Chuyen de tim so hang tong quat cua day soSo hoc

Áp dụng lý thuyết về dãy số; cấp số cộng và cấp số nhân ta có thể giải được một số bài toán về tìm số hạng tổng quát của một dãy số.. Đây cũng là một chuyên đề quan trọng của thi HSG Tỉ[r]

CHUYÊN ĐỀ: TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

Áp dụng lý thuyết dãy số; cấp số cộng cấp số nhân ta giải số tốn tìm số hạng tổng quát dãy số Đây chuyên đề quan trọng thi HSG Tỉnh Quốc gia Dưới vài áp dụng đơn giản giúp thầy cô học sinh tham khảo học đặc biệt ôn thi HSG cấp tỉnh lớp 11 năm học 2010 - 2011 Bài tốn 1: Tìm số hạng tổng qt dãy số sau: 1; 2; 4; 7; 11 …

Giải:

Nếu kí hiệu số hạng dãy là: u u u1; ; ; 2 un thì ta có:

2 1; 2; 3 n n 1 n 1 1

u  u  u  u  u  u  u  u    n u  u      n

n n(  1) / 2 un n n(  1) / 1

Một số toán tương tự: Tìm số hạng tổng quát dãy số sau: 1/ 1; 4; 10; 19; 31; … ; 2/ 1; 2; 6; 15; 31; …

Bài tốn 2: Tìm số hạng tổng qt dãy

1

*

1 ( ) :

3 2( )

n

n n

u u

u  u n N

   

  

  Giải:

Cách 1: Từ hệ thức truy hồi ta có dãy hệ thức sau:

2 2

1 2

3 2;3 3 2.3;3 3 2.3 3n 3n 2.3n

n n n n n n

u u u u u u  u  u 

    

       

1

1 2 1

1

3 1

3 2(1 3 3 ) 3 2. 2.3 1

3 1 n

n n n n

n

u u



    

          

 Cách 2: Đặt vn1 un1  cho vn1 3vn

1 3 2 3 3( ) 1

n n n n n

v  u   u  v u  

           Vậy ( )vn cấp số nhân

có cơng bội q =3 v1 u1   1 2 vn v13n1 2.3n1  un vn  1 2.3 n1  1.

Từ cách giải ta có lời giải tốn tổng qt sau:

Tìm số hạng tổng quát dãy

1

( ) :

( 0;1)

n

n n

u a

u

u  bu c b

  

  



Đặt vn1 un1  cho:

1 . 1 . ( )

1

n n n n n n n

c

v b v v u bu c b v b u

b

   

              

 Như ( )vn cấp số nhân có

1 1

1 1 n 1. n ( 1). n n ( 1). n 1

c c c c

v u a v v q a b u a b

b b b b

   

           

   

Bài tốn 3: Tìm số hạng tổng quát dãy

1

*

2 ( ) :

2 1( )

n

n n

u u

u  u n n N

   

   

  Giải:

Cho n chạy từ đến n-1 hệ thức truy hồi cộng hệ thức lại ta được:

 

2

1 2 ( 1) ( 2) 2 1 ( 1) 1 ( 1) 2

n

u u  n  n     n n n  n  n 

Bài tốn 4: Tìm số hạng tổng quát dãy

1

*

2 ( ) :

2 3 2( )

n

n n

u u

u  u n n N

   

   

  Giải: - Cách 1: Từ hệ thức truy hồi ta suy ra:

2 2

1 2

2 3 1;2 2 2(3 4) 2n 2n 2n .5

n n n n

u u n u u n  u  u 

  

       

1

2n 2n

n

u  u S S

     với S 3n 1 2(3n 4) (3 n 7) 5.2  n1

2 2

1

1

2 2(3 1) (3 4) 8.2 5.2 3.2 3.2 3.2

5.2 3 1 6(1 2 ) 5.2 3 1 6(2 1) 5.2 3 1

8.2 3 5 4.2 3 5 5.2 3 5.

n n n

n n n n n

n n n

n

S n n S

n n n

n n u n

  

    



             

              

        

Chú ý: lời giải ta tính tổng tích số hạng tương ứng cấp số cộng cấp số nhân

- Cách 2: Đặt vn un an b cho vn 2vn1

1

2 3 1 2( ( 1) ) 3; 5

n n n n

v u an b u  n an b u  a n b a b

               

Có v1 u1 3.1 10   vn un 3n 5 v1.2n1 10.2n1 5.2n

5.2n 3 5 n

u n

Bài tốn 5: Tìm số hạng tổng qt dãy

1

1 *

1

1 ( ) :

3 2 ( )

n n

n n

u u

u u  n N

    

  

  Giải: - Cách 1: Theo giả thiết ta có:

2 2

1 2

3 2 ;3n 3 2 3; 3n n 3n 2 3n

n n n n

u u u u   u  u 

  

     

2

1 1 1

1 2 2

3 3 3

3 2 (1 ) 3 4(3 2 ) 5.3 2

2 2 2

n

n n n n n n n

n n

u u



     



           

Chú ý: Trong lời giải ta tính tổng tích số hạng tương ứng hai cấp số nhân

- Cách 2: Đặt vn un k.2n với

1

1 1

1 1

1

3 3 2 .2 3( .2 ) 2 2 3 2

2.2 .3 5.3 5.3 2

n n n

n n n n

n n n n n

n n n

v v u k u k k k k

u v v u



  

   

          

       

Bài tốn 6: Tìm số hạng tổng quát dãy

1

*

2

1; 5

( ) :

5 6 ( )

n

n n n

u u

u

u  u  u n N

 

  

  

  Giải:

Từ giả thiết ta suy ra: un2  2un1 3(un1 2 )un Đặt vn1 un2  2un1

1 3.

n n

v  v

  Vậy ( )vn cấp số nhân có cơng bội q = v1 u2  2u1  5 2.1 3

2 1

1 2 1.3n 3n 2 3n

n n n n n

v u u v   u u 

  

        Đặt xn un k.3n1 cho:

1 1

1 1

2. .3n 2. 3n .3n 2. 2( .3n )

n n n n n n n

x x x u k  u  k  x u k 

   

         

3 3.k 2.k k 3

     Do ( )xn cấp số nhân có cơng bội q = và

0 1

1 .3 2 n 1.2n 2n n n .3n n 3n 3n 2n

x u k x x  u x k  x

             .

Bây ta giải toán tổng quát tốn trên:

Tìm số hạng tổng qt dãy

1

*

2

; ( ) :

(1)( )

n

n n n

u a u b

u

u  cu  du n N

 

  

  



 a,b,c,d số thực; a b khác

Giả sử un rn với r số thực Khi từ (1) ta suy ra:

2 . . 0

n n n

r  c r  d r

  

2 . 0(2)

r c r d

    (2) gọi phương trình đặc trưng ( PTĐT ) dãy ( )un Có hai trường hợp:

1/ (2) có hai nghiệm phân biệt r1 r2 Khi ta có: r1n2  c r.1n1 d r.1n 0 và

2 2 1

2n . 2n . 2n 0 ( 1n . 2n ) .( 1n . 2n ) .( 1n ) 02n

r  c r  d r k r  l r  c k r  l r  d k r l r

         

Điều chứng tỏ un k r.1n l r. 2n thỏa mãn (1) Trong k l số thỏa mãn hệ phương trình sau:

1

2

1

. .

. .

k r l r a

k r l r b

 

  

 



 Do

   

1

1 2

2 2

0 r r

D r r r r d r r

r r

     

nên hệ phương trình có nghiệm nhất; điều chứng tỏ dãy số cho xác định cách

Áp dụng vào ta có a = 1; b = 5; c = 5; d = -6  r1 2;r2  3 k 1;l 1

1

. n . n 2n 3n n

u k r l r

    

Đối với dãy Fibơnaxi ta có a = b = c = d = nên PTĐT r2  r  1 0 có hai nghiệm:

1

1 5 1 5

&

2 2

r   r  

Từ ta có hệ phương trình:

1 5 1 5

. . 1(3)

2 2

3 5 3 5

. . 1(4)

2 2

k l

k l

  

 

  

 



 

 

Lấy (4) trừ (3) ta được: k+l = Thay l = -k vào (3) ta được: 5.k  1 k 1/ 5

Vậy

1 1 5 1 5

2 2

5

n n

n

u         

    

  .

2/ (2) có nghiệm kép

2

1 2 2. 4

c c

r r    d r r 

Đặt un r v1n. n; thay vào (1) ta

được:

2 2

1n . n .1n . n .1n n 2.1n . n 1n . n n n n n

r  v c r  v d r v r  v r  v v v v v

             

Vậy ( )vn cấp số cộng nên vn k n l.  với k l số thỏa mãn hệ phương

1

( ).

(2 ).

k l r a

k l r b

 

  

 



 Do

1 3

1 2 1

0 2.

r r

D r

r r

  

nên k l xác định cách nhất; tức có dãy ( )un mà un ( k n l r ) 1n thỏa mãn điều kiện tốn.

Áp dụng: Tìm số hạng tổng quát dãy

1

*

2

4; 20

( ) :

4 4 ( )

n

n n n

u u

u

u  u  u n N

 

  

  

 

Ở ta có: a = 4; b = 20; c = 4; d = -4 nên PTĐT có nghiệm: r1 r2 2. Giải hệ phương trình ta tìm được: k = l = -1 Vậy un (3n 1).2n

Áp dụng vào giải đề thi HSG Tỉnh Lạng Sơn: Câu 2( HSG Tỉnh LS 2008-2009):

Dãy số  un xác định sau:

0

1

1; (1)

(2)

n n

n

u u

u u

u 



 

 

 

 



(với n = 1, 2,3,…) Tìm un

Giải: Từ (2)  3un1 un 2un1

 3un1 un  2un10

Phương trình đặc trưng 3X2  X  0

X=1

X=-3

  

 

 công thức tổng quát dãy  un là:

2 (1)

3 n n

n

u     

Với n = 0:

0

0

1 (1)

3

  

     

  1   (3)

Với n = 1:

2

2

2

3

b

  

     

4

2 (4)

 

  

14

5

4 9

2

5

  

 

 

  

 

 



 

 

  

 



Vậy Un =

14

5

n

    

 

14 ( 2)

5

n n

  

Bài (HSG Tỉnh LS 2009-2010): Cho dãy số(xn) xác định sau:

1

1

2 (1)

(2) n n

n

x

x x

x



   



 

 (n N *)

Tìm cơng thức tính Xn theo n

Giải:

Từ (2)

1 2

3 3

n

n n n

x

x  x x



   

Đặt 1

1

n n

n n

u u

x  x



  

1

u 

Khi đó, ta có:

1

1

(3) 3

n n

u    u

Đến đây, áp dụng tốn tổng qt 1, ta có: Đặt vn1 un1 cho:

1 1

1

2 2 1 2 2 3

. . ( ) 1

2

3 3 3 3 3 1

3

n n n n n n n

v   v  v  u    u    v  u     

 Như ( )vn cấp số nhân có

1

1

1 1

1 1 1 2 1 2

( 1) 1 . . . 1

2 2 2 3 2 3

n n

n

n n

v u v v q u

 

    

               

   

Vậy, công thức số hạng tổng quát {xn} là:

1

1

1

2

n n

n

x

u 

 

     

  (n N *)

Lạng Sơn, ngày 8/1/2010