Chứng minh đường thẳng HF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn tâm O 52 điểm Chứng minh rằng trên tờ giấy kẽ các ô vuông bằng nhau, không thể[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ TOÁN ĐÀO TẠO NINH GIANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN THỜI GIAN LÀM BÀI:150 PHÚT ĐỀ CHÍNH THỨC 1(4 điểm) Cho biếu thức A= ( 2 2 x − y x + y + y − x +4 x y + y − + : 2 y − x y +xy − x x + y+ xy + x ) Với x> ; y> ; x ≠ y ; y ≠2 −2 x Rút gọn biểu thức A Cho y=1 hãy tìm x để A= 2(5 điểm) a) Giải phương trình : x x 4 x 10 3x b)Chứng minh 4n + 15n - chia hết cho với n là số tự nhiên 3(4 điểm)a) Chứng minh f ( x , y ) =x 2+5 y −4 xy +2 x −6 y +3> b) Cho x1, x2, x3 là ba số thực thỏa x1x2x3 = 1 1 Tính: S = 1+ x + x x + 1+ x2 + x x + 1+ x + x x 4)(5 điểm) Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R (M không trùng với A và B) Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tia Ax vuông góc với AB Đường thẳng BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn tâm O E, cắt IB F; đường thẳng BE cắt AI H, cắt AM K a) Chứng minh : điểm F, E, K, M cùng nằm trên đường tròn b) Tứ giác AHFK là hình gì ?Vì ? Chứng minh đường thẳng HF luôn tiếp xúc với đường tròn cố định điểm M di chuyển trên nửa đường tròn tâm O 5)(2 điểm) Chứng minh trên tờ giấy kẽ các ô vuông nhau, không thể dựng tam giác có đỉnh là đỉnh các ô vuông 1) Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R (M không trùng với A và B) Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tia Ax vuông góc với AB Đường thẳng BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn tâm O E, cắt IB F; đường thẳng BE cắt AI H, cắt AM K c) Chứng minh : điểm F, E, K, M cùng nằm trên đường tròn d) Tứ giác AHFK là hình gì ?Vì ? (2) e) Chứng minh đường thẳng HF luôn tiếp xúc với đường tròn cố định điểm M di chuyển trên nửa đường tròn tâm O KMF 900 a) Các tam giác AEB, AMB vuông ( vì AB đường kính) suy BEF EC CM KF Gọi C là trung điểm KF ta có hay EC CM CK CF Suy điểm F, E, K, M cùng nằm trên đường tròn tâm C b) Ta có AE vừa là đường cao vừa là phân giác tam giác AHK nên AH=AK và HE=EK EC là đường trung bình tam giác HKF nên EC HF, KF I F mà EC= nên HF=KF M C K là trực tâm tam giác FAB nên FK AB , mà H E AH AB đó AH//KF suy KFE EAH KEF HEA suy AH=KF K Do đó AH=AK=KF=EH và AF HK nên tứ giác A B O AHFK là hình thoi c) Vì AHFK là hình thoi suy HF//AM, mà AM BF nên HF BF (1) Mặt khác HK là trung trực AF hay BH là trung trực AF nên BF=AB=2R (2) Từ (1) và (2) suy HF là tiếp tuyến đường tròn (B; 2R) cố định 2) Cho tam giác ABC (AB < AC) ngoại tiếp đường tròn (O;R) Đường tròn (O;R) tiếp xúc với các cạnh BC, AB, AC các điểm D, N, M Kẻ đường kính DI đường (O;R) Qua I kẻ tiếp tuyến đường (O;R) nó cắt AB, AC E, F a, Biết AB = 8cm, AC = 11cm, BC = 9cm Tính chu vi tam giác AEF b, Chứng minh EI BD = IF.CD = R2 c, Gọi P là trung điểm BC, Q là giao điểm AI và BC, K là trung điểm AD Chứng minh ba điểm K, O, P thẳng hàng và AQ = 2KP a,Biết AB = 8cm, AC = 11cm, BC = 9cm Tính chu vi tam giác AEF + c/m cho chu vi tam giác AEF là PAEF = 2AN + c/m cho 2AN = AB + AC – BC = + 11 – = 10 cm + suy PAEF = 2AN = 10 cm b,Chứng minh EI BD = IF.CD = R2 (3) + c/m cho tam giác EOB vuông O EN.BN = ON2 = R2 ( theo hệ thức lượng tam giác vuông) Mà EI = EN, BD = BN ( t/c tiếp tuyến cắt điểm) EI BD = R2 + Tương tự ta có: IF.DC = R2 + Suy EI BD = IF.CD = R2 c, Gọi P là trung điểm BC, Q là giao điểm AI và BC, K là trung điểm AD Chứng minh ba điểm K, O, P thẳng hàng và AQ = 2KP Áp dụng hệ qủa định lý Talet các tam giác AQC và tam giác ABC ta có IF AF AF FE IF FE ; QC AC AC BC QC BC Theo câu b ta có: EI.BD IF.CD (1) IF IE IE IF EF BD CD BD CD BC (2) IF IF QC BD QC BD Từ (1) và (2) suy +Vì P là trung điểm BC (gt), QC = BD ( cmt) P là trung điểm DQ Mà O là trung điểm ID suy OP là đường trung bình tam giác DIQ OP // IQ hay OP // AQ (3) + Vì K là trung điểm AD, O là trung điểm ID suy KO là đường trung bình tam giác ADI KO // AI hay KO // AQ (4) + Từ (3) và (4) K, O, P thẳng hàng Do K là trung điểm AD, P là trung điểm DQ suy KP là đường trung bình tam giác DAQ suy AQ = 2KP 3) Cho đường tròn đường tròn (O; R), đường kính AB vuông góc với dây cung CD H ( H O ) Biết AH = a; CD = 2b a) Chứng minh các tam giác HAD và HCB đồng dạng với b) Tính R theo a và b c) Qua H vẽ hai dây cung MN và PQ vuông góc với Xác định vị trí các dây này để MN + PQ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ a, Ta có OA OB OC nên Δ ACB vuông C nên góc BCH + góc ACH = 900 (1) Vì AB CD nên góc CAH + góc ACH = 900 (2) Từ (1) và (2) suy góc CAH = góc BCH (4) Mặt khác AB CD nên HC=HD hay ACB là tam giác cân A =>AH là phân giác góc A =>góc CAH = góc DAH Suy góc BCH = góc DAH => Các tam giác HAD và HCB đồng dạng 2 2 b, Áp dụng định lí Pitago ta có AC AH HC a b Áp dụng hệ thức cạnh và đường cao tam giác vuông ABC ta có AC a b AB a b AC AB.AH AB R AH a 2a c, Gọi K, L là hình chiếu vuông góc O trên MN và PQ Đặt OK = x; OL = y; Đặt OH = d 2 2 Ta có x y OH d không đổi Đặt T MN PQ T MN PQ 2MN.PQ 4(R x ) 4(R y ) (R x )(R y ) 8R 4(x y ) R R (x y ) x y 8R 4.d (R R d ) x y * T đạt GTLN T2 đạt GTLN xy x y2 đạt GTLN xy đạt GTLN x y2 d 2 Áp dụng BĐT Cosi ta có Dấu “=” xẩy x y <=> OL = OK => HO là tia phân giác góc tạo hai dây cung 2 * T đạt GTNN T2 đạt GTNN x y đạt GTNN xy đạt GTNN Mặt khác x, y 0 nên xy 0 , dấu “=” xẩy x = y = => dây cung trở thành đường kính 4) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O, R) Các đường cao AD,BE,CF cắt H Gọi I là trung điểm BC; J là trung điểm AH Chứng minh: a)IJ EF b) Nếu góc BAC 600 thì tam giác IEF c)Nếu OH// BC thì tanB tanC= (5) Chứng minh DB.DC= HD.AD tanB.tanC= a) Chứng minh IJ vuông góc với EF - Chứng minh - JE=JF= AH AD AD 3 HD AD HD IE=IF= BC IJ là trung trực EF IJ vuông góc với EF b)Chứng minh: Nếu góc BAC 600 thì tam giác IEF Tam giác BIF cân I góc BIF= 1800 -2.góc B Tam giác CIE cân I góc CIE=1800- 2.gócC góc BIF+góc CIE = 3600- 2( góc B+ góc C) Do góc A= 600(gt) góc B+góc C= 1200 góc BIF+ gócCIE = 600 Mà BC IE=IF= tam giác IEF GI GA c)Gọi G là trọng tâm tam giác ABC G thuộc AI và Chứng mimh H;G;O thẳng hàng( đường thẳng Ơ Le) OI GI HD AD 3 AH GA HA HD 5) Cho đường tròn tâm O đường kính AB M là điểm thuộc đoạn thẳng OA, vẽ đường tròn tâm O’ đường kính MB Gọi I là trung điểm đoạn thẳng MA, vẽ dây cung CD vuông góc với AB I Đường thẳng BC cắt đường tròn (O’) J a) Chứng minh: Đường thẳng IJ là tiếp tuyến đường tròn (O’) b) Xác định vị trí M trên đoạn thẳng OA để diện tích tam giác IJO’ lớn C J A I M O O’ B D a) Xét tứ giác ACMD, ta có : IA = IM (gt), IC = ID (vì AB CD : gt) ACMD là hình thoi AC // DM, mà AC CB (do C thuộc đường tròn đường kính AB) DM CB; MJ CB (do J thuộc đường tròn đường kính MB) D, M, J thẳng hàng ˆ IMD ˆ 900 ˆ 900 Ta có : IDM (vì DIM ) (6) ˆ IDM ˆ IJM (do ˆ ˆ ˆ MJO ' JMO ' IMD Mà IC = IJ = ID : CJD vuông J có JI là trung tuyến) ˆ ' ˆ đối đỉnh) (do O’J = O’M : bán kính đường tròn (O’); JMO và IMD ˆ MJO ˆ ' 900 IJM = 90 0 IJ là tiếp tuyến (O’), J là tiếp điểm b) Ta có IA = IM AB IO’ = = R (R là bán kính (O)) O’M = O’B (bán kính (O’) JIO’ vuông I : IJ2 + O’J2 = IO’2 = R2 Mà IJ2 + O’J2 2IJ.O’J = 4SJIO’ Do đó SJIO’ SJIO’ = R2 R2 IJ = O’J và JIO’ vuông cân có cạnh huyền IO’ = R nên : R 2 2O’J = O’I = R O’J = Khi đó MB = 2O’M = 2O’J = R 6) Cho hình thoi ABCD cạnh a, gọi R và r là các bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ABC Chứng minh 1 2 2 :R r a B E M A O C I K D Tứ giác ABCD là hình thoi nên AC là đường trung trực đoạn thẳng BD, BD là đường trung trực AC Do gọi M,I,K là giao điểm đường trung trực đoạn thẳng AB với AB,AC,BD thì ta có I, K là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ADB, ABC Từ đó ta có KB = r và IB = R Lấy điểm E đối xứng với điểm I qua M Ta có BEAI là hình thoi ( vì có hai đường chéo EI và AB vuông góc với và cắt trung điểm đường) Ta có : = mà =900 (7) =900 Xét EBK cã =900 đường cao BM.Theo hệ thức tam giác vuông ta có: 1 2 BE BK BM Mà BK = r , BE = BI = R; BM = a Nªn 1 2 R r a (§pcm) 7) Cho ABC (AB = AC) Vẽ đường tròn có tâm O nằm trên BC và tiếp xúc với các cạnh AB, AC D, E Gọi I là điểm chuyển động trên cung nhỏ DE (I khác D và E) Tiếp tuyến đường tròn I cắt các cạnh AB, AC tương ứng M, N a) Chứng minh rằng: Chu vi tam giác AMN không đổi b) Chứng minh hệ thức 4.BM CN BC c) Xác định vị trị I trên cung nhỏ DE để diện tích tam giác AMN lớn (8) 8) a) AD = AE; IM = MD; IN = NE ( tính chất tiếp tuyến cắt nhau) Chứng minh chu vi 2AD không đổi b) Ta có MON = (1800 - A)/2; B = C = (1800 - A)/2 Suy BMO, OMN và CON đồng dạng với suy BM BO BC BM CN BO.CO CO CN BM CN BC c) Ta có SAMN lớn SBMNC bé Ta có: S BMNC SOBM SOMN SOCN R BM MN CN ( R: bán kính đường tròn) 1 BM MI NI CN R BM MD NE CN R 2 R BM BD 2CN CE R BM CN BD BD CE R; BD không đổi S BMNC nhỏ BM + CN Mặt khác ta có BM CN 2 nhỏ BM CN 2 R Dấu “=” xảy và BM = CN Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O, R) Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE tới đường tròn đó (B,C là tiếp điểm, D nằm A và E) Gọi H là giao điểm AO và BC Chứng minh điểm A, B, O, C cùng thuộc đường tròn Chứng minh AH.AO = AD.AE Tiếp tuyến D (O) cắt AB, AC M và N Biết OA = 6cm; R = 3,6cm Tính chu vi Δ AMN Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt AB,AC I và K Chứng minh MI + NK IK (9) Chứng minh OB ⇒ ⇒ ⇒ ∠ OBA =∠ OCA=90 AB, OC AC (theo tính chất tiếp tuyến) B và C cùng thuộc đường tròn đường kính OA điểm A, B,O, C cùng thuộc đường tròn Chứng minh OB AB Chứng minh OA BC H ⇒ AB2 = AH.AO (1) Chứng minh Δ ABD đồng dạng với Δ AEB AB AD = ⇒ ⇒ AB2 = AE.AD (2) AE AB Từ (1) và (2) ⇒ AH.AO = AE.AD Tính AB = 4,8cm Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt suy AB = AC, MD = MB, ND = NC ⇒ Chu vi Δ AMN là: AM + AN + MN = AM +AN + MD +DN = AM +AN + MB + NC = AB + AC = 2AB = 9,6cm Chứng minh IK//BC Và AB = AC ⇒ AI = AK ⇒ Δ AIK cân A ⇒ ∠ AIK =∠ AKI và OI = OK = Theo t/c hai tiếp tuyến cắt suy ra: ∠ NMO =∠OMI= ∠ NMI ∠MNO =∠ONK= ∠MNK Tứ giác MNKI có Đồng thời ∠ IMN +∠ MNK +∠ NKO+∠ KIM=360 ⇒ ∠ IMO+2 ∠ ONK+2 NKO=360 ⇒ ∠ IMO+∠ ONK+∠ NKO=180 Δ NOK có: ∠ NOK +∠ ONK +∠ NKO=1800 ⇒ ∠IMO =∠NOK ⇒ Δ MIO đồng dạng với Δ OKN MI OI IK2 = ⇒ MI NK=OI OK= OK NK MI+NK IK2 IK ≥ √ MI NK= = dụng BĐT Cosi: ⇒ MI+ NK ≥ IK ⇒ Áp √ IK (10) 9) Cho hai đường tròn ( O ) và ( O / ) ngoài Đường nối tâm OO / cắt đường tròn ( O ) và ( O/ ) các điểm A, B, C, D theo thứ tự trên đường thẳng Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF, E ( O ) và F ( O / ) Gọi M là giao điểm AE và DF; N là giao điểm EB và FC Chứng minh rằng: Tứ giác MENF là hình chữ nhật MN AD ME.MA = MF.MD a) Ta có Góc AEB = GócCFD = 900 (góc nội tiếp chắn đường 0,5 đ tròn) Vì EF là tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) và (O /), nên: 0,5 đ OE EF và OF EF => OE // O/F b) Góc EOB= Góc FO’D (góc đồng vị) => góc EAO = góc FCO’ Do đó MA // FN, mà EB MA => EB FN Hay góc ENF = 900 Tứ giác MENF có , nên MENF là hình chữ nhật Gọi I là giao điểm MN và EF; H là giao điểm MN và AD Vì MENF là hình chữ nhật, nên góc IFN = góc INF Mặt khác, đường tròn (O/):góc IFN= góc FND = ½ sđ cung FC =>góc FDC = góc FDC Suy đồng dạng (g – g) => góc NHC= góc DFC = 900 hay MN AD 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ c) 0,5 đ Do MENF là hình chữ nhật, nên góc MFE = FEN Trong đường tròn (O) có: góc FEN = góc EAB =1/2 sđ cung EB 0,5 đ =>gócMEF = EAB Suy đồng dạng (g – g) 0,5 =>hay ME.MA = MF.MD (11)