THÔNG TIN TÀI LIỆU
ĐỀ 14 ĐỀ THI HỌC KÌ I Mơn: TỐN 12 Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) A PHẦN CHUNG (80%, gồm 40 câu) Câu 1: Tìm khoảng nghịch biến hàm số y = x + 3x + A ( 2; +∞ ) B ( 0; ) C ( −2;0 ) D ( −∞; ) ∪ ( 0; +∞ ) Câu 2: Hình đa diện nào khơng có tâm đối xứng? A Hình bát diện B Hình lập phương C Hình tứ diện D Hình lăng trụ lục giác Câu 3: Cho tam giác ABC có đường cao AI Khi tam giác ABC quay quanh trục là đường thẳng AI góc 3600 cạnh tam giác ABC sinh hình gì? A Hai hình nón B Một hình nón C Một mặt nón D Một hình trụ C x = D x = Câu 4: Giải phương trình log ( + x ) = A x = B x = −2 Câu 5: Tìm giá trị cực tiểu y CT hàm số y = − x + 2x + A y CT = B y CT = C y CT = −2 D y CT = −1 Câu 6: Cho tơn hình chữ nhật quay quanh trục là đường thẳng chứa cạnh tôn góc 3600 ta vật trịn xoay nào đây? A Mặt trụ B Hình trụ C Khối trụ D Khối lăng trụ Câu 7: Tìm tập xác định D hàm số y = ( + x ) A D = ( −1; +∞ ) Câu 8: Phương trình 22x A B D = ( −∞; −1) −3x +1 C D = ( −∞;1) D D = ¡ \ { −1} = có nghiệm? B C D Câu 9: Tính đạo hàm hàm số y = 53x +1 Trang A y ' = 3.53x +1 ln B y ' = 33x +1 C y ' = 3.53x +1 D y ' = 3.53x +1 ln Câu 10: Tính giá trị nhỏ M hàm số y = − x + 3x + đoạn [ 1;3] A M = B M = D M = −6 C M = Câu 11: Đường cong hình bên là đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số là hàm số nào? A y = x − 3x + B y = − x − 3x + C y = x − 2x + D y = x + 3x + Câu 12: Cho đường tròn quay quanh đường thẳng qua tâm đường trịn góc 3600 ta hình gì? A Một mặt cầu B Một khối cầu C Hai mặt cầu Câu 13: Biết đường thẳng y = x − cắt đồ thị hàm số y = D Hai khối cầu 3x + hai điểm phân biệt A, B có x −1 hoành độ là x A , x B , x A < x B Hãy tính tổng 2x A + 3x B A 2x A + 3x B = 10 B 2x A + 3x B = 15 C 2x A + 3x B = D 2x A + 3x B = Câu 14: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = A x = 1; y = B y = 1; x = C x = −1; y = 2x + x +1 D x = 1; y = −2 Câu 15: Hình đa diện bên có mặt? A B 10 C 11 D 12 Câu 16: Tìm giá trị lớn M và nhỏ m hàm số y = sin 2x − cos 2x + A M = 3; m = B M = 2; m = C M = 2; m = − D M = 3; m = − Câu 17: Đường cong hình bên là đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số là hàm số nào? A y = x −2 B y = x C y = x Trang D y = 2x Câu 18: Cho hàm số y = f ( x ) xác định ¡ \ { ±1} , liên tục khoảng xác định và có bảng biến thiên hình bên Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m cho phương trình f ( x ) = m + vô nghiệm x y’ −∞ -1 - +∞ -2 −∞ y A [ −3;0 ) B ( 1; +∞ ) - 0 +∞ + + +∞ -2 −∞ C ( −∞; −3) D ( −2; +∞ ) Câu 19: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng A, biết SA ⊥ ( ABC ) , SA = a, AB = 2a, AC = 3a Tính bán kính r mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A r = 13 a 13 B r = a D r = C r = a 14 14 a Câu 20: Tính diện tích xung quanh Sxq hình trụ có đường cao h = 2a và thể tích V = 8πa A Sxq = 48πa B Sxq = 36πa C Sxq = 8πa D Sxq = 16πa Câu 21: Phương trình 92x +3 = 27 4+ x tương đương với phương trình nào sau đây? A 7x + = B 7x − = C x − = Câu 22: Tìm tất giá trị tham số m cho hàm số y = D x + = log ( x − 2x + 2m ) có tập xác định là R A ( 1; +∞ ) B ( −∞;1) C ( −∞;1] Câu 23: Số tuổi An và Bình là nghiệm phương trình D [ 1; +∞ ) + = Tính − log x + log x tổng số tuổi An và Bình A 36 B 21 C 12 D 23 Câu 24: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a , góc ASB = 600 Tính thể tích khối nón đỉnh S có đáy là đường trịn ngoại tiếp tứ giác ABCD Trang A πa B πa C πa 12 D πa Câu 25: Tính thể tích khối chóp S.MNP biết SM = a , ∆MNP đều, ∆SMN vuông cân S và nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy A 2a 3 B Câu 26: Cho hàm số y = 2a 2a C D 2a 3x − Khẳng định nào sau sai? x +1 A Hàm số khơng có cực trị B Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −1) và ( −1; +∞ ) C Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = −1 và tiệm cận ngang là đường thẳng y=4 4 D Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm ;0 ÷ và cắt trục tung điểm ( 0; −4 ) 3 Câu 27: Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' Gọi M là trung điểm AA' Mặt phẳng ( BCM ) chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành hai khối Tính tỉ số thể tích (số lớn chia số bé) hai khối A B C D Câu 28: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = x ( x − 1) ( x + 1) Hỏi hàm số có điểm cực trị? A B C D Câu 29: Cho a, b là hai số dương khác Đặt log a b = m Tính theo m giá trị biểu thức P = log a b − log A P = b a3 m − 12 2m B P = m2 − m C P = Câu 30: Tìm số đường tiệm cận đồ thị hàm số y = A B m − 12 m D P = 4m − 2m 5x + 11 3x + 2017 C D Câu 31: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ tích a Biết tam giác ABC vuông A, AB = a, AC = 2a Tính độ dài đường cao khối lăng trụ A 3a B 2a C a D a Câu 32: Cho a, b, x, y là số thực dương khác Khẳng định nào sau đúng? Trang A log y x = log a x log a y B log a C log a ( x + y ) = log a x + log a y 1 = x log a x D log x b = log b a.log a x Câu 33: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ và có đồ thị hàm số đường cong hình vẽ bên Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình f ( x ) = m có nghiệm phân biệt A m ∈ ( 0;3) B −3 < m < C Khơng có giá trị nào m D < m < Câu 34: Cho hàm số y = ax + bx + cx + d có đồ thị hình vẽ A a, b, d < 0; c > B a, b, c < 0; d > C a, c, d < 0; b > D a, d > 0; b, c < Câu 35: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = m2x − có tiệm cận mx − qua điểm A ( 1; ) A m = B m = D m = C m = Câu 36: Cho hàm số y = x + 3x + mx + m − Với giá trị nào m hàm số có điểm cực trị nằm phía trục tung A m < B m > D m = C m = Câu 37: Tìm tập nghiệm bất phương trình log x 125x + log 24 x > ( ) ( A S = − 5; −1 ) ( B S = − 5;1 C S = −1; Câu 38: Tìm số nghiệm dương phương trình x A Câu 39: B Tìm tất +x − 4.2 x −x + log 52 x ) ( D S = 1; − 22x + = C giá trị thực ) D tham số m để phương trình log ( 5x − 1) log ( 2.5x ) − = m có nghiệm x ≥ A m ∈ ( −∞; ) B m ∈ ( 2; +∞ ) C m ∈ ( 3; +∞ ) D m ∈ ( −∞;3) Câu 40: Tính tích nghiệm phương trình log x.log x.log x.log16 x = 81 24 Trang A B C D B PHẦN RIÊNG (20%, gồm 10 câu) Phần dành cho học sinh không chuyên Câu 41: Số lượng số loài vi khuẩn sau t (giờ) tính xấp xỉ đẳng thức Q = Q0 e 0,195t , Q0 là số lượng vi khuẩn ban đầu Nếu số lượng vi khuẩn ban đầu là 5000 sau có 100 000 A 24 giờ B 20 giờ C 3,55 giờ Câu 42: Cho số thực a, b, x > và b, x ≠ thỏa mãn log x 2 giá trị biểu thức P = ( 2a + 3ab + b ) ( a + 2b ) A B −2 D 15,36 giờ a + 2b = log x a + log x b Tính a > b C 10 27 D Câu 43: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có AB = 2a; AA ' = a Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' a3 A B 3a 3a C D a Câu 44: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác Thể tích hình lăng trụ là Để diện tích toàn phần hình lăng trụ nhỏ cạnh đáy lăng trụ là bao nhiêu? V A 6V B 2V C 4V D V 2x Câu 45: Hàm số y = ( x − 2x + 1) e nghịch biến khoảng nào sau đây? A ( 0;1) B ( 0; +∞ ) C ( −∞;0 ) D ( −∞; +∞ ) Câu 46: Cho hàm số y = ln x có đồ thị hình Đồ thị hình là hàm số nào ? A y = ln x + B y = ln ( x + 1) C y = ln x D y = ln x Trang Câu 47: Cho mặt cầu tâm O, bán kính R = a Một hình nón có đỉnh là mặt cầu và đáy là đường trịn giao mặt cầu với mặt phẳng vng góc với đường thẳng SO H cho SH = 3a Độ dài đường sinh l hình nón bằng: A l = a B l = a D l = 2a C l = a Câu 48: Người ta đặt vào hình nón hai khối cầu có bán kính là a và 2a cho khối cầu tiếp xúc với mặt xung quanh hình nón, hai khối cầu tiếp xúc với và khối cầu lớn tiếp xúc với đáy hình nón Tính bán kính đáy r hình nón cho A r = 8a B r = 2a C r = 4a D r = 2a Câu 49: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, góc mặt bên với đáy 450 Gọi M, N, P là trung điểm SA, SB, SC Tính thể tích khối tứ diện AMNP A a3 48 B a3 16 C a3 D a3 24 Câu 50: Cắt khối trụ mặt phẳng qua trục nó, ta thiết diện là hình vng có cạnh 3a Tính diện tích toàn phần khối trụ A a 2π B 27 πa 2 C a π D 13πa Phần dành cho học sinh chuyên Câu 41: Cho hai số thực dương a, b khác Biết đường thẳng nào song song với trục hoành mà cắt đường y = a x , y = b x và trục tung M, N, A 2AN = 5AM (hình vẽ bên) Hỏi khẳng định nào sau đúng? A a b2 = B 25a C 2a + 5b = D a b5 = x + 3mx + 3mx +10 Câu 42: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = ÷ π nghịch biến khoảng ( 0; +∞ ) A [ 0; +∞ ) B ( 0;1) C ( 0; +∞ ) D [ 0;1] Câu 43: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) Biết đồ thị hàm số y = f ' ( x ) là hình bên Đặt g ( x ) = f ( x ) − x Mệnh đề nào sau đúng? Trang A g ( ) < g ( −1) < g ( 1) B g ( −1) < g ( 1) < g ( ) C g ( −1) < g ( 1) < g ( ) D g ( 1) < g ( −1) < g ( ) Câu 44: Ông A vay ngân hàng 300 triệu đồng để mua nhà theo phương thức trả góp với lãi suất 0,5% tháng Nếu cuối tháng, tháng thứ ông hoàn nợ cho ngân hàng 4.500.000 đồng và chịu lãi số tiền chưa trả Hỏi sau tháng ông A trả hết số tiền vay? A 80 tháng B 82 tháng C 81 tháng D 83 tháng Câu 45: Từ tơn hình chữ có chiều dài và rộng là 60cm, 40cm Người ta cắt hình vng cạnh x ( cm ) gấp tơn cịn lại để hộp có nắp hình vẽ Tìm x để hộp nhận tích lớn A 20 ( cm ) B 10 ( cm ) C ( cm ) D ( cm ) − ab Câu 46: Xét số thực a, b thỏa mãn log ÷ = 3ab + a + 2b − Tìm giá trị nhỏ a + 2b biểu thức P = a + b 11 − 19 Câu 47: Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng y = −mx cắt đồ thị hàm số A 11 + 19 B 11 − 3 C 18 11 − 29 21 D y = x − 3x − m + ba điểm A, B, C phân biệt cho AB = BC A m ∈ ( −∞;3) B m ∈ ( −∞; −1) C m ∈ ( −∞; +∞ ) D m ∈ ( 1; +∞ ) Câu 48: Đồ thị hàm số y = x + 3x − 9x + có hai điểm cực trị A, B Điểm nào thuộc đường thẳng AB A Q ( −3;3) B N ( 3; −3) C P ( 1; −4 ) D M ( −2;1) Trang Câu 49: Cho khối tứ diện tích V Gọi V’ là thể tích khối đa diện có đỉnh là trung điểm cạnh khối tứ diện Tính tỉ số A V' = V B V' = V C V' V V' = V D V' = V Câu 50: Cho tứ diện ABC có cạnh 3a Hình nón ( N ) có đỉnh A và đường trịn đáy là đường trịn ngoại tiếp tam giác BCD Tính diện tích xung quanh hình nón ( N ) A 6πa B 3πa C 12πa D 3πa Đáp án Phần riêng Không chuyên Chuyên 41-D 41-D 42-D 42-A 43-B 43-C 44-C 44-B 45-A 45-A 46-D 46-A 47-B 47-A 48-B 48-C 49-A 49-C 50-B 50-B Phần chung 1- C 2- C 3- B 4- D 5- A 6-C 7-A 8-B 9-D 10-B 11-A 12-A 13-B 14-C 15-C 16-C 17-A 18-A 19-D 20-C 21-C 22-A 23-A 24-B 25-B 26-C 27-D 28-D 29-B 30-C 31-D 32-A 33-D 34-D 35-B 36-A 37-D 38-B 39-C 40-A LỜI GIẢI CHI TIẾT A PHẦN CHUNG (80%, gồm 40 câu) Câu 1: Đáp án C Phương pháp: Xác định khoảng mà y ' ≤ , dấu “=” xảy hữu hạn điểm Cách giải: y = x + 3x + ⇒ y ' = 3x + 6x x = y' = ⇔ x = −2 Bảng xét dấu y’: −∞ x -2 y’ + Hàm số nghịch biến khoảng ( −2;0 ) - 0 +∞ + Trang Câu 2: Đáp án C Phương pháp: Dựa vào khái niệm tâm đối xứng khối đa diện Cách giải: Hình tứ diện khơng có tâm đối xứng Câu 3: Đáp án B Phương pháp: Dựa vào khái niệm khối nón Cách giải: Khi tam giác ABC quay quanh trục là đường thẳng AI góc 3600 cạnh tam giác ABC sinh hình nón Câu 4: Đáp án D b Phương pháp: log a x = b ⇔ x = a ( < a ≠ 1; x > ) Cách giải: log ( + x ) = ⇔ + x = ⇔ x = Câu 5: Đáp án A Phương pháp: +) Tính y’ và giải phương trình y ' = +) Lập bảng xét dấu y’ và rút kết luận +) Điểm x = x gọi là điểm cực tiểu hàm số và qua điểm y’ đổi dấu từ âm sang dương x = Cách giải: y = − x + 2x + ⇒ y ' = −4x + 4x = ⇔ x = ±1 Bảng xét dấu y’: −∞ x -1 y’ + 0 + Hàm số đạt cực tiểu x = , giá trị cực tiểu y CT = y ( ) = +∞ - Câu 6: Đáp án C Phương pháp: Dựa vào khái niệm khối trụ Cách giải: Cho tơn hình chữ nhật quay quanh trục là đường thẳng chứa cạnh tơn góc 360 ta khối trụ Câu 7: Đáp án A Trang 10 x > x > ĐKXĐ: log x ≠ ⇔ x ≠ log ≠ −1 x ≠ Đặt log x = t ( t ≠ 5, t ≠ −1) Khi đó, phương trình + = trở thành: − log x + log x t = 2 + = ⇔ + t + 10 − 2t = + 5t − t − t ⇔ t − 5t + = ⇔ ( tm ) − t 1+ t t = t = ⇒ log x = ⇔ x = t = ⇒ log x = ⇔ x = 27 Tổng số tuổi An và Bình là: + 27 = 36 (tuổi) Câu 24: Đáp án B Phương pháp: Vnón = πR h Cách giải: S.ABCD là chóp tứ giác ⇒ ABCD là hình vng BD = AB = a = a ⇒ r = OB = BD a = 2 Tam giác SAB có: SA = AB, ASB = 600 ⇒ ∆ASB ⇒ SA = SB = a ⇒ SB = SD = AD = AB = a ⇒ ∆SBD = ABD ( c.c.c ) ⇒ SO = OA = OB = OD = a Thể tích khối nón đỉnh S có đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD: 1 a πa V = πR h = π.OA SO = π ÷ = 3 ÷ Câu 25: Đáp án B Phương pháp: +) Gọi I là trung điểm MN ⇒ SI ⊥ ( MNP ) +) Tính diện tích tam giác MNP +) VS.MNP = SI.SMNP Cách giải: Trang 15 ∆SMN vuông cân S và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, gọi I là trung điểm MN ⇒ SI ⊥ ( ABC ) và SI = MN = 2SI = 2.a SM a = 2 =a ∆MNP ⇒ S MNP ( ) a 3 3a MN = = = 4 1 3a 3a 2a = Thể tích khối chóp S.MNP là: V = SMNP SI = 3 Câu 26: Đáp án C Phương pháp: Dựa vào đường tiệm cận đồ thị hàm số và tính đơn điệu đồ thị hàm số Cách giải: Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = −1 và tiệm cận ngang là đường thẳng y = là khẳng định sai (do Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = −1 và tiệm cận ngang là đường thẳng y = ) Câu 27: Đáp án D Phương pháp: Lập tỉ lệ thể tích hai khối với thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' Cách giải: Đặt VABC.A 'B'C' = V Khi đó: ⇒ VMBC.A 'B'C' = V − VM.ABC 1 V = = ⇒ VM.ABC = V 6 V V 5V = ⇒ MBC.A 'B'C ' 6 VM.ABC 5V = =5 V Câu 28: Đáp án D Phương pháp: Xác định số điểm mà f ' ( x ) đổi dấu Cách giải: Trang 16 x = f ' ( x ) = x ( x − 1) ( x + 1) ⇔ x = ⇐ f ' ( x ) đổi dấu điểm x = 1, x = −1 Do đó, hàm số có x = −1 điểm cực trị Câu 29: Đáp án B c Phương pháp: log a c b = log a b; log a b = c log a b c Cách giải: 6 m2 − P = log a b − log b a = log a b − log b a = log a b − log b a = log a b − =m− = log a b m m Câu 30: Đáp án C Phương pháp: * Định nghĩa tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = f ( x ) f ( x ) = a lim f ( x ) = a ⇒ y = a là TCN đồ thị hàm số Nếu xlim →+∞ x →−∞ * Định nghĩa tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = f ( x ) f ( x ) = −∞ lim− f ( x ) = +∞ lim− f ( x ) = −∞ x = a là TCĐ đồ thị hàm Nếu xlim →a + x →a x →a số Cách giải: TXĐ: D = R lim x →+∞ 5x + 11 3x + 2017 = lim Đồ thị hàm số y = x →+∞ 11 11 5+ 5x + 11 x x = ; lim = lim =− x →−∞ x →−∞ 2017 2017 3x + 2017 3+ − 3+ x x 5+ 5x + 3x + 2017 có đường tiệm cận là y = 5 , y=− 3 Câu 31: Đáp án D Phương pháp: Thể tích khối lăng trụ: V = Sđáy h Cách giải: Diện tích đáy: SABC = 1 AB.AC = a.2a = a 2 2 Thể tích khối lăng trụ: V = SABC h = a h = a ⇒ h = a Câu 32: Đáp án A Trang 17 Phương pháp: Dựa vào công thức liên quan đến logarit Cách giải: Khẳng định là: log y x = log a x , với a,b, x, y là số thực dương khác log a y Câu 33: Đáp án D Phương pháp: Số nghiệm phương trình f ( x ) = m số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thẳng y = m Cách giải: Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ta có đồ thị hàm số y = f ( x ) hình bên: Số nghiệm phương trình f ( x ) = m số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thẳng y = m ⇒ Để phương trình f ( x ) = m có nghiệm phân biệt < m < Câu 34: Đáp án D Phương pháp: Nhận dạng hàm số bậc ba Cách giải: Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy: x → +∞ y → +∞ nê a > ⇒ Loại đáp án A, B, C Chọn D Câu 35: Đáp án B Phương pháp: Xác định trường hợp m, trường hợp, tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số và cho đường tiệm cận qua điểm A ( 1; ) Cách giải: +) Với m = ⇒ y = : Đồ thị hàm số tiệm cận m = ⇔ m = y = : Đồ thị hàm số khơng có tiệm +) Với m ≠ 0, m ( −1) − ( −4 ) m = ⇔ m = cận +) Với m ≠ 0, m ≠ ⇒ y = m2 x − có tiệm cận đứng x = , tiệm cận ngang y = m m mx − Trang 18 Giả sử x = 1 qua A ( 1; ) ⇒ = ⇔ m = m m Giả sử y = m qua A ( 1; ) ⇒ m = (loại) Kết luận: m = Câu 36: Đáp án A Câu 36: Phương pháp: Hàm số bậc ba có điểm cực trị nằm phía trục tung và phương trình y ' = có hai nghiệm trái dấu Cách giải: y = x + 3x + mx + m − ⇒ y ' = 3x + 6x + m Hàm số bậc ba có điểm cực trị nằm phía trục tung và phương trình y ' = có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac = ⇔ 3.m < ⇔ m < Câu 37: Đáp án D Phương pháp: +) Tìm TXĐ +) Đưa phương trình ẩn log x Cách giải: ĐKXĐ: x > 0, x ≠ log x ( 125x ) log 25 x > + log 52 x ⇔ log x 125 + 1.log 25 x > + log 52 x ⇔ 3log x + log x > + log 52 x 2 ⇔ + 1÷log x > + log 52 x log x ⇔ + log x > + log 52 x ⇔ log 52 x − log5 x < ⇔ < log x < ⇔1< x < ( Vậy, bất phương trình có tập nghiệm S = 1; ) Câu 38: Đáp án B Trang 19 Phương pháp: Nhóm nhân tử chung, đưa phương trình mũ để giải Cách giải: 2x +x ⇔ 2x − 4.2 x −x (2 −x 2x − 22x + = − ) − 22x − = ( ⇔ ( 22x − ) 2x −x ) −1 = 22x − = 2x = ⇔ ⇔ x −x x −x −1 = =1 2x = x = ⇔ ⇔ x = x − x = Số nghiệm dương phương trình cho là Câu 39: Đáp án C Phương pháp: x Biến đổi, đặt log ( − 1) = t, t ≥ Cách giải: log ( 5x − 1) log ( 2.5x ) − = m ⇔ log ( 5x − 1) log 22 ( 2.5x ) − = m ⇔ log ( 5x − 1) + log ( 5x − 1) = m ⇔ log 22 ( 5x − 1) + log ( 5x − 1) − 2m = x 2 Đặt log ( − 1) = t, t ≥ , phương trình trở thành: t + t = 2m = 0, t ≥ ⇔ t + t = 2m, t ≥ ( *) Xét hàm số f ( t ) = t + t, t ≥ có: f ' ( t ) = 2t + > 0, ∀t ≥ ⇒ Hàm số đồng biến khoảng [ 2; +∞ ) x f '( t ) +∞ f ( t) + +∞ Để phương trình (*) có nghiệm 2m ≥ ⇔ m ≥ Câu 40: Đáp án A Phương pháp: log a c = log a b ( < a ≠ 1; b > ) c Trang 20 Cách giải: log x.log x.log8 x.log16 x = 81 1 81 81 ⇔ log x log x log x log x = ⇔ log x = 24 24 24 24 x = log x = ⇔ log x = 81 ⇔ ⇔ x = log x = − Tích hai nghiệm là: = B PHẦN RIÊNG (20%, gồm 10 câu) Phần dành cho học sinh không chuyên Câu 41: Đáp án D Phương pháp: Giải phương trình mũ Cách giải: Q = Q0 e 0,195t ⇒ 100 000 = 5000.e0,195t ⇔ 0,195t = ln 20 ⇔ t = ln 20 ≈ 15,36 (giờ) 0,195 Câu 42: Đáp án D Phương pháp: log a f ( x ) = log a g ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x ) ( < a ≠ 1; f ( x ) > 0; g ( x ) > ) Tính tỉ số a b Cách giải: log x ⇔ log x ⇔ a + 2b = log x a + log x b a + 2b = log x ab a + 2b a a = ab ⇔ a + 2b = ab ⇔ − +2=0 b b ⇔ a =1 b a b =1 ⇔ a a = =2 b b Do a > b > nên a =4 b Trang 21 P = ( 2a + 3ab + b ) ( a + 2b ) P= −2 a a ÷ + + 2 2 2a + 3ab + b 2a + 3ab + b b b = = = 2 2 a + 4ab + 4b a ( a + 2b ) a ÷ + + b b 2.42 + 3.4 + 45 = = 42 + 4.4 + 36 Câu 43: Đáp án B Phương pháp: VABC.A 'B'C' = AA '.SABC Cách giải: 2a ABC.A'B'C' là lăng trụ ⇒ ∆ABC ⇒ SABC = AB = ( ) = 3a 4 Thể tích ABC.A'B'C': V = SABC AA ' = 3a a = 3a Câu 44: Đáp án C Phương pháp: Thể tích hình lăng trụ V = Sh Diện tích toàn phần lăng trụ: Stp = Sxq + 2.Sđáy Cách giải: Giả sử hình lăng trụ có đáy là tam giác cạnh a, có chiều cao h Diện tích đáy: S = Thể tích V = a2 a2 4V h ⇒ h = 3a Diện tích toàn phần: Stp = 3a.h + = a2 4V a = 3a + 3a 3V a 3V 3V a 3V 3V a + = + + ≥3 a a a a a = 3 2V Dấu “=” xảy và 3V a = ⇒ a = 4V ⇔ a = 4V a Câu 45: Đáp án A Phương pháp: Phương pháp xét đồng biến, nghịch biến hàm số: Trang 22 - Bước 1: Tìm tập xác định, tính f ' ( x ) - Bước 2: Tìm điểm f ' ( x ) = f ' ( x ) không xác định - Bước 3: Sắp xếp điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên - Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Cách giải: y = ( x − 2x + 1) e 2x ⇒ y ' = ( 2x − ) e 2x + ( x − 2x + 1) 2e 2x = ( x − x ) e 2x x = y' = ⇔ x = Bảng xét dấu y’: −∞ x y’ + 0 2x Hàm số y = ( x − 2x + 1) e nghịch biến khoảng ( 0;1) +∞ + Câu 46: Đáp án D Phương pháp: Dựa vào cách vẽ đồ thị hàm số hàm có chứa trị tuyệt đối Cách giải: Đồ thị hình là hàm số y = ln x dựng từ đồ thị Hình 1, cách: giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trục hoành, lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía trục hoành qua trục hoành Câu 47: Đáp án B Phương pháp: l = h + r Cách giải: SH = 3a 3a a > r ⇒ OH = SH − r = − a = 2 2 a a ∆AOH vuông H ⇒ AH = OA − OH = a − ÷ = 2 2 3a a ∆SAH vuông H ⇒ SA = SH + AH = ÷ + ÷ =a ÷ 2 ⇒l=a Câu 48: Đáp án B Cách giải: Trang 23 Ta có: O1E ⊥ SB, O E ⊥ SB ⇒ O1E / /O E Mà O1E = O E ⇒ O1E là đường trung bình tam giác SO2 F ⇒ SO1 = O1O = a + 2a = 3a ∆SEO1 vuông E ⇒ SE = SO12 − O1E = ( 3a ) − a = 2a Đoạn SH = SO1 + O1O + O2 H = 3a + 3a + 2a = 8a ∆SEO1 đồng dạng ∆SHB ⇒ SE = O1E ⇔ 2a = a ⇒ HB = 2a SH HB 8a HB Câu 49: Đáp án A Phương pháp: - Lập tỉ lệ thể tích khối tứ diện AMNP với khối chóp S.ABCD - Tính thể tích khối chóp S.ABCD - Tính thể tích khối tứ diện AMNP Cách giải: 1 M là trung điểm SA ⇒ SAMP = SSAP ⇒ VAMNP = VN.SMP 2 N là trung điểm SB ⇒ VN.SMP = VS.ABP 1 P là trung điểm CD ⇒ SABP = SABCD ⇒ VS.ABP = VS.ABCD 2 ⇒ VAMNP V 1 = ÷ VS.ABCD = S.ABCD 2 OP ⊥ CD ⇒ CD ⊥ ( SOP ) ⇒ ( ( SCD ) ; ( ABCD ) ) = SPO = 450 ⇒ ∆SOP vng cân O Ta có: SO ⊥ CD ⇒ SO = OP = a 1 a a3 Thể tích khối chóp S.ABCD: VS.ABCD = SO.SABCD = a = 3 Trang 24 ⇒ VAMNP = VS.ABCD a = 48 Câu 50: Đáp án B Phương pháp: Diện tích xung quanh khối trụ Sxq = 2πrh Diện tích toàn phần khối trụ: Stp = Sxq + S2 đáy Cách giải: Khối trụ có đường cao h = 3a , bán kính đáy r = Diện tích xung quanh khối trụ Sxq = 2π.3a 3a 3a = 9πa 2 Diện tích toàn phần khối trụ: Stp = Sxq + S2đáy 27 3a = 9πa + 2π ÷ = 9πa + πa = πa 2 2 2 Phần dành cho học sinh chuyên Câu 41: Đáp án D Phương pháp: ( ( ) x x +) Gọi M x M ;a M ; N x N ;a N ) +) Từ 2AN = 5BM ⇒ mối liên hệ x M ; x N từ suy mối liên hệ a và b Cách giải: Theo đề bài: 2AN = 5AM ⇔ x N = x M ⇔ 2x N = −5x M (do M, N nằm khác phía so với trục Oy) −5 xM ⇔ xN = Tung độ điểm M, N a xM =b xN ⇔a xM =b −5 xM xM −25 = b ÷ Do M tùy ý nên a = b − ⇔ ab = ⇔ a b5 = Câu 42: Đáp án Phương pháp: Hàm số y = f ( x ) đồng biến ( 0; +∞ ) ⇒ f ' ( x ) ≥ ∀x ∈ ( 0; +∞ ) Cách giải: x + 3mx + 3mx +10 2 y= ÷ π Trang 25 x + 3mx + 3mx +10 2 ⇒ y ' = ( 3x + 6mx + 3m ) ln ÷ π π x + 3mx + 3mx +10 2 = 3ln ( x + 2mx + m ) ÷ π π x + 3mx + 3mx +10 Hàm số y = ÷ π nghịch biến khoảng ( 0; +∞ ) ⇔ y ' ≤ 0, x ∈ ( 0; +∞ ) x + 3mx + 3mx +10 2 Mà ln < 0, ÷ π π ∆ ' ≤ > 0, ∀x ⇒ x + 2mx + m ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) ⇔ ∆ ' > x1 < x ≤ 0 ≤ m ≤ m − m ≤ 0 ≤ m ≤ ∆ ' ≤ m > m < m > 0 ≤ m ≤ ∆ ' > m − m > ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔m≥0 m < m > m > S < −2m < m ≥ P > m ≥ m > Kết luận: m ∈ [ 0; +∞ ) Câu 43: Đáp án C Phương pháp: +) Tính g ' ( x ) theo f ' ( x ) +) Xác định dấu g ( x ) [ −1; 2] và kết luận Cách giải: g ( x ) = f ( x ) − x ⇒ g ' ( x ) = f ' ( x − 1) Với x ∈ [ −1; 2] f ' ( x ) ≤ dấu “=” xảy ba điểm x = −1, x = 1, x = Khi đó: g ' ( x ) ≤ 0, ∀x [ −1; ] Hàm số y = g( x) nghịch biến khoảng [ −1; 2] ⇒ g ( −1) > g ( 1) > g ( ) Câu 44: Đáp án B Phương pháp: N ( 1+ r) r n Bài toán lãi suất trả góp: A = (1+ r) n −1 Trong đó: N: số tiền vay Trang 26 r: lãi suất A: số tiền phải trả hàng tháng để sau n tháng là hết nợ Cách giải: N ( 1+ r) r n A= (1+ r) n −1 300 + ( + 0,5% ) 0,5% n ⇔ 4,5 = ( + 0,5% ) ⇔ 300 ( + 0,5% ) = 450 ⇔ n = log1,005 n n −1 ⇔ 450 ( + 0,5% ) − 450 = 150 ( + 0,5% ) n n ≈ 81,3 Vậy, sau 82 tháng, ông An trả hết số tiền vay Câu 45: Đáp án A Phương pháp: Lập hàm số tính thể tích khối hộp theo biến x, khảo sát tìm x để hộp nhận tích lớn Cách giải: Sau cắt, độ dài chiều đáy là: 40 − 2x, Thể tích khối hộp: V = x ( 40 − 2x ) 60 − 3x ( cm ) , x ∈ ( 0; 20 ) 60 − 3x = 3x ( 20 − x ) = f ( x ) f ' ( x ) = ( 20 − x ) − 3x.2 ( 20 − x ) = = ( 20 − x ) ( 20 − 3x ) x = 20 ( L ) f '( x ) = ⇔ x = 20 Bảng biến thiên: x f '( x ) + f ( x) 20 Vậy x = hộp nhận tích lớn 20 20 - f max Câu 46: Đáp án B Phương pháp: Sử dụng tính đơn điệu hàm số để đánh giá nghiệm phương trình Cách giải: Trang 27 − ab log ÷ = 3ab + a + 2b − ⇔ log3 ( − ab ) − log ( a + 2b ) = 3ab + a + 2b − a + 2b ⇔ log 3 ( − ab ) + ( − ab ) = log ( a + 2b + a + 2b ) ( *) Xét f ( t ) = log t + t, t > có f ' ( t ) = + > 0, ∀t > ⇒ Hàm số đồng biến khoảng t.ln ( 0; +∞ ) Phương trình ( *) ⇔ f ( ( − ab ) ) = f ( a + 2b ) ⇔ − 2ab = a + 2b P = a + b ⇒ a = P − b ⇒ − ( P − b ) b = P − b + 2b ⇔ ( 3b − b ) ( 3P + + − P ) = Để phương trình có nghiệm ∆ ≥ ⇔ ( 3P + 1) − 4.3 ( − P ) ≥ ⇔ 9P + 18P − 35 ≥ −3 + 11 P ≥ ⇔ −3 − 11 P ≤ Do P = a + b ⇒ P > ⇒ P ≥ Vậy Pmin = −3 + 11 −3 + 11 Câu 47: Đáp án A Phương pháp: +) Giải phương trình hoành độ giao điểm hai hàm số, tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm phân biệt +) Sử dụng định lí Vi-et Cách giải: Phương trình hoành độ giao điểm y = −mx và y = x − 3x − m + x − 3x − m + = − mx ⇔ x − 3x + mx − m + = x = ⇔ ( x − 1) ( x − 2x + m − ) = ⇔ x − 2x + m − = ( ) Để đường thẳng y = −mx cắt đồ thị hàm số y = x − 3x − m + ba điểm A,B,C phân biệt (2) có nghiệm phân biệt và khác ∆ ' > 1 − m + > ⇔ ⇔ ⇔m
Ngày đăng: 22/05/2021, 10:11
Xem thêm: