SKKN ung dung cua BDT

bµi d¹y theo mét tr×nh tù t duy hîp lý , tæ chøc häc sinh häc tËp tÝch cùc, chñ ®éng.. Häc sinh tiÕp thu kiÕn thøc chñ ®éng vµ cã hiÖu qu¶ cao.[r]

céng hoµ x· héi chđ nghÜa ViƯt nam §éc lËp – Tù –H¹nh phóc ==================

sáng kiến

dạy học môn to¸n häc

Họ tên : Nguyễn niệm

Phã HiÖu trëng

Trêng : thcs hång lý Năm học 2006-2007

Tên đề tài:

Phßng giáo dục hng hà Cộng hoà xà hội chủ nghĩa việt nam Trờng thcs tân lễ Độc lËp - Tù do- H¹nh

- *****************

B¶n thành tích cá nhân

Năm học 2006-2007

-Họ tên : Vũ trọng quyền.

Sinh ngµy : 18 /3 /1981

Quê quán : Minh Quang - Vũ Th - Thái Bình. Trình độ chun mơn : Cao đẳng s phạm Tốn - Lớ.

Năm vào ngành : 2003.

I Nhiệm vụ đợc giao

1/ Chuyên môn

- Dạy toán lớp 6B; 9A - Bồi giỏi môn toán lớp 2/ Công tác chủ nhiệm

Chủ nhiệm líp 6B

II Danh hiệu đạt đợc

1/ Giáo viên giỏi cấp huyện năm học 2003 - 2004 2/ Giáo viên giỏi cấp huyện năm học 2004 - 2005 3/ Giáo viên giỏi cấp huyện năm học 2005 2006 4/ Giáo viên giỏi cấp huyện năm học 2006 2007

III Thành tích năm học 2007 - 2008

1/ T tng đaọ đức trị

- Lập trờng t tởng, trị vững vàng, nghiêm túc thực chủ trơng sách Đảng, pháp luật Nhà nớc, quy chế ngành đề

- Có ý thức tham gia đầy đủ vào hoạt động trị, xã hội đất nớc địa phơng, hoàn thành nhiệm vụ đợc giao

- Giữ gìn lối sống sáng lành mạnh, gây dựng mối đoàn kết trí chi bộ, quan

2/ Công tác chuyên môn

- Thực đầy đủ quy chế chuyên môn ngành nh nhà trờng đề - Tìm tịi, học hỏi áp dụng phơng pháp dạy học phơng tiện đại vào học Thực đầy đủ có hiệu chuyên đề giáo án điện tử Phòng nh trờng đề

- Làm tốt công tác bồi giỏi, phụ kém, chất lợng học tập tăng

- Chỳ ý rốn luyn ý thức đạo đức kỷ luật ý thức tự quản tự phấn đấu vơn lên học tập, rèn luyện học sinh

- Chất lợng công việc c giao t hiu qu

3/ Các công t¸c kh¸c

- Chất lợng môn phụ trách đạt kết cao

- Kết bồi giỏi toán 6: Đạt HSG cấp huyện tổng số học sinh dự thi đó:

+ 01 em đạt giải + 01 em đạt giải nhì + 05 em đạt giải ba

- Thi giáo viên dạy giỏi mơn tốn (giáo án điện tử ) đạt: Loại Giỏi: 18,5điểm

Tân Lễ, ngày 20 tháng 05 năm 2008

Xác nhận đề nghị nhà trờng Ngời viết

ứng dụng bất đẳng thức

trong giảI phơng trình

A t vấn đề Giới thiệu

Từ yêu cầu đổi phơng pháp dạy học mơn Tốn tích cực hố hoạt động học tập học sinh , khơi dậy phát triển khả tự học nhằm hình thành cho học sinh t tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm tin, hứng thú học tập cho học sinh

Dạy học toán thực chất dạy hoạt động toán học Học sinh - chủ thể hoạt động dạy học - cần phải đợc hút vào hoạt động học tập giáo viên tổ chức đạo, thơng qua học sinh tự lực khám phá điều cha biết thụ động tiếp thu tri thức đặt sẵn

võa gi¶ng vừa luyện kết hợp với ôn tập hệ thống hoá tõng bíc kiÕn thøc, chó ý rÌn lun c¸c kÜ

Qua vic ging dy chng trỡnh Đại số lớp 9, thấy phần "Bất đẳng thức" phần kiến thức quan trọng có nhiều ứng dụng, cần khai thác phát triển cho học sinh nhiều hơn, tạo cho học sinh khả nâng cao ứng dụng vào giải toán nh giải phơng trình, hệ phơng trình, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất…

Qua thực tế giảng dạy kinh nghiệm thân , xin trình bày kinh nghiệm : “ứng dụng bất đẳng thức giải phơng trình” giảng dạy, luyện tập , ôn tập học sinh lớp

2 Thùc tÕ + Víi häc sinh

Để giải tốn nói chung, đơng nhiên em cần phải biết vận dụng linh hoạt, tổng hợp kiến thức mình, kiến thức phức tạp đợc hình thành từ kiến thức đơn giản nhất, kiến thức bản, để giải toán khó đơi cần cần phải sử dụng đến kiến thức Tuy nhiên trình học, em gặp tốn lạ , khơng bình th“ ” “ ờng , tốn khơng thể giải cách áp” dụng trực tiếp quy tắc, phơng pháp quen thuộc ( hay cịn đợc gọi khơng mẫu mực) Những tốn có tác dụng khơng nhỏ việc rèn luyện t toán học thờng thử thách học sinh kì thi học sinh giỏi, thi vào lớp 10 THPT,…Khi gặp toán , em th -ờng lúng túng, phơng hớng việc tìm lời giải

Qua điều tra 40 học sinh lớp 9A Trờng THCS Tân Lễ, thấy rằng: 38/40 học sinh (=95%) nắm đợc nội dung, cách chứng minh hai bất đẳng thức: x2 ≥ x + y ≥ x + y  Nhng sau giáo viên cho học sinh giải phơng trình có sử dụng bất đẳng thức để giải có số em giải đợc phơng trình dạng đơn giản, cho phơng trình dạng tổng quát hơn, khác dạng (song phơng pháp làm) em khơng biết cách giải

+ Với giáo viên

rừ hn v BĐT, khắc phục bi quan, t tởng chán nản gặp loại tốn có vận dụng bất đẳng thức, từ rèn luyện nâng cao khả t sáng tạo học sinh, kỹ giải tập học sinh đặc biệt dạng toán giải phơng trình khơng mẫu mực

3 Phạm vi đề tài

Trong phạm vi viết này, muốn hớng dẫn em học sinh lớp biết cách giải số phơng trình nhờ ứng dụng bất đẳng thức

B Néi dung I Chuẩn bị

Trong trình giảng dạy, bám sát kiến thức , trọng tâm lu ý học sinh:

- Nm vng định nghĩa bất đẳng thức

- Nắm vững tính chất bất đẳng thức

- Có kĩ vận dụng bất đẳng thức quen thuộc vào giải phơng trình - Biết trình bày tốn giải phơng trình

II Híng thùc hiƯn Ph ơng pháp chung:

- Đối với phơng trình ẩn:

+) Biến đổi phơng trình dạng h(x) = a ( với a số) mà ta ln có h(x) ≥ a h(x) ≤ a nghiệm phơng trình giá trị x làm cho dấu đẳng thức xảy

+) Biến đổi phơng trình dạng f(x) = g(x) mà f(x) ≥ m g(x) ≤ m ( với m số)

Nghiệm phơng trình giá trị x thoả mãn đồng thời f(x) = m g(x) = m

+) áp dụng bất đẳng thức quen thuộc:

Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối: a + b ³a+b

Đẳng thức xảy ab ≥ Bất đẳng thức Côsi:

Với a1, a2, , an không âm ta có:

Dấu = xảy a“ ” = a2 = = an Bất đẳng thức Bunhiacơpxki

Víi: a1, a2, , an vµ b1, b2, , bn ta cã:

(a1b1 + a2b2 + + aabn)2    

2 2 2

a + a + + an b + b + + bn

1 2



Dấu = xảy khi bn

n a b a b a   

-Đối với phơng trình nhiều ẩn: phơng pháp tơng tự nh phơng trình ẩn

ứ ng dơng thĨ:

ứng dụng bất đẳng thức A2 ≥ ()

Đây bất đẳng thức bản, nhng lại cơng cụ quan trọng để giải tốn toán sau cho ta thấy tầm quan trọng bất đẳng thức A2≥ với A

Bài toán 1:

Giải phơng trình:

2x+2

+ 3x 6x 2.3x

 

Bài giải:

Ta cã:

2x+2

+ 3x  6x   7 2.3x



2x+2

- 2.3x +1+ 3(x 2x 1)

   



1 2

(3x -1) + 3(x  1)  4 2 (1)

Ta thÊy

1

(3x -1)

 vµ 3(x2  1)2 4



1 2

(3x -1) + 3(x  1)  4

nªn

x+1 x+1

2

3 -1= =

(1)Û Û Û x = -1

(x -1)(x +1) = -1= x           

x + x 2 x Bài giải: Điều kiện x

Ta cã:  

2

2

Û x -1 - x -1 + 1+ x - =0 Û

( x -1 - 1) + x - = x -1 - 1=

Û (Do( x -1 - 1) ³ 0; x - ³ 0) x - =

  

   



 x = (TM§K)

Vậy phơng trình cho có nghiệm x =

Nhận xét: toán này, ta vận dụng thêm bất đẳng thức A ³ 0 với A ≥ 0. Nhờ bất đẳng thức này, ta có toỏn khú sau:

Bài toán 3: ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Hà Tĩnh năm học 2006-2007) Giải phơng trình:

( x + + 3)( x + + x - 7) = 8x (1)

Bài giải: §iỊu kiƯn x ≥ 7 Ta cã:

2

(1) ( x + - 3)( x + + 3)( x + + x - 7) = 8x( x + - 3) x( x + + x - 7) = 8x( x + - 3)

x + + x - = 8( x + - 3) x + + x - x + 24 (x + x + 16) + x - ( x + 4) + x -

x + x -

  

   

   

  

  

  

 

(V× ( x +  4)2 0; x - 0 )  x = 7(TM§K)

Nhận xét: Nếu ta kết hợp bất đẳng thức () bất đẳng thức A + m ³2 ³m với m là số không âm đẳng thức xảy A = 0, ta có tốn sau:

Bài toán 4: Giải phơng trình:

2 2

3x +6x +7 + 5x +10x +14 =4 -2x - x

(1) Bài giải:

(1) 

2 2

3(x +1) 4 + 5(x +1) 9 =5 -(x1)



2 2 2

3(x +1) 2 + 5(x +1) 3 =5 -(x1)

Mµ

2 2

3(x +1) 2 + 5(x +1) 3  2 =5

vµ – (x +1)2 ≤ Nªn ta cã (x + 1)2 =  x + =

 x = -1

Vậy phơng trình cho có nghiệm x = -1 Bi toỏn 5:

Giải phơng trình: 2008x2 + y2 - 2xy - 4014x + 2007 = 0 Híng dÉn:

Đây phơng trình nhiều ẩn, ta biến đổi vế trái thành tổng bình phơng biểu thức cịn vế phải 0, áp dụng bất đẳng thức ()

Bµi gi¶i:

Ta cã: 2008x2 + y2 - 2xy - 4014x + 2007 =

 (2007x2 - 4014x+ 2007) + (x2 - 2xy + y2 )= 0  2007(x - 1)2 + (x - y)2 = (1) V× 2007(x - 1)2 ≥  x vµ (x - y)2 ≥  x, y nªn

   

2

2

2007 x -1 = x -1= 0

(1)Û Û Û x = y =

x - y = x - y =

 



    

 

Vậy phơng trình cho có nghiệm x = y = Bài toán 6: Giải phơng trình:

(16x4 + 1)(y4 + 1) = 16x2y2 (1) Bài giải: Phơng trình (1) tơng đơng với

 (4x2y2 - 1)2 + (4x2 - y2)2 = (2) Vì (4x2y2 - 1)2 x,y (4x2 – y2)2 ≥  x, y nªn

2

2 2

1 4x y -1= 16x = x =±

(2)Û Û Û

4x - y = y = 4x y =±1



 

  

     

 



Vậy có tất cặp số (x , y) nghiệm phơng trình (1)

1 1

( ;1) ; ( ;1) ; ( ; 1) ; ( ; 1)    

Nhận xét: ở toán trên, ta đ tách hạng tử đa thức để đã a đẳng thức bình phơng tổng ( hiệu) Tuy nhiên, số toán, việc tách nhóm hạng tử để làm xuất đẳng thức lại khó, ví d nh bi toỏn sau:

Bài toán 7: Giải phơng trình:

2x2 + 2xy +y2 -2x + 2y + = Bài giải: Phơng trình cho tơng đơng với

(x2 +y2 +1 +2xy + 2x + 2y) + (x2 – 4x + 4) =  (x + y + 1)2 + (x - 2)2 = (1)

V× (x + y + 1)2 ≥  x,y vµ (x - 2)2 ≥  x nªn

x + y + = x =±2

(1)Û Û

x - = y =± -

 

   

 

Vậy phơng trình cho có nghiệm (x;y) = (2 ; 3)

ứng dụng bất đẳng thức a + b ³a+b ()

Bài toán 8:

Giải phơng trình:

2

x  2007x2006  x  2007x 2008 4014

(1) Bài giải:

Ta có: (1)

2 2

x  2007x2006 -x 2007x2008 x  2007x2006 (-x 2007x2008)  (x2 - 2007x +2006)(-x2 + 2007x + 2008) ≥ (¸p dơng B§T ())

 -1≤ x ≤ hc 2006≤ x ≤ 2008

Vậy nghiệm phơng trình cho là: -1≤ x ≤ 2006≤ x ≤ 2008 Bài toán 9:

Giải phơng trình: x x   x 8 x   1

Hớng dẫn: Nếu ta để ý kỹ biểu thức dới dấu lớn bình phơng biểu

thức, sau sử dụng đẳng thc

2

A A

áp dụng BĐT () Bài giải: Điều kiện x 1

Ta cã: x 3 x   x 8 x  



2

( x  2)  ( x  3) 

 x  1  x  1 1

 x  2  3 x  x  3   x 

 ( x  )(3  x  1) 0

 2 x  3   5 x 10 (TMĐK) Vậy nghiệm phơng trình cho là: 5≤ x ≤ 10

3 ứng dụng bất đẳng thức Côsi, Bunhiacôpxki

Bài toán 10:

Giải phơng trình:

2 2

3 3,5 ( 2)( 5)

x  x x x x x Bài giải:

Ta cã: x2 - 2x +2 =(x-1)2 +1 > 0 x2 - 4x +5 =(x-2)2 +1 > 0

Mµ

2

2 ( 2) ( 5)

3 3,5

2

x x x x

x  x      

2

2

( 2) ( 5)

( 2)( 5)

x x x x

x x x x

    

    

Hay

2 2

2 3,5 ( 2)( 5)

x  x  x  x x  x DÊu = x¶y “ ”  x2 - 2x +2 = x2 - 4x +5  x = 1,5

Vậy nghiệm phơng trình cho là: x = 1,5

Bài toán 11:

Giải phơng trình:

2 2 2

13[(x  3x6) (x  2x7) ] (5 x  12x33) (1)

Híng dÉn:

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho số

(a2 + b2)(c2 + d2) ≥ (ac + bd)2 DÊu = x¶y “ ”  ad = bc

Víi a = 2; b = 3; c = x2 – 3x + 6; d = x2 2x + 7 Bài giải:

Ta có phơng trình (1) tơng đơng với

2

2 2 2 2

(2 3 )[(x  3x6) (x  2x7) ]2(x  3x6) 3( x  2x7) (2) áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho số

2

2 2 2 2

(2 3 )[(x  3x6) (x  2x7) ]2(x  3x6) 3( x  2x7) Do phơng trình (2)  3(x2 - 3x + 6) = 2(x2 – 2x + 7)

 x2 - 5x + = 0  x1 = 1; x2 =

Vậy nghiệm phơng trình cho là: x1 = 1; x2 = Bi toỏn 12:

Giải phơng trình: 2007x2008 -2008x2007 +1 = (1) Bài giải:

Ta có phơng trình (1) tơng đơng với

2007x2008 +1 = 2008x2007

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2008 số dơng gồm số 2007 số x2008 ta có:

 2007

2008 2008 2008 2008 2008 2008

2007x  1 x          x  x  1 2008 x

2007 s/h

=2008x2007 Đẳng thức xảy x2008 =1 mà x > nên x = 1

Vậy phơng trình có nghiệm x =

Trên số toán giải phơng trình cách áp dụng bất đẳng thức Đặc biệt lu ý với em học sinh, muốn giải đợc tốn khó khơng nên coi nhẹ kiến thức Trớc kết thúc viết, xin đa số tập tơng tự để em luyện tập

Bµi 1: Giải phơng trình: a)

2

4 2

x  x  x  (TS lớp 10-THPT chuyên Thái Bình 2006)

b) 2 15 18 11 x x x x x x        c)

2 6 11 6 13 4 5 3 2

x  x  x  x  x  x  

d) 2 16 x y x  

Bài 2:(Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT- chuyên ngoại ngữ Hà Nội năm học 2005)

Tìm cặp số (x;y) cho y nhỏ nhÊt tho¶ m·n: x2 + 5y2 + 2y -4xy -3 =

Bài 3: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: a) x2 -25 = y(y + 6)

b) x2 + x + = y2

c) 3x2 - 12y2 = 2x + 664 Bài 4: Giải phơng tr×nh:

a)

2

6 11

x  x  x    x b)

2

10 27

c)

2

2 10 29

x  x  x  x  d) 42 x4 x2 3x3

III Kết đạt đợc

Việc khai thác đa ứng dụng bất đẳng thức vào giải phơng trình trình giảng dạy mơn Tốn lớp nh , thấy học sinh nắm đợc kiến thức vận dụng vào làm tập cách chủ động, tích cực đạt kết cao Rèn luyện đợc cho học sinh kỹ giải loại toán đặc biệt rèn luyện học sinh khả t tốn học, hình thành phơng pháp giải tốn bản.Từ tạo hứng thú cho học sinh học tập môn, nâng cao khả tự học, tự nghiên cứu toán học , nâng cao lực giải tình thực tế tạo

Trong trình thực theo sáng kiến kinh nghiệm trên, thờng xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu học sinh giai đoạn:

- Đợt 1: Kiểm tra kiến thức bất đẳng thức

- Đợt 2: Kiểm tra kỹ giải phơng trình có ứng dụng bất đẳng thức tập đơn giản

- Đợt 3: Kiểm tra khả giải phơng trình có ứng dụng bất đẳng thức tập nâng cao

- Trong đợt có khảo sát trớc sau thực đề tài Kết thu đợc nh sau:

Sè TT

Sè HS tham dù kiÓm tra

Số HS đạt từ điểm trở lên Số % tăng so với tr-ớc thực hin

ti

Trớc Sau

Đợt 40 20/40 = 50% 35/40 = 87,5% 37,5%

Đợt 40 18/40 =45 % 34/40 = 85% 40%

Đợt 40 4/40 =10% 17/40 = 42,5% 32,5%

Những học rút ra:

bài dạy theo trình tự t hợp lý , tổ chức học sinh học tập tích cực, chủ động Biết tổng hợp , khai thác , phát triển từ vấn đề

Trong giai đoạn nay, việc thực đổi chơng trình giáo dục phổ thơng nhằm đào tạo ngời động sáng tạo đáp ứng yêu cầu thời đại mới, thời đại cơng nghiệp hố , đại hoá đất n ớc.Mỗi ngời giáo viên cần nắm vững chơng trình đổi mới, nghiên cứu kỹ chơng trình tích cực đổi phơng pháp dạy học, lấy học sinh làm nhân vật trung tâm, tổ chức hớng dẫn học sinh chủ động lĩnh hội kiến thức

C KÕt luËn

Trên kinh nghiệm nhỏ đợc đúc rút từ kinh nghiệm thân, học hỏi đồng nghiệp, từ đặc điểm chơng trình sách giáo khoa thực trạng học sinh đồng thời dựa đặc điểm môn học

Kinh nghiệm mang lại cho tơi kết tốt q trình giảng dạy, ôn luyện thi cho học sinh đặc biệt ôn thi vào lớp 10- THPT Học sinh tiếp thu kiến thức chủ động có hiệu cao Từ tạo nên kết kiểm tra chất lợng thi tốt

Tơi mong có đóng góp đồng nghiệp bên chun mơn để sáng kiến kinh nghiệm đạt kết cao

Ngêi viÕt:

Nhận xét đánh giá Ban giám hiệu Trờng THCS TÂN Lễ:

……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………

……… ……… ……… ……… ………

……… Nhận xét , đánh giá hội đồng thi đua cấp huyện:

bá phÇn díi

Bài 1: Tìm x để biểu thức y=x

+x+4

x2+x+2 nhận giá trị nguyên học sinh đọc lớt qua thấy thật dễ ?

Rất nhiều hc sinh ó gii: y=1+x2

+x+2 yêu cầu (x2 + x + 2) ớc

Mà quên x R biểu thức x2 + x + lúc có

giá trị nguyên

õy x2 + x + > nên em thử dùng miền giá trị để xét xem y có th nhn

những giá trị nguyên nhé! Giải : y=x

2 +x+4 x2+x+2=1+

2

x2+x+2 nhận giá trị nguyên

2

x2+x+2

nhận giá trị nguyên Mà x2 + x + ≥

4 => 0<

x2+x+2≤

8

VËy giá trị nguyên x2

+x+2

x2

+x+2=1 => x2 + x + =

=> x1 = ; x2 = -

Khi y1 = y2 = + =

Vậy giá trị cần tìm x : , -1 giá trị nguyên y

Bµi 2: Cho biĨu thøc C = (√xx+1−√x3+1).√xx++11 Rót gän biĨu thøc

Tìm x để C nhận giá trị nguyên

Khi C = - x4+1 nhận giá trị nguyên x4+1 nhận giá trị nguyên Mà x nên

0 < x4+1 giá trị nguyên cã cđa x4+1 lµ 1, 2, 3,

*) x4+1 =1 ⇒ x =3 C=0 *) x4+1 =2 ⇒ x = C = -1 *) x4+1 =3 ⇒ x = 13 C = -2 *) x4+1 = ⇒ x = C = -3

VËy giá trị nguyên C 0, -1,-2, -3 giá trị tơng ứng x 3, 1, 13 ,

Ngoài việc tìm giá trị nguyên biểu thức phải tìm miền giá trị hàm số giúp cho tìm cực trị biểu thức

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nÕu cã) cđa hµm sè: y=x42x

+1

Giải: Giả sử y0 giá trị hàm số, tồn giá trị x để

y0 =

4x

x2+1 phơng trình y0x2 - 4x +y0 = cã nghiÖm

*)Xét y0=0 phơng trình cã nghiÖm x =

*)XÐt y0 phơng trình có nghiệm

'

=4 -y02

⇔ -2 y0≤2 (y0 0)

Vậy giá trị y để phơng trình có nghiệm -2 y ≤2

⇒ ymin = -2, ymax=2

Trớc kết thúc bàiviết đa số tập để em luyện tập:

Bài 1: Tìm x Z để biểu thức nhận giá trị nguyên A= x+2

x −3

C=2x

+5x+4 x+2

E= x

+4 x2− x+1

B=2xx2+1 +3

D=2x −1 x+3

F= x

−5x+4

2x2+3x −5 Bài 2: Tìm giá trị x để biểu thức nhận giá trị nguyên: a) y=√x −1

√x+3

b) y=x

− x+1 x2+x+1

b) y=1−2√x

2√x+3

d) y=3x

− x+1

Bµi 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thøc a) y=2x

2 −1 1− x2

b) y=x −x21

c) y=x

+x+1

1+2x

d) y=x

−2x+2 x2+1

III KÕt lu©n :

Với suy nghĩ thực nh hớng dẫn học sinh lớp thấy em hào hứng say mê giải tập dạng tơng tự cách linh hoạt sáng tạo Trớc toán giá trị nguyên biểu thức , em khơng tỏ lúng túng nh trớc mà bình tĩnh biến đổi biểu thức sử dụng thành thạo phơng pháp học để làm

Trên số trao đổi nhỏ tơi với đồng nghiệp tốn giá trị nguyên biểu thức Rất mong góp ý , giúp đỡ từ đồng nghiệp để tơi hồn thiện có nhiều kinh nghiệm giảng dy

Tôi xin chân thành cảm ơn

Tháng 4/2006

NhËn xÐt cđa ban gi¸m hiƯu Ngêi viÕt :