KHAI THÁC TÍNH CHẤT đặc BIỆT của HAI điểm HUMPTY DUMPTY TRONG TAM GIÁC

SỞ GD&ĐT NINH BÌNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN TỤY SÁNG KIẾN KHAI THÁC TÍNH CHẤT ĐẶC BIỆT CỦA HAI ĐIỂM HUMPTY-DUMPTY TRONG TAM GIÁC A PA B C Các tác giả: Nguyễn Trường Sơn - Nguyễn Thị Bích Ngọc Tổ : Tốn - Tin Đơn vị cơng tác : Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy Ninh Bình, tháng năm 2020 MỤC LỤC Các điểm Humpty - Dumpty số tính chất liên quan A Định nghĩa B Tính chất Một số ví dụ áp dụng 18 Khai thác số mơ hình liên quan 30 A Định lí Miquel .31 B Mơ hình quen thuộc 34 C Giải pháp thứ 36 D Giải pháp thứ hai .40 E Giải pháp thứ ba 42 F Tìm tịi sáng tạo 44 Bài tập có lời giải 46 Bài tập tự luyện 59 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM ĐỘC LẬP - TỰ DO - HẠNH PHÚC ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: Hội đồng sáng kiến tỉnh Ninh Bình Chúng tơi gồm: TT Họ tên Năm sinh Chức vụ Trình độ chun mơn Tỉ lệ (%) đóng góp vào việc tạo sáng kiến Nguyễn Trường Sơn 1983 Giáo viên Cử nhân 80% khoa học Nguyễn Thị Bích Ngọc 1976 Giáo viên Thạc sĩ 20% Tên sáng kiến, lĩnh vực áp dụng Là nhóm tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: KHAI THÁC TÍNH CHẤT ĐẶC BIỆT CỦA HAI ĐIỂM HUMPTY-DUMPTY TRONG TAM GIÁC Lĩnh vực áp dụng: Giảng dạy hình học trường THCS, THPT Chuyên Thời gian áp dụng: Năm học 2018 − 2019 năm học 2019 − 2020 Nội dung sáng kiến Trong chương trình mơn Tốn THPT, hình học sơ cấp phân mơn quan trọng việc rèn kĩ năng, luyện tư cho học sinh Vẻ đẹp ẩn chứa điểm, đường thẳng, đường trịn, góc mà muốn cảm nhận ta cần phải có nhìn tinh tế, trí tưởng tượng phong phú Hình học giúp người ta có nhìn tổng qt, sâu rộng hơn, suy luận chặt chẽ tư sáng tạo Công tác bồi dưỡng học sinh giỏi đặt người giáo viên đứng trước nhiều lựa chọn, việc tìm, ứng dụng kiến thức vô quan trọng Chúng ta làm quen nhiều dạng tốn hình học, biết nhiều phương pháp giải, có có cách giải Mỗi gặp toán lại phải suy nghĩ tìm cách giải Sự phong phú đa dạng tốn hình học ln hấp dẫn giáo viên, học sinh giỏi yêu toán Từ thực tế ôn luyện đội tuyển tham gia kì thi chọn học sinh giỏi THCS, THPT cấp tỉnh, cấp quốc gia, cấp khu vực quốc tế, chúng tơi thấy tốn hình học thường xuất đề thi với ý nghĩa “thử tài” “chọn lọc” học sinh, toán hai điểm Humpty, Dumpty Các kiến thức hai điểm Humpty, Dumpty, trước đây, sách giáo khoa tài liệu khác không đề cập đến, chúng xuất qua số tập nhỏ Giáo viên khơng có hệ thống tập mơ hình cụ thể Học sinh tiếp thu thơng qua tốn cụ thể giáo viên cho, khơng biết nằm đâu, kiến thức liên quan tới tập Chính điều làm cho việc dạy việc học gặp nhiều khó khăn Từ thực tế trên, chúng tơi nhận thấy tính cấp thiết phải xây dựng hệ thống tập mơ hình liên quan tới hai điểm Humpty-Dumpty Sáng kiến trình bày định nghĩa, tính chất hai điểm Humpty Dumpty tam giác, từ đưa số mơ hình, xây dựng hệ thống tập từ dễ đến khó, làm tư liệu cho giáo viên học sinh trình dạy học Sáng kiến chúng tơi đưa vào áp dụng, nhận hưởng ứng giáo viên học sinh, bước đầu thu kết tích cực a) Giải pháp cũ thường làm: Kiến thức hai điểm Humpty-Dumpty tam giác thường khơng có có rời rạc, khơng hệ thống Trong sách giáo khoa mơn Tốn bậc THCS THPT đề cập tới giao điểm hai đường tròn qua A tiếp xúc với BC hai điểm B, C tam giác ABC, mà không nói điểm tính chất điểm Sách giáo khoa ( tốn hình 9, tập trang 118, 119) tài liệu khác nêu tập xuất rời rạc theo Nhược điểm: • Các điểm đặc biệt tam giác xuất đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp khu vực, cấp Quốc gia Để đạt điểm giỏi, học sinh cần nhớ đầy đủ tính chất mơ hình quen thuộc Muốn em học sinh cần rèn luyện làm tập đầy đủ sâu hơn, đặc biệt biến mơ hình lạ mơ hình quen Nhưng sách tập giáo khoa hành, sách tài liệu chuyên chưa đáp ứng yêu cầu • Hai điểm đặc biệt sáng kiến gần chưa xuất tài liệu Do nói hai điểm em lại thấy xa lạ Các tốn có liên quan tới tính chất hai điểm làm em thấy vướng mắc gây thời gian làm • Khi soạn giảng, giáo viên bắt buộc phải tham khảo nhiều tài liệu từ nhiều phương tiện, soạn cho đối tượng học sinh luyện thi đại học thi học sinh giỏi cấp, nhiều thời gian cơng sức, tốn nhiều tiền bạc • Học sinh học tập thụ động, kiến thức đặt sẵn nên tạo thói quen nghe, ghi chép, học thuộc, chưa phát huy lực tư sáng tạo, khả tự học, tự tìm tịi, tự xử lý thơng tin học sinh • Người học ngày hứng thú học tập, hạn chế, chí triệt tiêu sáng tạo, ln thụ động ghi nhớ kiến thức cách máy móc • Do tập thiếu tính hệ thống, học sinh lại chưa đủ kĩ kinh nghiệm để hệ thống phân loại kiến thức nên em khó hiểu cách bao quát, đầy đủ dạng tập điểm đặc biệt tam giác Để khắc phục hạn chế trên, việc biên soạn hệ thống tập điểm đặc biệt Humpty-Dumpty tam giác cần thiết, vừa có ích cho thầy cho trị, vừa góp phần nâng cao chất lượng dạy giáo viên phát huy tính tích cực, lực tự học học sinh Trong sáng kiến này, làm rõ định nghĩa tính chất hai điểm HumptyDumpty cách khoa học, bao trùm tất kiến thức, khắc phục nhược điểm b) Giải pháp cải tiến: Mơ tả chất giải pháp mới: • Trên sở tư logic, nghiên cứu thể kiến thức bao trùm từ tới phức tạp, từ dễ đến khó phù hợp với nhận thức học sinh • Chúng giới thiệu chi tiết hai điểm Humpty-Dumpty tính chất hệ thống lý thuyết tập có gắn kết chặt chẽ với Khi đưa thực nghiệm thầy giáo em học sinh say mê hình học đón nhận nồng nhiệt • Hệ thống tập lựa chọn đưa vào sáng kiến tập tính tốn phân loại theo mức độ nhận thức Các dạng tập xếp theo chủ đề với mức độ kiến thức tăng dần Vì vậy, hệ thống tập sáng kiến xếp từ dễ đến khó dành cho đối tượng học sinh, vừa cách hệ thống kiến thức vừa cách định hướng, dẫn dắt đưa học sinh tới chân trời toán học, kích thích tính ham tìm tịi, ham hiểu biết rèn luyện tư sáng tạo vốn có sẵn học sinh • Đặc biệt học sinh từ mơ hình quen thuộc chuyển sang mơ hình phức tạp hơn, để từ em rèn luyện số kĩ đưa tốn có mơ hình phức tạp mơ hình quen thuộc, em sáng tạo hình thú vị Tính mới, tính sáng tạo giải pháp: • Tính Từ toán cụ thể sách tài liệu chuyên Toán, có giả thiết quan trọng giao điểm hai đường tròn qua A tiếp xúc với BC hai điểm B, C tam giác ABC, tìm hiểu biết điểm đặc biệt điểm Humpty Trong q trình giảng dạy, chúng tơi hệ thống, đúc rút thành tính chất liên quan Các tính chất xây dựng từ đơn giản tới phức tạp, từ lạ thành quen Từ có ví dụ minh họa cho việc áp dụng tính chất Giúp người học, người đọc hiểu nhớ tính chất Đặc biệt, chúng tơi xây dựng số mơ hình thường gặp, từ đưa số giải pháp, giúp học sinh nhìn vào tốn đó, có đặc điểm giống mơ hình cung cấp, giải nhanh tốn • Tính sáng tạo + Từ định nghĩa hai điểm Humpty- Dumpty, xây dựng hệ thống tính chất liên quan Các tính chất có ứng dụng giúp học sinh phát điểm Humpty, Dumpty dễ dàng tìm lời giải + Chúng tơi đúc rút số mơ hình quen thuộc, để từ mơ hình đó, giáo viên học sinh dễ dàng chuyển đổi để biến thành toán có cấu hình phức tạp Học sinh từ mơ hình,các giải pháp đưa sáng tạo toán + Phát triển thành hệ thống tập điểm Humpty-Dumpty cách khoa học Các tập nhóm tác giả trình bày tự luận từ dễ tới khó để tăng khả trình bày cho học sinh HSG Quốc gia Sáng kiến nêu bật lên số cách sáng tạo tốn hình học với mơ hình lạ từ mơ hình quen thuộc Chính sáng kiến thúc đẩy tinh thần say mê tốn học, điều sách tài liệu tham khảo đề cập tới Hiệu kinh tế xã hội dự kiến đạt a) Hiệu kinh tế: Thực tế giảng dạy ôn luyện học sinh giỏi cấp, nhận thấy học sinh đam mê mơn tốn nói chung, hình học nói riêng thường tự tìm đến nguồn tài liệu khác Đây tín hiệu tốt thể tính tự học người học sinh Tuy nhiên, tài liệu học vơ vàn quỹ thời gian người học sinh không nhiều Với sáng kiến này, định hướng cho em tài liệu thiết yếu phục vụ cho việc ôn luyện Việc em có hệ thống tập, mơ hình quen thuộc hốn đổi sang mơ hình khác sáng kiến giúp ích nhiều cho em học sinh Vì việc áp dụng sáng kiến mang lại hiệu sau: • Tiết kiệm nhiều thời gian cơng sức tìm tịi tài liệu giáo viên học sinh giảng dạy học tập môn Tốn • Tiết kiệm phần chi phí mua tài liệu, sưu tầm tài liệu • Định hướng vấn đề, nội dung kiến thức cần bồi dưỡng mời thầy tập huấn cho đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia • Phù hợp mục tiêu việc học tập mà UNESCO đề xướng “Học để biết, học để làm, học để chung sống, học để tự khằng định mình”, việc tự học học sinh thời gian thực giãn cách xã hội để phòng chống dịch bệnh Covid-19 b) Hiệu xã hội: • Trong q trình nghiên cứu, chúng tơi mạnh dạn đem sáng kiến áp dụng dạy cho lớp chuyên Toán trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy, em đón nhận nhiệt tình Các em hăng say phát biểu, chứng minh tính chất hai điểm Humpty - Dumpty, với thầy giáo tìm tịi cách giải toán nêu sáng kiến Điều khiến chúng tơi vui mừng từ mơ hình sáng kiến, nhiều học sinh tạo tốn với cấu hình phức tạp Sáng kiến góp phần rèn luyện, phát triển lực, kỹ làm việc nhóm học sinh, lực cần thiết cho hội nhập quốc tế • Từ áp dụng giảng dạy, kết học sinh đạt thấy rõ Cụ thể kì thi học sinh giỏi khu vực, quốc gia quốc tế em học sinh tự tin làm hình Cụ thể kì thi học sinh giỏi năm học 2019 − 2020, sáu bạn học sinh đội tuyển quốc gia làm hình Sáu bạn giải thức quốc gia, góp phần đưa đồn học sinh giỏi mơn tốn tỉnh Ninh Bình có thành tích 100 % giải thức đội ĐHQG Hà Nội, Vĩnh Phúc, Nam Định, Nghệ An, Thanh Hóa, Hà Tĩnh Kết học sinh giỏi qua năm Năm Kết thi học sinh giỏi quốc gia 2016 − 2017 giải khuyến khích Ghi Các em làm phần hình 2017 − 2018 khuyến khích Các em làm phần hình 2018 − 2019 giải: nhì, ba, khuyến khích Các em làm hình 2019 − 2020 giải ba Các em làm hết hình • Chúng đem sáng kiến dạy cho em học sinh cấp THCS ( em học sinh giỏi lớp huyện Hoa Lư) em đón nhận nhiệt tình, say mê thích thú biết điểm giao điểm hai đường tròn qua A tiếp xúc với BC hai điểm B, C tam giác ABC, điểm Humpty • Sáng kiến áp dụng làm tăng tính chuyên cần, nâng cao tính tự lực thái độ học tập học sinh Các em học sinh từ mơ hình, giải pháp đưa sáng tạo tốn • Sáng kiến áp dụng góp phần giúp học sinh có niềm đam mê hứng thú học tập, hình thành phát triển giới quan, nhân sinh quan Có ý thức tương trợ giải vấn đề thực tiễn góp phần xây dựng quê hương giàu mạnh có chất lượng sống tốt • Góp phần nâng cao tính chun nghiệp, hợp tác với đồng nghiệp trình dạy học, tạo hội xây dựng quan hệ với học sinh Đưa mơ hình triển khai, cho phép hỗ trợ đối tượng học sinh đa dạng việc tạo nhiều hội học tập dạy học Nâng cao hiệu đào tạo, chất lượng dạy Củng cố niềm tin, sức mạnh, gắn bó với nghiệp trồng người Điều kiện khả áp dụng Điều kiện áp dụng: Sáng kiến nguồn tư liệu hữu ích, dễ dàng sử dụng; khơng địi hỏi yêu cầu kĩ thuật hỗ trợ Những phương pháp, kĩ thuật dạy học tích cực ứng dụng giảng cụ thể số học nên thuận lợi cho giáo viên học sinh tham khảo, tra cứu; góp phần thiết thực đổi dạy học, kiểm tra, đánh giá, nâng cao chất lượng giáo dục Đặc biệt thiết thực với học sinh say mê với mơn hình học Khả áp dụng: Đối với trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy, sau hai năm áp dụng sáng kiến đạt nhiều kết khả quan Sáng kiến bước đầu tiếp cận với học sinh cấp hai THCS cho tín hiệu đáng mừng • Những nội dung kiến thức truyền tải tới học sinh nhiều phương pháp kĩ thuật dạy học tích cực khác nhau, phù hợp với đối tượng học sinh Vì đối tượng học sinh, khơng phân biệt trình độ nhận thức, khơng phân biệt loại hình trường lớp dễ dàng tiếp nhận kiến thức • Sáng kiến tài liệu tham khảo hữu ích cho đối tượng học sinh giáo viên học tập, nghiên cứu giảng dạy mơn Tốn • Hiện nay, sáng kiến tư liệu tham khảo cần thiết thiếu học sinh giáo viên Chuyên Toán trường THPT chuyên Lương Văn Tụy • Sáng kiến tiếp tục mở rộng phát triển tiếp năm học sau • Đây hoạt động dạy học tích cực thơng qua học chương trình Tốn học THPT để phát triển lực học sinh Do áp dụng thường xuyên tất học sinh THPT tất giáo viên mơn Tốn học-THPT sử dụng giải pháp điều kiện sở vật chất có tất nhà trường Danh sách người tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu TT Họ tên Năm sinh Nơi công tác Chức vụ Trình độ chun Nội dung cơng việc hỗ trợ môn Ngô Thị Hoa 1979 THPT Chuyên Giáo viên Thạc sĩ Lương Văn Tụy Dạy định nghĩa hai điểm HumptyDumpty Phạm Đức Tùng 1983 THPT Chuyên Giáo viên Thạc sĩ Lương Văn Tụy Dạy số tính chất điểm Humpty Vũ Nguyễn Hồng Anh 1994 THPT Chuyên Lương Văn Tụy Giáo viên Cử Dạy số nhân tính chất khoa điểm học Humpty Chúng xin cam đoan thông tin nêu đơn trung thực, thật hoàn tồn chịu trách nhiệm trước pháp luật Ninh Bình, ngày 20 tháng năm 2020 XÁC NHẬN CỦA LÃNH ĐẠO Người nộp đơn ĐƠN VỊ CƠ SỞ Nguyễn Trường Sơn Nguyễn Thị Bích Ngọc PHỤ LỤC PHẦN CÁC ĐIỂM HUMPTY - DUMPTY VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT LIÊN QUAN A ĐỊNH NGHĨA a) Điểm Humpty Cho tam giác ABC Điểm PA nằm tam giác ABC thỏa mãn ÷ ÷ ÷ ÷ P A CB = PA AC, PA BC = PA AB gọi điểm A− Humpty Định nghĩa tương tự với điểm B− Humpty C− Humpty A PA O C B b) Điểm Dumpty Cho tam giác ABC Điểm QA nằm tam giác ABC thỏa mãn ÷ ÷ ÷ ÷ Q A CA = QA AB, QA BA = QA AC gọi điểm A− Dumpty Định nghĩa tương tự với điểm B− Dumpty C− Dumpty Do bốn A, K, R, S đồng viên nên M A · M K = M R · M S, suy M B = M R · M S Theo hệ thức Newton ta suy (BC, RS) = −1 Từ suy P R2 = P S = P B · P C = P N · P A Từ suy điều phải chứng minh Trên chúng tơi đưa mơ hình cách đổi mơ hình Giáo viên học sinh từ xây dựng nhiều mơ hình khác liên quan tới điểm đặc biệt tâm bàng tiếp, xây dựng trung điểm cung nhỏ tam giác ( trực tâm tâm nội tiếp I), xây dựng trung điểm ba cạnh ( trực tâm tâm ngoại tiếp O) PHẦN BÀI TẬP CĨ LỜI GIẢI Sau chúng tơi đưa thêm số tập, để em học sinh nắm tính chất đặc biệt hai điểm Humpty, Dumpty tam giác Bài toán (Đề xuất 30/4/2016, THPT Chuyên Lê Hồng Phong, TPHCM.) Cho tam giác nhọn ABC điểm D di động tia đối tia CB Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABD đường tròn (J) nội tiếp tam giác ACD Giả sử H, K giao điểm hai đường tròn (I), (J) Chứng minh HK qua điểm cố định D di động Lời giải Cách Gọi N, M điểm tiếp xúc đường tròn nội tiếp (I) với cạnh AD, BD.Q, P điểm tiếp xúc đường tròn nội tiếp (J) với cạnh AD, BD.L giao điểm BI với M N, V giao điểm CJ với P Q ’ = AV ’ Ta có ALB C = 900 ’ ACD ’ không đổi nên L, V cố định Do góc ABC, Vì HK, P Q, M N vng góc với IJ nên M N ∥ HK ∥ P Q Suy LM P V hình thang Gọi E, F giao điểm HK với BD LV Theo tính chất điểm Humpty, ta có H điểm K− Humpty tam giác KM P Do E trung điểm đoạn M P Điều suy EF đường trung bình hình thang LM P V Khi F trung điểm LV Do L, V cố định nên F cố định Suy HK qua điểm cố định F Cách Gọi N, M điểm tiếp xúc đường tròn nội tiếp (I) với cạnh AD, BD.Q, P điểm tiếp xúc đường tròn nội tiếp (J) với cạnh AD, BD.S giao điểm HK với AD Theo định lí điểm Humpty ta suy E, F trung điểm M P N Q Do đó: EM = EP = F N = F Q Gọi T hình chiếu tâm bàng tiếp ứng với đỉnh B tam giác ABC Suy T cố định Gọi F giao điểm AT với HK Ta có: CA + CD − AD CA + AB − BC , CT = 2 AB + AD − BD ⇒ P T = CT − CP = = AN CP = Từ suy ET = AS, ED = SD A U N S F L K V Q I J H B M EC T P Áp dụng định lí Menelaus vào tam giác AT D với ba điểm S, F, E thẳng hàng ta có: F A ET SD · · = ⇒ FA = FT F T ED SA Suy F trung điểm đoạn AT Vậy F cố định Điều phải chứng minh Bài toán Trên mặt phẳng, cho đường tròn (O) hai điểm cố định B, C đường trịn cho BC khơng đường kính (O) Gọi A điểm di động đường trịn (O) A khơng trùng B, C Gọi D, K, J trung điểm BC, CA, AB E, M, N hình chiếu vng góc A, B, C BC, DJ, DK Chứng minh tiếp tuyến M, N đường tròn ngoại tiếp tam giác EM N cắt T cố định A thay đổi (O) (Trích TST 2012) Lời giải D Gọi H trực tâm tam giác ABC Ta xét trường hợp H nằm tam giác Các trường hớp lại xét tương tự Đầu tiên, ta chứng minh T nằm OD Dễ dàng thấy H nằm BM CN nên điểm D, M, N, H, E thuộc đường trịn đường kính HD Đường thẳng qua H song song với BC cắt đường thẳng OD S Do nên S thuộc đường trịn đường kính HD Gọi X hình chiếu E AD X thuộc đường trịn Ta chứng minh tứ giác DM SN XM EN điều hoà Thật vậy, HS ∥ BC D trung điểm BC nên theo định lý cát tuyến song song (HS, HD, HC, HB) = −1 hay tứ giác DM SN điều hoà Như T ∈ DO A B J K T O M H B E X S N D C Lại có DN ∥ AB J trung điểm AB nên theo dịnh lý cát tuyến song song ta có (DN, DJ, DA, DB) = −1 hay (DN, DM, DX, DE) = −1 tức tứ giác N XM E điều hoà Như T ∈ EX Do đó, T = EX ∩ OD Gọi B hình chiếu vng góc B AC Khi tứ giác HECB nội tiếp Suy AX.AD = AH.AE = AB AC Do XB CD nội tiếp Từ ’ = DB ÷ DXC C (1) Hơn nữa, tam giác BB C vuông B B D đường trung tuyến nên DB = DC Do tam giác B DC cân D Từ ÷ ’ DB C = DCA ’ = DCA ’ Từ suy Từ (1) (2) suy DXC DX DC Do = ⇔ DC = DX · DA DC DA Dễ dàng chứng minh AH = 2OD (2) DXC DCA Từ hai điều với T D ∥ AE nên theo định lý Thales ta có TD DX AE AD · DX DC = ⇔ TD = · DX = = = const AE AX AX AH 2OD Như T cố định ! Lời bình Điểm X điểm A− Humpty tam giác ABC Bài toán Cho tam giác ABC cân A M điểm tam giác ABC ÷ = BCM ÷ Gọi H, I, K hình chiếu vng góc điểm M cho ABM lên AB, BC, CA Gọi E giao điểm M B IH, F giao điểm M C IK Giả sử hai đường tròn ngoại tiếp tam giác M EH M F K cắt điểm thứ hai N Chứng minh đường thẳng M N qua trung điểm BC (Tạp chí toán học tuổi trẻ số 4/477-2017) Lời giải A K N H M E B P F C I Q ’ = ABM ÷ = BCM ÷ ; KIM ’ = Dễ thấy tứ giác HBIM, KCIM nội tiếp, suy HIM ÷ = CBM ÷ ACM ÷ ‘ = EM ÷ ’ + KIM ’ = BM ÷ ÷ + CBM ÷ = 1800 Do EM F = EIF F + HIM C + BCM ÷ ’ ÷ ÷ Suy EF ∥ BC Vậy tứ giác EM F I nội tiếp, ta có: M FE = M IE = M BH = BCM Gọi P, Q giao điểm M N với EF BC ÷ ÷ ÷ Ta có: P’ NE = M HE = M BC = M EP ÷ Tương tự ta chứng minh P’ NF = M FP Suy M điểm N − Humpty tam giác N EF Do P trung điểm EF , suy Q trung điểm BC Bài toán (TST 2001.) Trong mặt phẳng cho hai đường tròn (ω1 ) (ω2 ) cắt A B Một tiếp tuyến chung hai đường tròn tiếp xúc với (ω1 ) P (ω2 ) T Các tiếp tuyến P T đường tròn ngoại tiếp tam giác AP T cắt S Gọi H điểm đối xứng B qua P T Chứng minh A, H, S thẳng hàng Lời giải Gọi M giao điểm P T (ω2 ) AB Ta có (ω1 ) A (AP, AT ) = (AP, AB) + (AB, AT ) O = (P T, P B) + (T B, T P ) = (T B, P B) = (HP, HT ) (mod π) O B Do tứ giác AP HT nội tiếp đường tròn P Ta có PM/(O) = PM/(O) ⇔ M P = M T T M H ⇔ M P = M T Suy S MP B M AP M BT M T A MP PB MT BT = = MA PA MA TA Như PB BT PH HT = ⇔ = ⇔ P H · AT = HT · AP PA TA PA TA Suy Do P S, T S AH đồng quy Vậy A, H, S thẳng hàng ! Lời bình Điểm B điểm A− Humpty tam giác AP T Bài toán Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), trực tâm H Gọi M trung điểm BC Đường thẳng AM, AH cắt đường tròn (O) điểm thứ hai L, K Đường trịn đường kính AH cắt đường trịn (O) điểm thứ hai T Đường thẳng qua H vuông góc với AM P cắt BC, KL Y, X Đường thẳng KL cắt đường thẳng BC Z Chứng minh rằng: a) Bốn điểm X, Y, Z, T thuộc đường tròn (w) hai đường tròn (O) , (w) tiếp xúc b) Tiếp tuyến đường tròn (O) điểm T qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác XHK Lời giải a) Ta có Y P · Y H = Y D · Y M = Y B · Y C nên Y thuộc trục đẳng phương (O) (AH) Do đó: Y, T, A thẳng hàng ’ Suy Y’ T H = 900 hay tứ giác Y T HD nội tiếp suy T Y Z = T’ HD ’ ’ ‘ ’ Tứ giác T HKX nội tiếp (do T KX = T HX = T AL) suy T XZ = T’ HK ’ Do đó, T Y Z = T’ XZ hay tứ giác TYXZ nội tiếp đường tròn (w) ‘ Giả sử tiếp tuyến (w) T cắt BC Q Ta có xT A = Y’ T Q = T’ XY ‘ XY = T’ KA ⇒ xT A = T’ KA Do đó: T x tiếp tuyến (O) T Mà T’ Vậy hai đường tròn (O) , (w) tiếp xúc nhau.Điều phải chứng minh b) Theo chứng minh tứ giác XT HK nội tiếp Có T, H, M thẳng hàng M E, M F tiếp tuyến (AH) nên tứ giác T HEF điều hòa ⇒ A (T HEF ) = −1 ⇒ (T KBC) = −1 Suy tứ giác T BKC điều hịa Có T Q tiếp tuyến (O) T nên KQ tiếp tuyến (O) hay QT = QK Mà BC trục đối xứng HK suy QH = QK Do Q tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác XT HK Điều phải chứng minh Bài toán Cho tam giác nhọn ABC, giả sử M trung điểm cạnh BC ABC Gọi F = BH ∩ AC E = CH ∩ AB Giả sử X ÷ ÷ A, X nằm hai phía M H điểm EF cho XM H = HAM H trực tâm Chứng minh AH qua trung điểm M X (Đề thi HSG quốc gia Iran, vòng 3, 2017 - 2018) Lời giải Bổ đề (Định lý Brocard) Cho tứ giác ABCD có cặp cạnh đối khơng song song nội tiếp đường trịn tâm O Gọi M , N , P giao điểm AC BD; AD BC; AB DC Khi O trực tâm tam giác M N P Trở lại toán trên: Gọi T hình chiếu H AM , AH ∩ BC = D, EF ∩ BC = S, M H ∩ AS = L Tứ giác lồi BCF E nội tiếp đường trịn có tâm M trung điểm BC nên theo Định lý Brocard’s M trực tâm tam giác ASH Do M H ⊥ AS L ba điểm S, H, T thẳng hàng Gọi Y = EF ∩ AH, Y = LT ∩ AH Z = LT ∩ BC Ta có (S, D, B, C) = −1 (hàng điều hịa tứ giác tồn phần) Suy (F S, F D, F B, F C) = −1, từ ta có (A, H, Y, D) = −1 Tương tự ta có (Z, D, M, S) = −1 nên (A, H, Y , D) = −1 Từ Y ≡ Y hay AH, EF , LT đồng quy Y ’ = HAT ’ = HM ÷ Tứ giác AT HL nội tiếp nên HLT X, LT ∥ M X Mặt khác, (Z, D, M, S) = −1 nên (Y Z, Y D, Y M, Y S) = −1 mà LT ∥ M X cắt Y S, Y M X, M Do Y D qua trung điểm M X A F L Y E X S T H B D M C Z Bài toán (Tống Hữu Nhân.) Cho tam giác ABC có đường cao BE, CF Đường tròn qua A, B tiếp xúc với BC cắt cạnh AC X Đường tròn qua A, C tiếp xúc với BC cắt cạnh AB Y Gọi M, N trung điểm đoạn BY, CX Chứng minh rằng: a) Tâm đường tròn (AXY ), (AM N ) nằm trung trực cạnh BC b) Tâm đường tròn (AEM ), (AF N ) đường tròn Euler tam giác ABC thẳng hàng Lời giải Bổ đề Cho tam giác ABC điểm D trung tuyến AM Đường tròn (ADB), (ADC) cắt đường AC, AB E, F Khi tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác AEF nằm trung trực BC Chứng minh Giả sử BC cắt (ADB), (ADC) lần thứ hai X, Y Do M trung điểm BC thuộc trục đẳng phương (ADB), (ADC) nên dễ dàng chứng minh M trung điểm XY F J A E D B M X Y C Gọi J tâm AEF , sử dụng phương tích ta có: PB/(I) = BA · BF = BY · BC = CX · CB = CA · CE = PB/(J) Từ suy JB = JC, hay J thuộc trung trực BC Trở lại toán ban đầu: a) Gọi I, J tâm đường tròn (AXY ), (AM N ) S giao điểm khác A (ABX), (ACY ) Khi ta có AS qua trung điểm T đoạn BC Áp dụng bổ đề cho S nằm trung tuyến AT , ta I nằm trung trực BC Mặt khác M trung điểm đoạn AY nên sử dụng phương tích ta có: 1 BA · BM = BA · BY = · BC = BC · BT 2 Suy tứ giác ACT M nội tiếp Tương tự, ta chứng minh ABT N nội tiếp Áp dụng bổ đề trên, cho T nằm trung tuyến AT, ta J nằm trung trực BC Y I M J1 J A X S F B E J2 ON U D T C b) Kẻ đường cao AD tam giác ABC Gọi J1 , J2 , U tâm đường tròn (AEM ), (AF N ) đường tròn Euler tam giác ABC thẳng hàng Sử dụng phương tích, ta có: J1 B − J1 C = PB/(J1 ) − PC/(J1 ) = BA · BM − CA · CE = BC · BT − CB · CD = BD · BT − CT · CD = PB/(U ) − PC/(U ) = (U B)2 − (U C)2 Theo định lí bốn điểm, suy J1 U ⊥BC Chứng minh tương tự ta có: J2 U ⊥BC Vậy J1 , J2 , U thẳng hàng Bài toán Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) với trung tuyến AM Đường thẳng AM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm thứ hai D Đường thẳng AB cắt đường thẳng CD E, đường thẳng AC cắt đường thẳng BD F Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE hai điểm A P Gọi (S1 ) đường tròn qua C tiếp xúc với AB A, (S2 ) đường tròn qua B tiếp xúc với AC A Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Q giao điểm thứ hai (S1 ) (S2 ) Chứng minh tam giác OP Q tam giác vuông (Đề thi chọn đội tuyển HSG quốc gia TP Hà Nội, 2016 - 2017) Lời giải A Q O B M C D E P F Ta có (P E, P F ) = (P E, P A) + (P A, P F ) = (CE, CA) + (BA, BF ) = (CD, CA) + (BA, BD) = (CD, CA) + (CA, CD) = (mod π) Do E, P, F thẳng hàng Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABM với cát tuyến EDC tam giác ACM với cát tuyến F BD ta có EA CB DM · · =1 EB CM DA Suy F A BC DM · · = F C BM DA EA FA = hay BC ∥ EF Khi EB FC ’ = BCD, ’ P’ BD = DEP dẫn đến P B tiếp tuyến đường tròn (O) Chứng minh tương tự ta có P C tiếp tuyến đường trịn (O) Gọi Q hình chiếu O AP O, Q , B, C, P nằm đường trịn đường kính OP Suy ’ = ABC ’ −Q ÷ ’ −Q ’ ’ − AP ’ ABQ BC = ABC P C = ABC C ’ − AEC ’ = BCD ’ = BAD ’ = ABC Mặt khác, BC ∥ EF nên ’ = BCD ’ = CEP ’ = CAP ’ = CAQ ’ BAD Do ’ = CAQ ’ ABQ Suy AC tiếp tuyến (ABQ ) nên (ABQ ) ≡ (S2 ) Chứng minh tương tự ta có (ACQ ) ≡ (S1 ), suy Q ≡ Q Vậy tam giác OP Q vuông Q ! Lời bình Trong tốn này, điểm Q điểm A− Dumpty tam giác ABC Bài toán Cho hai điểm R S phân biệt đường tròn Ω ∆ tiếp tuyến Ω R Gọi R điểm đối xứng R qua S Lấy điểm I cung nhỏ cung RS đường tròn Ω Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ISR cắt đường thẳng ∆ hai điểm phân biệt A điểm cắt gần điểm R Đường thẳng AI cắt Ω điểm thứ hai J K giao điểm thứ hai R I với Ω Chứng minh S điểm R − Dumpty tam giác T AK (Dựa theo đề đề xuất Luxembourg, IMO Shortlisted 2017,G2) Lời giải ’ ‘ Cách Do tứ giác AISR nội tiếp nên AR S = SIJ ‘ = SIJ ‘ = SKJ ’ Do tứ giác IRJS nội tiếp nên JRS ’ ‘ = SKJ ’ Vậy AR S = JRS ‘ = SRA ’ Mặt khác, RA tiếp tuyến đường trịn Ω nên SJR RR RA RA Do ∆ARR ∼ ∆SJR ⇒ = = RJ RS RS ’ ’ ta suy ∆ASR ∼ ∆R JR ⇒ SAR ’ = RR ’ Kết hợp với điều kiện AR S = JRR J Điều phải chứng minh ’ ‘ = SKJ ’ ⇒ RJ ∥ AR Cách Theo cách 1, ta có: AR S = JRS Gọi A điểm đối xứng A qua S Khi tứ giác ARA R hình bình hành với tâm S Từ dễ dàng suy J thuộc đường thẳng RA ÷ ’ = RJS ‘ ta suy điểm A , R , J, S đồng viên Từ A R S = ARS ’ ’ ’ ’ Điều suy JR S = JA S = RA S=R AS Điều phải chứng minh A R I S K J R A ! Lời bình Dễ dàng suy JR tiếp tuyến đường trịn ngoại tiếp tam giác ISR Bài tốn 10 (Iranian Mathematical Olympiad.) Giả sử P điểm nằm tứ giác ABCD cho ’ ’ P ’ ’ ’ ’ BP C = 2BAC, CA = P AD, P DA = P AC ’ ’ Chứng minh P’ BD = |P CA − BCA| Lời giải Kí hiệu (ω1 ), (ω2 ) theo thứ tự đường tròn ngoại tiếp tam giác AP C, AP D Q giao điểm thứ hai P B với đường tròn (ω1 ), DB cắt (ω2 ), AQ theo thứ tự X, Y Giả sử Z điểm thứ hai AB với (ω1 ) ’ ’ ’ ’ Đặt P AD = P CA = β, P DA = P AC = θ ’ = AQB ’ = DBP ’ Suy ( Dễ thấy Y tồn tại, ngược lại AQ ∥ DB, DXP ’ = AXD ’ = AP ’ B ≡ X, ABD D = 1800 − (β + θ) Xét tam giác ABD ta nhận ’ + ADB ’ = 00 , điều xảy A, B, C, D thẳng hàng ( vơ lí) ) BAC Ta có: ’ ’ ’ P QA = P CA = P AD = P’ XD Suy tứ giác P XQY nội tiếp Suy BX · BY = BP · BQ (ω1 ) Q Y (ω2 ) A B Z X P C D Lại có: PB/(ω1 ) = BP · BQ = BZ · BA Suy ra: BX · BY = BZ · BA Điều có nghĩa AXZY nội tiếp ’ = AXY ’ = 1800 − AXD ’ Suy ra: AZY ’ = AP ’ ’ = β + θ Lại có: AXD D = 1800 − (β + θ) Suy AZY ’=P ’ ’ ’ = AZY ’ = β + θ Mặt khác: AZC AC + P CA = β + θ Vì vậy: AZC ’ + ZAY ’ = QAC ’ = BP ’ ’ ⇒ ZAC ’ = ZAY ’=α Do ZAC C = 2BAC Từ suy ∆AZC = ∆AZY ⇒ AC = AY ’ = BY ’ Điều dẫn tới ∆BAC = ∆BAY ⇒ BCA A Vì vậy: ’ = |BQA ’ − BY ’ ’ ’ P’ BD = QBY A| = |P CA − BCA| ! Lời bình Bài tốn ta dễ dàng nhận thấy P điểm A− Dumpty tam giác ADC PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài tập 1.(USA TSTST 2015) Cho tam giác ABC không Gọi Ka , La , Ma theo thứ tự giao điểm BC với phân giác trong, phân giác đường trung tuyến tam giác ứng với góc A Đường tròn ngoại tiếp tam giác AKa La cắt AMa điểm thứ hai Xa Định nghĩa tương tự với Xb , Xc Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Xa Xb Xc nằm đường thẳng Euler tam giác ABC Bài tập 2.(IMO 2010/4, Modified) Cho tam giác ABC với trực tâm H Giả sử P hình chiếu H lên trung tuyến CM tam giác ABC Giao điểm thứ hai AP, BP, CP với đường tròn (ABC) theo thứ tự K, L, M Chứng minh M K = M L Bài tập 3.(USA TST 2008) Cho tam giác ABC với trọng tâm G P điểm di động đoạn thẳng BC Gọi Q, R điểm AC, AB cho P Q ∥ AB, P R ∥ AC Chứng minh P di động BC, đường tròn ngoại tiếp AQR qua ’ = CAX ’ điểm cố định X thỏa mãn BAG Bài tập 4.(EGMO 2016/4) Hai đường trịn ω1 , ω2 có bán kính nhau, cắt hai điểm X1 , X2 Xét đường trịn ω tiếp xúc ngồi với ω1 T1 tiếp xúc với ω2 T2 Chứng minh X1 T1 , X2 T2 cắt điểm nằm đường tròn ω Bài tập 5.(Mathematical Reflections O371) Cho tam giác ABC với AB < AC Gọi D, E chân đường vng góc B, C xuống AC, AB Gọi M, N, P trung điểm BC, M D, M E Gọi S giao điểm N P BC Đường thẳng qua A song song với BC cắt DE T Chứng minh ST tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE Bài tập 6.(EGMO Shortlist 2012/G7) Cho tam giác ABC(AB < AC) nhọn với O tâm ngoại tiếp tam giác Q giao điểm phân giác ngồi góc A với BC P điểm bên ’ ’ = 900 tam giác ABC cho ∆BP A ∼ ∆AP C Chứng minh QP A + OQB Bài tập 7.(Iranian Geometry Olympiad 2014) Tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn ABC(AB < AC) cắt BC P Gọi X điểm OP ’ = 900 Điểm E, F nằm cạnh AB, AC phía so với OP cho AXP ’ = ACX, ’ F’ ’ K, L giao điểm EF với đường tròn ngoại cho EXP XO = ABX tiếp tam giác ABC Chứng minh OP tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác KLX Bài tập Cho P điểm đường đối trung tam giác ABC Gọi O1 , O2 , O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AP B, CAP, ABC Chứng minh AO chia đôi O1 O2 Bài tập Gọi M, N điểm nửa đường trịn đường kính AB, tâm O X giao điểm M N với AB Gọi K giao điểm thứ hai hai đường tròn M BO, N AO Chứng minh XK⊥KO Hết TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Trường Sơn, Điểm Humpty-Dumpty tam giác ứng dụng, Trang 109, Epsilon No14 [2] Anant Mudgal,Gunmay Handa, A Special Point On The Median [3] Tạp chí Tốn học & tuổi trẻ, ,Nhà xuất giáo dục Việt Nam [4] Diễn đàn toán học https://diendantoanhoc.net [5] AoPS Forum https://artofproblemsolving.com [6] Trần Quang Hùng, Mỗi tuần tốn hình học, NXB ĐHQG Hà Nội [7] Nguyễn Văn Linh, 108 tốn hình học sơ cấp, NXB ĐHQG Hà Nội [8] Trần Nam Dũng ( Chủ biên), Các phương pháp giải tốn qua kì thi Olympic [9] Nguyễn Trường Sơn, Định lí điểm Miquel tam giác, Hội thảo khoa học chuyên đề tổ chức Ninh Bình 2019 ... lĩnh vực áp dụng Là nhóm tác giả đề nghị xét cơng nhận sáng kiến: KHAI THÁC TÍNH CHẤT ĐẶC BIỆT CỦA HAI ĐIỂM HUMPTY- DUMPTY TRONG TAM GIÁC Lĩnh vực áp dụng: Giảng dạy hình học trường THCS, THPT Chuyên... đề cập tới tính chất đặc trưng điểm Dumpty Các tính chất coi tập, em học sinh tự chứng minh Tính chất Cho tam giác ABC có QA điểm A− Dumpty Khi đó: 1) QA nằm đường A− đối trung tam giác ABC Khi... PHẦN CÁC ĐIỂM HUMPTY - DUMPTY VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT LIÊN QUAN A ĐỊNH NGHĨA a) Điểm Humpty Cho tam giác ABC Điểm PA nằm tam giác ABC thỏa mãn ÷ ÷ ÷ ÷ P A CB = PA AC, PA BC = PA AB gọi điểm A− Humpty