CHUYÊN đề NÂNG CAO đại số lớp 9 và một số đề ôn THI vào lớp 10 – THPT CHUYÊN có lời GIẢI

CHUYÊN đề NÂNG CAO đại số lớp 9 và một số đề ôn THI vào lớp 10 – THPT CHUYÊN có lời GIẢI CHUYÊN đề NÂNG CAO đại số lớp 9 và một số đề ôn THI vào lớp 10 – THPT CHUYÊN có lời GIẢI CHUYÊN đề NÂNG CAO đại số lớp 9 và một số đề ôn THI vào lớp 10 – THPT CHUYÊN có lời GIẢI CHUYÊN đề NÂNG CAO đại số lớp 9 và một số đề ôn THI vào lớp 10 – THPT CHUYÊN có lời GIẢI CHUYÊN đề NÂNG CAO đại số lớp 9 và một số đề ôn THI vào lớp 10 – THPT CHUYÊN có lời GIẢI CHUYÊN đề NÂNG CAO đại số lớp 9 và một số đề ôn THI vào lớp 10 – THPT CHUYÊN có lời GIẢI CHUYÊN đề NÂNG CAO đại số lớp 9 và một số đề ôn THI vào lớp 10 – THPT CHUYÊN có lời GIẢI CHUYÊN đề NÂNG CAO đại số lớp 9 và một số đề ôn THI vào lớp 10 – THPT CHUYÊN có lời GIẢI CHUYÊN đề NÂNG CAO đại số lớp 9 và một số đề ôn THI vào lớp 10 – THPT CHUYÊN có lời GIẢI CHUYÊN đề NÂNG CAO đại số lớp 9 và một số đề ôn THI vào lớp 10 – THPT CHUYÊN có lời GIẢI CHUYÊN đề NÂNG CAO đại số lớp 9 và một số đề ôn THI vào lớp 10 – THPT CHUYÊN có lời GIẢI CHUYÊN đề NÂNG CAO đại số lớp 9 và một số đề ôn THI vào lớp 10 – THPT CHUYÊN có lời GIẢI CHUYÊN đề NÂNG CAO đại số lớp 9 và một số đề ôn THI vào lớp 10 – THPT CHUYÊN có lời GIẢI CHUYÊN đề NÂNG CAO đại số lớp 9 và một số đề ôn THI vào lớp 10 – THPT CHUYÊN có lời GIẢI CHUYÊN đề NÂNG CAO đại số lớp 9 và một số đề ôn THI vào lớp 10 – THPT CHUYÊN có lời GIẢI CHUYÊN đề NÂNG CAO đại số lớp 9 và một số đề ôn THI vào lớp 10 – THPT CHUYÊN có lời GIẢI CHUYÊN đề NÂNG CAO đại số lớp 9 và một số đề ôn THI vào lớp 10 – THPT CHUYÊN có lời GIẢI CHUYÊN đề NÂNG CAO đại số lớp 9 và một số đề ôn THI vào lớp 10 – THPT CHUYÊN có lời GIẢI CHUYÊN đề NÂNG CAO đại số lớp 9 và một số đề ôn THI vào lớp 10 – THPT CHUYÊN có lời GIẢI CHUYÊN đề NÂNG CAO đại số lớp 9 và một số đề ôn THI vào lớp 10 – THPT CHUYÊN có lời GIẢI CHUYÊN đề NÂNG CAO đại số lớp 9 và một số đề ôn THI vào lớp 10 – THPT CHUYÊN có lời GIẢI CHUYÊN đề NÂNG CAO đại số lớp 9 và một số đề ôn THI vào lớp 10 – THPT CHUYÊN có lời GIẢI CHUYÊN đề NÂNG CAO đại số lớp 9 và một số đề ôn THI vào lớp 10 – THPT CHUYÊN có lời GIẢI CHUYÊN đề NÂNG CAO đại số lớp 9 và một số đề ôn THI vào lớp 10 – THPT CHUYÊN có lời GIẢI CHUYÊN đề NÂNG CAO đại số lớp 9 và một số đề ôn THI vào lớp 10 – THPT CHUYÊN có lời GIẢI CHUYÊN đề NÂNG CAO đại số lớp 9 và một số đề ôn THI vào lớp 10 – THPT CHUYÊN có lời GIẢI CHUYÊN đề NÂNG CAO đại số lớp 9 và một số đề ôn THI vào lớp 10 – THPT CHUYÊN có lời GIẢI CHUYÊN đề NÂNG CAO đại số lớp 9 và một số đề ôn THI vào lớp 10 – THPT CHUYÊN có lời GIẢI CHUYÊN đề NÂNG CAO đại số lớp 9 và một số đề ôn THI vào lớp 10 – THPT CHUYÊN có lời GIẢI CHUYÊN đề NÂNG CAO đại số lớp 9 và một số đề ôn THI vào lớp 10 – THPT CHUYÊN có lời GIẢI

Chủ đề 1: BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ Chương 1: Căn thức 1.1 CĂN THỨC BẬC Kiến thức cần nhớ: • Căn bậc hai số thực a số thực x cho x = a • Cho số thực a không âm Căn bậc hai số học a kí hiệu số thực khơng âm x mà bình phương a :  a ≥ x ≥ ⇔  x = a  a = x • Với hai số thực khơng âm a , b ta có: • Khi biến đổi biểu thức liên quan đến thức bậc ta cần lưu ý: A≥0 A + A2 = A =  A ;(Đây gọi phép khử thức mẫu) A A ( ) M A∓ B M = với A, B ≥ 0, A ≠ B (Đây gọi phép A− B A± B trục thức mẫu) + 1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n 1.2.1 CĂN THỨC BẬC Kiến thức cần nhớ: a số x cho x = a • Căn bậc số a kí hiệu • Cho a ∈ R; a = x ⇔ x3 = • Mỗi số thực a có bậc • Nếu a > a > • Nếu a < a , a < k +1 k +1 • k +1 a =0 a < , a = Trường hợp n số chẵn: n = 2k , k ∈ N Mọi số thực a > có hai bậc chẵn đối Căn bậc chẵn dương kí hiệu 2k a (gọi bậc 2k số học a ) Căn bậc chẵn âm kí hiệu − k a , 2k a = x ⇔ x ≥ x k = a ; − k a = x ⇔ x ≤ x k = a Mọi số thực a < khơng có bậc chẵn Một số ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích biểu thức sau thành tích: a) P = x − b) P = x3 + 3 c) P = x + x + Lời giải: ( ) ( x + ) ( x + 2) ) ( x − x + 3) a) P = ( x − )( x + ) = x − b) P = ( x ) + ( ) = ( 2x + 2 c) P = ( x + 1) − x = ( x − x + 1)( x + x + 1) Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: a) A = x − x − x + x ≥ b) B = x − x − + x + x − x ≥ c) C = − + + 10 − Lời giải: a) A = x − x − x + 1  = x−  x−  = x− 2  + Nếu x≥ 1 ⇔ x ≥ + Nếu x< 1 ⇔ ≤ x < x− x− 1 = x − ⇒ A= 2 x− 1 =− x + ⇒ A=2 x − 2 CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN b) B = 4x − 4x −1 + 4x + 4x −1 = 4x −1 − 4x −1 + + 4x −1 + 4x −1 +1 Hay B = = ( ) ( 4x −1 −1 + ) 4x −1 +1 = 4x −1 −1 + 4x −1 +1 4x −1 −1 + 4x −1 + + Nếu 4x −1 −1 ≥ ⇔ 4x −1 ≥ ⇔ x ≥ x − − = x − − suy B = x − + Nếu 4x −1 −1 < ⇔ 4x −1 < ⇔ 1 ≤ x < 4 x − − = − x − + suy B = ( c) Để ý rằng: − = − ) ⇒ 7−4 = 2− Suy C = − + + 10(2 − 3) = − + 28 − 10 = 9− +5 (5 − ) Hay C = − + 5(5 − 3) = − 25 = − = = Ví dụ 3) Chứng minh: a) A = − − + số nguyên 84 84 số nguyên ( Trích đề TS vào lớp + 1− 9 10 chuyên Trường THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2006) b) B = + CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN c) Chứng minh rằng: x = a + a≥ a + 8a − a + 8a − + a− với 3 3 số tự nhiên ( d) Tính x + y biết x + x + 2015 )( y + ) y + 2015 = 2015 Lời giải: a) Dễ thấy A < 0, Tacó A2 = ( 7−2 − 7+2 ) = − + + − − + = 14 − 2.5 = Suy A = −2 b) Áp dụng đẳng thức: ( u + v ) = u + v3 + 3uv ( u + v ) Ta có:   84 84  84 84 84 84   = 1+  B =  1+ + 1− +1− + 3 + 1−   9  9 9       84 84   1+  Hay + 1−  9     84  84  84 3 B = + 3 1 + 1−   B ⇔ B = + 3 − B ⇔ B = − B ⇔ B + B − =  9 81    1  ⇔ ( B − 1) ( B + B + ) = mà B + B + =  B +  + > suy B = 2  Vậy B số nguyên c) Áp dụng đẳng thức: ( u + v ) = u + v3 + 3uv ( u + v ) Ta có x = 2a + (1 − 2a ) x ⇔ x3 + ( 2a − 1) x − 2a = ⇔ ( x − 1) ( x + x + 2a ) = Xét đa thức bậc hai x + x + 2a với ∆ = − 8a ≥ + Khi a = 1 ta có x = + = 8 + Khi a > , ta có ∆ = − 8a âm nên đa thức (1) có nghiệm x = Vậy với a ≥ a + 8a − a + 8a − 1 + a− = ta có: x = a + 3 3 số tự nhiên d) Nhận xét: ( x + 2015 + x )( ) x + 2015 − x = x + 2015 − x = 2015 Kết hợp với giả thiết ta suy x + 2015 − x = y + 2015 + y ⇒ y + 2015 + y + x + 2015 + x = x + 2015 − x + y + 2015 − y ⇔ x + y = Ví dụ 4) a) Cho x = + 10 + + − 10 + Tính giá trị biểu thức: P= x − x + x + x + 12 x − x + 12 b) Cho x = + Tính giá trị biểu thức B = x − x + x − x + 1942 (Trích đề thi vào lớp 10 Trường PTC Ngoại Ngữ - ĐHQG Hà Nội năm 2015-2016) c) Cho x = + + Tính giá trị biểu thức: P = x − x + x − x − x + 2015 Giải: CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ VÀ ƠN THI VÀO LỚP 10 CHUN a) Ta có:   x =  + 10 + + − 10 +  = + + 10 + − 10 +   ⇔ x2 = + − = + ( ) −1 = 8+ ( ) −1 = + = ( ) +1 2 ⇒ x = + Từ ta suy ( x − 1) = ⇔ x − x = (x Ta biến đổi: P = 2 − x ) − ( x − x ) + 12 x − x + 12 = 42 − 3.4 + 12 = + 12 b) Ta có x = + ⇒ ( x − 1) = ⇔ x − x + x − = Ta biến đổi biểu thức P thành: P = x ( x − x + x − 3) + x ( x3 − x + x − 3) + ( x − x + x − ) + 1945 = 1945 c) Để ý rằng: x = 2 + + ta nhân thêm vế với − để tận dụng đẳng thức: a − b = ( a − b ) ( a + ab + b ) Khi ta có: 3 ) ( − 1) ( + + 1) ⇔ ( − 1) x = ⇔ x = x + ⇔ x ( −1 x = 3 2 3 3 = ( x + 1) ⇔ x3 − x − 3x − = Ta biến đổi: P = x5 − x + x3 − x − x + 2015 = ( x − x + 1)( x − x − x − 1) + 2016 = 2016 Ví dụ 5) Cho x, y , z > xy + yz + zx = a) Tính giá trị biểu thức: P=x 2 2 (1 + y )(1 + z ) + y (1 + z )(1 + x ) + z (1 + x )(1 + y ) + x2 b) Chứng minh rằng: 1+ y2 x y z + − = 2 1+ x 1+ y 1+ z2 1+ z2 xy (1 + x )(1 + y )(1 + z ) 2 Lời giải: CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN a) Để ý rằng: + x = x + xy + yz + zx = ( x + y )( x + z ) Tương tự + y ;1 + z ta có: x (1 + y )(1 + z ) = x ( y + x )( y + z )( z + x )( z + y ) = x y + z ( ) + x2 ( x + y )( x + z ) Suy P = x ( y + z ) + y ( z + x ) + z ( x + y ) = ( xy + yz + zx ) = b) Tương tự câu a) Ta có: x y z x y z + − = + − 2 1+ x 1+ y 1+ z ( x + y )( x + z ) ( x + y )( y + z ) ( z + y )( z + x ) = x ( y + z) + y ( z + x) − z ( x + y ) xy = = ( x + y )( y + z )( z + x ) ( x + y )( y + z )( z + x ) xy 2 (1 + x )(1 + y )(1 + z ) Ví dụ 6) a) Tìm x1 , x2 , , xn thỏa mãn: x12 − 12 + x2 − 22 + + n xn − n = ( x1 + x22 + + xn ) 4n + 4n − với n nguyên dương Tính 2n + + 2n − f (1) + f (2) + + f (40) b) Cho f (n) = Lời giải: a) Đẳng thức tương đương với: ( ) ( x12 − 12 − + ) x2 − 22 − + + ( xn − n − n ) =0 Hay x1 = 2, x2 = 2.2 , , xn = 2.n  x + y = 4n  b) Đặt x = 2n + 1, y = 2n − ⇒  xy = 4n −  x2 − y =  Suy x + xy + y x3 − y 3 = = ( x − y3 ) = ( 2n + 1) − x+ y x − y2 2 Áp dụng vào tốn ta có: f (1) + f ( ) + + f ( 40 ) =  33 − 13 + 53 − 33 + +  = 813 − 13 = 364 ( f ( n) = ( ) ( ) ( 2n − 1) ( ) 813 − 793   ) ) ( Ví dụ 7) 1 + + + > Đề thi 1+ 3+ 79 + 80 a) Chứng minh rằng: chuyên ĐHSP 2011 b) Chứng minh rằng: 1 1   + + + + > 1 −  2 3 n n +1 n +1   1 1 + + + + + < n − với n số nguyên dương n ≥ c) Chứng minh: n − < Lời giải: 1 , + + + 1+ 3+ 79 + 80 1 B= + + + 2+ 4+ 80 + 81 a) Xét A = Dễ thấy A > B Ta có A + B = 1 1 + + + + + 1+ 2+ 3+ 79 + 80 80 + 81 Mặt khác ta có: Suy A + B = k + k +1 = ) ( ( 2− + ( ( k +1 − k k +1 + k ) − + + )( ( ) k +1 − k ) = k +1 − k ) 81 − 80 = 81 − = Do A > B suy A > A + B = ⇔ A > b) Để ý rằng: 1 − = k k +1 k ( k + 1) ( k +1 + k ) < với 2k k + k nguyên dương Suy   1       VT > 1 − − −  + +   = 1 −   + 2 2  3 n +1  n +1    n  c) Đặt P = Ta có: 1 1 + + + + + n n + n +1 < 2 với số tự nhiên n ≥ = < n n n + n −1 Từ suy ( ( 2 < < =2 n +1 + n n n + n −1 n +1 − n < < n − n −1 n ) n +1 − n = Do đó:   ( T < + (  ) ( ( ) ) ( − ) + + ( n + − n ) < T − 1) + ( − ) + ( n − n − )   2− + ) n − n − hay Hay n − < T < n − Ví dụ 8) 10 = a +2 (b + c ) 1+ (b + c ) 1+ 2 ≤ Từ cộng bất đẳng thức 2   a + b + c) ( b + c ( ) ( a + ) 1 +    chiều ta suy điều phải chứng minh: Chú ý: Với giả thiết a, b, c độ dài ba cạnh tam giác ta cần ý biến đổi để sử dụng điều kiện: a + b − c > 0, b + c − a > 0, c + a − b > Ví dụ 3: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c + + ≥1 3a − b + c 3b − c + a 3c − a + b Phân tích: a a − m(3a − b + c) −m = Ta chọn m = đó: 3a − b + c 3a − b + c a a+b−c Từ ta có bất đẳng thức cần chứng minh − = 3a − b + c 4(3a − b + c) viết lại thành: Ta viết lại: a b c 1 − + − + − ≥ ⇔ 3a − b + c 3b − c + a 3c − a + b 4 a+b−c b+c−a c+ a −b + + ≥ 3a − b + c 3b − c + a 3c − a + b Ta có (a + b − c + b + c − a + a + c − b) VT ≥ ∑ ( a + b − c )( 3a − b + c ) = (a + b + c) a + b + c + 2(ab + bc + ca ) =1 Đối với bất đẳng thức dạng f (a) + f (b) + f (c) ≤ M Ta thường thêm bớt vào số m để tử số có dạng bình phương Ví dụ 4: Cho số thực dương a , b, c cho abc = Chứng minh rằng: 1 + + ≤ a − a +1 b − b +1 c − c +1 Phân tích: 1 − m − ma + ma để − m − ma + ma phân tích − m = a2 − a +1 a2 − a + thành: ( xa + y ) − m − ma + ma = có nghiệm kép Hay Ta lấy ∆ = m + 4m(1 − m) = ⇔ m ( − 3m ) = ⇔ m = Ta viết lại bất đẳng 4 − + − + − ≤ −1 hay thức thành: a − a + b2 − b + c2 − c + (2a − 1) (2b − 1) (2c − 1) + + ≥ Áp dụng bất đẳng thức: a2 − a + b2 − b + c2 − c + x2 y z ( x + y + z ) + + ≥ ta thu được: A B C A+ B +C VT ≥ [ 2(a + b + c) − 3] (a + b + c ) − (a + b + c) + [ 2(a + b + c) − 3] (a + b + c) Ta cần chứng minh: ≥ ( a + b + c ) − ( a + b + c) + 3 hay + 6(ab + bc + ca) ≥ ( a + b + c ) Ta có: (ab + bc + ca) = a 2b + b c + c a + 2abc( a + b + c) ≥ a 2bc + b ca + c ab + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c) = 3(a + b + c) Ta quy toán chứng minh: ( a + b + c ) + 3(a + b + c) ≥ ( a + b + c ) Đặt t = 3(a + b + c) ⇒ t ≥ Ta có bất đằng thức trở thành: t4 + 6t ≥ 3t ⇔ t − 27t + 54t ≥ ⇔ t ( t − 27t + 54 ) = t (t − 3) (t + 6) ≥ Điều hiển nhiên Dấu xảy a = b = c = Cho số thực dương a, b, c cho a + b + c = Chứng minh rằng: a b c + + ≤ a + 2b + b + 2c + c + 2a + Một số cách thêm bớt khơng mẫu mực: Ví dụ 5: Cho số thực dương a , b, c cho a + b + c = Chứng minh: a2 b2 c2 + + ≤ 3a + 3b + 3c + 18(ab + bc + ca) Giải: Ta có: minh: a2 3a 1 a  = = a −  Vì ta quy toán chứng 3a + 3a +  3a +  a b c + + + ≥1 3a + 3b + 3c + 6( ab + bc + ca ) Ta có: ∑ (a + b + c) a ≥ = 3a + a ( 3a + 1) + b ( 3b + 1) + c ( 3c + 1) ( a + b + c ) + Suy VT ≥ 1 ≥ =1 6( ab + bc + ca ) 3(a + b + c ) +1 3( a + b + c ) + 2 + Ví dụ 6: Cho số thực dương a, b, c cho a + b + c = Chứng minh:  b c a  1+ a 1+ b 1+ c 2 + +  ≥ + +  a b c  1− a 1− b 1− c Giải: 1+ a 2a = + nên ta viết lại bất đẳng thức thành: 1− a b + c b c a a b c a a ab nên ta + + ≥ + + + Lại có: − = c b + c c(b + c) a b c b+c c+a a+b Do chứng minh: ∑ ab ≥ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Shwarz ta có: c(b + c) 2 ( ab + bc + ca ) ab a 2b ∑ =∑ ≥ c(b + c) abc(b + c) 2abc ( a + b + c ) Ta cần chứng minh: ( ab + bc + ca ) ≥ 2abc ( a + b + c ) toán quen thuộc Ví dụ 7: Cho số thực dương a, b, c cho ab + bc + ca = Chứng minh: a + b + c + ab bc ca 3 + + ≥ b+c c+a a+b Giải: Nhân vế với a + b + c ý: ab a 2b Ta viết bất ( a + b + c ) = ab + b+c b+c đẳng thức cần chứng minh thành: (a + b + c) +1+ a 2b b2c c2a 3 + + ≥ (a + b + c) b+c c+a a +b 2 ( ab + bc + ca ) a 2b b2c c2a Ta có: + + ≥ = b + c c + a a + b b(b + c) + c(c + a ) + a( a + b) ( a + b + c )2 − Cuối ta chứng minh: ( a + b + c ) + + (a + b + c) −1 ≥ 3 (a + b + c) 3 ( a + b + c ) ≤ ( a + b + c ) + 3 nên ta quy về: 2 ≥ ( a + b + c ) + 3 Dành cho học sinh (a + b + c) +1+   ( a + b + c) −1 Nhưng 4) PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Tùy theo tốn ta chọn cách đặt ẩn phụ sau: 1 1 1) ( a, b, c ) →  , ,  a b c  ka kb kc  2) ( a, b, c ) →  , ,   b c a  kb kc ka  3) ( a, b, c ) →  , ,   a b c   ka kb kc  , , 4) ( a, b, c ) →    bc ac ab   kbc kca kab  5) ( a, b, c ) →  , ,  b c   a Ví dụ 1: Cho số thực dương x, y, z cho xyz = Chứng minh rằng: 1 + + ≥ x2 + x + y + y + z + z + Phân tích: Nếu áp dụng trực tiếp bất đẳng thức: X Y Z2 ( X +Y + Z ) + + ≥ bất đẳng thức bị ngược dấu A B C A+ B+C Để không bị ngược dấu ta thay ( x, y, z ) →  bc ca ab  , ,  bất đẳng thức a b c  cần chứng minh trở thành: a4 b4 c4 + + ≥ (*) a + a 2bc + b c b + b ac + a c c + c ab + a 2b 2 X Y Z2 ( X +Y + Z ) + + ≥ ta có: Bây áp dụng bất đẳng thức: A B C A+ B+C VT ≥ (a + b2 + c ) a + a 2bc + b c + b + b ac + a c + c + c ab + a 2b Ta cần chứng minh: (a + b2 + c2 ) ≥1 a + a 2bc + b c + b + b ac + a c + c + c ab + a 2b ⇔ b c + a c + a 2b ≥ abc( a + b + c) Nhưng kết quen thuộc Ví dụ 2: Cho số thực dương x, y, z cho xyz = Chứng minh rằng: 1 1 + + ≥ ( x + 1)( x + 2) ( y + 1)( y + 2) ( z + 1)( z + 2) Phân tích: Đặt x = ∑ bc ac ab ; y = ; z = bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: a2 b c a4 ≥ Áp dụng bất đẳng thức: 2 (2a + bc)(a + bc) 2 X Y Z2 ( X +Y + Z ) + + ≥ ta có: A B C A+ B+C VT ≥ ∑ ( a + b2 + c2 ) ∑(2a + bc)(a + bc) Ta cần chứng minh: 2 ∑ ( a + b + c ) ≥ ∑(2 a + bc)( a + bc ) ⇔ a 2b + b c + c a ≥ abc( a + b + c) Đây kết quen thuộc Ví dụ 3: Cho số thực dương x, y , z Chứng minh rằng: 2x + x+ y Giải: 2y 2z + ≤3 y+z z+x a b c Đặt x = ; y = ; z = Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: b c a a2 b2 c2 Áp dụng bất đẳng thức + + ≤ a + bc b + ac c + ab Bunhiacopxki ta có: 2    a (a + b)(a + c)  a2 b2 c2   a ∑ + +  ≤ ∑ ∑   a + bc b + ac c + ab   ( a + b)( a + c)   a + bc   Mặt khác ta có: ( a + b + c )( ab + bc + ca ) ≤ ( a + b )( b + c )( c + a ) Mặt khác ta có: ∑ ( ab + bc + ca ) a = ≤ Ta quy (a + b)( a + c) (a + b)(b + c)(c + a) 4(a + b + c) a (a + b)(a + c) ≤ ( a + b + c ) Mặt khác ta có: a + bc a (a + b)( a + c) a (b + c) Ta quy toán chứng minh: = a + a + bc a + bc a (b + c) ∑ ≤ a+b+c a + bc tốn chứng minh: ∑ KỸ THUẬT ĐỐI XỨNG HĨA Ví dụ 1: Cho số thực dương a , b, c Chứng minh: 2a 2b 2c + + ≤3 a+b b+c c+a Giải: Ta có: 2a = a+b  ⇒ ∑ ( a + b ) (a + c)  2a ( a + c )   ≤ ( a + b ) (a + c)  2a ( a + c )   a b c 2( a + b + c)  + +   ( a + b ) (a + c) ( b + c ) (b + a ) ( c + a ) (c + b)  ( a + b + c )( ab + bc + ca ) = ( a + b )( b + c )( c + a ) Bây ta cần chứng minh: ( a + b + c )( ab + bc + ca ) ≤ ⇔ ( a + b + c )( ab + bc + ca ) ≤ ( a + b )( b + c )( c + a ) ( a + b )( b + c )( c + a ) Nhưng kết quen thuộc: Ví dụ 2: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh: a b c + + ≤ a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b Giải: Ta có: a = a + b + 2c  ⇒ ∑ ( a + b + 2c )( a + 2b + c )  a ( a + 2b + c )   ≤ ( a + b + 2c )( a + 2b + c )  a ( a + 2b + c ) ( ∑ a + ∑ ab ) ( ∑ a )   =  ∑ a ( a + 2b + c )   ∑   ( a + b + 2c )( a + 2b + c )  ( a + b + 2c )( a + 2b + c ) (b + 2a + c) Ta cần chứng minh: ( ∑ a + ∑ ab ) ( ∑ a ) ( a + b + 2c )( a + 2b + c ) (b + 2a + c) ≤ Sau khai triển thu gọn được: ( a + b3 + c3 ) ≥ ab( a + b) + bc(b + c) + ca(c + a ) Đây toán quen thuộc Ví dụ 3: Cho số thực dương a , b, c cho a + b + c = Chứng minh: ab bc ca + + ≤ ab + bc bc + ca ca + ab Giải: Ta có:  ∑   ab = ab + bc a 2b = a+c a 2b ( a + b ) suy ( a + c )( a + b ) 2   ( ∑ a )  ∑ a b + abc ∑ a  a 2b ( a + b )  a 2b  ≤  ∑ ( a + b )   ∑ =  ( a + b )( b + c ) (c + a) ( a + c )( a + b )   ( a + c )( a + b )  Ta cần chứng minh: ( ∑ a )  ∑ a 2b + abc ∑ a  ( a + b )( b + c ) (c + a) ≤ ⇔ ( ∑ a )  ∑ a 2b + abc ∑ a  ≤ ( a + b + c )( a + b )( b + c ) (c + a ) Khai triển thu gọn ta quy về: ab ( a + b ) + bc ( b + c ) + ca ( c + a ) ≥ ( a 2b + b c + c a ) Nhưng bất đẳng thức hiển nhiên theo BĐT cô si: BÀI TẬP RÈN LUYỆN Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: 1) 2) a b c a +b+c + + ≥ 2 b + bc + c c + ca + a c + ca + a ab + bc + ca a b c a+b+c + + ≥ a + ab + b b + bc + c c + ca + a a + b + c 2 (a 4) a 3b b 3c c3a abc(a + b + c) + + ≥ 2 + ab + bc + ca + abc 5) 6) + 3)( b + 3)( c + 3) ≥ ( a + b + c + 1) 3) a2 b2 c2 + + ≥ với a + b + c = a + 2b b + 2c c + 2a ab bc ca + + ≤ (a + b + c) a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b ab bc ca a+b+c + + ≤ a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b 1 + + ≥ với a + b + c = 2 2ab + 2bc + 2ca + 3a + b 3b + c 3c + a + + ≥ Với a, b, c độ dài cạnh tam giác 2a + c 2b + a 2c + b a b c ab + bc + ca + + + ≤ Với a, b, c độ dài 10) b + c c + a a + b a + b2 + c2 cạnh tam giác 7) 8) 9) 10) ab bc ca + 2 + ≥ biết a, b, c ≥ cho không 2 a +b b +c c +a 11) có số đồng thời a + b + c = 2(ab + bc + ca ) a b c + + ≤ biết a, b, c ≥ cho 4a + 3bc 4b + 3ca 4c + 3ab khơng có số đồng thời a + b + c = 12) HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP 1) Ta có: a b c a +b+c + + ≥ 2 b + bc + c c + ca + a c + ca + a ab + bc + ca a a2 Suy = b + bc + c ab + abc + ac 2 ∑ (a + b + c) a2 ≥ 2 ab + abc + ac ab + ac + bc + ba + 3abc (a + b + c) a+b+c ≥ ab + ac + bc + ba + 3abc ab + bc + ca ⇔ ( ab + bc + ca )( a + b + c ) ≥ ab + ac + bc + ba + 3abc (Nhưng Ta cần chứng minh: đẳng thức) 2) Ta có: ab + bc + ca ≤ a + b + c Suy a b c a+b+c + + ≥ 2 2 2 b + bc + c c + ca + a c + ca + a a +b +c 2  ( b + c + 1)2    b + c +  3) ( a + b + c + 1) =  a +     ≤ ( a + 3) 1 + 3       ( b + c + 1)2  Từ suy ( a + b + c + 1) ≤ ( a + 3) 1 +  Ta chứng minh:    ( b + c + 1)2  ( a + 3) 1 +  ≤ ( a + 3)( b + 3)( c + 3) ⇔ 3 + ( b + c + 1)  ≤ ( b + 3)( c +   Bất đẳng thức tương đương với: 3 + ( b + c + 1)  ≤ ( b + 3)( c + 3) ⇔  + b + c + 2bc + 2b + 2c  ≤ 9b + 9c + 3b c   ⇔ ( b + c ) + 3b c − 8(b + c) − 8bc + 13 ≥ Ta viết lại bất đẳng thức thành: ( b + c ) − 2bc − 8(b + c) + + ( bc − 1) ≥ 2 Ta có b + c ≥ 2bc, ( b + c ) ≥ ( b + c ) ⇒ ( b + c ) ≥ ( b + c ) Nên ( b + c ) − 2bc − 8(b + c) + + ( bc − 1) ≥ 2(b + c) − 8(b + c) + + 2bc − 2bc + 3(bc − 1) 2 = ( b + c − ) + 3(bc − 1) ≥ Dấu xảy a = b = c = 4) a 3b b 3c c3a abc(a + b + c) + + ≥ 2 + ab + bc + ca + abc Ta có: a 3b a 4b c Suy = + ab abc + a 2b3c 2 ( a 2bc + b2ac + c2ab ) a 3b a 4b c ∑ = ∑ ≥ + ab abc + a 2b3c abc + a 2b3c + bca + b c3 a + cab + c a 3b 2 a 2b c ( a + b + c ) = 2 abc + a b c + bca + b c a + cab + c a 3b Ta chứng minh: a 2b c ( a + b + c ) abc(a + b + c) ≥ 2 2 2 abc + a b c + bca + b c a + cab + c a b + abc (1 + abc ) abc(a + b + c) ≥ abc + a 2b3c + bca + b c3a + cab + c a 3b Đây đẳng thức.Dấu xảy a = b = c 5) a2 a4 = 2 a + 2b a + a 2b 2 ( a + b2 + c2 ) Ta chứng minh: a2 a4 = ∑ ≥ Suy ∑ a + 2b a + 2a b ∑ a + ∑ a b (a + b2 + c2 ) ∑ a + ∑ a 2b Hay (a ≥1 + b2 + c2 ) ∑ a + ∑ a 2b ≥ ⇔ a + b + c ≥ a + b3 + c Ta cần chứng minh: a + b + c ≥ a + b3 + c3 với a + b + c = Ta chứng minh: ( a + b + c ) ≥ ( a + b3 + c ) ( a + b + c ) ⇔ ( a + b + c ) ≥ ab ( a + b ) + bc ( b + c + Để ý rằng: 2 ( a + b ) = ( a + b ) = ( a + b )( a + b ) ≥ 2ab ( a + b ) ⇔ a + b ≥ ab ( a + b ) Cộng ba bất đẳng thức chiều ta suy điều phải chứng minh: 6) Ta có: 1 1 1  ab  ab ab = ≤  + + ⇒ ≤  + a + 3b + 2c (a + c) + (b + c) + 2b  a + b b + c 2b  a + 3b + 2c  a + b b + Tương tự ta có bất đẳng thức cộng lại thu được: ab bc ca  ab ab bc bc ca + + ≤  + + a+ + + b+ a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b  a + c b + c b+a c+a c+b ab bc ca ⇔ + + ≤ (a + b + c) a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b 7) Ta có ab bc ca a+b+c + + ≤ 2 2 2 2 a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b  b  a2 ( a + b) ab b b2  ≤ ≤ +     a + 2b + c  a + b + b + c   a + b b + c  Suy b  a2 b2  c  b2 c2  a  a2 c2  a + b + c VT ≤  + 2 +  2 + +  + = 2   a + b b + c   b + c c + a   a + b c + a2  1 + + ≥1 2 2ab + 2bc + 2ca + 8) Ta có: VT ≥ c2 = suy 2 2ab + 2ab c + c (a + b + c) a + b + c + 2a 2b 2c + 2a 2bc + 2ab 2c (a + b + c) Ta chứng minh: a + b + c + 2a 2b 2c + 2a 2bc + 2ab c ≥ ⇔ ab + bc + ca ≥ a 2b 2c + a 2bc + ab 2c ⇔ ab + bc + ca ≥ abc(a + b + c) ⇔ abc ≤ Theo bất đẳng thức Cơ si ta có: = a + b + c ≥ 3 abc = ⇒ abc ≤ điều phải chứng minh 9) Ta xét: 3a + b a (3 − 2m) + b − mc −m = 2a + c 2a + c Chọn m = để xuất hiện: 3a + b a+b−c −1 = 2a + c 2a + c Khi ta có: Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng: a +b−c b+c −a c + a −b + + ≥1 2a + c 2b + a 2c + b Suy VT ≥ (a + b − c + b + c − a + c + a − b) ∑( a + b − c)(2a + c) 2 = (a + b + c) (a + b + c) = Đpcm 10) Ta viết lại bất đẳng thức thành: 1− a b c ab + bc + ca +1− +1− ≥ + b+c c+a a + b a + b2 + c2 ⇔ (a + b + c) b+c −a a +c −b a +b−c + + ≥ b+c c+a a+b ( a + b2 + c2 ) 2 ( a + b + c) (a + b + c) Ta có VT ≥ = ∑ ( b + c − a )( b + c ) ( a + b + c ) 11) Ta có: ab ab a + b 2ab = ≥ 2 2 a +b a +b a + b2 Ta quy toán chứng minh: ( a + b) a + b2 + (b + c) b2 + c + (c + a) 2ab 2bc 2ca + 2+ ≥ Hay a + b b + c c + a2 2 c2 + a2 ≥ Thật ta có: VT ≥ (a + b + c) 2 ( a + b2 + c2 ) = ( a + b + c) (a 2 + b + c ) + 2ab + 2bc + 2ca = Dấu xảy a = b, c = hoán vị a b c   + + 12) Ta có: VT ≤ ( a + b + c )   a + bc b + ca c + ab   a b c   = 2 + +  Ta chứng minh:  4a + 3bc 4b + 3ca 4c + 3ab  a b c + + ≤ 4a + 3bc 4b + 3ca 4c + 3ab a b c ⇔ − + − + − ≥ 4a + 3bc 4b + 3ca 4c + 3ab bc ca ab ⇔ + + ≥ 4a + 3bc 4b + 3ca 4c + 3ab Ta có: VT ≥ ( ab + bc + ca ) ( a b + b c + c a + 4abc ) 2 2 2 = ( ab + bc + ca ) ( a b + b c + c a + 2abc ( a + b + c ) ) 2 2 2 = ... 194 2 (Trích đề thi vào lớp 10 Trường PTC Ngoại Ngữ - ĐHQG Hà Nội năm 2015-2016) c) Cho x = + + Tính giá trị biểu thức: P = x − x + x − x − x + 2015 Giải: CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ VÀ ÔN THI VÀO... 10 − Lời giải: a) A = x − x − x + 1  = x−  x−  = x− 2  + Nếu x≥ 1 ⇔ x ≥ + Nếu x< 1 ⇔ ≤ x < x− x− 1 = x − ⇒ A= 2 x− 1 =− x + ⇒ A=2 x − 2 CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN... + x )(1 + y )(1 + z ) 2 Lời giải: CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN a) Để ý rằng: + x = x + xy + yz + zx = ( x + y )( x + z ) Tương tự + y ;1 + z ta có: x (1 + y )(1 + z )