Các bài tập nâng cao Đại số 8

TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NÂNG CAO ĐẠI SỐ 8 CHƯƠNG 1. NHÂN, CHIA ĐA THỨC NHÂN CÁC ĐA THỨC 1. Tính giá trị: B = x 15 - 8x 14 + 8x 13 - 8x 12 + . - 8x 2 + 8x – 5 với x = 7 2. Cho ba số tự nhiên liên tiếp. Tích của hai số đầu nhỏ hơn tích của hai số sau là 50. Hỏi đã cho ba số nào ? 3. Chứng minh rằng nếu: a x = b y = c z thì (x 2 + y 2 + z 2 ) (a 2 + b 2 + c 2 ) = (ax + by + cz) 2 CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ 1. Rút gọn các biểu thức sau: a. A = 100 2 - 99 2 + 98 2 - 97 2 + . + 2 2 - 1 2 b. B = 3(2 2 + 1) (2 4 + 1) . (2 64 + 1) + 1 c. C = (a + b + c) 2 + (a + b - c) 2 - 2(a + b) 2 2. Chứng minh rằng: a. a 3 + b 3 = (a + b) 3 - 3ab (a + b) b. a 3 + b 3 + c 3 - 3abc = (a + b + c) (a 2 + b 2 c 2 - ab - bc - ca) Suy ra các kết quả: i. Nếu a 3 + b 3 + c 3 = 3abc thì a + b + c = 0 hoặc a = b = c ii. Cho a 1 + b 1 + c 1 = 0, tính A = 2 a bc + 2 b ca + 2 c ab iii. Cho a 3 + b 3 + c 3 = 3abc (abc ≠ 0) tính B =       + b a 1       + c b 1       + a c 1 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức a. A = 4x 2 + 4x + 11 b. B = (x - 1) (x + 2) (x + 3) (x + 6) c. C = x 2 - 2x + y 2 - 4y + 7 4. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức a. A = 5 - 8x - x 2 b. B = 5 - x 2 + 2x - 4y 2 - 4y 1 5. a. Cho a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca chứng minh rằng a = b = c b. Tìm a, b, c biết a 2 - 2a + b 2 + 4b + 4c 2 - 4c + 6 = 0 6. Chứng minh rằng: a. x 2 + xy + y 2 + 1 > 0 với mọi x, y b. x 2 + 4y 2 + z 2 - 2x - 6z + 8y + 15 > 0 våïi moüi x, y, z 7. Chứng minh rằng: x 2 + 5y 2 + 2x - 4xy - 10y + 14 > 0 với mọi x, y. 8. Tổng ba số bằng 9, tổng bình phương của chúng bằng 53. Tính tổng các tích của hai số trong ba số ấy. 9. Chứng minh tổng các lập phương của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9. 10. Rút gọn biểu thức: A = (3 + 1) (3 2 + 1) (3 4 + 1) . (3 64 + 1) 11. a. Chứng minh rằng nếu mỗi số trong hai số nguyên là tổng các bình phương của hai số nguyên nào đó thì tích của chúng có thể viết dưới dạng tổng hai bình phương. b. Chứng minh rằng tổng các bình phương của k số nguyên liên tiếp (k = 3, 4, 5) không là số chính phương. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử: a. x 2 - x - 6 b. x 4 + 4x 2 - 5 c. x 3 - 19x - 30 2. Phân tích thành nhân tử: a. A = ab(a - b) + b(b - c) + ca(c - a) b. B = a(b 2 - c 2 ) + b(c 2 - a 2 ) + c(a 2 - b 2 ) c. C = (a + b + c) 3 - a 3 - b 3 - c 3 3. Phân tích thành nhân tử: a. (1 + x 2 ) 2 - 4x (1 - x 2 ) b. (x 2 - 8) 2 + 36 c. 81x 4 + 4 2 d. x 5 + x + 1 4. a. Chứng minh rằng: n 5 - 5n 3 + 4n chia hết cho 120 với mọi số nguyên n. b. Chứng minh rằng: n 3 - 3n 2 - n + 3 chia hết cho 48 với mọi số lẻ n. 5. Phân tích các đa thức sau đây thành nhân tử 1. a 3 - 7a - 6 2. a 3 + 4a 2 - 7a - 10 3. a(b + c) 2 + b(c + a) 2 + c(a + b) 2 - 4abc 4. (a 2 + a) 2 + 4(a 2 + a) - 12 5. (x 2 + x + 1) (x 2 + x + 2) - 12 6. x 8 + x + 1 7. x 10 + x 5 + 1 6. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên lẻ n : 1. n 2 + 4n + 8  8 2. n 3 + 3n 2 - n - 3  48 7. Tìm tất cả các số tự nhiên n để : 1. n 4 + 4 là số nguyên tố 2. n 1994 + n 1993 + 1 là số nguyên tố 8. Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 1. x + y = xy 2. p(x + y) = xy với p nguyên tố 3. 5xy - 2y 2 - 2x 2 + 2 = 0 CHIA ĐA THỨC 1. Xác định a để cho đa thức x 3 - 3x + a chia hết cho (x - 1) 2 2. Tìm các giá trị nguyên của n để 1 -2n 3 3n 2n 2 ++ là số nguyên 3. Tìm dư trong phép chia đa thức: f(x) = x 1994 + x 1993 + 1 cho: a. x - 1 b. x 2 - 1 c. x 2 + x + 1 4. 1. Xác định các số a va b sao cho: 3 a. x 4 + ax 2 + b chia hết cho: i. x 2 - 3x + 2 ii. x 2 + x + 1 b. x 4 - x 3 - 3x 2 + ax + b chia cho x 2 - x - 2 có dư là 2x - 3 c. 2x 2 + ax + b chia cho x + 1 dư - 6 chia cho x - 2 dư 21 2. Chứng minh rằng f(x) = (x 2 - x + 1) 1994 + (x 2 + x - 1) 1994 - 2 chia hết cho x - 1. Tìm dư trong phép chia f(x) cho x 2 - 1 5. Tìm n nguyên để 2 -n 7 - n 2n 2 + là số nguyên 6. Chứng minh rằng: a. 11 10 - 1 chia hết cho 100 b. 9 . 10 n + 18 chia hết cho 27 c. 16 n - 15n - 1 chia hết cho 255 7. Tìm tất cả các số tự nhiên n để 2 n - 1 chia hết cho 7 8. Chứng minh rằng: a. 20 n + 16 n - 3 n - 1  323 với n chẵn b. 11 n + 2 + 12 2 n + 1  133 c. 2n 2 2 + 7  7 với n > 1 CHƯƠNG II: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VÀ RÚT GỌN PHÂN THỨC 1. Xác định x để phân thức: x 2x - x 1 -x - x x 33 23 + + bằng 0 2. Rút gọn phân thức: A = 1 -2x - x - x 1 3x - x 24 24 + 3. Cho 4a 2 + b 2 = 5ab và 2a > b > 0 Tính giá trị biểu thức P = 22 b- 4a ab 4. Tìm các số nguyên x để 16 16x - 8x 4x - x 16 - x 234 4 ++ có giá trị nguyên 4 5. Cho phân thức A = 2 x 2y yx 1 x) - (y y xy 2442 222 +++ ++ a. Rút gọn A, suy ra A > 0 b. Xác định x để A có giá trị lớn nhất 6. Tính 24ab - 8a 40ab - 16a 2 2 với 3a = 10b CÁC PHÉP TÍNH VỀ PHÂN THỨC 1. Tính các tổng sau: a. A = 222 24 x - 1) (x 1) -(x - x + + 1 - 1) (x x 1) - (x - x 22 222 + + 24 22 1) (x - x 1 - 1) -(x x + b. B = 1 x xy x ++ + 1 yyz y ++ + 1 z xz z ++ với xyz = 1 2. Cho a 1 + b 1 + c 1 = c b a 1 ++ Chứng minh rằng: 1995 a 1 + 1995 b 1 + 1995 c 1 = 199519951995 c b a 1 ++ 3. Cho phân thức A = 2xy z - y x 222 + + 2yz x - z y 222 + + 2xz y- x z 222 + (xyz ≠ 0) a. Chứng minh rằng nếu A = 1 thì trong ba số x, y, z có một số bằng tổng hai số kia và trong phân thức A có một phân thức bằng -1 còn hai phân thức còn lại bằng 1. b. Nếu x, y, z là độ dài các đoạn thẳng và A > 1 Chứng minh x, y, z là độ dài các cạnh của một tam giác. 4. Chứng minh rằng nếu a, b, c khác nhau đôi một thì: a. c) - (a b)- (a c - b + a) - (b c)-(b a - c + b)- (c a)-(c b-a = ba 2 − + cb 2 − + ac 2 − b. 2 c) - (b a + 2 a) - (c b + 2 b)- (a c = 0 nếu c - b a + a - c b b- a c = 0 5. Chứng minh rằng nếu: 5 x = by + cz, y = ax + cz, z = ax + by và x + y + z ≠ 0 thì a 1 1 + + b 1 1 + + c 1 1 + = 2 6. Cho a, b, c và x, y, z là các số khác nhau và khác không chứng minh rằng nếu: x a + y b + z c = 0 và a x + b y + c z = 1 thì 2 2 a x + 2 2 b y + 2 2 c z = 1 NHÂN CHIA PHÂN THỨC THỨC: 1. Thực hiện phép nhân: a/ b/ 2. Thực hiện các phép tính sau: a/ ; b/ c/ 3. Thực hiện các phép tính sau: a/ ; b/ c/ 4. Chứng minh rằng: 6 715 44 . 114 . 22 715 4 3 23 4 ++ + ++ ++ yy y y y y yx 13 1 . 1 3 . 1 13 27 2 3 27 ++ ++ + − ++ xx xx x x x xx 6 )4( . 6 5 : 5 4 : 4 3 2 + + + + + + + + x x x x x x x x 6 )5( . 6 5 : 5 4 . 4 3 2 + + + + + + + + x x x x x x x x 3 4 . 6 5 . 5 4 : 4 3 + + + + + + + + x x x x x x x x         + − − + ab ba ba ba aba :. 33 22 2         − + ++ − +++ ++ yx yx yxyx yx yyxxyx yxyx .: )(3 2233 22 ba ba ba ba baba ba − + − + +− − :. 33 22 )1)(1)(1( ))()(( 111 zxyzxy xzzyyx zx xz yz Zy xy yx +++ −−− = + − + + − + + − BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ: 1. Đơn giản biểu thức: 2. Viết biểu thức sau thành một phân thức: 3. Chứng minh rằng với bất kì giá trị nào của x lớn hơn 2 thì giá trị của biểu thức: cũng là số âm 4. Rút gọn: 5. Chứng minh rằng với tất cả các giá trị của b ≠ ± 1 thì giá trị của biểu thức: không phụ thuộc vào b 6. Chứng minh rằng với tất cả các giá trị của x ≠ ± 2 thì giá trị của biểu thức: không phụ thuộc vào x 7. Chứng minh rằng với tất cả các giá trị x ≠ 0 và y≠ 0 thì giá trị của biểu thức: không phụ thuộc vào x, y 8. a/ b/ 9. Cho a/ Chứng minh rằng với tất cả các giá trị thì giá trị của P không phụ thuộc vào x 7 2222 2 22 2 94 96 . 9124 96 9124 64 ca ca caca cac caca aca − +         ++ + − +− −         − + − + +− 4 2 )2( 1 )2( 1 : )2( 4 2224 2 xxxx x x xx x x xx x 2 35 3 1 :2 3 4 2 1 2 +− − + +       − + + + yx yx yxyx y yx yxyx yx x yx − +         +−         − +− + − − . 2 4 :. 22 22 222 33 1 2 1 1 12 1 )1( 22 2 + +       − + +− − b bbb b       +− + − − − + 44 1 4 1 . 2 )2( 2 22 2 xxx x x x         +         +       +−         ++         ++       + xy xy y y x x xy xy y y x x 111111 22 2 yx y x xxyy yx x yx x + + +−         − − − 2 2 )( 22 222 ba ba ab a ba a a ba + + +         − + − − 3 )()( )( 222 2         − ++ + −− ++− = 2 22 22 )1( 2 1: 12 )(1 ax xaxa xaax xxaax P a x 1 ≠ b/ Với giá trị nào của a thì P nhận giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị đó. 10. Cho biểu thức a/ Tìm điều kiện đối với x để biểu thức K xác định b/ Rút gọn biểu thức K c/ Với giá trị nguyên nào của x thì biểu thức K có giá trị nguyên ? 11. Cho biểu thức a/ Tìm điều kiện đối với x để biểu thức H xác định b/ Rút gọn biểu thức H c/ Với giá trị nào của x thì biểu thức H có giá trị dương? CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN PHƯƠNG TRÌNH THU GỌN VỀ DẠNG AX + B = 0 I. Phương trình bậc nhất một ẩn 1. Không giải phương trình xét xem các cặp phương trình sau có tương đương không? a/ 3x +2 = 2x -1 và 3x + 4 = 2x + 1 b/ và 4 - 16x = 8x + 1 2. Với giá trị nào của m thì cặp các phương trình sau tương đương: mx + 3 = 2x và (x-1) (x+1) - x (x - 2x) = 3 3. Tìm giá trị của m (m ≠ 3) để hai phương trình sau đây tương đương: (m +1) x - 8 = 2x + m và mx - 3x = 2 • Giải các phương trình sau: 1. a/ (3x -1) 2 - (2-3x) 2 = 5x + 2 b/ x 2 - 4x + 3 - (x+1) 2 = 4(x-2) 2. a/ (4-2x) + (5x -3) = (x-2) - (x+3) b/ 5 - 3x - (4 - 2x) = x - 7 - ( x -2) 3. Tìm các giá trị m để cho: 8 x x x xx x x x x K 2003 . 1 14 1 1 1 1 2 2 +         − −− + + − − − + =       + −       −−+ − − = 1 2 1: 1 2 1 1 223 x x xxx x x H 4 1 241 +=− xx a/ Phương trình có nghiệm bằng -5 b/ Phương trình 6x - 5m = 3 + 3mx có nghiệm số gấp ba nghiệm số của phương trình (x +1) (x-1) - (x + 2) 2 = 3 4. Tìm nghiệm của phương trình: a/ ; b/ * Giải các phương trình sau: 1. a/ 9x (x+6) - (3x+1) 2 = 1 b/ 16x (2-x) - (4x-5) 2 = 2 2. a/ Giải phương trình (a-1)x + 3(a-1) = 0 (ẩn x). Có nhận xét gì về số nghiệm của phương trình khi a = 1 b/ Cũng hỏi tương tự với phương trình (a-1)x - 2a - 2 = 1 3. Giải phương trình: a/ (ẩn y) b/ ( ẩn x) 4. Giải và biện luận các phương trình sau: a/ ax + 2m = a + x (1) b/ ( a 2 + b 2 ) x - a = b - 2 ax ( 2) II. Phương trình tích 1. Giải các phương trình sau: a/ (x + 2) (2x - 3) = (x + 2)(3x - 4) b/ x 2 - 1 = 0 c/ (x +1)(x 2 - 2x + 3) = x 3 + 1 d/ x 3 + 3x 2 + 3x + 1 = 4x + 4 2. Xác định số hạng tự do m của phương trình: 6x 3 - 7x 2 - 16x + m = 0 Nếu phương trình có một nghiệm bằng 2. Tính các nghiệm còn lại. 3. Cho 2 và 3 là nghiệm của phương trình: 2x 3 + mx 2 -13x + n = 0 (1) a/ Xác định m và n b/ Tìm nghiệm thứ 3 của phương trình (1) 4. Giải phương trình sau: x 3 - (a + b + c) x 2 = - (ab + ac + bc)x + abc 9 xmmx 6 3 1 2 −= 1 5 )13(2 4 19 3 2)1(5 − + = − − +− xxx 5 5 )2(4 10 5,95 4 )2(3 + + = − + − xxx a y a y a ya a y + − − − − = − − + − − 1 1 1 12 1 )1(2 1 1 44 2 3 2 2 )1()1( )12( 1 313 + + + + + + = + a a aa xa a ab x a ab III. Phương trình có ẩn số ở mẫu: 1. Giải các phương trình sau: a/ b/ 2. Giải các phương trình sau: a/ b/ 3. Tìm các giá trị của y nếu: a/ Tổng của hai phân thức và bằng 2 b/ Hiệu của hai phân thức và bằng tích của chúng 4. Giải phương trình sau: ( a≠ b) 5. Giải phương trình sau: IV. Giải bài toán bằng cách lập phương trình: 1. Năm nay mẹ 36 tuổi, con 9 tuổi. Hỏi cách đây bao nhiêu năm mẹ gấp 10 lần tuổi con? 2. Khoảng cách giữa Hà Nội và Thái Bình là 110km. Một người đi xe máy từ Hà Nội về Thái Bình với vận tốc 45km/h. Một người khác cũng đi xe máy từ Thái Bình lên Hà Nội với vận tốc 30km/h. Hỏi sau mấy giờ họ gặp nhau? 10 2 1 42 1 32 1 1 23 − + + = +− + + + − x x xx x x x 9 6 72 1 212 13 22 − = + + −+ x x xx 4 14 168 45 1 2 − = +− + y yy 3 363 4 1 5 2 = +− − − xx x 52 132 + − y y 13 93 − + y y 4 6 − y 2 + y y 24 22 2 2 2 2 224 xb baabx xb xa xb xa − −+ = + − − − + 22 2 22 2 2 bx x a xb b xax − =+ − −− [...]... và b là các số dương, chứng tỏ a b + ≥2 b a 11 2 Cho a và b là các số không dương, chứng tỏ rằng a3 + b3 ≤ ab(a+b) 3 Chứng tỏ với bất kỳ giá trị nào của a, các bất đẳng thức sau luôn luôn đúng b/ a2 - a ≤ 50a2 - 15a + 1 a/ 10a2 - 5a + 1 > a2 + a III Bất phương trình một ẩn: 1 Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình sau lên trục số: a/ x > 2, 5; b/ x ≤ 3,4; c/ x ≥ 8; d/ x < -1,5 2 Biểu diễn tập nghiệm... z) - 1, 5 ( x - 4) < 3 - x 3 Với giá trị nào của a thì phương trình ẩn x: a/ 3x + 5 (a2 - 1) - 5a (a + 2) - 3 > 0, có tập nghiệm dương? 2 x x −1 x + 2 − + −a ≤0 6 2 b/ 3 , có tập nghiệm âm ? 4 Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số: a/ c/ x− x − 3 2 x −1 + >2 4 8 z− z −1 z + 3 − >1 5 10 b/ y −1 2 y −1 −1 + ≤y 3 6 5 Giải bất phương trình sau: 12 a/ (x +1) ( x - 1) < 0 c/ x +1 >0... lên trục số: a/ x > 2, 5; b/ x ≤ 3,4; c/ x ≥ 8; d/ x < -1,5 2 Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình sau trên trục số: a/ 0 < x ≤ 1; b/ 4 > x ≥ 3 c/ -1 ≤ x < 5; d/ -3 ≤ x < - 1 3 Giải các bất phương trình sau: a/ 4 (2 + x) > 6 + 2x; b/ 4 (x - 1) + 2 (2x - 2) < 0 c/ - (5 - x) ≤ 3 (2 + x); d/ - (3x - 2) + 3 ( 8 + x) ≥ 1 IV Bất phương trình bậc nhất một ẩn: 1 Tìm nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương... làm chung một công việc thì 15 giờ sẽ xong Hai người làm được 8 giờ thì người thứ nhất được điều đi làm công việc khác, người thứ hai tiếp tục làm việc trong 21 giờ nữa thì xong công việc Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao lâu mới xong công việc? 7 Một đoạn thẳng dài 23 cm được chia làm hai đoạn Trên mỗi đoạn người ta dựng các hình vuông Tìm độ dài mỗi đoạn, biết rằng diện tích của... −1 5 6x + 7 = 5 − 2x | x −1 | b/ | x + 1| = 2x d/ | 5 - x | = 3x -1 b/ | 3− x | = 4 x +1 3 d/ | x + 1| = | x(x+1)| 3 Giải các phương trình sau: a/ |3x| + 2x - 5 = 0 b/ 5x - 3 + | -3x| = 13 c/ | 1 - x| + 4x (x -1) = 4x2 + 3x d/ (x -2)2 + x(x + 1) = 2x2 - |x +1| | 2 − x |≥ 4 Giải các bất phương trình sau: 1 2 a/ | x + 5| > 3 b/ b/ | x - 6| < 3 d/ | 5 - 2x| ≤ 1 13 ... 2,4 lần quãng đường một canô đi ngược dòng trong 2 giờ Hỏi vận tốc canô khi xuôi dòng Biết rằng vận tốc canô khi nước yên tĩnh là 15km 4 Một hợp tác xã dự định bắt một khối lượng cá theo kế hoạch trong 8 ngày Nhưng do thời tiết tốt họ đã bắt được hơn 2 tấn cá so với kế hoạch mà còn vượt mức thời gian một ngày Như vậy một ngày họ đánh bắt được hơn so với kế hoạch là 1 tấn Hỏi khối lượng cá định bắt trong . TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NÂNG CAO ĐẠI SỐ 8 CHƯƠNG 1. NHÂN, CHIA ĐA THỨC NHÂN CÁC ĐA THỨC 1. Tính giá trị: B = x 15 - 8x 14 + 8x 13 - 8x 12 + . - 8x 2 + 8x –. 12 6. x 8 + x + 1 7. x 10 + x 5 + 1 6. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên lẻ n : 1. n 2 + 4n + 8  8 2. n 3 + 3n 2 - n - 3  48 7. Tìm tất cả các số tự