NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 7 1 Cơ sở lý luận 7 1 1 Năng lực GQVĐ Toán học 7 1 2 Một số đẳng thức hình học và đại số
Đẳng thức 1
Cho tam giác ABC, điểm M bất kỳ nằm trong tam giác ABC
Đẳng thức 2
Trong không gian cho tam giác ABC, điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) khi và chỉ khi với mọi điểm O trong đó x + y + z = 1 OM xOA yOB zOC
Tỷ số thể tích
+ Nếu hai khối chóp có cùng chiều cao thì V S ' '
+ Nếu hai khối chóp có cùng đáy thì V h ' '
V h + Cho khối chóp S.ABC A' SA, B' SB, C' SC SA, B'SB, C'SC SA, B'SB, C'SC SA, B'SB, C'SC
+ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Một mặt phẳng cắt SA, V SA SC SB SD
SB, SC, SD lần lượt tại A’, B’, C’, D’ khi đó ' 'C'D' S A B
+ Cho hình chóp S.ABCD Một mặt phẳng song song mp đáy và cắt SA, SB,
SC, SD V SA SB SC SD k k
lần lượt tại A’, B’, C’, D’ khi đó ' 'C'D' 3
Một số bất đẳng thức đại số
Với n số không âm 1 2 , , , n a a a bất kì ta có: bất kì ta có: 1 2 1 2 n n a a a n a a a n
Dấu ‘’=’’ xảy ra khi và chỉ khi 1 2 n a a a bất kì ta có: Bất đẳng trên tương đương với bất đẳng thức:
8) Bất đẳng thức Bunhiacopski Với hai bộ n số bất kì 1 2 , , , n a a a và bất kì ta có: 1 2 , , , n b b b ta có: bất kì ta có: 1 1 2 2
Dấu ‘’=’’ xảy ra khi và chỉ khi: 1 2 n b b b
9) Bất đẳng thức Svacxơ Với hai bộ n số dương bất kì 1 2 , , , n a a a và bất kì ta có: 1 2 , , , n b b b ta có: bất kì ta có:
Dấu ‘’=’’ xảy ra khi và chỉ khi: ( )
với x,y là các số dương x y x y a b c b
với x, y,z là số dương thỏa mãn
13) với x, y,z là số dương thỏa mãn xy yz zx đẳng thức 1 1 1
Cơ sở thực tiễn và thực trạng 9 Thực trạng 9 3 Biện pháp
Các bài toán về cực trị năm nào cũng xuất hiện trong đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An, và trong đề thi THPTQG
Qua các bài kiểm tra nội dung hình học không gian của học sinh đội tuyển bồi dưỡng học sinh giỏi Chúng tôi thu được kết quả sau:
Số lượng học sinh đạt được điểm khá giỏi chiểm 30% (3/10 học sinh) Số lượng học sinh đạt trung bình chiếm 20% (2/10 học sinh)
Số lượng học sinh đạt dưới trung bình chiếm 50% (5/10 học sinh) Qua đó thấy được sự khó khăn trong việc giải quyết bài toán cực trị không gian
3 1 Biện pháp 1: Đưa ra bài toán số 1 và định hướng giải các bài toán cực trị trong không gian dựa vào bài toán số 1
Cho hình chóp S.ABC M là một điểm bất kì trong hình chóp Mặt phẳng ( ) qua M cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại D, E, F SM cắt mặt đáy ( ) ABC tại N Chứng minh đẳng thức:
3.1.1 Lời giải bài toán Cách 1 Dùng Vectơ
Cho tam giác ABC, điểm N nằm trong tam giác ABC
Ta có 0 NBC NCA NAB S NA S NB S
S SA S SB S SC S S S SN NBC NCA NAB NBC NCA NAB
(1) NBC NCA NAB ABC S SA S SB S SC S SA S SB S SC
SB SE SC SF Do , , ,
S SD S SE S SF S SM Nên (1) trở thành NBC NCA NAB ABC
Mà D, E, F, M cùng thuộc mp(P), ta có
SD SE SF SM NBC NCA NAB ABC
Cách 2 Dùng tỉ lệ thể tích
V SA SB SN S S ABC ABC
Tương tự: V SD SF SM S S DMF ANC
V SA SC SN S S ABC ABC
V V V SM SD SE S SD SF S SE SF S
S DEM S DMF S EMF ABN ANC BNC
V SN SA SB S SA SC S SB SC S S ABC ABC ABC ABC
V SM SD SE S SD SF S SE SF S
V SN SA SB S SA SC S SB SC S
SD SE SF SM SD SE S SD SF S SE SF S Nên
SA SB SC SN SA SB S SA SC S SB SC S
3.1.2 Đặc biệt hoá bài toán
* Khi điểm M thuộc các mặt bên của hình chóp thì chúng ta có đẳng thức nào? Chẳng hạn khi điểm M SAB SA, B'SB, C'SC ta sẽ có bài toán sau:
Bài 1 Cho hình chóp S ABC , M là một điểm bất kì thuộc mặt bên (SAB) Mặt phẳng ( ) qua M cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại D, E, F SM cắt mặt đáy ( ) ABC tại N Chứng minh đẳng thức:
Theo bài toán 1 ta có:
M SAB SA, B'SB, C'SC nên 0 NAB S , khi đó (1) trở thành
SM SD S SE S ABC ABC (*)
* Điểm M SAB SA, B'SB, C'SC , SM cắt (ABC) tại N và (0 1) AN k k
AB khi đó chúng ta có bài toán sau:
Bài 2 Cho hình chóp S.ABC, M là một điểm bất kì thuộc mặt bên (SAB) Mặt phẳng ( ) qua M cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại D, E, F SM cắt mặt đáy ( ) ABC tại N sao cho (0 1) AN k k
AB Chứng minh đẳng thức:
SM SD SE Lời giải
SM SD S SE S ABC ABC
* Cho k các giá trị cụ thể chúng ta sẽ có các bài toán đặc biệt khác k ta có: 2 SA SB SN
Nếu M di chuyển trên đường trung bình tam giác SAB ta có thêm: 2
* Khi M là trọng tâm của hình chóp S.ABC ta có bài toán sau:
Bài 3 Cho điểm M là trọng tâm của hình chóp S.ABC Mặt phẳng ( ) qua M cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại D, E, F SM cắt mặt đáy ( ) ABC tại N. Chứng minh đẳng thức:
Theo bài toán 1 ta có:
M là trọng tâm của hình chóp S.ABC nên 4 3 SN S
N là trọng tâm tam giác ABC thì E
BNC ANC ABN ABC S S S S khi đó (1) trở thành 4
* Khi M ABC SA, B'SB, C'SC tức M N ta sẽ có được đẳng thức: ' thì Bài 4 Cho điểm M ABC SA, B'SB, C'SC của hình chóp S.ABC Mặt phẳng ( ) qua M cắt các tia SA, SB, SC lần lượt tại D, E, F Chứng minh đẳng thức:
Theo bài toán 1 ta có :
M ABC SA, B'SB, C'SC nên M N ' thì , 1
SA S SB S SC S Khi đó (1) trở thành 1 BMC AMC ABM
* Đặc biệt hơn nữa là Khi M là trọng tâm tam giác ABC thì MBC MAC MAB S S S Ta có được đẳng thức :
Bài 5 Cho điểm M là trọng tâm tam giác ABC của hình chóp S.ABC Mặt phẳng ( ) qua M cắt các tia SA, SB, SC lần lượt tại D, E, F Chứng minh đẳng thức: SA SB SC SD
SA S SB S SC S 1(*) BMC AMC ABM
M là trọng tâm tam giác ABC thì
ABC ABC ABC 1 SA SB SC
MBC MAC MAB ABC S S S S Khi đó (*) trở thành 3
* Hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=a Khi đó ta có bài toán sau:
Bài 6 Hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=a, M là một điểm bất kì trong hình chóp Mặt phẳng ( ) qua M cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại D, E, F SM cắt mặt đáy ( ) ABC tại N Chứng minh đẳng thức:
NBC NAC NAB aS SD S SE S SF SM
S SA S SB S SC SN Theo bài toán 1 ta có: (1) NBC NAC NAB
Hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=a nên (1) trở thành
NBC NAC NAB aS SD S SE S SF SM
* Với các bất đẳng thức ở trên kết hợp với các bất đẳng thức đại số chúng ta có các bài toán cực trị trong hình học không gian Học sinh cần phát hiện dấu hiệu bài toán từ đó đưa ra các đẳng thức hình học
3.1.3 Những bài toán cực trị có thể sử dụng bài toán 1 hỗ trợ
Bài 1 (Đề thi môn toán học sinh giỏi bảng A tỉnh Nghệ An 2011) Cho tứ diện S.ABC có SA = SB = SC = a Mặt phẳng (P) thay đổi luôn đi qua trọng tâm G của tứ diện, cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A’, B’, C’ (khác điểm S)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 1
QSA SB SB SC SC SA
' ' ' ' ' ' Định hướng: SA SB SC
- Với những dự kiện đã cho chúng ta tìm được đẳng thức liên hệ tỷ số , , ?
- Cần sử dụng bất đẳng thức đại số nào đây để biểu diễn
SA SB SB SC SC SA ' ' ' ' ' ' ? SA SB SC ' ' ' Lời giải
Sử dụng bài toán 1 cụ thể bài 4 mục 3.1.2 (trường hợp đặc biệt của điểm M
G ) ta có được đẳng thức: ' thì
Mặt khác SA SB SC a nên 1 1 1 4 a SA
' ' ' Áp dụng: 2 3.( ) ( ) ab bc ca a b c
Bài toán được giải quyết:
SA SB SB SC SC SA SA SB SC a ' ' ' ' ' ' 3 ' ' ' 3 2
* Cũng là dự kiện bài toán trên nhưng áp dụng bất đẳng thức:
chúng ta có bài toán sau a a a n a a a n
Bài 2 Cho tứ diện S.ABC có SA = SB = SC = a Mặt phẳng (P) thay đổi luôn đi qua trọng tâm G của tứ diện, cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A’, B’,
C’ (khác điểm S) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1
* Áp dụng BĐT cauchy ta có :
SA SB SC SA SB SC V
SA SB SC SA SB SC V ' ' ' ' ' ' ' 64
Mặt khác AA' ' ' BA ' ' ' CA ' ' ' ' ' '' ' '
SA SB SC Chúng ta có bài toán sau Bài 3 (Bài T10/301 tạp chí TH&TT năm 2002) Cho hình chóp S.ABC có thể tích là V Mặt phẳng (P) di dộng luôn đi qua trọng tâm G của hình chóp lần lượt cắt các cạnh SA, SB, SC tại A’, B’, C’ Tìm giá rị nhỏ nhất của a) Thể tích hình chóp VSA’B’C’ b) Của biểu thức P=V +V +V AA'B'C' BA'B'C' CA'B'C' a b c
* Với SA=a, SB=b, SC=c thì ta có 4
' ' ' Áp dụng bất đẳng Bunhiacopxki ta có
SA SB SC SA SB SC
2 2 2 a b c ab bc ca 3 ta có :
Và áp dụng bất đẳng thức a b c ab bc ca
SA SB SC SA SB SB SC SC SA ' ' ' ' ' ' ' ' '
Từ đó ta đặt ra bài toán Bài 4 Cho hình chóp S.ABC với SA=a, SB=b, SC=c Mặt phẳng (P) di dộng luôn đi qua trọng tâm G của hình chóp lần lượt cắt các cạnh SA, SB, SC tại A’, B’, C’ a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 1 1 với , , là số thực dương
b) Tìm giá trị lớn nhất của
SA SB SB SC SC SA Nhận xét : Trường hợp khi 1 ở câu a ta được bài toán T10 số 278 tạp chí toán học tuổi trẻ, khi a=b=c ở câu b ta được bài toán T10 số 288 tạp chí toán học tuổi trẻ
* Kết hợp với các bài toán BĐT đại số
với x, y,z là số dương thỏa mãn đẳng thức
4 Đặc biệt hóa cho a=b=c=1 ta có bài toán
x y z Bài 5 Cho hình chóp S.ABC với SA=SB=SC=1 Mặt phẳng (P) di dộng luôn đi qua trọng tâm G của hình chóp lần lượt cắt các cạnh SA, SB, SC, SG tại A’,
B’, C’ Tìm giá trị lớn nhất của 1 1 1
2 ' ' ' ' 2 ' ' ' ' 2 ' SA SB SC SA SB SC SA SB SC
* Sử dụng bất đẳng thức y x z y x z
với x, y,z là số xy yz zx dương thỏa mãn đẳng thức 1 1 1
1 Chúng ta có bài toán
Đánh giá và kết quả thực hiện 48 Tài liệu này đã được chúng tôi sử dụng để ôn thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An 48 Năm học
Năm học Số học sinh đạt Học sinh giỏi tỉnh 2020-2021 1 Giải Ba
2022-2023 1 Giải Nhì, 1 Giải Ba Đề tài này đã được các đồng nghiệp của các trường THPT Kim Liên, THPT Nam Đàn 1, THPT Thái Lão, sử dụng làm tài liệu giảng dạy và đem lại kết quả cao.