GIÚP học SINH PHÁT TRIỂN tư DUY THÔNG QUA VIỆC KHAI THÁC bài TOÁN tứ DIỆN VUÔNG

MỤC LỤC 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu .1 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu II GIÚP HỌC SINH PHÁT TRIỂN TƯ DUY THƠNG QUA VIỆC KHAI THÁC BÀI TỐN TỨ DIỆN VUÔNG 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm .2 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Nội dung 2.3.1 Các toán bản………………………………………………….3 2.3.2 Vận dụng bất đẳng thức để tạo toán…………………… 11 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường ………………………………………………………18 III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 19 3.1 Kết luận .………… 19 3.2 Kiến nghị 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO 20 GIÚP HỌC SINH PHÁT TRIỂN TƯ DUY THÔNG QUA VIỆC KHAI THÁC BÀI TỐN TỨ DIỆN VNG I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình mơn Tốn THPT, mơn hình học khơng gian phân mơn tương đối khó, đặc biệt tốn định lượng liên quan đến tứ diện thường gây khó khăn khơng nhỏ cho học sinh.Ngồi tốn hình học có tham gia yếu tố bất đẳng thức hay cực trị xuất đề thi học sinh giỏi cấp thách thức lớn Tuy tài liệu tham khảo lĩnh vực chưa hệ thống chuyên biệt Xuất phát từ vấn đề q trình giảng dạy tơi ln trăn trở làm để có hệ thống tập tương đối đầy đủ có tính định hướng cao giúp cho em học sinh có hướng tiếp cận hợp lý nhằm khắc phục khó khăn gặp phải q trình giải tốn Vì lý lựa chọn đề tài SKKN: "Giúp học sinh phát triển tư thông qua việc khai thác tốn tứ diện vng" Đề tài tơi đúc rút kinh nghiệm thân dạng toán thường gặp giúp em học sinh lớp 11 12 giải dạng tốn liên quan tứ diện vng Đề tài SKKN góp ý, trao đổi tác giả với đồng nghiệp để nâng cao chất lượng dạy học Đồng thời giúp học sinh biết cách vận dụng kết toán quen thuộc để giải sáng tạo tốn 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài nhằm tạo thêm tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp phục vụ cho giảng dạy đặc biệt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Hướng dẫn định hướng học sinh biết cách vận dụng kết toán quen thuộc để giải sáng tạo toán 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài nội dung kiến thức kĩ chủ đề liên quan đến tứ diện đặc biệt tốn tứ diện vng; tốn hệ thức góc mặt bên mặt đáy, định lý Pitagore không gian, … Các hệ thức mà ta thu tứ diện hệ thức ba biến Điều giúp nghĩ đến việc vận dụng bất đẳng thức để mở rộng khai thác thêm tốn Điển hình cho bất đẳng thức ba biến bất đẳng thức Cauchy-Schwars 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu tài liệu chủ đề tứ diện Nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát lực học sinh học giải toán thuộc chủ đề tứ diện vng; khó khăn mà học sinh thường mắc phải giải toán liên quan đến tứ diện vuông Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm đối tượng học sinh cụ thể nhằm đánh giá hiệu đề tài II GIÚP HỌC SINH PHÁT TRIỂN TƯ DUY THÔNG QUA VIỆC KHAI THÁC BÀI TỐN TỨ DIỆN VNG 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong trình nghiên cứu giảng dạy phần hình học khơng gian lớp 11, tơi thấy ấn tượng với tốn: Cho hình tứ diện OABC có OA,OB,OC đơi vng góc Gọi H hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng: a) H trực tâm tam giác ABC ; 1 1    b) (Bài SGK Hình 11- trang 105) 2 OH OA OB OC Nghiên cứu sâu hơn, thu số kết khác thú vị hệ thức góc mặt bên mặt phẳng (ABC), định lý Pitagore không gian Các hệ thức mà ta thu tứ diện hệ thức ba biến Điều giúp nghĩ đến việc vận dụng bất đẳng thức để mở rộng khai thác thêm tốn Điển hình cho bất đẳng thức ba biến bất đẳng thức AM-GM bất đẳng thức Cauchy-Schwars Nhưng trước dùng đến bất đẳng thức học sinh áp dụng nhiều bất đẳng thức để tìm tốn Vấn đề đặt làm để học sinh biết cách vận dụng, vận dụng nào, khai thác vấn đề cho tốn này? Bài viết nhằm mục đích hướng dẫn, định hướng học sinh hồn thành nhiệm vụ 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Thực tế giảng dạy, nhận thấy đa phần học sinh làm tốn đơn giản liên quan đến tứ diện vng Nhưng phát triển thêm tốn có liên quan đến tứ diện vng em lại gặp nhiều khó khăn Trên sở xuất phát từ tốn tứ diện vng xây dựng hệ thống toán từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh dễ dàng tiếp cận giải tốn khó Qua tham khảo Đề thi , tác giả chia thành dạng toán sau  Xuất phát từ toán tứ diện vuông xây dựng hệ thống toán từ đơn giản đến phức tạp  Phát triển hệ thống bất đẳng thức hình học liên quan đến tứ diện vuông Trong SKKN tác giả đưa số ví dụ cho dạng, qua giúp học sinh làm tốt tốn tương tự dạng 2.3 Nội dung 2.3.1 Các toán Bài toán mở đầu: Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đơi vng góc Chứng minh rằng: OH   ABC  , H �( ABC ) � H trực tâm tam giác ABC 1 1     1 OH OA2 OB OC Lời giải Gọi H trực tâm tam giác ABC Kẻ CH �AB   I  AH �BC   J  Dể dàng chứng minh được: OH  AB � � OH  BC � C J H O Ta suy : OH   ABC  Ngược lại, OH   ABC  , kéo dài AH cắt BC J, B I A CH cắt AB I Từ Định lí đường vng góc ta suy AH  BC , CH  AB Tức H trực tâm tam giác ABC Do tam giác OAB OCI vng nên ta có: 1 � 1 1 � OA OB OI �    �� 1 � OH OA2 OB OC   OI OC OH �   Trong viết này, khai thác sâu từ toán Để cho tiện sử dụng khơng tính tổng quát toán, ta đặt: OA=a, OB=b, OC=c(a,b,c>0) Cũng viết này, gọn, ta gọi tứ diện OABC có OA,OB,OC đơi vng góc tứ diện vuông O, hay ngắn gọn tứ diện vuông.Ta đặt: h  OH độ dài đoạn OH, khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (ABC) Như vậy: h2  a2  b2  c2 hay h  abc a 2b  b 2c  c 2a Hơn nữa, ký hiệu:  ,  ,  góc mặt phẳng (OAB,(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC)  ',  ',  ' góc OH với đường thẳng OA,OB,OC 1, 1,  góc OA,OB,OC với mặt phẳng (ABC) Trước hết ta quan tâm toán sau đây, tốn việc xác định hình chiếu vng góc điểm O xuống mặt phẳng (ABC) Bài tốn Cho tứ diện vng OABC Chứng minh rằng, hình chiếu vng góc điểm O xuống mặt phẳng (ABC) trực tâm mặt đó, điểm nằm tam giác ABC Giải Gọi H hình chiếu vng góc O lên (ABC) Khi H trực tâm tam giác (ABC)( Theo toán mở đầu), ta chứng minh H nằm tam giác ABC Thật vậy: AB  a  b ; BC  b  c ; CA2  c  a cos A  AB  AC  BC a2   (1) AB.BC AB.BC b2 Tương tự: cos B  0 BC.BA c2 cos C  0 CA.CB Điều chứng tỏ tam giác ABC nhọn Như H nằm tam giác ABC Bài toán sau cho hệ thức đẹp diện tích tam giác ABC theo a,b,c Bài tốn Cho tứ diện vuông OABC mà OA  a, OB  b, OC  c Tính diện tích tam giác ABC Giải Cách Gọi S diện tích tam giác ABC Ta có: S  AB AC.sin A (*) Theo (1) suy ra: sin A   cos A   a4 a 2b  b 2c  c 2a  AB AC AB AC 2 a b  b 2c  c a Thay vào (*) ta được: S  Cách Gọi V thể tích tứ diện OABC Ta có: V  abc 3V 2  a b  b 2c  c a Mặt khác: V  h.S � S  h C Cách Ta có: S  CI AB J H O B I CI  OC  OI  c  2 2 2 2 a b a b b c c a  a  b2 a2  b2 � CI  A a 2b  b 2c  c 2a a  b2 1 2 AB.CI  a b  b 2c  c 2a 2 Cách Một cách khác là: 1 1    h2 a b2 c2 Vậy: S  � 9V h2 9V  a2 9V  b2  9V c2 2 2 bS3  hS  aS  cS1      �    h2 a2 b2 c2 � S  S12  S 22  S32 Ký hiệu: S1, S2 , S3 diện tích tam giác OAB,OBC,OCA Như vậy, q trình giải tốn trên, ta có tốn mới: Bài tốn Cho tứ diện vng OABC Gọi S , S1, S , S3 diện tích tam giác ABC,OAB,OBC OCA Chứng minh rằng: S  S12  S22  S32 (Còn gọi Định lý Pitagore không gian) Giải 2 a b  b 2c  c a 2 1 Mặt khác: S1  ab, S2  bc, S3  bc Từ ta có hệ thức tốn 2 Bài tốn Trong hình tứ diện vng OABC Gọi  ,  ,  góc Cách Theo toán trên: S  mặt phẳng (OAB,(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC) Chứng minh: cos   cos   cos   (*) Giải C Gọi AJ, CI, BK đường cao tam giác ABC Khi đó: � ,   OJH � ,   OKH �   OIH J Ta có: OH ab cos   OC a 2b2  b2c  c a bc cos   a 2b  b c  c a H O B I A cos   ca a 2b  b 2c  c 2a Như vậy: cos   cos   cos   Thực lời giải nhanh gọn vận dụng trực tiếp (1): 1 1    OH OA2 OB OC � OH OH  OH OA2  OH OB  OH OC � cos   cos   cos   Chúng ta để ý rằng: Cho đa giác H nằm mặt phẳng    có diện tích S H‘ hình chiếu vng góc H mặt phẳng    Khi diện tích S � H‘  S cos  với  góc       (Định lí tính theo cơng thức: S � hình chiếu) Dựa vào định lý ta giải tốn sau: Ta có: S1  S cos S2  S cos S3  S cos  2 2 2 Suy ra: S1  S2  S3  S cos   cos   cos   Nhận xét 1) Từ tốn 1, chứng minh tốn định lý hình chiếu 2) Cịn chứng minh tốn sau(cũng định lí hình chiếu): Ta có: S HAB  SOAB cos S HAB a 2b  b 2c  c 2a � S1   S HAB cos ab 1 a 2b2  b2c  c a � ab.S1  S HAB 2 ab � S12  S HAB S Tương tự: S22  S HBC S S32  S HCA.S Cộng vế ta thu S12  S22  S32  ( S HAB  S HBC  S HAC )S  S S  S HAB  S HBC  S HAC Nhận xét Một câu hỏi giản đơn là: Dùng công thức lượng giác, biến đổi hệ thức (*) theo hệ thức khác không? Một hệ trực tiếp là: cos2   cos   cos   � 1  tan   1  tan   1  tan  1 � tan   tan   tan    tan  tan  tan  Ta đến toán: Bài toán Cho tứ diện vuông OABC Gọi  ,  ,  góc mặt (OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng: tan   tan   tan    tan  tan  tan  Bài toán Cho tứ diện vuông OABC Gọi  ',  ',  ' góc OH với đường thẳng OA,OB,OC.Chứng minh rằng: cos  ' cos  ' cos  '  Giải Gọi H hình chiếu O lên (ABC) Khi đó: � ,  '  BOH � ,  '  COH �  '  AOH Ta thấy được: OH bc cos '   OA a 2b  b 2c  c 2a cos  '  cos  '  ac a 2b  b2c  c 2a ca a 2b2  b 2c  c a Từ suy điều phải chứng minh Cách giải thấy chất giá trị thực góc tính theo a,b,c Một cách giải khác mà ta mong đợi từ học sinh là: OA2 OB OC 2 2 cos  ' cos  ' cos  '    1 OH OH OH Bài tốn Trong hình tứ diện vng OABC Gọi 1, 1,  góc đường thẳng OA,OB,OC với mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng: cos 1  cos 1  cos   Giải Gọi H hình chiếu O lên (ABC) Khi đó: � ,   OBH � ,   OCH � 1  OAH 1 Ta chứng minh được: O 1 OH a b2  c2 cos 1   OJ a 2b2  b 2c  c 2a cos 1  cos 1  l 1 b a  c2 a 2b  b2c  c a C A H c b2  a J I a 2b  b2c  c a B Bình phương ba đẳng thức cộng vế theo vế ta có điều phải chứng minh Có thể có lời giải khác? Tương tự góc trước đây, ta có: 1 � �1 cos 1  cos2 1  cos2 1  OH �   OI OJ OK � � � 1 1 � �1  OH �      2 2 2 OA OB OB OC OC OA2 � � � 1 1    OH OA2 OB OC Bài tốn Cho tứ diện vng OABC Gọi 1, 1,  góc OA,OB,OC với mặt phẳng (ABC).Chứng minh rằng: Vì sin 1 sin 1 sin    sin A sin B sin 2C (trong A,B,C góc tam giác ABC) Giải Trước hết ta chứng minh được: HA2 HA (i ) OA2 AI Vì tam giác OAI vuông O nên: sin 1  A  H G OA  AH AI Xét tam giác ABC, gọi O’ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó, G trọng tâm Ta có: HG  2O ' G O' B I M C Gọi AM trung tuyến tam giác ABC Khi đó: �  MO � 'B AH  2O ' M A  CAB Từ suy ra: MB O ' M O'B O'B BC AH BC AH 2  (ii ) 2O ' B 2O ' B R '2 sin 1 2R2 R2   sin A BC AI S sin A  2sin A cos A  Từ (i) (ii) suy ra: Chứng minh hoàn toàn tương tự ta được: sin 1 R sin  R   sin A S sin A S Vậy toán chứng minh Bài toán Cho tứ diện vuông OABC.Gọi P điểm nằm tam giác ABC Đặt PA  x, PB  y, PC  z Tìm giá trị nhỏ của: x2 a  y2 b  z2 c Giải Gọi PA , PB , PC hình chiếu P lên mặt phẳng tương ứng (OBC), (OAC) (OAB).Gọi P1 hình chiếu P lên OC PPA PPB PPC    1(i ) a b c 1 1     ii  Gọi H hình chiếu O lên (ABC) thì: OH a b c Vì OP  OPC  PPC  PP12  PPC  x2   a  PPC   PPC  x  a  2aPPC Do: VPOBC  VPOAB  VPOAC  V � Suy ra: Tương tự: OP a2 OP   x2 a2 x2 1 PPC  iii  a 1 PPB  iv  b b2 b2 OP x 2 PPA  1  v c c c Cộng đẳng thức (ii),(iv),(v) sử dụng (i) (ii) ta được: x2 y z OP     a b2 c OH Với P thì: OP �OH nên: 10 x2 a2  y2 b2  z2 c2 Dấu xảy khi: OP  OH �2 P H Vậy giá trị nhỏ biểu thức P trực tâm tam giác ABC Chú ý rằng, ta gọi  góc tạo đường thẳng OP với mặt phẳng (ABC) Ta có tốn sau: Bài tốn 10 Cho tứ diện vuông OABC.Gọi P điểm nằm tam giác ABC Chứng minh rằng: PA2 OA  PB OB  PC 2 OC Giải   cot  OH OP �    cot 2 Ta có: sin  2 OP OH sin  mà nên PA2 OA2 PA2 OA2   PB OB PB OB   PC OC PC OC 1 1 OP OH OP OH (theo toán 9)   cot  Trên đưa số toán mà thực kết hình tứ diện vng Các kết đáng ý hệ thức góc (ba loại góc khơng gian) hệ thức diện tích (Định lý tương tự Pitagore không gian) Các kết không mới tứ diện vuông, nhiên gần hồn chỉnh học sinh Đó kết đẹp có ý nghĩa! 2.3.2 Vận dụng bất đẳng thức để tạo toán Hãy bắt đầu với bất đẳng thức bản:  x  y  z  �3 x  y  z  ; x, y, z �R �1 �x  x  y  z �  1�  �9  * ;0  x, y, z y z� � Từ toán 3, ta nhận thấy hệ thức có bóng dáng bất đẳng thức Vì vậy, kết hợp với bất đẳng thức, ta có nhiều tốn Bài tốn 11 Trong hình tứ diện vng OABC mà OA  a, OB  b, OC  c , gọi S1, S2 , S3 diện tích tam giác OAB,OBC,OCA 11 2 2 2 Chứng minh rằng: S1  S2  S3 � 3a b  3b c  3c a Giải  2 Áp dụng bất đẳng thức:  x  y  z  �3 x  y  z    Ta có: S1  S2  S3 � S12  S22  S32  3S  3S Dấu đẳng thức xảy a=b=c Từ bất đẳng thức quen thuộc: �1 1 �  x  y  z  �   ��9 Dấu xảy x  y  z �x y z �   1� 2 �1 + Áp dụng bất đẳng thức: x  y  x �   ��9;( x, y, z  0) �xy yz zx � Dấu xảy x  y  z Ta có: �1 1 � S12  S 22  S32 �   ��9 �S1S2 S2 S3 S3S1 �   � 1   � S1S S S3 S3S1 S1  S 22  S32 Ta có tốn mới: Bài tốn 12 Trong tứ diện vuông OABC, mà OA  a, OB  b, OC  c Gọi S1, S2 , S3 , S diện tích tam giác OAB,OBC,OCA ABC, ta có: 1   � S1S2 S2 S3 S3S1 S Dấu xảy tứ diện vuông cân O   1� 2 �1 Trong bất đẳng thức x  y  x �   ��9;( x, y, z  0) �xy yz zx � 1 đặt: x  , y  , z  , ta được: a b c 1 � �1    ab  bc  ca  �9 �2 � b2 c � �a Suy ra: ab  bc  ca �9h 9h �  ab  bc  ca  � 2 12 Ta dẫn đến tốn: Bài tốn 13 Chứng minh rằng, hình tứ diện vuông OABC gọi S1, S2 , S3 diện tích tam giác OAB,OBC,OCA Ta có: 9h S1  S2  S3 � Dấu xảy tứ diện vuông cân h2 � Nhận xét Một dạng thể khác toán là: S1  S2  S3 Đây đề nghị đề thi Olympic 30/4/2010 Kết hợp toán tốn 6, ta có tốn khó hơn: Bài tốn 14 Cho tứ diện vng OABC, có OA=a,OB=b,OC=c.Tìm giá trị lớn nhỏ s  S1  S  S3 theo a,b,c Trong S1, S2 , S3 diện tích tam giác OAB,OBC,OCA Giải Từ toán 11 toán 13, ta suy ra: 9h �S1  S2  S3 � 3S � ۣ 9a 2b 2c  a 2b  b 2c  c a  s 3a 2b  3b 2c  3c 2a 2 Dấu xảy khi: a=b=c Vậy: smin   9a 2b 2c 2 2 2 2 a b b c c a  ; smax 3a 2b  3b 2c  3c 2a  Bài toán 15 Cho tứ diện vuông OABC Gọi S1, S2 , S3 diện tích tam giác OAB,OBC,OCA; S diện tích tam giác ABC Tìm giá trị lớn biểu thức: P S1 S2 S3   S  2S1 S  2S S  2S3 13 Giải Ta có:  2P  S S S   S  S1 S  S1 S  S1 9S � 3S   S1  S2  S3  9S �  3S  3S  Suy ra: 3 P� 3 Dấu xảy khi: S 2S � abc 3 Tổng qt hơn, ta có tốn: S1  S2  S3  Bài toán 16 Chứng minh rằng, tứ diện vuông OABC, gọi S1, S2 , S3 diện tích tam giác OAB,OBC,OCA S diện tích tam giác ABC Chứng minh rằng: S1 S2 S3 3   � ,k  S  kS1 S  kS S  kS3  k 1 ; x, y , z  + Từ bất đẳng thức:   � x y z x yz 1 9   �  Ta có: S  S S  S S  S 2S 2 S12  S22  S32 2 3   S2 S2 S2 �   � S1  S22 S 22  S32 S32  S12 S32 S22 S12 �   � S1  S22 S12  S32 S32  S22 Như ta có dạng tương tự bất đẳng thức Nesbit sau Bài toán 17 Cho tứ diện vuông OABC, gọi S1, S2 , S3 diện tích tam giác OAB,OBC,OCA S diện tích tam giác ABC Chứng minh rằng: S32 S22 S12   � S12  S22 S12  S32 S32  S22 Dấu xảy khi: S12  S22  S22  S32  S32  S12 � S1  S2  S3 ,hay OA=OB=OC 14 1   � ; x, y, z  ta có: x y z x yz 1   � 2 2 S  S1 S  S2 S  S3 4S + Cũng từ bất đẳng thức: S2 S2 S2 �   � S  S12 S  S 22 S  S32 S12 S22 S32 �   � S  S12 S  S 22 S  S32 Ta có toán đề thi Olympic 30/04/2010 Bài toán 18 Trong nhình tứ diện vng OABC Gọi S , S1, S , S3 diện tích tam giác ABC,OAB,OBC,OCA Chứng minh rằng: S12  S12  S 22 S22  S32 S32 � S S  S  Dấu xảy khi: S  S22  S  S32  S  S12 � S1  S  S3 hay OA=OB=OC Gọi V , Stp , R, r thể tích, diện tích tồn phần, bán kính mặt cầu ngoại tiếp bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC Vì h r liên quan đến thể tích hình tứ diện nên ta dựa vào mối liên hệ mà tìm mối liên hệ h r Qua thử tìm đánh giá cho tỉ số h r S  S1  S2  S3 1 1      r 3V h a b c 1 1 1 � �1     � �   � 3h Suy ra: r h a b c b c � �a Như dẫn đến toán Dễ dàng thấy được: Bài tốn 19 Cho hình tứ diện vuông OABC Gọi h độ dài đường cao hạ từ O xuống mặt phẳng (ABC), r bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện Chứng minh rằng: h �1  r (Olympic 30/04) Giải Ngồi cách giải nhận xét trên, ta cịn mong đợi lời giải khác 15 Ta có:  1 V  r.Stp  r ab  bc  ca  a 2b  b 2c  c 2a 3 1  h.S  h a 2b  b 2c  c 2a 3  Suy ra: h ab  bc  ca  a 2b  b 2c  c 2a  r a 2b  b 2c  c 2a 1 ab  bc  ca 2 2 2 a b b c c a ab  bc  ca �1   ab  bc  ca  1 3 Dấu xảy khi: a  b  c Tiếp theo đánh giá đơn giản làm cho đầy đủ so sánh h r , h R Vì h2 a 2 � b  c  h a  b2  c a  b2  c2 4R2 h 2 Suy ra: h � Ta có toán h R R Bài toán 20 Trong tứ diện vuông OABC Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện h đường cao hạ từ O xuống mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng: h � R Bài toán 21 Cho tứ diện vng OABC có OA=a,OB=b, OC=c Gọi r bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Chứng minh rằng: S  S2  S3  S r abc Mặt khác: R  Giải Ta có: r 3V abc  Stp S1  S  S3  S 16   Vậy: r  abc. S1  S2  S3  S  abc. S1  S2  S3  S   � � �S1  S2  S3  S �  S1S2  S2 S3  S3S1  � �   abc. S1  S  S3  S  S1  S2  S3  S  abc  a  b  c  abc S1  S2  S3  S abc   Nếu để ý rằng: S1  S2  S3 � 3S � S1  S2  S3  S �  S Ta có tốn sau đây: Bài tốn 22 Cho tứ diện vng OABC có OA=a,OB=b,OC=c Gọi S diện tích tam giác ABC, r bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Chứng minh rằng:  r�  1 S abc Giải Thật vậy, theo toán 21 ta có r S1  S2  S3  S � r  a  b  c   S1  S2  S3  S (*) abc     Mà S1  S  S3  S �  S � r  a  b  c  �  S (do(*))  Hay r �  1 S abc Nhận xét: Đây đánh giá quan hệ r, S a,b,c Gọi I tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện Kí hiệu V ,V1,V2 ,V3 ,V4 thể tích hình chóp I.ABC, I.OAB, I.OBC, I.OCA Ta có:V  V1  V2  V3  V4 � V1 V2 V3 V4 1 1    1�     V V V V h a b c r Bài toán 23 Cho tứ diện vng OABC có OA=a,OB=b,OC=c Gọi r bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Chứng minh rằng: 17 1 1 3 �    r a b c a bc Giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: 3 � h abc Thật vậy: Do h  a  b   a  b  c c2  1 1� �1  a  b  c  �2   �� 3 abc  h a b c � � �  a  b  c  �3 h Hay nên  ,3 2 a b c  27 W 3 � h abc Dấu đẳng thức xảy a  b  c hay tứ diện vuông cân O 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường SKKN tác giả triển khai dạy cho học sinh lớp 11 lớp 12 năm học 2019 – 2020 áp dụng cho học sinh lớp 11 lớp 12 năm học 2020 2021 trường THPT Tống Duy Tân tiết tự chọn, tiết ôn tập thi tốt nghiệp THPT Sau học nội dung này, tác giả nhận thấy em bước đầu có phương pháp tiếp cận lời giải toán cách khoa học, biết quy lạ quen, đặc biệt số em có tư tốt biết phát đề xuất ý tưởng SKKN thầy mơn tốn trường THPT Tống Duy Tân giảng dạy tiết dạy tự chọn toán lớp 11 12, dạy bồi dưỡng học sinh giỏi nhận phản hồi tốt SKKN thầy cô sử dụng làm tài liệu giảng dạy hữu ích 18 III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Những tốn liên quan đến tứ diện vng trình bày SKKN dạng toán thường gặp, ví dụ tác giả chọn lựa phù hợp tiêu biểu, giúp học sinh nắm vững cách giải lớp toán liên quan Nội dung SKKN tài liệu tham khảo tốt cho học sinh ôn thi học sinh giỏi Tốt nghiệp THPT, tài liệu tham khảo phục vụ cho công tác giảng dạy giáo viên 3.2 Kiến nghị Với thời gian ngắn, trình độ thân có hạn, chắn đề tài tơi cịn có nhiều hạn chế Với tâm huyết lịng mình, tơi muốn đóng góp cho việc dạy số giải pháp để nâng cao hiệu giảng dạy Vì tác dụng tích cực việc bồi dưỡng học sinh giỏi nên kính mong hội đồng khoa học q thầy (cơ) góp ý bổ sung để giải pháp tơi đưa ngày hồn thiện hơn, có ứng dụng rộng q trình dạy học trường THPT XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 15 tháng năm 2021 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác LÊ THỊ TÍNH 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tạp chí Tốn học tuổi trẻ, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Sách giáo khoa Hình học 11 bản, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2017 (Tái lần thứ mười) Phan Huy Khải (Chủ biên), Tốn nâng cao Hình học 11, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội, 1999 Nguyễn Mộng Hy(Chủ biên), Sách tập Hình học 11 bản, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2007 Đoàn Quỳnh – Văn Như Cương (Chủ biên), Sách tập Hình học 11 nâng cao, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2007 20 ... SKKN: "Giúp học sinh phát triển tư thông qua việc khai thác tốn tứ diện vng" Đề tài tơi đúc rút kinh nghiệm thân dạng toán thường gặp giúp em học sinh lớp 11 12 giải dạng toán liên quan tứ diện. ..GIÚP HỌC SINH PHÁT TRIỂN TƯ DUY THÔNG QUA VIỆC KHAI THÁC BÀI TỐN TỨ DIỆN VNG I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình mơn Tốn THPT, mơn hình học khơng gian phân mơn tư? ?ng đối... lực học sinh học giải toán thuộc chủ đề tứ diện vng; khó khăn mà học sinh thường mắc phải giải toán liên quan đến tứ diện vuông Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm đối tư? ??ng học sinh