Chứng minh rằng nếu mỗi số trong hai số nguyên là tổng các bình phương của hai số nguyên nào đó thì tích của chúng có thể viết dưới dạng tổng hai bình phương.. Phân tích đa thức thành nh[r]
(1)TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NÂNG CAO ĐẠI SỐ 8 CHƯƠNG NHÂN, CHIA ĐA THỨC
NHÂN CÁC ĐA THỨC Tính giá trị:
B = x15 - 8x14 + 8x13 - 8x12 + - 8x2 + 8x – với x = 7
2 Cho ba số tự nhiên liên tiếp Tích hai số đầu nhỏ tích hai số sau 50 Hỏi cho ba số ?
3 Chứng minh nếu: a x
= b y
= c z
(x2 + y2 + z2) (a2 + b2 + c2) = (ax + by + cz)2
CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ Rút gọn biểu thức sau:
a A = 1002 - 992 + 982 - 972 + + 22 - 12
b B = 3(22 + 1) (24 + 1) (264 + 1) + 1
c C = (a + b + c)2 + (a + b - c)2 - 2(a + b)2
2 Chứng minh rằng:
a a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab (a + b)
b a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c) (a2 + b2 c2 - ab - bc - ca)
Suy kết quả:
i Nếu a3 + b3 + c3 = 3abc a + b + c = a = b = c
ii Cho a
+ b
1
+ c
1
= 0, tính A = a2
bc
+ b2
ca
+ c2
ab
iii Cho a3 + b3 + c3 = 3abc (abc 0) tính B =
b a
1
c b
1
a c
3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức a A = 4x2 + 4x + 11
b B = (x - 1) (x + 2) (x + 3) (x + 6) c C = x2 - 2x + y2 - 4y + 7
4 Tìm giá trị lớn biểu thức a A = - 8x - x2
(2)5 a Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca chứng minh a = b = c
b Tìm a, b, c biết a2 - 2a + b2 + 4b + 4c2 - 4c + = 0
6 Chứng minh rằng:
a x2 + xy + y2 + > với x, y
b x2 + 4y2 + z2 - 2x - 6z + 8y + 15 > với x, y, z
7 Chứng minh rằng: x2 + 5y2 + 2x - 4xy - 10y + 14 > với x, y.
8 Tổng ba số 9, tổng bình phương chúng 53 Tính tổng tích hai số ba số
9 Chứng minh tổng lập phương ba số nguyên liên tiếp chia hết cho
10 Rút gọn biểu thức:
A = (3 + 1) (32 + 1) (34 + 1) (364 + 1)
11 a Chứng minh số hai số nguyên tổng bình phương hai số nguyên tích chúng viết dạng tổng hai bình phương
b Chứng minh tổng bình phương k số nguyên liên tiếp (k = 3, 4, 5) không số phương
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Phân tích đa thức thành nhân tử:
a x2 - x - 6
b x4 + 4x2 - 5
c x3 - 19x - 30
2 Phân tích thành nhân tử:
a A = ab(a - b) + b(b - c) + ca(c - a) b B = a(b2 - c2) + b(c2 - a2) + c(a2 - b2)
c C = (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3
3 Phân tích thành nhân tử: a (1 + x2)2 - 4x (1 - x2)
b (x2 - 8)2 + 36
(3)d x5 + x + 1
4 a Chứng minh rằng: n5 - 5n3 + 4n chia hết cho 120 với số nguyên n.
b Chứng minh rằng: n3 - 3n2 - n + chia hết cho 48 với số lẻ n.
5 Phân tích đa thức sau thành nhân tử a3 - 7a - 6
2 a3 + 4a2 - 7a - 10
3 a(b + c)2 + b(c + a)2 + c(a + b)2 - 4abc
4 (a2 + a)2 + 4(a2 + a) - 12
5 (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) - 12
6 x8 + x + 1
7 x10 + x5 + 1
6 Chứng minh với số tự nhiên lẻ n : n2 + 4n +
2 n3 + 3n2 - n -
48
7 Tìm tất số tự nhiên n để : n4 + số nguyên tố
2 n1994 + n1993 + số nguyên tố
8 Tìm nghiệm nguyên phương trình : x + y = xy
2 p(x + y) = xy với p nguyên tố 5xy - 2y2 - 2x2 + = 0
CHIA ĐA THỨC
1 Xác định a đa thức x3 - 3x + a chia hết cho (x - 1)2
2 Tìm giá trị nguyên n để 2n -1 3n 2n2
số nguyên Tìm dư phép chia đa thức: f(x) = x1994 + x1993 + cho:
a x - b x2 - 1
c x2 + x + 1
(4)a x4 + ax2 + b chia hết cho:
i x2 - 3x + 2
ii x2 + x + 1
b x4 - x3 - 3x2 + ax + b chia cho x2 - x - có dư 2x - 3
c 2x2 + ax + b chia cho x + dư - chia cho x - dư 21
Chứng minh
f(x) = (x2 - x + 1)1994 + (x2 + x - 1)1994 - 2
chia hết cho x - Tìm dư phép chia f(x) cho x2 - 1
5 Tìm n nguyên để n -2 n 2n2
số nguyên Chứng minh rằng:
a 1110 - chia hết cho 100
b 10n + 18 chia hết cho 27
c 16n - 15n - chia hết cho 255
7 Tìm tất số tự nhiên n để 2n - chia hết cho 7
8 Chứng minh rằng: a 20n + 16n - 3n -
323 với n chẵn b 11n + + 122n +
133
c 222n + với n >
CHƯƠNG II: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VÀ RÚT GỌN PHÂN THỨC
1 Xác định x để phân thức: x -2x x -x -x x
3
2
Rút gọn phân thức: A = x -x -2x -1
1 3x -x
2
2
3 Cho 4a2 + b2 = 5ab 2a > b > Tính giá trị biểu thức P = 4a2- b2 ab
4 Tìm số nguyên x để x -4x 8x -16x 16
16 -x
2
4
(5)5 Cho phân thức A = x y 2y x x) -(y y xy 4 2 2
a Rút gọn A, suy A >
b Xác định x để A có giá trị lớn Tính 8a -24ab
40ab -16a
2
với 3a = 10b
CÁC PHÉP TÍNH VỀ PHÂN THỨC Tính tổng sau:
a A = 2
2 x -1) (x 1) -(x -x
+ x (x 1) -1
1) -(x -x 2 2
+
2 1) (x -x -1) -(x x
b B = xy x
x
+ yz y
y
+ xz z 1
z
với xyz = 1
2 Cho a
+ b
+ c
= a b c
Chứng minh rằng: a1995
+ b1995
+ c1995
= a1995 b1995 c1995
3 Cho phân thức A = 2xy
z y x2 2
+ 2yz
x -z y2 2
+ 2xz y -x z2 2
(xyz 0)
a Chứng minh A = ba số x, y, z có số tổng hai số phân thức A có phân thức -1 hai phân thức lại
b Nếu x, y, z độ dài đoạn thẳng A > Chứng minh x, y, z độ dài cạnh tam giác
4 Chứng minh a, b, c khác đơi thì: a (a- b)(a-c)
c -b
+ (b-c)(b-a)
a -c
+ (c-a)(c- b)
b -a
= a b
+ b c
2
+ c a
2
b (b-c)2
a
+ (c-a)2
b
+ (a- b)2
c
= b-c a
(6)5 Chứng minh nếu:
x = by + cz, y = ax + cz, z = ax + by x + y + z
thì a
+ b
1
+ c
1
=
6 Cho a, b, c x, y, z số khác khác không chứng minh nếu:
x a
+ y
b
+ z c
= a x
+ b y
+ c z
=
2 a x
+
2 b y
+
2 c z
= NHÂN CHIA PHÂN THỨC THỨC:
x4
+15y+7
2y3+2
y 14 y2+1
4y3
+4
y4+15y+7
x7
+3x2+1
x3−1 3x x+1
x2
+x+1
x7+3x2+1 Thực phép
nhân: a/ b/
x+4¿2 ¿ ¿ x+3
x+4:
x+4
x+5:
x+5
x+6.¿
x+5¿2 ¿ ¿ x+3
x+4
x+4
x+5:
x+5
x+6.¿
2 Thực phép tính sau:
a/ ; b/
x+3
x+4:
x+4
x+5
x+5
x+6
x+4
x+3
c/
a2+ab
a2− b2.( a3− b3
a+b :ab)
x2+xy+y2
x3
+3 xy(x+y)+y3:(
x − y x2
+xy+y2
x+y
x − y) Thực phép
tính sau:
(7)a −b a2−ab
+b2
a3+b3
a− b : a+b
a −b
c/
x − y 1+xy+
y − Z 1+yz+
z − x 1+zx=
(x − y)(y − z)(z − x)
(1+xy)(1+yz)(1+zx) Chứng minh rằng:
BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ: (4a24−a12ac2−6 ac
+9c2−
6 ac+9c2
4a2
+12 ac+9c2)
6a+9c
4a2−9c2 Đơn giản biểu thức:
2 Viết biểu thức sau thành phân thức:
x −2¿4 ¿ x+2¿2
¿ x −2¿2
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 4x2
¿
(x+1
2x +
x+3−2):
x+1
x+3−
x2−5x+3
2x Chứng minh với giá trị x
lớn giá trị biểu thức: số âm
[(x − y2 − 2x x3
+y3
x2−xy
+y2
x − y ):
4y2 x2−2 xy
+y2]
x+y
(8)b −1¿2( b2−2b
+1+
1 b2−1)+
2 b+1
¿
5 Chứng minh với tất giá trị b giá trị biểu thức:
không phụ thuộc vào b
x −2¿2 ¿ ¿ x x+2−¿
6 Chứng minh với tất giá trị x giá trị
biểu thức:
không phụ thuộc vào x
(x+1
x)
+(y+1
y)
+(xy+
xy)
2
−(x+1
x)(y+ y)(xy+
1
xy ) Chứng minh với tất
các giá trị x y giá trị biểu thức:
khơng phụ thuộc vào x, y
x − y¿2 ¿y
2−2 xy
+x2
2x + y x+y
x x2− y2−
x ¿ ¿
8 a/
a − b¿2 ¿ a − b¿2
¿ ¿+3a+b
a+b
a ¿ ¿ ¿
(9)1−ax¿2 ¿ 1+a
2
+2 ax+x2
¿ P=1−ax+(a+x)x
2 ax− a2x2−1 :¿
9 Cho
x ≠1 a
a/ Chứng minh với tất giá trị giá trị P không phụ thuộc vào x
b/ Với giá trị a P nhận giá trị nhỏ tìm giá trị
K=(x+1
x −1− x −1
x+1+
x2−4x −1 x2−1 )
x+2003
x
10 Cho biểu thức
a/ Tìm điều kiện x để biểu thức K xác định b/ Rút gọn biểu thức K
c/ Với giá trị ngun x biểu thức K có giá trị nguyên ?
H=(
x −1−
2x
x3+x − x2−1):(1−
2x
x2+1) 11 Cho biểu thức
a/ Tìm điều kiện x để biểu thức H xác định b/ Rút gọn biểu thức H
c/ Với giá trị x biểu thức H có giá trị dương?
CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN PHƯƠNG TRÌNH THU GỌN VỀ DẠNG AX + B =
I Phương trình bậc ẩn
1 Khơng giải phương trình xét xem cặp phương trình sau có tương đương khơng?
1−4x=2x+1
4 a/ 3x +2 = 2x -1 3x + = 2x +
(10)2 Với giá trị m cặp phương trình sau tương đương: mx + = 2x (x-1) (x+1) - x (x - 2x) =
3 Tìm giá trị m (m 3) để hai phương trình sau tương đương:
(m +1) x - = 2x + m mx - 3x =
Giải phương trình sau:
1 a/ (3x -1)2 - (2-3x)2 = 5x + 2
b/ x2 - 4x + - (x+1)2 = 4(x-2)
2 a/ (4-2x) + (5x -3) = (x-2) - (x+3) b/ - 3x - (4 - 2x) = x - - ( x -2) Tìm giá trị m để cho:
2 mx=1
3m −6x a/ Phương trình có nghiệm -5
b/ Phương trình 6x - 5m = + 3mx có nghiệm số gấp ba nghiệm số phương trình (x +1) (x-1) - (x + 2)2 = 3
4 Tìm nghiệm phương trình:
5(x −1)+2
3 −
9x −1 =
2(3x+1)
5 −1
3(x −2)
4 +
5x −9,5
10 =
4(x+2)
5 +5 a/
; b/
* Giải phương trình sau: a/ 9x (x+6) - (3x+1)2 = 1
b/ 16x (2-x) - (4x-5)2 = 2
2 a/ Giải phương trình (a-1)x + 3(a-1) = (ẩn x) Có nhận xét số nghiệm phương trình a =
b/ Cũng hỏi tương tự với phương trình (a-1)x - 2a - = a −y −11+2a
2
(1− y)
a4−1 = 2y −1
1− a4 − 1− y
1+a Giải phương trình:
(11)a+1¿2 ¿ a+1¿3
¿ a¿ ab+1
a x= ab a+1+
(2a+1)x
¿
b/ ( ẩn x) Giải biện luận phương trình sau:
a/ ax + 2m = a + x (1) b/ ( a2 + b2) x - a = b - ax ( 2)
II Phương trình tích
1 Giải phương trình sau:
a/ (x + 2) (2x - 3) = (x + 2)(3x - 4) b/ x2 - = 0
c/ (x +1)(x2 - 2x + 3) = x3 + 1 d/ x3 + 3x2 + 3x + = 4x + 4
2 Xác định số hạng tự m phương trình: 6x3 - 7x2 - 16x + m = 0
Nếu phương trình có nghiệm Tính nghiệm cịn lại Cho nghiệm phương trình: 2x3 + mx2 -13x + n = (1)
a/ Xác định m n
b/ Tìm nghiệm thứ phương trình (1) Giải phương trình sau:
x3 - (a + b + c) x2 = - (ab + ac + bc)x + abc
III Phương trình có ẩn số mẫu:
x −1 x3+1+
2x+3
x2− x+1=
2x+4
x+1 −2
13
2x2+x −21+
1 2x+7=
6
x2−9 Giải phương
trình sau: a/ b/
1+45
y2−8y+16=
14
(12)a/
5 x −1−
4
3−6x+3x2=3
b/
2y −13 2y+5
3y+9
3y −1 Tìm giá trị y nếu:
a/ Tổng hai phân thức
6 y −4
y y+2
b/ Hiệu hai phân thức tích chúng
a2
+x
b2− x− a2− x b2+x=
4 abx+2a2−2b2
b4− x2 Giải phương trình sau:
( a b)
x − a2x − b
b2− x2+a= x2
x2−b2 Giải phương trình sau:
IV Giải tốn cách lập phương trình:
1 Năm mẹ 36 tuổi, tuổi Hỏi cách năm mẹ gấp 10 lần tuổi con?
2 Khoảng cách Hà Nội Thái Bình 110km Một người xe máy từ Hà Nội Thái Bình với vận tốc 45km/h Một người khác xe máy từ Thái Bình lên Hà Nội với vận tốc 30km/h Hỏi sau họ gặp nhau?
3 Qng đường canơ xi dịng 2,4 lần quãng đường canô ngược dịng Hỏi vận tốc canơ xi dịng Biết vận tốc canơ nước n tĩnh 15km
(13)hoạch Hỏi khối lượng cá định bắt ngày hợp tâc xã bao nhiêu?
5 Theo kế hoạch, hai tổ lao động làm 110 chi tiết máy Nhưng cải tiến kỹ thuật nên tổ vượt 40% kế hoạch Tổ vượt 10% kế hoạch mình, nên hai tổ làm 123 chi tiết máy Hỏi theo kế hoạch tổ phải làm chi tiết máy?
6 Hai người làm chung cơng việc 15 xong Hai người làm người thứ điều làm công việc khác, người thứ hai tiếp tục làm việc 21 xong cơng việc Hỏi làm người phải làm xong công việc?
7 Một đoạn thẳng dài 23 cm chia làm hai đoạn Trên đoạn người ta dựng hình vng Tìm độ dài đoạn, biết diện tích tổng hai hình vng 265 cm2?
CHƯƠNG IV: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN I Liên hệ thứ tự phép cộng:
1 Cho a > b so sánh:
a/ a + b + b/ -7 + a - + b Với m chứng tỏ:
a/ + m < + m b/ - - m < -1 - m
3 Cho + m < 10 chứng tỏ m < ngược lại m < + m < 10
a b+
b
a≥2 II Liên hệ thứ tự phép nhân:
1 Cho a b số dương, chứng tỏ
2 Cho a b số không dương, chứng tỏ a3 + b3 ab(a+b)
3 Chứng tỏ với giá trị a, bất đẳng thức sau luôn
a/ 10a2 - 5a + > a2 + a b/ a2 - a
(14)III Bất phương trình ẩn:
1 Biểu diễn tập nghiệm bất phương trình sau lên trục số:
a/ x > 2, 5; b/ x 3,4; c/ x 8; d/ x < -1,5
2 Biểu diễn tập nghiệm bất phương trình sau trục số: a/ < x 1; b/ > x
c/ -1 x < 5; d/ -3 x < -
3 Giải bất phương trình sau:
a/ (2 + x) > + 2x; b/ (x - 1) + (2x - 2) < c/ - (5 - x) (2 + x); d/ - (3x - 2) + ( + x)
IV Bất phương trình bậc ẩn:
1 Tìm nghiệm nguyên lớn bất phương trình: (2 - 3x) - ( - x) > 11 - x
2 Tìm nghiệm nguyên nhỏ bất phương trình: ( - z) - 1, ( x - 4) < - x
3 Với giá trị a phương trình ẩn x:
a/ 3x + (a2 - 1) - 5a (a + 2) - > 0, có tập nghiệm dương?
2x −
x −1 +
x+2
2 −a ≤0
b/ , có tập nghiệm âm ?
x −x −3 +
2x −1 >2
y −1 −1+
2y −1
6 ≤ y Giải bất phương trình biểu
diễn tập nghiệm trục số:
a/ b/
z −z −1 −
z+3
10 >1
c/
5 Giải bất phương trình sau:
a/ (x +1) ( x - 1) < b/ (x -5) (x -2) >
x+1
x+2>0
(15)c/ d/ V Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:
1 a/ | x + 5| = b/ | x + 1| = 2x
¿x −1∨¿
5=3x −1 ¿
¿3− x∨¿
3=4x+1 ¿
c/ | x - 1| = 3x +1 d/ | - x | = 3x -1
¿x −1∨¿=5−2x
6x+7
¿
¿2− x∨≥1
2 a/ b/
c/ d/ | x + 1| = | x(x+1)| Giải phương trình sau:
a/ |3x| + 2x - = b/ 5x - + | -3x| = 13
c/ | - x| + 4x (x -1) = 4x2 + 3x d/ (x -2)2 + x(x + 1) = 2x2 - |x +1|
4 Giải bất phương trình sau:
a/ | x + 5| > b/