(Skkn 2023) giúp học sinh phát triển tư duy và rèn luyện kỹ năng thông qua các bài toán vận dụng vận dụng cao của số phức trong đề thi tôt nghiệp trung học phổ thông

PHỤC LỤC A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài 2 Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Bố cục sáng kiến kinh nghiệm B PHẦN NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Khái niệm lực 1.2 Năng lực tốn học gì? 1.3 Năng lực giao tiếp toán học II CÁC NỘI DUNG VỀ SỐ PHỨC TRONG CHƢƠNG TRÌNH GIÁO DỤC PHỔ THƠNG Bất đẳng thức tam giác 2.Công thức đƣờng trung tuyến 3.Bất đẳng thức Bunhiacopxki-Cauchy-Schwarz (B.C.S) III MỘT SỐ GIẢI PHÁP THỨC HIỆN .10 1.Công thức giải nhanh số 10 Công thức giải nhanh số .14 Công thức giải nhanh số .17 Sử dụng bất đẳng thức tam giác 21 Kỹ thuật UCT bất đẳng thức BUNHIACOPXKI-CAUCHY-SCHWARZ 23 Cơng thức NEWTON RAHSON giải nhanh phƣơng trình số phức 27 IV KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM KHẢO SÁT 31 Khảo sát cấp thiết tính khả thi đề tài 31 C KẾT LUẬN 36 Ý nghĩa đề tài .36 Kiến nghị, đề xuất 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Chương trình tổng thể ban hành theo Thông tư 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26/12/2018 nêu rõ “Giáo dục tốn học hình thành phát triển cho học sinh phẩm chất chủ yếu, lực chung lực toán học với thành tố cốt lõi: lực tư lập luận toán học, lực mơ hình học tốn học, lực giải vấn đề toán học, lực giao tiếp toán học, lực sử dụng công cụ phương tiện học toán; phát triển kiến thức, kĩ then chốt tạo hội để học sinh trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tiễn, giáo dục toán học tạo dựng kết nối ý tưởng toán học, toán học với mơn học khác tốn học với đời sống thực tiễn” Trong kỳ thi tốt nghiệp THPT năm gần toán VD-VDC số phức học sinh biết chuyển đổi ngơn ngữ tốn từ “Cực trị số phức,modun số phức” sang đại số giải tích tốn trở thành đơn giản, dễ giải Bộ Giáo dục Đào tạo tiến hành đổi đồng phương pháp dạy học kiểm tra, đánh giá kết giáo dục theo định hướng phát triển lực người học Đặc biệt phát triển lực tốn học, có lực “giao tiếp tốn học” Vì lí tác giả chọn đề tài: “Giúp học sinh phát triển tư rèn luyện kỹ thông qua toán vận dụng-vận dụng cao số phức đề thi tôt nghiệp trung học phổ thông” Mục đích nghiên cứu Phát triển lực giao tiếp toán học cho học sinh Giúp học sinh biết sử dụng ngơn ngữ tốn học để giải chuyển đổi tốn có nội dung số phức sang nội dung đại số giải tích ngược lại để gải toán cách đơn giản Từng bước tạo niềm đam mê xóa bỏ dần tâm lý e ngại em học sinh gặp tốn có nội dung có nội dung cực trị, giải toán số phức, Nhiệm vụ nghiên cứu Chuyên đề tập trung nghiên cứu số kỹ thuật giải nhanh toán vận dụng, vận dụng cao số phức đề thi tốt nghiệp THPT Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu vấn đề liên quan đến đề tài sáng kiến kinh nghiệm Điều tra quan sát: Thực trạng khả sử dụng ngơn ngữ tốn học học sinh trung học phổ thông Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi hiệu biện pháp sư phạm đề xuất Phạm vi nghiên cứu Sách giáo khoa Toán lớp 10, 11, 12 Ban Một số toán cực trị số phức, bất đẳng thức, tìm số phức, Phương trình vơ tỉ Bố cục sáng kiến kinh nghiệm A Mở đầu Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu B Nội dung Cơ sở lý luận vấn đề liên quan đến đề tài Các nội dung số phức chương trình giáo dục phổ thơng Một số giải pháp thực Thực nghiệm C Kết luận Kết luận Những kiến nghị đề xuất B PHẦN NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Khái niệm lực Năng lực thuộc tính cá nhân hình thành, phát triển nhờ vào tố chất trình học tập, rèn luyện, cho phép người huy động tổng hợp kinh nghiệm, kĩ thuộc tính cá nhân khác hứng thú, niềm tin, ý chí, thực đạt kết hoạt động điều kiện cụ thể Chương trình giáo dục phổ thơng 2018 xác định mục tiêu hình thành phát triển cho học sinh lực cốt lõi bao gồm lực chung lực đặc thù Năng lực chung lực bản, thiết yếu cốt lõi, làm tảng cho hoạt động người sống lao động nghề nghiệp Năng lực đặc thù lực hình thành phát triển sở lực chung theo định hướng chuyên sâu, riêng biệt loại hình hoạt động, cơng việc tình huống, mơi trường đặc thù, cần thiết cho hoạt động chuyên biệt, đáp ứng yêu cầu hoạt động toán học, âm nhạc, mĩ thuật, thể thao Các lực chung hình thành, phát triển thơng qua mơn học hoạt động giáo dục: lực tự chủ tự học, lực giao tiếp hợp tác, lực giải vấn đề sáng tạo; Các lực đặc thù hình thành, phát triển chủ yếu thông qua số môn học hoạt động giáo dục định: lực ngôn ngữ, lực tính tốn, lực khoa học, lực cơng nghệ, lực tin học, lực thẩm mĩ lực thể chất 1.2 Năng lực tốn học gì? Năng lực Toán học đánh giá hai phương diện: Năng lực nghiên cứu toán học lực học tập toán học Như vậy, lực toán học đặc điểm tâm lí cá nhân đáp ứng yêu cầu hoạt động toán tạo điều kiện lĩnh hội kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo lĩnh vực toán học tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc điều kiện ngang Năng lực toán học bao gồm thành tố: lực tư lập luận tốn học; lực mơ hình hố tốn học; lực giải vấn đề toán học; lực giao tiếp toán học; lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học tốn Mỗi thành tố lực toán học cần biểu cụ thể tiêu chí, báo Điều có độ phức tạp cao minh hoạ bảng đây: Các thành tố lực tốn học Các tiêu chí, báo - So sánh; phân tích; tổng hợp; đặc biệt hố, khái qt hoá; tương tự; quy nạp; diễn dịch Năng lực tƣ lập luận toán học - Chỉ chứng cứ, lí lẽ biết lập luận hợp lí trước kết luận - Giải thích điều chỉnh cách thức giải vấn đề phương diện toán học Năng lực mơ hình hố tốn học - Sử dụng mơ hình tốn học (gồm cơng thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị, ) để mơ tả tình đặt tốn thực tế - Giải vấn đề tốn học mơ hình thiết lập - Thể đánh giá lời giải ngữ cảnh thực tế cải tiến mơ hình cách giải khơng phù hợp - Nhận biết, phát vấn đề cần giải toán học Năng lực giải vấn đề toán học - Đề xuất, lựa chọn cách thức, giải pháp giải vấn đề - Sử dụng kiến thức, kĩ tốn học tương thích (bao gồm cơng cụ thuật tốn) để giải vấn đề đặt - Đánh giá giải pháp đề khái quát hoá cho vấn đề tương tự - Nghe hiểu, đọc hiểu ghi chép thông tin tốn học cần thiết trình bày dạng văn tốn học hay người khác nói viết Năng lực giao tiếp tốn học - Trình bày, diễn đạt (nói viết) nội dung, ý tưởng, giải pháp toán học tương tác với người khác (với yêu cầu thích hợp đầy đủ, xác) - Sử dụng hiệu ngơn ngữ tốn học (chữ số, chữ cái, kí hiệu, biểu đồ, đồ thị, liên kết logic, ) kết hợp với ngơn ngữ thơng thường động tác hình thể trình bày, giải thích đánh giá ý tưởng Các tiêu chí, báo Các thành tố lực toán học toán học tương tác (thảo luận, tranh luận) với người khác - Biết tên gọi, tác dụng, quy cách sử dụng, cách thức bảo quản đồ dùng, phương tiện trực quan thông thường, phương tiện khoa học công nghệ (đặc biệt phương tiện sử dụng công nghệ thông tin) phục vụ cho việc học tốn Năng lực sử dụng cơng cụ, phƣơng tiện - Sử dụng thành thạo linh hoạt cơng cụ học tốn phương tiện học tốn, đặc biệt phương tiện khoa học công nghệ để tìm tịi, khám phá giải vấn đề tốn học (phù hợp với đặc điểm nhận thức lứa tuổi) - Chỉ ưu điểm, hạn chế cơng cụ, phương tiện hỗ trợ để có cách sử dụng hợp lí 1.3 Năng lực giao tiếp tốn học 1.3.1 Năng lực giao tiếp: Năng lực giao tiếp khả trình bày, diễn đạt suy nghĩ, quan điểm, nhu cầu, mong muốn, cảm xúc thân hình thức nói, viết sử dụng ngơn ngữ thể cách phù hợp với đối tượng giao tiếp, hồn cảnh giao tiếp văn hóa; đồng thời đọc hiểu, biết lắng nghe tôn trọng ý kiến người khác bất đồng quan điểm 1.3.2 Năng lực giao tiếp toán học: Năng lực giao tiếp toán học khả sử dụng số, ký hiệu, hình ảnh, biểu đồ, sơ đồ, từ ngữ để hiểu tiếp nhận thông tin hay trình bày, diễn đạt ý tưởng, giải pháp, nội dung toán học hiểu biết thân lời nói, ánh mắt, cử chỉ, điệu văn phù hợp với đối tượng giao tiếp Đồng thời thể tự tin trình bày, diễn đạt, trao đổi, thảo luận nội dung, ý tưởng toán học + Giao tiếp toán học phương thức cần thiết học tốn Thơng qua giao tiếp tốn học, người học tiếp thu, lĩnh hội tri thức, kinh nghiệm từ sách giáo khoa, từ thầy, cô giáo bạn bè để hình thành kiến thức cho thân + Giao tiếp tốn học thúc đẩy hứng thú nhận thức khác nhau, tìm hiểu kiến thức chưa biết chia sẻ biết với người khác Điều làm địn bẩy để dẫn đến đào tạo + Thông qua giao tiếp, em nhận thức người khác nhận thức Đối chiếu hiểu biết thân kiến thức từ thầy cô trao đổi, so sánh với bạn, từ em tự đánh giá thân + Thông qua giao tiếp tốn học cịn giúp học sinh củng cố, tăng cường kiến thức hiểu biết sâu toán Chẳng hạn, qua tranh luận với bạn, chí với thầy giúp em nhận thiếu sót giải mình, từ chỉnh sửa, hồn thiện trình bày toán cách khoa học + Giao tiếp toán học giúp em cởi mở tự tin hiểu biết thân vấn đề toán học, tạo nên môi trường học tập thoải mái thân thiện Thông qua thảo luận toán học, học sinh làm rõ mở rộng ý tưởng hiểu biết mơn tốn + Ngồi ra, giao tiếp tốn học cịn giúp giáo viên hiểu rõ lực học tập học sinh, trình độ quan điểm hạn chế học sinh học tập tốn, từ định phương pháp nội dung giảng dạy phù hợp với đối tượng học sinh Giáo viên kích thích phát triển học sinh kiến thức tốn học thơng qua cách mà họ phát biểu ý kiến trả lời câu hỏi II CÁC NỘI DUNG VỀ SỐ PHỨC TRONG CHƢƠNG TRÌNH GIÁO DỤC PHỔ THƠNG Khi thực chương trình giáo dục phổ thơng 2018 giáo viên có nhận thức tầm quan trọng ý nghĩa việc cần phát triển NLGT toán học cho HS Tuy nhiên, đa số giáo viên chưa ý phát triển phẩm chất lực giao tiếp toán học cho học sinh Vấn đề phát triển NLGT toán học cho học sinh kỹ chủ yếu, giao tiếp toàn học đạt kết định Ở mức độ trội kỹ nghe hiểu, đọc hiểu hay thể tự tin quan tâm giáo dục học đạt kết định, nhiên hạn chế cần phải tiếp tục phát triển, hoàn thiện Những tồn kết thực dễ giải thích bị ảnh hưởng, tác động trực tiếp hồn cảnh, mơi trường thân đối tượng giao tiếp Để khắc phục tồn này, để vươn tới thực có kết cao hơn, địi hỏi người làm cơng tác giáo dục phải có biện pháp hiệu để phát triển NLGT cho học sinh Tuy nhiên, với GV trực tiếp giảng dạy đa số GV bắt đầu quan tâm đến vấn đề Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn ban hành giáo dục năm 2018 đưa lực giao tiếp toán học trở thành yêu cầu cần đạt giáo dục phổ thông, nên nhiều GV chưa hiểu rõ gặp nhiều khó khăn dạy học phát triển NLGT tốn học cho học sinh Chúng tơi phát triển NLGT toán học cho HS học dạy học giải tốn thơng qua chuyển đổi tốn từ toán cực trị số phức phương pháp làm đơn giản hơn, học sinh biết kết hợp với máy tính bỏ túi Ngồi kiến thức sách giáo khoa, nội dung sáng kiến có sử dụng đến kiến thức sau Bất đẳng thức tam giác Với số phức z1 , z2 ta ln có z1  z2  z1  z1 , dấu “=” xảy z    z1  0, k  , z2  kz1 Chứng minh Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,gọi A, B điểm biểu diễn số phức z1 ,  z2 Khi đó: OA  z1 , OB  z2 ; BA  z1  ( z2 )  z1  z2 Ta có bất đẳng thức AB  BO  OA  z1  z2  z1  z2 ,(đpcm) Dấu “=” xảy  O, A, B thẳng hàng O thuộc đoạn AB Nếu O trùng với A z1  Nếu O khơng trùng với A tức z1  điều có nghĩa có số k  để OB  kOA  z2  kz1 Một số hệ quả: z1  z2  z1  z2 dấu “=” xảy z1  kz2 với k  z1  z2  z1  z2 dấu “=” xảy z1  kz2 với k  z1  z2  z1  z2 dấu “=” xảy z1  kz2 với k  Công thức đƣờng trung tuyến Với số phức z1 , z2 ta ln có z1  z2 2  z1  z2 z1  z2  2   2     Chứng minh: Đặt z1  x1  y1i; z2  x2  y2i với x1 , x2 , y1 , y2  Ta có VT   x12  y12   x22  y22   x12  y12  x22  y22 , (1) 2  x  x y1  y2  x1  x2   y1  y2         Ta có VP                         x  x   y  y2   x1  x2   y1  y2                        x12  x1 x2  x22 y12  y1 y2  y22 x12  x1 x2  x22 y12  y1 y2  y22   2     4 4    x  x22  y12  y22  2 2  2   x1  x2  y1  y2 , (2)   Từ (1),(2) ta có cơng thức trung tuyến chứng minh Một số hệ quả: Cho hai số phức z1, z2 ta ln có : z1  z2  z1  z2   z1  z2  Cho hai số phức z, z1, z2 ta ln có : z1  z2  z1  z2 2  z1  z2 z z  2 z    2     Bất đẳng thức Bunhiacopxki-Cauchy-Schwarz (B.C.S) Bất đẳng thức Bunhiacopxki-Cauchy-Schwarz tổng quát Cho 2n số a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn ta có:  a1b1  a2b2   anbn    a12  a22   an2 b12  b22   bn2  Đẳng thức xảy  kbi , i  1, n, k  Bất đẳng thức Bunhiacopxki-Cauchy-Schwarz cho số Cho bốn số a1 , a2 b1 , b2 ta có:  a1b1  a2b2    a12  a22  b12  b22  Dấu đẳng thưc xảy a1  kb1; a2  kb2 Bất đẳng thức Bunhiacopxki-Cauchy-Schwarz cho số Cho sáu số a1 , a2 ,a b1 , b2 , b3 ta có:  a1b1  a2b2  a3b3    a12  a22  a32 b12  b22  b32  Dấu đẳng thưc xảy a1  kb1; a2  kb2 ; a3  kb3 III MỘT SỐ GIẢI PHÁP THỨC HIỆN Công thức giải nhanh số Bài toán mở đầu Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z   i  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ z   3i Phân tích Đứng trước tốn này, đa số thầy giáo em học sinh nghĩ tới hướng sử dụng kiến thức phương trình đường trịn Đó hướng tiếp cận hay dài cần phải nhớ kiến thức đường trịn chương trình lớp 10 Hôm xin giới thiệu đến quý thầy cô em định hướng nhanh Đầu tiên đến toán tổng qt q trình phát riển qua ví dụ minh họa sau Bài tốn Cho z, z số phức số thực k  thỏa mãn : z  z0  k Khi ta có max z  k  z0 z  k  z0 Chứng minh Ta có z  z0  k Gọi điểm biểu diễn số phức z P , điểm biểu diễn sô phức z0 Q ta có z  z0  QP Theo bất đẳng thức ba điểm ta có:  k  z  z0   QP  OP  OQ   z  z0  k   k  z  z   z0  k  z  z0  k , (1) Nếu giả sử    z  z  k QP  OP  OQ      k  z0  z  dấu (1) xảy ta có max z  k  z0 z  k  z0 Ta sử dụng kiến thức đường trịn để chứng minh toán Bài toán giúp ta giải toán z max z nhanh Sau số ví dụ mịnh họa Ví dụ cho số phức z thỏa mãn điều kiện z   4i  Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ z Khi M  m2 bao nhiêu? Lời giải: 10 Ta có z 1 i  z  z   z   i   z  1  i  z   i  z   i z   i  z   i    z 1 i  TH1: z   i   z  i  z  TH2: z   i   z   i  z  Do z   Vậy giá trị lớn z    z1   4i  Tính tổng giá trị lớn Ví dụ Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn   z2   i  giá trị nhỏ biểu thức z1  z2 Bằng ? Lời giải: Ta có z1  z2   z1   4i    z2   i     3i   z1   4i  z2   i   3i   2= max Và z1  z2   z1   4i    z2   i     3i    3i  z1   4i  z2   i    Do tổng giá trị lớn giá trị nhỏ Kỹ thuật UCT bất đẳng thức BUNHIACOPXKI-CAUCHY-SCHWARZ Trong mục xin đề xuất kỹ thuật hoàn toàn chưa cơng bố, kỹ thuật UCT (đồng hệ số) kết hợp với bất đẳng thức Bunhiacopxki-Cauchy-Schwarz giúp giải nhanh tốn số phức VDC có dạng tổng quát sau : Bài toán Cho số phức z thỏa mãn z  z0  k Tìm giá trị lớn biểu thức T  a z  z1  b z  z2 Trong a, b  z1 , z2 số phức cho trước Quy trình giải tốn chúng tơi đưa sau Bƣớc 1: Tìm số thực  ,  thỏa mãn: z  z1    z  z2     z  z0  (Trong thực tế ta cần quan tâm đến kết  ) 23 Bƣớc : Biến đổi T  a  z  z1   b z  z2 a b    z  z2   a  z  z1  a      Áp dụng bất  đẳng thức Bunhiacopxki – Cauchy – Schwarz ta có :   b b2     2  z  z2   1   z  z1   z  z2  z  z1  a     a 2 Bƣớc : Sử dụng giả thiết z  z0  k để thay vào z  z1   z  z2 ta có kết tốn Sau số ví dụ minh họa cho kỹ thuật Ví dụ Cho số phức z  x  yi với x, y  thỏa mãn điều kiện z  Tìm giá trị lớn biểu thức T  z   z  Lời giải: Bƣớc Tìm số thực  ,  thỏa mãn: z     z  1   z Ta có hệ 1         1      Bƣớc Biến đổi T  z   z  Áp dụng đẳng thức Bunhiacopxki – Cauchy – Schwarz ta có :  T  1 z   z    z   z  2    x  1  y 2   x  1  y   10  x  y  1 , *  Bƣớc Theo giả thiết z   x  y  Thay vào (*) ta có T  20  T  Nghĩa giá trị lớn T Nhận xét - Đa số lời giải cho toán dùng phương pháp hình học phương trình đường trịn, lời giải theo phương pháp hình học trực quan cần đến công thức độ dài đường trung tuyến tam giác nên khó hiểu cho nhiều học sinh, phương pháp mà chúng tơi đề xuất lựa chọn thú vị - Ở ví dụ này, hệ số   nên tạo thuận lợi cho Thực tế nhiều học sinh không để ý đến điều mặc định   nên may mắn ví dụ 1, em sai   Sau ví dụ minh họa cho nhận định 24 Ví dụ Cho số phức z  x  yi , với x, y  thỏa mãn điều kiện z   2i  Tìm giá trị lớn biểu thức T  z   i  z   4i Bƣớc Tìm số thực  ,  thỏa mãn: z   i    z   4i     z   2i  Ta có hệ  1          1  5    1  4  2     Bƣớc Biến đổi T  z   i   z   4i  Áp dụng đẳng thức Bunhiacopxki – Cauchy – Schwarz ta có :    1 2   T  1 z   i  z   4i   1    z   i  z   4i      2     2 2      x  1   y  1   x     y       x  x  y  12 y  45    2    x  y  x  y  15  , (*) 2 Bƣớc Theo giả thiết: z   2i    x  1   y     x  y  x  y  1 2 Do T  63  T  Ví dụ Cho số phức z  x  yi , với x, y  thỏa mãn điều kiện 1  i  z   3i  Tìm giá trị lớn biểu thức T  z   i  z   3i Lời giải: Trước hết ta biến đổi 1  i  z   3i    i z   3i   z   2i  1 i Bƣớc Tìm số thực  ,  thỏa mãn: z   i    z   3i     z   2i  Ta có hệ 1        2  2        1  3  2   Bƣớc Biến đổi T  z   i   z   3i  Áp dụng đẳng thức Bunhiacopxki – Cauchy – Schwarz ta có : 25  T  z   i  z   3i    1       z   i 2  z   3i   2 2   x  1   y  1   x     y  3    x  x  y  16 y  44      12  x  y  x  y  11 , (*) Bƣớc Theo giả thiết: z   2i    x  1   y     x  y  x  y  2 Do T  12.15  T  thỏa mãn điều kiện 1  i  z   3i  20 Ví dụ Cho số phức z  x  yi , với x, y  Tìm giá trị lớn biểu thức T  z  i  z   i Lời giải: Trước hết ta biến đổi 1  3i  z   3i  20   3i z   20  z    z    z   Bƣớc Tìm số thực  ,  thỏa mãn: z  i    z   i     z  1 Ta có hệ 1        2        1     Bƣớc Biến đổi T  z  i  z   i Áp dụng đẳng thức Bunhiacopxki – Cauchy – Schwarz ta có :  T  1 z  i  z   i   z  i  z   i 2  2   x   y  1   x     y  1    x  x  y     x  y  x  3 , (*)   Bƣớc Theo giả thiết: z     x  1  y   x  y  x  Do T  16  T  Ví dụ Cho số phức z  x  yi , với x, y  thỏa mãn điều kiện z   3i  Tìm giá trị lớn biểu thức T  z   z   2i Lời giải: 26 Bƣớc Tìm số thực  ,  thỏa mãn: z     z   2i     z   3i  Ta có hệ 1    2    1         2  3  Bƣớc Biến đổi T  z   3  z   2i  Áp dụng đẳng thức Bunhiacopxki – Cauchy – Schwarz ta có :  T  z   3 z   2i    1       z  2  z   2i   2   x  1  y   x  1   y      x  y  x  12 y  16    Bƣớc Theo giả thiết: z   3i    x  1   y  3   x  y  x  12 y  8 2 Do T  32  T  Công thức NEWTON RAHSON giải nhanh phƣơng trình số phức 6.1 từ định nghĩa đạo hàm đến công thức Newton Rahpson Trong sách giáo khoa THPT hành, đạo hàm hàm số f ( x) điểm x0 định nghĩa sau: f ' ( x0 )  lim x  x0 f ( x)  f ( x0 ) x  x0 Với x  x0 ta viết cơng thức dạng f ' ( x0 )  Từ ta có kết x  x0  f ( x)  f ( x0 ) x  x0 f ( x0 ) f ( x)  ' ' f ( x0 ) f ( x0 ) Giả sử x nghiệm đa thức f ( x) , nghĩa f ( x)  Khi ta có x  x0  Nến ta đổi tên x  x1 , ta có x1  x0  f ( x0 ) f ' ( x0 ) f ( x0 ) , (1) f ' ( x0 ) Công thức (1) cho ta tìm thấy giá trị x1 gần nghiệm phương trình f ( x)  dựa giá trị ban đầu ta chọn x0 Nếu cho x1 giá trị khởi tạo 27 tìm x2 gần nghiệm với công thức x2  x1  f ( x1 ) Nếu lặp lại f ' ( x1 ) trình nhiều lần thu giá trị ngày gần với nghiệm phương trình f ( x)  Quy trình viết lại là: xn1  xn  f ( xn ) , (2) f ' ( xn ) Công thức (2) gọi công thức Newton Rahpson,dùng để tìm nghiệm gần phương trình f ( x)  dựa giá trị khởi tạo ban đầu x0 6.2 Cơng thức Newton Rahpson tốn giải phƣơng trình tập phức Sử dụng cơng thức Newton Rahpson để tìm nghiệm phương trình f ( x)  tập số phức máy tính bỏ túi ta làm sau: Bước 1: nhập vào máy tính cơng thức truy hồi x  x  f ( x) , f ' ( x) f ' ( x) tính giống tập số thực, chẳng hạn  z '  1;  z   z;  z n   nz n 1 ;  z 1    ' ' '  ' ' ' ; z  1; z  0;  i   0, z Bước 2: Nhấn phím CALC để nhập giá trị ban đầu x0 , ta chọn giá trị cho x0 , nhiên thông thường ta chọn x0   i Nhấn dấu “=” nhiều lần liên tục, thấy kết khơng đổi nghiệm phương trình f ( x)  Bước 3: Dựa vào kết bước 2, trả lời câu hỏi mà tốn u cầu Cơng thức Newton Rahpson giúp ta tìm nghiệm nhiều phương trình tập số phức nhanh , phù hợp với đề thi trắc nghiệm Sau vài ví dụ minh họa cho nhận định Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn 1  2i  z  10   i Tìm z z Lƣu ý: Khi sử dụng công thức Newton Rahpson ta nên quy đồng bỏ mẫu phương trình để q trình bấm phím hội tụ nhanh nghiệm Lời gải: +) Ta có phương trình 1  2i  z  10   i  1  2i  z   i  z  10  z 28 +) Do cần tìm nghiệm f ( z )  1  2i  z   i  z  10 nên ta tìm f ' ( z ) Ta có f ' ( z )  1  2i  z   i +) Quy trình bấm máy: 1  2i  z   i  z  10 Bước 1: nhập vào máy công thức truy hồi: x  x   1  2i  z   i Bước 2: Bấm phím CALC nhập giá trị ban đầu  i nhấn dấu liên tục nhiều lần,khi thấy kết gần khơng đổi ta dừng Bước 3: Bấm phép tính Ans để tìm mơ đun nghiệm gần đúng, máy cho kết Từ ta có kết z  Ví dụ Cho số phức z  thỏa mãn môđun iz  (3i  1) z 2  z Biết số phức w  iz có 1 i a a 13 với a, b số tự nhiên phân số tối giản Khi a  b b b bao nhiêu? Lời giải: z iz   3i  1 z 2  z  iz   3i  1 z  1  i  z  iz   3i  1  (1  i ) z +) Ta có 1 i z iz  (1  i ) z z  (3i  1) z  2 +) Đặt f ( x)  iz  (1  i) z z  (3i  1) z ta có f ' ( x)  2iz  (1  i) z 2 +) Quy trình bấm máy: iz  (1  i ) z z  (3i  1) z Bước 1: Nhập máy tính cơng thức truy hồi : x  x  2iz  (1  i ) z 2 Bước 2: Bấm phím CALC nhập giá trị ban đầu  i nhấn dấu liên tục nhiều lần,khi thấy kết gần khơng đổi ta dừng 29 Bước 3: Bấm phép tính cho kết Từ ta có Ans để tìm mơ đun nghiệm gần đúng, máy 13 26 a  3 13 z    a  b  29 26 b  26 Ví dụ Tính mơđun số phức z biết z  12i  z z có phần thực dương Lời giải: +) Ta có z  12i  z  z  12i  z  +) Đặt f ( z)  z3  12i  z , ta có f ' ( z )  3z  +) Quy trình bấm máy: Bước 1: Nhập vào máy tính cơng thức truy hồi: x  x  z  12i  z 3z  Bước 2: Bấm phím CALC nhập giá trị ban đầu  i nhấn dấu liên tục nhiều lần,khi thấy kết gần khơng đổi ta dừng Bước 3: Bấm phép tính Ans để tìm mơ đun nghiệm gần đúng, máy cho kết Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn điều kiện  5i z  z  10  4i Đặt w   4iz  5z 1 i biết w  a  bi Tính 2a  3b2  3b  10 Lời giải: +) Ta có  5i z  z  10  4i  1  5i  z  1  i  z  1  i 10  4i   1 i +) Đặt f (z)  1  5i  z  1  i  z  1  i 10  4i  , ta có f ' (z)  4i +) Quy trình bấm máy: Bước 1: Nhập công thức truy hồi : x  x  1  5i  z  1  i  z  1  i 10  4i  4i 30 Bước 2: Bấm phím CALC nhập giá trị ban đầu  i nhấn dấu liên tục nhiều lần,khi thấy kết gần không đổi ta dừng, ta thấy kết khơng đổi toán  3i , nghĩa z   3i Bước 3: Với z   3i ta có a  31 w   4i 1  3i   1  3i   31  26i    2a  3b  3b  10  2022 b   26  Ví dụ Cho số phức z  a  bi; a, b  thỏa mãn z z  z  i  Tính giá trị biểu thức T  2022a  2023a2  b Lời giải: +) Đặt f ( z )  z z  z  i , ta có f ' ( z )  z  +) Quy trình bấm máy: Bước 1: Nhập vào máy tính cơng thức truy hồi : x  x  z z  2z  i z 2 Bước 2: Bấm phím CALC nhập giá trị ban đầu  i nhấn dấu liên tục nhiều lần,khi thấy kết gần khơng đổi ta dừng, ta thấy kết không đổi tốn 0, 4142135624i , nghĩa ta có z  0, 4142135624i a   T  0,1715728753 b  0, 4142135624 Bước 3: với z  0, 4142135624i   IV KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM KHẢO SÁT Khảo sát cấp thiết tính khả thi đề tài 1.1 Mục đích khảo sát - Nắm tính cấp thiết, hiệu đề tài - Nắm tính khoa học, hợp lý đề tài Từ điều chỉnh, áp dụng rộng rãi 1.2 Nội dung phƣơng pháp khảo sát 1.2.1 Nội dung khảo sát: Chủ yếu khảo sát nội dung sau a Các giải pháp đề xuất có thực cấp thiết vấn đề nghiên cứu khơng? b Các giải pháp đề xuất có khả thi vấn đề nghiên cứu không? Nội dung khảo sát học sinh: - Hiểu biết em dạng tập toán theo định hướng phát triển lực đặc biệt tập số phức THPT theo ma trận giai đoạn nay? 31 Với mức: Không hiểu biết, hiểu biết phần, hiểu biết, hiểu biết sâu - Hiểu biết em kỹ giải toán số phức kỳ thi tốt nghiệp THPT nay? Với mức: Không hiểu biết, hiểu biết phần, hiểu biết, hiểu biết sâu - Mức độ cấp thiết việc vận dụng kỹ giải toán VDVDC số phức đề thi tốt nghiệp THPT Với mức: Khơng cấp thiết, cấp thiết, cấp thiết, cấp thiết - Tính khả thi việc sử dụng kỹ giải toán VD-VDC số phức đề thi tốt nghiệp THPT? Với mức: Khơng khả thi , tí khả thi, khả thi, khả thi Nội dung khảo sát giáo viên: - Hiểu biết thầy cô dạng tập toán theo định hướng phát triển lực đặc biệt tập số phức THPT theo ma trận giai đoạn nay? Với mức: Không hiểu biết, hiểu biết phần, hiểu biết, hiểu biết sâu - Hiểu biết thầy cô kỹ giải toán số phức kỳ thi tốt nghiệp THPT nay? Với mức: Không hiểu biết, hiểu biết phần, hiểu biết, hiểu biết sâu - Mức độ cấp thiết việc vận dụng kỹ giải toán VDVDC số phức đề thi tốt nghiệp THPT Với mức: Khơng cấp thiết, cấp thiết, cấp thiết, cấp thiết - Tính khả thi việc sử dụng kỹ giải toán VD-VDC số phức đề thi tốt nghiệp THPT? Với mức: Khơng khả thi , tí khả thi, khả thi, khả thi 32 1.2.2 Phƣơng pháp khảo sát thang đánh giá Khảo sát bảng hỏi Lập google biểu mẫu gửi link khảo sát cho giáo viên học sinh Với thang đánh giá 04 mức (tương ứng với điểm số từ đến 4): Mức độ Nội dung tƣơng ứng Điểm số Mức Không hiểu biết Không hiểu biết Không cấp thiết Không khả thi Mức Hiểu biết phần Hiểu biết phần Ít cấp thiết Mức Hiểu biết Mức Hiểu biết sâu Hiểu biết Hiểu biết sâu Cấp thiết Rất cấp thiết Ít khả thi Khả thi Rất khả thi Tính điểm trung bình X theo phần mềm Excel: X 1.x1  2.x  3.x3  4.x Trong đó: x1 % đánh giá mức 1, x2 % đánh giá 100 mức 2, x3 % đánh giá mức 3, x4 % đánh giá mức 1.3 Đối tƣợng khảo sát Đối với học sinh Học sinh lớp dạy thực nghiệm gồm 12T2, 12T5 12A1 Đối với giáo viên Tồn giáo viên trường chúng tơi công tác số giáo viên trường khác 33 TT Tổng hợp đối tƣợng khảo sát Đối tƣợng Học sinh lớp 12T2, 12T5,12A1 Giáo viên mơn tốn trường THPT Đơ Lương Giáo viên mơn tốn trường THPT Đơng hiếu Tổng Số lƣợng 70 11 83 1.4 Kết khảo sát cấp thiết tính khả thi giải pháp đề xuất 1.4.1 Sự cấp thiết giải pháp đề xuất Khảo sát học sinh Khảo sát giáo viên Đánh giá cấp thiết giải pháp đề xuất TT Các giải pháp Các thông số X Mức độ cấp thiết việc vận dụng kỹ giải toán VD-VDC số phức đề thi tốt nghiệp THPT Mức GV: 3,7 HS: 2,97 Từ số liệu thu bảng rút nhận xét: cần cấp thiết có giải pháp để giúp học sinh lĩnh hội kiến thức dễ dàng Giải pháp đưa cấp thiết 1.4.2 Tính khả thi giải pháp Khảo sát học sinh: 34 Khảo sát giáo viên Đánh giá tính khả thi giải pháp đề xuất TT Các giải pháp Các thơng số X Tính khả thi việc sử dụng kỹ giải toán VD-VDC số phức đề thi tốt nghiệp THPT? Mức GV: 3,7 HS: 3,96 Từ số liệu thu bảng rút nhận xét: Qua khảo sát giảng dạy trường sở trao đổi với đồng nghiệp giảng dạy số trường địa bàn tỉnh Nghệ An thấy lớp giảng dạy em có định hướng tốt hơn, Tính khả thi việc sử dụng kỹ giải toán VD-VDC số phức đề thi tốt nghiệp THPT? Từ chỗ em lúng túng, khơng có định hướng giải tập này, sau học xong đề tài phần lớn em biết vận dụng kĩ năng, kiến thức đề tài để áp dụng vào tập Từ hầu hết em thích thú học phần kiến thức này, khiến em đam mê yêu thích đạt kết cao kiểm tra, qua kỳ thi Ngược lại lớp không tiếp cận với đề tài em giải dạng tập chậm hẳn so với bạn tiếp cận với đề tài Các em thường khơng có định hướng phương pháp giải, dẫn tới thực dạng tập này, làm cho em cảm giác dạng tập khó cảm thấy chán nản tiếp xúc với dạng tập min,max số phức đề thi tốt nghiệp THPT Giải pháp “Giúp học sinh phát triển tư rèn luyện kỹ giao tiếp tốn học thơng qua toán vận dụng-vận dụng cao số phức đề thi tơt nghiệp trung học phổ thơng”có tính khả thi cao 35 C KẾT LUẬN Ý nghĩa đề tài Cơ sở khoa học đề tài kết trình nghiên cứu tài liệu tham khảo với tính pháp lí độ tin cậy cao, từ trình bày sở lý luận rõ ràng, vững chắc, tảng để triển khai nội dung phía sau cách liền mạch, có hệ thống Các phương pháp nghiên cứu phù hợp với đối tượng nghiên cứu tình hình thực tế địa phương, cấu trúc đề tài trình bày cách logic, mạch lạc, rõ ràng Do đó, việc triển khai hay phát triển nội dung đề tài vào thực tiễn mang lại hiệu đáng kể Đề tài tác giả áp dụng đơn vị lớp giảng dạy nhận phản hồi tích cực đến từ học sinh đồng nghiệp tham dự Về phía học sinh: em mở mang kiến thức, mở rộng môi trường học tập, giao tiếp, rèn luyện kỹ sống cách hiệu Các em bộc lộ sở trường thân, thể nhận thức tầm quan trọng việc phát triển thân cách tồn diện để chuẩn bị tốt cho cơng việc sống tương lai Về phía giáo viên,tổ chức, giúp giáo viên cảm thấy yêu hơn, say mê với công việc, tạo động lực để giáo viên không ngừng học tập, đổi mới, đáp ứng yêu cầu thời đại nghề giáo Đặc biệt đề tài kỹ thuật UCT (đồng hệ số) kết hợp với bất đẳng thức Bunhiacopxki-Cauchy-Schwarz giúp giải nhanh tốn tìm giá trị lớn nhât số phức tương đối chưa cơng bố tính ứng dụng rộng rãi toán đánh giá, min, max Kiến nghị, đề xuất Đề tài giới thiệu rộng rãi đến học sinh lớp 12 giáo viên dạy ,tuy nhiên ví dụ cần sưu tập thêm , với công tác ban đọc chắn đề tài đem nhiều lợi ích Ngồi lời giải chưa có tối ưu mong góp ý chân thành! TÀI LIỆU THAM KHẢO Báo toán học tuổi trẻ Phân dạng giải số phức thầy Nguyễn Văn Qúy Chuyên đề ứng dụng số phức thầy Đặng Việt Đông Đề thi tốt nghiệp THPT năm 36 37