Phát huy năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh khá giỏi THPT trong khi dạy học chủ đề bất đẳng thức

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong năm gần đây, tốc độ phát triển nhanh chóng tri thức nhân loại tiến khoa học kĩ thuật, đặc biệt công nghệ thơng tin làm cho mơ hình dạy học theo tiếp cận nội dung khơng cịn phù hợp Dạy học theo tiếp cận phát triển lực học sinh bước ngoặt lớn đánh dấu chuyển mạnh mẽ chất ngành Giáo dục Đào tạo nước ta giai đoạn Mục tiêu dạy học chuyển từ việc chủ yếu trang bị kiến thức sang hình thành, phát triển phẩm chất lực người học Chương trình tổng thể Ban hành theo Thông tư 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26/12/2018 nêu rõ “Giáo dục tốn học hình thành phát triển cho học sinh phẩm chất chủ yếu, lực chung lực toán học với thành tố cốt lõi: lực tư lập luận toán học, lực mơ hình hóa tốn học, lực giải vấn đề toán học, lực giao tiếp toán học, lực sử dụng công cụ phương tiện học toán; phát triển kiến thức, kĩ then chốt tạo hội để học sinh trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tiễn, giáo dục toán học tạo dựng kết nối ý tưởng tốn học, tốn học với mơn học khác toán học với đời sống thực tiễn’’ Năng lực Tốn học học sinh phổ thơng biểu qua: tính linh hoạt trình tư hoạt động tốn học; khuynh hướng vươn tới tính rõ ràng, đơn giản, tiết kiệm, hợp lí lời giải; nhanh chóng dễ dàng sửa lại phương hướng trình tư duy, chuyển từ tiến trình tư thuận sang tiến trình tư đảo Như việc bồi dưỡng lực thành phần mơn tốn phát huy lực tư lập luận toán học cho học sinh xem quan trọng, phụ thuộc nhiều đổi PPDH GV Trong chương trình tốn học phổ thơng, bất đẳng thức đóng vai trị quan trọng Nó xuất câu khó đề thi học kỳ, thi vào trường Chuyên, thi HSG cấp Ngoài việc diện toán độc lập, bất đẳng thức xuất nhiều phần khác tốn học: tốn tìm miền xác định, đồng biến, nghịch biến, phương trình, hệ phương trình, lượng giác, hình học, tổ hợp - phép đếm - xác suất, toán max, min, số phức, hàm mũ – logarit Đặc biệt, bất đẳng thức chiếm tỉ lệ lớn toán vận dụng cao kỳ thi THPTQG Mặc dù tầm quan trọng bất đẳng thức lớn thế, đa số học sinh lại không hứng thú với phần kiến thức Một phần nội dung kiến thức chuyên đề bất đẳng thức tương đối khó, phương pháp giải kỹ thuật biến đổi phong phú nên học sinh sợ Phần khác thời lượng chương trình dành cho bất đẳng thức q ít, khơng đủ để học sinh tiếp cận cách bản, nội dung kiến thức chuyên đề xuyên suốt chương trình mơn Tốn nhà trường phổ thơng Thực tế cho thấy học sinh – giỏi tiếp cận giải toán bất đẳng thức nhiều thụ động, máy móc thiếu tính sáng tạo Với trăn trở trên, lựa chọn đề tài: “Phát huy lực tư lập luận toán học cho học sinh giỏi THPT dạy học chủ đề bất đẳng thức” nhằm khơi gợi tư duy, định hướng giải toán bất đẳng thức với mong muốn giúp em học sinh hứng thú đạt hiệu cao học chủ đề bất đẳng thức II NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Điều tra thực trạng tình hình dạy học bất đẳng thức trường THPT - Nghiên cứu kiến thức tảng bất đẳng thức, phương pháp chứng minh bất đẳng thức qua SGK tài liệu tham khảo - Triển khai đề tài trình dạy học cách lựa chọn kiến thức toán bất đẳng thức phù hợp đưa vào tiết học khố, tiết học thêm buổi chiều buổi bồi dưỡng HSG - Kiểm tra, đánh giá, trao đổi với học sinh, giáo viên tốn qua thấy hiệu việc áp dụng đề tài đồng thời điều chỉnh việc dạy học nội dung bất đẳng thức cho phù hợp nhằm nâng cao chất lượng học bất đẳng thức nói riêng học mơn tốn nói chung - Lập nhóm facebook gồm GV yêu thích chủ đề bất đẳng thức để trao đổi toán, cách giải hay, kinh nghiệm làm toán bất đẳng thức III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Học sinh bậc trung học phổ thơng - GV dạy tốn bậc trung học phổ thơng - Tài liệu PPDH, bất đẳng thức IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Phương pháp điều tra, phân tích - Phương pháp thống kê, xử lí số liệu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - Phương pháp thực nghiệm V CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI Phần I Đặt vấn đề Phần II Nội dung Phần III Kết luận PHẦN II NỘI DUNG A CƠ SỞ LÍ LUẬN, CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI Cơ sở lí luận đề tài 1.1.Năng lực Theo Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể, “năng lực thuộc tính cá nhân hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có q trình học tập, rèn luyện, cho phép người huy động tổng hợp kiến thức, kĩ thuộc tính cá nhân khác hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực thành công loại hoạt động định, đạt kết mong muốn điều kiện cụ thể” Bản chất lực khả chủ thể kết hợp cách linh hoạt, có tổ chức hợp lí kiến thức, kĩ với thái độ, giá trị, động cơ, nhằm đáp ứng yêu cầu phức hợp hoạt động, bảo đảm cho hoạt động đạt kết tốt đẹp tình định 1.2 Năng lực toán học 1.2.1 Các thành tố cốt lõi lực toán học Năng lực toán học bao gồm thành tố cốt lõi sau: Năng lực tư lập luận toán học; lực mơ hình hóa tốn học; lực giải vấn đề toán học; lực giao tiếp toán học; lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học tốn 1.2.2 Yêu cầu cần đạt lực toán học HS THPT Dạy học theo hướng phát triển lực học sinh chuyển đổi từ việc “học sinh cần phải biết gì” sang việc “phải biết làm gì” tình bối cảnh khác Do dạy học theo hướng phát triển lực học sinh trọng lấy học sinh làm trung tâm giáo viên người hướng dẫn, giúp em chủ động việc đạt lực theo yêu cầu đặt ra, phù hợp với đặc điểm cá nhân Mơn Tốn cấp THPT nhằm giúp học sinh phát triển lực toán học với yêu cầu cần đạt: Nêu trả lời câu hỏi lập luận, giải vấn đề; sử dụng phương pháp lập luận, quy nạp suy diễn để hiểu cách thức khác việc giải vấn đề; thiết lập mơ hình tốn học để mơ tả tình huống, từ đưa cách giải vấn đề tốn học đặt mơ hình thiết lập; thực trình bày giải pháp giải vấn đề đánh giá giải pháp thực hiện, phản ánh giá trị giải pháp, khái quát hoá cho vấn đề tương tự; sử dụng cơng cụ, phương tiện học tốn, khám phá giải vấn đề toán học 1.3 Năng lực tư lập luận toán học 1.3.1 Khái niệm tư Theo Từ điển Tiếng Việt thì: “Tư trình nhận thức, phản ánh thuộc tính chất, mối quan hệ có tính chất quy luật vật, tượng” Theo từ điển Triết học: “Tư duy, sản phẩm cao vật chất tổ chức cách đặc biệt não, q trình phản ánh tích cực giới quan khái niệm, phán đốn, lí luận Tiêu biểu cho tư trình trừu tượng hố, phân tích tổng hợp, việc nêu lên vấn đề định tìm cách giải chung, việc đề xuất giả thuyết, ý niệm Kết trình tư ý nghĩ đó” 1.3.2 Các thao tác tư a Các giai đoạn hoạt động tư Mỗi hành động tư trình giải nhiệm vụ đấy, nảy sinh trình nhận thức hay hoạt động thực tiễn người Giai đoạn 1: Xác định vấn đề biểu đạt vấn đề; Giai đoạn 2: Huy động tri thức, kinh nghiệm; Giai đoạn 3: Sàng lọc liên tưởng hình thành giả thuyết; Giai đoạn 4: Kiểm tra giả thuyết; Giai đoạn 5: Giải nhiệm vụ đặt b Các thao tác tư Các giai đoạn tư phản ánh mặt bên ngoài, cấu trúc bên tư Cịn nội dung bên diễn thao tác sau: + Phân tích tổng hợp Phân tích tách (trong tư tưởng) hệ thống thành vật, tách vật thành phận riêng lẻ Tổng hợp liên kết (trong tư tưởng) phận thành vật, liên kết nhiều vật thành hệ thống Phân tích tổng hợp hai hoạt động trí tuệ trái ngược lại hai mặt trình thống + So sánh tương tự So sánh xác định trí óc giống hay khác nhau, đồng hay không đồng nhất, hay không vật tượng Tương tự phát trí óc giống đối tượng để từ kiện biết đối tượng dự đoán kiện đối tượng + Trừu tượng hóa Trừu tượng hóa tách đặc điểm chất khỏi đặc điểm không chất (sự phân biệt chất với không chất mang ý nghĩa tương đối, phụ thuộc vào mục đích hành động) + Khái quát hóa đặc biệt hóa Khái quát hóa chuyển từ tập hợp đối tượng sang tập hợp lớn chứa tập hợp ban đầu cách nêu bật số đặc điểm chung phần tử tập hợp xuất phát Đặc biệt hóa chuyển từ việc khảo sát tập hợp đối tượng cho sang việc khảo sát tập hợp đối tượng nhỏ chứa tập hợp ban đầu 1.3.3 Năng lực tư Năng lực tư tổng hợp khả ghi nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận - giải vấn đề, xử lý linh cảm trình phản ánh, phát triển tri thức vận dụng chúng vào thực tiễn 1.3.4 Năng lực tư toán học Năng lực tư toán học khả nhận biết ý nghĩa, vai trị kiến thức tốn học sống, khả vận dụng tư toán học để giải vấn đề thực tiễn đáp ứng nhu cầu đời sống tương lai cách linh hoạt; khả phân tích, suy luận, khái qt hóa, trao đổi thơng tin cách hiệu thơng qua việc đặt ra, hình thành giải vấn đề tốn học tình huống, hồn cảnh khác 1.3.5 Biểu lực tư lập luận tốn học Theo Chương trình Giáo dục phổ thơng mơn Tốn (Bộ GD-ĐT, 2018), biểu yêu cầu cần đạt lực tư lập luận toán học học sinh THPT tổng hợp bảng sau: Năng lực tư lập luận toán họcthể qua việc: - Thực thao tác tư như: so sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự; quy nạp, diễn dịch Yêu cầu cần đạt HS cấp THPT - Thực tương đối thành thạo thao tác tư duy, đặc biệt phát tương đồng khác biệt tình tương đối phức tạp lí giải kết việc quan sát - Chỉ chứng cứ, lí lẽ biết - Sử dụng phương pháp lập lập luận hợp lí trước kết luận luận, quy nạp suy diễn để nhìn cách thức khác việc giải vấn đề - Giải thích điều chỉnh - Nêu trả lời câu hỏi lập luận, cách thức giải vấn đề giải vấn đề Giải thích, chứng phương diện tốn học minh, điều chỉnh giải pháp thực phương diện toán học Cơ sở thực tiễn đề tài Trong thực tế giảng dạy toán , đặc biệt thân thường xuyên tham gia dạy đội tuyển bồi dưỡng HSG tỉnh trường THPT Huỳnh Thúc Kháng, nhận thấy việc bồi dưỡng lực tư lập luận toán học cho HS dạy học chủ đề bất đẳng thức cần thiết Học sinh học bất đẳng thức việc rèn luyện kỹ chứng minh bất đẳng thức, vận dụng bất đẳng thức vào giải tốn cịn bồi dưỡng, nâng cao tư logic, khả lập luận vấn đề chặt chẽ, phát huy tính sáng tạo, tích cực học tập Để tìm hiểu cụ thể thực trạng việc học bất đẳng thức học sinh trường THPT, trình giảng dạy sử dụng phương pháp điều tra phiếu (phụ lục) để biết thực trạng dạy học chủ đề từ điều chỉnh phương pháp cho phù hợp với đối tượng Sau điều tra thu kết cụ thể sau 2.1 Thực trạng giảng dạy giáo viên Qua tìm hiểu giáo viên giảng dạy mơn Tốn trường số trường bạn địa bàn tỉnh Nghệ An, chúng tơi thu kết quả: Ngồi số GV có hứng thú với chủ đề bất đẳng thức cịn lại đa số GV khác cho ý kiến ngại dạy chủ đề bất đẳng thức mảng kiến thức khó, số HS tiếp thu được, kể HS học bất đẳng thức vào phịng thi chưa hẳn làm Khi hướng dẫn giảng tập cho HS GV ln phải trả lời câu hỏi “ lại chọn cách biến đổi vậy” phải xuất phát từ “ đẳng thức bất đẳng thức ” mà câu trả lời lúc tự nhiên, dễ chấp nhận Đa số GV chưa đầu tư nghiên cứu chủ đề BĐT cách hệ thống để phục vụ cho việc giảng dạy 2.2 Thực trạng học tập học sinh Thông qua khảo sát điều tra HS học tập trường trường bạn địa bàn tỉnh nghệ an thu thơng tin: - Học sinh chưa hứng thú với chủ đề bất đẳng thức tâm lý nghĩ chủ đề khó nên khơng thể chinh phục Các em thường sợ toán BĐT, tiếp thu cách thụ động Chỉ có số đối tượng HSG trả lời thích học chủ đề bất đẳng thức không tự tin - Phần lớn HS không nắm vững kiến thức tảng bất đẳng thức dẫn đến hay gặp sai lầm biến đổi tính tốn - Khơng biết khai thác giả thiết để tìm chìa khố lời giải, lúng túng khơng theo hướng - Khi giải tốn dừng lại, khơng tiếp tục tìm tịi khai thác, giải tốn nhiều cách khác Chưa biết tổng quát hoá, khái quát hoá để tạo toán mới, toán tương tự B MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN PHÁT HUY NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HS KHÁ GIỎI THPT TRONG KHI DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC *Biện pháp Bồi dưỡng kiến thức tảng bất đẳng thức cho học sinh Nếu học sinh không nắm vững định nghĩa, tính chất bất đẳng thức e việc giải tập dạng thật khó khăn Để đạt nhiệm vụ chung nói trên, giáo viên học sinh cần phải hiểu cách sâu sắc nắm vững định nghĩa, tính chất bất đẳng thức.Trong thực tiễn giảng dạy, nhận thấy số đơng HS có kiến thức BĐT thiếu tính hệ thống, điều dẫn đến việc em hay mắc lỗi sai kiến thức trình lập luận a  b em suy  ab  bc !!! b  c Chẳng hạn,  Hay để chứng minh AB em chứng minh A  C , B  C kết luận A  B !!! Một số GV dạy chủ đề BĐT cho HS giỏi thường bỏ qua việc nhắc, hệ thống lại, chứng minh tính chất bản, kiến thức tảng cho HS, thiếu sót lớn dạy chủ đề này.Kiến thức tảng bao gồm: tính chất BĐT, đẳng thức, đẳng thức sử dụng nhiều chứng minh BĐT, tốn gốc đóng vai trị bổ đề để giải nhiều toán khác MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC 1.1 ĐỊNH NGHĨA • a  b  a − b  0; a  b  a − b  • f ( x)  g ( x) x  X  f ( x) − g ( x)  x  X f ( x)  g ( x) x  X  f ( x) − g ( x)  x  X • 1.2 TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA BẤT ĐẲNG THỨC a  b ac b  c Tính chất 1:  a − b    a−b+b−c  0 a−c  0 a  c b  c b − c  a  b Chứng minh:  a1  a2  a  a3  a1  an Chứng minh tương tự chứng minh tính chất (1) Mở rộng:   a  a n  n−1 Tính chất 2: a  b  a + c  b + c c Chứng minh : a + c  b + c  a + c − (b + c )   a − b   a  b Phát biểu lời: Khi ta thêm hay bớt hai vế bất đẳng thức với lượng thu bất đẳng thức tương đương chiều Tính chất 3: +) Cho a  x  y  ax  ay (i) +) Cho a  x  y  ax  ay (ii) Chứng minh: (i): ax  ay  ax − ay   a( x − y )   x − y  (do a  0)  x  y (ii): ax  ay  ax − ay   a( x − y )   x − y  (do a  0)  x  y x  y  a+ x b+ y a  b Tính chất 4:  x − y    ( x − y ) + ( a − b )   a + x − (b + y )  a  b a − b  x  y Chứng minh:  a1  b1  a b  a + x  b + y Mở rộng:  2  a1 + a2 + + an  b1 + b2 + + bn  a  b n  n Lưu ý: Có phép cộng vế theo vế tương ứng bất đẳng thức chiều khơng có phép trừ tương ứng bất đẳng thức chiều x  y Cụ thể:  a  b không suy x − a  y − b x  y 6   x−b  y −a −  − ; nhiên ta lại có:  4  a  b Chẳng hạn:  x  y x  y   x + ( −b )  y + ( − a )  x − b  y − a a  b − b  − a   Chứng minh:  GV lấy liên hệ vui thực tiễn giúp HS kiểm nghiệm ghi nhớ tốt hơn, chẳng hạn: x giàu y , x cho b đồng y cho a đồng Đã giàu lại cho nên giàu anh nghèo lại cho nhiều x  y Qua tính chất 3, GV đặt câu hỏi:  a  b  xa  yb ? −1  −2 (−1).2  (−2).(−3) 2  −3 Dự kiến phương án trả lời: Khơng Ví dụ  GV? cần có thêm điều kiện để bất đẳng thức đúng? Dự kiến phương án trả lời: cần thêm điều kiện bất đẳng thức không âm x  y  Tính chất 5:  a  b   ax  by x  y Chứng minh:  b   b( x − y )   bx  by (*) x   x(a − b)   ax  bx (**)  a  b Từ (*) (**), theo tính chất bắc cầu ta suy ax  by Tính chất 6: x  y  x  y x  y   x.x  y y  x  y x  y  Chứng minh: Ta có:  GV? x  y  x  y có hay khơng? Dự kiến phương án trả lời: Bất đẳng thức khơng Ví dụ:  −2 12  (−2) Thông qua câu hỏi HS thấy tầm quan trọng điều kiện khơng âm từ nhớ Tính chất 7: x2  y  x  y Chứng minh : Cách 1: x  y  x  y  ( x − y )( x + y )   x − y   x  y 2  x + y   x − y   − x  y  x x   Cách 2: y  x  − x  y  x    x − y   −(− x)  y  − x x     x + y   ( x − y ).( x + y )   x  y Cách 3: + Nếu y = x2   x  + Nếu y  x  y   ln  x   x  x     − 1    − 1  + 1  y  y   y  y  x x2   x2  y 2 y x Tính chất 8: Cho x, y  Khi đó: x  y   Chứng minh : x  y  x − y   Tính chất 9: Cho a 1 y x− y 1 1  (do xy  0)  −    xy y x x y Khi đó: a n  a k n  k ; n  + ;k  n k Chứng minh : a  a  an   a n−k  k a a   a    a.a a  1.1  a n − k  Xét n − k bất đẳng thức dương chiều:  n − k so n − k so   a   Tính chất 10: Cho  a 1 + Khi đó: a n  a k n  k ; n  + Chứng minh : Với n  k ; n  ;k  ;k  ta có: n k 1 − a    1 1  a 1         n  k  ak  an a a a a a  Tính chất 11: Nếu ab0 ta có: a  a + n n  b b+n Chứng minh : a  a + n  a ( b + n )  b ( a + n )  an  bn  a  b (do n  0) b Nhận xét: Nếu ab0 Tính chất 12: Với • b+n x  n  ta có: a  a + n Dấu " = "  a = b b b+n ta có: x  " = "  x = 0; x  x " = "  x  0; x  −x " = "  x  Tính chất 13: Với hai số a,b tùy ý, ta có: a + b  a + b Dấu “=” xảy  ab  Chứng minh: ( a + b  a +b  a + b ) 2  a + b  a + b + a b  a + b + 2ab  a b  ab (ln theo tính chất 12) Dấu “=” xảy  a b = ab  ab  a, b, c  Mở rộng: +) a + b + c  a + b + c Dấu “=” xảy   a, b, c  a1, a2 , , an  +) a1 + a2 + + an  a1 + a2 + + an Dấu “=” xảy   a1, a2 , , an  Tính chất 14: Với hai số a,b tùy ý, ta có: a − b  a − b Dấu “=” xảy ( )  a − b b  Chứng minh: a − b  a − b  a − b + b  a (ln theo tính chất 13) 10 (1.5) Bài toán 1.6 Cho x, y  Chứng minh rằng:  x y   x3 y   x y   +  +  +  +  +  + 78 x  y x  y x  y x  48  + y y  x (1.6) BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c + +  theo cách 2b + 2c − a 2c + 2a − b 2a + 2b − c Bài Cho a, b, c  Chứng minh rằng: 1 1   + +  3 + +  a b c  a + 2b b + 2c c + 2a  77 ĐỀ KIỂM TRA THỰC NGHIỆM SỐ DÀNH CHO ĐỘI TUYỂN HSG ĐỀ KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HS SAU KHI HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI TƯỢNG THỰC NGHIỆM: 10 em HS lớp A1k98 ĐỐI TƯỢNG ĐỐI CHỨNG: 10 em HS lớp A1k97 Đây em HS giỏi có tham gia học đội tuyển bồi dưỡng HSG Thời gian thực hiện: Tháng 1/ 2020 Thời gian làm 120 phút Câu (3 điểm) Chứng minh rằng: a b c + +  , a, b, c  theo cách b+c c+a a+b Câu 2: (2 điểm) Cho x, y số thực thay đổi thỏa mãn 36 x + 16 y = Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P = y − x + theo cách Câu 3: (2 điểm) Cho a  3, b  4, c  P= Tìm giá trị nhỏ biểu thức ab c − + bc a − + ca b − abc Câu 4: (2 điểm) Cho số thực x, y, z  Chứng minh rằng: 2( x + y + z )3 + xyz  7( x + y + z )( xy + yz + xz ) Câu (1 điểm) Cho số thực a, b, c  thỏa S= 2a 1+ a + b 1+ b + c + c2 ab + bc + ca = Tìm GTLN -Hết HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Chứng minh rằng: a b c + +  , a, b, c  theo cách b+c c+a a+b Lời giải 78 Cách 1: Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có: (a + b + c) a b c a2 b2 c2 + + = + +  b + c c + a a + b ab + ac cb + ab ac + bc ( ab + bc + ca ) (a + b + c) Do ab + bc + ca  Dấu xảy  a b c + +  b+c c+a a+b a = b = c Cách 2: Biến đổi tương đương c   a   b   (1)  1 +  + 1 +  + 1 +   +3=  a+b  b+c   c+a  1   a+b+c   a+b+c   a+b+c    + + + +    (a + b + c)     a+b   b+c   c+a   a+b b+c c+a  1   + +  ( a + b ) + ( b + c ) + ( a + c )    a+b b+c c+a  Dấu xảy  a = b = c Cách 3: Đặt ẩn phụ sau áp dụng BĐT Cauchy b + c = x  y+z−x z+x− y x+ y−z ; b= ; c= Đặt : c + a = y   a = 2 a + b = z   Khi bất đẳng thức cho tương đương với bất đẳng thức sau:  y+z−x z+x− y x+ y−z  y x   z x  y z  3 + +   +  +  +  +  +  −  − = 2x 2y 2z  x y x z  z y 2 Dấu xảy x = y = z  a = b = c Cách 4: Sử dụng tính đối xứng đẳng thức Xét biểu thức sau: S= a b c b c a c a b ;M= ; N= + + + + + + b+c c+a a+b b+c c+a a +b b+c c+a a+b Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: M +S = a+b b+c c+a + +  (1) ; b+c c+a a+b N +S = a+c a+b b+c + +  (2) b+c c+a a+b Cộng vế theo vế BĐT (1) (2) suy ra: Mặt khác: M + N =  2S   S  M + N + 2S  3 Bất đẳng thức chứng minh Dấu xảy a = b = c Cách 5: ( Sử dụng BĐT chebyshev): 79 Khơng tính tổng qt ta giả sử  a  b  c   b+c  c+a  a+b 1 Áp dụng BĐT chebyshev ta có:   b+c c+a a+b a b c 1 1 1   + + = a + b + c  (a + b + c) + +  b+c c+a a +b b+c c+a a +b b +c c +a a +b  1 + +  Lại có: b + c c + a a + b 2(a + b + c)  a b c + +  ( a + b + c) = Dấu xảy a = b = c b+c c+a a+b 2(a + b + c) Câu 2: Cho x, y số thực thay đổi thỏa mãn 36 x + 16 y = Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P = y − x + theo cách Lời giải Cách 1: (Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz) 1 1 25 Ta có: ( −2 x + y ) =  − x + y    +  ( 36 x + 16 y ) = 16    16  5 15 25 Do −2 x + y   −  −2 x + y    −2 x + y +  4 4 1      x = − y Đẳng thức xảy   ( x; y )   ; −  ;  − ;    20   20   36 x + 16 y =   Pmin  x=  15  =  ; y = −  20  Pmax  x=−  25  =  y =  20  Cách 2: (Sử dụng kiến thức hình học) Đặt X = x; Y = y Từ giả thiết suy X + Y = Từ cách đặt P = y − x + , ta có X − 3Y + 12 P − 60 = Xét hệ trục tọa độ OXY, phương trình X + Y = phương trình đường trịn ( C ) có tâm O ( 0;0 ) , bán kính R = 3, cịn X − 3Y + 12 P − 60 = phương trình đường thẳng  Do tồn x, y nên tồn X, Y Suy  ( C ) phải có điểm chung  d ( O,  )  R  12 P − 60 3 15 25 P 4 80  Pmin  x=  15  =  ; y = −  20  Pmax  x=−  25  =  y =  20  Cách 3: (Sử dụng điều kiện tồn nghiệm phương trình) Ta có P = y − x +  y = x + P − Thay y = x + P − vào giả thiết, ta 36 x + 16 ( x + P − ) =  100 x + 64 ( P − ) x + 16 ( P − ) − = Do tồn x, y nên phương trình phải có nghiệm 2   ' = 322 ( P − ) − 100 16 ( P − ) −      ( P − 5)   Pmin 25 5 15 25  −  P−5   P  16 4 4  x =  15  =  ; y = −  20  Câu 3: Cho P= Pmax  x = −  25  =  y =  20  a  3, b  4, c  Timg giá trị nhỏ biểu thức ab c − + bc a − + ca b − abc Lời giải Từ giả thiết suy số có mặt thức có nghĩa Theo BĐT Cauchy ta có: Tương tự: 2(c − 2) c−2 ab c − =    c abc c 2 2 bc a − ca b − 1   = ; abc abc 4 Cộng vế theo vế bất đẳng thức chiều ta có P  2 + + 2 = c − c =   Dấu xảy khi: 3 = a −  a = 4 = b − b =   Suy giá trị nhỏ P là: + + 2 Câu 4: Cho số thực x, y, z  Chứng minh rằng: 2( x + y + z )3 + xyz  7( x + y + z )( xy + yz + xz ) (1) 81 Lời giải Cách 1: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương Ta có: ( x + y + z ) + xyz = ( x + y + z ) ( x + y + z + xy + yz + xz ) + xyz = ( x3 + y + z ) + ( x y + y z + z x + x z + z y + y x ) + 21xyz Lại có: ( x + y + z )( xy + yz + zx ) = ( x y + x z + y x + y z + z y + z x + 3xyz ) Do ta cần chứng minh: x3 + y + z − x y − y x − y z − z y − x z − z x   x ( x − y ) + y ( y − x) + z ( z − x) + x ( x − z ) + z ( z − y ) + y ( y − z )   ( x − y ) ( x + y ) + ( z − x) ( z + x) + ( z − y ) ( z + y )  ( với x, y, z  ) Dấu xảy x= y=z Cách 2: Chuẩn hoá kết hợp bất đẳng thức cổ điển x, y, z  ln có: xyz  ( x + y − z )( z + y − x )( x + z − y ) (*) Chứng minh bất đẳng thức (*) Khơng tính tổng qt ta giả sử x  y  z  Suy x + y − z  0, x + z − y  Nếu y + z − x  (*) Nếu y + z − x  ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số không âm ( y + z − x ) , ( z + x − y ) , ( x + y − z ) ta có :  y+z−x+z+x− y  ( y + z − x )( z + x − y )    = z (1)    z+x− y+x+ y−z  ( z + x − y )( x + y − z )    =x   ( 2)  y+ z−x+ x+ y−z   ( y + z − x )( x + y − z )    = y ( 3)   Từ (1) , ( ) , ( 3) suy ( y + z − x )( z + x − y )( x + y − z )  ( xyz )2  ( y + z − x )( z + x − y )( x + y − z )  xyz , Dấu xảy x = y = z Chuẩn hóa x + y + z = Khi (*)  xyz  ( − z )( − x )( − y )  xyz  −9 + ( xy + yz + xz ) Do bất đẳng thức viết lại dạng 18 − + ( xy + yz + xz )  ( xy + yz + xz ) ( x + y + z)  xz + yz + xz  BĐT cuối xz + yz + xz  = 3; "=" x = y = z Câu Cho số thực a, b, c  thỏa ab + bc + ca = Tìm GTLN 82 S= 2a 1+ a b + 1+ b + c + c2 Lời giải: Đặt a = tan A , b = tan B , c = tan C với A, B, C góc tam giác  a + a2 = tan 2 A A A cos = sin 2 Tương tự ta có: S = sin A B C B +C B +C B −C B −C + sin + sin = cos + sin cos Do cos 1 2 2 4 B+C  B+C B+C  2   S  1 − sin + 2sin = − t + t + = f ( t ) t = sin  0; với      4    4 Ta có max f (t ) =  t =  S max B+C  t = sin =  a=   B −C 15   =  cos =1  4  b = c =  A + B + C = 180 15    83 PHỤ LỤC Một số hình ảnh minh chứng tính hiệu đề tài số minh chứng trình nghiên cứu tác giả 84 85 Học sinh Nguyễn Trung Kiên có hai giải BĐT báo THTT số 509(11/2019) 86 87 BẢNG KÊ CÁC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI CÁC KÍ HIỆU TỐN HỌC TỪ VIẾT TẮT  : với GV: giáo viên Min : giá trị nhỏ HS: học sinh Max : giá trị lớn HSG: học sinh giỏi Pmin : giá trị nhỏ P PPDH: phương pháp dạy học Pmax : giá trị lớn P CMR : chứng minh  : tương đương VT : vế trái  : suy ( kéo theo) VP : vế phải  ABC : tam giác ABC ≠ : dấu khác ≥ : không âm = : dấu BĐT : bất đẳng thức đpcm : điều phải chứng minh GTNN : giá trị nhỏ nhât GTLN : giá trị lớn THTT : Tốn học tuổi trẻ THPTQG: trung học phổ thơng quốc gia KSCL: Khảo sát chất lượng gttđ: giá trị tuyệt đối 88 MỤC LỤC PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI II NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU V CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI PHẦN II NỘI DUNG A CƠ SỞ LÍ LUẬN, CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI Cơ sở lí luận đề tài 2.Cơ sở thực tiễn đề tài B MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN PHÁT HUY NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HS KHÁ GIỎI THPT TRONG KHI DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC * Biện pháp Bồi dưỡng kiến thức tảng bất đẳng thức cho học sinh * Biện pháp Bồi dưỡng cho HS kỹ phân tích, tổng hợp so sánh để tìm chìa khố lời giải tốn 13 * Biện pháp Hướng dẫn tập luyện cho HS khả nhìn tốn bất đẳng thức nhiều góc độ khác để giải toán theo nhiều cách lựa chọn cách tối ưu 18 * Biện pháp Hướng dẫn tập luyện cho HS khả khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa thơng qua giải tốn bất đẳng thức 27 * Biện pháp Bồi dưỡng tư logic, tư sáng tạo thông qua việc cho HS tập sáng tác toán 36 * Biện pháp Phát triển tư phê phán thông qua việc cho HS phát sai lầm, đánh giá nhận xét lời giải 41 C THỰC NGHIỆM ĐỀ TÀI 45 PHẦN III KẾT LUẬN 47 I Ý NGHĨA CỦA ĐỀ TÀI 47 Tính đề tài 47 Tính khoa học 47 Tính hiệu phạm vi áp dụng 47 II MỘT SỐ KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT 48 1.Với cấp quản lí giáo dục 48 2.Với giáo viên 49 3.Với học sinh 49 89 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: PHÁT HUY NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI THPT TRONG KHI DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC LĨNH VỰC: CHUN MƠN TỐN 90 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT HUỲNH THÚC KHÁNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: PHÁT HUY NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI THPT TRONG KHI DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC LĨNH VỰC: CHUN MƠN TỐN Tác giả: Nguyễn Thị Kim Dun Tổ mơn: Tốn – Tin Năm thực hiện: 2021 Số điện thoại: 0914.927.156 91 ... PHẦN PHÁT HUY NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HS KHÁ GIỎI THPT TRONG KHI DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC *Biện pháp Bồi dưỡng kiến thức tảng bất đẳng thức cho học sinh Nếu học sinh không... lựa chọn đề tài: ? ?Phát huy lực tư lập luận toán học cho học sinh giỏi THPT dạy học chủ đề bất đẳng thức? ?? nhằm khơi gợi tư duy, định hướng giải toán bất đẳng thức với mong muốn giúp em học sinh hứng... 1.2 Năng lực toán học 1.2.1 Các thành tố cốt lõi lực toán học Năng lực toán học bao gồm thành tố cốt lõi sau: Năng lực tư lập luận toán học; lực mơ hình hóa tốn học; lực giải vấn đề toán học; lực