2 c(c  ab)2 a2(a  bc)2 b2(b  ac)2 c2(c  ab)2 VT       b(ab  2c2 ) c(bc  2a2 ) a(ca  2b2 ) ab(ab  2c2) bc(bc  2a2 ) ac(ca  2b2 ) a2 b2 c2  a  b  c Áp dụng bất đẳng thức   � x y z x  y z a b c  VT � 2   3abc a2b2  b2c2  c2a2  2abc(a  b  c) a b c  2   3abc (ab  bc  ca)2 Khi ta thấy phân thức nhận có đại lượng đặc trưng 3abc, a2  b2  c2 , ab  bc  ca Nên ta nghĩ đến bất đẳng thức Schur ta có: 9r �p(4q  p2 ) 11 �a  b  c  p � với �ab bc  ca  q �abc  r � => 9abc �(a  b c)(4ab  bc  ca)  (a  b c)2 ) => 3abc �4ab  bc  ca)  ( Do a+b+c=3) a b c Khi VT � 2   4(ab  bc  ca)  (ab  bc  ca)2   �a  b  c)2  2(ab  bc  ca)  � � � (ab  bc  ca) �  9 2(ab  bc  ca)  9 � � 4(ab  bc  ca)  � (ab  bc  ca)2 (ab  bc  ca)2 Dấu “=” xảy  a=b=c=1 Vậy đpcm Lưu ý: Ở toán vận dụng cao địi hỏi học sinh phải tích lũy nhiều kiến thức bất đẳng thức phụ (VD: bất đẳng thức Schur) cần phân tích, nhận diện, khai thác hướng hiệu c) BÀI TẬP CỦNG CỐ ( Đính kèm phần phụ lục) Dạng VẬN DỤNG THEO CHIỀU TỪ PHẢI QUA TRÁI CỦA BẤT ĐẲNG THỨC (**) (Ta tạm gọi bất đẳng thức rã mẫu) a) Vận dụng thấp Ví dụ Cho a,b,c số dương tùy ý Chứng minh rằng: bc bc bc a  b c   � b  c  2c b  c  2c b  c  2c Phân tích, tìm lời giải: - Ta nhận thấy chiều bất đẳng thức biến đổi từ trái qua phải bé ta hướng tới bất đẳng thức Cauchy Schwarz (bất đẳng thức rã mẫu) - Từ đề ta thấy vai trò biến nên ta bám theo quy tắc đối xứng, quy tắc dấu”=” Khi ta phân tích phân thức đại diện: bc bc bc � 1 � � bc bc �  � �   �  � b  c  2c (a  b)  (a  c) �a  b a  c � �a  b a  c � � Tương tự ta có được: � bc bc � �ca ac � �ab ab � a  b  c VT � �   �   �    VP � � �a  b a  c � �b  c b  a � �c  a c  b � � Dấu “=” xảy a=b=c Lưu ý +) Lời giải đáng ý ta phát hiện, khai thác đẳng thức bc bc ca ac ab ab       a  b c a  b a  c b c b  a c  a c  b +) Khi giải ta quan sát xây dựng đẳng thức đẹp cách tách nhóm thích hợp Kỹ thuật ta áp dụng cho ví dụ sau đây: Ví dụ 3: 12 � a, b,c �R 1 1  2 � Cho � Chứng minh rằng: 2  2 2 4a  b  c a  4b  c a  b  4c a  b c  � Phân tích, tìm lời giải: Ta sử dụng tư tưởng ví dụ Cố gắng tìm đẳng thức kết hợp giả thiết a+b+c =3 Ta khai thác đẳng thức sau: 1) 4a2+b2+c2= 2a2+(a2+b2)+(a2+ c2) a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 2) 2  2  2  2  2  2  2  a b b a c a a c b c c a a c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Shwarz cho phân thức đại diện ta phân tích (a  b c)2 a2 b2 c2  �   sau: 2 4a  b  c 2a2  (a2  b2 )  (a2  c2 ) 2a2 a2  b2 a2  c2  a2 b2 c2 b2 a2 c2 c2 a2 b2 VT �  2  2   2  2   2  2 2a a  b a  c 2b b  a b  c 2c c  a c  b   1 1 1  VT VP 2 Dấu “=” xảy a=b=c=1 Lưu ý Lời giải đáng ý ta phát hiện, khai thác đẳng thức 1) 4a2+b2+c2= 2a2+(a2+b2)+(a2+ c2) 2) a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2       3 a2  b2 b2  a2 c2  a2 a2  c2 b2  c2 c2  a2 a2  c2 Qua ví dụ ta thấy kỹ thuật tách nhóm để sử dụng bất đẳng thức Cauchy Shwarz thật đơn giản cho ta lời giải đẹp, vừa hay lại vừa độc đáo Khi phương pháp tách nhóm để đưa đẳng thức khơng cịn hiệu ta xử lí nào? Vậy sau sử dụng bất đẳng thức Cauchy Shwarz ta cịn ước lượng bước Đó thành cơng! b) Vận dụng cao Ví dụ Cho a,b,c số dương Chứng minh rằng: 2ab 3bc 3ca a  2b  3c   � 3a  8b 6c 3b  6c  a 9c  4a  4b Phân tích, tìm lời giải: - Ta thấy a,b,c số số dương, thấy biến khơng có vai trị Vậy làm để ta sử dụng bất đẳng thức bất đẳng thức Cauchy Schwarz Ta nghĩ đến việc thay biến - Quan sát thấy quy luận biến phân thức vế phải kiểm tra rõ nét vế trái - Nếu ta đặt x = a; y = 2b; z = 3c với ĐK x,y,z số thực dương - Thì tốn trở thành xy yz zx x  y z   � 3x  4y  2z 3y  4z  2x 3z  4x  2y - Khi ta có điều muốn vai trị biến Và từ ta bám vào quy tắc song hành, quy tắc dấu”=”… 13 - Nếu xét vế trái bất đẳng thức cần chứng minh ta lại liên tưởng đến bất đẳng thức bất đẳng thức Cauchy Schwarz (bất đẳng thức rã mẫu) - Xét phân thức đại diện: xy xy xy � 1 �  � �   � 3x  4y 2z x  2y x  y z  x  y z �x  2y x  y z x  y z � xy �1 2 � 2x  y 2xy � �    � �9x 9y x  y  z � 81 9(x  y  z) Tương tự yz 2y  z 2yz �  3y  4z  2x 81 9(x  y  z) zx 2z  x 2zx �  3z  4x  2y 9(x  y  z) x  y  z 2(xy  yz  zx)  => VT � 27 9(x  y z) (x  y  z)2 x  y  z 2(x  y  z) x  y  z    VP => VT � 27 27 Mà xy  yz  zx � Dấu “=” xảy x=y=z a=2b=3c => Bất đẳng thức chứng minh Lưu ý: Bài tốn có lời giải hay ta đưa lạ quen Và kỹ để ta phát triển toán từ toán ban đầu Ngồi phương pháp đặt ẩn có mục đích ta sử dụng đến kỹ thuật thêm - bớt Ta xem ví dụ sau: Ví dụ 2: Cho a,b,c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c   �1 3a  b  c 3b c  a 3c  a  b Phân tích, tìm lời giải: Ta thấy tử lẫn mẫu phân thức bất đẳng thức dương áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy Schwarz bạn thử trực tiếp thấy bất đẳng thức đổi chiều Bây ta làm giảm tử số lượng đảm bảo tử số dương( nghĩa dương nhỏ tốt) Với ý rằng: 4a-(3a-b+c)= a+b-c>0 thích hợp Viết bất đẳng thức cho dạng 1� � b 1� � c 1� � a  � �  � �  �� tương đương � �3a  b  c � �3b  c  a � �3c  a  b � Từ ta bớt lượng 14  a  b  c a  b c a  b  c   �1 3a  b  c a  3b  c a  b  3c Đến ta lại sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta chứng minh VT  (a  b  c)2 (a  b c)2 (a  b  c)2   (3a  b c)(a  b  c) (a  3b  c)(a  b  c) (a  b  3c)(a  b  c) (a  b c)2 � (3a  b c)(a  b  c)  (a  3b  c)(a  b  c)  (a  b  3c)(a  b  c) Như ta chứng minh: (a  b  c)2 �1 (3a  b  c)(a  b c)  (a  3b c)(a  b c)  (a  b  3c)(a  b  c) Nghĩa ta chứng minh (a  b  c)2 �(3a  b  c)(a  b  c)  (a  3b  c)(a  b  c)  (a  b  3c)(a  b  c) Đây đẳng thức ta dễ dàng chứng minh Lưu ý Ở ta ý a �1 a �b với a, b dương b Ở toán bất đẳng thức ta thấy việc biến đổi tương đương cần thiết học sinh cần luyện kỹ năng, tích lũy kiến thức thơng qua tập c) Bài tập củng cố ( Đính kèm phần phụ lục) Dạng DẠNG TỔNG HỢP VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN Sau học sinh học xong dạng ( áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz theo chiều) việc tổng hợp phát triển tốn vơ quan trọng Ví dụ (Bài tốn tổng hợp) Chứng minh với số thực dương a,b,c ta có bất đẳng thức: a2 b2 c2   � (2a  b)(2a  c) (2b a)(2b c) (2c  a)(2c  b) Phân tích, tìm lời giải: Ta nhận thấy chiều bất đẳng thức biến đổi từ vế trái qua vế phải bé liên tưởng đến bất đẳng thức Cauchy Schwarz (bất đẳng thức rã mẫu) ta ý đến phân thức vai trị biến từ bám theo quy tắc chung: Song hanh, tính đồng thời dấu “=” Ta khai thác đến đẳng thức (2a+b)(2a+c)= (2a2+bc)+a(a+b+c)+a(a+b+c) Từ sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz (bất đẳng thức rã mẫu) với phân thức đại diện ta (1 1 1)2 1  �   (2a  b)(2a  c) 2a  bc  a(a  b  c)  a(a  b  c) 2a  bc a(a  b  c) a(a  b  c) a2 � a2 2a � � �  � (2a  b)(2a  c) �2a  bc a  b  c � Chứng minh tương tự ta có: b2 � b2 2b � � �  � (2b  a)(2b c) �2b  ca a  b  c � 15 c2 � c2 2c � � �  � (2c  b)(2c  a) �2c  ba a  b  c � Cộng vế với vế ta được: � b2 2b � � c2 2c � � c2 2c � VT � �    � � � � � �2b  ca a  b  c � �2c  ba a  b  c � �2c  ba a  b  c � 1� a2 b2 c2 �  �   � 3�2a  bc 2b2  ca 2c2  ba � Ta chứng minh a2 b2 c2   �1 (*) 2a2  bc 2b2  ca 2c2  ba 2a2 2b2 2c2   �2 2a2  bc 2b2  ca 2c2  ba bc ca ba 3   �2 2a  bc 2b  ca 2c  ba bc ca ba   �1 2a  bc 2b  ca 2c  ba bc ca ba   �1 có dạng chiều Khi ta thấy bất đẳng thức 2a  bc 2b  ca 2c  ba bất đẳng thức ta lại liên tưởng đến bất đẳng thức Cauchy Schwarz (bất đẳng thức cộng mẫu) bc ca ba   2a  bc 2b  ca 2c  ba (bc)2 (ca)2 (ba)2 A   2bca2  (bc)2 2cab2  (ca)2 2bac2  (ba)2 Xét A  (bc  ca  ba)2 � (ab)2  (bc)2  (ca)2  2(a2bc  b2ca  c2ab)  (bc  ca  ba)2  1.=>Điều phải chứng minh (bc  ca  ba)2 Lưu ý +) Ở ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz hai chiều +) Việc khai thác đẳng thức: (2a+b)(2a+c)= (2a2+bc)+a(a+b+c)+a(a+b+c) để sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz (bất đẳng thức rã mẫu) cho ta lời giải đẹp Ví dụ ( Phát triển tốn) Từ toán:Cho x,y,z số thực dương xyz=1 Chứng minh rằng: x2 y2 z2   �1 x2  xy yz y2  yz  zx z2  zx  xy Gợi ý: x2 y2 z2 (x  y  z)2   � 1 x2  xy  yz y2  yz  zx z2  zx  xy (x2  y2  z2 )  2(xy yz  zx) 16 Từ ví dụ Đặt a  x ; b y y ; c z x z  ; => x x  xy  yz x y x y  1 z x  a3 a3  abc  b3 Ta ví dụ Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn abc =1 a3 b3 c3   �1 Chứng minh rằng: a  abc  b3 b3  abc  c3 c3  abc  a3 c) Bài tập củng cố ( Đính kèm phần phụ lục) II.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỐI VỚI HOẠT ĐỘNG GIÁO DỤC, VỚI BẢN THÂN, ĐỒNG NGHIỆP VÀ NHÀ TRƯỜNG Trên số ví dụ phân tích, tìm hướng cho toán bất đẳng thức- cực trị sử dụng bất đẳng thức phụ Cauchy Schwarz sở tuân thủ theo quy tắc chung dạng toán Giải pháp dạy phần bất đẳng thức Cauchy Schwarz để rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh lớp rút từ thực tế năm giảng dạy thân Tốn bất đẳng thức nói chung bất đẳng thức Cauchy Schwarz nói riêng chuyên đề lớn, nhiên với khả khn khổ đề tài có hạn Tơi sâu vào vấn đề nhỏ hướng dẫn, giúp em có kỹ phân tích định hướng cách giải, đưa lời giải, đồng thời đưa tập phát triển từ tập cho tập tương tự, theo kế hoạch, phân chia vận dụng theo chiều bất đẳng thức ( bất đẳng thức rã mẫu hay cộng mẫu) Với việc làm nêu trên, thân tự nghiên cứu áp dụng vào giảng dạy cho nhóm học sinh giỏi học sinh lớp 9B trường THCS Điện Biên bước đầu đạt số kết sau : - Học sinh biết áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, say mê giải toán bất đẳng thức, em khơng cịn sợ lúng túng giải toán - Phần lớn em có niềm tin, niềm say mê, hứng thú học tốn, từ tạo cho em tính tự tin độc lập suy nghĩ, phát triển tư logic, óc quan sát, suy luận tốn học Kết điểm kiểm tra tập theo dạng nội dung đề tài sau áp dụng đề tài SL học sinh Điểm Giỏi Điểm Điểm TB Điểm yếu Điểm 16 17 Về tính ứng dụng đề tài, trước hết đề tài phù hợp câu lạc Toán học, đội tuyển học sinh giỏi, kể học sinh cấp Học sinh dùng làm tài liệu học tập, có định hướng bất đẳng thức phụ nói chung bất đẳng thức Cauchy Schwarz nói riêng, ngồi em bồi dưỡng kiến thức bất đẳng thức Giáo viên dùng làm tài liệu giảng dạy, đồng thời nâng cao trình độ chun mơn, đúc rút kinh nghiệm III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ III.1 Kết luận Để thực tốt công việc giảng dạy, đặc biệt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi đòi hỏi giáo viên nhà trường cần ý thức sâu sắc trách nhiệm trình giảng dạy, đặc biệt giáo viên giảng dạy mơn tốn, song song với nhiệm vụ giảng dạy việc phát huy sáng tạo, tính tích cực nhằm phát triển lực trí tuệ tồn diện cho học sinh Giúp cho học sinh có hứng thú học u thích mơn Tốn học sinh có lực đặc biệt Do kinh nghiệm học toi trình bày cung cấp cho học sinh cách nhận dạng toán hướng dẫn học sinh phân tích tìm tịi lời giải tốn chứng minh bất đẳng thức nói chung tốn liên quan đến bất đẳng thức Cauchy Schwarz nói riêng, giúp em có định hướng đắn gặp dạng toán Hướng cho học sinh tới việc tìm tịi nghiên cứu, sáng tạo, tư logic đồng thời tạo hứng thú cho học sinh trình học tốn Đó việc làm nhỏ để thể tâm huyết với nghề Góp phần nhỏ cơng đổi giáo dục tồn xã hội Tuy nhiên, để đạt kết mong muốn, đòi hỏi ngừoi giáo viên cần hệ thống, phân loại tập dạng nhằm mục đích bồi dưỡng phát triển tư cho học sinh vừa bền vững, vừa sâu sắc, phát huy tối đa tham gia tích cực người học Giáo viên xây dựng từ kiến thức cũ đến mới, từ cụ thể đến tổng quát, từ đơn giản đến phức tạp, phù hợp với trình độ nhận thức chung học sinh Người giáo viên cần trọng phát huy tính chủ động, tích cực sáng tạo học sinh từ giúp em nhìn nhận bao qt, tồn diện định hướng đắn Làm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường nơi cơng tác nói riêng cho xã hội nói chung III.2 Kiến nghị Qua trình giảng dạy, nghiên cứu tơi xin có số đề xuất sau : - Đối với nhà trường: +) Cần bổ sung thêm tài liệu tham khảo ( VD chuyên đề hay, loại báo: Toán tuổi thơ 2…) thường xuyên sưu tầm đề cho học sinh giỏi bổ sung vào thư viện để GV, HỌC SINH làm tài liệu tham khảo +) Nên có câu lạc bộ, sân chơi để phát triển tài toán học nhà trường theo kỳ để em giao lưu, học hỏi… - Đối với GV: phải nhiệt tình tâm huyết với nghề, phải ln có ý thức tự nghiên cứu, học hỏi tìm tịi nâng cao kiến thức, nghiệp vụ trình độ chun 18 mơn, phải có nghiên cứu kiến thức bao quát chương trình không dừng nội dung kiến thức chương trình THCS Những sáng kiến kinh nghiệm hay thành phố, Phòng Giáo dục nên tổ chức hội thảo cho giáo viên thành phố học tập áp dụng sáng kiến vào giảng dạy Trên tơi mạnh dạn giới thiệu bạn đồng nghiệp số kinh nghiệm thân Đề tài chắn khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong góp ý bổ sung quý thầy cơ, bạn để viết hồn chỉnh hiệu Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày tháng năm 2021 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Thị Tự 19 ... em học sinh nhóm giỏi lớp 9B trường trung học sở Điện Biên cho thầy cô giáo, học sinh khối tham khảo cải thiện mảng bất đẳng thức thông qua việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz vào giải toán. .. lượng, kết học tập Để phục vụ cho kỳ thi học sinh giỏi lớp cấp thành phố cấp tỉnh, thi vào 10 tới xin sâu giải bất đẳng thức – cực trị áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz cho số vào số ví dụ điển... bất đẳng thức kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ mức độ thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao với em học sinh nhóm – giỏi lớp 9B kết thu Bảng 1: Mức độ hứng thú học sinh giải tốn bất đẳng thức