Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)CHƯƠNG IV:
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COSIN (PHƯƠNG TRÌNH CỔ ĐIỂN)
( ) ( )
a sin u b cos u c * a, b R \ 0+ = ∈
Cách 1 : Chia vế phương trình cho a2 +b2 ≠0
Đặt [ ]
2 2
a b
cos sin với 0,2
a b a b
α = α = α ∈ π
+ +
( )
( )
2
2
c Thì * sin u cos cos u sin
a b
c sin u
a b
⇔ α + α =
+
⇔ + α =
+
Caùch :
Nếu u= π + k2π nghiệm (*) : a sinπ + bcosπ = ⇔ − =c b c
Nếu u≠ π +k2π đặt t tgu
= (*) thành :
2
2t t
a b
1 t t
−
+ =
+ + c
(b c t) 2at c b với b c 0( )( )
⇔ + − + − = + ≠
Phương trình có nghiệm ⇔ Δ =' a2 −(c b c b+ )( − )≥
2 2 2
a c b a b c
⇔ ≥ − ⇔ + ≥
Giải phương trình (1) tìm t Từ t tgu
= ta tìm u Bài 87 : Tìm x 6,
5 π π ⎛
∈ ⎜⎝ ⎠⎞⎟ thỏa phương trình : cos7x− sin7x= − *( ) Chia hai vế (*) cho ta :
( ) ⇔ − = −
π π
⇔ − + =
π π
⎛ ⎞
⇔ ⎜ − ⎟ =
⎝ ⎠
1
* cos 7x sin 7x
2 2
2 sin cos 7x cos sin 7x
6
sin 7x sin
6
2
π π π π
⇔ 7x− = +k2 hay 7xπ − = +h2
6 π, (k, h ∈Z)
For Evaluation Only
Copyright (c) by Foxit Software Company, 2004 - 2007 Edited by Foxit PDF Editor
For Evaluation Only.
Copyright (c) by Mr Doan Tri Phuong
(2)π π π π
⇔ =x + k2 hay x= 11 + h2 , k , ∈
84 84 h
Do x 6,
π π
⎛
∈ ⎜⎝ ⎠⎞⎟ neân ta phải có :
π π π π π π π π
< + < < + < ∈
2 k2 hay 11 h2 ( k, h )
5 84 7 84 7
⇔ < + k2 6< hay 11 h2 6< + < ( k, h∈ )
5 84 7 84 7
Suy k = 2, h 1, 2=
5 53 11 35
Vaäy x x
84 84 84 84
11 59
x
84 84
π π π π
= + = π ∨ = + =
π π
∨ = + = π
π
Bài 88 : Giải phương trình
( )
3sin 3x− cos 9x sin 3x *= +
Ta coù : ( )* ⇔ (3sin 3x sin 3x− )− 3 cos 9x 1=
sin 9x cos9x
⇔ − =
1sin 9x 3cos 9x
2
⇔ −
2 =
sin 9x sin
3
π π
⎛ ⎞
⇔ ⎜ − ⎟ = =
⎝ ⎠
π π π π
⇔ 9x− = +k2 hay 9xπ − = +k2 , kπ ∈
3 6
π π π π
⇔ =x + k2 hay x= + k2 , ∈
18 54 k
Bài 89 : Giải phương trình
( )
tgx sin 2x cos 2x 2cos x * cos x
⎛ ⎞
− − + ⎜ − ⎟=
⎝ ⎠
Điều kiện : cos x 0≠
Lúc : ( )* sin x sin 2x cos 2x cos x
cos x cos x
⇔ − − + − =
2
sin x sin 2x cos x cos x cos 2x cos x
⇔ − − + − =
( )
sin x cos x cos x cos 2x 2cos 2x
⇔ − − + =
=
≠
sin x cos2x cos x cos2x 2cos2x
⇔ − − + =
⇔ c os 2x = hay sin x cos x 0− − +
( )
( )
⎡ = = − =
⎢ ⇔
⎢ + = + <
⎢⎣
2
2 2
cos 2x nhaän cos 2x cos x cos x
(3)( )π
⇔ = + ∈
π π
⇔ = + ∈
2x 2k , k
2 k
x , k
4
Bài 90 : Giải phương trình 8sin x ( )* cos x sin x
= +
Điều kiện : sin 2x 0≠
Lúc (*)⇔ 8sin x cos x2 = sin x cos x+
( )
( )
⇔ − = +
⇔ − = −
⇔ − + = −
⇔ = − +
π
⎛ ⎞
⇔ = ⎜ + ⎟
⎝ ⎠
π π
⇔ = + + π ∨ = − − +
π π π
⇔ = + π ∨ = − + ∈
4 cos 2x cos x sin x cos x cos 2x cos x sin x cos x cos 3x cos x sin x cos x
3
cos 3x sin x cosx
2
cos 3x cos x
3x x k2 3x x k2
3
k
x k x , k
6 12
π
Nhận so vớiđiều kiện sin 2x 0≠
Caùch khaùc :
(*)⇔ 8sin x cos x2 = sin x cos x+
( hiển nhiên cosx = hay sinx = không nghiệm pt )
⇔ 8(1 cos x) cos x− = sin x cos x+ ⇔ cos x cos x− = sin x cos x+ ⇔ cos x cos x− = sin x cos x−
⇔ cos x cos x3 − = 1cos x− sin x
2
π
⎛ ⎞
⇔ = ⎜ + ⎟
⎝ ⎠
π π
⇔ = + + π ∨ = − − +
π π π
⇔ = + π ∨ = − + ∈
π
cos 3x cos x
3x x k2 3x x k2
3
k
x k x , k
6 12
Bài 91 : Giải phương trình
( ) 9sin x cos x 3sin 2x cos 2x *+ − + =
(4)( ) ( )
⇔ − − + −
⎛ ⎞
⇔ − − − ⎜ − ⎟
⎝ ⎠
2
6 cos x sin x cos x sin x sin x 7
6 cos x sin x sin x sin x
2
= =
( )
⎛ ⎞
⇔ − = + ⎜ − ⎟=
⎝ ⎠
= ⎡
⎢ ⇔
+ = + <
⎢⎣ 2
7
1 sin x hay cos x sin x
2 sin x
6 cos x sin x vô nghiệm
π
⇔ x= +k2 , kπ ∈
2
Bài 92 : Giải phương trình: sin 2x cos 2x sin x cos x *+ = + − ( ) Ta coù : (*) ⇔ 2sin x cos x 2cos x 1+ ( − ) = +1 sin x cos x−
( )
⇔ − + + − =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⇔ ⎜ − ⎟+ ⎜ − ⎟ ⎜ + ⎟ =
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇔ − = + + = + <
2
2 2
2 sin x cos x sin x cos x cos x
1
2 sin x cos x cos x cos x
2 2
1
cos x hay sin x cos x vô nghiệm
π
⇔ x= ± +k π
3
Bài 93 : Giải phương trình
( ) 2sin 2x cos 2x sin x cos x *− = + −
Ta coù : (*) ⇔ 4 sin x cos x−(1 2sin x− ) =7 sin x cos x 4+ −
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
⇔ − + − + =
⎛ ⎞
⇔ − + ⎜ − ⎟ −
⎝ ⎠
⇔ − + − − =
⇔ − = + − = + <
2
2 2
2 cos x sin x sin x sin x
2 cos x sin x sin x sin x
2 cos x sin x sin x sin x
2 sin x hay cos x sin x vô nghiệm
π π
⇔ x = +k2π ∨ =x +k2 , kπ ∈
6
Bài 94 : Giải phương trình
( ) sin 2x cos 2x 3sin x cos x *− = + −
Ta coù (*) ⇔ 2sin x cos x−(1 2sin x− ) =3sin x cos x 2+ −
( )
( ) ( )(
⇔ − + − +
⇔ − + − −
⇔ − = + − =
2
cos x sin x sin x 3sin x cos x sin x sin x sin x sin x hay cos x sin x
)
(5)π
⎛ ⎞
⇔ = ⎜ − ⎟
⎝ ⎠
1
sin x hay cos x x
2 =
π π π π
⇔ x= +k2π ∨ =x +k2 hay xπ − = ± +k2 , kπ ∈
6 4
π π π
⇔ x= +k2π ∨ =x +k2 hay xπ = +k2π ∨ =x k2 , kπ ∈
6
Bài 95 : Giải phương trình
(sin 2x cos 2x)2 cos 2x ( )* π
⎛ ⎞
+ − = ⎜ − ⎟
⎝ ⎠
Đặt t sin 2x= + cos2x, Điều kiện − a2 +b2 = − ≤2 t ≤ =2 a2 +b2 Thì t 1sin 2x 3cos2x 2cos 2x
2
⎛ ⎞
6
π
⎛ ⎞
= ⎜⎜ + ⎟⎟= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠ −
Vậy (*) thành:
− = ⇔ − − = ⇔ = ∨ = −
2 t
t 2t t 10 t ( loại ) t
2 2
Do ( )* ⇔ cos 2x
π ⎛ − ⎞ = −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
π π
⇔2x− = π +k2π ⇔ =x +k
6 12 π
Bài 96 : Giải phương trình 2cos x cos2x sin x *3 + + = ( ) Ta coù (*) ⇔2 cos x cos x sin x 03 + − + =
( )
( )( ) ( )
( )( )
2
2 cos x cosx 1 sin x sin x cosx sin x
1 sin x hay sin x cosx
⇔ + − + =
⇔ − + − − =
⇔ − = + + − =
2
1 sin x hay 2sin x cos x 2(sin x cosx) sin x hay (sin x cos x ) 2(sin x cos x)
⇔ − = + + + =
⇔ − = + + + =
( 2 2)
sin x haysin x cos x hay sin x cos x vô nghiệm do: 1
⇔ = + = + + = + <
sin x hay tgx
⇔ = = − x k2 hay x k2 , k
2
π π
⇔ = + π = − + π ∈¢
Bài 97 : Giải phương trình cot g2x cos2x2 ( )* sin 2x
−
+ =
Điều kiện : sin 2x 0≠ ⇔cos2x≠ ±1 Ta có (*)
2
1 cos2x
1 cot g2x
1 cos2x cos 2x
1
cot g2x
1 cos2x
cos2x cos2x
sin 2x cos2x
−
⇔ + = =
+ −
⇔ = −
+ −
⇔ =
(6)( )
= ≠ ±
⎡ ⎢
⇔⎢ −
=
⎢ +
⎣
⇔ = ∨ + = −
⇔ = ∨ + =
cos2x nhaän
1
sin 2x cos2x
cos2x cos2x sin 2x
cos2x sin 2x cos2x −1
1
cos2x sin 2x sin
4
5
2x k 2x k2 2x k2 ,k
2 4 4
π π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⇔ = ∨ ⎜ + ⎟= − = ⎜− ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
π π π π π
⇔ = + π ∨ + = − + π ∨ + = + π ∈¢
( )
k
x x k 2x k2 loại ,
4
k
x , k
4
π π π
⇔ = + ∨ == − + π ∨ = π + π ∈
π π
⇔ = + ∈
¢ ¢
k
Bài 98 : Giải phương trình 4 sin x cos x( + )+ 3 sin 4x *= ( ) Ta coù : (*)
( 2 2 )2 2 2
4 sin x cos x⎡ 2sin x cos x⎤ sin 4x
⇔ ⎢⎣ + − ⎥⎦+ =
⎡ ⎤
⇔ ⎢ − ⎥+ =
⎣ ⎦
2
1
4 sin 2x sin 4x
2
⇔ + = −
⇔ + =
π π
⎛ ⎞
⇔ ⎜ − ⎟=
⎝ ⎠
π π
⇔ − = ± + π
cos4x sin 4x 1cos4x 3sin 4x
2
2 cos 4x cos
3
2
4x k2
3
−
2
4x k2 hay 4x k2 ,k
3
x k hay x k ,k
4 12
π
⇔ = π + π = − + π ∈
π π π π
⇔ = + = − + ∈
¢ ¢
Cách khaùc :
( )
(*)⇔2 sin 2x− + 3 sin 4x 0=
2 cos 2x sin 2x cos2x cos2x cos2x sin 2x cos2x cot g2x
⇔ + =
⇔ = ∨ +
⇔ = ∨ = −
=
2x k 2x k , k
2
k k
x x , k
4 12
π π
⇔ = + π ∨ = − + π ∈
π π π π
⇔ = + ∨ = − + ∈
(7)Bài 99 : Giải phương trình 1 sin 2x cos 2x3 1sin 4x *( )
+ + =
Ta coù (*) sin 2x cos2x sin 2x cos2x( )( ) 1sin 4x
⇔ + + − =
( )
1
1 sin 4x sin 2x cos2x sin 4x
2
1
1 sin 4x hay sin 2x cos2x
2
⎛ ⎞
⇔ − + + ⎜ − ⎟=
⎝ ⎠
⇔ − = + + =
( ) sin 4x loại sin 2x cos2x
2 sin(2x )
= ⎡
⇔ ⎢ + =
⎣
π −
⇔ + = −
( )
sin 2x sin( )
4
2x k2
4 k Z
5
2x k2
4
x k x k , k
4
π π
⎛ ⎞
⇔ ⎜ + ⎟= −
⎝ ⎠
π π
⎡ + = − + π
⎢
⇔ ⎢ ∈
π π
⎢ + = + π
⎢⎣
π π
⇔ = − + π ∨ = + π ∈¢
Bài 100 : Giải phương trình
( )( )
tgx 3cot gx sin x− = + cos x *
Điều kiện sin x sin 2x cosx
≠ ⎧
⇔ ≠
⎨ ≠
⎩
Lúc : (*) sin x 3cosx sin x( co ) cosx sin x
⇔ − = + sx
( )
( )( )
2
sin x 3cos x 4sin x cosx sin x cosx sin x cosx sin x cosx 2sin 2x sin x cosx
1sin x 3cosx sin 2x
2
⇔ − = +
⇔ + − − =
⎡ = −
⎢
⇔ ⎢ − =
⎢⎣
tgx tg
3
sin x sin 2x
3
x k x 2x k2 x 2x k2 , k
3 3
⎡ = − = ⎛−π⎞ ⎜ ⎟
⎢ ⎝ ⎠
⎢ ⇔
⎢ ⎛ −π⎞= ⎢ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎣
π π π
(8)( )
4 k2
x k x k2 x ,k
3
4 k2
x k x nhaän sin 2x
3
π π π π
⇔ = − + π ∨ = − − π ∨ = + ∈
π π π
⇔ = − + π ∨ = + ≠
¢
Bài 101 : Giải phương trình sin x cos x sin x cos x *3 + = − ( ) Ta coù : (*) ⇔sin x sin x cos x cosx 03 − + + =
( )
( )
( )
2
2
2 sin x sin x cos x cosx
sin x cos x cos x cosx
cosx hay sin x cosx cos x cosx
sin 2x cos2x vô nghiệm 1 x 2k , k Z
2
⇔ − + + =
⇔ − + + =
⇔ = − + + =
= ⎡
⇔ ⎢− + = − + <
⎣
π
⇔ = + ∈
Bài 102 : Giải phương trình cos x sin x4 1( )*
4
π
⎛ ⎞
+ ⎜ + ⎟=
⎝ ⎠
Ta coù : (*) ( )
2
1 1 cos2x 1 cos 2x
4
⎡ ⎛ π ⎤⎞
4
⇔ + + ⎢ − ⎜ + ⎟⎥
⎝ ⎠
⎣ ⎦ =
( ) (2 )2
1 cos2x sin 2x cos2x sin 2x
1
cos 2x cos
4
3
2x k2
4
x k x k , k
2
⇔ + + + =
⇔ + = −
π π
⎛ ⎞
⇔ ⎜ − ⎟= − =
⎝ ⎠
π π
⇔ − = ± + π
π π
⇔ = + π ∨ = − + π ∈Z
Bài 103 : Giải phương trình4sin x.cos3x cos x.sin3x 3 cos4x *3 + + = ( ) Ta coù : (*)
( ) ( )
⇔ 4sin x cos x 3cosx3 − +4 cos x 3sin x 4sin x3 − +3 cos4x 3=
( )
⇔ − + + =
⇔ − + +
3
2
12sin x cosx 12sin x cos x 3 cos4x 4sin x cosx sin x cos x cos4x 1=
2sin 2x.cos2x cos4x sin
3
sin 4x cos4x cos
3
⇔ +
π
⇔ + =
π
(9)sin 4x.cos sin cos4x cos
3
π π
⇔ + =
3
π
sin 4x sin
3
5
4x k2 4x k2 , k
3 6
k k
x x , k
24
π π
⎛ ⎞
⇔ ⎜ + ⎟=
⎝ ⎠
π π π π
⇔ + = + π ∨ + = + π ∈
π π π π
⇔ = − + ∨ = + ∈
¢
¢
Bài 104 : Cho phương trình : 2sin x sin x cos x cos x m *2 − − = ( ) a/ Tìm m cho phương trình có nghiệm
b/ Giải phương trình m = -1
Ta có : (*) (1 cos2x) 1sin 2x 1(1 cos2x) m
2
⇔ − − − + =
sin 2x 3cos2x 2m
⇔ + = − +
2 a/ (*) có nghiệm ⇔a2+b2 ≥c
( )2
1 2m 4m 4m 10 m 10
2
⇔ + ≥ −
⇔ − − ≤
− +
⇔ ≤ ≤
b/ Khi m = -1 ta phương trình ( )
sin 2x 3cos2x 1+ = ( )π
• Nếu x= 2k 1+ sin 2x cos2x= =
2 − nên phương trình (1) không thỏa
( )π
• Nếux≠ 2k 1+ cosx 0,đặt t tgx≠ =
2 (1) thaønh ( )
2
2
3 t
2t 3
1 t t
−
+ =
+ +
( 2) ( 2
2t t t
6t 2t
t t
⇔ + − = +
⇔ − =
⇔ = ∨ =
)
Vaäy (1) ⇔ tgx hay tgx tg= = = ϕ ⇔ = πx k hay x= ϕ + π ∈k , k ¢
Bài 105 : Cho phương trình 2 ( )
3 4sin x
6tg
2 *
sin x tg
π
⎛ ⎞
+ ⎜ − ⎟
α
⎝ ⎠ =
+ α
a/ Giải phương trình
4
π α = −
(10)Ta coù : sin x sin x cosx
2
π π
⎛ − ⎞= − ⎛ − ⎞= −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
6tg 6sin cos 3sin 2 tg cos
α α
= α = α với cos
+ α α α ≠
Vaäy : ( )* cosx 3sin (điều kiện sin x cos 0) sin x
−
⇔ = α ≠ α ≠
3sin sin x cosx
⇔ α + =
a/ Khi
4
π
α = − ta phương trình ( )
3sin x cos x
− + = ( Hiển nhiên sin x = không nghiệm (1)) 3sin x 4cosx 1
5
⇔ − + =
Đặt cos sin với
5
ϕ = − ϕ = < ϕ < π
Ta có pt (1) thành : sin(ϕ +x)=1
x k2
2
x k
2
π ⇔ ϕ + = + π
π ⇔ = −ϕ + + 2π
≠ b/ (**) có nghiệm ( )2
3sin 16 25 vaø cos
⇔ α + ≥ α
2
sin vaø cos sin
cos2 k ,k
⇔ α ≥ α ≠
⇔ α =
⇔ α =
π π
⇔ α = + ∈¢
BÀI TẬP Giải phương trình sau :
a/ 2 sin x cosx cosx cos2x( + ) = +
b/ (2 cos x sin x cos x− )( + )=1
c/ cos2x= cosx sin x( − )
d/ 3sin x 3= − cos x
e/ cos3x+ sin x cos x 0+ =
f/ cos x+ sin x sin 2x cos x sin x= + + g/ cosx sin x
cosx sin x
+ =
+ +
h/ sin x cos x cos2x+ =
k/ 4sin x 3sin x3 − = − 3 cos3x
i / 3cosx 4sin x 6 3cosx 4sin x
+ + =
(11)j/ cos7x cos5x− sin 2x sin 7x sin 5x= − m/ 4 cos x sin x( + )+ 3 sin 4x 2=
p/ cos x2 − 3 sin 2x sin x= + q/ 4sin 2x 3cos2x 4sin x 1− = ( − ) r/ tgx sin 2x cos2x cosx
cosx
− − = − +
s/ ( )
2 x cosx 2sin
2 1 cosx
π
⎛ ⎞
− − ⎜ − ⎟
⎝ ⎠ =
−
2 Cho phương trình cosx + msinx = (1) a/ Giải phương trình m=
b/ Tìm giá trị m để (1) có nghiệm (ĐS : m ≥ 3) Cho phương trình :
( ) m sin x m cosx m cosx m 2sin x
− = −
− −
a/ Giải phương trình (1) m =
b/ Khi m vaø m≠ ≠ (1) có nghiệm [20 ,30π π]? (ĐS : 10 nghiệm) Cho phương trình
( ) 2sin x cosx a sin x cosx
+ + =
− +
a/ Giaûi (1)khi a
=
b/ Tìm a để (1) có nghiệm
Th.S Phạm Hồng Danh