Một số vấn đề cơ sở trong phép tính biến phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG VŨ THANH TÙNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ SỞ TRONG PHÉP TÍNH BIẾN PHÂN Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60 46 0113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN DUY THÁI SƠN Đà Nẵng, Năm 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn hoàn toàn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận văn Vũ Thanh Tùng MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cấu trúc luận văn CHƯƠNG 1: BIẾN PHÂN 1.1 BIẾN PHÂN THỨ NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH EULER- LAGRANGE 1.2 BIẾN PHÂN THỨ HAI 1.3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE 10 1.3.1 Các phương trình Euler-Lagrange 10 1.3.2.Các Lagrangian không 12 1.3.3 Ứng dụng 15 CHƯƠNG 2: CỰC TIỂU HÓA PHIẾM HÀM NĂNG LƯỢNG TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM 18 2.1 ĐIỀU KIỆN CƯỠNG BỨC, TÍNH NỮA LIÊN TỤC DƯỚI 18 2.1.1 Điều kiện cưỡng 18 2.1.2 Nữa liên tục 19 2.2.TÍNH LỒI 21 2.3 NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH EULER-LAGRANGE 27 2.4 TRƯỜNG HỢP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 31 2.4.1 Tính lồi 31 2.4.2 Tính đa lồi 33 2.5 TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM 37 2.5.1 Những ước lượng đạo hàm cấp hai 38 2.5.2 Những nhận xét quy tắc cao 42 CHƯƠNG 3: MỘT SỐ CHỦ ĐỀ LIÊN QUAN 45 3.1 BÀI TỐN GIÁ TRỊ RIÊNG PHI TUYẾN TÍNH 45 3.2 RÀNG BUỘC MỘT BÊN, BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN 49 3.3 ĐỊNH LÝ QUA NÚI 54 3.3.1 Các điểm tới hạn, biến dạng 54 3.3.2 Định lý qua núi 59 3.3.3 Ứng dụng phương trình elliptic nửa tuyến tính 61 KẾT LUẬN 68 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 69 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (bản sao) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Chúng ta biết: khơng có lý thuyết tổng quát cho phép giải phương trình đạo hàm riêng; với phương trình phi tuyến A[u] = 0; (1) đó, A[×] ký hiệu tốn tử đạo hàm riêng (nói chung phi tuyến) cho, u ký hiệu ẩn hàm Tuy nhiên, nhiều trường hợp (chẳng hạn, với phương trình Hamilton – Jacobi luật bảo tồn), tốn tử phi tuyến A[×] biểu diễn kiểu “đạo hàm” phiếm hàm “năng lượng” I [×] thích hợp, (1) trở thành I '[u] = Lúc này, thay giải phương trình (1) cách trực tiếp – việc khó, người ta quan tâm đến việc tìm “điểm tới hạn” phiếm hàm I [×] - việc dường dễ hơn, nhờ vào cơng cụ giải tích hàm phi tuyến: phép tính biến phân Rất nhiều tốn – thực tế – đưa toán “cực trị phiếm hàm” Có thể nói: Phép tính biến phân sử dụng rộng rãi lĩnh vực khác toán học, học kỹ thuật Vì lý đó, hướng dẫn thầy Nguyễn Duy Thái Sơn, chọn “Một số vấn đề sở phép tính biến phân” làm đề tài nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ khoa học 2 Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Chúng tơi mong muốn tìm kiếm nhiều tài liệu từ nguồn khác nhau, nghiên cứu kỹ tài liệu đó, cố gắng lĩnh hội đầy đủ kiến thức cũ phép tính biến phân để trình bày lại kiến thức sở – theo cách hiểu – luận văn với chứng minh chi tiết ví dụ minh họa Hy vọng luận văn sử dụng tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên trường cao đẳng, đại học Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu: phép tính biến phân 3.2 Phạm vi nghiên cứu: khái niệm, định lý sở số toán liên quan Phương pháp nghiên cứu Cơ sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách, báo tài liệu internet có liên quan đến đề tài luận văn) để thu thập thông tin nhằm hệ thống lại vấn đề lý thuyết cách logic, chi tiết hóa chứng minh tìm hiểu tốn, ví dụ minh họa Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Mong muốn đề tài tài liệu bổ ích cho sinh viên ngành tốn việc tiếp cận với số vấn đề sở phép tính biến phân Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo chương Chương giới thiệu biến phân thứ nhất, phương trình Euler-Lagrange, biến phân thứ hai hệ phương trình Euler-Lagrange Chương trình bày điều kiện cưỡng bức, tính nửa liên tục dưới, tính lồi, nghiệm yếu phương trình Euler-Lagrange, trường hợp hệ phương trình tính quy nghiệm Chương trình bày tốn giá trị riêng phi tuyến, ràng buộc bên, bất đẳng thức biến phân, định lý qua núi ứng dụng phương trình elliptic nửa tuyến tính CHƯƠNG BIẾN PHÂN 1.1 BIẾN PHÂN THỨ NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH EULER- LAGRANGE Giả sử U ⊂ℝ tập mở, bị chặn với biên trơn, tập compact cho trước hàm trơn Ta gọi Kí hiệu ∶ℝ ×ℝ× = ( , , )= Ta viết →ℝ ( ,…, , , ,…, ) với ∈ Như " " biến sốdưới chỗ biến chỗ ( ) Ta đặt =( = = ,…, ∈ ℝ , ∈ ℝ, ( ), ) ,…, Kí hiệu làm cho phần lí thuyết sau dễ hiểu Bây để xác hố ý tưởng nói lời mở đầu, ta giả sử phiếm hàm [∙]có dạng (1) với hàm trơn (2) ∶ [ ]≔ ( → ℝ thỏa mãn điều kiện biên = Giả sử thêm hàm trơn thiết: = hàm ( ), ( ), ) , thỏa mãn điều kiện biên cần , điểm đạt cực tiểu phiếm hàm [∙] số tất thỏa mãn (2) Khi đó, ta chứng minh nghiệm phương trình đạo hàm riêng tự động Để khẳng định điều này, trước tiên ta chọn tuỳ ý hàm trơn xét hàm giá trị thực ( )≔ [ + (3) điểm cực tiểu phiếm hàm [∙] Vì (4) ] ( ∈ ℝ) , dễ dàng ta thấy (∙) có cực tiểu (0) = + = Do ( ) ∈ = = Đạo hàm gọi biến phân thứ ta tính tốn cách tường minh cách viết (5) ( )= Do ( )= Cho ( + = 0, từ (4) suy ( , ) , + = (0) = Cuối cùng, + ( , , ) , ) , + ( + + + ( , ) , + , , ) có tính compact nên ta lấy tích phân phần thu = (0) = − ( ( , , )) + ( , , ) Vì đẳng thức với hàm thử , ta kết luận phương trình đạo hàm riêng phi tuyến (6) − ( ( , , )) + ( , , ) = nghiệm Đây phương trình Euler-Lagrange liên quan với phiếm hàm lượng [∙] định nghĩa (1) Nhận thấy (6) phương trình đạo hàm riêng cấp hai tựa tuyến tính dạng phân tán Tóm lại, cực tiểu trơn phiếm hàm [∙] nghiệm phương trình đạo hàm riêng Euler-Lagrange (6) đảo lại ta tìm nghiệm (6) cách tìm cực tiểu (1) Ví dụ 1(Ngun lý Dirichlet) Cho Khi = ( , , )= | | ( = 1, … , ), Lagrange liên kết với phiếm hàm [ ]≔ = 0; phương trình Euler| | ∆ = Đây nội dung nguyên lý Dirichlet Ví dụ (Nguyên lý Dirichlet suy rộng) Xét Trong 1, … , ), hàm = ( , )= , ( ) ( , = 1, … , ) Khi − ( ), =∑ ( ) ( = = − ( ) Do phương trình Euler- Lagrange liên kết với phiếm 55 ∶ → ( ; ℝ) ∈ Ta nói liên tục [ ] tồn với ∈ , ánh xạ Nhận xét Ta trình bày lý thuyết bên chứng minh ta giả thiết thêm ∶ (2) → Kí hiệu (i) ( ; ℝ), để liên tục Lipschitz tập bị chặn kí hiệu tập hàm ∈ ∈ ℝ ta viết (ii) Nếu ∈ ( ; ℝ) thỏa mãn (2) ≔ { ∈ ⎸ [ ] ≤ }, ≔ { ∈ ⎸ [ ] = , [ ] = 0} Các định nghĩa (i) Nếu [ ] = ta nói ≠ ∅ ta nói (ii) Nếu ∈ giá trị tới hạn Bây ta muốn chứng tỏ thể biến đổi tập vào tập điểm tới hạn với không mức tới hạn ta có > Ý tưởng để giải phương trình vi phân thường thích hợp kiện compact Ta cần vài điều có số chiều vơ hạn Định nghĩa Một phiếm hàm ∈ dãy { } (i) { [ ]} (ii) [ ]→0 ⊂ ( ; ℝ) thỏa mãn điều kiện compact Palais-Smale cho bị chặn , 56 compact trước Định lý (Định lý biến dạng) Giả sử ∈ thỏa mãn điều kiện compact Palais-Smale Khi với =∅ > đủ nhỏ tồn số < ∈ ([0,1] × ; ) cho ánh xạ ( ) = ( , ) (0 ≤ ≤ 1, thỏa mãn (i) (ii) ( )= ( ∈ ( )= ), ( ∉ ( Chứng minh (4) )⊂ ∈ hàm ) [ − , + ]), (iii) [ ( )] ≤ [ ] ( ∈ (iv) < , ≤ ≤ 1), Đầu tiên ta chứng minh tồn số < , < cho ‖ [ ]‖ ≥ với ∈ − Chứng minh phản chứng Giả sử (4) sai với , > tồn dãy (5) với (6) → 0, → phần tử ∈ ‖ [ − ]‖ ≤ 57 Theo điều kiện Palais-Smale, có dãy ∈ với → (7) ≔{ ∈ ≠ ∅, mâu thuẫn với giả thiết (3) thỏa 0< Ta viết ≔{ ∈ ( ; ℝ) nên từ (5) (6) Nhưng ∈ ta có [ ] = , [ ] = Vì Chọn phần tử ⎸ [ ]≤ − < , 0< < [ ] ≥ + }, ≤ [ ] ≤ + } ⎸ − Vì ′ bị chặn tập bị chặn nên ta kiểm tra ánh xạ ↦ dist( , ) + dist( , ) bị chặn số dương tập bị chặn Vì vậy, hàm thỏa mãn (8) Đặt ( )≔ 0≤ dist( , ) ( ∈ dist( , ) + dist( , ) ≤ 1, = , ℎ( ) ≔ (9) Cuối cùng, ta xác định ánh xạ (10) Nhận xét 1, 1⁄ , ∶ → = 0≤ ≤1 ≥1 ( ) ≔ − ( )ℎ(‖ [ ]‖) [ ]( ∈ bị chặn Bây với ∈ ) ) ta xét phương trình vi phân thường 58 ( ) = ( ( )) (11) Vì (0) = ( > 0) liên tục Lipschitz bị chặn tập bị chặn nên có ≥ Ta viết nghiệm nhất, tồn ( ) ( ≥ 0, trí ban đầu ∈ ∈ = ( , )= ) để diễn đạt phụ thuộc nghiệm với t vị Hạn chế ta ≤ ≤ 1, ta thấy ánh xạ ([0,1] × ; ) , định nghĩa khẳng định (i) (ii) thỏa mãn ∈ Bây ta tính [ ( )] = (12) = =− Đặc biệt [ ( )], ( ) [ ( )], ( ) ( ) ℎ(‖ [ ( )]‖)‖ [ ( )]‖ [ ( )] ≤ ( ∈ khẳng định (iii) , ≤ ≤ 1), Chọn điểm ∈ (13) Ta muốn chứng minh ( )∈ (14) cách kiểm tra khẳng định (iv) Nếu ( )∉ với ≤ ≤ ta thực hiện; cho thay ( )∈ (0 ≤ ≤ 1).Khi ( ( )) = (0 ≤ ≤ 1) Vì kết tính tốn (12) thu 59 (15) [ ( )] = −ℎ(‖ [ ( )]‖)‖ [ ( )]‖ Mà ‖ [ ( )]‖ ≥ từ (9) (4) có nghĩa [ ( )] ≤ ‖ [ ( )]‖ ≤ − Nói theo cách khác, ‖ [ ( )]‖ ≤ từ (9) (4) thu [ ( )] ≤ − Khi bất đẳng thức từ (15) ta có [ ( )] ≤ [ ] − ≤ + − ≤ − bởi(7) Ước lượng cố (14) hoàn thành việc chứng minh 3.3.2 Định lý qua núi Tiếp theo ta dùng kỹ thuật hấp dẫn “min-max’’, sử dụng biến dạng xây dựng để suy tồn điểm tới hạn Định lý ( Định lý qua núi) Giả sử ∈ thỏa mãn điều kiện Palais-Smale Và giả sử (i) [0] = 0, (ii) Tồn số , [ ]≥ (iii) Tồn phần tử Định nghĩa Khi >0 ế ∈ ‖ ‖> , ℎ ‖ ‖= , với [ ] ≤ Γ ≔ { ∈ ( [0,1]; )⎸ (0) = 0, (1) = } 60 = inf max [ ( )] ∈ giá trị tới hạn I Chứng minh Rõ ràng ≥ (16) Giả sử không giá trị tới hạn , = ∅ (17) Khi chọn số đủ nhỏ (18) < 0< Theo định lý biến dạng 1, tồn số < ∶ (19) → với ( Và (20) ( )= Bây ta chọn Theo (20), ế < )⊂ ∉ ∈ Γ thỏa mãn [ − , + ] max [ ( )] ≤ + (0) = (0) = thuộc Γ Nhưng (21) có nghĩa (1) = ( ) = max [ ( )] ≤ − Từ suy = inf max [ ( )] ≤ − ∈ đồng (vơ lý) ≔ ₒ 61 3.3.3 Ứng dụng phương trình elliptic nửa tuyến tính Để minh họa tính có ích định lý qua núi , ta nghiên cứu toán bờ tuyến tính : −∆ = ( )trong =0 (22) hàm trơn , với vài ta có 1< Ta giả sử (23) < +2 −2 | ( )| ≤ (1 + | | ), | ′( )| ≤ (1+| | số Ta giả sử (24) 0≤ ( )≤ ( ) với vài số < , ( )≔ ( ) ∈ ℝ Ta đưa giả thiết cuối cho số < | | (25) ≤ | ( )| ≤ | | Mà (25) ý nói (0) = rõ ràng (22) Ta muốn tìm nghiệm khác ≤ ( ∈ ℝ) Bài toán bờ (22) có nghiệm yếu Chứng minh Định nghĩa | ≡ nghiệm tầm thường Định lý (Sự tồn tại) [ ]≔ )( ∈ ℝ), | − ( ) ≢ 62 với ( ) Ta dự định áp dụng định lý qua núi vào phiếm hàm [∙] Ta ∈ = đặt ( , )=∫ ( ) với chuẩn ‖ ‖ = ∫ | Khi [ ]= ‖ ‖ − ( ) Trước tiên ta khẳng định ℎ ộ (27) Do ∈ có nghiệm (28) Đặc biệt lưu ý nghĩa thuộc vào 〈 ∗ − )+ ‖ − ‖ [ ] = Vì Tiếp theo ta cần kiểm tra số hạng ∗ ∈ − ‖ = ‖ ‖ +( , khả vi , với rằngvới phần tử tích vơ hướng =: [ ] − [ ] Để thấy điều , lưu ý với , 1 [ ]= ‖ ‖ = ‖ + 2 / | ∈ Nhớ lại từ định lý Lax-Milgram ( ) tốn ∈ −∆ = =0 ∶ ∗ ( ) Ta viết ( )→ = cho ( ) ánh xạ đẳng cự ( ) phiếm hàm tuyến tính ∈ ,u 〉 ≔ ( ∈ ( ) (Ta lạm dụng kí hiệu nói " Tiếp theo nhận xét ∗ ∈ ( ) ( )) ∈ ∗ ( )") định 63 < +2 ( )∈ Bây ta chứng minh [ ]= (29) +2 = 2∗ −2 +2 ( )⊂ ( ) ∈ ( ) [ ( )] Để thấy điều , lưu ý ( + )= ( )+ ( ) + Vì với ∈ ( ), theo (23) [ ]= (30) ( ) = [ ]+ ≤ Vì +| − | ) − ) + [ ( )] ( − ) số hạng cịn lại R thỏa mãn (1 + | | ( + = ( ) + ( )( − ) = | |≤ (1 − ) ( + + , )| − | (| − | +| − | | − | ) | | + + < 2∗ nên bất đẳng thức Sobolev chứng tỏ ‖) Do từ (28) ta thấy = (‖ − 64 [ − ]= cần thiết [ ] + ( [ ( )], ) + (‖ − ‖), Cuối ta lưu ý , ‖ [ ]− ( ) với ‖ ‖, ‖ ‖ ≤ ∈ [ ]‖ = ‖ [ ( )] − [ ( )]‖ = ‖ ( ) − ( )‖ ≤ ‖ ( ) − ( )‖ Nhưng ‖ ( ) − ( )‖ (1 + | | ≤ ≤ ( )‖ ta sử dụng (23) Do ∈ tập bị chặn Vì ( ) ( ) )| − | +| | ∶ ( ) ( ) +| | (1 + | | ≤ ) − ‖ ∗( ( )→ ) ≤ ( )‖ ‖ − ‖ − ‖, ∗( ) ( ) liên tục Lipschitz ta chứng minh khẳng định (27) Bây ta kiểm tra điều kiện Palais-Smale Để chứng minh điều ta giả sử { (31) } ⊂ ( ), với (32) [ { [ bị chặn ] → Theo điều nêu (33) ]} − (( ( ) )) → ( ) 65 Do với | [ với ], | = > ta có đủ lớn Ở ta đặt với | > với − ( ) = để tìm | − ( ( ) đủ lớn Nhưng từ (31) ta có với ‖ ‖ ‖ − ‖ ≤ (35) ≤ } ≤‖ ( ‖ = ta thấy ‖ +‖ ‖ ≤ chọn Khi (36) [ ]= [ ]− [ ]= | [ ]| ≤ | | [ ]≥ , ≤ − ≥ ≢ Viết ≔ = [ ]= = > 0, [ ]− [ ] ( ) | | đủ lớn ∗ với > chọn Khi [ ]− [ ]− ≤ | | ∗ + > 2∗ Bây ta chọn hàm > đủ nhỏ với điều kiện ∈ − [ ] ≤ ≤ ‖ ‖ Theo (36) + < 2∗ nên Mà giả thiết (25) cho ( ) với ‖ ‖ = ∈ (15) Ta kiểm tra tất giả thiết Định Lý Qua Núi Vì phải tồn hàm Đặc biệt với ∈ ∈ ( ), ≢ với [ ]= ( ) ta có − [ ( )] = 67 nghiệm yếu (22) = ( ) , 68 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu số vấn đề sở phép tính biến phân, luận văn hồn thành đạt mục tiêu nghiên cứu đề tài với kết cụ thể sau: · Tổng quan hệ thống đầy đủ khái niệm ví dụ ứng dụng biến phân phương trình Euler-Lagrange hệ phương trình Euler-Lagrange · Trình bày cách đầy đủ chi tiết khái niệm nghiệm yếu, Lagrange không, số nhân Lagrange, bổ đề liên quan · Chứng minh chi tiết làm rõ số định lý, đặc biệt định lý qua núi ứng dụng định lý phương trình eliptic tuyến tính Trong q trình thực đề tài luận văn có nhiều cố gắng nhiên hạn chế định trình độ khoa học thân, thời gian thực kinh nghiệm nghiên cứu nên khó tránh thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý chân thành q thầy cơvà bạn đọc để nghiên cứu phát triển luận văn sau 69 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt [1] TS Đào Huy Bích (2002), Phép Tính Biến Phân, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội [2] Nguyễn Duy Tiến, Trần Đức Long (2004), Bài Giảng Giải Tích, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội Tiếng anh [3] C Carathéodory (1982), The Caluculus of Variation and Partial Differential Equations of First Order, Chelsea [4] D Kinderlehrer & G Stampacchia (1980), An Introduction to Variational Inequalities and their Applications, Academic Press [5] F Jonh, Partial Differential Equations, Springer [6] M Giaquinta & S Hildebrandt (1996), Calculus of Variations, Vol 1-2, Springer [7] O.A Ladyzhenskaya (1968), V.A Solonnikov & N.N Uraltseva, Linear and Quasilinear Elliptic Equations, Academic Press [8] V P Mikhailov (1978), Partial Differential Equations, Mir ... với số vấn đề sở phép tính biến phân Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo chương Chương giới thiệu biến phân thứ nhất, phương trình Euler-Lagrange, biến phân. .. toán học, học kỹ thuật Vì lý đó, hướng dẫn thầy Nguyễn Duy Thái Sơn, chọn ? ?Một số vấn đề sở phép tính biến phân? ?? làm đề tài nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ khoa học 2 Mục đích nhiệm vụ nghiên... cong trung bình Diện tích mặt đồ thị =I[u] u Một mặt cực tiểu 1.2 BIẾN PHÂN THỨ HAI Biến phân thứ hai phiếm hàm [∙] hàm tính tốn dựa phép tính biến phân thứ Ta bắt đầu nhận xét quan trọng cực