Phát triển bài toán thành các bài toán mới nhằm phát huy năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh THPT

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN THÀNH CÁC BÀI TOÁN MỚI NHẰM PHÁT HUY NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THPT MƠN: TỐN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐỀ TÀI: PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN THÀNH CÁC BÀI TOÁN MỚI NHẰM PHÁT HUY NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THPT MƠN: TỐN Tác giả: Trần Đình Hiền Tổ: Toán Năm thực 2020 - 2021 SĐT liên hệ: 0949 996 500 MỤC LỤC PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ I Lý chọn đề tài II Mục đích nghiên cứu III Đối tượng nghiên cứu IV Kế hoạch nghiên cứu V Phương pháp nghiên cứu PHẦN II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I Thực trạng vấn đề trước áp dụng II Kết đạt kinh nghiệm rút III Khả ứng dụng triển khai kết IV Cơ sở lý luận Năng lực tốn học Dạy học hình thành phát triển lực tốn học cho học sinh Tiêu chí, báo hành động mà học sinh thực V Nội dung đề tài Khái quát hóa tốn hình học phẳng thành tốn hình học khơng gian 1.1 Khái qt hóa tốn liên quan đến trọng tâm, trực tâm, tỷ số thể tích, tâm tỷ cự … 1.2 Khái qt hóa tốn liên quan đến quỹ tích Tương tự hóa tốn hình học khơng gian thành tốn 2.1 Tương tự hóa tốn cách thay đổi giả thiết 2.2 Tương tự hóa tốn cách hốn đổi giả thiết kết luận Phát triển tốn hình học tổng hợp thành tốn 3.1 Phát triển thành tốn hình học giải tích 3.2 Phát triển thành toán số phức 3.3 Phát triển thành tốn hình học khơng gian Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm tự ôn luyện PHẦN III KẾT LUẬN I Những kết luận II Những kiến nghị đề xuất Danh mục tài liệu tham khảo Trang 1 2 3 3 3 5 7 21 26 26 31 34 34 36 38 44 51 51 51 PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Theo Chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể, “năng lực thuộc tính cá nhân hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có q trình học tập, rèn luyện, cho phép người huy động tổng hợp kiến thức, kỹ thuộc tính cá nhân khác hứng thú, niềm tin, ý chí, … thực thành công hoạt động định, đạt kết mong muốn điều kiện cụ thể” Trong q trình cơng tác, trải qua nhiều phương pháp dạy học tích cực tơi ln tự hỏi làm để nâng cao chất lượng dạy học Bản thân nhận thấy phải làm cho học sinh phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động khám phá điều chưa biết Để có giảng thu hút học sinh, giúp học sinh phát triển lực tốn học địi hỏi giáo viên phải tìm tịi, cập nhật phương pháp, kĩ thuật dạy học phù hợp với đối tượng học sinh Dạy học dựa phát triển lực (trong có dạy học dựa phát triển lực tư lập luận tốn học) chìa khóa để nâng cao chất lượng dạy học Do dạy học theo hướng phát triển lực học sinh trọng lấy học sinh làm trung tâm giáo viên người hướng dẫn, giúp em chủ động việc đạt lực theo yêu cầu đặt ra, phù hợp với đặc điểm cá nhân Năng lực tư tổng hợp khả cá nhân ghi nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận - giải vấn đề, xử lý linh cảm trình phản ánh, phát triển tri thức vận dụng vào thực tiễn Năng lực lập luận toán học khả cá nhân dựa vào tiền đề cho trước, sử dụng ngôn ngữ toán học, phương pháp luận để đưa kết luận Trong số tốn hình học khơng gian đề thi thử TN THPT tồn quốc, học sinh giỏi tỉnh/thành phố có nhiều tốn khái qt hóa, tương tự hóa đặc biệt hóa từ tốn đơn giản, tốn gây nhiều khó khăn cho học sinh trình vận dụng kiến thức để giải Vì vậy, tơi chọn đề tài nghiên cứu cho sáng kiến kinh nghiệm mình: “Phát triển tốn thành toán nhằm phát huy lực tư lập luận toán học cho học sinh THPT” II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tìm khó khăn thuận lợi học sinh tiếp cận số tốn hình học khơng gian đề thi thử TN THPT toàn quốc, đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh/thành phố Phát triển lực tư lập luận toán học Đặc biệt, học sinh lớp 11 lớp 12 có thêm tài liệu tham khảo tốt để ôn thi TN THPT năm 2021, thi học sinh giỏi cấp tỉnh/thành phố III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Học sinh lớp 11 lớp 12 THPT Giáo viên giảng dạy mơn tốn bậc THPT IV KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU Quá trình giảng dạy áp dụng cho lớp đối tượng học sinh khác để hồn thiện dần Từ tìm kiếm thêm khó khăn, sai lầm mà học sinh thường gặp trình học tập, giải tốn hình học khơng gian Trao đổi chun mơn q Thầy, Cơ mơn Tốn tổ, ngồi trường diễn đàn toán học Đề tài thực năm học 2020-2021 với kế hoạch cụ thể TT Thời gian Nội dung công việc Sản phẩm Từ 20/9/2020 Chọn đề tài Đăng ký đề tài SKKN đến 2/11/2020 Từ 3/11/2020 đến Viết đề cương nghiên cứu Trình xét duyệt 15/12/2020 đề cương SKKN Từ 16/12/2020 Đọc tài liệu lý thuyết viết Tập hợp tài liệu lý đến 30/12/2020 sở lý luận thuyết Từ 1/1/2021 Trao đổi với đồng nghiệp Tập hợp ý kiến đóng đến 15/1/2021 đề xuất sáng kiến góp đồng nghiệp Từ 16/1/2021 Dạy thử nghiệm lớp Thống kê kết đến 30/1/2021 12A, 12D, 12E trường thử nghiệm THPT Đặng Thúc Hứa Từ 1/2/2021 Dạy thử nghiệm lớp Thống kê kết đến 6/3/2021 11 12 trường THPT thử nghiệm huyện Thanh Chương Từ 7/3/2021 Hoàn thiện đề tài nghiên Hoàn thành SKKN đến 20/3/2021 cứu V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Tìm kiếm tài liệu tham khảo liên quan đến tốn hình học khơng gian, phát triển toán thành toán mới, phương pháp dạy học theo phát triển lực tư lập luận toán học Trao đổi với đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực Giảng dạy lớp 11 lớp 12 trường THPT Đặng Thúc Hứa Phối hợp với giáo viên mơn Tốn trường THPT huyện Thanh Chương, tỉnh Nghệ An để dạy thử nghiệm lớp 11 lớp 12 PHẦN II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG Trường THPT Đặng Thúc Hứa đóng địa bàn có nhiều xã khó khăn kinh tế, việc học tập phấn đấu em học sinh chưa thực quan tâm từ bậc học THPT kiến thức sở mơn Tốn học sinh hầu hết tập trung mức độ trung bình Khi chưa áp dụng nghiên cứu đề tài để dạy học nâng cao lực tư lập luận toán học, em thường thụ động việc tiếp cận toán phụ thuộc nhiều vào kiến thức giáo viên cung cấp làm mẫu, em chưa ý thức việc tìm tịi, sáng tạo tạo niềm vui, hứng khởi khám phá, giải toán Kết khảo sát học sinh số lớp giáo viên Toán THPT địa bàn huyện Thanh Chương nội dung hình học khơng gian, có khoảng 10% học sinh hứng thú với toán dạng II KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ KINH NGHIỆM RÚT RA Sau áp dụng kết nghiên cứu đề tài, qua khảo sát cho thấy Có 80% em học sinh có hứng thú với học, giải vấn đề đặt 50% số biết cách tìm tịi, xây dựng tốn tương tự, toán Trong kỳ thi thử TN THPT tồn quốc có 90% học sinh lớp dạy thử nghiệm giải tốn hình học không gian III KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG VÀ TRIỂN KHAI KẾT QUẢ Đề tài tài liệu tham khảo ôn thi TN THPT, thi học sinh giỏi cấp tỉnh/thành phố cho học sinh học lớp 11 lớp 12 THPT Đề tài áp dụng để phát triển thêm lớp toán khác cho giáo viên Tốn trường THPT Đề tài ứng dụng để phát triển thành mơ hình sách tham khảo cho học sinh giáo viên phục vụ học tập giảng dạy mơn tốn IV CƠ SỞ LÝ LUẬN Năng lực toán học Năng lực toán học khả cá nhân biết lập công thức, vận dụng giải thích tốn học nhiều ngữ cảnh Năng lực tốn học phổ thơng khả nhận biết ý nghĩa, vai trị kiến thức tốn học sống; vận dụng phát triển tư toán học để giải vấn đề thực tiễn, đáp ứng nhu cầu đời sống tương lai cách linh hoạt; khả phân tích, suy luận, lập luận, khái qt hóa, trao đổi thơng tin hiệu thơng qua việc đặt ra, hình thành giải vấn đề toán học tình huống, hồn cảnh khác nhau, trọng quy trình, kiến thức hoạt động Năng lực tốn học phổ thông không đồng với khả tiếp nhận nội dung chương trình tốn nhà trường phổ thông truyền thống, mà điều cần nhấn mạnh kiến thức tốn học học, vận dụng phát triển để tăng cường khả phân tích, suy luận, lập luận, khái qt hóa phát tri thức toán học ẩn dấu bên tình huống, kiện 1.1 Năng lực tư toán học Năng lực tư toán học tổng hợp khả cá nhân ghi nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận - giải vấn đề, xử lý linh cảm trình phản ánh, phát triển tri thức vận dụng vào thực tiễn 1.2 Năng lực lập luận toán học Năng lực lập luận toán học khả cá nhân dựa vào tiền đề cho trước, sử dụng ngôn ngữ toán học, phương pháp luận để đưa kết luận Dạy học hình thành phát triển lực toán học cho học sinh 2.1 Phương pháp dạy học phải phù hợp với tiến trình nhận thức học sinh Phương pháp dạy học phải từ cụ thể đến trừu tượng; từ dễ đến khó; khơng coi trọng tính logic khoa học tốn học mà cần ý cách tiếp cận dựa vốn kinh nghiệm trải nghiệm học sinh 2.2 Quán triệt tinh thần “lấy người học làm trung tâm” Phương pháp dạy học phải phát huy tính tích cực, tự giác, ý nhu cầu, lực nhận thức, cách thức học tập khác cá nhân học sinh; tổ chức trình dạy học theo hướng kiến tạo, học sinh tham gia tìm tịi, phát hiện, suy luận giải vấn đề 2.3 Linh hoạt việc vận dụng phương pháp kỹ thuật dạy học tích cực Kết hợp nhuần nhuyễn, sáng tạo kĩ thuật dạy học tích cực với việc vận dụng phương pháp, kĩ thuật dạy học truyền thống; kết hợp hoạt động dạy học lớp học với hoạt động thực hành trải nghiệm, vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn Cấu trúc học bảo đảm tỉ lệ cân đối, hài hòa kiến thức cốt lõi, kiến thức vận dụng thành phần khác 2.4 Sử dụng phương tiện, thiết bị dạy học Sử dụng đủ hiệu phương tiện, thiết bị dạy học tối thiểu theo quy định mơn Tốn; sử dụng đồ dùng dạy học tự làm phù hợp với nội dung học đối tượng học sinh; tăng cường sử dụng công nghệ thông tin phương tiện, thiết bị dạy học đại cách phù hợp hiệu Tiêu chí, báo hành động mà học sinh thực lực tư lập luận toán học Thực thao tác tư duy: So sánh, phân tích, tổng hợp; đặc biệt hóa, khái qt hóa; tương tự; quy nạp, diễn dịch Biết đặt trả lời câu hỏi; biết chứng cứ, lí lẽ lập luận hợp lí trước kết luận Giải thích điều chỉnh cách thức giải vấn đề phương tiện toán học V NỘI DUNG ĐỀ TÀI Trong đề thi thử TN THPT, học sinh giỏi cấp tỉnh/thành phố có nhiều tốn khái qt hóa, tương tự hóa đặc biệt hóa từ tốn đơn giản, tốn gây nhiều khó khăn cho học sinh q trình vận dụng kiến thức để giải Ví dụ 1: [Câu 45 – THPT Chuyên Phan Bội Châu (Nghệ An) lần năm 2020] Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với (ABC ), AB  3, AC  BAC  600 Gọi M , N hình chiếu A lên cạnh SB, SC Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ABCNM A R  B R  21 C R  D R  Ví dụ [THPT Thạch Thành 1- Thanh Hóa – 2021] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác thỏa mãn AB  a, AC  a 2, BAC  1350, tam giác SAB vuông B tam giác SAC vuông A Biết góc hai mặt phẳng (SAC ) (SAB ) 300 Thể tích V khối chóp S ABC A V  a3 B V  a3 C V  a3 D V  a3 Ví dụ 3: [Câu 47 – Khối THPT chuyên Đại học Vinh lần năm 2018] Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(10;6; 2), B(5;10; 9) mặt phẳng () : 2x  2y  z  12  Điểm M di động mặt phẳng () cho MA, MB ln tạo với () góc Biết M ln thuộc đường trịn () cố định Hồnh độ tâm đường trịn () C D 10 Ví dụ 4: [Câu 5.b HSG lớp 11 vòng năm 2020 - trường THPT Đặng Thúc Hứa] A – B Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G, cạnh AB  a; O tâm tam giác BCD M điểm thuộc mặt phẳng (BCD ) Gọi H , K , L hình chiếu vng góc M lên mặt phẳng (ACD ),(ABD ),(ABC ) Chứng minh đường thẳng GM qua trọng tâm E tam giác HKL Ví dụ 5: [Câu HSG lớp 11 vòng năm học 2015-2016 THPT Đô Lương 1] Cho tứ diện ABCD Gọi O điểm cách A, B,C , D Gọi ma , mb , mc , md độ dài đường trọng tuyến kẻ từ đỉnh A, B, C , D R khoảng cách từ O đến đỉnh thỏa mãn 3(ma  mb  mc  md )  16R Chứng minh AB  CD, BC  AD, CA  BD (trọng tuyến tứ diện đoạn nối từ đỉnh đến trọng tâm mặt đối diện) Trong trình giảng dạy, trao đổi chuyên môn với đồng nghiệp, tương tác với học sinh nội dung hình học khơng gian, nhiều giáo viên gặp khó khăn lập luận, giải thích để học sinh hiểu; phần lớn học sinh lớp 11, 12 định hướng cách làm thụ động tiếp thu kiến thức từ giải thích, lập luận giáo viên, bạn bè Trong đề tài việc phát triển lực tư duy, lập luận tốn học dựa ngun tắc q trình nhận thức qua giai đoạn từ đơn giản đến phức tạp, từ thấp đến cao, từ cụ thể đến trừu tượng, từ hình thức bên ngồi đến chất bên Sau số dạng toán phân tích, suy luận, tương tự hóa, đặc biệt hóa tổng quát hóa từ giúp học sinh phát triển lực toán học Khái quát hóa tốn hình học phẳng thành tốn hình khơng gian 1.1 Khái qt hóa tốn liên quan đến trọng tâm, trực tâm, thẳng hàng, tỷ số thể tích, tâm tỷ cự… Bài tốn 1: Trong mặt phẳng Trong khơng gian Cho tam giác ABC có trọng Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G E tâm G M trung điểm trọng tâm tam giác BCD Gọi M , N cạnh BC trung điểm AB,CD Định nghĩa 1: Ba đường Định nghĩa 1: Bốn đường đường trọng trung tuyến đồng quy trọng tuyến đồng quy trọng tâm G tứ tâm G diện      Định nghĩa 2: Định nghĩa 2: GA  GB  GC  GD      GA  GB  GC    Tính chất: AG  2GM Tính chất 1: G trung điểm đoạn thẳng MN   Tính chất 2: AG  3GE GY: Bài tốn khơng gian Tính chất 1: Do M , N trung điểm AB,CD nên       GA  GB  2GM , GC  GD  2GN      Do G trọng tâm tứ diện ABCD nên GA  GB  GC  GD  , ta    có 2GM  2GN  suy G trung điểm đoạn thẳng MN Tính chất 2: Cách 1: Áp dụng định lý Menelaus ta có   AM BN EG   AG  3GE , AG  3GE MB NE GA Cách 2: Dựng điểm MF song song với AE (trong F  BN ) Áp dụng   1 định lý Thales GE  MF  AE  AE  4GE  AG  3GE 2  Học sinh hiểu khả khái quát hóa định nghĩa trọng tâm  Từ toán sáng tạo thành toán tương tự cách thay đổi giả thiết kết luận Bài tốn 1.1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính AC  2a , cạnh bên SA vng góc với đáy, SA  3a Gọi B ',C ', D ' hình chiếu A lên cạnh SB, SC , SD a) Chứng minh: SBC  SDC  900 b) Chứng minh A, B ',C ', D ' đồng phẳng c) Xác định tâm tính bán kính mặt cầu qua điểm A, B,C , D, B ',C ', D ' d) Tính góc hai mặt phẳng (AB ' D ') (ABCD ) GY: a) BC  SA, BC  AB  BC  SB ; CD  SA,CD  AD  CD  SD b) BC  (SAB )  BC  AB ';CD  (SAD )  CD  AD ' AB '  SB, AB '  BC  AB '  SC ; AD '  SD, AD '  CD  AD '  SC SC  AB ', SC  AD ', SC  AC '  A, B ',C ', D ' đồng phẳng c) AB '  (SBC )  AB '  B 'C ; AD '  (SCD )  AD '  CD ' Do B, B ', C ', D ', D nhìn đoạn AC góc vng, A, B,C , D, B ',C ', D ' thuộc mặt cầu đường kính AC Bán kính mặt cầu R  a d) SA  (ABCD ), SC  (AB ' D ')  góc hai mặt phẳng (AB ' D ') (ABCD ) góc hai đường thẳng SA SC , góc ASC tan ASC  AC   ASC  300 SA Bài toán 1.2: Cho hình chóp S ABC có BAC  600, cạnh bên SA vng góc với đáy, SA  2BC Gọi B ',C ' hình chiếu A lên cạnh SB, SC a) Xác định tâm tính bán kính mặt cầu qua điểm A, B,C , B ',C ' b) Tính góc hai mặt phẳng (AB 'C ') (ABC ) GY: a) Dựng điểm D cho tứ giác ABDC nội tiếp đường trịn đường kính AD AB '  (SBD )  AB '  B ' D; AC '  (SCD )  AC '  C ' D Do B, B ', C ', D ', D nhìn đoạn AD góc vng, A, B,C , D, B ',C ', D ' thuộc 39 mặt cầu đường kính AD Bán kính mặt cầu R  AD BC  2 sin 600 b) SA  (ABC ), SD  (AB 'C ')  góc hai mặt phẳng (AB 'C ') (ABC ) góc hai đường thẳng SA SD, góc ASD AD  BC SA SA AD    tan ASD    ASC  300 0 SA sin 60 sin 60 3 Bài tốn 1.3: Cho hình chóp S ABC có tam giác ABC vng A, AC  a, AB  a 3, SBA  SCA  90 , góc hai đường thẳng SC AB 60 Tính khoảng cách hai đường thẳng BC SA GY: Gọi H hình chiếu S lên mặt phẳng (ABC ) AB  SH , AB  SB  AB  HB; AC  SH , AC  SC  AC  HC , tứ giác HBAC hình chữ nhật Góc hai đường thẳng SC AB góc hai đường thẳng SC HC , hay SCH  600 Gọi M , E hình chiếu vng góc A, H lên cạnh BC , dựng hình chữ nhật AMEN Gọi K hình chiếu H lên SN  HK  (SAN ) 2 Khoảng cách d (BC , SA)  d(BC ,(SAN ))  d(E ,(SAN ))  d (H ,(SAN ))  HK HN  a 3, SH  3HC  3a  d (BC , SA)  1    HK  a Vì 2 2 HK SH HN 3a  Nếu chưa trang bị tốn gốc tốn học sinh gặp nhiều khó khăn vẽ hình, xác định điểm H hình chiếu đỉnh S lên mặt phẳng (ABC ), từ gặp vấn đề nảy sinh tư duy, lập luận Bài toán gốc 2: Cho hình chóp S ABCD có SABD tứ diện cạnh 6, tam giác SAC nằm mặt phẳng vng góc với đáy, SC  18 Tính góc ASC BSC GY: Gọi M trung điểm cạnh BD, H hình chiếu vng góc S lên (ABCD )  AH  AM   SH  , HC  SC  SH  10 3  AC  12 BC  40 Xét tam giác SAC  cos ASC  SA2  SC  AC  2SASC Xét tam giác SBC  cos BSC  SB  SC  BC   BSC  600 2SB.SC  Bài tốn hình thành cách thay đổi giả thiết Để giải vấn đề đặt học sinh cần áp dụng toán gốc  Từ toán sáng tạo thành toán tương tự cách thay đổi giả thiết Bài toán 2.1: Cho khối đa diện S ABCD có SA  SB  SD  6, SC  18 ASB  BSC  DSA  BSD  600 , ASC  , cos    khối đa diện S ABCD Tính thể tích GY: Từ giả thiết ta có S ABD tứ diện cạnh , H tâm tam giác ABD  SH  (ABCD ) Ta có AC  SA2  SC  2SA.SC cos   AC  12 3, BC  SB  SC  2SB.SC cos 600  BC  7, cos BAC   BAC  300  CD  BC  SBC  SCD  CSD  600 VS ABCD  VS ABD VS BCD  18  62.18  cos3 600  cos2 600  72 Bài toán 2.2: Cho khối đa diện S ABCD cách ghép nối hai khối chóp tam giác S ABD S BCD lại với (hình vẽ) Biết SA  6, SB  4, SD  2, SC  18, ASB  BSC  DSA  BSD  600 , ASC  , cos    Tính thể tích VS ABCD GY: Trên tia SB lấy điểm B ' , tia SD lấy điểm D ' cho SB '  SD '   C ' SD '  600 Do thể tích khối đa diện S ABCD V  VS ABD  VS BCD  16 Bài tốn gốc 3: Cho hình chóp S ABC SA  SB  SC  a có ASB  600 , BSC  900 , CSA  1200 Xác định tâm I tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC 41 GY: AB  a, BC  a 2, AC  a  ABC vuông B Gọi H trung điểm AC  H tâm đường tròn ngoại tiếp ABC SH  (ABC ) Tâm I mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC thuộc đường thẳng SH IA  IS  IC  I tâm đường trịn ngoại tiếp SAC , bán kính mặt cầu bán kính đường trịn ngoại tiếp SAC R  AC  a sin ASC  Bài tốn hình thành cách thay đổi giả thiết, tốn trở thành vấn đề khó Để giải vấn đề đặt học sinh cần áp dụng toán gốc  Từ toán sáng tạo thành toán tương tự cách thay đổi giả thiết Bài toán 3.1: Cho hình chóp S ABC có SA  SB  a, ASB  600 , SC  2a BSC  900 , CSA  1200 Xác định tâm I tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC GY: Gọi C ' trung điểm SC J tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC ' Gọi E , F tâm đường tròn ngoại tiếp SAB, SAC  EJ  (SAB ), gọi K hình chiếu vng góc B lên AC  BK  (SAC ) Gọi d1, d2 trục đường tròn ngoại tiếp SAB, SAC  d1  EJ , d2 qua F d2 / /BK Đường thẳng d1, d2 cắt I , I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Ta có C ' I / /SK  J trung điểm {G }  EI  BK  IJF  GJK  IF  GK   SF  FA  FC  AC  sin 1200 R  IS  SF  IF  21a KI Gọi 6a Ta có AC  7a BK  12 Bán kính mặt cầu 38a Bài tốn 3.2: Cho hình chóp S ABC có SA  a, SB  2a, SC  3a ASB  600 , BSC  900 , CSA  1200 Xác định tâm I tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC 42 GY: Lấy điểm B ',C ' thuộc tia SB, SC thỏa mãn SB '  SC '  a J tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S AB 'C ' Gọi E, F , B ' tâm đường tròn ngoại tiếp SAB ', SAC , SAB  EJ  (SAB '), gọi K hình chiếu vng góc B ' lên AC  BK  (SAC ) Gọi d1, d2 trục đường tròn ngoại tiếp SAB, SAC , d1 qua B ', d1 / /EJ d2 qua F , d2 / /B ' K Đường thẳng d1, d2 cắt I , I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Gọi {G }  EJ  B ' K  GK  B ' K , KJ  KF , B ' K  KF , IF  KF  IF  6a AC B 'K  Ta có AC  13a  SF  FA  FC   12 sin1200 Bán kính mặt cầu R  IS  SF  IF  39a 70a Bài toán gốc 4: Cho hình chóp có SA  SB  SC  a S ABC ASB  600 , BSC  900 , CSA  1200 Tính thể tích khối chóp S ABC GY: Ta có AB  a, BC  a 2,CA  a  ABC vuông B Gọi H hình chiếu vng góc S lên (ABC )  SAH  SBH  SCH  HA  HB  HC  H tâm đường tròn ngoại tiếp ABC  H trung điểm AC S ABC  AB.BC  2a a a3 , SH   VS ABC  SH S ABC  2 12  Bài tốn hình thành cách dựng hình, thay đổi giả thiết kết luận Để giải vấn đề đặt học sinh cần áp dụng toán gốc Bài toán 4.1: Cho lăng trụ ABC A ' B 'C ' có S trung điểm cạnh BB ' thỏa mãn SA  SB  SC  a ASB  600 , BSC  900 , CSA  1200 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B 'C ' GY: Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B 'C ' VABC A ' B 'C '  6VS ABC  a3 43 Bài toán 4.2: Cho lăng trụ ABC A ' B 'C ' có S trung điểm cạnh AA ' thỏa mãn SA  SB  SC  a ASB  600 , BSC  900 , góc hai mặt phẳng (SBC ) (ABC ) 450 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B 'C ' GY: Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B 'C ' VABC A ' B 'C '  6VS ABC  a3 Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm tự ôn luyện Câu Cho hình chóp S ABC có SA  a, SB  2a, SC  3a , SAB  BSC  900 , CSA  600 Thể tích khối chóp S ABC A 2a 12 B 2a C 3a D a Câu Cho hình chóp S ABC có SA  SB  SC  a ASB  600, BSC  900 , CSA  1200 Gọi H trung điểm AC , M điểm thay đổi đoạn thẳng AB Gọi  góc tạo SM ABC  Giá trị nhỏ cos  A B Câu Cho khối chóp S ABC C D có SA  SB  SC , ASB  600, BSC  900 , CSA  1200 Gọi M , N hai điểm cạnh AB SC cho CN AM  Khi độ dài MN nhỏ nhất, tính thể tích V khối chóp SC AB S AMN 2a 2a C.V  72 432 Câu Cho hình chóp S ABC có đáy A V  2a 72 B V  D V  2a 432 tam giác vuông B, SA  SB  2a, ASB  600 , BSC  900 , góc hai mặt phẳng (SBC ) (ABC ) 450 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC A 8a B 16 a C 4a D 32 a 44 Câu Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông B, SA  SB  2a, ASB  600 , BSC  900 , góc SB (ABC ) 450 Gọi  góc hai mặt phẳng (SAB ) (SBC ), giá trị cos  A 3 B C D Câu Cho khối chóp S ABC , đáy ABC tam giác có AB  2, AC  12, BAC  450, cạnh bên SA vng góc với đáy, SA  12 Gọi () mặt phẳng qua đỉnh A vng góc với cạnh SC , mặt phẳng () chia khối chóp S ABC thành khối đa diện tích V1,V2 (trong V1 thể tích khối đa diện chứa đỉnh S ) Tỷ số V1 V2 Câu Cho khối chóp S ABC , đáy ABC B A C D tam giác có AB  1, AC  2, BAC  1200, cạnh bên SA vng góc với đáy, SA  Gọi () mặt phẳng qua đỉnh A vng góc với cạnh SC , mặt phẳng () chia khối chóp S ABC thành khối đa diện tích V1,V2 (trong V1 thể tích khối đa diện chứa đỉnh S ) Tỷ số A V1 V2 B C D Câu Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với đáy, SA  2BC BAC  1200 Gọi E , F hình chiếu A lên cạnh SB, SC Góc hai mặt phẳng (AEF ) (ABC ) A 600 C 450 B 300 D 150 45 Câu Cho hình chóp S ABC , đáy ABC tam giác có AB  a 2, AC  6a, BAC  450, cạnh bên SA vng góc với đáy Gọi H , K hình chiếu vng góc A lên cạnh bên SA, SB Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện A.BCKH A a 13 B a 26 C 3a D a Câu 10 [THPT Nguyễn Đức Cảnh – Thái Bình - 2021] Cho tam giác ABC có BC  a, BAC  1350 Trên đường thẳng vng góc với (ABC ) A lấy điểm S thỏa mãn SA  a Hình chiếu vng góc S SB, SC M , N Góc hai mặt phẳng (ABC ) (AMN ) B 300 A 750 C 450 D 600 Câu 11 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B , AB  BC  a, AD  2a , SA  3a SA vng góc với đáy (tham khảo hình vẽ) Mặt phẳng (P ) qua A vng góc với SD chia khối chóp thành khối đa diện, gọi V1 thể tích khối đa diện chứa đỉnh S , V2 thể tích khối đa diện cịn lại Tỷ số thể tích A V1 V2 B C D Câu 12 Cho khối chóp S ABC có AB  2, AC  2, BAC  1350, SBA  SCA  900, góc cạnh SB mặt phẳng (ABC ) 450 (tham khảo hình vẽ) Thể tích khối chóp S ABC A B C 12 D Câu 13 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông cân B, AB  2a, SA  a 10, SAB  900 , SBC  SCB Khoảng cách hai đường thẳng AC SB A a B 3a C a D 3a 46 Câu 14 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cân B, AB  a, ABC  1200 , SAB  SCB  900 , góc hai đường thẳng SA BC 600 Khoảng cách hai đường thẳng AC SB 6a A Câu 30a 10 B 15 Cho tứ 15a 10 ABCD C diện 6a BC  3,CD  4, D có ABC  BCD  ADC  900 Góc hai đường thẳng AD BC 600 Cosin góc hai mặt phẳng (ABC ) (ACD ) A 43 86 B 43 43 C 43 43 D 43 43 Câu 16 Cho hình chóp S ABC có AB  a, AC  a 3, SB  2a ABC  SAB  BCS  900 Biết sin góc đường thẳng SB mặt phẳng (SAC ) 6a 11 , tính thể tích V khối chóp S ABC 11 3a Câu 17 [Liên trường Nghệ An - 2020] Cho tứ diện ABCD có BC  2a, A V  6a B V  3a C V  D V  CD  a, ABC  ADC  ACD  900, góc AB mặt phẳng (BCD ) 600 Tính khoảng cách AC BD A 6a 31 B 6a 31 C 3a 31 D 3a 31 Câu 18 [HSG Phú Thọ - 2018] Cho tứ diện ABCD có đáy BCD tam giác vng cân C , BC  a, AC  a 3, ABC  ADC  900 Góc hai mặt phẳng (ABC ) (BCD ) A 300 B 450 C 600 D 750 Câu 19 [Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa - 2021] Cho tứ diện ABCD có ABC , ABD, ACD tam giác vuông tương ứng A, B,C Góc AD (ABC ) 450 ,AD  BC , khoảng cách AD BC a Thể tích V khối tứ diện ABCD 3a a3 2a C V  D V  Câu 20 Cho tứ diện ABCD có đáy ABC tam giác thỏa mãn A V  a3 B V  AB  a, AC  a 5, ABC  1350, DAB  CBD  900 Biết góc hai mặt 47 phẳng (ABD ) (BCD ) 300 Thể tích V khối tứ diện ABCD a3 B V  a3 a3 a3 Câu 21 [Cụm liên trường Hải Phòng - 2019] Cho hình chóp S ABC có A V  C V  D V  đáy ABC tam giác cạnh a, SAB  SCB  900 Gọi M trung điểm 6a Tính thể tích VS ABC cạnh SA Khoảng cách từ A đến (SBC ) 3a 12 Câu 22 [THPT Gia Bình – Bắc Ninh - 2021] Cho hình chóp S ABCD A V  có 3a 12 ABCD đáy B V  hình 3a thang, C V  AB //CD, 3a D V  AB  2a, AD  CD  CB  a, SAD  SBD  900, góc hai mặt phẳng (SAB ) (SBD )  thỏa mãn cos   Thể tích V khối chóp S ABC a3 a3 a3 C V  D V  6 Câu 23 Cho khối lăng trụ ABC A ' B 'C ' có đáy ABC tam giác vng A V  a3 18 B V  A, AB  1, BC  2, CBB '  900, ABB '  1200 Gọi M trung điểm AA ' Biết d (AB ',CM )  A 2 Thể tích khối lăng trụ cho B C D D Câu 24 Cho khối lăng trụ ABC A ' B 'C ' đáy tam giác vuông ABC B, AB  1, BC  2, ABB '  600, B ' BC  450 Gọi M trung điểm cạnh BB ' Biết khoảng (tham khảo hình bên), thể tích khối lăng trụ ABC A ' B 'C ' cách AB CM A B C Câu 25 Cho khối đa diện S ABCD cách ghép nối hai khối chóp tam giác S ABD S BCD lại với (hình vẽ) Biết SA  6, SB  4, SD  2, SC  15 ASC  , cos    , ASB  BSC  DSA  BSD  600 Tính thể tích khối đa diện S ABCD A 15 B 16 C 14 D 12 48 Câu 26 Cho hình chóp S ABC có SA  SB  a, SC  a ASB  600, BSC  900 , CSA  1200 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC 38a 38a D R  16 Câu 27 [SGD Bắc Ninh – 2019] Cho tứ diện SABC có trọng tâm G A R  38a B R  38a C R  Mặt phẳng (P ) quay xung quanh AG cắt cạnh SB, SC B ',C ' Giá trị nhỏ tỷ số VS ABC 1 D Câu 28 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A, A VS AB 'C ' B C AB  3a, AC  a, mặt phẳng (SBC ) vng góc với đáy Biết mặt phẳng (SAB ),(SAC ) tạo với đáy góc ,  thỏa mãn     900 Thể tích khối chóp S ABC có giá trị lớn 3a 3 2a D 10 Câu 29 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(10;6; 2), A 3a B 3a 13 C B(5;10; 9) mặt phẳng (P ) : 2x  2y  z  12  Gọi M (a;b; c) điểm di động mặt phẳng (P ) cho MA, MB tạo với mặt phẳng (P ) góc ,  thỏa mãn     900 Khi biểu thức T  4MA  MB đạt giá trị lớn nhất, giá trị biểu thức a  b  c A 15 B C D 13 Câu 30 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;2; 0), B(2; 0;2) Gọi (S ) mặt cầu đường kính AB Ax , By hai tiếp tuyến mặt cầu (S ) thỏa mãn Ax vng góc với By Gọi M , N hai điểm di động Ax , By cho đường thẳng MN tiếp xúc với mặt cầu (S ) Giá trị biểu thức T  AM BN A T  B T  C T  12 D T  24 Câu 31 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 0), B(0; 2; 0), C (0; 0; 2) Các điểm A ', B ',C ' ba cạnh OA,OB,OC thỏa OA OB OC    khối tứ diện OA ' B 'C ' tích nhỏ Mặt OA ' OB ' OC ' phẳng (P ) : ax  by  cz   qua điểm A ', B ',C ' Tính T  a  b  c mãn A T   B T  4 C T  2 D T  3 49 Câu 32 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 4;2) mặt phẳng (P ) : 2x  2y  z  Gọi M điểm nằm (P ), N trung điểm OM , H hình chiếu O lên AM Biết M thay đổi đường thẳng HN ln tiếp xúc với mặt cầu cố định Tính bán kính R mặt cầu A R  B R  C R  D R  Câu 33 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x  2y  z  15  Gọi M điểm di động (P ), N điểm thuộc tia OM cho OM ON  10 Khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (P ) có giá trị nhỏ A B C D Câu 34 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(9; 0; 0), B(4; 3; 6) mặt cầu (S ) : x  y  z  Điểm M (a;b; c) thuộc mặt cầu (S) cho P  MA  3MB đạt giá trị nhỏ Giá trị biểu thức T  a  b  c A T  3 B T  C T  D T  Câu 35 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(5; 5;1), B(6; 3; 6) mặt phẳng (P ) : 2x  2y  z   Biết tập hợp điểm M mặt phẳng (P ) cho đường thẳng MA, MB tạo với (P ) góc đường tròn tâm I (a;b;c) Biểu thức T  a  b  c A T  B T  C T  5 D T  19 Câu 36 Cho ba số phức z, z 1, z thỏa mãn | z1 || z | | z  z | Tìm giá trị nhỏ biểu thức T | z |  | z  z1 |  | z  z | A T   3 Câu Đáp án B Câu 13 Đáp án C Câu 25 Đáp án C A 14 C 26 A C 15 B 27 A B T   B 16 A 28 A B 17 C 29 B C T   ĐÁP ÁN D A 18 19 B D 30 31 A C B 20 C 32 D A 21 B 33 D D T   2 10 C 22 C 34 C 11 B 23 A 35 B 12 D 24 A 36 A 50 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Trong q trình giải tốn hình học khơng gian tơi thấy có khó khăn dựng hình, định hướng lời giải; giải thích, lập luận; tổng qt hóa tốn; đặc biệt tự đặt câu hỏi tốn hình thành từ tốn gốc nào? Việc dạy học thơng qua giải tốn hình học khơng gian đơn lẻ, thiếu hệ thống không phát huy hết lực tư lập luận toán học cho học sinh, học sinh gặp khó khăn gặp tốn Sau nghiên cứu, thân hệ thống số toán gốc phát triển thành tốn hình học khơng gian, tổng qt hóa, tương tự hóa tốn Việc tổ chức dạy học theo hướng kiến tạo phát huy tính tích cực, chủ động, tự giác học sinh; học sinh hứng khởi hơn; sáng tạo trình giải vấn đề nảy sinh; từ giúp học sinh hình thành phát triển lực tư lập luận tốn học Sau khóa học, trải nghiệm tập hình học khơng gian, học sinh tiến hơn; tự lập tương tác tốt hơn; tự tin chủ động hơn; sáng tạo đam mê mơn tốn PHẦN III KẾT LUẬN I NHỮNG KẾT LUẬN Trong đề tài nêu sở lý luận lực toán học; phương pháp dạy học phát huy lực tư lập luận toán học cho học sinh Trong dạy học phát huy lực tư lập luận tốn học giúp học sinh tìm phương pháp giải tập, giúp học sinh biết tương tự hóa, tổng qt hóa thành tốn Đề tài hệ thống dạng tập từ dễ đến khó, tập xây dựng thành thuật toán để giải quyết; tập tương tự hóa, đặc biệt hóa, tổng quát hóa Đề tài xây dựng phát triển thành hệ thống tốn hình học không gian, tài liệu tham khảo cho học sinh giáo viên II NHỮNG KIẾN NGHỊ ĐỀ XUẤT Trong dạy học phát huy lực tư lập luận toán học cho học sinh, giáo viên cần xây dựng giảng thành hệ thống tập có phương pháp quy trình giải tốn; xây dựng tập từ dễ đến khó; xây dựng hệ thống tập theo hướng tổng quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa Phương pháp dạy học phải phát huy tính tích cực, tự giác học sinh, học sinh tìm tịi, phát hiện, suy luận giải vấn đề; đặc biệt hóa, tổng quát hóa, tương tự hóa dạng tập Thanh Chương, ngày 20 tháng năm 2021 Tác giả 51 TT [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Tên Nhà xuất Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn Trường ĐH sư phạm Hà (Trong chương trình Giáo dục phổ thơng Nội, năm 2019 2018) Phát triển lực tư cho học sinh phổ Tạp chí giáo dục số 309 thơng dạy học giải toán – Tác giả: ThS năm 2013 Bùi Thị Hường Dạy học phát triển lực giao tiếp tốn Tạp chí giáo dục số 369 học cho học sinh trung học phổ thông thông năm 2015 qua biểu diễn trực quan tốn học Hình học 11, 12 (SGK) Bộ Giáo dục Đào tạo Đề thi TN THPT mơn Tốn năm 2017, 2018, Bộ Giáo dục Đào tạo 2019, 2020 Đề minh họa, tham khảo mơn Tốn Kỳ Bộ Giáo dục Đào tạo thi TN THPT mơn Tốn năm 2017, 2018, 2019, 2020 Đề thi thử THPT quốc gia mơn Tốn năm Internet 2017, 2018, 2019, 2020 Đề thi HSG tỉnh/thành phố Internet Một số tài liệu liên hệ hình học phẳng Internet hình học khơng gian 52 ĐÁNH GIÁ CỦA TỔ CHUYÊN MÔN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG 53 ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐỀ TÀI: PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN THÀNH CÁC BÀI TOÁN MỚI NHẰM PHÁT HUY NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THPT MƠN: TỐN Tác... dạy học phù hợp với đối tư? ??ng học sinh Dạy học dựa phát triển lực (trong có dạy học dựa phát triển lực tư lập luận toán học) chìa khóa để nâng cao chất lượng dạy học Do dạy học theo hướng phát triển. .. khăn cho học sinh trình vận dụng kiến thức để giải Vì vậy, chọn đề tài nghiên cứu cho sáng kiến kinh nghiệm mình: ? ?Phát triển tốn thành toán nhằm phát huy lực tư lập luận toán học cho học sinh THPT? ??