DE CHON HSG TOAN 9 5

Xác định giá trị tham số m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) là lớn nhấtb. Cho đường tròn (O) và điểm P nằm ngoài đường tròn.[r]

(1)

PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH. NĂM HỌC: 2010 – 2011.

Mơn thi:

TỐN 9

Câu 1

Giải phương trình

a.

x

b.

x

Câu 2

Cho đường thẳng (d) có phương trình:

2(1 )

2

m

y x

m m



 

 

, với

m

tham số

m

.

a Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) qua.

b Xác định giá trị tham số m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d)

là lớn

Câu 3

a Cho B =

11 1122 225

1

n



     

; B số gồm n chữ số 1, n + chữ số và

một chữ số Chứng minh B số phương.

b Cho

p

số nguyên tố;

p

Chứng minh

p

số nguyên tố thì:

2p 1

hợp số.

c Chứng minh không tồn cặp giá trị nguyên

x y

thỏa mãn:

x

y

d Cho

x y z

, chứng minh:

3 3 2

x y z

y z x 

Câu 4

Cho đường trịn (O) điểm P nằm ngồi đường trịn Từ P kẻ tiếp tuyến PA,

PB với đường tròn (O), (A, B tiếp điểm); OP cắt AB M Qua M kẻ dây cung CD

của đường trịn (O), (CD khác AB CD khơng qua O) Hai tiếp tuyến (O) C và

D cắt Q Chứng minh:

a) AB < CD ;

b) PQ vng góc với PO P.

Câu 5

Cho đường thẳng xy; đường tròn (O) điểm A nằm đừơng tròn (O), xy

khơng cắt (O) Dựng đường trịn tâm K tiếp xúc với (O) A tiếp xúc với đường thẳng

xy (

Chỉ trình bày cách dựng biện luận

)

(2)

Hết./.

PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG HD CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH. NĂM HỌC: 2010 – 2011.Mơn thi:

TỐN 9

khơng kể thời gian giao đề

Câu Ý Nội dung cần đạt Điểm

1 a

2 10 27 6 4

x  x   x x , Điều kiện: x 4 HS biến đổi:

2

( .5 25) ( 5) 2

VT  x  x    x   , Dấu “=” xẩy x5 2

1 (1 )(6 4)

VP  x x    x x   , Dấu “=” xẩy x5 Vậy nghiệm: x5 thỏa mãn điều kiện x 4

0,25 0,25 0,25 1,75 b 2

2011 x  2006 x 2, ĐK: 0x2 2006

Nhân vế với : 2011 x2  2006 x2 0và biến đổi đưa hệ PT:

2

2011 2006

9 81 32095

2011 2011

5 4 16 4

2011 2006

2

x x

x x x

x x                     

Đối chiếu điều kiện:

32095 x thỏa mãn 0,25 0,5 0,25 2 a (d) :

2(1 )

2 m y x m m   

  ; với m tham số, m1;

Gọi ( ; )x y0 điểm cố định (d) qua: Thay vào PT (d) ta có:

0

2(1 )

2 m y x m m   

  , Với m  my0 2y0 2x0 2mx02,m

0 0

2

( ) 2 0;

2 2

y x x

m y x y x m

y x y

                       0,5 0,5 1,75

b Nhận thấy (d) không qua O

Tìm tọa độ giao điểm A đồ thị hàm số với trục Ox: A ;0 m       

Giao điểm B đồ thị hàm số với trục Oy: B

2 0; m       

Ta có: AOB vng O có khoảng cách từ O đến (d) OH (đường cao) nên:

2 2

1 1

OH OA OB Hay

2

2 2

1 1 ( 2)

( 1)

4

A B

m m

OH x y OH



     

0,25

(3)

2

2 2

4

4( 1) ( 2) 5 12 8

OH OH

m m m m

   

    

2

5

6 4

5( )

5 5

OH

m

   

 

; Dấu “=” xẩy

x

Xét m 1 y2; K/c từ O đến (d) 2 Vậy ax

6

5

m

OH   x

0,25

3 a

B =

2

11 1122 225 11 11.10

22 22.10 5

1

n







     

  

1 2( 1) 2

2

10 10 10 10 2.10 25

.10 .10

9 9

n n n n n

n B              

2( 1) 1

10 10.10 25 10

9

n n n

 

  

  

  (10n1

 ) 3 Nên B số phương

0,25

2,0 b

p số nguyên tố; p5nên plẻ p không chia hết cho 3 p1chẵn (p 1) 2;

pchia cho dư 2

HS lập luận để chứng tỏ 2p21 hợp số

0,2

0,3

c

2 2 2 2011 2 2013

x   y   x  y   xlẻ, đặt x2k1;(k Z )thay vào ta có:

2 2

2y 4k 4k 2012 y 2k 2k1006 (1) ychẵn, y2 ; (t t z ) Thay x y; vào (1) biến đổi: 2t2 k k( 1) 503 (2)

Xét thấy VT (2) ln chẵn; VP (2) số lẻ k(k+1) chẵn (Tích số nguyên liên tiếp) Vậy dấu “=” (2) xẩy ra Không tồn cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: x2 2 y2 2011

0,25

d

;

x y ; xét

3 3 3 3

2

2 x

x y x y y x y xy x y

y

        

Chứng minh tương tự:

2

y

y z

z   ;

3

2

z

z x

x   Cộng vế theo vế ta có:

3 3 3

2 2 3 (2 2 ) 2

x y z x y z

x y z x y z x y z

y z x            y z x  (Đpcm)

0,25

(4)

0,25

2,5 4

a

Gọi giao điểm QO CD N HS áp dụng tính chất tiếp tuyến cắt Q để suy ra: CD QO N,  MNO vuông N

 OM>ON AB<CD (T/c khoảng cách từ tâm đến dây )

0,5 0,5

b

HS áp dụng hệ thức lượng tam giác vng: OAP, OQC có:

2 . ; .

AO OM OP OC ON OQ

mà OA = OC nên OM OP = ON OQ

0,25 0,25

Từ c/m có: OM OP = ON OQ

OM OQ

ON OP

 

(1)

Xét MON QOP có POQ chung (1) MON đồng dạng QOP 

  900

ONM OPQ hay QP PO P

0,25

0,25 0,25

5

Vẽ hình trường hợp: + At cắt xy

+ At // xy

0,25

2,0 Cách dựng: - Qua A dựng tiếp tuyến At với (O):

+ Nếu At cắt xy P: dựng phân giác góc tạo At xy, Phân giác cắt OA K Dựng (K; KA) đường tròn cần dựng

+ Nếu At // xy: Dựng giao OA với xy I, Dựng K trung điểm AI, dựng (K; KA)

0,25 0,5

0,5 Biện luận: + Nếu OAxy tốn có nghiệm hình

+ Nếu OA khơng vng góc xy At tạo với xy hai góc nên tốn có nghiệm hình

0,25 0,25

Học sinh giải cách khác phù hợp theo yêu cầu chấm điểm tối đa

N Q

D M

A

B

O P

C

t

y x

K K'

P O

(5)