(SKKN 2022) hướng dẫn học sinh khá, giỏi lớp 12 trường THPT lê lợi giải quyết các bài toán hình học tọa độ trong không gian mức độ vận dụng, vận dụng cao chủ đề mặt cầu

PHẦN 1: ĐẶT VẤN ĐỀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Tốn học mơn học trường phổ thông rèn luyện cho học sinh khả tính tốn logic, tính cẩn thận đặc biệt tư trừu tượng Một nội dung phát huy khả tư trừu tượng học sinh nội dung hình học giải tích khơng gian Thực tế cho thấy, năm gần kì thi THPT chuyển thành kì thi TN THPT chuyển từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm làm học sinh gặp nhiều khó khăn việc tăng tốc độ tư câu hỏi mức độ vận dụng, vận dụng cao Học sinh phải có khả tư hình học khơng gian cơng thức giải tích, mối quan hệ đối tượng Vì vậy, giáo viên cần xây dựng nội dung phù hợp theo mức độ tảng vững Là Giáo viên giảng dạy môn Tốn, tơi thật trăn trở với vấn đề Vì qua thực tế giảng dạy kinh nghiệm đồng nghiệp, định chọn đề tài: “ Hướng dẫn học sinh khá, giỏi lớp 12 trường THPT Lê Lợi giải tốn hình học tọa độ không gian mức độ vận dụng, vận dụng cao chủ đề Mặt cầu” làm đề tài nghiên cứu Với mong muốn giúp học sinh nắm vững nội dung giải toán từ kiến thức gốc, toán tảng từ rèn luyện khả tư MỤC ĐÍCH CỦA VIỆC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Mục đích tơi xây dựng sáng kiến nghiên cứu, tìm hiểu tốn gốc để xây dựng thành hệ thống có tính kế thừa, tính liên tục Điều giúp học sinh dễ tiếp thu làm tảng giải toán khác Bên cạnh xây dựng hệ thống tập, hướng dẫn học sinh cách phân tích, định hướng tốn dựa tập gốc Từ xác định cách giải toán vận dụng, vận dụng cao ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU 3.1 Đối tượng nghiên cứu Đề tài hướng đến tác động học sinh lớp 12A2 (với 42 học sinh chọn làm lớp thực nghiệm) lớp 12A5 (với 42 học sinh chọn làm lớp đối chứng), khóa học 2019 – 2022 Trường THPT Lê Lợi 3.2 Phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu, xây dựng hệ thống tập tảng định hướng cách giải toán mức độ vận dụng, vận dụng cao PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 4.1 Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lí thuyết - Thu thập, nghiên cứu hệ thống lại tài liệu có liên quan đến đề tài, để làm sở minh chứng nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm 4.2 Phương pháp thực nghiệm sư phạm - Tiến hành thu thập, xếp chuẩn hóa nội dung chủ đề thành hệ thống phù hợp Từ khảo sát khả phù hợp, hiệu nội dung việc giúp học sinh khá, giỏi giải toán 4.3 Phương pháp điều tra, khảo sát, đánh giá kết quả, thống kê xử lí số liệu - Xử lí thơng tin, số liệu thu thập nhằm đánh giá kết thực nghiệm áp dụng số tình thực tiễn 4.4 Phương pháp viết báo cáo khoa học PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 1.1 Định nghĩa mặt cầu Cho điểm I cố định số thực dương R Tập hợp tất điểm M không gian cách I khoảng R gọi mặt cầu tâm I, bán kính R S ( I ;R ) Þ S ( I ;R ) = { M / I M = R } Kí hiệu: 1.2 Phương trình mặt cầu Dạng 1: Phương trình tắc Mặt cầu (S) có tâm kính R >0 I ( a;b;c) Dạng 2: Phương trình tổng quát (S) : x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = , bán Þ , có pt ( S ) : ( x - a) (2) 2 + ( y - b) + ( z - c) = R Điều kiện để phương trình (2) phương trình mặt cầu: a2 + b2 + c2 - d > (S) có tâm I ( a;b;c) R = a2 + b2 + c2 - d (S) có bán kính: 1.3 Vị trí tương đối của điểm, đường thẳng , mặt phẳng và mặt cầu 1.3.1 Vị trí tương đối của điểm mặt cầu S O; R ) Cho mặt cầu ( điểm A bất kì, đó: Nếu OA = R ⇔ A ∈ S ( O; R ) Khi uOA gọi bán kính mặt cầu Nếu OA uuu r uu r OB hai bán kính cho OA = −OB đoạn thẳng AB gọi đường kính mặt cầu  Nếu OA < R ⇔ A nằm mặt cầu Nếu OA > R ⇔ A nằm mặt cầu   ⇒ Khối cầu S ( O; R ) tập hợp tất điểm M cho OM ≤ R 1.3.2 Vị trí tương đối của mặt phẳng mặt cầu S O; R ) mp P Cho mặt cầu ( ( ) Gọi d khoảng cách từ tâm O mặt cầu đến  mp ( P ) H hình chiếu O mp ( P ) ⇒ d = OH mp ( P ) S O; R ) Nếu d < R ⇔ cắt mặt cầu ( theo giao tuyến đường tròn nằm mp ( P )  Nếu  Nếu xúc 2 2 có tâm H bán kính r = HM = R − d = R − OH (hình a) d > R ⇔ mp ( P ) d = R ⇔ mp ( P ) mp ( P ) không cắt mặt cầu S ( O; R ) có điểm chung Ta nói mặt cầu Do đó, điều kiện cần đủ để d ( O, ( P ) ) = R (hình b) mp ( P ) S ( O; R ) tiếp S ( O; R ) tiếp xúc với mặt cầu (hình c) d d= Hình a Hình b 1.3.3 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu Hình c O ∆ H S O; R ) Cho mặt cầu ( đường thẳng Gọi hình chiếu ∆ đường thẳng thẳng ∆ Khi đó:    d = OH khoảng cách từ tâm O mặt cầu đến đường S O; R ) Nếu d > R ⇔ ∆ không cắt mặt cầu ( S O; R ) Nếu d < R ⇔ ∆ cắt mặt cầu ( hai điểm phân biệt Nếu d = R ⇔ ∆ mặt cầu tiếp xúc (tại điểm nhất) Do đó: điều kiện cần đủ để đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu d = d ( O; d ) = OH S O; R ) Định lí: Nếu điểm A nằm ngồi mặt cầu ( thì:    ) Qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu ( Độ dài đoạn thẳng nối A với tiếp điểm S O; R Tập hợp điểm đường tròn nằm mặt cầu 1.3.4 Vị trí tương đối của hai mặt cầu S1 ( I1; R1 )  S ( O; R ) S ( I ; R2 ) Cho hai mặt cầu Khi Nếu hai mặt cầu cắt theo giao tuyến đường tròn R1 − R2 < I1I < R1 + R2 CHƯƠNG THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Thực trạng q trình học mơn Tốn chủ đề mặt cầu hình học tọa độ của học sinh Đối với học sinh nay, học theo hình thức trắc nghiệm, số học sinh không nắm phần gốc tốn tức khơng tìm hiểu cách giải toán đâu mà tập trung nhớ cơng thức tính nhanh, cách thử máy tính, cách giải tốn Vì vậy, q trình làm giảm khả suy luận, tư học sinh Bên cạnh đó, nội dung hình học tọa độ không gian, chủ đề mặt cầu với tập mức độ vận dụng, vận dụng cao nội dung khó, kết hợp khả tư trừu tượng hình học khơng gian, toán cực trị phát triển lên toán hình tọa độ khơng gian cơng thức hình tọa độ Điều làm học sinh lúng túng, hướng giải theo đường 2.2 Thực trạng q trình học mơn Tốn chủ đề mặt cầu hình học tọa độ của học sinh trường THPT Lê Lợi Trường THPT Lê Lợi trường đóng thị trấn Thọ Xuân, có bề dày truyền thống dạy học Học sinh chủ yếu em vùng nơng thơn, cần cù, chịu khó, hiếu học Tuy nhiên, tác động nhiều hình thức học tập internet, nhiều yếu tố khách quan số học sinh có biểu ngại học, ngại tư Thích sử dụng phương pháp giải tốn mà khơng hiểu chất Điều làm học sinh giảm dần khả tư nhạy bén, lười giải toán cần đến chất toán Phần lớn học sinh trường THPT Lê Lợi có ý thức xây dựng kiến thức tảng, có u thích mơn học Ngay từ buổi đầu giáo viên định hướng cho học sinh cách thức học, tiếp cận cách giải hợp lí Vì học sinh có kiến thức tảng định Tuy nhiên, để học sinh tiếp cận chủ đề cách tốt học sinh còn gặp nhiều khó khăn: - Chưa nắm vững toán - Chưa hiểu rõ chất mối quan hệ đối tượng - Chưa biết cách định hướng, nhận dấu hiệu để lựa chọn cách giải phù hợp CHƯƠNG XÂY DỰNG VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TẬP GỐC, ĐỊNH HƯỚNG GIẢI QUYẾT BÀI TỐN 2.1 Các bài tốn liên quan đến tiếp tuyến của mặt cầu Bài toán Cho mặt cầu ( S) có tâm I , bán kính R Gọi M mặt cầu Khi đó, tất tiếp tuyến mặt cầu điểm phẳng ( P) qua M vng góc IM điểm thuộc M thuộc mặt Oxyz Bài 1.1 Trong không gian , cho mặt cầu A ( 2; −1; −1) , B ( −1; −1; −2 ) từ hai điểm tiếp điểm Có điểm tiếp tuyến CM tam giác ABC 24 A Định hướng: Vì M B C ( S ) : ( x − 1) kẻ tiếp tuyến A Oxz đến mặt cầu , mà từ C Điểm uuur uuur • nên C ( a;0; b ) ⇒ AC AB = 0; d ( I ; ( ABC ) ) = R • AM , BM , CM Mặt cầu Ta có Gọi phương trình C ( ABC ) ( ABC ) C AM , BM , ( P) qua Ta có uuur uuur tam ABC giác uuur AB AC = ⇔ b = −3a + ⇒ AC ( a − 2;1; −3a + ) Gọi M kẻ đường D mặt phẳng chứa hai tiếp tuyến AB ( −3;0; −1) r n , uuur C ∈ Oxz ⇒ C ( a;0; b ) ⇒ AC ( a − 2;1; b + 1) ( P) điểm uuu r có tâm I ( 1;1; ) R = ( S) nằm mặt Từ điều kiện ta đủ số phương trình tìm tọa độ điểm Lời giải chi tiết ( S) C phẳng Vậy nên mặt phẳng chứa tiếp tuyến mặt phẳng C ∈ ( Oxz ) 58 tiếp điểm nên theo toán 1, + ( y − 1) + ( z − ) = AM , BM thuộc mặt phẳng vuông vecto pháp tuyến Mặt phẳng ( P) qua điểm A ( P) , ta có có phương trình là: ⇔ x + ( −10m + 20 ) y − z − 10m + 15 = Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu ( S) nên: A r uuur uuur n =  AB , AC  = ( 1; −10b + 20; −3) ( x − ) + ( −10b + 20 ) ( y + 1) − ( z + 1) = ( P) vuông nên d ( I ,( P) )  −5 + 310 m=  − 10 m + 20 − − 15m + 15 10 =R⇔ = ⇔ 400m + 400m − 1140 = ⇔  2  −5 − 310 + ( −10m + 20 ) + ( −3 ) m = 10  C Vậy có hai điểm thỏa mãn điều kiện đề Bài toán Cho mặt cầu mặt cầu, tam giác B C , ABI kẻ từ ; B vng góc Từ điểm • A IA A H B Oxyz , cho mặt cầu ( P) ( S): x ( P) có phương trình Xác định tọa độ Mặt ucầu u r có tâm , H Có điểm ABI H qua H , đáy + y + z − 2z − = ( S) ( P) điểm Biết tiếp điểm Khi a + b + 2c nhận C D nên theo toán 2, cần B hình chiếu tiếp điểm uuu r uu r IH IA = IB A lên IA dựa vào hệ thức Lời giải chi tiết I ( 0;0;1) IA = ( 2; 2;1) ⇒ IA = Ta có tam giác ( P) B IH ax + by + cz − = Ta cần xác địnhuvectơ pháp tuyến mặt phẳng uu r ( S) chân đường cao nằm mặt phẳng nằm mặt phẳng xác định tọa độ điểm nằm vẽ tiếp tuyến tới mặt cầu tạo thành hình nón đỉnh A Phân tích: • , kẻ tiếp tuyến đến mặt cầu thuộc mặt phẳng giá trị • A H A Bài 2.1 Trong không gian Từ Gọi BC = BH = R − IH đường tròn tâm A ( 2; 2; ) R , bán kính Khi ta có kết sau: Tập hợp tiếp điểm kẻ từ • I có tâm hai tiếp điểm mặt cầu kẻ từ IH IA = IB • ( S) , bán kính R=2 Kẻ tiếp tuyến vng B nên ta có AB đến mặt cầu AB = IA2 − IB = ( S) , với B tiếp H ( x; y; z) Gọi chân đường cao kẻ từ IB = IH IA ⇒ IH = Ta có: B tam giác ABI IB 4 = ⇒ IH = IA IA    x − = x =  uuu r uu r   IH = IA ⇒  y − = ⇔  y = 9    8 13    13  z − = z = ⇒ H  ; ; ÷     Từ suy uu r IA = ( 2; 2;1) ( P) IA Mặt phẳng nên nhận (α) H pháp tuyến Hơn mặt phẳng qua điểm Vậy ( P) vng góc với đường thẳng có phương trình: a + b + 2c = Suy 8 8    13   x − ÷+  y − ÷+  z − ÷ = ⇔ 2x + y + z − = 9 9 9    Bài 2.2 Trong không gian với hệ trục tọa độ I ( 1;2;3) có bán kính số thực Giả sử Khi đoạn thẳng d ( P) ,( Q) MN làm vectơ r=2 Xét đường thẳng mặt phẳng chứa d Oxyz , cho mặt cầu ( S) x = 1+ t  d :  y = −mt ( t∈¡ ) , m z = m −1 t )  ( tiếp xúc với ( S) ngắn tính khoảng cách từ điểm có tâm tham B ( 1;0; ) M,N đến đường A Phân tích: B * Xuất hai điểm mặt phẳng qua I MN tiếp tuyến mặt cầu C 237 21 D 273 21 nên ta tìm cách đưa toán toán Gọi vng góc ( S) 3 d Khi ( R) cắt d K KM ; KN ( R) là * Gọi H = KI ∩ MN lớn Mặt khác IH , đó: lớn d IK ≥ d ( I ; ( α ) ) IH IK = IM ⇔ IH = Dấu ( α ) : x + y + z −1 = Gọi Gọi uu r uuur uu r  IA.n( α )  ud =   “=” xảy Lời giải chi tiết d qua A ( 1;0;0 ) điểm I vng góc với K ⇒ IK ≥ d ( I , ( α ) ) uu r r r ⇔  IA, n ( α )  u d = ⇔ m = ( P) ( P) ( S) có tâm mặt phẳng qua Nếu khơng cắt mặt cầu mặt cầu ( P) M ( S) I , bán kính R từ A Bài 3.1 Trong không gian đường thẳng tuyến đến (S ) x − y +1 z −1 = = 1 M nằm ngồi mặt kẻ vơ số tiếp tuyến đến Nếu cắt theo giao tuyến đường tròn tiếp tuyến đến mặt cầu 0xyz điểm , đó: ( S) d: uuu r  AB = ( 0;0;4 ) uuu r r 273 ⇒ r ⇒  AB, u d  = ( 4; 20;0 ) ⇒ d ( B, d ) = 21 u d = ( 5; −1; −4 ) cầu Gọi , cho mặt cầu ( C) , từ điểm M kẻ ( S ) : ( x − 1) + ( y + 2) + ( z − 3) = 16 , Điểm M thuộc trục 0y Từ M kẻ tiếp , cho hai tiếp tuyến vng góc với d Giá trị ngun lớn tung độ điểm M để −9 d nên nằm mặt phẳng 16 ⇒ MN = 2MH = IM − IH = − IK IK Bài toán Cho mặt cầu A A ( 1;0;0 ) IH Ta có: MN ⇔ IK = d ( I , ( α ) ) • ngắn ( α ) : x + y + z −1 = IH IK = IM ⇒ IH = • MN bé mặt phẳng qua tâm H = IK ∩ MN Khi , mà di động nằm mặt phẳng Ta thấy đường thẳng ( R) IK IK 0M ≤ 20 B bao nhiêu? 20 C D 17 Phân tích: *Vì qua M M phẳng qua * Vì M ∈( P) n = ( 3;1;1) có từ ( S) cắt mặt cầu M nên nằm mặt kẻ tiếp tuyến đến mặt cầu nên theo tốn điểm M ( P) nằm ngồi mặt cầu Lời giải chi tiết M (0; m; 0) Giả sử OM = m2 ≤ 20 ⇔ m2 ≤ 400 ⇔ −20 ≤ m ≤ 20 d1 , d Gọi d kẻ đường thẳng vng góc với r hai tiếp tuyến kẻ từ M tới Mặt phẳng ( P) Do M thuộc chứa ( P) d1 , d (1) (S ) mà vng góc với d nên phương trình có dạng: nên ta có: 3x + y + z + D = D = −m Suy ra: Phương trình mp (P) là: Từ ycbt: 3x + y + z − m = 1 + ( m − 2) + > 16   IM > R   m ∈ −∞; − ∪ + 6; +∞ ⇔  3− +3− m ⇔  R Lời giải chi tiết ( m − 1) + ( m − 2) + * Với m − ( m − 4) > ∀m ∈ ¡ , x + y + z + ( m − 1) x + ( m − ) y − mz + m − = Khi m thay đổi, ( S ) : ( x − 1) ( S) , ta có: 2 có tâm ( Sm ) ln qua đường tròn cố định, giao tuyến + ( y − 2) + z = I ( 1; 2;0 ) ( P ) : 2x + y − z + = bán kính Đường tròn giao tuyến * Từ điểm d phương trình mặt cầu ( C) R=3 có tâm  7 K − ; ; ÷  9 9 ln vẽ * Phương trình giao điểm ⇔ ( − 2m ) t + − m = d r= bán kính tiếp tuyến đến ( P) : ( Sm ) d ⊂ ( P ) ⇒ d ( K , d ) > R 1   + 2t ÷+ ( − mt ) − ( m + − 2t ) + = 2  6 − m = d ⊂ ( P) ⇒  ⇔ m=3 9 − m = * Thử lại với m=3 , ta có:   x = + 2t  d :  y = − 3t  z = 10 − 2t   qua 10 1  A  ; 4;10 ÷   uur  19 32 83  KA =  ; ; ÷  18 9  Suy ra, MN lớn Theo toán 2, Vậy NH lớn NH max = R + d ( I ; ( P ) ) = MN max = Bài toán Cho mặt phẳng ( P) cắt mặt cầu ( S) ( P) cố định có tâm theo giao tuyến đường tròn Gọi ( P) I mặt cầu ( S) ( C) H I bán kính R , hình chiếu r = R2 − d ( I ;( P ) ) H Khi đường tròn có tâm bán kính Các tốn phát triển thường quy tính min, max diện tích đường tròn ( C) Cách giải Bước 1: Xác định đối tượng cần tính GTLN, GTNN Bước 2: Thiết lập biểu thức diện tích, thể tích theo biến yếu tố có sẵn Bước 3: Sử dụng BĐT hàm số khảo sát tính min, max kết luận Bài 3.1 Trong không gian I ( 1; 2; −3) R = tròn , ( C) A ( C) , cho điểm ( P) Xét mặt phẳng Khi khối nón có đỉnh bán kính Oxyz I A ( −1;1; −1) qua A cắt ( S) , đường tròn đáy mặt cầu ( S) có tâm theo giao tuyến đường ( C) tích lớn B C 2 D Lời giải Định hướng: Đối tượng cần xác định biểu thức khối nón đỉnh r = R − IH 2 16 I , đường cao IH ; Vì IA = nên d ( I ;( P ) ) ≤ V = π IH ( 25 − IH ) ( < IH ≤ 3) Ta có ( S) Lời giải chi tiết có tâm I ( 1; 2; −3) , R = ⇒ IA = < R đỉnh I đường tròn đáy ( C) V ' = π ( 25 − 3h ) = ⇔ h = 3 Do VMax mặt cầu ( P ) : ax + by + cz + d = A, B Gọi , Oxyz (N ) , cho hai điểm có diện tích lớn nhất, giá trị T =4 Xét mặt phẳng hình nón có đỉnh tâm mặt cầu ( P) B T =6 (S ) C Lời giải (S ) đường Khi thiết diện qua trục T = a+b+c+d 17 , mặt phẳng thay đổi qua ( a, b, c, d ∈ ¢, a > 0, d > −4 ) (N )  5+ −  A  ; ;3 ÷ ÷   ( S ) : ( x − 1) + ( y − 2) + ( z − 3) = tròn đáy đường tròn giao tuyến A 5 h= ⇔ r = R − h2 = 3  5− 7+  B  ; ;3 ÷ ÷   hình nón với h = IH ∈ ( 0;3] Bài 3.2 Trong khơng gian hai điểm Khi thể tích khối nón có V = π h ( 25 − h ) T =2 D T = 12 Mặt cầu Có (S ) có tâm nên IA = IB = I ( 1; 2;3) A, B , bán kính thuộc mặt cầu R= (S ) , trung điểm đoạn uuur r với r AB AB = − a a = (1; −1;0) M  ; ;3   ÷ 2  Gọi r n = (a; b; c) Vì A, B ∈ ( P ) Gọi a + b2 + c > với nên có h = d ( I , ( P) ) , vectơ pháp tuyến mặt phẳng 5  M ∈ ( P) d = −6a − 3c  a + b + 3c + d = r r ⇔ 2 ⇔ ( *)  a.n = a = b a − b = , (C ) = ( P ) ∩ ( S ) r bán kính đường tròn (C ) r = R −h = 6−h 2 Diện tích thiết diện qua trục hình nón h +6−h S = h.2r = h − h ≤ =3 2 max S = h2 = − h2 ⇒ h = h = d ( I , ( P) ) ⇔ = (Theo bất đẳng thức Cô si) a + 2b + 3c + d a2 + b2 + c2 (N ) ⇔ 3= 18 −3a 2a + c (Do có (*)) ( P) a = c ⇔ a2 = c2 ⇔   a = −c Nếu Nếu Vậy a=c a = −c b = a; d = −9a và b = a; d = −3a T = a+b+c+d = ( P) : ax + ay + az − 9a = ⇔ x + y + z − = (loại) ( P) : ax + ay − az − 3a = ⇔ x + y − z − = (nhận) Các bài toán liên quan đến mặt cầu 2.3.1 Các kiến thức liên quan 2.3 S1 ( I ; R1 ) ; S ( I ; R2 ) * Cho hai mặt cầu Nếu theo giao tuyến đường tròn R1 − R2 < I1I < R1 + R2 mặt cầu cắt ( S1 )  ( S ) ( P) Đường tròn thuộc mặt phẳng xác định * Các giả thiết dạng hình học quy khái niệm mặt cầu: - ·AMB = 90o , A , B M cố định, thuộc mặt cầu đường kính k − α IA − β IB >0 A, B α +β α MA + β MB = k - mặt cầu tâm I , α +β ≠0 α IA + β IB = thỏa mãn R2 mặt phẳng ( S1 ) ; ( S2 ) ; ( P ) ( S1 ) ( P) có tâm Gọi , uur r uu r Bài tốn Cho mặt cầu kính AB cố định, I, bán kính A, B, M Xác định vị trí điểm R1 ; mặt cầu ( S2 ) M có tâm thuộc K bán điểm thuộc M để MA + MB; MA − MB đạt GTLN, GTNN a) Xác định vị trí • Nếu • Nếu ( S1 ) ; ( S2 ) ( S1 ) ; ( S2 ) M để MA + MB khác phía so với đạt giá trị nhỏ ( P) ( S ′) : MA + MB ≥ AB ≥ A ' B ' phía, lấy đối xứng 19 ( S1 ) qua ( P) đưa tốn b) • • Xác định vị trí Nếu ( S1 ) ; ( S2 ) M để MA − MB phía so với ( S1 ) ; ( S2 ) Nếu khác phía so với toán đạt giá trị lớn ( P) ( P) : MA − MB ≤ AB ≤ A1B1 ( S ′) , lấy lấy đối xứng ( S1 ) qua ( P) đưa 2.3.2 Bài tập Bài 4.1 ( S1 ) : ( x − ) Trong d = AM + AN A Gọi A, M , N Oxyz, gian + ( y + ) + ( z − ) = 24; ( P ) : 3x − y − 20 = không ( S ) : ( x − 3) cho hai + ( y + ) + ( z − 1) = 2 ( P ) ; ( S1 ) điểm thuộc Tính giá trị nhỏ B d mặt cầu mặt phẳng ( S2 ) Đặt Lời giải 20 C D 11 10 Mặt cầu R2 = Ta có I1 ; I nên ( S1 ) I1 I = < R1 + R2 Dấu suy phía ( S1 ) ( S2 ) Gọi mặt cầu Gọi có tâm I1 ( 7; −7;5 ) N′ Suy cắt ( S2 ) , , mặt cầu ( S2 ) có tâm N qua nhỏ d = I1 I − R1 − R2 ( S2 ) ( P) M ; A; N ′ ,suy Bài 4.2 Cho điểm AM + AN = AM + AN ′ ≥ MN ′ thẳng hàng M ; A; N ′  x = + 3t  I I :  y = −5 − 4t z =  thuộc đoạn I1 I3 I1I = A ( 2;3;5 ) 18 , I I3 Khi giao điểm đường thẳng Suy qua mặt phẳng ( P) ( P) Phương trình đường thẳng  21 53  ⇒ I  ; − ;1÷  25 25  29 > R1 d ( I , ( P ) ) = > R2 5 thuộc miền khơng gian có bờ mp đối xứng với mặt cầu I ( 3; −5;1) ; xảy MN ′ d ( I1 , ( P ) ) = điểm đối xứng "=" Khi ( S3 ) ( P) ( S1 ) R1 = d = Vậy , hai mặt cầu ( S1 ) : x 21 ( P) với 11 10 điểm + y + z = 9,  48 89  H  ; − ;1÷  25 25  ( S2 ) : ( x − 1) m, n + ( y − ) + ( z + 3) = 16 2 điểm M di động thuộc hai mặt cầu Gọi AM giá trị lớn giá trị nhỏ Tính giá trị biểu thức T =m +n 2 341 A Định hướng: Điểm M mặt cầu Gọi A′ ⇒ AM C A D 2411 28 lên mặt phẳng ( P) ( P) : 2x + y − 6z − = Khi : AM = AA '2 + A ' M A'M đạt GTLN, GTNN phụ thuộc , đưa toán (mục 2.1) Lời giải chi tiết ( S1 ) có tâm O R1 = , bán kính ( S2 ) ; mặt cầu có tâm I ( 1; 2; −3) , bán R1 − R2 < OI = 14 < R1 + R2 ⇒ hiệu đường tròn ( C) có tâm H hai mặt cầu cắt theo đường tròn, kí r , bán kính Phương trình mặt phẳng chứa đường tròn ( C) ( C) là: HA ' Mặt phẳng hình chiếu ( P) ( P) : 2x + y − 6z − = 130 r = R12 − d ( O, ( P ) ) = Bán kính đường tròn ( P) A' A Gọi hình chiếu mặt phẳng Ta có 1028 thuộc đường tròn giao tuyến chung , đường tròn thuộc mặt phẳng hình chiếu R2 = Ta có M thuộc hai mặt cầu nên ( S1 ) ; ( S2 ) Mặt cầu kính B 151 OA mặt phẳng có vectơ pháp tuyến r n = ( 1; 2; −3 ) 22 , ( P) uuu r OA = ( 2;3;5 ) uuu r r 133 69 sin ( OA, ( P ) ) = cos OA, n = ⇒ cos ( OA, ( P ) ) = 38 76 ( ) 138 >r ⇒ HA ' = OA.cos ( OA, ( P ) ) = A' Suy nằm ngồi đường tròn AM Khi giá trị lớn Giá trị nhỏ ( C) m = HA '+ r = m = HA '− r = AM Oxyz Bài 4.3 Trong không gian ( P ) :2 x − y + z + = 138 130 + 138 130 − cho hai điểm T = m2 + n2 = A ( 0; −1; ) , B ( 2;5; ) M ( a; b; c ) Gọi điểm thỏa mãn biểu thức ( P) a.b.c M khoảng cách từ đến lớn Khi giá trị bằng: −8 A B C Định hướng: Từ giả thiết I mãn điểm Gọi trung điểm M Vậy MA2 + MB = 40 M AB , ta thấy điểm M thuộc mặt cầu thuộc đường thẳng qua I vng góc mặt phẳng mặt phẳng MA2 + MB = 40 D ( S) ( P) 341 có tâm −9 I thỏa Từ xác định thỏa mãn I ( 1; 2;3) Lời giải chi tiết trung điểm AB , AB = 11 uuu r uu r uuu r uur MA2 + MB = 40 ⇔ MI + IA + MI + IB ( ) ( ) = 40 AB ⇔ MI + = 40 ⇔ MI = 2 Do d ( I,( P) ) = Gọi 2.1 − 2.2 + + 22 + ( −2 ) + 12 M ( a; b; c ) = M thuộc mặt cầu ( S) cầu có tâm I ( 1; 2;3) , R = R (thỏa mãn) Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , I ( −1;1;1) , R = từ điểm A ( 1;1;0 ) M ( a; b; c ) ta kẻ tiếp tuyến đến mặt cầu (S) có tâm Gọi tiếp điểm ứng với tiếp tuyến Tìm giá trị lớn biểu thức: T = 2a − b + 2c A + 41 B + 41 15 Bài Trong không gian (α ) : x + 2y − z + = phẳng qua M C mặt cầu Oxyz + 41 D , cho điểm ( S ) : ( x − 1) M ( 1;2; − 1) + ( y + ) + ( z − 1) = 25 , vng góc với mặt phẳng (α) , mặt phẳng Gọi ( P) đồng thời cắt mặt cầu giao tuyến đường tròn có bán kính nhỏ Mặt phẳng sau đây? 24 + 41 15 ( P) mặt ( S) theo qua điểm A ( −3;1;7 ) A B ( −1;3;1) B C C ( 5; 2;9 ) D Oxyz Bài Trong không gian với hệ trục tọa độ M ( 0;8; ) , N ( 9; −7;23 ) ( P ) : x + by + cz + d = cách từ N mặt cầu qua điểm đến mặt phẳng b+c+d = A b+c+d = ( S ) : ( x − 5) B ( P) M b−c+d b + c + d = −1 ( S1 ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = ( P ) : x + y + z + = ( S1 ) ( S2 ) cầu 2a + b + c A −5 ; Gọi cho , M , N, K MN + MK B ( S2 ) : ( x + 1) Oxyz Gọi H cho khối nón đỉnh mặt phẳng ( P) x + by + cz + d = A R = 18 tròn ( C) A A ( N) ( N) + ( y − 2) + ( z + 2) = −4 Oxyz, AB ( P) đáy hình tròn tâm Tính mặt , D , B ( 6;5;5 ) vng góc với đoạn H (giao mặt cầu ( P) AB ( S) có phương trình S = b + c + d C S = −18 x y −1 z + = = −1 D S = 14 , vẽ tiếp tuyến hình nón có đỉnh 3π ( P) M ( a; b; c ) A ( 2;1;3) cho hai điểm Mặt phẳng + ( y − ) + ( z − 3) = nhỏ mặt phẳng C thuộc đường thẳng D d: ( S ) : ( x − 1) Gọi khối nón S = −14 B Bài Từ điểm đến mặt cầu b, c, d ∈ ¢ , cho hai mặt cầu ) tích lớn nhất, biết mặt phẳng với cho khoảng có giá trị đạt giá trị nhỏ Giả sử mặt cầu có đường kính A Mặt phẳng điểm nằm mặt phẳng Bài Trong không gian với hệ tọa độ ( S) ( S) b + c + d = −5 C Bài Trong không gian với hệ tọa độ 2 tiếp xúc với mặt cầu lớn Khi tổng , cho hai điểm + ( y + 3) + ( z − ) = 72 D ( 1; − 9; ) A Khi đó, tiếp điểm thuộc đường đáy hình tròn Có điểm A C 25 Biết thể tích có cao độ số ngun? B ( C) D Oxyz Bài Trong hệ trục tọa độ M hoành độ nguyên cho từ ( S ) : ( x − 1) + ( y − 2) + ( z + 3) = A , có điểm song song với B I tâm , đường thẳng số tiếp tuyến tới phẳng (α) ( S) C B Bài Cho hai mặt cầu ( S ′ ) : ( x + 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 81 d điểm T = 81 ( S ) : ( x − 1) di động B .Gọi ( S1 ) : ( x − 1) M , N + y + ( z − 3) = 36 M =5 kẻ vô (α) D d đường thẳng tiếp xúc với hai mặt khoảng lớn Gọi T = 92 Biểu thức C Oxyz E ( m; n; p ) giao T = m+n+ p T = 79 có giá trị D , cho hai điểm T = 88 A ( 0; −2;0 ) + ( y + 1) + ( z − 3) = và ( S2 ) : x + y + z − x − z + = ( P) cho MN = Xét hai điểm Giá trị nhỏ 72 − 34 mặt phẳng chứa giao tuyến hai mặt cầu hai điểm thuộc AM + BN A 2 ( S ) : x + y + ( z + 1) cho từ đến mặt phẳng ( P ) : x − y + z − 17 = với mặt phẳng ( P) d C Gọi M ( 4; −1; −7 ) I Bài 10 Trong không gian với hệ tọa độ B ( 3; 4;5 ) D , cho mặt cầu cầu cách điểm Oxyz Biết tập hợp tiếp điểm đường tròn nằm mặt A M Khoảng cách lớn từ A (Q) : x + y + z = Bài Trong không gian với hệ tọa độ x = t  d : y =  z = −1 + t  trục hồnh có kẻ hai tiếp tuyến đến mặt cầu M B Bài 11 Trong không gian 72 − 34 Oxyz C 72 + 34 26 72 + 34 ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 1) = 18 ,cho mặt cầu D 2 K (4; −4;4) điểm Kẻ tiếp tuyến lớn từ đến đường thẳng A 14 + A ( 0;0; ) , B ( 6; −2;6 ) điểm thuộc mặt cầu thẳng A d ( S) đến mặt cầu x y z−4 ∆: = = −1 −4 B Bài 12 Trong không gian KM Oxyz 14 +2 C cho mặt cầu d: cho ·AMB = 90° ( S ) : x2 + ( y − 2) D T = a +b +c T = 25 2 + ( z + 1) = 29 x−4 y +8 z −4 = = −1 2 T = 24 14 Gọi khoảng cách từ điểm ngắn Tính giá trị biểu thức Khoảng cách đường thẳng ( S ) ( M ∈ ( S )) M , hai M ( a; b; c ) đến đường T = 16 B C CHƯƠNG 4: HIỆU QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI D T = 12 4.1 Kết thực nghiệm Lớp thực nghiệm: 12A2 (42 học sinh) Lớp đối chứng: 12A5 (42 học sinh) Kết số học sinh định hướng, hướng dẫn làm sản phẩm dự án, trả lời tốt câu hỏi vận dụng, vận dụng cao thể bảng số liệu biểu đồ sau: Lớp Tổng số HS Lớp thực nghiệm 12A2 Lớp đối chứng 12A5 Có định hướng Chưa định hướng Trả lời ngẫu nhiên Số lượng (HS) Tỉ lệ (%) Số lượng (HS) Tỉ lệ (%) Số lượng (HS) Tỉ lệ (%) 42 22 52,38 10 23,81 10 23,81 42 05 11,9 21 50 16 38,1 Qua bảng số liệu, thấy rõ mức độ có định hướng học sinh gặp tập mức độ vận dụng, vận dụng cao chủ đề Từ có u thích chủ đề, tăng khả tư trừu tượng 4.2 Phạm vi ảnh hưởng của đề tài - Đối với cấp quản lí: Giúp cấp quản lí thực nhiệm vụ, mục tiêu giáo dục nhà trường, giáo dục toàn diện học sinh, rèn luyện tư trừu tượng, khả tư logic định hướng cho học sinh 27 - Đối với giáo viên: Nội dung đề tài làm tư liệu cho giáo viên dạy mơn Tốn, từ xây dựng hệ thống tập gốc định hướng cho học sinh nội dung khác - Đối với học sinh: Đề tài giúp học sinh giải vấn đề từ kiến thức tảng, biết cách tự tìm hướng giải cho thân Từ khơi dậy niềm đam mê, u thích môn học PHẦN 3: KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận Trong trình dạy học trường phổ thông , xu hướng nghề nghiệp ảnh hưởng không nhỏ tới tâm tư tưởng học sinh Với xu hướng thi theo hình thức trắc nghiệm có lợi ích định, giúp học sinh thỏa sức sáng tạo để tìm đường giải vấn đề, hiểu rõ chất, tránh tình trạng học lệch, học tủ.Từ xây dựng lực tư logic, tư trừu tượng, rèn luyện tính cẩn thận, khả sáng tạo Tuy nhiên thách thức học sinh thời gian ngắn phải giải nhiều lượng tập vận dung, vận dụng cao Bên cạnh số lượng học sinh thực nỗ lực, u thích mơn học, tìm hiểu chất vấn đề khơng học sinh phụ thuộc vào máy tính, học mẹo, học cơng thức tính nhanh làm giảm khả tư logic, tư trừu tượng Đây thách thức không nhỏ giáo viên trình dạy học Đề tài với mong muốn xây dựng hệ thống tập tảng cách định hướng vấn đề giúp học sinh tiếp cận, giải tốn có định hướng rõ ràng Từ hình thành thói quen định hướng chủ đề khác Kiến nghị Qua trình nghiên cứu đề tài tơi có số kiến nghị sau: 2.1 Với cấp quản lí Việc rèn luyện lực cho học sinh điều cần thiết đặc biệt khả tư trừu tượng, tư logic, khả giải Tuy nhiên muốn hình thành khả cần có thay đổi tích cực giáo viên Vì tơi có kiến nghị sau: - Tổ chức nhiều buổi sinh hoạt chuyên đề cấp trường, cấp liên trường để giáo trao đổi học hỏi lẫn - Xây dựng hệ thống chuyên đề theo tổ, bổ sung cập nhật thêm tài liệu tham khảo để thống việc phân chia nội dung dạy chủ đề cách hợp lí 2.2 Với giáo viên 28 - Xây dựng tình yêu học sinh môn học môn nhiệm vụ quan trọng người giáo viên Giáo viên cần khơi dậy niềm đam mê học sinh, muốn giáo viên phải biết tạo hệ thống tập hợp lí, nâng cấp độ, xây dựng hệ thống tập gốc để kiến thức có tính kế thừa - Muốn khơi dậy niềm đam mê cho học sinh việc vô quan trọng định hướng học sinh giải vấn đề, giáo viên cần hướng dẫn học sinh đâu mấu chốt, chìa khóa giải vấn đề Từ giúp học sinh biết cách tìm đường cho vấn đề, toán vấn đề khác thực tế Trên số kinh nghiệm áp dụng để học sinh tiếp thu , giải hiệu tập tọa độ không gian chủ đề mặt cầu trình giảng dạy trường THPT Lê Lợi Trong thực tế còn có nhiều kinh nghiệm từ đồng nghiệp Rất mong đóng góp chân thành q thầy, để q trình giảng dạy thân tơi ngày hồn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA Thanh Hóa, ngày 28 tháng 05 năm 2022 HIỆU TRƯỞNG Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Hoàng Thị Thúy 29 30 ... gian, chủ đề mặt cầu với tập mức độ vận dụng, vận dụng cao nội dung khó, kết hợp khả tư trừu tượng hình học khơng gian, tốn cực trị phát triển lên tốn hình tọa độ khơng gian cơng thức hình tọa độ. .. độ Điều làm học sinh lúng túng, khơng có hướng giải theo đường 2.2 Thực trạng q trình học mơn Tốn chủ đề mặt cầu hình học tọa độ của học sinh trường THPT Lê Lợi Trường THPT Lê Lợi trường đóng... khóa giải vấn đề Từ giúp học sinh biết cách tìm đường cho vấn đề, toán vấn đề khác thực tế Trên số kinh nghiệm áp dụng để học sinh tiếp thu , giải hiệu tập tọa độ khơng gian chủ đề mặt cầu q