(SKKN mới NHẤT) một số KINH NGHIỆM GIÚP học SINH PHÁT TRIỂN tư DUY bài TOÁN TRUY NGƯỢC hàm

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Dạng tốn hàm ẩn chương giải tích 12 (Ứng dụng khảo sát vẽ đồ thị hàm số) dạng tốn ln ln có đề thi THPTQG năm gần mức vận dụng vận dụng cao Đề thi THPTQG năm 2017 tạo bất ngờ khó khăn cho nhiều em học sinh lạ dạng tốn Càng ngày dạng toán tiến sâu xa độ khó, tốn dạng tốn hàm ẩn mang tính thời thời gian gần đây, tốn TRUY NGƯỢC HÀM Đối với dạng toán hàm ẩn trước đây, đề cho vấn đề liên quan đến hàm số y = f ( x ) vấn đề liên quan đến hàm số y = f ' ( x ) hỏi vấn đề liên quan đến hàm số y = f v ( x )  Tuy nhiên đề thi năm 2020, 2021 vừa qua dạng tốn khơng dừng lại mà tiến thêm bước mới, đề lại cho giả thiết hàm số y = f u ( x )  , buộc học sinh phải truy ngược lại vấn đề liên quan đến hàm số y = f ( x ) vấn đề liên quan đến hàm số y = f ' ( x ) giải yêu cầu toán Đây dạng toán lạ, gây khơng khó khăn cho em học sinh Hiện sách giáo khoa hay tài liệu thống chưa viết nhiều vấn đề Thời gian qua, trang mạng có viết dạng tốn này, nhiên viết rời rạc, chưa có tính hệ thống Để giúp, giúp em có hiểu biết mang tính hệ thống, nắm vững, chắn kiến thức dạng toán TRUY NGƯỢC HÀM nên thân mạnh dạn viết SKKN “MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH PHÁT TRIỂN TƯ DUY BÀI TỐN TRUY NGƯỢC HÀM” Sáng kiến trình bày theo hướng: Phân dạng rõ ràng, logic dạng toán, từ đơn giản đến mức độ cao Ở dạng có trình bày phương pháp giải tập mẫu, sau tập tự luyện có đáp án giúp em học sinh tự luyện tập khắc sâu kiến thức Sau dạng sau lời dẫn giúp học sinh hiểu sâu dạng bài, giúp học sinh phân biệt dạng để tránh nhầm lẫn; giúp em hiểu chất toán sau phát triển từ toán trước nào, dạng toán sau phát triển từ dạng toán trước nào, từ hình thành cho em hệ thống kiến thức chắn phát triển tư cho dạng toán TRUY NGƯỢC HÀM Với ý tưởng đó, thân tơi mong SKKN nguồn tài liệu bổ ích giúp em học sinh tiếp cận dạng toán cách bản, có tư logic, từ giải tập dạng toán mức độ cao Tuy nhiên với tính thời đề tài, với hiểu biết hạn chế thân nên chắn q trình biên soạn khơng thể tránh sai sót, kính mong q thầy giúp đỡ, đóng góp ý kiến để SKKN hồn thiện II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: Đối với giáo viên: TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Đề tài giúp giáo viên trau dồi thêm kiến thức chuyên môn nghiệp vụ, tích lũy kinh nghiệm, nắm bắt kịp thời toán mới, dạng toán kỳ thi Bộ Giáo Dục Đào Tạo mà cụ thể toán TRUY NGƯỢC HÀM Đối với học sinh: Đề tài nguồn tài liệu bổ ích giúp em học sinh có hiểu biết mang tính hệ thống Sau dạng sau lời dẫn giúp học sinh hiểu sâu dạng bài, giúp học sinh phân biệt dạng để tránh nhầm lẫn; giúp em hiểu chất toán sau phát triển từ toán trước nào, dạng toán sau phát triển từ dạng toán trước nào, từ hình thành cho em hệ thống kiến thức chắn cho dạng toán TRUY NGƯỢC HÀM III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu đề tài: Đề tài tập trung nghiên cứu số dạng toán toán truy ngược hàm, đồng thời đưa lời giải bản, lưu ý nhận xét quan trọng để học sinh phát vấn đề, từ giúp học sinh phát triển tư cho toán TRUY NGƯỢC HÀM IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Đề tài sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết như: Phân tích, tổng hợp, so sánh-đối chiếu… ĐÓNG GÓP MỚI CỦA ĐỀ TÀI V TRUY NGƯỢC HÀM dạng tốn lạ, gây khơng khó khăn cho em học sinh Hiện sách giáo khoa hay tài liệu thống chưa viết nhiều vấn đề Thời gian qua, trang mạng có viết dạng tốn này, nhiên viết rời rạc, chưa có tính hệ thống Đề tài cung cấp cho em học sinh nguồn tài liệu quan trọng, hệ thống tập logic giúp em có tư tốt cho toán truy ngược hàm VI CẤU TRÚC PHẦN 1: MỞ ĐẦU PHẦN 2: NỘI DUNG PHẦN 3: KẾT LUẬN PHẦN 2: NỘI DUNG CHO ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ f ' u ( x )  HOẶC CHO BẢNG XÉT DẤU CỦA HÀM SỐ f ' u ( x )  , HỎI TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ f ( x ) 1.1: Cho đồ thị hàm số f ' u ( x )  hỏi khoảng đơn điệu hàm số f ( x ) 1.2: Cho đồ thị hàm số f ' u ( x )  hỏi cực trị hàm số f ( x ) 1.3: Cho bảng xét dấu hàm số f ' u ( x )  hỏi khoảng đơn điệu hàm số f ( x ) 1.4: Cho bảng xét dấu hàm số f ' u ( x )  hỏi cực trị hàm số f ( x ) TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com CHO ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ f u ( x )  HOẶC CHO BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ f u ( x )  , HỎI TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ f ( x ) 2.1: Cho đồ thị hàm số f u ( x )  hỏi khoảng đơn điệu hàm số f ( x ) 2.2: Cho đồ thị hàm số f u ( x )  hỏi cực trị hàm số f ( x ) 2.3: Cho bảng biến thiên hàm số f u ( x )  hỏi khoảng đơn điệu hàm số f ( x ) 2.4: Cho bảng biến thiên hàm số f u ( x )  hỏi cực trị hàm số f ( x ) CHO ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ f ' u ( x )  HOẶC CHO BẢNG XÉT DẤU CỦA HÀM SỐ f ' u ( x )  , HỎI TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ f  v ( x )  3.1: Cho đồ thị hàm số f ' u ( x )  hỏi khoảng đơn điệu hàm số f  v ( x )  3.2: Cho đồ thị hàm số f ' u ( x )  hỏi cực trị hàm số f  v ( x )  3.3: Cho bảng xét dấu hàm số f ' u ( x )  hỏi khoảng đơn điệu hàm số f  v ( x )  3.4: Cho bảng xét dấu hàm số f ' u ( x )  hỏi cực trị hàm số f  v ( x )  CHO ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ f u ( x )  HOẶC CHO BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ f u ( x )  , HỎI TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ f  v ( x )  4.1: Cho đồ thị hàm số f u ( x )  hỏi khoảng đơn điệu hàm số f  v ( x )  4.2: Cho đồ thị hàm số f u ( x )  hỏi cực trị hàm số f  v ( x )  4.3: Cho bảng biến thiên hàm số f u ( x )  hỏi khoảng đơn điệu hàm số f  v ( x )  4.4: Cho bảng biến thiên hàm số f u ( x )  hỏi cực trị hàm số f  v ( x )  ĐỌC ĐỒ THỊ HÀM ẨN 5.1: Cho đồ thị hàm số f ' ( x ) , đọc đồ thị hàm số f ( x ) 5.2: Cho bảng biến thiên hàm số f ' ( x ) , đọc đồ thị hàm số f ( x ) 5.3: Cho đồ thị hàm số f ' u ( x )  , đọc đồ thị hàm số f ( x ) 5.4: Cho bảng biến thiên hàm số f ' u ( x )  , đọc đồ thị hàm số f ( x ) PHẦN 3: KẾT LUẬN Tính - SKKN sản phẩm hoàn toàn thân từ ý tưởng tới tập, toán, dạng toán Các tập, tốn, dạng tốn trình bày theo hướng phát triển từ tập, toán, dạng toán tới nâng cao, giúp học sinh hiểu chất dạng tốn khơng phải trình bày cách rời rạc tập - Trước (hoặc sau) giải toán (hoặc dạng toán) lưu ý thích giúp học sinh hiểu sâu sắc phân biệt, so sánh giống khác toán hay dạng toán, giúp học sinh phát triển tư toán TRUY NGƯỢC HÀM TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Trước dạng tốn có trình bày phương pháp giải nhằm giúp học sinh nắm vững cách giải dạng toán - Đặc biệt phần phần trình bày dạng tốn “TRUY NGƯỢC HÀM ĐỂ ĐỌC ĐỒ THỊ HÀM SỐ” Với hiểu biết hạn chế thân tơi thấy dạng tốn hồn tồn mẻ học sinh tài liệu khác chưa đề cập tới, dạng toán hứa hẹn tạo nhiều điều thú vị cho em học sinh Tính hiệu - SKKN thân đưa phục vụ giảng dạy cho em học sinh số lớp trường THPT Đô Lương em đón nhận với thái độ hưởng ứng nhiệt tình, tính hiệu qủa cao Một số kiến nghị đề xuất - Rất mong q thầy đóng góp ý kiến để SKKN hồn thiện đưa vào ứng dụng rộng - Đô lương ngày 18/01/2022 Tác giả: Nguyễn Đôn TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com CHO ĐỒ THỊ HOẶC BẢNG BIẾN THIÊN HÀM SỐ f ' u ( x )  , HỎI TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ f ( x ) 1.1: Cho đồ thị hàm số f ' u ( x )  hỏi khoảng đơn điệu hàm số f ( x ) Đây dạng toán toán truy ngược hàm Để giải dạng toán sau, em phải thông thạo dạng 1.1 Phương pháp: Từ đồ thị hàm số f ' u ( x )  , em suy được: f ' ( x) = - Nghiệm phương trình - Xét dấu f ' ( x ) khoảng - Lập bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) Câu Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục Hàm số y = f ' (1 − x ) có đồ thị hình vẽ sau Hỏi hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng nào? A ( −;1) B ( −; −1) C ( −1;1) D ( 3; + ) Lời giải: Dựa vào đồ thị hàm số y = g ( x ) = f ' (1 − x ) ta có: g ( −1) = g ( 0) = g (1) = 1  f ' ( 3) = f ' (1) = f ' ( −1) = Đồng thời f ' ( ) = g    2 Do ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) : x f ' ( x) −1 − + − + + − f ( x) Dựa vào BBT ta có: Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( −; −1) TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Câu Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục vẽ sau Hàm số y = f ' ( − x ) có đồ thị hình Hỏi hàm số y = f ( x ) nghịch biến khoảng nào? A (1;4 ) B ( −; −1) D ( 3; + ) C ( −1;1) Lời giải: Dựa vào đồ thị hàm số y = g ( x ) = f ' ( − x ) ta có: g ( −4) = g ( −1) = g ( 2) =  f ' ( ) = f ' ( 4) = f ' (1) = Đồng thời f ' ( 0) = g ( 3)  Do ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) : x − f ' ( x) + − + + − f ( x) Dựa vào BBT ta có: Hàm số y = f ( x ) nghịch biến khoảng (1;4 ) Chọn đáp án A Câu Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục Hàm số y = f ' ( x + 1) có đồ thị hình vẽ sau Hỏi hàm số y = f ( x ) nghịch biến khoảng nào? A (1;4 ) B ( −; −1) C ( −1;5) D ( 5; + ) Lời giải: Dựa vào đồ thị hàm số y = g ( x ) = f ' ( − 2x ) ta có: Phương trình g ( x ) = có nghiệm x = −2 , x = x =  g ( −2) = g (1) = g ( 2) =  f ' ( −3) = f ' ( 3) = f ' ( 5) =  f ' ( x ) = có nghiệm x = −3, x = 3, x =  1 Đồng thời f ' ( ) = g  −    2 Do ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com x −3 − f ' ( x) + − + + − f ( x) Dựa vào BBT ta có: Hàm số y = f ( x ) nghịch biến khoảng ( 5; + ) Chọn đáp án D Câu Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục Hàm số y = g ( x ) = f ' ( − 2x ) có đồ thị hình vẽ sau Hỏi hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng nào? A (1;4 ) B ( −; −1) C ( 5; + ) D ( 3; + ) Lời giải: Dựa vào đồ thị hàm số y = g ( x ) = f ' ( − 2x ) ta có: Phương trình g ( x ) = có hai nghiệm x = −1 x =  g ( −1) = g ( 2) =  f ' ( 5) = f ' ( −1) = Lại phương trình g ( x ) = có x = nghiệm bội chẵn  phương trình f ' ( x ) = có x = −1 nghiệm bội chẵn 3 Đồng thời f ' ( ) = g    2 Do ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) : x f ' ( x) −1 − − + − + f ( x) TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Dựa vào BBT ta có: Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( 5; + ) Chọn đáp án C Nhận xét: Ở toán này, em học sinh lưu ý: Đồ thị hàm số y = f ' ( − x ) tiếp xúc với trục hồnh điểm có hồnh độ x = nên phương trình g ( x ) = có nghiệm bội chẵn x = Do phương trình f ' ( x ) = có x = −1 nghiệm bội chẵn Do đa thức f ' ( x ) không bị đổi dấu x qua x0 = −1 Hàm số y = g ( x ) = f ' ( x − 5) có đồ thị Câu Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục hình vẽ sau Hỏi hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng nào? A ( −3; ) B ( −; −1) C ( −3; + ) D ( 3; + ) Lời giải: Dựa vào đồ thị hàm số y = g ( x ) = f ' ( x − 5) ta có: Phương trình g ( x ) = có nghiệm x = −1 , x = , x = x =  g ( −1) = g (1) = g ( 2) = g ( 4) =  f ' ( −7 ) = f ' ( −3) = f ' ( −1) = f ' ( 3) = Lại phương trình g ( x ) = có x = nghiệm bội chẵn  phương trình f ' ( x ) = có x = nghiệm bội chẵn 5 Đồng thời f ' ( ) = g    2 Do ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) : x f ' ( x) −7 − − −3 + −1 − + + + f ( x) Dựa vào BBT ta có: Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( 3; + ) Chọn đáp án D TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Nhận xét: Ở toán này, em học sinh lưu ý: Đồ thị hàm số y = f ' ( x − 5) tiếp xúc với trục hồnh điểm có hồnh độ x = nên phương trình g ( x ) = có nghiệm bội chẵn x = Do phương trình f ' ( x ) = có x = nghiệm bội chẵn Do đa thức f ' ( x ) khơng bị đổi dấu x qua x0 = Câu Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục Hàm số y = g ( x ) = f ' (1 − 3x ) có đồ thị hình vẽ sau Hỏi hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng nào? A ( −8; −5) B ( −; −1) C ( −3; + ) D ( −3; −2 ) Lời giải: Dựa vào đồ thị hàm số y = g ( x ) = f ' (1 − 3x ) ta có: Phương trình g ( x ) = có nghiệm x = , x = , x = x =  g ( 0) = g (1) = g ( 2) = g ( 3) =  f ' (1) = f ' ( −2) = f ' ( −5) = f ' ( −8) = Lại phương trình g ( x ) = có x = nghiệm bội chẵn  phương trình f ' ( x ) = có x = nghiệm bội chẵn 1 Đồng thời f ' ( ) = g    3 Do ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) : x f ' ( x) −8 − − −5 + −2 − + + + TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com f ( x) Dựa vào BBT ta có: Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( −8; −5) Chọn đáp án A ( ) Câu Đồ thị hàm y = f  x + x − hình vẽ đưới Hỏi hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng nào? A ( −8; −5) B ( −; −1) C ( −3; + ) D ( −3; −2 ) Lời giải: ( ) Đặt g ( x ) = f  x + x −   x +1 =  x = −1 x + x − = −4    x2 + 4x −1 = Từ giả thiết ta có f  ( x + x − 1) =   x − =   x =      2 ( x − ) = ( x − ) =  ( x + x − 1) − 11 =    t = −4  Từ suy f ' ( t ) =   t =  ( t − 11) = Suy phương trình f ' ( x ) = có nghiệm bội lẻ x = −4; x = nghiệm bội chẵn x = 11 Mặt khác g ( 0) = f ' ( −1)  nên ta có BBT hàm số y = f ( x ) sau: x f ' ( x) −4 − − + + 11 − − f ( x) Dựa vào BBT ta có: Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( −3; −2 ) Chọn đáp án D 10 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Câu Cho hàm số đa thức bậc ba f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị hàm số y = f ( − x ) hình vẽ sau Hỏi mệnh đề đúng? A a  0, b  0, c  0, d  B a  0, b  0, c  0, d  C a  0, b  0, c  0, d  D a  0, b  0, c  0, d  Câu Cho hàm số đa thức bậc bốn f ( x ) = ax4 + bx2 + c có đồ thị hàm số y = f (1 − x ) hình vẽ sau Hỏi mệnh đề đúng? A a  0, b  0, c  B a  0, b  0, c  C a  0, b  0, c  D a  0, b  0, c  5.2: Cho bảng biến thiên hàm số f u ( x )  yêu cầu đọc đồ thị hàm số f ( x ) Về mặt phương pháp, dạng tốn khơng khác nhiều so với dạng 5.1, cho đồ thị hàm số f u ( x )  ta suy bảng biến thiên hàm số f u ( x )  Do dạng toán 5.2 chất dạng toán 5.1, chẳng qua cách phát biểu giả thiết khác mà Phương pháp: Từ bảng biến thiên hàm số f u ( x )  , em suy được: - Nghiệm phương trình f ' ( x ) = - Xét dấu f ' ( x ) khoảng - Lập bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) - Đọc đồ thị hàm số y = f ( x ) x − −2 + 120 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com g' ( x) Câu Cho hàm số đa thức bậc ba f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d Hàm số + − + y = g ( x ) = f (1 − x ) có bảng xét dấu sau: Hỏi mệnh đề đúng? A a  0, b  0, c  0, d  B a  0, b  0, c  0, d  C a  0, b  0, c  0, d  D a  0, b  0, c  0, d  Lời giải: Dựa vào bảng xét dấu thấy hàm số y = g ( x ) đạt cực trị x = −2 x =  g ' ( −2) = g ' ( 0) = (1) Mặt khác ta có: g ' ( x ) =  f (1 − x )  = (1 − x ) f ' (1 − x ) = −2 f ' (1 − x ) ' ' (2)  g ' ( −2 ) = −2 f ' ( ) =  f ' ( ) =  ' Từ (1) (2)   ' '  g ( ) = −2 f (1) =  f (1) = Suy phương trình f ' ( x ) = có nghiệm x = x = Lại đồ thị hàm số y = g ( x ) lên khoảng ( 0; + ) nên g ' ( x )  với x  ( 0; + ) 1  g '   = −2 f ' ( )   f ' ( 0)  2 Từ ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) x f ' ( x) − − + + − f ( x) Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) ta thấy: +) lim y = −  a  x →+ Gọi x1 ; x2 hai điểm cực trị hàm số, suy x1 ; x2 hai nghiệm phương trình y ' = 3ax + 2bx + c = nên theo định lý Viét +) x1 + x2 = − 2b   ab   b  3a 121 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com +) x1 x2 = c   ac   c  3a 1 +) d = f ( ) = g    2 Chọn đáp án C Câu Cho hàm số đa thức bậc ba f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d Hàm số y = g ( x ) = f ( x + 1) có bảng xét dấu sau Hỏi mệnh đề đúng? A a  0, b  0, c  0, d  −2 − x g' ( x) + + − + B a  0, b  0, c  0, d  C a  0, b  0, c  0, d  D a  0, b  0, c  0, d  Lời giải: Dựa vào bảng xét dấu thấy hàm số y = g ( x ) đạt cực trị x = −2 x =  g ' ( −2) = g ' ( 0) = (1) Mặt khác ta có: g ' ( x ) =  f ( x + 1)  = ( x + 1) f ' ( x + 1) = f ' ( x + 1) ' ' (2)  g ' ( −2 ) = f ' ( −3) =  f ' ( −3) =  ' Từ (1) (2)   ' '  g ( ) = f (1) =  f (1) = Suy phương trình f ' ( x ) = có nghiệm x = x = −3 Lại đồ thị hàm số y = g ( x ) xuống khoảng ( −2;0 ) nên g ' ( x )  với x  ( −2;0)  1  g '  −  = f ' ( )   f ' ( 0)   2 Từ ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) x f ' ( x) −3 − + + − + f ( x) Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) ta thấy: +) lim y = +  a  x →+ 122 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Gọi x1 ; x2 hai điểm cực trị hàm số, suy x1 ; x2 hai nghiệm phương trình y ' = 3ax + 2bx + c = nên theo định lý Viét +) x1 + x2 = − +) x1 x2 = 2b   ab   b  3a c   ac   c  3a  1 +) d = f ( ) = g  −    2 Chọn đáp án B Câu Cho hàm số đa thức bậc ba f ( x ) = ax4 + bx2 + c có bảng xét dấu hàm số y = g ( x ) = f (1 − x ) sau Hỏi mệnh đề đúng? x − g' ( x) − + + A a  0, b  0, c  B a  0, b  0, c  C a  0, b  0, c  D a  0, b  0, c  Lời giải: Dựa vào bảng xét dấu thấy hàm số y = g ( x ) đạt cực trị x = 1  g'   = 2 Mặt khác ta có: g ' ( x ) =  f (1 − x )  = (1 − x ) f ' (1 − x ) = −2 f ' (1 − x ) ' ' (1) (2) 1 Từ (1) (2)  g '   = −2 f ' ( ) =  f ' ( ) = 2 Suy phương trình f ' ( x ) = có nghiệm x = 1 1   Lại đồ thị hàm số y = g ( x ) xuống khoảng  −;  nên g ' ( x )  với x   −;  2 2    g ' ( 0) = −2 f ' (1)   f ' (1)  Từ ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) x f ' ( x) − + − + 123 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com f ( x) Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) ta thấy: +) lim y = +  a  x →+ +) Ta có y ' = 4ax3 + 2bx = x ( 2ax + b ) = có nghiệm nên ab   b  1 +) c = f ( ) = g    2 Chọn đáp án C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Cho hàm số đa thức bậc ba f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d Hàm số y = g ( x ) = f ( − x ) có bảng xét dấu sau đây: − x g' ( x) + − − + + Hỏi có số dương số a, b, c, d ? A B C D Câu Cho hàm số đa thức bậc ba f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d Hàm số y = g ( x ) = f ( 3x − 2) có bảng xét dấu sau Hỏi mệnh đề đúng? A a  0, b  0, c  0, d  −2 − x g' ( x) + + − + B a  0, b  0, c  0, d  C a  0, b  0, c  0, d  D a  0, b  0, c  0, d  Câu Cho hàm số đa thức bậc ba f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d Hàm số y = g ( x ) = f ( −2 x − 1) có bảng xét dấu sau Hỏi mệnh đề đúng? A a  0, b  0, c  0, d  B a  0, b  0, c  0, d  −1 − x g' ( x) − + + − C a  0, b  0, c  0, d  D a  0, b  0, c  0, d  x − + 124 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Câu Cho hàm số đa thức bậc ba f ( x ) = ax4 + bx2 + c có bảng xét dấu hàm g' ( x) − + 0 − số y = g ( x ) = f ( x + 1) sau Hỏi mệnh đề đúng? A a  0, b  0, c  B a  0, b  0, c  C a  0, b  0, c  D a  0, b  0, c  5.3: Cho đồ thị hàm số f u ( x )  đọc đồ thị hàm số f ( x ) Phương pháp: Từ đồ thị hàm số f ' u ( x )  , em suy được: f ' ( x) = - Nghiệm phương trình - Xét dấu f ' ( x ) khoảng - Lập bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) - Từ đọc đồ thị hàm số y = f ( x ) Câu Cho hàm số đa thức bậc ba f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d có f (1)  Đồ thị hàm số y = f ' (1 − x ) hình vẽ sau Hỏi mệnh đề đúng? A a  0, b  0, c  0, d  B a  0, b  0, c  0, d  C a  0, b  0, c  0, d  D a  0, b  0, c  0, d  Lời giải: Đặt g ( x ) = f ' (1 − 2x ) Dựa vào đồ thị thấy  f ' ( ) = g ( −2) = g ( 0) =   '  f (1) = Suy phương trình f ' ( x ) = có nghiệm x = x = 1 Lại f ' ( ) = g    2 Từ ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) x − + 125 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com f ' ( x) + − + f ( x) Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) ta thấy: +) lim y = +  a  x →+ Gọi x1 ; x2 hai điểm cực trị hàm số, suy x1 ; x2 hai nghiệm phương trình y ' = 3ax + 2bx + c = nên theo định lý Viét +) x1 + x2 = − +) x1 x2 = 2b   ab   b  3a c   ac   c  3a +) d = f ( 0)  f (1)  Chọn đáp án C Câu Cho hàm số đa thức bậc ba f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d có f ( −3)  Đồ thị hàm số y = f ' ( x + 1) hình vẽ sau Hỏi mệnh đề đúng? A a  0, b  0, c  0, d  B a  0, b  0, c  0, d  C a  0, b  0, c  0, d  D a  0, b  0, c  0, d  Lời giải: Đặt g ( x ) = f ' ( x + 1) Dựa vào đồ thị thấy  f ' ( −3) = g ( −2) = g ( 0) =   '  f (1) = Suy phương trình f ' ( x ) = có nghiệm x = x = −3  1 Lại g  −  = f ' ( )   2 Từ ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) x − −3 + 126 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com f ' ( x) − + − f ( x) Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) ta thấy: +) lim y = −  a  x →+ Gọi x1 ; x2 hai điểm cực trị hàm số, suy x1 ; x2 hai nghiệm phương trình y ' = 3ax + 2bx + c = nên theo định lý Viét +) x1 + x2 = − +) x1 x2 = 2b   ab   b  3a c   ac   c  3a +) d = f ( 0)  f ( −3)  Chọn đáp án D Câu Cho hàm số đa thức bậc bốn f ( x ) = ax4 + bx2 + c có a + b + c  đồ thị hàm số y = f ' ( x + 1) hình vẽ sau Hỏi mệnh đề đúng? A a  0, b  0, c  B a  0, b  0, c  C a  0, b  0, c  D a  0, b  0, c  Lời giải: Đặt g ( x ) = f ' ( x + 1) Dựa vào đồ thị thấy  1 g ( −1) = g  −  = g ( ) =  2  f ' ( −1) =    f ' ( ) = suy phương trình f ' ( x ) = có ba nghiệm x = 1 x =  '  f (1) = 1 Lại g   = f ' ( )   f ' ( 2)  2 Từ ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) 127 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com x −1 − f ' ( x) − 0 + + − + f ( x) Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) ta thấy: +) lim y = +  a  x →+ +) Ta có y ' = 4ax3 + 2bx = x ( 2ax + b ) = có nghiệm nên ab   b  +) c = f ( 0)  f (1) = a + b + c  Chọn đáp án B BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Cho hàm số đa thức bậc ba f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d có f ( 0)  Đồ thị hàm số y = f ' ( − x ) hình vẽ sau Hỏi có số dương số a , b, c , d ? A B C D Câu Cho hàm số đa thức bậc ba f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d có f ( −2 )  Đồ thị hàm số y = f ' ( 3x − 2) hình vẽ sau Hỏi mệnh đề đúng? A a  0, b  0, c  0, d  B a  0, b  0, c  0, d  C a  0, b  0, c  0, d  D a  0, b  0, c  0, d  Câu Cho hàm số đa thức bậc ba f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d có f ( 0)  Đồ thị hàm số y = f ' ( −2 x − 1) hình vẽ sau Hỏi mệnh đề đúng? 128 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com A a  0, b  0, c  0, d  B a  0, b  0, c  0, d  C a  0, b  0, c  0, d  D a  0, b  0, c  0, d  Câu Cho hàm số đa thức bậc ba f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d có f ( 0)  Đồ thị hàm số y = f ( − x ) hình vẽ sau Hỏi mệnh đề đúng? A a  0, b  0, c  0, d  B a  0, b  0, c  0, d  C a  0, b  0, c  0, d  D a  0, b  0, c  0, d  Câu Cho hàm số đa thức bậc bốn f ( x ) = ax4 + bx2 + c có f (1)  Đồ thị hàm số y = f ' (1 − x ) hình vẽ sau Hỏi mệnh đề đúng? A a  0, b  0, c  B a  0, b  0, c  C a  0, b  0, c  D a  0, b  0, c  5.4: Cho bảng biến thiên hàm số f u ( x )  yêu cầu đọc đồ thị hàm số f ( x ) Về mặt phương pháp, dạng tốn khơng khác nhiều so với dạng 5.1, cho đồ thị hàm số f u ( x )  ta suy bảng biến thiên hàm số f u ( x )  Do dạng tốn 5.2 chất dạng toán 5.1, chẳng qua cách phát biểu giả thiết khác mà Phương pháp: Từ bảng biến thiên hàm số f u ( x )  , em suy được: - Nghiệm phương trình f ' ( x ) = - Xét dấu f ' ( x ) khoảng 129 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com - Lập bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) - Đọc đồ thị hàm số y = f ( x ) Câu Cho hàm số đa thức bậc ba f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d có f (1)  Hàm số y = f ' (1 − x ) có bảng xét dấu sau Hỏi mệnh đề đúng? A a  0, b  0, c  0, d  −2 − x g' ( x) + + − + B a  0, b  0, c  0, d  C a  0, b  0, c  0, d  D a  0, b  0, c  0, d  Lời giải: Đặt g ( x ) = f ' (1 − 2x )  f ' ( ) = Dựa vào bảng xét dấu thấy g ( −2) = g ( 0) =   '  f (1) = Suy phương trình f ' ( x ) = có nghiệm x = x = 1 Lại f ' ( ) = g    2 Từ ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) x − f ' ( x) + + − + f ( x) Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) ta thấy: +) lim y = +  a  x →+ Gọi x1 ; x2 hai điểm cực trị hàm số, suy x1 ; x2 hai nghiệm phương trình y ' = 3ax + 2bx + c = nên theo định lý Viét +) x1 + x2 = − +) x1 x2 = 2b   ab   b  3a c   ac   c  3a 130 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com +) d = f ( 0)  f (1)  Chọn đáp án C Câu Cho hàm số đa thức bậc ba f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d có f ( −3)  Hàm số y = f ' ( x + 1) có bảng xét dấu sau x Hỏi mệnh đề đúng? A a  0, b  0, c  0, d  g' ( x) −2 − − + + − B a  0, b  0, c  0, d  C a  0, b  0, c  0, d  D a  0, b  0, c  0, d  Lời giải: Đặt g ( x ) = f ' ( x + 1)  f ' ( −3) = Dựa vào bảng xét dấu thấy g ( −2) = g ( 0) =   '  f (1) = Suy phương trình f ' ( x ) = có nghiệm x = x = −3  1 Lại g  −  = f ' ( )   2 Từ ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) x −3 − f ' ( x) − + + − f ( x) Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) ta thấy: +) lim y = −  a  x →+ Gọi x1 ; x2 hai điểm cực trị hàm số, suy x1 ; x2 hai nghiệm phương trình y ' = 3ax + 2bx + c = nên theo định lý Viét +) x1 + x2 = − +) x1 x2 = 2b   ab   b  3a c   ac   c  3a +) d = f ( 0)  f ( −3)  131 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Chọn đáp án D Câu Cho hàm số đa thức bậc bốn f ( x ) = ax4 + bx2 + c có a + b + c  đồ thị hàm số y = f ' ( x + 1) hình vẽ sau x Hỏi mệnh đề đúng? A a  0, b  0, c  g' ( x) B a  0, b  0, c  − −1 − − + + − + C a  0, b  0, c  D a  0, b  0, c  Lời giải: Đặt g ( x ) = f ' ( x + 1)  1 Dựa vào đồ thị thấy g ( −1) = g  −  = g ( ) =  2  f ' ( −1) =    f ' (0) =  '  f (1) = Suy phương trình f ' ( x ) = có ba nghiệm x = 1 x = 1 Lại g   = f ' ( )   f ' ( 2)  2 Từ ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) x f ' ( x) −1 − − 0 + + − + f ( x) Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) ta thấy: +) lim y = +  a  x →+ +) Ta có y ' = 4ax3 + 2bx = x ( 2ax + b ) = có nghiệm nên ab   b  +) c = f ( 0)  f (1) = a + b + c  BÀI TẬP TỰ LUYỆN 132 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Câu Cho hàm số đa thức bậc ba f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d có f ( 0)  Hàm số y = f ' ( − x ) có bảng xét dấu sau x − g' ( x) + + − + Hỏi có số dương số a, b, c, d ? A B C D Câu Cho hàm số đa thức bậc ba f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d có f ( −2 )  Hàm số y = f ' ( 3x − 2) có bảng xét dấu sau x Hỏi mệnh đề đúng? g' ( x) A a  0, b  0, c  0, d  B a  0, b  0, c  0, d  C a  0, b  0, c  0, d  D a  0, b  0, c  0, d  −2 − + + − + Câu Cho hàm số đa thức bậc ba f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d có f ( 0)  Hàm số y = f ' ( −2 x − 1) có bảng xét dấu sau Hỏi mệnh đề đúng? A a  0, b  0, c  0, d  x −1 − g' ( x) + + − + B a  0, b  0, c  0, d  C a  0, b  0, c  0, d  D a  0, b  0, c  0, d  Câu Cho hàm số đa thức bậc bốn f ( x ) = ax4 + bx2 + c có f (1)  Hàm số y = f ' (1 − x ) có bảng xét dấu sau Hỏi mệnh đề đúng? A a  0, b  0, c  x g' ( x) − − + + − + B a  0, b  0, c  C a  0, b  0, c  D a  0, b  0, c  133 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO Đề thi THPTQG năm học 2017 – 2018 Đề thi THPTQG năm học 2018 – 2019 Đề thi THPTQG năm học 2019 – 2020 Đề thi THPTQG năm học 2020 – 2021 Các tài liệu mạng internet 134 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ... trung nghiên cứu số dạng toán toán truy ngược hàm, đồng thời đưa lời giải bản, lưu ý nhận xét quan trọng để học sinh phát vấn đề, từ giúp học sinh phát triển tư cho toán TRUY NGƯỢC HÀM IV PHƯƠNG... giống khác toán hay dạng toán, giúp học sinh phát triển tư toán TRUY NGƯỢC HÀM TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Trước dạng toán có trình bày phương pháp giải nhằm giúp học sinh nắm vững... ích giúp em học sinh có hiểu biết mang tính hệ thống Sau dạng sau lời dẫn giúp học sinh hiểu sâu dạng bài, giúp học sinh phân biệt dạng để tránh nhầm lẫn; giúp em hiểu chất toán sau phát triển