Đề thi chọn HSG Toán 9

Đề thi chọn học sinh giỏi Môn : Toán lớp 9 Thời gian làm bài : 120 phút Câu 1 : (2 điểm ) a) Tính A = 322 1 322 1 + ++ b) So sánh : 2008 2009 2009 2008 + và 2008 2009+ Câu 2 : (2 điểm ) a) Giải phơng trình : x 2 + x + 12 1+x = 36 b) Tìm các số nguyên x , y sao cho : y= 54 2 ++ xx Câu 3 : (2 điểm ) a) Biết a , b , c là số đo 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh phơng trình : x 2 + ( a - b - c )x + bc = 0 vô nghiệm b) Cho M = x 2 + y 2 + 2z 2 + t 2 ; với x , y , z , t là số tự nhiên . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của M và các giá trị tơng ứng của x,y,z,t biết rằng: =++ =+ 10143 21 222 222 zyx tyx Câu 4 : (3 điểm) Cho đoạn thẳng AB=2a , trên AB lấy một điểm C tuỳ ý . Vẽ đờng tròn tâm I đ- ờng kính AC và vẽ đờng tròn tâm K đờng kính BC . MN là tiếp chung ngoài của hai đờng tròn (M )(),( KNI ) ; Cx là tiếp tuyến chung trong của hai đờng tròn . a) Chứng minh các đờng thẳng AM,BN,Cx đồng quy tại một điểm D . b) Xác định vị trí của điểm C trên AB sao cho tứ giác DMCN có diện tích lớn nhất . Câu 5 : (1 điểm) Chứng minh rằng nếu ba + > 2 thì phơng trình sau có nghiệm 2ax 2 + bx +1 - a = 0 đáp án đề thi học sinh giỏi môn thi : toán lớp 9 Câu 1 : (2đ) a) (1đ) A = 3242 2 3242 2 + ++ ( Nhân tử và mẫu với 2 ) 0,25 = 33 2 33 2 )13(2 2 )13(2 2 + + = + ++ 0,5 = 2 39 )3333(2 = ++ 0,25 b)(1đ) Ta có 2008 2009 2009 2008 + = 2009 1 2008 1 2009 2008 + + = 0,25 = 2009 1 2008 1 2009 2009 2008 2008 + + = = ( 2008 2009+ )+ 1 1 ( ) 2008 2009 0,25 Ta thấy 1 1 2008 2009 2008 2009 < > Do đó 1 1 2008 2009 >0 ; 0,25 suy ra ( 2008 2009+ )+ 1 1 ( ) 2008 2009 > 2008 2009+ Vậy 2008 2009 2009 2008 + > 2008 2009+ 0,25 Câu 2 : (2đ) a) (1đ) x 2 + x + 12 1+x = 36 x(x+1)+ 12 1+x = 36 KX : x 1 0,25 Đặt 1+x = t 0 ; phơng trình trở thành : ( t 2 - 1 )t 2 + 12t = 36 t 4 - ( t - 6 ) 2 = 0 ; suy ra (t 2 - t + 6)(t 2 + t - 6) = 0 0,25 Phơng trình t 2 - t + 6 = 0 vô nghiệm Phơng trình t 2 + t - 6 = 0 có nghiệm là t 1 = -3< 0 (loại) t 2 = 2 > 0 0,25 Với t = 2 thì 1+x =2 ; từ đó tìm đợc nghiệm của phơng trình là : x = 3 0,25 b) (1đ) x 2 + 4x + 5 = (x+2) 2 +1 > 0 với mọi x , nên y xác định với mọi x ; từ đó ta cũng có y > 0 . 0,25 Bình phơng 2 vế y= 54 2 ++ xx ta đợc : y 2 = (x+2) 2 +1 (y + x + 2)(y - x - 2 ) = 1 0,5 Vì x,y là số nguyên nên (y + x + 2) và (y - x - 2 ) cũng nhận giá trị nguyên . Ta thấy tổng và tích của 2 biểu thức này là dơng nên ta có : = =++ 12 12 xy xy ; từ đó ta tìm đợc (x=-2;y=1) 0,25 Câu 3 : (2đ) a) (1đ) = (a-b-c) 2 - 4bc = a 2 + b 2 +c 2 - 2ab - 2ac + 2bc - 4bc = a 2 + b 2 +c 2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0,25 = a 2 - a(b+c) + b 2 - b(a+c) + c 2 - c(a+b) Vì a,b,c là 3 cạnh của một tam giác nên : 0 <a<(b+c) ; suy ra a 2 < a(b+c) ; do đó a 2 - a(b+c) < 0 0 <b<(a+c) ; suy ra b 2 < b(a+c) ; do đó b 2 - b(a+c) < 0 0 <c<(a+b) ; suy ra c 2 < c(a+b) ; do đó c 2 - c(a+b) < 0 0,5 Từ đó suy ra < 0 . Vậy phơng trình vô nghiệm . 0,25 b) (1đ)Từ hệ =++ =+ (**)10143 *)(21 222 222 zyx tyx ; cộng vế với vế ta đợc : 2(x 2 + y 2 + 2z 2 + t 2 ) - t 2 = 122 ; 0,25 suy ra M= 2 61 2 122 22 tt += + ; do đó Min M = 61 khi t = 0 0,25 Với t = 0 từ (*) suy ra x 2 - y 2 = 21 hay (x-y)(x+y)= 21 0,25 Có 2 trờng hợp xảy ra : + = = =+ = 10 11 21 1 y x yx yx (loại vì không thoả mãn (**) ) + = = =+ = 2 5 7 3 y x yx yx , thay vào (**) ta tìm đợc z=4 Vậy Min M=61 khi x=5,y=2,z=4,t=0 0,25 Câu 4 : (3đ) a) (1,25đ) Gọi D là giao điểm của AM và BN Q là giao điểm của MN và Cx . Theo tính chất của tiếp tuyến ta có QM=QC=QN ; Từ đó suy ra MCN vuông . 0,5 Tứ giác DMCN có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật ; 0,25 Mà Q là trung điểm của MN , suy ra Q là trung điểm của DC . Vậy AM,BN,Cx đồng quy tại D. 0,5 b)(1,75đ) Gọi O là trung điểm của AB , Suy ra DO= 2 AB =a 0,25 S DMCN =DM.DN= === DCAB DC DBDA DC DB DC DA DC . 4422 0,5 222 2333 a a a a DC AB DC === ; 0,5 Từ đó ta có S DMCN lớn nhất bằng 2 2 a khi DC=a ; lúc đó C O . 0,5 Câu 5 : ( 1 điểm ) Giả sử phơng trình vô nghiệm , ta có : = b 2 - 8a(1-a) < 0 (1) , do đó 0 < b 2 < 8a(1-a) hay a(1-a) > 0 Q I m CB = 3 cm Distance A to C B = 0 cm m AC = 5 cm O N M K C B x A D Từ đó ta có 0 <a < 1 , suy ra a = a . 0,25 Từ (1) , ta lại có b < 2 )1(2 aa , vậy =+<+ )1(22 aaaba = 1)12(1)1()1(222 2 +=++ aaaaaa (2) 0,25 áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki , ta có : ( [ ] )1()12()1.1.2()12 22 aaaaaa +++=+ = 3 (3) 0,25 Kết hợp (2) với (3) , ta có : ba + < 3 -1 = 2 ; trái với giả thiết . Vậy phơng trình có nghiệm . 0,25 . 2008 20 09 20 09 2008 + = 20 09 1 2008 1 20 09 2008 + + = 0,25 = 20 09 1 2008 1 20 09 20 09 2008 2008 + + = = ( 2008 20 09+ )+ 1 1 ( ) 2008 20 09 0,25 Ta thấy 1 1 2008 20 09 2008 20 09 < . Đề thi chọn học sinh giỏi Môn : Toán lớp 9 Thời gian làm bài : 120 phút Câu 1 : (2 điểm ) a) Tính A = 322 1 322 1 + ++ b) So sánh : 2008 20 09 20 09 2008 + và 2008 20 09+ Câu 2 :. 20 09 < > Do đó 1 1 2008 20 09 >0 ; 0,25 suy ra ( 2008 20 09+ )+ 1 1 ( ) 2008 20 09 > 2008 20 09+ Vậy 2008 20 09 20 09 2008 + > 2008 20 09+ 0,25 Câu 2 : (2đ) a) (1đ) x 2 +