Các chuyên đề nâng cao – Đại số 8

Ngêi ta gäi b¶ng trªn lµ tam gi¸c Pascal, nã thêng ®îc sö dông khi n kh«ng qu¸ lín.[r]

(1)

1 Chuyên đề : Đa thức Bài 1: Tớnh giỏ trị biểu thức:

a A = x417x317x217x20 x = 16. b B = x5 15x416x3 29x213x x = 14.

c C = x14 10x1310x1210x11 10 x2 10x10 x = 9 d D = x15 8x148x13 8x12  8 x28x 5 x = Bài 2: Tính giá trị biểu thức:

a M =

1 1 650 4

2

315 651 105 651 315.651 105  

b N =

1 546

2

547 211 547 211 547.211 

Bài 3: Tính giá trị biểu thức:

A = x x3 2 y2y x2 3 y3 với x = 2; y 1

a M.N với x 2.Biết rằng: M = 2x23x5; N = x2  x3. Bài 4: Tính giá trị biểu thức, biết x = y + 5:

a x x 2y y  2 xy65

b x2y y  2x75

Bài 5: Tính giá trị đa thức: 1   1

x y  y xy  x y biết x+ y = -p, xy = q Bài 6: Chứng minh đẳng thức:

a x a x b      x b x c      x c x a     ab bc ca x   ; Biết rằng: 2x = a + b + c

b 2bc b 2c2 a2 4p p a   ; Biết rằng: a + b + c = 2p Bài 7:

(2)

b Cho số tự nhiên a b sơ a gồm 52 số1, soá b gồm 104 số Hỏi tích ab chia hết cho khơng? Vì sao?

Bài 8: Cho a + b + c = Chứng minh M = N = P với: M a a b a c      ; N b b c b a      ; P c c a c b      

Bài 9: Cho biểu thức: M = x a x b      x b x c      x c x a    x2 Tính

M theo a, b, c, biết

1 1

2 2

x a b c

Bài 10: Cho biểu thức: A = 15x – 23y ; B = 2x + 3y Chứng minh x, y số nguyên A chia hết cho 13 B chia hết cho 13 Ngược lại B chia hết cho 13 A chia hết cho 13

Bài 11: Cho biểu thức: A = 5x + 2y ; B = 9x + 7y a Rút gọn biểu thức 7A – 2B

b Chứng minh rằng: Nếu số nguyên x, y thỏa mãn 5x + 2y chia hết cho 17 9x + 7y chia hết cho 17

Bài 12: Chứng minh rằng:

a 81 277  913 chia hết cho 405. b 122 1n 11n2 chia hết cho 133

Bài 13: Cho dãy số 1, 3, , 10, 15,…,

 1 n n

, …

Chứng minh tổng hai số liên tiếp dãy số phương

2 Chuyên đề: Biển đổi biểu thức nguyên I Một số đẳng thức bản

1 (a  b)2 = a2  2ab + b2 ;

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ;

2

1 n

(a + + +a a ) =

=             

2 2

1 n n n n n

a a a 2(a a a a a a a a a a a a );

(3)

(a  b)4 = a4  4a3b + 6a2b2  4ab3 + b4 ; a2 – b2 = (a – b)(a + b) ;

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ;

an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2b + an – 3b2 + … + abn – 2 + bn – 1) ; a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b5) ;

a2k + 1 + b2k + 1 = (a + b)(a2k – a2k – 1b + a2k – 2b2 – … + a2b2k – 2 – ab2k 1 + b2k) ; II Bảng hệ số khai triĨn (a + b)n– Tam gi¸c Pascal

Đỉnh

Dòng (n = 1) 1

Dßng (n = 2)

Dßng (n = 3) 1 3 3 1

Dßng (n = 4)

Dßng (n = 5) 10 10

Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm số ; dòng k + đợc thành lập từ dòng k (k ≥ 1), chẳng hạn dịng ta có = + 1, dịng ta có = + 1, = + 2, dòng ta có = + 3, = + 3, = + 1, …Khai triển (x + y)n thành

tổng hệ số hạng tử số dòng thứ n bảng Ngời ta gọi bảng tam giác Pascal, thờng đợc sử dụng n khơng lớn Chẳng hạn, với n = :

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

vµ víi n = th× :

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 10ab4 + b5

II C¸c vÝ dơ

VÝ dơ 1 Đơn giản biểu thức sau :

A = (x + y + z)3 – (x + y – z)3 – (y + z – x)3 – (z + x – y)3.

Lêi gi¶i

A = [(x + y) + z]3 – [(x + y) – z]3 – [z – (x – y)]3 – [z + (x – y)]3

= [(x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3] – [(x + y)3 – 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 – z3] – [z3 – 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 – (x – y)3] – [z3 + 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 + (x – y)3] = 6(x + y)2z – 6z(x – y)2 = 24xyz

VÝ dô 2 Cho x + y = a, xy = b (a2 ≥ 4b) Tính giá trị biểu thức sau :

(4)

Lêi gi¶i a) x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b

b) x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab

c) x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 – 4a2b + 2b2

d) (x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x + y)

Hay : (a2 – 2b)(a3 – 3ab) = (x5 + y5) + ab2 x5 + y5 = a5 – 5a3b + 5ab2

Chó ý : a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a3)2 + (b3)2 a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) = (a2 + b2)(a5 + b5) – a2b2(a3 + b3)

Ví dụ 3 Chứng minh đẳng thức :

a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) ;

b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)

Lêi gi¶i

a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3abc – 3a2b – 3ab2

= (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c)

= (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab]

= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)

b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = [(a + b + c)3 – a3] – (b3 + c3)

= (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] – (b + c)(b2 – bc + c2)

= (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)]

= 3(a + b)(b + c)(c + a) VÝ dô Cho x + y + z =

Chøng minh r»ng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2)

Lêi gi¶i

V× x + y + z = nªn x + y = –z  (x + y)3 = –z3

Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3 3xyz = x3 + y3 + z3

Do : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2)

= x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2)

Mµ x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = z2 – 2xy (vì x + y = z) Tơng tự :

y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx.

V× vËy : 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) +

z3(z3 – 2xy) = 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2)

Suy : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (®pcm)

Bài tập:

(5)

Tính giá trị biÓu thøc : A = a4 + b4 + c4.

2 Cho x + y + z = xy + yz + zx = Tính giá trÞ cđa biĨu thøc : B = (x – 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009.

3 Cho a2 – b2 = 4c2 Chøng minh r»ng : (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) = (3a

– 5b)2.

4 Chøng minh r»ng nÕu:

5 (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = (x + y – 2z)2 + (y + z – 2x)2 + (z + x

– 2y)2

th× x = y = z

6 a) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 x, y khác thì

a b x =y

b) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2

vµ x, y, z khác

a b c x= =y z .

7 Cho x + y + z = Chøng minh r»ng :

a) 5(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 6(x5 + y5 + z5) ;

b) x7 + y7 + z7 = 7xyz(x2y2 + y2z2 + z2x2) ;

c) 10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5).

8 Chứng minh đằng thức sau :

a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 ;

b) x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2.

9 Cho c¸c sè a, b, c, d tháa m·n a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c + d)2

Chøng minh r»ng : a4 + b4 + (a + b)4 = c4 + d4 + (c + d)4

10 Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 =

Tính giá trị cđa biĨu thøc : C = a2 + b9 + c1945.

11 Hai số a, b lần lợt thỏa m·n c¸c hƯ thøc sau :

a3 – 3a2 + 5a – 17 = vµ b3 – 3b2 + 5b + 11 = H·y tÝnh : D = a + b.

12 Cho a3 – 3ab2 = 19 vµ b3 – 3a2b = 98 H·y tÝnh : E = a2 + b2.

13 Cho x + y = a + b vµ x2 + y2 = a2 + b2 Tính giá trị biểu thøc sau :

a) x3 + y3 ; b) x4 + y4 ; c) x5 + y5 ; d) x6 + y6 ;

(6)

3 Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử I- Phơng pháp tách hạng tử thành nhiều hng t khỏc:

Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

2

, d, 13 36

, e, 18

, f, 24

, 16 h, 30

, 12 k, 20

a x x x x

b x x x x

c x x x x

g x x x x

i x x x x

   

   

   

   

   

Bµi 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

(Đa thức cho có nhiệm nguyên nghiệm hữu tỉ)

3

1, 2, 3, 4,

5, 16 6, 13 18 7, 8 8, 6

x x x x x

x x x x x x

    

    

     

      

3

9, 486 81 10, 11, 12, 13, 17 10 14, 15, 16,

x x x x x

x x x x x x

x x x

    

    

     

 

3

12 17

17, 18, 3 19, 26 24 20, 3

21, 14 22,

x x

x x x x x

x x x x x x

x x x x x x x

  

    

     

(7)

II- Phơng pháp thêm bớt h¹ng tư

1) Dạng 1: Thêm bớt hạng tử làm xuất đẳng thức hiệu của hai bình phơng: A2 – B2 = (A – B)(A + B)

Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

2) Dạng 2: Thêm bớt hạng tử làm xuất thừa số chung

III- Phng phỏp i bin

Bài 1:Phân tích đa thức sau thành nhân tử

 2

2 2

4

4 4

1, (1 ) (1 ) 2, 36 3, 4, 64

5, 64 6, 81 7, 81 8, 64 9, 10,

x x x x

x x

x x y

x y x x

    

 

  1

7

5

8

5 10

1, 1 2, 1

3, 1 4, 1

5, 1 6, 1

7, 1 8, 1

x x x x

   

   

   

2 2 2 2

2

4

1, ( 4)( 6)( 10) 128 2, ( 1)( 2)( 3)( 4) 24 3, ( 8) ( 8) 4, ( ) 4 12 5, 2 15 6, ( )( )( )( ) 7, 11

x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

x xy y x y x a x a x a x a a

x x

        

         

         

 2 2

2 2 2

2

3 8, ( ) 3( ) 9, 3 10 10, ( ) 18 20 11, 4 35 12, ( 2)( 4)( 6)( 8) 16

x x x x

x xy y x y x x x x

x xy y x y x x x x

    

      

(8)

Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

IV- Phơng pháp xét giá trị riêng

Phng phỏp: Trc ht ta xác định dạng thừa số chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể để xác định thừa số lại

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tư:

Gi¶i

a, Gi¶ sư thay x bëi y th× P = y y z2(  )y z y2(  ) 0 Nh vËy P chøa thõa sè x – y

Ta lại thấy thay x y, thay y z, thay z x P khơng đổi(ta nói đa thức P hốn vị vịng quanh biến x, y, z) Do P chúa thùa số x – y chúa thừa số y – z, z – x Vậy P phải có dạng

P = k(x – y)(y – z)(z – x).Ta thấy k phải số(khơng chúa biến) P có bậc tập hợp biến x, y, z tích (x – y)(y – z)(z – x) có bậc ba tập hợp biến x, y, z Vì đẳng thức

đúng với x, y, z nên ta gán cho biến x, y, z giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z =

ta đợc k = -1

VËy P =- (x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x - z)

Các toán

4

2 2 2

1,

2, ( )( ) ( )

x x x x

x y z x y z xy yz zx

   

      

2 2

, P = ( ) ( ) ( )

, Q = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

a x y z y z x z x y

b a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b

    

              

2 2

(9)

2 2

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

M a b c a  b c a b  c a b c   a b c b c a c a b     

2 2

( ) ( ) ( )

N a m a b m b c m c  abc, víi 2m = a+ b + c.

B

à i 2: Ph©n tích đa thức sau thành nhân tử:

3

2 2 2

3 3

2

) ( )( )

) ( ) (2 )

) ( ) ( ) ( )

) ( )( ) ( )( ) ( )( )

) ( ) ( ) ( ) ( 1)

) ( ) ( ) ( )

) (

a A a b c ab bc ca abc b B a a b b a b

c C ab a b bc b c ac a c

d D a b a b b c b c c a c a e E a c b b a c c b a abc abc

f f a b c b c a c a b g G a b a b

     

   

     

        

       

     

  2 2

4 4

) ( ) ( )

) ( ) ( ) ( )

b c b c a c c a h H a b c b c a c a b

   

     

V-Phong pháp hệ số bt nh

Bi 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

4

2

4

) 12 14

) 4

) 22 11 37 10

) 14

) 63

a A x x x x

b B x x x x

c C x xy x y y

d D x x x x

e E x x

    

    

     

    

  

Bµi tËp:

Ví dụ Phân tích biểu thức sau thành nhân tö :

A = x3 – 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3)

Lời giải

Đặt S = a + b P = ab, a2 + b2 = S2- 2P; a3 + b3 = S3- 3SP V× vËy :

A = x3 – 3(S2- 2P)x + 2(S3- 3SP) =

3 3

(x - S )- (3S x- 3S )+(6Px- 6SP)

(10)

= (x- S)(x2 +Sx- 2S2+6P)

= (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a + b)2 + 6ab]

= (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a2

Ph©n tÝch đa thức sau thành nhân tử : a) x3 + 4x2 – 29x + 24 ;

b) x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + ;

c) (x2 – x + 2)2 + (x – 2)2 ;

d) 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + ;

e) x6 + 3x5 + 4x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + 1.

f) x8 + x4 + 1;

g) x10 + x5 + ;

h) x12 + ;

i) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 ;

k) (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5.

4 Chuyờn : Xỏc nh a thc

* Định lí Beout (BêZu) ứng dụng: 1) Định lí BêZu:

D phÐp chia ®a thøc f(x) cho nhị thức x - a f(a) (giá trị cđa f(x) t¹i x = a): f(x)=(x−a)q(x)+f(a)

(Beout, 1730 - 1783, nhà toán học Pháp)

Hệ quả: Nếu a nghiệm đa thừc f(x) f(x) chia hÕt cho x - a

áp dụng: Định lí BêZu dùng để phân tích đa thức thành nhân tử Thực nh sau:

Bớc 1: Chọn giá trị x = a thử xem x = a có phải nghiệm f(x) không

Bớc 2: Nếu f(a) = 0, theo định lí BêZu ta có: f(x)=(x−a)p(x) Để tìm p(x) thực phép chia f(x) cho x - a

Bớc 3: Tiếp tục phân tích p(x) thành nhân tử cịn phân tích đợc Sau viết kết cuối cho hợp lí

(11)

*Phơng pháp1: Ta dựa vào mệnh đề sau :

NÕu hai ®a thøc P(x) Q(x) nhau: P(x) = Q(x) hạng tử bậc hai đa thức phải có hệ sè ph¶i cã hƯ sè b»ng

VÝ dơ: P(x)=ax2+2bx−3 ; Q(x)=x2−4x−p NÕu P(x) = Q(x) th× ta cã:

a = 1(hƯ sè cđa lịy thõa 2)

2b = - (hÖ sè cđa lịy thõa bËc 1)

- = - p (hệ số hạng tử bậc không hay hạng tử tự do) *Phơng pháp2: Cho hai đa thức P(x) vµ Q(x) tháa m·n deg P(x) > deg Q(x) Gọi thơng d phép chia P(x) cho Q(x) lần lợt M(x) N(x)

Khi ú ta có: P(x)=Q(x).M(x)+N(x) (Trong đó: deg N(x) < deg Q(x)) (I) Vì đẳng thức (I) với x nên ta cho x lấy giá trị : x=α

( α số) Sau ta giải phơng trình hệ phơng trình để tìm hệ số hạng tử đa thức ( Đa thức thơng, đa thức chia, đa thức bị chia, s d)

Ví dụ: Bài 1(Phần tập ¸p dơng)

Gäi th¬ng cđa phÐp chia A(x) cho x + lµ Q(x), ta cã:

a2x3+3ax2−6x−2a=(x+1).Q(x) .

Vì đẳng thức với x nên cho x = -1 ta dược: −a2+3a+6−2a=0⇒−a2+a+6=0⇒[a=−2

a=3

Với a = -2 A=4x3−6x2−6x+4, Q(x)=4x2−10x+4 Với a = thỡ A=9x3+9x26x6,Q(x)=9x26

*Phơng pháp 3:Thực phép chia đa thức (nh SGK)

Bài tập áp dụng B

(12)

Bài 2: Phân tích đa thức P x( )x4 x3 2x thành nhân tử, biết nhân tử có dạng: x2dx2

Bài 3: Với giá trị a b đa thức : x3+ax2+2x+b chia hÕt cho ®a

thøc: x2+x+1 HÃy giải toán nhiều cách khác nhau.

Bài 4: Xác định giá trị k để đa thức: f(x)=x4−9x3+21x2+x+k chia hết cho đa thức: g(x)=x2−x−2

Bài 5: Tìm tất số tự nhiên k đa thức: f (k)=k3+2k2+15 chia hết cho nhị thức: g(k)=k+3 .

Bài 6: Với giá trị a b đa thức: f(x)=x4−3x3+3x2+ax+b chia hết cho đa thức: g(x)=x2−3x+4 .

Bài 7: a) Xác định giá trị a, b c để đa thức: P(x)=x4+ax2+bx+c

Chia hết cho (x−3)3 .

b) Xác định giá trị a, b để đa thức: Q(x)=6x4−7x3+ax2+3x+2 chia hết cho đa thức M(x)=x2−x+b .

c) Xác định a, b để P(x)=x3+5x2−8x+a chia hết cho M(x)=x2+x+b

Bài 8: Hãy xác định số a, b, c để có đẳng thức:

(Để học tốt Đại số 8)

Bài 9: Xác định số a cho:

a) 10x2−7x+a chia hết cho 2x−3 .

b) 2x2+ax+1 chia cho x−3 dư 4.

c) ax5+5x4−9 chia hết cho x−1 .

Bài 10: Xác định số a b cho: a) x4+ax2+b chia hết cho x2−x+1 .

b) ax3+bx2+5x−50 chia hết cho x2+3x+10 .

(13)

c) ax4+bx2+1 chia hết cho (x−1)2 . d) x4+4 chia hết cho x2+ax+b .

Bài 11: Tìm hăng số a b cho x3+ax+b chia cho x+1 thì dư 7,

chia cho x−3 dư -5.

Bài 12: Tìm số a, b, c cho ax3+bx2+c chia hết cho x+2 , chia

cho x2−1 dư x+5 .

(Một số vấn đề phát triển Đại số 8)

Bài 13: Cho đa thức: P(x)=x4+x3−x2+ax+b Q(x)=x2+x−2 Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x)

Bài 14: Xác định a b cho đa thức P(x)=ax4+bx3+1 chia hết cho đa thức Q(x)=(x−1)2

Bài 15: Cho đa thức P(x)=x4−7x3+ax2+3x+2 Q(x)=x2−x+b Xác định a b để P(x) chia hết cho Q(x)

(23 chuyên đề toán sơ cấp)

Dạng 2: Phương pháp nội suy NiuTơn

Phương pháp:

Để tìm đa thức P(x) bậc không n biết giá trị đa thức n + 1 điểm C1,C2,C3,⋯,Cn+1 ta biểu diễn P(x) dạng:

P(x)=b0+b1(x−C1)+b2(x−C1)(x−C2)+⋯+bn(x−C1)(x−C2)⋯(x−Cn)

Bằng cách thay x giá trị C1,C2,C3,⋯,Cn+1 vào biểu thức P(x) ta tính hệ số b0,b1,b2,,bn .

Bài tập áp dụng

Bi 1: Tìm đa thức bậc hai P(x), biết: P(0)=25,P(1)=7, P(2)=−9 .

Giải

(14)

Thay x lần lượy 0; 1; vào (1) ta được:

b0=25

7=25+b1⇔b1=−18

−9=25−18 2+b2.2.1⇔b2=1

Vậy, đa thức cần tìm có dạng:

P(x)=25−18x+x(x−1)⇔P(x)=x2−19x+25 .

Bài 2: Tìm đa thức bậc P(x), biết: P(0)=10,P(1)=12, P(2)=4, P(3)=1

Hướng dẫn: Đặt P(x)=b0+b1x+b2x(x−1)+b3x(x−1)(x−2) (1)

Bài 3: Tìm đa thức bậc ba P(x), biết chia P(x) cho (x−1),(x−2),(x−3)

được dư P(-1) = - 18

Hướng dẫn: Đặt P(x)=b0+b1(x−1)+b2(x−1)(x−2)+b3(x−1)(x−2)(x−3) (1) Bài 4: Cho đa thức bậc bốn P(x), thỏa mãn:

P(−1)=0

P(x)−P(x−1)=x(x+1)(2x+1),(1) a) Xác định P(x)

b) Suy giá trị tổng S=1.2.3+2.3.5+…+n(n+1)(2n+1),(n∈N¿)

Hướng dẫn: Thay x 0; 1; 2; vào (1), ta :

P(−1)−P(−2)=0⇔P(−2)=0,

P(0)−P(−1)=0⇔P(0)=0

P(1)−P(0)=1.2.3⇔P(1)=6

P(2)−P(1)=2.3.5⇔P(2)=36

Đặt P(x)=b0+b1(x+1)+b2(x+1)x+b3(x+1)x(x−1)+b4(x+1)x(x−1)(x−2) (2)

Thay x -1; 0; 1; 2; -2 vào (2) ta được:

0=b0

0=b1⇔b1=0,

6=b2.2.1⇔b2=3,

36=3.3.2+b3.3.2.1⇔b3=3

0=3.(−1)(−2)+3.(−1)(−2)(−3)+b4(−1)(−2)(−3)(−4)⇔b4=1

2

Vậy, đa thức cần tìm có dạng:

P(x)=3(x+1)x+3(x+1)x(x−1)+

1

2(x+1)x(x−1)(x−2)=

2x(x+1)

2

(15)

(Tuyển chọn thi HSG Toán THCS)

Bài 5: cho đa thức P(x)=ax2+bx+c,(a,b ,c≠0) Cho biết 2a+3b+6c=0

1) Tính a, b, c theo P(0), P(

1

2),P(1) .

2) Chứng minh rằng: P(0), P(

1

2),P(1) âm dương.

Bài 6: Tìm đa thức bậc hai, cho biết:

P(0)=19

P(1)=85

P(2)=1985

5 Chuyên đề: Biển đổi phân thức hữu tỉ Ví dụ

a) Chøng minh r»ng ph©n sè

3n

5n

+

+ phân số tối giản nN ;

b) Cho phân số

2

n A

n

+ =

+ (nN) Cã bao nhiªu sè tự nhiên n nhỏ 2009

sao cho phân số A cha tối giản Tính tổng tất số tự nhiên Lời giải

a) Đặt d = ƯCLN(5n + ; 3n + 1)  3(5n + 2) – 5(3n + 1)  d hay  d  d =

VËy ph©n sè

3n

5n

+

+ phân số tối giản.

b) Ta cã

29

A n

n

= - +

+ Để A cha tối giản phân số 29

n+5 ph¶i cha tèi

gi¶n Suy n + phải chia hết cho ớc dơng lớn 29

Vì 29 số nguyên tố nên ta có n +  29

(16)

Theo điều kiện đề ≤ n = 29k – < 2009

 ≤ k ≤ 69 hay k{1; 2;…; 69}

Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề

Tỉng cđa c¸c sè nµy lµ : 29(1 + + … + 69) – 5.69 = 69690

VÝ dô 2 Cho a, b, c ≠ vµ a + b + c ≠ tháa m·n ®iỊu kiƯn

1 1

a + + =b c a+ +b c

Chứng minh ba số a, b, c có hai số đối Từ suy :

2009 2009 2009 2009 2009 2009

1 1

a +b +c =a +b +c .

Lêi gi¶i

Ta cã :

1 1

a + + =b c a+ +b c 

1 1

0 a + + -b c a+ +b c =



a b a b

0 ab c(a b c)

+ + + =

+ + 

c(a b c) ab

(a b)

abc(a b c)

+ + +

+ =

+ +

 (a + b)(b + c)(c + a) = 

a b b c c a

é + = ê

ê + = ê

ê + =

ë 

a b b c c a

é =-ê ê =-ê ê

=-ë  ®pcm.

Từ suy : 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009

1 1 1 1

a +b +c =a +( c)- +c =a

2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009

1 1

a +b +c =a + -( c) +c =a

 2009 2009 2009 2009 2009 2009

1 1

a +b +c =a +b +c .

Ví dụ 3. Đơn giản biểu thức :

3 3 2

1 1 1 1

A

(a b) a b (a b) a b (a b) a b

ỉ ư÷ ỉ ư÷ ỉ ư÷

ỗ ỗ ỗ

= ỗỗ + ữữ+ ỗỗ + ữữ+ ỗỗ + ữữ

ố ứ ố ứ ố ứ

(17)

Lời giải

Đặt S = a + b vµ P = ab Suy : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = S2- 2P

a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = S3- 3SP.

Do :

1 a b S ; a b ab P

+

+ = = 12 12 a2 2 2b2 S2 22P;

a b a b P

+

-+ = =

3 3

3 3 3

1 a b S 3SP

a b a b P

+

-+ = =

Ta cã : A =

3

1 S 3SP S 2P S

S P S P S P

-

-+ +

=

2 2 2

2 4 4

S 3P 3(S 2P) (S 3S P) (3S P 6P ) 6P S

S P S P S P S P S P

- - - + - +

+ + = =

Hay A = 3 1

P =a b

VÝ dô 4 Cho a, b, c ba số phân biệt Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị cña x :

(x a)(x b) (x b)(x c) (x c)(x a) S(x)

(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)

- - - -= + + - - - . Lời giải Cách 1

2 2

x (a b)x ab x (b c)x bc x (c a)x ca

S(x)

(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)

- + + - + + - + +

= + +

- - - = Ax2 –

Bx + C

víi :

1 1

A

(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)

= + +

- - - ;

a b b c c a

B

(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)

+ + +

= + +

- - - ;

ab bc ca

C

(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)

= + +

(18)

Ta cã :

b a c b a c

A

(a b)(b c)(c a)

- + - +

-= =

- - - ;

(a b)(b a) (b c)(c b) (c a)(a c) B

(a b)(b c)(c a)

+ - + + - + +

-=

- -

-2 2 2

b a c a a c

0

(a b)(b c)(c a)

- + - +

-= =

- - - ;

ab(b a) bc(c b) ca(a c) ab(b a) bc[(c a) (a b)] ca(a c) C

(a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a)

- + - + - - + - + - +

-= =

- - -

(a b)(bc ab) (c a)(bc ca) (a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a)

- - + - - - -

-= = =

- - - .

Vậy S(x) = 1x (đpcm)

Cách 2

Đặt P(x) = S(x) – đa thức P(x) đa thức có bậc khơng vợt Do đó, P(x) có tối đa hai nghiệm

NhËn xÐt : P(a) = P(b) = P(c) =  a, b, c lµ ba nghiƯm phân biệt P(x) Điều xảy P(x) đa thức không, tức lµ P(x) = x Suy S(x) = x  ®pcm

VÝ dơ Cho

x

+ =

Tính giá trị biểu thức sau :

a) 2 A x x = +

; b)

3 B x x = +

; c)

4 C x x = +

; d)

5 D x x = + Lêi gi¶i a) 2 1

A x x

x x ổ ửữ ỗ = + = +ỗ ữữ- = - = ỗố ứ ; b) 3

1 1

B x x x 27 18

x x x

ổ ửữ ổ ửữ ỗ ỗ = + = +ỗỗ ữữ- ỗỗ + ữữ= - = ố ứ ố ứ ; c) 4 1

C x x 49 47

x x

ổ ửữ

ỗ

= + =ỗỗố + ÷÷- = - =

(19)

d)

2

1 1

A.B x x x x D

x x x x

ỉ ưỉ÷ ửữ

ỗ ỗ

=ỗỗ + ữữỗỗ + ữữ= + + + = +

è øè ø  D = 7.18 – =

123

Ví dụ 5 Xác định số a, b, c cho : 2

2 ax b c

(x 1)(x 1) x x

+

= +

+ - + - .

Lêi gi¶i Ta cã :

2

2 2

ax b c (ax b)(x 1) c(x 1) (a c)x (b a)x (c b)

x x (x 1)(x 1) (x 1)(x 1)

+ + - + + + + - +

-+ = =

+ - + - +

Đồng phân thức với phân thức 2

(x +1)(x- 1), ta đợc :

a c a b a b c b c

ì + = ì

=-ï ï

ï ï

ï - = Û ï

=-í í

ï ï

ï - = ï =

ï ï

ỵ ỵ VËy 2

2 x 1

(x 1)(x 1) x x

-= +

+ - + - .

6 Chuyên đề: Giải phơng trình

(20)

*Cách giải: (Biến đổi đưa hết vế sau rút gọn thành dạng ax+b=0)

TH1:a=0 b0 phương trình (1)vơ nghiệm b=0 phương trình (1) vơ số nghiệm TH2:a0 phương trình (1) có nghiệm x=

b a



*Ví dụ: a)3x+1=7x-11

b1: 3x+1-7x+11=0 (biến đổi chuyển vế) b2: -4x+12=0 (rút gọn dạng ax+b=0) b3: x=

12

  

b)1,2-(x-0,8)= -2(0,9+x)  1,2-x+0,8+1,8+2x=0  x+3,8=0

 x= -3,8

*Các tập tương tự:

a)7x+21=0 b)12-6x=0

c)5x-2=0 d)-2x+14=0

e)0.25x+1,5=0 f)6,36-5,3x=0 g)

4

3x 62 h)

5

1 10

9 x 3x



  

i)11-2x=x-1 k)5-3x=6x+7

l)2(x+1)=3+2x m)2(1-1,5x)+3x=0

n)2,3x-2(0,7+2x)=3,6-1,7x o)3,6-0,5(2x+1)=x-0,25(2-4x) p)3(2,2-03x)=2,6+(0,1x-4) q)

3

6

5

x  x

(21)

v) 13 5 x x            

    w)

3 2( 7)

5

6

x  x

 

s)

7 20 1,5

5( 9) x x x     y)

5( 1) 2(2 1)

6

x  x x

  

II/Phương trình tích:

*Cách giải: Pt:A.B=0 

0 A B    

 (A=0 (1) B=0 (2) )

Ta có pt (1),(2) phương trình bậc cách giải tương tự phần

(Chú ý phương trình chưa có dạng A.B=0 ta đưa dạng A.B=0 cách phân tích thành nhân tử )

*Ví dụ:

a)(4x-10)(24+5x)=0 

4 10 (1) 24 (2)

x x       

Từ (1) x=

10

4 2 (2) x= 24



Vậy phương trình có nghiệm x=

10

4 2 x= 24  b)(x-1)(5x+3)=(3x-8)(x-1)  (x-1)(5x+3)-(3x-8)(x-1)=0  (x-1)(2x+11)=0 

1

11 11

2 x x x x             

(22)

a)(3,5-7x)(0,1x+2,3)=0 b)(3x-2)

2( 3)

7

x x

 

 

 

 

c)(3,3-11x)

7 2(1 )

5

x  x

 

 

 

  d)( 3 x 5)(2x 1) 0 

e)(2x 7)(x 10 3) 0  f)(2 3 x 5)(2,5x 2) 0 g)3x(25x+15)-35(5x+3)=0 h)(2-3x)(x+11)=(3x-2)(2-5x) i)(2x2+1)(4x-3)=(2x2+1)(x-12) k)(2x-1)2+(2-x)(2x-1)=0 l)(x+2)(3-4x)=x2+4x+4 m)(x-1)(x2+5x-2)-(x2-1)=0 n)x3+1=x(x+1) 0)x2+(x=2) (11x-7)=4 p)x3+x2+x+1=0 q)x2-3x+2=0

r)4x2-12x+5=0 s)-x2+5x-6=0 t)2x2+5x+3=0 y) 

2

2 3( 2)

Định dạng
Số trang	22
Dung lượng	331,12 KB