Phép tính biến phân và ứng dụng Vật Lý

Bài toán đường đoản thời xem là bài toán đã thúc đẩy sự phát triển của phép tính biến phân PTBP: tìm đường cong nối liền haiđiểm A, B cho trước trong một mặt phẳng thẳng đứng để cho một

Lời cảm ơn

Được sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy Nguyễn Thành Tiên, cùng sự giúp

đỡ của Thầy Cô và các bạn trong bộ môn sư phạm Vật Lý, tôi đã hoàn thành

đề tài “Phép tính biến phân và ứng dụng Vật Lý”

Tôi vô cùng cảm ơn thầy Nguyễn Thành Tiên, người đã trực tiếp hướngdẫn tôi trong suốt thời gian làm luận văn Và có được sự hoàn thành này cũng

là nhờ sự dẫn dắt tận tình của quý Thầy Cô trong Bộ môn sư phạm Vật Lý,Khoa sư phạm, trường Đại học Cần Thơ và bạn bè đã cung cấp những kiếnthức hữu ích cho tôi trong suốt thời gian học tập

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng vì kiến thức còn hạn hẹp cùng với nhữngkhó khăn trong quá trình thu thập và tham khảo tài liệu, nên đề tài này khôngtránh khỏi những thiếu sót Rất mong được sự đóng góp trao đổi của quý Thầy

Cô cùng các bạn để tôi hoàn thiện hơn đề tài này

Phần mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là một ngành khoa học không những nó phục vụ cho chính nó,

mà nó đặc biệt trở thành một công cụ hữu ích cho việc phát triển các ngànhkhoa học khác, trong đó có vật lý học Vì thế, người ta thường cho rằng, toánhọc là ngôn ngữ của khoa học Vật lý học là khoa học thực nghiệm Nhưngmuốn trình bày các nội dung vật lý học một cách chính xác ta thường phải

sử dụng các phương pháp toán học Phương pháp toán học được sử dụng từlâu trong vật lý Nó là sự giao thoa giữa toán học và vật lý học Trong lịch

sử phát triển, người ta đã ghi nhận được rằng, toán học và vật lý học hổ trợnhau cùng phát triển

Toán học đã nghiên cứu cực trị của các phiếm hàm Nhiều bài toán khoahọc được đưa về bài toán cực trị của phiếm hàm như bài toán đẳng chu, bàitoán đường trắc địa, Bài toán đường đoản thời xem là bài toán đã thúc đẩy

sự phát triển của phép tính biến phân (PTBP): tìm đường cong nối liền haiđiểm A, B cho trước trong một mặt phẳng thẳng đứng để cho một chất điểmtrượt trên đường cong ấy dưới tác dụng của trọng lực sẽ đi từ A đến B trongthời gian ngắn nhất Bài toán này đã được Becnuli (J Bernoulli) giải Cácphương pháp tổng quát đầu tiên của PTBP được Ơle L (L Euler) và Lagrăng

L D (L D Lagrange) xây dựng nên

Các phương pháp biến phân cũng được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnhvực khác nhau của cơ học và kỹ thuật, do vậy các sinh viên ngành Cơ học

và các ngành kỹ thuật cần được trang bị về phép tính biến phân Ngày nay,phương pháp biến phân vẫn được xem là phương pháp quan trọng, nó có mặttrong nhiều lĩnh vực khác nhau của vật lý, cả vật lý hiện đại và các ngànhkhoa học khác

Bước đầu khám phá và sử dụng công cụ toán học ứng dụng nó trong vật

lý Chúng tôi nghiên cứu đề tài: “phép tính biến phân và ứng dụng vật lý”nhằm cung cấp những khái niệm cơ bản nhất về phép tính biến phân và cácphương pháp của phép tính biến phân, đặc biệt chú ý đến những ứng dụngtrong cơ học như phương trình chính tắc, các nguyên lý biến phân trong cơhọc 1, quang học , các phương pháp trực tiếp giải bài toán biến phân

2 Mục đích của đề tài

Đề tài này nhằm nghiên cứu tìm hiểu và trang bị cho mình kiến thức mới vềphép tính biến phân Nắm được những khái niệm cơ bản nhất và các phươngpháp của phép tính biến phân Khảo sát về các điều kiện cần để phiếm hàmđạt cực trị và các điều kiện đủ của cực trị phiếm hàm

Đề tài cũng vận dụng phương pháp biến phân để giải các bài toán vật lý.Qua đó thấy rằng, phương pháp biến phân là phương pháp hiệu quả và phổbiến của vật lý

3 Giới hạn đề tài

Phương pháp biến phân được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của

cơ học và kỹ thuật, trong đề tài này chỉ là bước đầu khám phá công cụ toánhọc cũng như ứng dụng của nó trong vật lý Phép tính biến phân là một kháiniệm còn khá mới mẻ đối với sinh viên đại học Vì những hạn chế trên, nên

đề tài chỉ dùng lại ở mức độ tìm hiểu về mặt lý thuyết như khái niệm cơ bản

và các phương pháp tính của phép tính biến phân và vận dụng phương phápbiến phân để giải một số bài tập vật lý điển hình

Cần Thơ, ngày 30 tháng 04 năm 2014

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Thuý Nhi

1 Chúng ta cũng cần nhớ rằng, đối tượng nghiên cứu cơ bản của vật lý học là nghiên cứu chuyển động, vì thế các bài toán cơ học là các bài toán cơ bản của vật lý học.

Mục lục

Chương 1 Phiếm hàm Bài toán đơn giản của phép tính biến phân 1

1.1 Khái niệm chung 1

1.2 Không gian hàm 2

1.2.1 Định nghĩa 2

1.2.2 Một số không gian hàm 3

1.3 Vi phân của phiếm hàm Điều kiện cần của cực trị 3

1.4 Bài toán đơn giản của phép tính biến phân Phương trình Euler 5 1.4.1 Thiết lập bài toán biến phân đơn giản 5

1.4.2 Phương trình Euler 6

1.4.3 Một vài trường hợp đối với phương trình Euler 7

1.5 Phiếm hàm phụ thuộc vào hàm nhiều biến 10

1.6 Đạo hàm biến phân 12

Chương 2 Các bài toán biến phân 14 2.1 Bài toán biến phân với biên cố định và n hàm cần tìm 14

2.2 Phiếm hàm phụ thuộc vào đạo hàm cấp cao 16

2.3 Bài toán đẳng chu Cực trị có điều kiện 18

2.4 Công thức biến phân cơ bản 21

2.5 Bài toán với biên di động 23

Chương 3 Điều kiện đủ của cực trị 26 3.1 Biến phân cấp hai Công thức biến phân cấp hai 26

3.2 Điều kiện cần Jacobi Phương trình Jacobi 30

3.3 Điều kiện đủ của cực trị yếu 33

3.4 Điều kiện đủ của cực trị mạnh 37

3.4.1 Trường các đường cực trị 37

MỤC LỤC vi

3.4.2 Hàm Weierstrass Điều kiện đủ của cực trị mạnh 38

Chương 4 Giải các bài toán Vật lý bằng phương pháp biến phân 43

4.1 Bài toán 1 Bài toán cơ bản 43

4.2 Bài toán 2 Bài toán đường đoản thời 44

4.3 Bài toán 3.Ứng dụng của bài toán đường đoản thời trong hiện tượng sóng biển 484.4 Bài toán 4 Ứng dụng phép tính biến phân để tìm đường truyền tia sáng 49

4.5 Bài toán 5 Hàm sóng Fang - Howard 52

Danh sách bảng

3.1 Tóm tắt các điều kiện đủ đạt cực trị của phiếm hàm (3.19) 42

Danh sách hình vẽ

2.1 Hình ảnh minh hoạ 224.1 Một đường cong đơn giản 434.2 Một hạt trượt xuống một đường cong ma sát từ điểm O đến B 454.3 Đường Cycloid đi từ (0, 0). 474.4 Đối với sóng nước cạn, v = √

gh 484.5 Hình minh hoạ 53

Chương 1.

Phiếm hàm Bài toán đơn giản của phép tính biến phân

Phép tính biến phân là một phương pháp tìm giá trị cực đại và cực tiểucủa phiếm hàm Phiếm hàm cũng là một hàm, trong đó vai trò của biến độclập là đường cong hoặc là hàm

Để hiểu rõ hơn khái niệm phiếm hàm chúng ta xét các ví dụ sau:

i) Trên mặt phẳng xét tất cả các đường nối 2 điểm A, B Giả sử có 1 vậtrắn có thể chuyển động trên 1 đường bất kì của các đường này và tại mỗi điểm

(x, y) có một vận tốc xác định v(x, y) Vậy ta có 1 phiếm hàm tương ứng mỗi

thời gian mà vật đi qua đường đó

ii) Giả sử y(x) là hàm bất kì khả vi liên tục trên đoạn [a, b] Vậy phiếm hàm J [y] trên tập hợp này là

J [y] =

∫ b a

hoặc tổng quát hơn

J [y] =

∫ b a

F (x, y(x), y ′ (x))dx. (1.2)iii) Trong số tất các đường thẳng nối 2 điểm cho trước A và B, tìm đường

có độ dài ngắn nhất; tức là tìm đường y = y(x) để cho phiếm hàm

J [y] =

∫ b a

√

1.2 Không gian hàm 2

đạt cực tiểu Đường phải tìm là đường thẳng nối A và B.

iv) Giả sử A và B là 2 điểm cố định Thời gian để 1 chất điểm chịu tácdụng của trọng lực lăn dọc theo 1 đường nào đó nối 2 điểm phụ thuộc vàocách chọn đường, tức là 1 phiếm hàm Tìm đường để chất điểm lăn từ A đến

B với thời gian ngắn nhất Đường đoản thời là đường cycloide

v) Trong số các đường cong kín có chiều dài cho trước S, tìm đường có diệntích bị giới hạn lớn nhất Đường đó là đường tròn

Trong các ví dụ nêu trên ta gặp các phiếm hàm có dạng

J [y] =

∫ b a

Mỗi hàm y(x) thuộc tập hợp nào đó có thể xem như 1 điểm của không

gian Không gian như vậy gọi là không gian hàm

Khi nghiên cứu phiếm hàm ta phải xét chúng trong không gian hàm và tuỳthuộc và đặc tính của chúng ta chọn không gian hàm tương ứng Chẳng hạnvới phiếm hàm dạng ∫b

• Không gian hàm tuyến tính là tập R các phần tử x, y, z, trên đó

xác định các toán tử cộng và nhân với 1 số và thoã mãn các điều kiệnsau:

i) x + y = y + x,

ii) (x + y) + z = x + (y + z),

iii) Tồn tại phần tử 0 sao chox + 0 = x,

iv) Với mỗi x ∈ R tồn tại phần tử −x sao cho x + (−x) = 0,

v) 1.x = x,

vi) α(βx) = (αβ)x,

vii)(α + β)x = αx + βx,

viii)α(x + y) = αx + αy.

1.3 Vi phân của phiếm hàm Điều kiện cần của cực trị 3

• Không gian tuyến tính định chuẩn: Không gian R được gọi là định

chuẩn, nếu với mỗi phân tử x ∈ R tương ứng với 1 số không âm ∥ x ∥

thoả 3 tính chất sau:

i) ∥ x ∥= 0 chỉ khi x = 0,

ii) ∥ αx ∥=| α | ∥ x ∥,

iii) ∥ x + y ∥≤∥ x ∥ + ∥ y ∥.

Trong không gian tuyến tính định chuẩn xem khoảng cách giữa 2 phần

tử x và y là đại lượng ∥ x − y ∥ Các phần tử của không gian tuyến tính định

chuẩn có thể là các số, các vectơ, các ma trận, các hàm,

1.2.2 Một số không gian hàm

i) Không gian C - gồm tất cả các hàm liên tục xác định trên đoạn [a, b] Chuẩn

trong không gian C được xác định:

• Định nghĩa: Giả sử cho phiếm hàm φ[h] với h là phần tử của không gian

tuyến tính định chuẩn Phiếm hàm φ[h] gọi là tuyến tính nếu:

- Nó liên tục

- Với h1, h2 ∈ R thoả điều kiện:

[h1+ h2] = φ[h1] + φ[h2]

và [λh] = λφ[h], λ = const.

1.3 Vi phân của phiếm hàm Điều kiện cần của cực trị 4

• Bổ đề 1 Nếu a(x) là hàm liên tục và

∫ b a

Theo bổ đề 1 suy ra −b ′ (x) = 0 hay b(x) = const.

• Bổ đề 3 Nếu

∫ b a

[a(x)h(x) + b(x)h ′ (x)]dx = 0, (1.14)

với mọi hàm h(x) ∈ D1 sao cho h(a) = h(b) = 0 thì b(x) vi phân được và a(x) − b ′ (x) = 0.

• Khái niệm vi phân của phiếm hàm.

Xét phiếm hàm J [y] và gia số của nó:

△J = J[y + h] − J[y],

1.4 Bài toán đơn giản của phép tính biến phân Phương trình Euler 5

tương ứng với gia số h của "biến" y Nếu y cố định thi △J là phiếm hàm của h.

i) Vi phân của phiếm hàm △J[h] = φ[h] + α ∥ h ∥.

Ta gọi vi phân hay biến phân △J là phiếm hàm của J là phần tuyến tính φ[h]

của gia số △J của phiếm hàm J.

Ở đây α → 0; khi h → 0.

ii) Khái niệm cực trị yếu và cực trị mạnh

• Cực trị yếu của phiếm hàm J là nói đến cực trị tại 1 lân cận nào đó.

• Cực trị mạnh là xét trên cả tập xác định.

iii) Định lý Để phiếm hàm J [y] đạt cực trị tại y = y0 thì điều kiện cần là vi

phân của nó bằng 0 khi y = y0

1.4 Bài toán đơn giản của phép tính biến phân.

Phương trình Euler

1.4.1 Thiết lập bài toán biến phân đơn giản

Giả thiết F (x, y, z) là hàm có đạo hàm riêng liên tục theo mọi đối số của

nó đến cấp hai

Bài toán biến phân đơn giản được thiết lập như sau: trong tất cả các hàm

y(x) có đạo hàm liên tục và thoả mãn các điều kiện biên y(a) = A, y(b) = B,

hãy tìm hàm để cho phiếm hàm:

J [y] =

∫ b a

đạt cực trị yếu

Nói cách khác, bài toán đơn giản của phép tính biến phân là tìm cực trị

yếu của phiếm hàm J trên tập hơp các đường cong nối 2 điểm cho trước Cho hàm y(x) một số gia h(x) nào đó Để hàm:

y(x) + h(x) vẫn thoả mãn điều kiện biên tức là y(a) + h(a) = A và y(b) + h(b) = B, nên

ta phải có

h(a) = h(b) = 0.

1.4 Bài toán đơn giản của phép tính biến phân Phương trình Euler 6

Tính gia số của phiếm hàm

△ J =

∫ b a

F (x, y + h, y ′ + h ′ )dx −

∫ b a

F (x, y, y ′ ), (1.16)

=

∫ b a

[F y (x, y, y ′ )h + F y ′ (x, y, y ′ )h ′ ]dx, (1.17)

các dấu chấm biểu thị những số hạng bậc cao hơn một đối với h và h ′ , F y , F y ′

là kí hiệu đạo hàm riêng tương ứng đối với y và y ′

a

[F y (x, y, y ′ )h + F y ′ (x, y, y ′ )h ′ ]dx, (1.18)

chính là vi phân của phiếm hàm J

Theo định lý điều kiện cần của cực trị là đẳng thức

δJ =

∫ b a

Đường cong tích phân của phương trình Euler là đường cực trị

Phương trình Euler là phương trình vi phân cấp 2 Nghiệm của nó phụ

thuộc vào 2 điều kiện biên y(a) = A, y(b) = B.

Điều kiện (1.22) là điều kiện cần, chứ không phải là đủ để phiếm hàm đạtcực trị

1.4 Bài toán đơn giản của phép tính biến phân Phương trình Euler 7

Định lý Giả sử y = y(x) là nghiệm phương trình Euler

hàm y = y(x) có đạo hàm cấp hai liên tục.

1.4.3 Một vài trường hợp đối với phương trình Euler

i) Hàm dưới dấu tích phân không phụ thuộc vào y

Giả sử phiếm hàm có dạng

∫ b a

√

1 + y ′2

với y(1) = 0, y(2) = 1.

Hàm dưới dấu tích phân không phụ thuộc y, nên

∂F

∂y ′ = C1,

1.4 Bài toán đơn giản của phép tính biến phân Phương trình Euler 8

tức là

∂

∂y ′

(1

dx = −1

C1

√(1− C12x2) + C2,

(y − 2)2+ x2 = 5

ii) Hàm dưới dấu tích phân không phụ thuộc vào x

J [y] =

∫ b a

1.4 Bài toán đơn giản của phép tính biến phân Phương trình Euler 9

Ngoài ra,

d dx

1.5 Phiếm hàm phụ thuộc vào hàm nhiều biến 10

iii) Hàm F không phụ thuộc vào y ′

Trong các mục trên ta xét phiếm hàm phụ thuộc vào các hàm một biến,tiếp theo ta sẽ xét các phiếm hàm phụ thuộc vào hàm nhiều biến

1.5 Phiếm hàm phụ thuộc vào hàm nhiều biến 11

ở đây ta xét trường hợp hai biến, trường hợp n biến ta lập luận tương tự taxét phiếm hàm có dạng

trong đó hàm f (s, t) xác định, liên tục trong miền G, với mọi hàm v(s, t) liên

tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của nó và bằng không trên biên L của

miền G, thì f (s, t) ≡ 0 trong toàn miền G.

⋆ Tính biến phân của phiếm hàm: Nếu h(x, y) - hàm bất kỳ khả vi

hai lần liên tục và bằng không trên biên miền G, thì z(x, y) và z(x, y) + h(x, y)

cũng thhuộc miền xác định phiếm hàm Gia số của phiếm hàm bằng

1.6 Đạo hàm biến phân 12

Để mặt z = z(x, y) là cực trị thì điều kiện cần là δJ = 0 với mọi h(x, y) thoả

mãn các điều kiện đã nêu trên; theo bổ đề 1 tích phân trên bằng không suy ra

phương trình Euler - Ostrogradsky

F z − ∂

∂x F z x − ∂

Đạo hàm của biến phân có thể được định nghĩa, đạo hàm của biến phân

Ta có thể mở rộng định nghĩa đạo hàm biến phân cho phiếm hàm J [y] bất

kỳ Cho y một gia số h(x) khác không trong lân cận của điểm x nào đó và tính

1.6 Đạo hàm biến phân 13

Ta được đạo hàm biến phân của phiếm hàm

lim

x→0

J [y + h] − J[y]

Chương 2.

Các bài toán biến phân

2.1 Bài toán biến phân với biên cố định và n hàm

cần tìm

Xét phiếm hàm

J =

∫ b a

F (x, y i , y i ′ )dx, (2.1)

phụ thuộc vào n hàm y i (i = 1, 2, , n), trong đó y i (x) thoả mãn các điều kiện

biên

y i (a) = A i , y i (b) = B i (i = 1, 2, , n) (2.2)

và thiết lập điều kiện biên để phiếm hàm này đạt cực trị

Nhằm mục đích đó ta tính biến phân của phiếm hàm Thay các hàm y i (x) bằng các hàm gần đúng y i (x) + h i (x) trong đó h i (a) = h i (b) = 0, ta được:

∆J =

∫ b a

[F (x, y i + h i , y i ′ + h ′ i)− F (x, y i , y ′ i )]dx

=

∫ b a

(F y i h i + F y ′

i h ′ i )dx = 0.

2.1 Bài toán biến phân với biên cố định và n hàm cần tìm 15

Với mọi i = 1, 2, , n Áp dụng bổ đề 3 chương I ta được hệ phương trình vi

phân Euler

F y i − d

dx F y i ′ = 0(i = 1, 2, , n). (2.3)Vậy để đường cong

y i = y i (x)(i = 1, 2, , n),

đem lại cực trị cho phiếm hàm

∫ b a

F (x, y i , y i ′ )dx,

thì điều kiện cần là các hàm này thoả mãn hệ phương trình Euler (2.3) Đây

là hệ n phương trình cấp hai, do đó nghiệm chứa 2n hằng số sẽ được xác định

từ điều kiện (2.2)

Nếu thêm vào biểu thức dưới dấu tích phân của phiếm hàm (2.1) một đạilượng vi phân toàn phần của một hàm nào đó, tức là thêm vào F biểu thứcdạng

(y ′2 + z ′2 + 2yz)dx,

với y(0) = 0, y

(π2

)

= 1, z(0) = 0, z

(π2

)

=−1.

Hệ phương trình Euler là

y ′′ − z = 0,

2.2 Phiếm hàm phụ thuộc vào đạo hàm cấp cao 16

hãy tìm đường mà dọc theo nó tích phân (2.4) nhận giá trị cực trị

Từ định lý tổng quát: để hàm J [y] đạt cực trị thì điều kiện cần là biến

phân của nó bằng không

Thay y(x) bằng y(x) + h(x) vào phiếm hàm, trong đó y(x) + h(x) cũng thoả

điều kiện biên (2.5), tức là

h(a) = h ′ (a) = · · · = h (n−1) (a) = 0, (2.6)

2.2 Phiếm hàm phụ thuộc vào đạo hàm cấp cao 17

(F y h + F y ′ h ′+· · · + F y (n) h (n) )dx +

Vậy điều kiện cần cực trị của phiếm hàm là

δJ =

∫ b a

(

1 + y ′′2

)

dx y(0) = 0, y ′ (0) = 1,

2.3 Bài toán đẳng chu Cực trị có điều kiện 18

Nghiệm tổng quát sẽ là y = C1x3+ C2x2+ C3x + C4 từ điều kiện biên ta được

C1 = C2 = C4 = 0, C3 = 1 Vậy nghiệm của bài toán y = x.

2.3 Bài toán đẳng chu Cực trị có điều kiện

Bây giờ ta xét các bài toán, ngoài điều kiện biên của các đường khả dĩcòn phải thoả mãn điều kiện ở một dạng hoàn toàn khác Đó là bài toán đẳngchu, và được thiết lập như sau:

i)Trong tất cả các đường thoả mãn điều kiện biên y(a) = A, y(b) = B và trên

nó phiếm hàm

K[y] =

∫ b a

nhận giá trị cho trước l, hãy tìm một đường để cho phiếm hàm khác

J [y] =

∫ b a

đạt cực trị

Để giải quyết vấn đề ta giả thiết các hàm G, F xác định phiếm hàm (2.8),

(2.9) có đạo hàm liên tục đến cấp hai với a ≤ x ≤ b Ngoài ra giả thiết đường

phải tìm không làm cực trị phiếm hàm (2.8)

Định lý Nếu đường y = y(x) là đường cực trị của phiếm hàm

J [y] =

∫ b a

F (x, y, y ′ )dx,

thoả mãn điều kiện

K[y] =

∫ b a

G(x, y, y ′ )dx = l; y(a) = A, y(b) = B

2.3 Bài toán đẳng chu Cực trị có điều kiện 19

và không làm cực trị phiếm hàm K[y] thì sẽ tồn tại một hằng số λ, sao cho đường y(x) này cực trị của phiếm hàm

∫ b a

(F + λG)dx.

Ta tìm đường cong trong nửa mặt phẳng trên đi qua điểm (−a, 0) và (a, 0) có

độ dài cho trước 2l(l > a) và cùng với đoạn [ −a, a] giới hạn một diện tích lớn

ydx; y( −a) = y(a) = 0,

nhận giá trị lớn nhất với điều kiện

1 + y ′2 = C1, suy ra x − C1 = λsint, dy = tantdx = tant.λcostdt = λtdt, suy ra y − C2 =−λcost.

Khử tham số t, ta được nghiệm tổng quát là họ đường tròn

(x − C1)2+ (y − C2)2 = λ2.

Từ điều kiện biên y( −a) = y(a) = 0 và điều kiện K[y] = 2l, ta được

C2 = 0, C12+ a2 = λ2,

2.3 Bài toán đẳng chu Cực trị có điều kiện 20

F (x, y i , y i ′ )dx, (2.10)với các điều kiện

y i (a) = A i , y i (b) = B i (i = 1, 2, , n), (2.11)

a

G j (x, y i , y i ′ )dx = ℓ j (j = 1, 2, , k ). (2.12)Trong trường hợp này điều kiện cần của cực trị sẽ là

hệ n phương trình vi phân cấp hai Trong nghiệm tổng quát chứa 2n hằng

số tích phân và k tham số λ1, λ2, , λ k được xác định từ điều kiện (2.11) và(2.12)

iii) Bài toán biến phân Lagrange hay bài toán cực trị có điều kiện

Tìm cực trị của phiếm hàm

∫ b a

F (x, y, z, y ′ , z ′ )dx, (2.14)

2.4 Công thức biến phân cơ bản 21

trên các đường không gian

thời, thì tồn tại một hàm λ(x) sao cho đường (2.16) là đường cực trị của phiếm

2.4 Công thức biến phân cơ bản 22

]

h(x)dx + F y ′ | x=x1 δy1

+ (F − F y ′ y ′)| x=x δx1− F y ′ | x=x δy0− (F − F y ′ y ′)| x=x δx0. (2.18)

2.5 Bài toán với biên di động 23

Đây là công thức tổng quát của biến phân đối với phiếm hàm phụ thuộc vào

một hàm Trường hợp biến phận trong bài toán biến phân đơn giản (δx0, δx1 =

0 và δy0 = δy1 = 0) là trường hợp riêng của bài toán này và biểu thức δJ thương

Tương tự như trường hợp phiếm hàm phụ thuộc một hàm ta được

)

| x=x0 δx0,

(2.20)trong đó

δy i0 ∼ h i (x0) + y i ′ (x0)δx0,

δy i1 ∼ h i (x1) + y i ′ (x1)δx1, Biểu thức (2.20) là công thức biến phân cơ bản của phiếm hàm (2.19).

2.5 Bài toán với biên di động

Bài toán với biên di động (biên tự do) đặt ra như sau: trong tất cả các đường

cong hai đầu của chúng nằm trên hai đường thẳng đứng cho trước x = x0 và

x = x1, hãy tìm hàm làm cho phiếm hàm sau đây đạt cực trị

2.5 Bài toán với biên di động 24

Từ điều kiện cần của cực trị δJ = 0, h(x), δy0, δy1 tuỳ ý, suy ra hàm y(x) phải

thoả mãn phương trình Euler

F y − d

và các điều kiện trên biên

F y ′ | x=x0= 0, F y ′ | x=x1= 0. (2.22)Vậy nghiệm của bài toán đặt ra được xác định từ việc giải phương trình (2.21),tiếp đến xác định các hằng số tích phân bằng các điều kiện (2.22)

Tương tự, ta có thể đặt bài toán biến phân một đầu cố định và một đầu

tự do Khi đó thay cho các điều kiện (2.22) ta có các điều kiện

y(x0) = y0 ( tại đầu x = x0 cố định),

F y ′ | x=x1= 0 (tại đầu x = x1 tự do)

Ta xét xem theo đường cong phẳng nào để vật nặng trượt xuống từ vị trí

A(0, 0) trong thời gian ngắn nhất đạt đến đường thẳng đứng x = 2.

Bài toán này đã được xét đến về đường đoản thời qua hai điểm cố định.Vận tốc chuyển động theo đường cong bằng

2.5 Bài toán với biên di động 25

Thời gian chuyển động bằng

T =

∫ √

1 + y ′2 dx

√ 2gy dx.

Nghiệm tổng quát của phương trình tương ứng là họ cycloid

1 + y ′2 | x=2 = 0, dẫn đến y ′ | x=2= 0; hay là

Loại θ = 0, thay θ = π và x = 2 ta được C1 = π4.

Nghiệm của bài toán là