chuyen de nang cao dai so 8

CHUYÊN ĐỀ TỰ CHỌN “ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 8” &&& I. LÝ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ: Qua quá trình giảng dạy bộ môn toán tôi nhận thấy công tác bồi dưỡng học sinh giỏi là một nhiệm vụ cần phải thực hiện một cách nghiêm túc, không chỉ một thời gian ngắn mà đòi hỏi một quá trình lâu dài, nhưng học sinh chưa thấy được về tầm quan trọng của nó và chưa ham thích học nâng cao kiến thức, chính vì lẽ đó nên tôi chọn chuyên đề này mục đích giúp học sinh hứng thú khi tìm tòi kiến thức nâng cao. Sau khi học kiến thức mới, biết khai thác nội dung kiến thức và có phương pháp học tập hợp lý. II. BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH: 1.Thực trạng: Học sinh chưa chú trọng đọc sách tham khảo liên quan đến vấn đề kiến thức nâng cao, học sinh chưa mạnh dạn giải bài tập khó, học sinh còn chưa biết rút ra cách giải chung cho một số dạng bài tập. Hệ thống kiến thức còn mơ hồ . 2.Một số phương pháp giải bài tập nâng cao đại số 8 thể hiện qua các dạng bài tập sau: a. Khi giải bài toán về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất ta cần phân loại cho học sinh các dạng toán này và nêu cách giải từng dạng: * Một số dạng phân tích tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức. Dạng 1: a/ Tìm giá trị lớn nhất (Max) của đa thức bậc hai A: Ta phân tích: A = 2 ( ) + a af x− ≤ ( a là hằng số) khi đó GTLN của A là a khi f(x) = 0. Ví dụ: A = - x 2 + 6x +1 = -(x -3) 2 + 10 ≤ 10. Vậy Max A = 10 khi x -3 =0 hay x =3. b/ Tìm giá trị nhỏ nhất (Min) của đa thức bậc hai A: Ta phân tích: A = 2 ( ) + a af x ≥ ( a là hằng số) khi đó GTNN của A là a khi f(x) = 0. Ví dụ: A = x 2 – 4x + 1 = x 2 – 4x + 4 – 3 = ( x- 2) 2 -3 ≥ -3. vậy MinA = -3 khi x-2 =0 hay x = 2. Dạng 2: Phân thức ( ) a M f x = ( a là hằng số khác 0; mẫu là tam thức bậc hai). *Nếu ( ) a M f x = ( a > 0; f(x) là tam thức bậc hai) Ta phân tích: 2 ( ) ( ) a a a M f x g x l l = = ≤ + ( l là hằng số khác 0) =>MaxM= a l Ví dụ: ( ) 2 2 3 3 3 4 4 5 4 2 1 4 M x x x = = ≤ − + − + vậy: MaxM = 3 4 khi x = ½. *Nếu ( ) a M f x = ( a < 0; f(x) là tam thức bậc hai) Ta phân tích: 2 ( ) ( ) a a a M f x g x l l = = ≥ + ( l là hằng số khác 0) =>GTNN của M là a l Ví dụ: ( ) 2 2 3 3 3 4 4 5 4 2 1 4 M x x x − − = = ≥ − + − + vậy: MinM = 3 4 khi x = ½. Dạng 3: Biểu thức 2 dx e A x c + = + ( tử là đa thức bậc nhất; mẫu là đa thức bậc hai khuyết b với hằng số a >0). *Nếu tìm Min ta phân tích: 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )dx e f x l x c f x A l l x c x c x c + + + = = = + ≥ + + + ( l,c là hằng số c >0) => MinA = l khi f(x) =0. Ví dụ: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 4 3 1 1 1 1 1 x x x x M x x x + − + + + = = = − ≥ − + + + . Vậy MinM = -1 khi x = -2. *Nếu tìm Max ta phân tích: 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )dx e f x l x c f x A l l x c x c x c + − + + − = = = + ≤ + + + (l,c là hằng số c >0) => MaxA = l khi f(x) =0. Vídụ: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 4 1 2 1 4 3 4 4 1 1 1 x x x x M x x x − − + + − − + = = = + ≤ + + + . Vậy MaxM=4 Khi x = 1 2 . Dạng 4: Biểu thức A = 2 ( )f x x ( f(x) là một tam thức bậc hai đủ) Nếu tìm Min ta biến đổi: A = 2 ( )f x x = 2 2 ( )g x l l x + ≥ vậy Min A = l khi g(x) = 0. Ví dụ: A = 2 2 2 4 2 1 1 3 3 x x x x x − + −   = + ≥  ÷   vậy MinA= 3 khi x =1. Nếu tìm Max ta biến đổi A = m + 2 ( 0) l m l l x ≤ + > vậy Max A = m + l Ví dụ: B = 2 2 2 5 17 7 7 17 5 5 2 2 2 2 x x x + = + ≤ + = + + Vậy MaxB= 17 2 khi x =0. Dạng 5: E = A B ( A, B là các tam thức bậc hai đủ ). Nếu tìm MaxE ta phân tích E = 2 ( ) m m l l f x k k + ≤ + + ( l,m,k là các hằng số; m ≠ 0 ) Vậy: MaxE = m l k + (l,m,k là các hằng số). Dạng 6: Sử dụng bất đẳng thức x y x y+ ≥ + Dấu ‘= ‘xảy ra khi x.y ≥ 0. Ví dụ 1: Tìm Min A, biết A = 1 3x x− + − Giải: A = 1 3 1 3 2x x x x− + − ≥ − + − = Vậy MinA= 2 khi ( ) ( ) 1 3 0x x− − ≥ ↔1≤ x ≤ 3 Ví dụ 2: Tìm Min B, biết B = 2 5x x− + − Ta thấy nếu trực tiếp bất đẳng thức trên thì rất khó tìm được min, như vậy ta biến đổi như thế nào để hệ số trước x là đối nhau. Ta giải như sau: B = 2 5 2 5 2 5 3x x x x x x− + − = − + − ≥ − + − = Vậy Min B = 3 khi (x-2).(5-x) ≥ 0↔ 2≤ x ≤ 5. b. Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh một đẳng thức hoặc tính tổng vô hạn: + Nếu một khẳng định đề nào đó về số tự nhiên n đúng với n = 1. + Giả thiết đúng với n = k . + Chứng minh đúng với n = k+1 thì khẳng định ấy đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1. Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức sau: 1 1 1 1 (1) 1.2 2.3 3.4 ( 1) 1 n n n n + + + + = + + với mọi số tự nhiên n ≥1. Giải: + n =1 thì S 1 = ½ đẳng thức luôn đúng. + Giả sử (1) đúng với n = k khi đó: S k = 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 ( 1) 1 k k k k + + + + = + + với k ∈ N + Giả sử (1) đúng với n =k+1 ta có: 1 2 1 1 ( 1)( 2) 1 ( 1)( 2) 2 1 1 = = ( 1)( 2) 2 k k k S S k k k k k k k k k k k + = + = + + + + + + + + + + + + Vậy (1) đúng với mọi số tự nhiên n ≥1. Ví dụ 2: Tính tổng: S n = 1 3 +2 3 + 3 3 +…+ n 3 Giải: Ta có: S 1 =1 3 = 1 = 1 2 . S 2 = 1 3 + 2 3 = 9 = ( 1+2 ) 2 . S 3 = 1 3 + 2 3 + 3 3 =( 1+2+ 3 ) 2 . Giả sử S k = 1 3 +2 3 + 3 3 +…+ k 3 khi đó S k = ( ) 2 1 2 3 k+ + + + (1) Vậy lúc này ta phải chứng minh S k+1 = 1 3 +2 3 + 3 3 +…+ (k+1) 3 (2) [ ] 2 1 2 3 ( 1)k = + + + + + Ta có: ( 1) 1 2 3 2 k k k + + + + + = 2 ( 1) (1) (*) 2 k k k S +   ⇒ =     . Vậy ( ) ( ) 2 3 3 ( 1) 1 1 2 k k k S k k +   + + = + +     ( ) [ ] 2 2 2 1 2 ( 1) 2 1 ( 4 4) 2 2 = 1+2+3+ +(k+1) k k k k S k k + + +  +   ⇔ = + + =    ÷     (đpcm) Vậy S n = 1 3 +2 3 + 3 3 +…+ n 3 = ( ) 2 1 2 3 n + + + + . 3. Qua thực tế áp dụng chuyên đề trên để bồi dưỡng học sinh giỏi: - Học sinh dễ dàng hiểu được cách giải bài toán. - Thông qua viêc phân loại các dạng toán học sinh có thể tự giải áp dụng để giải bài tập. - Đa số học sinh thích học theo phương pháp này. III . KẾT LUẬN:. Với chuyên đề này rất bổ ích cho học sinh lớp 8 khi chưa hình thành được cách giải bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức và dùng quy nạp toán học để chứng minh một đẳng thức; tính tổng vô hạn tìm công thức tổng quát. Hòa phú ngày 15/01/2007 Người viết Phan Thanh Trúc . CHUYÊN ĐỀ TỰ CHỌN “ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 8 &&& I. LÝ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ: Qua quá trình giảng dạy bộ môn toán tôi nhận. trọng của nó và chưa ham thích học nâng cao kiến thức, chính vì lẽ đó nên tôi chọn chuyên đề này mục đích giúp học sinh hứng thú khi tìm tòi kiến thức nâng cao. Sau khi học kiến thức mới, biết khai. nâng cao, học sinh chưa mạnh dạn giải bài tập khó, học sinh còn chưa biết rút ra cách giải chung cho một số dạng bài tập. Hệ thống kiến thức còn mơ hồ . 2.Một số phương pháp giải bài tập nâng cao