(SKKN 2022) giúp học sinh phát triển tư duy và kỹ năng qua bài toán tìm giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ nhất dựa vào đạo hàm và sử dụng máy tính cầm tay

1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài: Bài tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số chủ đề quan trọng chương trình giảng dạy học mơn tốn trường phổ thơng Trong đề thi mơn tốn kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia thi học sinh giỏi cấp năm gần toán liên qua đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số thường xuyên có mặt Để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số hay biểu thức có nhiếu phương pháp như: Sử dụng bất đẳng thức cô si, bất đẳng thức Bunhiacơpxki; phương pháp lượng giác hóa; phương pháp miền giá trị; phương pháp đồ thị hình học; phương pháp chiều biến thiên… Nhưng thấy năm gần đây, đề thi việc sử dụng đạo hàm máy tính cầm tay để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ thường xuyên sử dụng, q trình giảng dạy tơi muốn hình thành cho học sinh có tư kỹ giải tốn dựa vào đạo hàm sử dụng máy tính cầm tay Nên tơi xin trình bày sáng kiến kinh nghiệm: “Giúp học sinh phát triển tư kỹ qua tốn tìm giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ dựa vào đạo hàm sử dụng máy tính cầm tay” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Khi tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ biểu thức có nhiền ẩn tơi nhận thấy: - Học sinh sợ, bỏ qua, không hứng thú - Lúng túng, thụ động, khơng biết xử lí từ đâu Vậy vấn đề đặt là: Cần giúp cho học sinh hệ thống ghi nhớ đầy đủ kiến thức liên quan: đạo hàm bất đẳng thức côsi, bunhiacôpxki Giúp học sinh hình thành phát triển tư linh hoạt, sáng tạo toán liên quan 1.3 Đối tượng nghiên cứu: - Hệ thống kiến thức lý thuyết khái niệm, tính chất giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ số bất đẳng thức chương trình trung học phổ thơng - Sử dụng máy tính cầm tay Casio FX – 570VN PLUS để tìm giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ đoạn 1.4 Phương pháp nghiên cứu: - Xuất pháp từ toán cụ thể, cho học sinh nhìn rõ vấn đề tìm phương pháp giải cụ thể cho tốn có sử dụng đạo hàm - Đúc kết thuật toán lớp tốn khác có sử dụng đạo hàm - Thực nghiệm sử dụng đạo hàm máy tính cầm tay tốn tìm giá trị lớn nhỏ hàm số 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm - Cung cấp cho em học sinh hệ thống kiến thức giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ số bất đẳng thức chương trình trung học phổ thơng - Khai thác tính ưu việt máy tính cầm tay Casio FX – 570VN PLUS để tìm giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ - Với hình thức thi trắc nghiệm khách quan, đề tài nghiêm cứu tơi có vai trò quan trọng giáo viên, em học sinh qúa trình dạy học Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm: 2.1.1 Bất đẳng thức Cơsi : Cho hai số khơng âm,ta có : a+b ≥ ab Dấu xảy a = b Tổng quát: Cho n số không âm a1, a2, …, an Ta có: a1 + a2 + + an n ≥ a1a2 an Dấu xảy a1 = a2 = …= an n 1.2 Bất đẳng thức Bunhia-Côpski: Cho hai cặp số ( a; b) ( c ; d ), ta có: (a + b ) ( c + d ) ≥ ( ac + bd ) Dấu xảy : a b = c d 2.1.3 Khái niệm giá trị lớn giá trị nhỏ : Cho hàm số y = f (x) xác định tập D • Số M gọi giá trị lớn hàm số y = f(x) D : f ( x) ≤ M ∀x ∈ D tồn x0 ∈ D : f ( x0 ) = M M = max f ( x ) Kí hiệu : D • Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y = f(x) D : f ( x) ≥ m ∀x ∈ D tồn x0 ∈ D : f ( x0 ) = m Kí hiệu : m = Df ( x) 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Sau học xong khái niệm, tính chất, phương pháp tìm GTLNGTNN,đồng thời hướng dẫn thao tác sử dụng máy tính cầm tay buổi ơn tập tơi đặt ví dụ để học sinh tự giải Sau thời gian 45 phút thực kiểm chứng 52 học sinh lớp 12a3 năm học 2021 -2022 Kết học tập mơn tốn năm học 2020– 2021 là: Số học sinh lớp: 52 Học lực giỏi Số HS % 5,7 Học lực Số HS % 15 28,8 Học lực TB Số HS % 30 57,8 Học lực yếu Số HS % 7,7 Nhận biết(nắm vững lý Thơng hiểu(có thể vận Vận dụng linh hoạt thuyết) dụng lý thuyết để thực giải toán hành ) Số học sinh 52 Phần trăm 100% Số học sinh 34 Phần trăm 65,4% Số học sinh 18 Phần trăm 34,6% 2.3 Các biện pháp sử dụng để giải vấn đề: Hình thành tư kỹ học sinh qua việc giải tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ nhất: 2.3.1 : Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(x) D Đây cách sử dụng trực tiếp chiều biến thiên hàm số để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ nhất, toán thường gặp đề thi học sinh giỏi cấp , tốt nghiệp THPT Quốc gia Để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(x) D: Bước 1: Lập bảng biến thiên hàm số D : • Tính y’ tìm điểm tới hạn • Tính giới hạn vơ cực giới hạn vơ cực (nếu có) Bước 2: So sánh giá trị hàm số điểm đặc biệt ( thông thường điểm cực đại, cực tiểu, điểm không tồn đạo hàm ).Từ phép so sánh để tìm giá trị lớn nhỏ phải tìm Ví dụ : Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số : x + 3x + y= x +1 [ 0; 2] Giải: Ta có : y' = 2x2 + 4x ( x + 1) x = y' = ⇔   x = −2 Bảng biến thiên : t -∞ y’ o +∞ + 17 Y Vậy : max y = y (2) = [ 0;2] 17 y = y(0) = [ 0;2] Chú ý : Đối với tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(x) liên tục đoạn [ a; b] ta cịn áp dụng phương pháp sau : Bước 1: Tìm điếm x1, x2, xn [ a; b] f’(x) = f’(x) khơng xác định Bước 2: Tính f(a), f( x1), f(x2), … , f(xn) Bước 3: Tìm số lớn M số nhỏ m số kết luận: max y = M , [ a ;b] Ví dụ 2: y = m [ a ;b ] Tìm giá trị nhỏ hàm số : y = − x + x + 21 − − x + 3x + 10 miền xác định Ta thấy tốn khác so với ví dụ tốn chưa cho ta biết tìm giá trị nhỏ hàm số tập nào, nên bước ta phải tập xác định hàm số Giải: Tập xác định hàm số D= [-2 ;5] Ta có : y'= ( − 2x ) − x + x + 10 − ( − x ) − x + x + 21 − x + x + 21 − x + x + 10 y'= ⇔ x = Bảng biến thiên : −∞ x Vậy -2 y’ - y y = y( ) = +∞ + 2 [ −2;5] Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số : y= 4x + x4 Ta thấy : Trong ví dụ khó ví dụ 2, tập xác định hàm số tập R, lập bảng biến thiên học sinh phải có kiến thức giới hạn vơ cực Giáo viên nhắc lại kiến thức giới hạn vô cực: f ( x) Cho hàm số y = g ( x) với f(x) g(x) đa thức y , lim y kết vô cực • Nếu bậc f(x) > bậc g(x) : lim x →+∞ x →−∞ • Nếu bậc f(x) = bậc g(x) : lim y = lim y = x →+∞ x →−∞ a với a,b hệ số x b có số mũ cao đa thức f(x) g(x) y = lim y = • Nếu bậc f(x) < bậc g(x) : lim x →+∞ x →−∞ Giải : Tập xác định: R Giới hạn : lim y = lim y = x →+∞ x →−∞ Ta có : y'= ( − 3x ) (1+ x )  x = y'= ⇔   x = −  Bảng biến thiên : x -∞ - y’ y + +∞ 4 - 0 + 27 - 27 Vậy   max y = y  ÷ = 27 y =  3   y  − ÷ = − 27 3  Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ hàm số khoảng ( ; ) y= Giải : + 1− x x Xét hàm số y = Ta có : y'= ( 1− x) − x2  x = −1 + y'= ⇔   x = −1 − lim y = lim y = +∞ Giới hạn : Bảng biến thiên : x → 0+ x →1− x -∞ g'(x ) g(x) Vậy + khoảng ( ; 1) 1− x x ( -1+ - -∞ +∞ + +∞ 3+2 ) y = y −1 + = + 2 ( 0;1) Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số : y= cos x + cos x + cos x + Ta thấy : Đối với hàm số ta tính đao hàm hàm số lượng giác lập bảng biến thiên khó khăn, nên ta kết hợp với việc đặt ẩn phụ để đưa ví dụ Đặt Giải : t = cosx, y= Ta có : t ≤ Hàm số trở thành : t +1 t + t +1 với t ∈ [ −1;1] y'= (t −t − 2t + t + 1) t = y'= ⇔   t = −2 Bảng biến thiên : x - ∞ -2 y’ -1 + 0 1 +∞ - y π + k 2π , k ∈ Z y = đạt t = - ⇒ cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π , k ∈ Z Vậy max y = đạt t = ⇒ cos x = ⇔ x = Ví dụ 6: Tìm m để phương trình sau có nghiệm : m ( ) + x2 − − x2 + = − x4 + + x2 − − x2 Giải: Đặt t = + x2 − − x2 , 0≤t ≤2 ⇒ − x = − t Phương trình trở thành : m( t + 2) = – t2 – t , ⇔ Xét hàm số : −t − t + =m t+2 −t − t + f (t ) = , t+2 −t − 4t f '(t ) = End: b -> Step (b-a)/10 (hoặc chia cho 19) +) Bước 3: Nhìn vào bảng f(x) Chọn giá trị lớn giá trị nhỏ (có thể lấy xấp xỉ) Ví dụ 1:(Trích đề đại học 2017) Tìm giá trị nhỏ m hàm số y = x − x + 11x − đoạn [ 0; 2] 13 A m = 11 B m = C m = −2 D m = Hướng dẫn giải: Bước 1: Bấm Mode 7, nhập hàm f(x) : f(x)= x3 − x + 11x − Bước 2: Nhập Start: End: Step: (2-0):10 Bước 3: Nhìn vào bảng F(x) ta tìm giá trị nhỏ m=-2 Chọn C Ví dụ 2: (Đề minh họa quốc gia 2017) Tìm giá trị nhỏ hàm số y = in y = A m[ 2;4 ] B mi[ 2;4n] y = −2 x2 + x −1 C mi[ 2;4n] y = −3 19 D y = [ 2;4] Hướng dẫn giải: x2 + Bước 1: Bấm Mode 7, nhập hàm f(x) : f(x)= x −1 Bước 2: Nhập Start: ; End: 4; Step: (4-2):10 Bước 3: Nhìn vào bảng F(x) ta tìm giá trị nhỏ 14 Chọn A Ví dụ 3:(Trích đề đại học 2017).Tìm giá trị lớn M hàm số y = x − x + đoạn 0;  A M = D M = C M = B M = Hướng dẫn giải: Bước 1: Bấm Mode 7, nhập hàm f(x) : f(x)= x − x + Bước 2: Nhập Start: ; End: ; Step: ( -0):10 Bước 3: Nhìn vào bảng F(x) ta tìm giá trị lớn Chọn D Ví dụ 4: Cho hàm số y = x + A B giá trị nhỏ hàm số ( 0; +∞ ) là: x C.2 D.1 Hướng dẫn giải: Bước 1: Bấm Mode 7, nhập hàm f(x) : f(x)= x + x Bước 2: Nhập Start: ; End: 6; Step: (6-0):10 15 Bước 3: Nhìn vào bảng F(x) ta tìm giá trị nhỏ hàm số là:1.4257 xấp xỉ = Ví dụ 5: Cho hàm số y = 3sin x − 4sin x Giá trị lớn −π π   hàm số  ; ÷  2 A.7 B.3 C.1 D.-1 Hướng dẫn giải: Bước 1: Bấm Mode 7, nhập hàm f(x) : f(x)= 3sin x − 4sin x Bước 2: Nhập Start: − π π π π ; End: ; Step: ( -( − )):10 2 2 Bước 3: Nhìn vào bảng F(x) ta tìm giá trị lớn hàm số là: 0.951 xấp xỉ =1 Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn hàm số y = cos x − cos x A.6 B.4 C.7 D.5 Hướng dẫn giải: Đổi máy tính sang chế độ Radian Chọn khoảng ( −π ; π ) Bước 1: Bấm Mode 7, nhập hàm f(x) : f(x)= cos x − cos x Bước 2: Nhập Start: −π ; End: π ; Step: ( π -( −π )):10 Bước 3: Nhìn vào bảng F(x) ta tìm giá trị lớn hàm số là: 16 Ví dụ 7: Với giá trị m giá trị nhỏ hàm số y = đoạn [ 2;5] A m = ±1 x −1 x + m2 B m = ±2 C m = ±3 D m = Hướng dẫn giải: Thử đáp án A Với m = ±1 ta : y = x −1 sau bấm máy tính Nhập Start: ; End: x +1 5; Step: (5-2):10 xem giá trị nhỏ hàm số 0.333 Loại A Thử đáp án B ta : y = hàm số x −1 sau bấm máy xem giá trị nhỏ x+4 Chọn B 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục Trong chương trình THPT “đạo hàm máy tính cầm tay ” công cụ đắc lực giải tốn Nhờ có cơng cụ mà nhiều tốn khó giải với lời giải nhanh ngắn gọn xúc tích Việc ơn tập hệ thống kiến thức cho học sinh thực cần thiết, tơi thực đề tài với mong muốn học sinh lớp 12 ôn tập tốt để dự thi kỳ thi học sinh giỏi cấp kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia Trong trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh dự thi học sinh giỏi, phụ đạo học sinh yếu kém, tích lũy số kinh nghiệm sử dụng đạo hàm 17 máy tính cầm tay giải tốn tìm giá trị lớn nhât,giá trị nhỏ Đây thực tài liệu hữu ích kiểm chứng thực tế cho kết tốt Thường em học sinh có học lực giỏi giải toán tương đối nhanh đạt mức độ thời gian theo quy định, đối tượng học sinh lại tỏ chậm chạp tư trình tìm kiển tra nghiệm tốn Sau triển khai hướng dẫn 52 học sinh lớp sử dụng đạo hàm máy tính cầm tay trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ thu kết tương đối khả quan sau: Nhận biết(nắm vững lý thuyết) Thơng hiểu(có thể vận dụng lý thuyết để thực hành máy tính) Số học sinh Phần trăm Số học sinh Phần trăm 52 100% 48 92,3% Kết luận, kiến nghị Vận dụng linh hoạt (sử dụng tốt máy tính giải toán) Số học sinh Phần trăm 40 76,9% 3.1 Kết luận: Trên giới thiệu số kỹ sử dụng đạo hàm sử dụng máy tính bỏ túi thực hành giải tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Tôi áp dụng trực tiếp học sinh mà dạy trao đổi rút kinh nghiệm với đồng nghiệp thấy thu nhiều kết tốt như: học sinh ham học hơn, tiếp thu kiến thức tốt thực hành thục 3.2 Kiến nghị: Tuy nhiên theo quy định hạn hẹp số trang sáng kiến kinh nghiệm phạm vi áp dụng chưa rộng nên khơng tránh sai sót thực đề tài Mong góp ý bạn đồng nghiệp để sáng kiến kinh nghiệm hoàn chỉnh XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2022 Tơi xin cam đoan đề tài tự viết nghiên cứu, không chép người 18 khác Nếu sai tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm Mai Phương Thảo 19 ... thành tư kỹ học sinh qua việc giải tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ nhất: 2.3.1 : Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(x) D Đây cách sử dụng trực tiếp chiều biến thiên hàm số để tìm giá trị lớn. .. cho học sinh nhìn rõ vấn đề tìm phương pháp giải cụ thể cho tốn có sử dụng đạo hàm - Đúc kết thuật toán lớp toán khác có sử dụng đạo hàm - Thực nghiệm sử dụng đạo hàm máy tính cầm tay tốn tìm giá. .. khái niệm, tính chất giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ số bất đẳng thức chương trình trung học phổ thơng - Sử dụng máy tính cầm tay Casio FX – 570VN PLUS để tìm giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ đoạn 1.4