Để thuận lợi cho việc tính toán đối với các đa thức một biến, người ta thường sắp xếp các hạng tử của chúng theo lũy thừa tăng hoặc giảm của biến.. Để sắp xếp các hạng tử của một đa th[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ BIỂU THỨC ĐẠI SỐ A. LÝ THUYẾT
1. Khái niệm biểu thức đại số
Trong tốn học, vật lí,… ta thường gặp biểu thức mà ngồi số, kí hiệu phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, cịn có chữ (đại diện cho số) Người ta gọi biểu thức biểu thức đại số
Ví dụ: Biểu thức đại số biểu thị trung bình cộng hai số a b là: a b
2
Biểu thức đại số biểu thị lập phương tổng hai số a b là:
3
a b 2. Gía trị biểu thức đại số
Tính giá trị biểu thức đại số:
- Bước 1: Thay chữ giá trị số cho (chú ý trường hợp phải đặt số dấu ngoặc)
- Bước 2: Thực phép tính (chú ý đến thứ tự thực phép tính: thực phép lũy thừa, đến phép nhân, chia sau phép cộng trừ)
Ví dụ: Tính giá trị biểu thức x y2 3xy x 1
1 y
2
Giải Thay x 1
1 y
2
vào biểu thức x y2 3xy, ta có:
3
2 1
1
2
3. Đơn thức
Đơn thức biểu thức đại số gồm số, biến, tích số biến
Ví dụ: 1;
2
3
x y 7x
; 2xy;…
4. Đơn thức thu gọn
Đơn thức thu gọn đơn thức gồm tích số với biến mà biến nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương Số nói gọi hệ số, phần cịn lại gọi phần biến đơn thức thu gọn
Bậc đơn thức:
(2)trong đơn thức
Số thực khác đơn thức bậc không Số coi đơn thức khơng có bậc
Nhân hai đơn thức: Để nhân hai đơn thức, ta nhân hệ số với nhân phần biến với
Ví dụ: Thu gọn đơn thức
3 3
1 5
x y xy x x y y x y
5 4
- Hệ số:
- Phần biến: x y
- Bậc đơn thức:
5. Đơn thức đồng dạng
Hai đơn thức đồng dạng hai đơn thức có hệ số khác có phần biến Các số khác coi đơn thức đồng dạng
Ví dụ: Các đơn thức
2
5 x y;
2
1 x y;
x y;
5x y đơn thức đồng dạng
6. Cộng, trừ đơn thức đồng dạng
Để cộng (hay trừ) đơn thức đồng dạng, ta cộng (hay trừ) hệ số với giữ nguyên phần biến
Ví dụ: Tính 25xy2 55xy275xy2 35xy2
Giải
2 2
2
25xy 55xy 75xy 35xy 25 55 75 35 xy
120xy
7. Đa thức
Đa thức tổng đơn thức Mỗi đơn thức tổng gọi hạng tử đa thức Mỗi đơn thức coi đa thức
Ví dụ: x3 3; xyz ax by; a 3xy 7x đơn thức
8. Thu gọn đa thức
Đưa đa thức dạng thu gọn (khơng cịn hai hạng tử đồng dạng)
(3)- Bước 2: Cộng, trừ đơn thức đồng dạng nhóm
Ví dụ: Thu gọn đa thức
2 2
1 1
P x y xy xy xy 5xy x y
3
Giải
2 2
2 2
2
1 1
P x y xy xy xy 5xy x y
3
1 1
x y x y xy xy xy 5xy
3
3
xy 6xy
2
9. Bậc đa thức
Bậc đa thức bậc hạng tử có bậc cao dạng thu gọn đa thức
Số gọi đa thức khơng khơng có bậc
Khi tìm bậc đa thức, trước hết ta phải thu gọn đa thức Ví dụ: Đa thức x6 2y5 x y4 51 có bậc
Đa thức
2
3
xy 6xy
2 có bậc 3.
10.Cộng, trừ đa thức
Để cộng (hay trừ) hai đơn thức, ta làm sau: - Bước 1: Viết hai đa thức dấu ngoặc;
- Bước 2: Thực bỏ dấu ngoặc (theo quy tắc dấu ngoặc); - Bước 3: Nhóm hạng tử đồng dạng
- Bước 4: Cộng, trừ đơn thức đồng dạng
Ví dụ: Tính
2 2
2,4x 1,7y 2xy 0,4x 1,3y xy Giải
2 2
2 2
2 2
2
2,4x 1,7y 2xy 0,4x 1,3y xy
2,4x 1,7y 2xy 0,4x 1,3y xy
2,4x 0,4x 1,7y 1,3y 2xy xy
2x 3y xy
11.Đa thức biến
(4) Là tổng đơn thức biến Mỗi số coi đa thức biến
Bậc đa thức biến (khác đa thức không, thu gọn) số mũ lớn
nhất biến đa thức
Ví dụ: Đa thức 3x5 x3 3x2 1 đa thức biến (biến x); bậc đa thức là: 5 12 Sắp xếp đa thức:
Để thuận lợi cho việc tính tốn đa thức biến, người ta thường xếp hạng tử chúng theo lũy thừa tăng giảm biến
Để xếp hạng tử đa thức, trước hết phải thu gọn đa thức Những chữ đại diện cho số xác định cho trước gọi số
Ví dụ: Cho đa thức P(x) 5x 3x3 4x2 2x x 6x5 Thu gon xếp đa thức P(x)
Giải:
2 3
5 2
5
P(x) 5x 3x 4x 2x x 6x
6x 3x x 5x 4x 2x
6x 4x 9x 2x
13.Hệ số
Hệ số lũy thừa biến gọi hệ số tự do; hệ số lũy thừa cao biến gọi hệ số cao
Ví dụ: Các hệ số đa thức 6x5 x3 6x2 2x 2 là: 6; - 1; 6; - 2; 2
Hệ số tự là: Hệ số cao là:
14.Cộng, trừ đa thức biến
- Cách 1: Cộng, trừ đa thức theo “hàng ngang”
- Cách 2: Sắp xếp hạng tử hai đa thức theo lũy thừa giảm (hoặc tăng) biến đặt phép tính theo cột dọc tương ứng cộng, trừ số (chú ý đặt đơn thức đồng dạng cột)
Ví dụ: Cho hai đa thức P(x) x 5 2x4 x2 x 1
3
(5)Giải
5
5 4
5
P(x) Q(x) x 2x x x 2x 3x x 3x
x 2x x x 2x 3x x 3x
4x 3x 3x x x
15.Nghiệm đa thức biến
Nếu x a, đa thức P(x) có giá trị ta nói a (hoặc x = a) nghiệm đa thức
Ví dụ: Tìm nghiệm đa thức P(y) 2y 6 Giải Từ
6
2y 2y y
2
Vậy nghiệm đa thức P(y) –
B. BÀI TẬP
Bài toán 1: Viết biểu thức đại số biểu thị
1 Nửa hiệu hai số a b Lũy thừa bậc n tổng hai số a b
2 Tổng lập phương hai số a b 10 Khối lượng M vật tích V và khối lượng riêng D. Tổng hai số tự nhiên liên tiếp 11 Diện tích S tam giác có cạnh a
đường cao h tương ứng
4 Tổng hai số ngun liên tiếp 12 Thể tích V hình lập phương có cạnh a
5 Tổng bình phương hai số nguyên lẻ liên tiếp
13 Thương hai số nguyên số chia cho dư 1, số chia cho dư Tổng hai số hữu tỉ nghịch đảo
nhau 14 Hiệu a lập phương b
7 Tích ba số nguyên liên tiếp 15.Hiệu lập phương a b Tổng bình phương hai số lẻ
bất kì 16.Lập phương hiệu a b
Bài toán 2: Nam mua 10 giá x đồng hai bút bi, giá y đồng Hỏi Nam phải trả tất tiền?
Bài tốn 3: Tính giá trị biểu thức x32x2 3 x 2; x1
6
2
x x y x 2y x 3y x 4y
(6)x 2; y 2
2 4x y 52 x 3; y 2 7 3x y 6x y3 2 3xy2
1
x ; y
2
3
2
2 y
y 2 8 3x2 2x 1
1 x
3
4 3x x x 3 x1 9 3x2 3xy 2y 2 x 1; y 3
5
2
2 y 4x
x1; y 2 10 2x2 3x 5
1
x ; y
2
Bài tốn 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau:
1
2
x 3,5 1 6. x 100 x y 2 100
2
4
2x 3 7. x 20 x y 4
3
2
x y 1 8. x y 6 47 x 3
4
2
x 3 y 1 5 9. x 6 2 2018
5 x x y2 1 10.
2
x 5 y 9 2017
Bài tốn 5: Tìm giá trị lớn biểu thức sau:
1 x 2
4
10 y 25
3
2
x
4 x 2
Bài toán 6: Thu gọn đơn thức sau
2
4
2ab a b 7abc
2 a b a b c3 2
3
2
a b ab a b
3
3 2
1
2 a c ac 6abc
3
5
2
1,5ab bca b
4
6
2 3
1
3abxy ax yz 3abx yz
5
7
2
2
2
1
p qq p pq 4p q
2
8
2 3
3ak 2kx k
9 2y3y dy d y 2
10.
2 3
2
2x 3y 5xz
(7) 2 3
13x 2xy xy z ;
2
1
ax y abx y
2
a) Thu gọn đơn thức
b) Xác định hệ số đơn thức c) Xác định bậc đơn thức
Bài tốn 8: Tìm đơn thức đồng dạng với đơn thức sau:
3 2
2
x y; xy ;5x y; 1;6xy ;2x y; ; x y
3
2 2xy;9y ;2y;5xy;4xyp 9a;9;92a;
2 1
9a; 9;9a b; ab; a
2
4
2
5x ;3ax; 2x ;0,5x; x
2
(a số)
2 2 2 2 2
3x yz ; 2x y x;6x yz ;17 x yz ;1,3x yz
6 7yz; 5yz;6abcz;0,5yz; 2y; 3yz
Bài toán 9: Thu gọn đơn thức đồng dạng 3x2 0,5x2 2,5x2
2
3 3
3
x y x y x y
4
3
2 2
1 1
4ab ac 2aca 9a b 10a c a b a bc
3
4
4 2
15x 7x 20x x
5
2
1
2ab 2bc.c ab c b 4cb 2cb.b
2
6
3 3 3
23x y 17x y 50x y
7
2
2
2
2 2
ac c a c.c ac c ac
3
Bài toán 10: Viết đơn thức 3x yn m 2 dạng tích hai đơn thức đơn thức
n
2 x y
5 .
(8)1
2
5
5
a a a a
2
n n k n k
1 a a a
Bài tốn 12: Tính
1
2 2
3x y 2xy x y 5xy
6.
2 2 2
3x 2xy y x xy 2y 4x y
2
2 2
6x 9xy y 5x 2xy
7.
2 2
x y 2xy x y 2xy 4xy 1
3
2 2
2,4x 1,7y 2xy 0,4x 1,3y xy
8.
2 2 2
x y 2xy 6x 3xy
4
2 2
x 7xy 8y 3xy 4y
9
2 2
5xy x 7y 2xy 4y
5
2 3
25x y 13xy y 11x y 2y
10
3
2x xy 3x 3x xy 4x
Bài tốn 13: Tìm đa thức M cho tổng M đa thức x2 3x y 5xy2 7xy 2 đa thức bậc
Bài toán 14: Nếu 2x y 6 4x 2y 1 bằng:
A B 10 C 11 D 12 E 13
Bài toán 15: Cho hai đa thức P 5x 26xy y Q 2y 2x2 6xy Chứng minh không tồn giá trị x y để hai đa thức P Q có giá trị âm
Bài toán 16: Sắp xếp hạng tử đa thức sau theo lũy thừa giảm biến tìm bậc đa thức:
1 6x 5x4 13x 8x7
2 4x53x 2x x54x2
3 9x 4x5 3x3 x 4x5
4 3x2 2x 2x 3x 2
5 3x2 5x6
Bài tốn 17: Tính hiệu f x g x xếp theo lũy thừa giảm dần biến f x x5 3x4x2 5; g x 2x4 7x3 x2 6
(9)3 f x 3x6 5x4 2x2 7; g x 8x67x4 x2 11 f x x2 x 1; g x 4 2x3 x47x5
5 f x x4 4x2 6x3 2x 1; g x 3 x
Bài toán 18: Cho hai đa thức f x 8 x54x 2x 3x2 7x4 g x x5 3x 7x4 2x3 3x a) Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần biến;
b) Tính tổng h x f x g x hiệu p x f x g x ; c) Tìm nghiệm đa thức h(x)
Bài toán 19: Cho hai đa thức P(x) 2x 3 3x x 5 4x34x x x2 Q(x) x 3 2x2 3x 2x
a Thu gọn xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần biến; b Tính P x Q x ; P x Q x ;
c Gọi M(x) P x Q x Tìm bậc M(x)
Bài tốn 20: Cho hai đa thức P x 6x5 4x4 3x2 2x
Q(x) 2x 4x4 2x3 2x2 x 3 a) Tính P x Q x ;
b) Tính P x Q x ;
c) Gọi M(x) P x Q x Tính M( 1)
Bài toán 21: Cho đa thức
2
P(x) x 3 5 Chứng minh đa thức P(x) khơng có nghiệm
Bài toán 22:
(10)b) Chứng tỏ x 3 nghiệm đa thức g x x2 4x 3
c) Tìm nghiệm đa thức M x x x 3
Bài tốn 23: Tìm nghiêm đa thức: P(x) 2x 4x2 5x 1
2
3
2 13
Q(x) x x x
3 60