4 luong giac

B Phơng pháp giải các dạng toán liên quan Dạng toán 1: Biến đổi biểu thức lợng giác thành Chú ý: Các em học sinh cần biết rằng những phép biến đổi kiểu này là rất cần thiết khi thực hiện

 Cung có độ dài bằng l thì có số đo rađian bằng

R

l .

Từ đó, ta có các kết quả:

1 Cung tròn bán kính R có số đo  rađian thì có độ dài R.

2 Với cung tròn có độ dài l Gọi là số đo rađian và a là số đo

độ của cung đó thì ta thiết lập đợc mối quan hệ giữa số

đo rađian và số đo độ là

Từ kết quả trên ta có bảng ghi nhớ chuyển đổi số đo độ và số

đo rađian của một cung tròn:

3

2

3

3

2

2 Góc lợng giác và số đo của chúng

Định nghĩa: Cho hai tia Ou, Ov Nếu tia Om quay chỉ theo chiều

dơng (hay chỉ theo chiều âm) xuất phát từ tia Ou đến trùng với tia Ov thì ta nói "Tia Om quét một góc lợng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov" Khi quay nh thế, tia Om có thể gặp tia Ov nhiều lần, mõi lần ta đợc một góc lợng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov.

Do đó, với hai tia Ou, Ov có vô số góc lợng giác (một họ góc lợnggiác) tia đầu Ou, tia cuối Ov Mỗi góc lợng giác nh thế đều đợc kíhiệu là (Ou, Ov) Nh vậy:

1 Một góc lợng giác gốc O đợc xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối

Ov và số đo độ (hay số đo rađian) của nó.

2 Nếu một góc lợng giác có số đo a0 (hay  rad) thì mọi góc lợng

giác cùng tia đầu, tia cuối với nó có số đo dạng a0 + k3600 (hay

 + 2k), k là một số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k.

3 cung lợng giác và số đo của chúng

Số đo của góc lợng giác (Ou, Ov) là số đo của cung UV� tơng ứngthì ta có kết quả:

1 Trên đờng tròn định hớng, mỗi cung lợng giác đợc xác định bởi

điểm đầu, điểm cuối và số đo của nó.

2 Nếu một cung lợng giác UV� có số đo  thì mọi cung lợng giác

cùng tia đầu, tia cuối với nó có số đo dạng  + 2k, k là một

số nguyên, mỗi cung ứng với một giá trị của k.

4 Hệ thức Sa  lơ

Với ba tia Ou, Ov, Ow, ta có:

sđ(Ou, Ov) + sđ(Ov, Ow) = sđ(Ou, Ow) + 2k, k  �

II Giá trị lợng giác của một cung

1 giá trị lợng giác c ủa một cung

2 2

3 Hàm số lợng giác của các cung đối nhau

b cos() = cos c tan() = tan.d cot() = cot

5 Hàm số lợng giác của các cung phụ nhau

c cot =



sin

cos

III Công thức lợng giác

1 Công thức cộng

a cos(x + y) = cosx.cosysinx.siny

b cos(xy) = cosx.cosy + sinx.siny

c sin(x + y) = sinx.cosy + cosx.siny

d sin(xy) = sinx.cosycosx.siny

e tan(x + y) =

tgy.tgx1

ytanxtan





ytan.xtan1

ytanxtan

xtan2

xtan)xtan3(

2





c sinx + siny = 2sin

2

yx

cos2

yx d sinxsiny = 2cos

2

yx

b cos2x =

2

x2cos1

B Phơng pháp giải các dạng toán liên quan

Dạng toán 1: Biến đổi biểu thức lợng giác thành

Chú ý: Các em học sinh cần biết rằng những phép biến đổi

kiểu này là rất cần thiết khi thực hiện các bài toán về

đạo hàm và tính tích phân (thuộc kiến thức toán 12)

Thí dụ 1 Biến đổi các biểu thức sau thành tổng:

a A = sina.sin2a.sin3a b B =cosa.cos2a.cos4a.

b Biến đổi biểu thức về dạng:

B = 1

2(cos3a + cosa).cos4a = 1

2(cos4a.cos3a + cos4a.cosa) = 1

4(cos7a + cosa + cos5a + cos3a)



Nhận xét: Nh vậy, trong thí dụ trên để thực hiện mục đích

biến đổi biểu thức về dạng tổng chúng ta đã sửdụng hai lần liên tiếp công thức biến đổi tích thànhtổng Tuy nhiên, trong những trờng hợp riêng cần lựachọn hai đối tợng phù hợp để giảm thiểu độ phức tạp,chúng ta sẽ minh hoạ thông qua ví dụ sau:

Thí dụ 2 Biến đổi biểu thức sau thành tổng:

2.cos2a4cos2a = 2cos2a2(1 + cos4a) = 2 +2cos2a  2cos4a

trừ) để sử dụng công thức biến đổi tích thànhtổng.

Dạng toán 2: Biến đổi biểu thức lợng giác thành

Dạng 7: Sử dụng các phép biến đổi hỗn hợp.

Kĩ năng biến đổi một biểu thức lợng giác về dạng tích là rấtquan trong bởi nó đợc sử dụng chủ yếu trong việc giải các phơngtrình lợng giác không mẫu mực

Thí dụ 1 Biến đổi thành tích các biểu thức sau:

 Trong cách 1, chúng ta sử dụng sin2 + cos2 =

1 và công thức góc nhân đôi của sin2 =2sin.cos để nhận đợc một hằng thức, và cuốicùng là sin  cos = 2 sin

do của biểu thức Điều này sẽ đợc giải thích

đầy đủ trong mục sử dụng các công thức biến

đổi của cos2

 Trong cách 3, chúng ta sử dụng tới giá trị đặcbiệt của góc lợng giác để chuyển đổi 1thành sin

2



, từ đó dùng công thức biến đổi tổngthành tích sẵn có

b ở câu b), lấy ý tởng ở cách 2, cách 3 của câu a).Các em học sinh cần ghi nhận tốt cách giải 3 để cóthể nhận đợc một lời giải ngắn gọn

Thí dụ 2 Biến đổi thành tích biểu thức sau:

A = cosa + cos2a + cos3a + cos4a

 Giải

Biến đổi biểu thức về dạng:

A = (cosa + cos3a) + (cos2a + cos4a) = 2cos2a.cosa +2cos3a.cosa

= 2(cos2a + cos3a).cosa = 4cos5a

2 cosa

2.cosa

Nhận xét: Trong lời giải trên ta lựa chọn cách gom theo hiêu

(hiệu hai góc bằng nhau) do đó đơng nhiên có thểnhóm:

A = (cosa + cos2a) + (cos3a + cos4a)

Ngoài ra còn có thể gom theo tổng (tổng hai góc

bằng nhau)

A = (cosa + cos4a) + (cos2a + cos3a)

Chúng ta sẽ sử dụng lại ý tởng này trong ví dụ tiếptheo

Thí dụ 3 Biến đổi thành tích biểu thức sau:

A = sina + sin2a + sin3a + sin4a + sin5a +sin6a

 Giải

Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:

Cách 1: Biến đổi biểu thức về dạng:

A = (sina + sin6a) + (sin2a + sin5a) + (sin3a + sin4a)

Trong các bài thi yêu cầu đặt ra đối với thí dụ 2, thí dụ 3 chính

là "Giải phơng trình".

Và để tăng độ khó, các biểu thức thờng đợc nhúngvào yêu cần đánh giá nhân tử chung

Thí dụ 4 Biến đổi thành tích biểu thức sau:

a A = 1 + sina  cosasin2a

b B = 1 + (sina  cosa)(sin2a + cos2a) + cos3a

 Giải

a Biến đổi biểu thức về dạng:

A = (1sin2a) + (sina  cosa = (sina  cosa)2 + (sina  cosa = (sina  cosa)(sina  cosa + 1)

b Biến đổi biểu thức về dạng:

B = (1 cos2a) + sina + (cos3acosa)sin2a

Nhận xét: Trong lời giải câu b), sở dĩ ta lựa chọn cách gom

nh vậy bởi nhận thấy rằng chúng đều có chungnhân tử sina

Thí dụ tiếp theo sẽ minh hoạ cho Dạng 2Biến đổi

tích thành tổng.

Thí dụ 5 Biến đổi thành tích biểu thức sau:

A = 2cosa.cos2a.cos3a2sina.sin2a.sin3a1

 Giải

Biến đổi biểu thức về dạng:

A = (cos3a + cosa).cos3a + (cos3acosa).sin3a1

= cos23a + cos3a.cosa + cos3a.sin3asin3a.cosa1

= (cosa + sin3a)cos3asin3a.cosasin23a

= (cosa + sin3a)cos3acosa + sin3a)sin3a

Nhận xét: Nh vậy, để thực hiện biến đổi thành tích của biểu

thức trên, trớc tiên chúng ta cần thực hiến biến đổicác biểu thức tích thành tổng, rồi sau đó ghép cáccặp đôi thích hợp để làm xuất hiện nhân tử chung

Thí dụ tiếp theo sẽ minh hoạ Dạng 3  Lựa chọn

phép biến đổi cho cos2x.

Thí dụ 6 Biến đổi thành tích biểu thức A = 2cos3a + cos2a

+ sina

 Giải

Biến đổi biểu thức về dạng:

A = 2cos3a + 2cos2a1 + sina = 2(cosa + 1).cos2a + sina1 = 2(cosa + 1)(1sin2a) + sina1 = (1sina)[2(cosa + 1)(1 +sina)1]

= (1sina)[1 + 2sina.cosa + 2(sina + cosa)]

= (1sina)[(sina + cosa)2 + 2(sina + cosa)]

= (1sina)(sina + cosa)(sina + cosa + 2)



Nhận xét: Trong lời giải trên:

1 Sở dĩ chúng ta lựa chọn phép biến đổi:

cos2a = 2cos2a1 bởi 2 nhân tử còn lại là 2cos3a (cos có hệ số 2) vàsina (sin có hệ số 1)

2 Nh vậy trong trờng hợp trái lại, ta sẽ lựa chọn phépbiến đổi:

cos2a = 12sin2a

trong việc lựa chọn hai hớng biến đổi cho cos2a.Cuối cùng, trong trờng hợp hệ số đối xứng ta sẽ lựachọn phép biến đổi:

cos2a = cos2asin2a

4 Đôi khi việc gom các toán tử trong đầu bài nhằmtăng độ phức tạp của bài toán Khi đó, để tiện choviệc cân nhắc lựa chọn phép biến đổi các emhọc sinh hãy chuyển biểu thức về dạng đơn Cụthể ta xem xét ví dụ sau:

Thí dụ 7 Biến đổi thành tích biểu thức sau:

Nhận xét: Trong lời giải trên, khi chuyển biểu thức về dạng

đơn, ta lựa chọn phép biến đổi cos2a = 12sin2abởi khi đó sẽ khử đợc số hạng tự do và cùng với nhậnxét các toán tử còn lại đều chứa sina

Thí dụ tiếp theo sẽ minh hoạ Dạng 4  Phơng pháp

a Biến đổi biểu thức về dạng:

A = 2sin3a3(sin5asin3a) = 2(3sina4sin3a)6cos4a.sina

[32(1cos2a)3(2cos22a1)].sina

= (3cos22acos2a2).sina = (3cos2a + 2)(cos2a1).sina

b Biến đổi biểu thức về dạng:

B = 3(cotacosa + 1)5(tanasina + 1)

= 3(

asin

acos

cosa + 1)5(

acos

asin

sina + 1) =

asin

)asinacos.asina(cos



acos

)acosacos.asina(sin

= (sina + cosasina.cosa)(

asin

3



acos5

)

Nhận xét: Trong lời giải trên:

1 Với câu a), các em học sinh cũng có thể sử dụngphơng pháp tách dần:

sin3a = 3sina4sin3a,sin5a = sin(a + 4a) = sina.cos4a + cosa.sin4a

= sina.cos4a + 2cosa.cos2a.sin2a

= sina.cos4a + 4cos2a.cos2a.sina

Ngoài ra, không sử dụng cách tách:

A = 2sin5a5(sin5asin3a)bởi chúng ta chỉ có công thức cho sin3a còn sin5akhông có

2 Với câu b), việc lựa chọn cách tách 2 = 5  3 đợc

đề xuất khá tự nhiện bởi hai biểu thức đã đợcgom trớc

Thí dụ 9 Biến đổi thành tích các biểu thức:

a A = 9sina + 6cosa3sin2a + cos2a8

b B = 2sin2acos2a7sina  2cosa + 4

 Giải

a Biến đổi biểu thức về dạng:

A = 9sina + 6cosa6sina.cosa + 2cos2a  1  8

= 9sina  9 + 6cosa6sina.cosa + 2cos2a =

9(sina1)6cosa(sina1) + 2cos2a = 9(sina1)6cosa(sina1)2(sin2a1)

= (sina1)(96cosa2sina2) = (sina1)(76cosa2sina)

b Biến đổi biểu thức về dạng:

B = 4sina.cosa  2cosa  (1  2sin2a)7sina + 4

= 4sina.cosa  2cosa + 2sin2a7sina + 3

= 2cosa(2sina  1) + (2sinasina  3) = (2sina1)(2cosa + sina3)



Nhận xét: Trong lời giải trên:

1 Với câu a), chúng ta sử dụng ý tởng đa biểu thứclợng giác về cùng một cung và ở đó lựa chọncos2a = 2cos2a  1 bởi cần có sự kết hợp 1 với 8

để có đợc hệ số tơng ứng với 9sina, từ đó xuấthiện cách nhóm các nhân tử.

2 Với câu b), các em học sinh nếu cha có kinhnghiệm thì tốt nhất là thực hiện phép thử vớicác cách biến đổi của cos2a

Thí dụ tiếp theo sẽ minh hoạ Dạng 5  Phơng pháp

hằng số biến thiên.

Thí dụ 10.Biến đổi thành tích biểu thức sau:

a A = sina.cosa + m(sina + 2cosa) + 2m2

a Viết lại A dới dạng:

A = 2m2 + (sina + 2cosa)t + sina.cosa

khi đó A là một tam thức bậc hai theo m có:

m = (sina + 2cosa)28sina.cosa = (sina2cosa)2,

Nhận xét: Lời giải của thí dụ trên minh hoạ cho ý tởng của

ph-ơng pháp hằng số biến thiên, lẽ đph-ơng nhiên chúng

ta có thể thực hiện phép nhóm một cách thích hợp

để có đợc các kết quả đó, cụ thểvới câu a) ta có:

A = sina.cosa + m.sina + 2m.cosa + 2m2

= (cosa + m).sina + 2m(cosa + m) = (cosa + m)(sina + 2m)

và chúng ta nhận thấy công việc đó đơn giản hơnnhiều so với những lập luận trong lời giải trên, xong

đây luôn là ý tởng hay để sử dụng cho việc giải cácphơng trình đại số cũng nh lợng giác

Thí dụ tiếp theo sẽ minh hoạ Dạng 6  Phơng pháp

nhân.

Thí dụ 11.Biến đổi thành tích biểu thức sau:

a A = sin5a2 5cos3a.sina2, với a   + 2k, k  �

b A = sina + sin2a + + sinna, với n  �

sina = sin2a = = sinna = 0  S = 0

Trờng hợp 2: Nếu a  2k, k� thì nhân cả hai vế của biểu thức với2sin

 A =

2

asin2

a)1n(sin2

na



Nhận xét: Nh vậy, chúng ta đã đợc làm quen với 6 phơng pháp

biến đổi tổng thành tích, cuối cùng chúng ta minh

hoạ thêm một thí dụ cho phơng pháp sử dụng các

phép biến đổi hỗn hợp.

Thí dụ 12.Biến đổi thành tích các biểu thức sau:

a A = cos4acos2a + 2sin6a b B = cos2a + cos3a+ 2sina2

 Giải

a Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:

Cách 1: Biến đổi biểu thức về dạng:

A = cos4acos2a + sin2a + 2sin6a = (cos2acos2a + sin2a +2sin6a

= sin2a.cos2a + sin2a + 2sin6a = (1  cos2a)sin2a + 2sin6a = sin4a + 2sin6a = (2sin2a + 1).sin4a

Cách 2: Biến đổi biểu thức về dạng:

A = cos4acos2a  1) + 2sin6a = (cos4acos2a + 1 +2sin6a

= (1cos2a + 2sin6a = sin4a + 2sin6a = (2sin2a +1).sin4a

b Biến đổi biểu thức về dạng:

B = (1 + cosa)cos2a2(1sina) = (1 + cosa)(1sin2a)2(1sina)

Thí dụ 13.Biến đổi thành tích biểu thức sau:

A = (2sina + 1)(3cos4a + 2sina4) +4cos2a3

 Giải

Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:

Cách 1: Biến đổi biểu thức về dạng:

A = (2sina + 1)(3cos4a + 2sina4)3 + 4(1sin2a)

= (2sina + 1)(3cos4a + 2sina4)4sin2a + 1

= (2sina + 1)(3cos4a + 2sina42sina + 1) = (2sina + 1)(3cos4a3)

Cách 2: Biến đổi biểu thức về dạng:

A = 3cos4a.(2sina + 1) + (2sina + 1)(2sina4) + 4cos2a  3 = 3cos4a.(2sina + 1) + 4sin2a  6sina4 + 4cos2a  3

= 3cos4a.(2sina + 1)  3(2sina + 1) = (2sina + 1)(3cos4a3)

Thí dụ 14.Biến đổi thành tích các biểu thức sau:

a A = cos23a + cos22asin2a

b B = sin23acos24asin25a + cos26a

= cos4a.cos2a + cos22a = (cos4a + cos2a)cos2a =2cos3a.cosa.cos2a

b Biến đổi biểu thức về dạng:

= (sin3a + sina)sin9a = 2sin2a.cosa.sin9a

Dạng toán 3: Chứng minh đẳng thức lợng giác

Phơng pháp áp dụng

Sử dụng hệ thức cơ bản và các hệ quả để thực hiện phép biến

đổi tơng đơng

Ta lựa chọn một trong các hớng biến đổi sau:

còn lại (VT  VP hoặc VP  VT) Khi đó:

 Nếu xuất phát từ vế phức tạp ta cần thực hiện việc

(1cos4x); sin22x = 4sin2x.cos2x

Tuỳ theo mỗi bài toán, ta lựa chọn công thức thích hợp để biến

đổi

Thí dụ 1 Chứng minh các đẳng thức sau:

a sin(a + b).sin(a  b) = sin2a  sin2b = cos2b  cos2a

b cos(a b)cos(a b) cot a.cot b 1cot a.cot b 1

 Giải

a Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:

Cách 1: Ta có:

VT = (sina.cosb + sinb.cosa)(sina.cosb  sinb.cosa)

= sin2a.cos2b  sin2b.cos2a = sin2a(1  sin2b)  sin2b(1 sin2a)

= sin2a  sin2b = 1  cos2a  1 + cos2b = cos2b  cos2a 

Cách 3: (Hớng dẫn): Sử dụng công thức hạ bậc để biến đổi VP, sau

đó sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích

b Ta có:

VT =

bsin.asinbcos.acos

bsin.asinbcos.acos





=

bsin.asin

bsin.asinbsin.asin

bcos.acos sina.sinb

bsin.asinbsin.asin

bcos.acos

4

3

1cos22x =

2

1 + 2

1.

2

x4cos

4

3 + 4

1cos4x.

Cách 2: (Sử dụng phép hạ bậc toàn cục): Ta có:

VT = sin4x + cos4x = (sin2x + cos2x)22sin2x.cos2x

= 1

2

1.sin22x = 1

2

1.2

x4cos1

= 4

3 + 4

1cos4x

b Ta lựa chọn một trong hai cách:

Cách 1: (Sử dụng phép hạ bậc đơn): Ta có:

VT =

4

1(3sinxsin3x)cos3x +

4

1(3cosx + cos3x)sin3x =

4

3(sinx.cos3x + cosx.sin3x) =

4

3sin4x

Cách 2: (Sử dụng phép hạ bậc đối xứng): Ta có:

VT = sin2x.sinx.cos3x + cos2x.cosx.sin3x

= (1cos2x).sinx.cos3x + (1sin2x).cosx.sin3x

= sinx.cos3x + cosx.sin3x(cosx.cos3x +sinx.sin3x)sinx.cosx

= sin4x

2

1cos2x.sin2x = sin4x

4

1sin4x =

4

3sin4x



Nhận xét: Nh vậy, thí dụ trên đã minh hoạ sự khác biệt trong

việc lựa chọn các phép hạ bậc khác nhau để chứngminh một đẳng thức lợng giác Và ở đó, các em dễ

so sánh tính hiệu quả của phép hạ bậc đơn đối vớinhững biểu thức khác nhau

Để tăng độ khó bài toán trên thờng đợc mở rộng nhsau:

1 Với câu a), có thể là "Tính giá trị của biểu thức

sin4x + cos4x tại x

Thí dụ 3 Chứng minh các đẳng thức sau:

a sin3x.(1 + cotanx) + cos3x.(1 + tanx) = sinx + cosx

b sin3x2sin33x + cos2x.sinx = cos5x.sin4x

 Giải

a Ta có:

VT = sin2x.(sinx + cosx) + cos2x.(cosx + sinx)

= (sin2x + cos2x)(cosx + sinx) = sinx + cosx, đpcm

(sin9x  sinx) = cos5x.sin4x, đpcm

Chú ý: Ví dụ tiếp theo chúng ta sử dụng một đẳng thức luôn

đúng để suy ra đẳng thức cần chứng minh

Thí dụ 4 Cho x + y + z = , chứng minh rằng:

tanx + tany + tanz = tanx.tany.tanz

Nhận xét: Thí dụ trên đợc trình với mục đích để các em học

sinh tiếp cận với bài toán chứng minh đẳng thức lợnggiác có điều kiện và nó đợc thực hiện bằng việcxuất phát từ biểu thức điều kiện để suy ra đẳngthức cần chứng minh, tuy nhiên đây không phải là

đờng lối chung cho mọi dạng toán nh vậy

Thí dụ 5 Cho sinx + siny = 2sin(x + y), với x + y  k, k  �

Thí dụ 6 Cho tanx, tany là nghiệm của phơng trình at2 + bt

actan x.tan y

Biến đổi biểu thức về dạng:

A = cos10x + 1 + cos8xcosx2(4cos33x3cos3x)cosx = 2cos9x.cosx + 1cosx2cos9x.cosx = 1cosx

sinx + sin3x + sin5x = sinx + sin5x + sin3x

= 2sin3x.cos2x + sin3x = sin3x(2cos2x + 1)

(1)cosx + cos3x + cos5x = cosx + cos5x + cos3x

= 2cos3x.cos2x + cos3x = cos3x(1cos2x  1)

(2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra:

A =

x3cos

x3sin

= tan3x



Nhận xét: Đơng nhiên, chúng ta có thể trình bày theo kiểu

biến đổi đồng thời TS và MS Cách trình bày nhtrên có tính minh hoạ để các em học sinh lấy nó ápdụng cho những biểu thức mà độ phức tạp trongcác phép biến đổi cho TS và MS khác nhau

Nhận xét: Nh vậy, để rút gọn các biểu thức hỗn hợp chứa sin,

cos và tan, cot nh trên chúng ta thờng chuyển đổitan, cot theo sin, cos

Thí dụ 5 Rút gọn các biểu thức:

a A = sin2a + sin22a + + sin2na

b B =

asin.asin

1

+

asin.asin

2

n



21

(cos2a + cos4a + + cos2na)

nasin.a)1ncos( 

nasin.a)1ncos( 

b Nhân cả hai vế của biểu thức với sina, ta đợc:

B.sina =

asin.asin

asin

+

asin.asin

asin

+ +

a)1nsin(

.nasin

asin



=

asin.asin

)aasin( 

+

asin.asin

)aasin( 

+ + sinsin[(nan.sin(1)an na1)a]

asin

1 + +

a2sin

a2cosa2cos1

a2cos1

a2cos

k k

=

a2cos.a2sin2

a2cos2

1 k 1

k

1 k 2

 Gi¶i

Ta cã:

tana = tan[(k + 1)k]a = 1 tan(k 1)a.tan katan(k 1)a tan ka   

 tanka.tan(k + 1)a = tan(k 1)a tan ka

1 +

acos.acos

1

+ +

a)1ncos(

.nacos

acos

+

acos.acos

acos

+ +

a)1ncos(

.nacos

acos

 =

acos.acos

)aacos( 

+

acos.acos

)aacos( 

+ +

a)1ncos(

.nacos

]naa)1ncos[(







= 1 + tana.tan2a + 1 + tan2a.tan3a + + 1 +tanna.tan(n + 1)a

= n + tana.tan2a + tan2a.tan3a + +tanna.tan(n + 1)a

Thí dụ 8 Rút gọn biểu thức A = tana +

2

1tan2

a + + n

2

1tan

x sin x cos 2 2



=

xsin

xcos2

= 2cot2x  tanx = cotx 2cot2x

Thí dụ 9 Rút gọn biểu thức A = 1 sin 2x 1 sin 2x



= 2cos x2

2sin x.cos x = cotx



Chú ý: Ngời ta có thể sử dụng kết quả của ví dụ trên để tạo ra

những yêu cầu khá thú vị, để minh hạo ta xét đòihỏi:

“Cho t  [1; 1]\{0} và thoả mãn tanx =

t 1 t 1

t 1 t 1

  

2

1 1 tt

1 1 t2

t

1 1 t1

2(1 1 t )t2(1 1 t )

 

 

= t



Chú ý: Trong các bài toán thi chúng ta thờng gặp phải yêu cầu

"Chứng minh đẳng thức lợng giác độc lập với biến số"

Thí dụ 10.Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

A = cos2(x

3

) + cos2x + cos2(x +

3

)

)]

A = cosx + cos(x + 6a) + cos(x + 2a) + cos(x + 4a)

= 2cos(x + 3a).cos3a + 2cos(x + 3a).cosa = 2(cos3a +cosa)cos(x + 3a)

Để biểu thức không phụ thuộc vào x điều kiện là:

cos3a + cosa = 0  cos3a = cos(  a) = 0

k 2 a a

2

k4

a

) 2 , 0 (

biểu thức không phụ thuộc vào x

Dạng toán 5: Tính giá trị của hàm số lợng giác, biểu

thức lợng giác

Phơng pháp áp dụng

Ta sử dụng hệ thức cơ bản và các hệ quả:

Dạng 1: Ta sử dụng các hệ quả trong bảng giá trị lợng giác của

các cung đặc biệt hoặc bằng việc biểu diễn góc trên

đờng tròn đơn vị

Dạng 2: Nếu biết giá trị của một trong bốn hàm số lợng giác để

tính giá trị của các hàm số còn lại chúng ta cần thực hiệntheo các bớc:

Bớc 1: Xác định dấu của chúng

Bớc 2: Sử dụng các công thức:

sin2 + cos2 = 1tan =



cos

sin, cot =



sin

cos hoặc cot =

tan1

2

sin

1 = 1 + cot2,



2

cos

1 = 1 + tan2

Dạng 3: Giả sử biết giá trị của một biểu thức lợng giác, cần tính

giá trị của các hàm số lợng giác của một góc , ta lựachọn một trong các hớng sau:

một hàm lợng giác rồi thực hiện phép đặt ẩnphụ (nếu cần) để giải một phơng trình đạisố

0

Dạng 4: Giả sử biết giá trị của một biểu thức lợng giác (ký hiệu

(1)), cần tính giá trị của biểu thức lợng giác khác (kýhiệu (2)), ta lựa chọn một trong các hớng sau:

trung gian (3)

Thí dụ 1 Trên đờng tròn lợng giác cho điểm M xác định bởi sđ

�

AM =  (0 <  < 2) Gọi M1, M2, M3 lần lợt là điểm đối

xứng của M qua trục Ox, Oy và gốc toạ độ Tìm số đo các cung AM� 1, AM� 2, AM� 3