Bài toán 3: Chứng minh rằng nếu một số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không phải là.. số chính phương.?[r]
(1)MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO VỀ SỐ TỰ NHIÊN – PHẦN II
B CHỨNG MINH MỘT SỐ KHƠNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG 1 Nhìn chữ số tận
Vì số phương bình phương số tự nhiên nên thấy số
phương phải có chữ số tận chữ số ; ; ; ; ; Từ em
có thể giải tốn kiểu sau đây:
Bài toán 1: Chứng minh số: n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012 khơng phải số
phương
Lời giải: Dễ dàng thấy chữ số tận số 20042 ; 20032 ; 20022 ; 20012
6 ; ; ; Do số n có chữ số tận nên n khơng phải số phương
Chú ý: Nhiều số cho có chữ số tận số ; ; ; ; ;
vẫn số phương Khi bạn phải lưu ý thêm chút nữa:
Nếu số phương chia hết cho số nguyên tố p phải chia hết cho p2
Bài toán 2: Chứng minh số 1234567890 khơng phải số phương
Lời giải: Thấy số 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tận 0) khơng
chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận 90) Do số 1234567890 khơng phải số phương
Chú ý: Có thể lý luận 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tận 0), không
chia hết cho (vì hai chữ số tận 90) nên 1234567890 khơng số phương
Bài tốn 3: Chứng minh số có tổng chữ số 2004 số khơng phải
(2)Ta thấy tổng chữ số số 2004 nên 2004 chia hết cho mà không chia hết nên số có tổng chữ số 2004 chia hết cho mà khơng chia hết cho 9, số khơng phải số phương
2 Dùng tính chất số dư
Chẳng hạn em gặp toán sau đây:
Bài tốn 4: Chứng minh số có tổng chữ số 2006 khơng phải số phương
Chắc chắn em dễ bị “choáng” Vậy toán ta phải nghĩ tới điều ? Vì cho giả thiết tổng chữ số nên chắn em phải nghĩ tới phép chia cho cho Nhưng lại không gặp điều “kì diệu” tốn Thế ta nói điều số ? Chắc chắn số chia cho phải dư Từ ta có lời giải
Lời giải: Vì số phương chia cho có số dư mà (coi
tập để em tự chứng minh !) Do tổng chữ số số 2006 nên số chia cho dư Chứng tỏ số cho khơng phải số phương
Tương tự em tự giải toán:
Bài toán 5: Chứng minh tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến 2005 khơng phải số
phương
Bài toán 6: Chứng minh số: n = 20044 + 20043 + 20042 + 23 khơng số phương
Bây em theo dõi toán sau để nghĩ tới “tình huống”
Bài toán 7: Chứng minh số:
n = 44 + 4444 + 444444 + 44444444 + 15 không số phương
Nhận xét: Nếu xét n chia cho 3, em thấy số dư phép chia 1, không
“bắt chước” cách giải toán ; ; ; Nếu xét chữ số tận em thấy chữ số tận n nên không làm “tương tự” toán ; Số dư của phép chia n cho dễ thấy nhất, Một số phương chia cho
cho số dư ? Các em tự chứng minh kết quả: số dư có
(3)3 “Kẹp” số hai số phương “liên tiếp”
Các em thấy rằng: Nếu n số tự nhiên số tự nhiên k thỏa mãn n2 < k < (n + 1)2 k khơng số phương Từ em xét tốn sau:
Bài tốn 8: Chứng minh số 4014025 khơng số phương
Nhận xét: Số có hai chữ số tận 25, chia cho dư 1, chia cho dư Thế
là tất cách làm trước không vận dụng Các em thấy lời giải theo hướng khác
Lời giải: Ta có 20032 = 4012009 ; 20042 = 4016016 nên 20032 < 4014025 < 20042 Chứng
tỏ 4014025 không số phương
Bài tốn 9: Chứng minh A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không số phương với số tự
nhiên n khác
Nhận xét: Đối với em làm quen với dạng biểu thức nhận A + số
chính phương (đây tốn quen thuộc với lớp 8) Các em lớp 6, lớp chịu khó đọc lời giải
Lời giải: Ta có:
A + = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) +1 = (n2 + 3n +1)2
Mặt khác:
(n2 + 3n)2 < (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = A
Điều hiển nhiên n ≥ Chứng tỏ: (n2 + 3n)2 < A < A + = (n2 + 3n +1)2 => A
khơng số phương
Các em rèn luyện cách thử giải tốn sau:
Bài tốn 10: Hãy tìm số tự nhiên n cho A = n4 - 2n3 + 3n2 - 2n số phương
Gợi ý: Nghĩ đến (n2 - n + 1)2
(4)Bài tốn 12: Có 1000 mảnh bìa hình chữ nhật, mảnh bìa ghi số
số từ đến 1001 cho khơng có hai mảnh ghi số giống Chứng minh rằng: Không thể ghép tất mảnh bìa liền để số phương
Bài toán 13: Chứng minh rằng: Tổng bình phương bốn số tự nhiên liên tiếp khơng
thể số phương
Gợi ý: Nghĩ tới phép chia cho
Bài toán 14: Chứng minh số 333333 + 555555 + 777777 khơng số phương Gợi ý: Nghĩ đến phép chia cho … chục (?)
Bài tốn 15: Lúc đầu có hai mảnh bìa, cậu bé tinh nghịch cầm mảnh bìa lên lại
(5)C CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa
Ta biết rằng, số phương bình phương số tự nhiên Dựa vào định nghĩa này, ta định hướng giải toán
Bài toán 1: Chứng minh: Với số tự nhiên n an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + số
chính phương
Lời giải: Ta có:
an = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) +
= (n2 + 3n) (n2 + 3n + 2) +
= (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) +
= (n2 + 3n + 1)2
Với n số tự nhiên n2 + 3n + số tự nhiên, theo định nghĩa, a
n số
phương
Bài tốn 2: Chứng minh số: số phương
Lời giải:
(6)Vậy: số phương
Phương pháp 2: Dựa vào tính chất đặc biệt
Ta chứng minh tính chất đặc biệt: “Nếu a, b hai số tự nhiên nguyên tố a.b số phương a b số phương”
Bài tốn 3: Chứng minh rằng: Nếu m, n số tự nhiên thỏa mãn 3m2 + m = 4n2 + n
m - n 4m + 4n + số phương
Lời giải:
Ta có: 3m2 + m = 4n2 + n
tương đương với 4(m2 - n2) + (m - n) = m2
hay (m - n)(4m + 4n + 1) = m2 (*)
Gọi d ước chung lớn m - n 4m + 4n + (4m + 4n + 1) + 4(m - n) chia hết cho d => 8m + chí hết cho d
Mặt khác, từ (*) ta có: m2 chia hết cho d2 => m chia hết cho d
(7)Vậy m - n 4m + 4n + số tự nhiên nguyên tố nhau, thỏa mãn (*) nên chúng số phương Cuối xin gửi tới bạn số tốn thú vị số phương:
1) Chứng minh số sau số phương:
2) Cho số nguyên dương a, b, c đôi nguyên tố nhau, thỏa mãn: 1/a + 1/b = 1/c Hãy cho biết a + b có số phương hay khơng ?
3) Chứng minh rằng, với số tự nhiên n 3n + khơng số phương
4) Tìm số tự nhiên n để n2 + 2n + 2004 số phương