Phép tính sai phân và ứng dụng

ÁÀ ÌÊ Ỉ ÌÀ Á Ỉ Í ỉỈ Á À ầ ặ ộặ èỹ ặ ặ ẩõẩ èớặ ậ ẩ ặ ẻ ặ ặ íũề ề ề ẩ ặ ẩ ẩ èầ ặ ậ ì ặ ẻ ặ è ặ ẳ ẳ ẩ ậợ èầ ặ ặ ặ ầ èậ ặ ộặ ẻ ặ ặ è ặ íũề ặ ẹ ắẳẵẳ S húa bi Trung tõm Hc liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Å Ð Å é ẵ ỉì ẵ ề ữẹ ề Úó × Ơ Ị Ú Ơ Ị ØỊ × Ơ ề ẵẵ ậ ễ ề ẹ ỉ ì ØùỊ Ø Ị ºººººººº ½º½º½ Ị Ị ú º º º º º º º º º º º º ẵẵắ ỉ ì ỉựề ỉ ề ì ễ ề ẵắ ề ề ì ễ ề ẵắẵ èứẹ ếí é ỉ ẹ ỉ Ý × º º º º º º º º ẵắắ èựề ỉ ề ề º º º º º º º º º º ẵ ẩ ề ỉệứề ì ễ ề ỉíụề ỉựề º º º º º º º º º º ½º¿º½ Ò Ò ú º º º º º º º º º º º º º º º º ẵắ ặ ữẹ ễ ề ỉệứề ì ễ ề ỉíụề ỉựề ắ ẩ ề ỉệứề ì ễ ề ØÙÝơỊ ØùỊ Ơ Ị ØÙÝơỊ ØùỊ Ơ ƠĐ ØÚ Ơ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ị ØỊ × º º º º ẵẳ ẵẳ ẵẵ ẵ ắẵ ẩ ề ỉệứề ì ễ ề ỉíụề ỉựề ễ ẹ ỉ ữ ì ề ì ½ ¾º½º½ Ị Ị ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ẵ ắẵắ ặ ữẹ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Số hóa Trung tâm Học liệu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ắẵ ỉ ì ễ Ị Ơ Ơ ØøĐ Ị ÷Đ Ư ịỊ Ơ Ị ØỊ × Ơ Ị ØÙÝơỊ ØùỊ Ơ Đ Ø Ị Ø Ù Ị Ị Ø º º º º ¾º¾ È Ị ØỊ × Ơ Ị ØÙÝơỊ ØùỊ Ơ Đ ỉ ữ ì ụề ỉ ũề ắ ẩ ề ỉệứề ì ễ ề ỉíụề ỉựề ễ ữ ì ề ì ắẵ ề ề ỳ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ắắ ặ ữẹ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ắ ỉ ì ễ ề ễ ễ ỉứẹ ề ữẹ ệ ũề ễ ề ỉệứề ì ễ ề ØÙÝơỊ ØùỊ Ơ Ị Ø Ù ỊỊ Ø º º ắ ẩ ề ỉệứề ì ễ ề ỉíụề ỉựề ễ ữ ì ụề ỉ ũề Å ØÚ Ị Ị ØĨ Ị Ơ Ø Ị Ơ ẵ ắ ẳ ẳ ẵ ắ ề ỉệứề ì ễ ề ỉíụề ỉựề ỉệểề ẵ ỉể ề ĩ ề ì ề ỉ Ò ÕÙ Ø Ý× º º º º º º ẵẵ ề ì ề ỉ ề ế ỉ íì Ị Ø ØỨÝ Ð Ø ØÙÝơỊ ØùỊ º º º º º º º º º º º º ẵắ ề ì ề ỉ ề ế ỉ íì ề Ø ØỨÝ Ð ÷ Ø ØÙÝơỊ ØùỊ º º º º º º º º º º ¿º½º¿ Ị × Ị Ø Ị ÕÙ Ø Ý× Ị Ø ØỨÝ ề ễ ề ỉíụề ỉựề ữ ì ề ắ èíụề ỉựề ể ễ ề ỉệứề ì Ô Ò º º º º º º º º º º º º ¿º¿ Ị Ị Ơ Ị ØỊ × Ơ Ị ØÙÝơỊ ØùỊ Ú Ĩ Đ Ø × ØĨ Ị Đ Ị ØùỊ Ø× ºººººººººººººººººº ¿º Ị Ị Ơ Ị ØỊ × Ơ Ị ØÙÝơỊ ØùỊ Ú Ĩ Ơ Ị ØỊ Đ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº ºº ẳ ẵ ụỉ é ề Ì Ð ÷Ù Ø Đ Ĩ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên ¼ http://www.lrc-tnu.edu.vn ½ Å Ù È Ị Ơ Ơ× Ơ ỊÐ Ơ Ị Ơ Ơ Ơ Ị Ư Ị Ư ØƯĨỊ Ị óÙ ÐúỊ Ú Ĩ ¸ Ø Ù Ø Ị Ị ØƯĨỊ Ø Ø õỊº Ỉ ÙỊ Ị Ð ØĨ Ị ề ĩ ỉ ú ữ ễ ề ỉệứề ì ễ ề ể ữ ễ ề ỉệứề ì ễ ề Ị Ơ Ị Ơ Ơ × Ơ Ị Ø Ơ Ị ØỊ Ú Ơ Ị Ø Ị Ĩ Ơ Ị ØỊ Ĩ Đ Ư ịỊ º ÌƯĨỊ ÐúỊ Ú ØĨ Ị ÌÀÈÌ Ơ Ị ØỊ × Ơ Ị Ị Ư Ø Ị óÙ Ị Ị º Ỵ Đ ù ØøĐ ¸ Ị ịỊ Ù Úó Ð Ø ÙÝ Ơ Ị ØỊ × Ơ Ị Ø Ơ Ị Ú ể ữ ỉể ề èẩèá ễ ể ề ỉ Ị Ý Ø ØƯ Ị Ơ Ø Ị ¸ ÐÙ Ị Ú Ị Ị Ý Ø Ơ ØỨỊ ØỊ Ý ú ì ễ ềá ễ ề ỉệứề ì ễ ề ØÙÝơỊ ØùỊ Ú Đ Ø × Ị Ị Ơ Ị ØỊ × Ơ Ị ØÙÝơỊ ØùỊ ØƯĨỊ ØĨ Ị Ơ Ø Ị º ÄÙ Ị Ú Ị Ĩ Đ Ơ Ị Đ Ù¸ Ị ¸ Ơ Ị ÐÙ Ị Ú Ị Đ Ø Ð ÷Ù Ø Đ Ĩº Ị ỉệứề í ụề ỉ ề ú ì ễ ềá Đ Ø × Ị Ị × Ơ Ị Ú Ơ ề ỉệứề ì ễ ề ỉíụề ỉựề ề ắ ØỊ Ý ơỊ Ø Úó Ơ Ị ØỊ × Ơ Ị ØÙÝơỊ ØùỊ Ơ 1Ú Ơ Ị ØỊ × Ơ ề ỉíụề ỉựề ễ ữ ì ề ì ữ ì ụề ỉ ũề ề ú ễ Ø Ú Ị ó ØÙÝơỊ ØùỊ Ơ Ị ØỊ × Ơ Ị Ú Ị Ị Ơ Ị ØỊ × Ơ Ị ØÙÝơỊ ØùỊ ØƯĨỊ ØĨ Ị Ơ Ø Ị Ị ØĨ Ị Ü Ị × Ị Ø Ị ÕÙ Ø íì ề ỉ ỉệí é ỉ ỉíụề ỉựề Ð ÷ Ø ØÙÝơỊ ØùỊ Ý Ị Ø ØỨÝ ề ễ ề ỉíụề ỉựề ữ ì ề Ị Ị Ơ Ị ØỊ × Ơ Ị Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ắ ỉệểề ỉể ề ẹ ề ỉựề ỉì Ị Ị Ơ Ị ØỊ × Ơ Ị ÚĨ Ơ Ị ØỊ Đº ÄÙ Ị Ú Ị ĨỊØ Ị × ề ề ỉệ ỉ ụễ èậ ặ íừề ẻ ềề ºỈ Ị ƠỊ ÝØ Ü Ị Ý Ø Ð Ị ụỉ ề ề ỉ ề ú ì ỷ ểá ề ề ỉ ề ỉ ẹá ề ữỉ ỉứề ỉ í ỉệểề ì ỉ ế ỉệứề ỉ ữề é ề Ịº Ì ÜỊ ỊØ Ị Đ Ị Ø Ý Ĩ ỉệểề ề ẹ ữá ễ ề ểỉ ể ì ¸ Ĩ ÌĨ Ị ¹ Ì Ị ØƯ Ị ÃĨ ¹ Ì Ỉ ÙÝịỊ Ị Ø Ý Ĩ Ø Đ Ị Ý º Ì ÜỊ ỊØ Ị Đ Ị Ø Ý Ị Ị ÷Ơ Ø ÌĨ Ị ØƯ Ị ÌÀÈÌ ẩ ứề ề ẹ ữ ỉệ ề èẩè ẩ ứề ế ề ỉ ẹ ỉ ể ú ữề Ø Ù ỊÐ Ø ÷Ị Ĩ Ø Ơ ĐøỊ º Ị Ị Ø Ị Đ Ị øỊ ¸ Ò Ø Ò Ú Ò Ò Ú òÒ Ú Ø ØƯĨỊ ×Ù Ø ÕÙ ØỊ Ð Đ ÐÙ Ị Ú Ịº Å Ư Ø Ị ịĐ Ø Ú Ị ØƯĨỊ ÕÙ ØỊ Ð Đ ÐÙ Ị Ú Ị¸ Ị Ị Ò ÙÒ ÐÙ Ò Ú Ò Ò ØÖ Ò Ò Ị ơĐ Ùݺ Ỵø Ú Ý Ø ĐĨỊ Ị Ị Ị Ị ơỊ¸ Ơ Ø Ý ¸ Ị Ú Ị Ị ÷Ơ ÐÙ Ị Ú Ị Ĩ Ị Ø ữề ề è ặ íũềá ỉ ề ẳ ề ẹ ắẳẵẳ ũề ặ íừề è ề Ò Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ề ẵ ỉì ề ÷Đ Ị Úó × Ơ Ị Ú Ơ Ị ØỊ × Ơ Ị ½º½ ½º½º½ Ë Ơ Ị Ú Đ Ø × ØùỊ Ø Ị Ị Ị ú Ĩ Đ × y = f (x) Ü x0 ∈ R; h ∈ R¸ Ø ¸ Ĩ ØƯ x = xk º à Ị ØƯịỊ R¸ Ø xk = x0 + kh (k ∈ N∗) Ú º yk = f (xk) Ð ỉệ ẹ ì f (x) ỉ ữ ì yk = yk+1 − yk (k ∈ N∗) Ð × Ơ ề ễẹ ỉ ẹ ì y = f (x) ã ữ ì yk = yk+1 yk = ∆(∆yk ) (k ∈ N∗ ) Ð × Ơ Ị ễ ẹ ì y = f (x) ã è ề Õ٠ظ ∆i yk = ∆i−1yk+1 − ∆i−1yk = ∆(∆i−1yk ) (k ∈ N∗ ) Ð × Ơ Ị Ơi Ñ × y = f (x) (i = 1, 2, · · ·, n, · · ·)º • Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ẵẵắ ỉ ì ỉựề èựề ỉ ẵẵ ậ ỉ ề ễ ề ì ễ ề ề ì Ë Ơ Ị Đ Ơ Ị × óÙ Ị 0º èựề ễ ú ỉ ẵắ ỉ ử ừề × õỊ Ø Ĩ Ơ ỊØ Ĩ ØƯ ØƯ ẹì áỉ ẹì àậ é ễ ềẹ i i (i ∈ N∗ ) (−1)sCisyk+i−s ∆ yk = s=0 ÌùỊ Ø ½º¿º ´ÌùỊ Ø ØÙÝơỊ ØùỊ × Ơ ØĨ Ị Ø ỉíụề ỉựề ỉệũề ỉ ễ ẹì áỉ é ềà ậ Ơ ỊĐ ƠÐ Đ Ø ∀i ∈ N∗ ; ∀α, β ∈ R; ∀f (x), g(x) : R → R, Ø ÐÙ Ò ∆i (αf (x) + βg(x)) = α∆i f (x) + ig(x) èựề ỉ ẵ ậ ẹ ỉ à ề ì ề ễ ề Ø n−i Ø µË Ơ Ị Ơi Đ Ø Ø n i < nº i = nº i > nº Ĩ × Ơ Ị Đ Ơ Ð Đ Ø ØĨ Ị Ø ØÙÝơỊ ØùỊ ỊịỊ Ø û Ị Ị Đ Ò ØùÒ Ø Ó Ø y = Pn(x) = xnº inỉ ứ i (xn) = in(n(xn)) = ∆i−nC = 0, (C = const) ÌùỊ Ø ½º º Ị Ø × Ơ ỊØ Ị Ơ Ị ∆(fk gk ) = fk ∆gk + gk+1∆fk ÌùỊ Ø ẵ è ề ì ễ ề n k=1 ẵắ Ị Ị ∆yk = yn+1 − y1 × Ơ Ị ÚĨ Ị ÷Đ Ú ØùỊ Ø Ø Ị Ơ Ơ Ø Ị Ị ¹ ÌøĐ ÕÙÝ ÐÙ Ø Đ Ø í ì èựề ỉ ề ề ì ễ ềỉ ỉử ẵắẵ èứẹ ếí é ỉ ẹ ỉ í ì ẻự ẵẵ ể í ì 1; 3; 15; 43; 93; 171; 283; · · · À Ý ØøĐ Ư Đ Ø ÕÙÝ ÐÙ Ø º Ý× Ú ØøĐ × Ị Đ Ø× Ø ơƠ Ø Ĩ ÕÙÝ ÐÙ Ø ºÄ Ơ Ị Đ Ø× × Ơ Ò Ò Ù Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Ngun ØĨ Ị http://www.lrc-tnu.edu.vn Ý ½ y y y ắ ẵẳ è ỉ íì ễ ề ễ3 ẵ ẵắ ẵ ắ ắắ ẳ ắ ẵẵ ẵẵắ ắ ề ềũề í × Ð Ý ØÖ Ø y = an3 + bn2 + cn + d (a = 0)á ỉệểề né ì Ø Ø × ØƯĨỊ Ý × º Ĩ n = 0; 1; 2; ´ Ị × Ø Ø × ỉ ỉ 0à ỉ ữ ễ ề ỉệứề   d=1     a + b + c + d =   8a + 4b + 2c + d = 15     27a + 9b + 3c + d = 43 ⇔    a=1     b =   c = −1    d = ẻ í í ì ỉ ề Ø Ó ÕÙÝ ÐÙ Ø yn = n3 + 2n2 − n + 1º À × Ị Ø ơƠ Ø Ó Ý Ò Ú n = 7; n = Ð y7 = 435; y8 = 633 ¹ ÉÙÝ ÐÙ Ø ØøĐ ØƯịỊ Ị Ð ÙÝ Ị ظ Úø Ư ệ ề ì ể ề ỉ ể ẹ ềá ề Ò ÕÙÝ ÐÙ Ø yn = n3 + 2n2 − n + + P (n)¸ ØƯĨỊ P (n) Ð Ø Ø Ị Ị n ∈ Ð Đ Ị ÷Đº Ĩ Ú Ý ØƯịỊ Ý Ø Đ û ØøĐ Đ Ø ÕÙÝ ÐÙ Ø Đ Ý × ĨØ Ĩ Đ ỊĐ Ị ØøĐ ØØ ÕÙÝ ÐÙ Ø Đ í ì ể ỉ ể ẹ ề è 2(ax2 + bx + c) = const Ò Ò ∆2y = const Ø ø Ø ×ÙÝ Ư y = ax2 + bx + c ẵắắ èựề ỉ ề ề ẻự ẵắ èựề ỉ ề S= 1 + +···+ · 1.2.3.4 2.3.4.5 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ºÌ 1 1 = − k(k + 1)(k + 2)(k + 3) k(k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2)(k + 3) 1 + =− 3(k + 1)(k + 2)(k + 3) 3k(k + 1)(k + 2) · = ∆yk yk = − 3k(k + 1)(k + 2) ỴÝ S= ẻự ẵ èựề 1 à (n + 1)(n + 2)(n + 3) Ø Ò × Ù 1) An = sin x + sin 2x + · · · + sin nx 2) Bn = cos x + cos 2x + · · · + cos nx ẵà è ặụ ặụ ể 1 ∆ cos(k − )x = cos(k + )x − cos(k − )x 2 x = −2 sin kx sin x x = k2π, k ∈ Z (sin = 0) Ø ø An = 0º ∆ cos(k − )x x x = k2π, k ∈ Z (sin = 0) Ø ø sin kx = − x 2 sin ∆ cos(k − )x =− − sin kx = An = x x sin sin k=1 k=1 2 n n =− n k=1 x x cos(n + )x − cos = sin Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên ∆ cos(k − )x sin n n+1 x sin x 2 x sin http://www.lrc-tnu.edu.vn Ø ø xn = uv n Ð Ị ÷Đ Ơ n Ị ØĨ Ị (3.4) ´Ú ØƯ ề è é ề ỉệứề (3.20) ễ ề ễ ẳà Ø Ø Ù Ð ĐØ Ị Ø √ n−1 √ n−1 (1 + q)2 + (1 − q)2 xn = √ √ √ i q (1 + q)2n−1 − (1 − q)2 n−1 Ò ÕÙÝ Ị Ơ ÕÙ Ị Ý Ø ¿º¾ ÌÙÝơỊ ØùỊ Ĩ Ơ Đ Ị (3.20)º Ị ØỊ × Ơ Ị Å Ø× ØĨ Ị × Ơ Ị Ị ØÙÝơỊ ØùỊ Ø ơỊ Úó Ơ Ị ØỊ × Ơ Ị ØÙÝơỊ ØùỊ Ð ØÙÝơỊ ØùỊ Ĩ º óÙ Ị Ý Ð Đ Ø Ị ÷Ù ÕÙ Ị Ị Ơ Ị ØỊ × Ơ Ịº × Ý × (un) Ø Ĩ Đ Ị óÙ ÷Ị u1 = α1 ; u2 = α2 ; · · · ; uk = αk un = ϕ(un−1, un−2, · · ·, un−k ) Ú n; k ∈ N∗ ; n > k, ØƯĨỊ ϕ Ð ẹ ỉ ỉ ì má é ễ ề ỉ Ĩ Ð Ø × ịÙ Ị Ị ØÙÝơỊ ØùỊ Ú ơỊ un−1, un−2, · · ·, un−k º Ú ÷Ø Ĩ ϕ Ý Ị Ø ó Ờ Ú Ị úề ì ặ ề é ễ ẹ ì Ị Ĩ Ø Ø ØÙÝơỊ ØùỊ Ĩ Ỉ ú Ð Ø ỊØ ØƯ x1, x2, · · ·, xk ö un = x1un−1 + x2un−2 + · · · + xk unk ắà ỉứ ỉứẹ ỉ ỉíụề ỉựề ề ặụ ẹ ỉ ỉíụề ỉựề ể Đ Ø Ị Ø ơỊ Ĩ ÌƯ Ø ịỊ Ø Ĩ× ØÚ Ị óØ ØøĐ x1, x2, · · ·, xk , Ø Ü Ò uk+1, uk+2, · · · , u2k, Ø Ị Ø Ð Ơ Ĩ Ø Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn    uk+1 = ϕ(αk ; αk−1; · · · ; α2 ; α1) = αk+1     u k+2 = ϕ(αk+1 ; αk ; · · · ; α3 ; α2 ) = αk+2   ··· ··· ···     u2k = ϕ(α2k−1; α2k−2; · · · ; αk+1; αk ) = α2k Ì Ý ØƯ Ú Ĩ (3.23)¸ Ø Ú ØÖ uk+1, uk+2, · · ·, u2k Ú ØøĐ Ị ØỊ ØÙÝơỊ ØùỊ Đ k Ơ Ị ØỊ Ú u1, u2, · · ·, uk ÷Ơ k Ị x1, x2, · · ·, xk    uk+1 = x1αk + x2αk−1 + · · · + xk α1     u k+2 = x1 αk+1 + x2 αk + · · · + xk α2   ··· ··· ···     u2k = x1α2k−1 + x2α2k−2 + · · · + xk αk ÷ Ơ Ị ØỊ Ị Ý Ø Ø Ù õỊ ØÙÝơỊ ØùỊ Ị ØøĐº x1 , x2, à à Ã, xk ì ỉ í ể (3.23) Ø un = ϕ(un−1, un−2, · · ·, un−k ) = x1un−1 + x2un−2 + · · · + xk un−k Ù Ị ưĐ Ị ÷Đ Ị Ø Ú ØøĐ Ị Ơ Ị Ơ Ơ ÕÙÝ Ị Ơ ỉể ề ệ ề ềụ ữ ễ ề ØỊ ØÙÝơỊ ØùỊ ØƯịỊ Ú Ị ÷Đ Ø ø Đ ϕ Ị Ø ØÙÝơỊ ØùỊ Ĩ º ØĨ Ị ¿º º Ĩ Ý × (un) Ø Ĩ Đ Ị óÙ ÷Ị u2n−1 + , ∀n ≥ u1 = u2 = 1; un = un−2 À Ý ỊịÙ ØÙÝơỊ ØùỊ º × un Ĩ º Ị Đ Ị Ư Ị un ∈ Z, ∀n ∈ N∗ õỊ ØÙÝơỊ ØùỊ Ð un = a1 un−1 + a2 un−2 + b Số hóa Trung tâm Học liệu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ắ è u3 = 3; u4 = 11; u5 = 41 Ì Ý u3 = 3; u4 = 11; u5 = 41 Ú ể ừề ỉíụề ỉựề ỉệũềá ỉ ỉ ữ Ơ Ị ØỊ    a u + a2 u1 + b = u3   ⇔ a1 u3 + a2 u2 + b = u4    a1 u4 + a2 u3 + b = u5    a + a2 + b =   ⇔ 3a1 + a2 + b = 11    11a1 + 3a2 + b = 41 ỴÝØ un = 4un−1 − un−2 Ý Ø × Ị Đ Ị Ị ÕÙÝ Ị Ơ Ư Ị õỊ ØÙÝơỊ ØùỊ Ð Ý× (un)    a =4   a2 = −1    b = Ø Ĩ Đ Ị (3.24) ´¿º¾ µ u1 = u2 = 1; un = 4un−1 − un−2, ∀n ≥ Ì Ø Ú Ý¸ Ø u3 = = 4.1 − = 4.u2 − u1, ×ÙÝ Ư (3.25) Ị Ú n = × (3.25) Ò Ú n = k Ø Ð Ø uk = 4uk−1 − uk−2 (k ≥ 3) Ì Ơ Ị Đ Ò (3.25) Ò Ú n = k + 1º Ì uk+1 = = = = = u2k + (4uk−1 − uk−2)2 + = uk−1 uk−1 16uk−1 − 8uk−1uk−2 + u2k−2 + uk−1 15uk−1 − 4uk−1uk−2 + u2k−1 − 4uk−1uk−2 + uk−1uk−3 uk−1 15uk−1 − 4uk−1uk−2 + uk−1(uk−1 − 4uk−2 + uk−3) uk−1 15u2k−1 − 4uk−1uk−2 uk−1 = 15uk−1 − 4uk−2 = 4(4uk−1 − uk−2) − uk−1 = 4uk − uk−1 Ỵ Ý (3.25) Ị Ø n = k + 1º Ì Ĩ Ị ÙÝịỊ Ð ÕÙÝ Ị Ơ Ø ĐỊ º Ê Ư Ị Ø (3.25) Ø Ò Ý un ∈ Z, ∀n ∈ N∗ ØĨ Ị ¿º º ÌÙÝơỊ ØùỊ Ĩ u1 = α; un+1 = aun + Ý × (un) Ø Ĩ Đ Ị bu2n + c Ú Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên óÙ óÙ Ơ ÷Ị a2 − b = 1; α > 0; a > http://www.lrc-tnu.edu.vn Ò º bu2n + c bu2n + c ⇔ un+1 − aun = un+1 = aun + ⇒ (un+1 − aun )2 = bu2n + c ⇒ u2n+1 + (a2 − b)u2n = 2aun un+1 + c ⇒ u2n+1 + u2n = 2aun+1un + c ⇒ u2n + u2n−1 = 2aun un−1 + c ÌƯ Ø Ò Úô Ò Ø Ù Ø u2n+1 − u2n−1 = 2aun (un+1 − un−1) ÅØ Ó un+1 − un−1 > ỊịỊ Ø un+1 − 2aun + un−1 = à ØĨ Ị ØÙÝơỊ ØùỊ Ĩ º ÌƯ Ð Ú ề ú ỉ ề ỉá ì í ỉ ì ỊịÙ ÐịỊ Đ Ø Ú Ð Ơ Đ Ø Ø ØÙÝơỊ ØùỊ Ĩ º ØĨ Ị ¿º º ÌÙÝơỊ ØùỊ Ĩ Ý × (un) Ø Ĩ Đ Ị óÙ ÷Ò un u1 = α; un+1 = Ú a2 − b = 1; α > 0; a > a + u2n + b ºÌ un+1 = Ø = u1 à n v1 = un a = + ⇔ un+1 un a + u2n + b Ø Ú Ơ ; vn+1 = avn + α Ý ùỊ Ð Ơ (3.7)º Ị ØỊ ØƯịỊ bvn2 + Ú Ị ØỊ × Ơ Ị Đ Ø ØĨ Ị ¿º º ÌÙÝơỊ ØùỊ Ĩ u2n + a un−1 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên b u2n Ò a2 − b = 1; α > 0; a > ØÙÝơỊ ØùỊ Ĩ ØƯĨỊ Ý × (un) Ø Ĩ Đ Ị u1 = α; u2 = β; un+1 = 1+ Ú óÙ ÷Ị α, β, a ∈ R http://www.lrc-tnu.edu.vn ØĨ Ị ¼ ºÌ un+1 ⇒ un un−2 = u2n−1 + a ÌƯ Úơ Ú Úơ Ị Ø ØƯịỊ Ø un+1un−1 − un un−2 = u2n − u2n−1 Ý Ì u2n + a = ⇔ un+1un−1 = u2n + a un−1 Ø un+1un−1 + u2n−1 = u2n + unun−2 ⇔ un−1 un = un+1 + un−1 un + un−2 un−1 u2 αβ un = =···= = = k un+1 + un−1 un + un−2 u3 + u1 α + β2 + a ể ỉ ẻí un = k(un+1 + un1)á íé u1 = α; u2 = β kun+1 − un + kun−1 = ØĨ Ị ØÙÝơỊ ØùỊ Ĩ ÜĨỊ º ØĨ ề ẵẳ èứẹ uná ụỉ u1 = ; u2 = β(α, β ∈ R) Ú u2n + 2bun − bun−1 + c un+1 = , n ≥ b + un−1 ºÌ Ø Ý un+1 (un + b)2 + c u2n + 2bun − bun−1 + c ⇔ un+1 + b = = b + un−1 un−1 + b Ø un + b = , Ø ö Ú Ð Ơ vn+1 = Ý ùỊ Ð Ơ (3.9)º Ị ØỊ ØƯịỊ Ị vn2 + c vn−1 Ị ØỊ × Ơ Ị Đ Ø Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Ngun ØÙÝơỊ ØùỊ Ĩ ØƯĨỊ http://www.lrc-tnu.edu.vn ØĨ Ị ½ ¿º¿ Ị Ị Ơ Đ Ø× Ị ØỊ × Ơ Ị ØÙÝơỊ ØùỊ Ú ể ỉể ề ẹ ề ỉựề ỉì è ữ ØøĐ × Ị Ø Ị ÕÙ Ø Đ Ø ØĨ ề é ũề ế ề íì ì ụỉá í × Ú ØùỊ ùỊ Ơ Ị ºººº Ị Ị ¸ ØƯĨỊ Ù Ị Ị ÙỊ ÐÙ Ị Ú Ị Ø Ý Ị Ị ƯỊ Ư Ơ Ị ØỊ × Ơ ỉ ề ẻự ể ằ í ì (un) Ü Ì Ơ ù ÌĨ Ị Ú ØÙ ØƯð ỉ ề ắẳẳ ề u0 = 9; u1 = 161 un = 18un−1 − un−2 Ị ĐỊ Ư Ị Ý× Ø Ø ÕÙÝ Ị Ý × Ú ØùỊ Ø Ơ ØƯịỊ Ư Ø Ơ ĨỊ Ơ Ú û ỊịÙ Ư Đ Ø × Úù Ơ Ị ØƯĨỊ ÐúỊ Ú ØĨ Ị u2n − Ð × ựề ễ ắ n 2, n N Ị Ú Đ × Ø Ị ịỊ nº ºÌ ØøĐ un Ø Đ Ị Ơ Ị ØỊ (3.26)º È Ơ Ị ØỊ × Ơ Ị ØÙÝơỊ ØùỊ Ơ Ø Ù Ị Ị غ Ø ØøĐ √ √ Ị ØỊ (3.26) Ð Ơ Ị ØỊ Ị Ý un = [(9 + 80)n+1 + (9 − 80)n+1] √ n+1 √ n+1 √ √ Ó [(9 + 80) + (9√− 80) ] = √ [(9 + 80)n+1 − (9 − 80)n+1]2 + u2n − 1 (9 + 80)n+1 − (9 − 80)n+1 ỊịỊ = √ √ Ơ Ị ØƯ ưỊ Ị Ø Ỉ ÛØĨỊ Ø (9 ± 80)n+1 = M ± N 5, M, N Ð × Ị ÙÝịỊ Ị º è ìí ệ un = N ẻự ¿º º Ĩ Ý × (un) Ü Ị Ị × Ù u0 = 0, u1 = un+1 = 2un − un−1 + ∀n ≥ Ị Đ Ị Ư Ị M = 4unun+2 + Ð × Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyờn ựề ễ ề http://www.lrc-tnu.edu.vn ắ ắ º ÌƯĨỊ Ơ Ị ØỊ ÌƯ (3.27) Ø Ýn n−1 Ø un = 2un−1 − un−2 + Úô Ø Ị Ị Ơ Ị ØỊ ØƯịỊ Ø un+1 − un = 2un − 3un−1 + un−2, Ý un+1 − 3un + 3un−1 − un−2 = Ý Ð Ơ Ị ØỊ × Ơ Ị ØÙÝơỊ ØùỊ Ơ Ø Ù Ị Ị ظ Ơ Ị ØỊ Ị Ý Ø ØøĐ Ị ÷Đ un = n(n2+ 1) º Ĩ M = 4unun+2 + = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = (n2 + 3n + 1)2 ẻự ẵẳ ´ ¿¸ ó Ø óỊ ØƯ Ị ÌÀÈÌ Ä ịỊ ¹ ÌÙÝưỊ Ø Ơ ó Ø ÇÐÝĐƠ 30 − ề ẹ 2001à ĩ ề ề ì ể í × (un) u1 = un+1 = u2n Ị ĐỊ Ư Ị −2 u2n Ị ÙÝịỊ Ð ịỊ Ø ơƠº un + + u2n Ø ừề ỉ ề ẻ ề ề áẩ ắ n ∈ N∗ Ị Ø Ị øỊ Ơ Ị × º ÌƯ Ø ØøĐ Ị Ø Ø Ị ÕÙ Ø unº Ì Ị Ị Ø Ý Ý × Ĩ Ð Đ Ø ØƯ Ị Ơ Ø ØĨ Ị (3.8)º Ơ Ị Ð ĐØ Ị ÕÙ Ø Ø Ø Ú Ð (3.28) Ø Ị Ị vn+1 = 2vn + Ơ Ị ÕÙ ØỊ Ị Ý Ø Ø Ù ËÙÝ Ö 3vn2 + 1, Ú = un ØĨ Ị (3.8) ×ÙÝ Ư vn+1 − 4vn + vn−1 = √ √ = √ (2 + 3)n − (2 − 3)n √ 3 √ √ , ∀n ≥ un = (2 + 3)n − (2 − 3)n Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Ơ Ị ¿ Ì Ø Ý ÐÙ Ị Ø Ị Ø ĨÚÝ k ∈ N∗ × Ĩ Ĩ (2 + √ 3)n − (2 − √ 3)n = √ 3k √ n2 √ n u2n − = [2 + 3) + (2 − 3) ] − u22n √ n2 √ n = [2 + 3) − (2 − 3) ] + Ỵù = 3k + = (k + 1)2 + k + (k 1)2 ẵẵ ẵá ú ỉ úề ỉệ ề èẩè ể ề ữ ặ ề èíửề Ø Ơ ó Ø ÇÐÝĐƠ 30 − Ị Đ 2001à ĩ ề ề ì ể í ì (un) u0 = 0, u1 = un+2 = 2un+1 + un , º º Ị Đ Ị Ư Ị un ºº 2k ⇔ n ºº 2k (k ∈ Z) º Ì Ø Ý Ơ Ị ØỊ Ơ Ø Ù Ị ề ỉá ắ n N é ễ ề ØỊ Ị Ý Ø Ơ ¸ Ì Ý Ị ØỊ × Ơ Ị ØÙÝơỊ ØùỊ (3.29) √ √ un = √ (1 + 2)n − (1 − 2)n , ∀n ∈ N 2 Ị ØƯ ưỊ Ị Ø Ỉ ÛØĨỊ Ø un = √ 2 n Cni ( i=0 = √ ·2 2 n−1 √ n i 2) − Cni (−1)i( i=0 √ Cn2i+1( 2)2i+1 = i=0 Ð × Đ ĨỊ Ø ØƯĨỊ Ơ Ị Ø Ị ÙÝịỊ Ø º Ì n = 2mp Ú p Ððº 2i º m Ỵø (2i + 1)Cn2i+1 = nCn−1 º ỊịỊ Cn2i+1 ºº 2m, ∀i Cn2i+1 Ø v0 = 2m Ø ø v0 = p Ỵ Ý m n−1 i=0 n−1 Cn2i+12i i=0 n Ø Ò Øù n−1 n−1 2m vi 2i = 2m v0 + 2m un = √ i 2) vi 2i = 2m s, vi 2i = 2m p + i=1 Ó Ú Ý un ºº 2k ⇔ 2ms ºº 2k ⇔ 2m ºº 2k ⇔ n ºº 2k Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên Ð ÝØ Ú i=1 http://www.lrc-tnu.edu.vn s é ẻự ẵắ ể í ì (un) ĩ Ò Ò × Ù u1 = un = 3un−1 + 2n3 − 9n2 + 9n − ∀n ≥ 2, n ∈ N Ị ĐỊ Ư Ị Ú × Ị ÙÝịỊ Ø p¸ Ø ø 2010 Đ p−1 ui ẳà ụỉ ể p i=1 ì è ỉ í (3.30) Ð Ơ Ị ØỊ × Ơ Ị ØÙÝơỊ ØùỊ ề ìá ễ ề ỉệứề ề í ỉ ỉứẹ u n = n n3 ạẻ p=2 ạẻ p Ø ø 2010 p−1 i=1 ∀n = 1, 2, · · · º ui = 2010.2 º Ð × Ị ÙÝịỊ Ø Ðð Ø ø Ø p−1 p−1 ui = i=1 i=1 (3i − i3 ) = (3 + 32 + · · · + 3p−1) − [13 + 23 + · · · + (p − 1)3] p−1 + + · · · + (p − 1) = [i + (p − i)3] i=1 º i3 + (p − i)3 = p3 − 3p2i + 3pi2 º p Ò + 32 + · · · + 3p−1 = 12 (3p − 3)á ứ p é ì ệẹ ỉ ề ỉ 3p − ºº pº Ì ÅØ Ì Ð ËÙÝ Ư Ý2 ËÙÝ Ư ƠĐ ØÚ 3 Ị ÙÝịỊ Ø ỊịỊ Ø Ĩ Ị ºº p¸ i=1 p−1 p p−1 º º u i º pº (3 − 3) + [i + (p − i)3] º pº Ỵ Ý p−1 p [i3 + (p − i)3] (3 − 3) + p−1 2010 i=1 º i=1 i=1 ui º p Ỵ Ý Ú Đ × Ị ÙÝịỊ Ø p Ø ø 2010 p−1 i=1 º ui º p Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ÷ ¿º Ị Ị Ơ Ơ Ì Đ × Ị Ø Ị ÕÙ N Úó Ị Ý Ø × ỊịÙ Ư ØỊ ẹ ú ễ ẻự ẵ ề ỉệứề ì ễ ề ØÙÝơỊ ØùỊ Ú Ĩ Ị ØỊ Đ Ø Ị Ị Ú Ø óÙ ØĨ Ị Ü ØĨ Ị Ü Ị × Ị Ø Ị ÕÙ Ø Đ Ø × Úù Ơ Ị ØỊ Đ Ị ØỊ × Ơ Ịº Đ Ø Ý × (un) Ú Ị Đ × ØƯịỊ Ø Ơ Ý × º ÌƯĨỊ Ị ÙỊ Ị Ơ Ị ẹì f :NR un = f (n)á ứ í ề ề ẹì f :NRỉ ẹ ề ú ữề ẵà f (0) = 1; f (1) = 2; f (n + 1)f 2(n − 1) = f 3(n), ∀n ∈ N∗ º × Ø ỊØ Đ× Ơ Ơ ÕÙÝ Ị Ơ Ø Ị ĐỊ Úơ (3.31) Ø Ĩ × e Ø f (n) Ø Đ Ị ÝịÙ Ù ó º f (n) > Ú Ñ n ∈ Nº ÄÓ ln f (0) = 0, ln f (1) = ln Ú Ị Ơ Ừ ln f (n + 1) + ln f (n − 1) = ln f (n), ∀n ∈ N∗ Ø un = ln f (n), (∀n ∈ N) Ø Ø Ù ÒÒ Ø Ị ØỊ × Ơ Ị ØÙÝơỊ ØùỊ u0 = 0; u1 = ln 2; un+2 − 3un+1 + 2un = 0, (n ∈ N) Ơ Ị ØỊ Ị Ý Ø ØøĐ f (n) = 22 n −1 Ì Ð Ø Ø Ý Đ× Ị ÝØ f (n) = 22 Ỵù Ơ n −1 un = (2n − 1) ln = ln 22 Đ Ị ÝịÙ Ù ó n è ẻí ẹì ề ẹ ì f : N∗ → R Ĩ Ơ Ø ØøĐ Ị ØøĐ Ð Ị ØỊ f (1) = ; f (n + 1) = nf (n) + n.n!, ∀n ∈ N∗ Ø Ị ÕÙ Ø Ơ , (n ∈ N) ẵ ề ì ỉ ề ỉ ẹ × f (n) Ø Đ Ị ÝịÙ Ù ó Ơ Ò ØÖøÒ f (n + 1) − nf (n) = Ð f (n) = C · · · · · (n − 1) = C(n − 1)! Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn ắà è http://www.lrc-tnu.edu.vn ề ữẹ è ỉứẹ ề ÷Đ Ư ịỊ Ơ Ị ØỊ Ĩ Ị f ∗(n) = Cn(n − 1)!º Ì Ý Ú Ĩ Ơ Ị ØỊ (3.32) Ø Cn+1n! = Cn n! + n.n! ⇔ Cn+1 − Cn = n, ∀n ∈ N n(n − 1) ⇒ f ∗(n) = n(n − 1)((n − 1)!) Ì Ý Ø ØøĐ Cn = 2 Ỵ Ý Ị ÷Đ Ø Ị ÕÙ Ø Ơ Ị ØỊ ÓÐ f (n) = C(n − 1)! + n(n − 1)((n − 1)!) Ỵ f (1) = 89 ỉ é ỉ ỉ í ẹì ẻự ẵ ể C= f (n) Ø Ý f (n) = 89 (n − 1)! + 21 n(n − 1)((n − 1)!) Ì Đ Ị ÝịÙ Ù ó ỊịỊ Ð Đ × Ị ỉứẹ ẻ ẹ ì f : N R Ø Đ Ị óÙ ÷Ị f (1) = 1; f (2) = 0; f (n + 1) − 2f (n) + f (n − 1) = n + 1, ∀n ∈ N∗ Ị Đ Ị Ư Ị (6f (n) − 24) Ð nº º Ø f (n) = un Ø ØĨ Ị ØƯ Ị Ù u1 = 1; u2 = 0; un+1 − 2un + un−1 = n + Ý Ð Ơ Ị ØỊ × Ơ Ị ØÙÝơỊ ØùỊ Ơ Ị Ø Ù Ị Ị Ø º 1 ØỊ Ị Ý Ø Ø Ù un = A + Bn; u∗n = n2 ( n + )º Ĩ Ơ 1 un = A + Bn + n2( n + ), Ú Ú óÙ ÷Ị Ị Ù u1 = 1; u2 = Ø ØƯ Ị Ù Ð ËÙÝ Ư Ỵù un = f (n) = − 6f (n) − 24 = n3 + 3n2 − 22n ¿º½ º ÌøĐ Ø Ø Ð Ị ÷Đ ØĨ Ị 11 n3 n2 n+ + nº Đ× f :N→NØ Đ Ị óÙ ÷Ị f (1) = 1; 2f (n)f (k + n) − 2f (k − n) = 3f (n)f (k), k ≥ n; k, n ∈ N Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ị º Ĩk=n=0Ø f 2(0) = −2f (0)º f (0) = −2º ËÙÝ Ư f (0) = Ĩ f (k) = ặụ f (0) = 0á Ị n = Ø Ý Ú Ĩ Ơ Ị ØỊ Đ ØƯịỊ Ø Ú ∀k ∈ N óÙ Ị Ý Ð Ú Ð Úø Ø Ĩ Ø f (1) = 1º Ỵ Ý f (0) = −2º Ơ ề ỉệứề ẻ f (0) = ề n = Ø Ø uk = f (k)¸ Ø 2f (k + 1) − 3f (k) − 2f (k − 1) = 0, k ∈ N∗ Ơ Ị ØỊ × Ơ Ị ØÙÝơỊ ØùỊ Ơ Ø Ù ỊỊ Ø u0 = −2; u1 = 1; 2uk+1 − 3uk − 2uk−1 = 0, k ∈ N∗ Ơ Ị ØỊ Ị Ý Ø Ỵ Ý f (n) = −2 Ỵù ¿º½ º − uk = −2 − n Ị Đ× f :N→RØ f (0) = 2; f (n + 1) = 3f (n) + Ø Ú º k × Ø ỊØ Đ ỊƠ Đ 8f 2(n) + 1, ∀n ∈ N Đ× f (n + 1) − 3f (n) = Ị ØỊ f (n) Ø Đ Ị ÝịÙ 8f 2(n) + (≥ 1, ∀n ∈ N) Ù ó ºÌ Ø ỊịỊ (3.33) Ø Ò Ò (f (n+1)−3f (n))2 = 8f 2(n)+1 ⇒ f 2(n+1)+f 2(n) = 6f (n)f (n+1)+1 ÌƯĨỊ (3.34) ÌƯ Ø Ị Úơ Ø Ýn n−1 Ú (3.35) ´¿º¿ µ Ø f 2(n + 1) − f 2(n − 1) = 6f (n)(f (n + 1) − f (n − 1)) Ì Ø Ị ÕÙÝ Ị Ơ Ø Ị Ø Ị ´¿º¿ µ Ø f 2(n) + f 2(n − 1) = 6f (n − 1)f (n) + (3.34) ´¿º¿¿µ Ị Ị ĐỊ f (n) > Ú Ñ f (n + 1) > 3f (n) = 9f (n − 1) + 8f 2(n − 1) + > f (n − 1) Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ´¿º¿ µ nº ÀÒ ⇒ f (n + 1) − f (n − 1) > ỴÝØ Ơ Ị (3.36) f (n + 1) + f (n − 1) = 6f (n) Ị ØỊ × Ơ Ị ØÙÝơỊ ØùỊ f (0) = 2; f (1) = + Ơ à Ị ØỊ Ị Ý Ø f (n) = (8 + √ √ 33; f (n + 2) − 6f (n + 1) + f (n) = 0, ∀n ∈ N 66)(3 + Ì Ð Ø Ø Ý Đ× Ị ÝØ √ n 8) + ĐỊ ó Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên (8 − √ √ 66)(3 − 8)n · ỊịỊ Ð Đ× Ị ØøĐº http://www.lrc-tnu.edu.vn à ÐÙ Ị ÌƯĨỊ ÐÙ Ị Ú ề ẩ ễ ỉựề ì ễ ề ữ Ø Ị Đ Ø × Ú Ị ó Ị × ề ề ỉ ỉứẹ ửá ề ũề ẵ ề ó Ị Úó × Ơ Ị Ú Ơ Ị ØỊ × Ơ Ị ØÙÝơỊ ØùỊ º ¾º ÌỊ Ý Đ ỉ ữ ỉ ề ú ễ ề ỉệứề ì ễ Ị ØÙÝơỊ ØùỊ Ơ Đ Ø Ú Ơ ¸ ó Ơ ơỊ Đ Ø Ú Ơ Ị Ơ Ơ ØøĐ ề ữẹ ệ ũề ễ ề ỉệứề ì ễ ề ØÙÝơỊ ØùỊ Ơ Đ Ø Ú Ơ Øư Ơ Ị Ị Ý Ĩ ×Ị Ơ Ø Ịº ¿º Å ệ ề ễ ề ễ ễ ữ ì ỉ ề ỉứẹ ề ữẹ ệ ũề ễ ề ỉệứề ì Ơ Ị ØÙÝơỊ ØùỊ Ơ Đ Ø Ú Ơ Úơ Ô Ò f (n) = αn [Pm (n) cos nβ + Ql (m) sin nβ] ºÅ ƯỊ ĐỊ ØĨ Ị Ü Ị × Ị Ø Ị ÕÙ Ø Ý× (un); (vn) Ø    u = a; v1 = b   un+1 = pun + qvn + ϕ(n)    vn+1 = run + svn + ψ(n) ØƯĨỊ a, b, p, q, r, s Ð Ị × Ø Ù R, ϕ(n), ψ(n) Ð Đ× × Ơ Ĩ ØƯ º º ØĐØ× Ị Ị Ơ Ị ØỊ × Ơ Ị ØÙÝơỊ ØùỊ ØƯĨỊ Ú ÷ ØĨ Ị Ị ØỊ ÌÀÈ̺ Số hóa Trung tâm Học liệu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ẳ è é ữ ỉ ẹ ể ẵ ặ íừề ẻ ề ũềà ắẳẳ àá íũề ú ề é í ì ễ ề ặ ĩ ỉ ề ể ắ ặ íừề ẻ ề ặ íừề ẻ ề è ụề ắẳẳ àá ỉ ì íũề ú ỉự ề ìề ỉệề ễ ỉ ề ặ ĩ ỉ ề ể ặ íừề ẻ ề íũề ú ễ ễ ỉựề ỉệũề í ì è é ữ ề ỉệ ề ắẳẳà ặ íừề ẻ ề ũềà ắẳẳ àá ụề ễ ề é Ú Ơ Ị ¸ ÌƯ Ị ÃĨ Ì Ị ịỊ ¹ ÉÙ À Ị º Äị øỊ Ì Ị ´ ũềà ắẳẳẵàá ẩ ề ỉệứề ì ễ ề ẹ ỉ ì ề ề ặ ĩ ỉ ề ể º Ì Ơ ù ÌĨ Ị Ú ÌÙ ØƯð¸ Ë ỉ ề ẵẵá ắẳẳ ỉệ ắẵà ậ Ĩ Ú Ĩ Ø Ĩ ÌȺ À ù Å Ị ẵ èíửề ỉ ễ ú ỉ ầéíẹễ ẳ ỉ ề é ề ỉ V ặ ĩ ỉ ề ể ỉệ ắ ắ ẳ ậ Ĩ Ú Ĩ Ø Ĩ ÌȺ À ù Å Ị ắẳẳẵàá èíửề ỉ ễ ú ỉ ầéíẹễ ể ỉệ ắẵẵ ắẵắá ắắắ ẳ ỉ ề é ề ỉ V II ặ ĩ ỉ ề S húa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn