Phương trình Euler của phiếm hàm (3.8)
− d dx(P h
′) +Qh = 0, (3.10)
và điều kiện biên h(a) = h(b) = 0. Nó có thể cho nghiệm h(x) ≡ 0 hoặc
h(x)̸= 0.
Định nghĩa. Điểm x∗ gọi là điểm liên hợp với điểm x = a nếu phương trình (3.9) cho nghiệm không tầm thường có giá trị bẳng không tại x = a và
x =x∗.
Định lý. Nếu
P(x)> 0 với a≤ x ≤b
và trên đoạn [a, b] không chứa các điểm liên hợp với a thì phiếm hàm toàn phương
b
∫
a
(P h′2+Qh2)dx
xác định dương với mọi h(x), trong đó h(a) = h(b) = 0.
3.2 Điều kiện cần Jacobi. Phương trình Jacobi
Sử dụng các kết quả nhận được ở phần trước đối với phiếm hàm toàn phương vào bài toán biến phân đơn giản, tức là nghiên cứu phiếm hàm
b
∫
a
F(x, y, y′)dx, (3.11)
với điều kiện biên
y(a) =A, y(b) =B. (3.12) Xét một đường cực trị nào đó y = y(x) của phiếm hàm đã cho và tính biến phân cấp hai tại lân cận của đường cực trị này. Ta có biến phân cấp hai (đã xét ở trên) có dạng b ∫ a P h′2+Qh2)dx, (3.13) trong đó P = 1 2Fy′y′, Q = 1 2 ( Fyy− d dxFyy′ ) . (3.14)
3.2 Điều kiện cần Jacobi. Phương trình Jacobi 31
Định nghĩa. Phương trình Euler
− d dx(P h
′) +Qh = 0 (3.15)
của phiếm hàm toàn phương (3.13) gọi là phương trình Jacobi của phiếm hàm xuất phát (3.11).
Định nghĩa. Điểm x˜ gọi là điểm liên hợp với điểm x = a của phiếm hàm (3.11), nếu nó là điểm liên hợp với điểm x = a của phiếm hàm toàn phương (3.13).
Định lý (điều kiện cần Jacobi.) Để đường y =y(x) làm cực tiểu phiếm hàm
b
∫
a
(F(x, y, y′)dx,
thì điều kiện cần là khoảng (a, b) không chứa các điểm liên hợp với x =a.
Chứng minh. Biến phân cấp hai không âm là điều kiện cần của cực tiểu. Theo định lý phiếm hàm toàn phương không âm, thì trên khoảng (a, b)không chứa điểm liên hợp với x = a. Kết hợp hai điều kiện này suy ra điều khẳng
định của định lý.
Ta xét ý nghĩa của phương trình Jacobi (3.15). Giả sử y = y(x) là đường cực trị, hãy chỉ ra điều kiện đặt lên h(x) để hàm y(x) +h(x) cũng là đường cực trị. Đặt y+h vào phương trình Euler
Fy(x, y+h, y′+h′)− d dxF
′
y(x, y+h, y′+h′) = 0.
Dùng công thức Taylor tính đến y(x) - nghiệm phương trình Euler ta được
Fyyh+Fyy′h′− d
dx(Fy′y′h
′+Fyy′h) = O(h),
trong đó O(h) đại lượng nhỏ bậc cao hơn một đối với h. Bỏ O(h) và ghép các số bên vế trái ta được
( Fyy− d dxFyy′ ) h− d dx(Fy′y′h ′) = 0.
Đây chính là phương trình Jacobi, nếu đưa vào kí hiệu
1 2 ( Fyy− d dxFyy′ ) =Q, 1 2Fy′y′ = P,
3.2 Điều kiện cần Jacobi. Phương trình Jacobi 32
ta được phương trình (3.15)
− d dx(P h
′) +Qh = 0.
Vậy phương trình Jacobi là phương trình vi phân đối với đại lượng h(x), đại lượng này là hiệu số giữa hai đường cực trị vô cùng gần nhau (chính xác đến đại lượng nhỏ bậc cao hơn một). Ta gọi là phương trình viết theo biến phân. Phương trình Jacobi là phương trình theo biến phân đối với phương trình Euler.
Ta tìm điều kiện Jacobi để có các đường cực trị của phiếm hàm
J[y] =
a
∫
0
(y′2−y2)dx,
đi qua điểm A(0,0) và điểm B(a,0) được thoả mãn hay không? Phương trình Jacobi có dạng −2h− d dx(2h ′) = 0, hay là h′′ +h = 0, suy ra h(x) =C1cosx+C2sinx.
Vì h(0) = 0, nên C1 = 0, h(x) = C2sinx. Hàm h(x) bằng không tại các điểm
x = kπ, k - số nguyên. Do đó, nếu 0 < a < π thì trên đoạn 0 ≤ x ≤ a hàm
h(x) chỉ bằng không tại điểm x = 0 và điều kiện Jacobi thoả mãn; nếu a ≥ π
thì trên đoạn 0 ≤ x≤ a hàm h(x) bằng không ở ít nhất một điểm nữa x= π
và điều kiện Jacobi không thoả mãn.
Ta khảo sát điều kiện Jacobi cho các đường cực trị của phiếm hàm
J[y] = a ∫ 0 (y′2+y2+x2)dx qua các điểm A(0,0) và B(a,0). Phương trình Jacobi có dạng 2h− d dx(2h ′) = 0,