LƯỢNG GIÁC - CHƯƠNG 4 potx

CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COSIN (PHƯƠNG TRÌNH CỔ ĐIỂN) () () asinu bcosu c * . a,b R\ 0+= ∈ Cách 1 : Chia 2 vế phương trình cho + ≠ 22 ab 0 Đặt [] 22 22 ab cos và sin với 0,2 ab ab α= α= α∈ π ++ () () 22 22 c Thì * sin u cos cosu sin ab c sin u ab ⇔α+α= + ⇔+α= + Cách 2 : Nếu là nghiệm của (*) thì : uk2=π+ π asin bcos c b cπ+ π= ⇔− = Nếu đặt uk≠π+ π2 u ttg 2 = thì (*) thành : 2 22 2t 1 t ab 1t 1t − += ++ c () ( ) ( ) 2 b c t 2at c b 0 1 với b c 0⇔+ − +−= +≠ Phương trình có nghiệm ( ) ( ) 2 'a cbcb 0 ⇔ Δ= − + − ≥ 222 222 acb abc⇔≥−⇔+≥ Giải phương trình (1) tìm được t. Từ u ttg 2 = ta tìm được u. Bài 87 : Tìm 26 x, 57 ππ ⎛ ∈ ⎜ ⎝⎠ ⎞ ⎟ thỏa phương trình : () cos7x 3 sin7x 2 *−=− Chia hai vế của (*) cho 2 ta được : () ⇔− =− ππ ⇔− + = ππ ⎛⎞ ⇔−= ⎜⎟ ⎝⎠ 13 2 *cos7xsin7x 22 2 2 sin cos7x cos sin7x 66 sin 7x sin 64 2 ππ π π ⇔−=+π −=+ 3 7x k2 hay 7x h2 64 6 4 π , ( ) ∈k, h Z ππ ππ ⇔= + = + ∈  5k2 11h2 xhayx ,k, 84 7 84 7 h Do 26 x, 57 π π ⎛ ∈ ⎜ ⎝⎠ ⎞ ⎟ nên ta phải có : ππ ππ π π ππ <+ < < + < ∈ 25k26 211h26 hay ( k, h ) 584 7 7 5 84 7 7 ⇔< + < < + < ∈  25k26 211h26 hay ( k, h ) 584 7 7 584 7 7 Suy ra k = 2, =h1,2 5 4 53 11 2 35 Vậy x x 84 7 84 84 7 84 11 4 59 x 84 7 84 π πππ =+=π∨= += ππ ∨= + = π π Bài 88 : Giải phương trình ( ) 3 3sin3x 3cos9x 1 4sin 3x *−=+ Ta có : () () 3 * 3sin 3x 4 sin 3x 3 cos 9x 1 ⇔ −−= sin 9x 3 cos 9x 1⇔− = 13 sin 9x cos 9x 22 ⇔− 1 2 = 1 sin 9x sin 32 ππ ⎛⎞ ⇔−== ⎜⎟ ⎝⎠ 6 ππ π π ⇔ −=+ π −= + π ∈  5 9x k2 hay 9x k2 , k 36 3 6 ππ ππ ⇔= + = + ∈  k2 7 k2 xhayx, 18 9 54 9 k Bài 89 : Giải phương trình () 1 tgx sin 2x cos 2x 2 2 cos x 0 * cos x ⎛⎞ −−+ − = ⎜⎟ ⎝⎠ Điều kiện : cos x 0≠ Lúc đó : () sin x 2 * sin 2x cos 2x 4 cos x 0 cos x cos x ⇔− − + −= 2 sin x sin 2x cos x cos x cos 2x 4 cos x 2 0⇔− − + −= () 2 sin x 1 2cos x cos x cos 2x 2cos2x 0⇔− − + = = ≠ sin x cos2x cos x cos2x 2 cos2x 0⇔− − + = ⇔=−−+cos2x 0 hay sinx cosx 2 0 () () ⎡ ==−= ⎢ ⇔ ⎢ += +< ⎢ ⎣ 2 22 2 cos 2x 0 nhận do cos 2x 2 cos x 1 0 thì cos x 0 sin x cos x 2 vô nghiệm vì 1 1 2 () π ⇔= + ∈ ππ ⇔=+ ∈   2x 2k 1 , k 2 k x,k 42 Bài 90 : Giải phương trình () 31 8sinx * cos x sin x =+ Điều kiện : sin 2x 0≠ Lúc đó (*) 2 8sin xcosx 3sinx cosx⇔=+ () () ⇔− = + ⇔− = − ⇔− + = − ⇔=− + π ⎛⎞ ⇔=+ ⎜⎟ ⎝⎠ ππ ⇔=++π∨=−−+ πππ ⇔=+π∨=− + ∈ 41 cos2xcosx 3sinx cosx 4 cos 2x cos x 3 sin x 3 cos x 2 cos 3x cos x 3 sin x 3 cos x 31 cos 3x sin x cosx 22 cos 3x cos x 3 3x x k2 3x x k2 33 k xkx ,k 6122 π Nhận so vớiđiều kiện sin 2x 0 ≠ Cách khác : (*) 2 8sin xcosx 3sinx cosx⇔=+ ( hiển nhiên cosx = 0 hay sinx = 0 không là nghiệm của pt này ) ⇔− = + 2 8(1 cos x) cos x 3 sin x cos x ⇔− = + 3 8 cos x 8 cos x 3 sin x cos x ⇔− = − 3 6 cos x 8 cos x 3 sin x cos x ⇔−=− 3 13 4 cos x 3 cos x cos x sin x 22 π ⎛⎞ ⇔=+ ⎜⎟ ⎝⎠ ππ ⇔=++π∨=−−+ πππ ⇔=+π∨=− + ∈ π  cos 3x cos x 3 3x x k2 3x x k2 33 k xkx ,k 6122 Bài 91 : Giải phương trình ( ) 9sin x 6cos x 3sin 2x cos 2x 8 *+− += Ta có : (*) ( ) 2 9sinx 6cosx 6sinxcosx 1 2sin x 8 ⇔ +− +− = ()() + 2 6 cos x 6 sin x cos x 2 sin x 9 sin x 7 0 7 6 cos x 1 sin x 2 sin x 1 sin x 0 2 = = () = + = = += +< 222 7 1 sin x 0 hay 6 cos x 2 sin x 0 2 sin x 1 6 cos x 2 sin x 7 voõ nghieọm do 6 2 7 =+ xk2,k 2 Baứi 92 : Giaỷi phửụng trỡnh: () sin 2x 2cos 2x 1 sin x 4 cos x *+=+ Ta coự : (*) ( ) 2 2sinxcosx 2 2cos x 1 1 sinx 4cosx+=+ () ++= ++= = + += +< 2 222 2sinxcosx sinx 4cos x 4cosx 3 0 113 2 sin x cos x 4 cos x cos x 0 222 1 cos x 0 hay 2 sin x 4 cos x 6 0 voõ nghieọm do 2 4 6 2 =+ xk 3 2 Baứi 93 : Giaỷi phửụng trỡnh ( ) 2sin2x cos2x 7sinx 2cosx 4 *=+ Ta coự : (*) ( ) 2 4 sin x cos x 1 2sin x 7 sin x 2 cos x 4 = + ( ) () () ()()() () ++= + += = += +< 2 222 2 cos x 2 sin x 1 2 sin x 7 sin x 3 0 1 2 cos x 2 sin x 1 2 sin x sin x 3 2 2 cos x 2 sin x 1 2sin x 1 sin x 3 0 2 sin x 1 0 hay 2 cos x sin x 3 0 voõ nghieọm vỡ 1 2 3 =+= + 5 xk2x k2,k 66 Baứi 94 : Giaỷi phửụng trỡnh ( ) sin 2x cos 2x 3sin x cos x 2 *=+ Ta coự (*) ( ) 2 2sinxcosx 1 2sin x 3sinx cosx 2 = + () ()()( ++ + = += 2 cos x 2 sin x 1 2sin x 3 sin x 1 0 cos x 2 sin x 1 sin x 1 2 sin x 1 0 2sinx 1 0 hay cosx sinx 1 0 ) = = π ⎛⎞ ⇔= − ⎜⎟ ⎝⎠ 1 sin x hay 2 cos x x 1 24 = ππ ππ ⇔=+ π∨= + π −=±+ π ∈  5 x k2 x k2 hay x k2 , k 66 44 ππ π ⇔=+π∨= +π =+π∨=π∈  5 x k2 x k2 hay x k2 x k2 , k 66 2 Bài 95 : Giải phương trình () () 2 sin 2x 3 cos2x 5 cos 2x * 6 π ⎛⎞ +−=− ⎜⎟ ⎝⎠ Đặt t sin 2x 3 cos2x=+ , Điều kiện ab t ab−+=−≤≤=+ 22 22 22 Thì 13 t 2 sin 2x cos 2x 2cos 2x 22 ⎛⎞ 6 π ⎛⎞ =+= ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ − Vậy (*) thành: −= ⇔ −− =⇔= ∨=− 22 t5 t5 2tt100 t (loại)t 22 2 Do đó () * ⇔ cos 2x 1 6 π ⎛⎞ −=− ⎜⎟ ⎝⎠ π π ⇔−=π+π⇔=+ 7 2x k2 x k 61 π 2 Bài 96 : Giải phương trình ( ) ++= 3 2cos x cos2x sin x 0 * Ta có (*) 32 2cos x 2cos x 1 sinx 0 ⇔ +−+= ( ) () ()() ()( ) 2 2 2 cos x cosx 1 1 sin x 0 2 1 sin x 1 cosx 1 sin x 0 1 sin x 0 hay 2 1 sin x 1 cosx 1 0 ⇔+−+= ⇔− + −− = ⇔− = + + −= 2 1 sin x 0 hay 1 2sin x cosx 2(sin x cosx) 0 1sinx 0hay(sinx cosx) 2(sinx cosx) 0 ⇔− = + + + = ⇔− = + + + = ( ) 22 2 sinx 1haysinx cosx 0 hay sinx cosx 2 0 vônghiệm do:1 1 2⇔= += ++= +< sin x 1 ha y t g x1⇔= =−xk2hayx k2,k 24 π π ⇔ =+ π =−+ π∈¢ Bài 97 : Giải phương trình () 2 1cos2x 1cot g 2x * sin 2x − += Điều kiện : sin2x 0 cos2x 1≠⇔ ≠± Ta có (*) 2 1cos2x 1 1cotg2x 1cos2x 1cos2x 1 cot g2x 1 1cos2x cos2x cos2x sin 2x 1 cos2x − ⇔+ = = + − ⇔= − + − ⇔= + () =≠± ⎡ ⎢ ⇔ − ⎢ = ⎢ + ⎣ ⇔=∨+=− ⇔=∨+= cos2x 0 nhận do 1 11 sin 2x 1 cos2x cos2x 0 1 cos2x sin2x cos2x 0 sin 2x cos2x 1 − 1 cos2x 0 sin 2x sin 44 2 5 2x k 2x k2 2x k2 ,k 244 44 ππ ⎛⎞ ⎛⎞ ⇔=∨ +=−=− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ πππ ππ ⇔=+π∨+=−+π∨+= +π∈¢ () k xxk2xk2loại, 42 4 k x,k 42 ππ π ⇔=+ ∨==−+π∨ =π+ π ∈ ππ ⇔=+ ∈ ¢ ¢ k Bài 98 : Giải phương trình () ( ) 44 4sinx cosx 3sin4x 2*++ = Ta có : (*) () 2 22 22 4 sin x cos x 2sin x cos x 3 sin 4x 2 ⎡⎤ ⇔+− + ⎢⎥ ⎣⎦ = ⎡⎤ ⇔− + = ⎢⎥ ⎣⎦ 2 1 4 1 sin 2x 3 sin 4x 2 2 ⇔+ =− ⇔+ = ππ ⎛⎞ ⇔−= ⎜⎟ ⎝⎠ ππ ⇔−=±+π cos4x 3 sin 4x 1 131 cos4x sin 4x 22 2 cos 4x cos 33 2 4x k2 33 − 2 4x k2 hay 4x k2 ,k 3 xkhayx k,k 42 122 π ⇔=π+π =−+π∈ ππ π π ⇔=+ =− + ∈ ¢ ¢ Cách khác : () (*) 2 2 1 sin 2x 3 sin 4x 0⇔− + = 2 2 cos 2x 2 3 sin 2x cos2x 0 cos2x0cos2x 3sin2x0 cos2x 0 cot g2x 3 ⇔+ = ⇔=∨+ ⇔=∨ =− = 2x k 2x k , k 26 kk xx ,k 42 122 ππ ⇔=+π∨=−+π∈ ππ π π ⇔=+ ∨=− + ∈ ¢ ¢ Bài 99 : Giải phương trình () 33 1 1 sin 2x cos 2x sin4x * 2 ++ = Ta có (*) ()( ) 1 1 sin2x cos2x 1 sin2x cos2x sin4x 2 ⇔+ + − = () 11 1 sin 4x sin2x cos2x 1 sin4x 0 22 1 1 sin 4x 0 hay 1 sin 2x cos2x 0 2 ⎛⎞ ⇔− + + − = ⎜⎟ ⎝⎠ ⇔− = + + = ( ) sin 4x 2 loại sin 2x cos2x 1 2sin(2x ) 1 4 = ⎡ ⇔ ⎢ += ⎣ π − ⇔ +=− () sin 2x sin( ) 44 2x k2 44 kZ 5 2x k2 44 xkxk,k 42 ππ ⎛⎞ ⇔+=− ⎜⎟ ⎝⎠ ππ ⎡ +=−+ π ⎢ ⇔∈ ⎢ ππ ⎢ += +π ⎢ ⎣ ππ ⇔ =− + π∨ = + π ∈¢ Bài 100 : Giải phương trình ( ) ( ) t g x3cot g x4sinx 3cosx*−=+ Điều kiện sin x 0 sin 2x 0 cos x 0 ≠ ⎧ ⇔≠ ⎨ ≠ ⎩ Lúc đó : (*) ( ) sin x cosx 34sinx3co cos x sin x ⇔− = + sx ( ) ()() 22 sin x 3cos x 4sin x cosx sin x 3 cosx sin x 3 cosx sin x 3 cosx 2sin 2x 0 sin x 3 cosx 13 sin x cos x sin 2x 22 ⇔− = + ⇔+ − − = ⎡ =− ⎢ ⇔ ⎢ −= ⎢ ⎣ tgx 3 tg 3 sin x sin 2x 3 xkx2xk2x 2xk2,k 33 3 ⎡π ⎛⎞ =− = − ⎜⎟ ⎢ ⎝⎠ ⎢ ⇔ ⎢ π ⎛⎞ −= ⎢ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎣ ππ π ⇔=−+π∨−= + π∨−=π− + π∈Z () 4k2 xkxk2x ,k 3393 4k2 x k x nhận do sin2x 0 393 ππ ππ ⇔=−+π∨=−− π∨= + ∈ πππ ⇔=−+π∨= + ≠ ¢ Bài 101 : Giải phương trình ( ) 33 sin x cos x sin x cos x *+=− Ta có : (*) 33 sin x sinx cos x cosx 0⇔−++= () () () 23 23 2 sin x sin x 1 cos x cosx 0 sinx cos x cos x cosx 0 cosx 0 hay sin x cosx cos x 1 0 cosx 0 sin2x cos2x 3 vô nghiệm do 1 1 9 x2k1,kZ 2 ⇔−++= ⇔− + + = ⇔= − + += = ⎡ ⇔ ⎢ −+ =− +< ⎣ π ⇔= + ∈ Bài 102 : Giải phương trình () 44 1 cos x sin x * 44 π ⎛⎞ ++= ⎜⎟ ⎝⎠ Ta có : (*) () 2 2 11 1 cos2x 1 cos 2x 442 ⎡π⎤ ⎛⎞ 1 4 ⇔ ++−+ ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠ ⎣⎦ = ()() 22 1 cos2x 1 sin2x 1 cos2x sin2x 1 13 cos 2x cos 44 2 3 2x k2 44 xkx k,k 24 ⇔+ ++ = ⇔+=− ππ ⎛⎞ ⇔−=−= ⎜⎟ ⎝⎠ ππ ⇔−=±+π ππ ⇔=+π∨=−+π ∈Z Bài 103 : Giải phương trình () 33 4sin x.cos3x 4 cos x.sin 3x 3 3 cos4x 3 *++= Ta có : (*) ( ) ( ) ⇔−+−+ 33 3 3 4sin x 4cos x 3cosx 4cos x 3sinx 4sin x 3 3 cos4x 3= () ⇔− + + = ⇔−++ 33 22 12sin x cosx 12sin xcos x 3 3 cos 4x 3 4sin xcosx sin x cos x 3 cos4x 1= 2sin2x.cos2x 3 cos4x 1 sin 3 sin 4x cos 4x 1 cos 3 ⇔+ π ⇔+ = π = sin4x.cos sin cos4x cos 33 ππ ⇔+= 3 π sin 4x sin 36 5 4x k2 4x k2 , k 36 3 6 kk xx,k 24 2 8 2 ππ ⎛⎞ ⇔+= ⎜⎟ ⎝⎠ ππ π π ⇔+=+π∨+=+π∈ ππ ππ ⇔=− + ∨=+ ∈ ¢ ¢ Bài 104 : Cho phương trình : () 22 2sin x sin xcosx cos x m *−−= a/ Tìm m sao cho phương trình có nghiệm b/ Giải phương trình khi m = -1 Ta có : (*) () () 11 1cos2x sin2x 1cos2x m 22 ⇔ −− −+= sin2x 3cos2x 2m 1⇔+ =−+ 2 a/ (*) có nghiệm 22 abc⇔+≥ () 2 2 19 12m 4m 4m 9 0 110 110 m 22 ⇔+≥ − ⇔−−≤ −+ ⇔≤≤ b/ Khi m = -1 ta được phương trình () sin 2x 3cos2x 3 1+= () π •=+ = = Nếu x 2k 1 thì sin 2x 0 và cos2x 1 2 − nên phương trình (1) không thỏa. () π •≠+ ≠ = Nếux 2k 1 thì cosx 0,đặt t tgx 2 (1) thành () 2 22 31 t 2t 3 1t 1t − += ++ ()( 22 2 2t 3 1 t 3 t 1 6t 2t 0 t0t3 ⇔+ − = + ⇔−= ⇔=∨= ) Vậy ( 1) ⇔ t g x0ha y t g x3t g xk=== ϕ ⇔=π ha y xk,k =ϕ +π ∈¢ Bài 105 : Cho phương trình () 2 3 54sin x 6tg 2 * sin x 1 tg π ⎛⎞ +− ⎜⎟ α ⎝⎠ = +α a/ Giải phương trình khi 4 π α =− b/ Tìm α để phương trình (*) có nghiệm Ta có : 3 sin x sin x cosx 22 ππ ⎛⎞ ⎛⎞ −=− −=− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ 2 2 6tg 6sin .cos 3sin2 1tg cos αα =α=α với cos 0 +α α α ≠ Vậy : () () 54cosx * 3sin 2 điều kiện sin x 0 và cos 0 sin x − ⇔=α ≠α≠ 3sin 2 sin x 4 cosx 5⇔α+ = a/ Khi 4 π α=− ta được phương trình () 3sinx 4cosx 5 1−+ = ( Hiển nhiên sin x = 0 không là nghiệm của (1)) 34 sin x cosx 1 55 ⇔− + = Đặt 34 cos và sin với 0 2 55 ϕ=− ϕ= <ϕ< π Ta có pt (1) thành : () sin x 1ϕ+ = xk2 2 xk 2 π ⇔ϕ+ = + π π ⇔=−ϕ++ π2 ≠ b/ (**) có nghiệm () 2 3sin2 16 25 và cos 0⇔α+≥ α 2 2 sin 2 1 và cos 0 sin 2 1 cos2 0 k ,k 42 ⇔α≥ α≠ ⇔α= ⇔α= ππ ⇔α= + ∈¢ BÀI TẬP 1. Giải các phương trình sau : a/ () 2 2 sin x cos x cos x 3 cos2x+=+ b/ () ( 2cosx 1 sinx cosx 1−+ ) = c/ () 2 cos2x 6 cosx sin x=− d/ 3sinx 3 3cosx=− e/ 2 cos3x 3sin x cosx 0++= f/ cosx 3 sin x sin2x cos x sin x+=++ g/ 3 cos x 3 sin x cos x 3 sin x 1 += ++ h/ si n x cos x cos2x+= k/ 3 4sin x 1 3sinx 3cos3x−= − i / 6 3cosx 4sinx 6 3cosx 4sinx 1 ++ = ++ [...]... 3 sin 2x = 1 − sin 7x sin 5x m/ 4 ( cos 4 x + sin 4 x ) + 3 sin 4x = 2 p/ cos2 x − 3 sin 2x = 1 + sin 2 x q/ 4 sin 2x − 3 cos 2x = 3 ( 4 sin x − 1) r/ tgx − sin 2x − cos 2x = 4 cos x + ( 2 − 3 ) cos x − 2 sin ⎛ x − π ⎞ ⎜2 4 ⎝ ⎠ 2 cos x 2 =1 2 cos x − 1 Cho phương trình cosx + msinx = 2 (1) a/ Giả i phương trình m = 3 b/ Tìm cá c giá trò m để (1) có nghiệ m s/ 2 3 4 (ĐS : m ≥ 3 ) Cho phương trình . 211h26 hay ( k, h ) 5 84 7 7 5 84 7 7 ⇔< + < < + < ∈  25k26 211h26 hay ( k, h ) 5 84 7 7 5 84 7 7 Suy ra k = 2, =h1,2 5 4 53 11 2 35 Vậy x x 84 7 84 84 7 84 11 4 59 x 84 7 84 π πππ =+=π∨=. () 44 1 cos x sin x * 44 π ⎛⎞ ++= ⎜⎟ ⎝⎠ Ta có : (*) () 2 2 11 1 cos2x 1 cos 2x 44 2 ⎡π⎤ ⎛⎞ 1 4 ⇔ ++−+ ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠ ⎣⎦ = ()() 22 1 cos2x 1 sin2x 1 cos2x sin2x 1 13 cos 2x cos 44 2 3 2x k2 44 xkx. = ππ ⎛⎞ ⇔−= ⎜⎟ ⎝⎠ ππ ⇔−=±+π cos4x 3 sin 4x 1 131 cos4x sin 4x 22 2 cos 4x cos 33 2 4x k2 33 − 2 4x k2 hay 4x k2 ,k 3 xkhayx k,k 42 122 π ⇔=π+π =−+π∈ ππ π π ⇔=+ =− + ∈ ¢ ¢ Cách khác : () (*) 2 2 1 sin 2x 3 sin 4x 0⇔−