Chuyên đề dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân - Nguyễn Bảo Vương - TOANMATH.com

Trong mặt mặt phẳng cho n điểm rời nhau (n > 2) tất cả không nằm trên một đường thẳng.. Chứng![r]

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học: 2020-2021

Lý thuyết Phương pháp quy nạp toán học

Để chứng minh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n* với n mà khơng thể thử trực tiếp làm sau:

Bước Kiểm tra mệnh đề với n1

Bước Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên nk 1 (gọi giả thiết quy nạp), chứng minh với nk1

Đó phương pháp quy nạp tốn học, hay cịn gọi tắt phương pháp quy nạp

Một cách đơn giản, ta hình dung sau: Mệnh đề n1 nên theo kết bước 2, với n  1 Vì với n2 nên lại theo kết bước 2, với n  2 3, Bằng cách ấy, ta khẳng định mệnh đề với số tự nhiên n*.

2 Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề với số tự nhiên n p (p số tự nhiên) thì:

 Bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề với n p;

 Bước 2, giả thiết mệnh đề với số tự nhiên nk p phải chứng minh với nk1

DẠNG: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC, TÍNH CHIA HẾT, HÌNH HỌC…

A Phương pháp giải

Giả sử cần chứng minh đẳng thức ( )P n Q n( ) (hoặc ( )P n Q n( )) với  n n0, n0 ta thực bước sau:

Bước 1: Tính P n( ), ( )0 Q n0 chứng minh P n( )0 Q n( )0 Bước 2: Giả sử P k( )Q k( ); k,kn0, ta cần chứng minh

( 1) ( 1) P k Q k B Bài tập tự luận

Câu Chứng với số tự nhiên n1 ta ln có: ( 1) n n

n 

    

Chương

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu Chứng minh với số tự nhiên n1 ta ln có: 1 2    n 1 n2

Câu Chứng minh với  n 1, ta có bất đẳng thức: 1.3.5 2 1

2.4.6.2 n

n n

 



Câu Chứng minh với    n 1, x ta có bất đẳng thức:

2 1

( 1)

1

n n n

n

x x x

x

 

      

  

Đẳng thức xảy

ra nào?

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Câu Cho hàm số f :, n2là số nguyên Chứng minh

( ) ( )

,

2

f x f y x y

f x y

   

    

 

(1)thìta có

1 2

( ) ( ) ( n) n

f x f x f x x x x

f

n n

       

  

 

0 i x

  , i1,n (2)

Câu Chứng minh với số tự nhiên n1, ta có

a 12 22 ( 1)2 ( 1)(2 1)

n n n

n n  

     

b 1 22 3 3 3n 4.3n

n n

    

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu

a Chứng minh với số tự nhiên n1 ta có:

2 2 2 cos 2n

 

      (n dấu căn)

b Chứng minh đẳng thức

( 1) sin sin

2

sin sin sin

sin

nx n x

x x nx

x 

   với xk2với n1

Câu Chứng minh với n1 ta có bất đẳng thức:

sinnx nsinx  x 

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Câu

a Chứng minh với số tự nhiên n1, ta có : 1 n n

 

 

 

 

b.3n 3n1 với số tự nhiên n2; c

 

2.4.6.2

2 1.3.5

n

n

n   với số tự nhiên n1;

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 10 Cho hàm số f xác định với x thoả mãn điều kiện: (f xy) f x f y( ) ( ), x y, (*) Chứng minh với số thực x số tự nhiên n ta có:  

2

n n x f x f 

 

 

Câu 11 Cho n số tự nhiên dương Chứng minh rằng: 16 – 15 –1 225n

n

a  n 

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Câu 12 Chứng minh với số tự nhiên n1 ( )A n 7n3n1 ln chia hết cho

Câu 13 Cho n số tự nhiên dương Chứng minh rằng:  1 2 3 3  3n

n

B  n n n  n 

Câu 14 Trong mặt mặt phẳng cho n điểm rời (n > 2) tất không nằm đường thẳng Chứng

minh tất đường thẳng nối hai điểm điểm cho tạo số đường thẳng khác không nhỏ n

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 15 Chứng minh tổng n – giác lồi (n3) (n2)1800

Câu 16

a Chứng minh với  n 2, ta ln cóann1n2  n n  chia hết cho 2n b Cho ,a b nghiệm phương trình x227x140

Đặt S n anbn

Chứng minh với số nguyên dương n ( )S n số nguyên không chia hết cho 715

c Cho hàm số f : thỏa (1) 1, (2)f  f 2 (f n2)2 (f n1) f n( ) Chứng minh rằng: f2(n1) f n( 2) ( )f n  ( 1)n

d Cho pn số nguyên tố thứ n Chứng minh rằng:

2 n  pn

e Chứng minh số tự nhiên khơng vượt qua !n biểu diễn thành tổng không n ước số đôi khác !n

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 17 Gọi x x1, 2 hai nghiệm phương trình:x26x 1 0 Đặt

1 n n n

a x x Chứng minh rằng: a.an 6an1an2  n

b.an số nguyên an không chia hết cho với n1

Câu 18

a Trong không gian cho n mặt phẳng phân biệt (n1), ba mặt phẳng ln cắt khơng có bốn mặt phẳng có điểm chung Hỏi n mặt phẳng chia không gian thành miền?

b Cho n đường thẳng nằm mặt phẳng đóhai đường thẳng ln cắt khơng có ba đường thẳng đồng quy Chứng minh n đường thẳng chia mặt phẳng thành

2 2 n  n

miền

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Câu 19

a Cho , , , ,a b c d m số tự nhiên cho ad, (b1)c, ab a c  chia hết cho m Chứng minh xn a b ncnd chia hết cho m với số tự nhiên n

b Chứng minh từ n1 số 2n số tự nhiên ln tìm hai số bội

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 C Bài tập trắc nghiệm

Câu Một học sinh chứng minh mệnh đề ''8n1 chia hết cho *

7,  n ''  * sau:  Giả sử  * với nk, tức 8k 1 chia hết cho

 Ta có: 8k1 1 8 k 17

, kết hợp với giả thiết 8k1

chia hết suy

8k 1 chia hết cho Vậy đẳng thức  * với n* Khẳng định sau đúng?

A Học sinh chứng minh

B Học sinh chứng minh sai khơng có giả thiết qui nạp C Học sinh chứng minh sai khơng dùng giả thiết qui nạp

D Học sinh không kiểm tra bước (bước sở) phương pháp qui nạp

Câu Cho

 

1 1

1 2 3 n

S

n n

    

    với

*.

n Mệnh đề sau đúng? A 3

12

S  B 2

6

S  C 2

3

S  D 3

4 S  Câu Cho

 

1 1

1 2 3 n

S

n n

    

    với

*.

n Mệnh đề sau đúng? A Sn n

n 

 B

1 n n S n   C n n S n    D n n S n    Câu Cho

   

1 1

1 3 2 n

S

n n

   

     với

*

n Mệnh đề sau đúng?

A

2 n n S n  

 B n

n S

n 

 C n

n S n   D n n S n    Câu Cho 12 12 12

2 n P n                     

với n2 n Mệnh đề sau đúng? A

2 n P n    B n P n 

 C P n

n 

 D

2 n P n   Câu Với n*, hệ thức sau sai?

A 1  1 n n

n 

   

B 1    2n1n2 C 12 22  2 1

6

n n n

n  

   

D 22 42 62  2 2  2 1

n n n

n  

   

Câu Xét hai mệnh đề sau:

I) Với n*, số n33n25n chia hết cho II) Với n*, ta có 1 13

1 2 24

n n   n  Mệnh đề đúng?

A Chỉ I B Chỉ II C Khơng có D Cả I II Câu Với n*, rút gọn biểu thức S 1.4 2.7 3.10    n3n1

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 C Sn n 1 D S2n n 1

Câu Kí hiệu   * ! 2.1,

k k k  k  Với *

n , đặt Sn 1.1! 2.2!   n n ! Mệnh đề đúng?

A Sn 2 !n B Snn1 ! 1 C Sn n1 ! D Sn n1 ! 1 Câu 10 Với n*, đặt 2  2

1 n

T      n 2  2

2 n

M      n Mệnh đề đúng?

A

2 n

n

T n

M n

 

 B

4 n

n

T n

M n

 

 C

8 1 n

n

T n

M n

 

 D

2 1 n

n

T n

M n

 

 Câu 11 Tìm số nguyên dương p nhỏ để 2n 2n1 với số nguyên n p

A p5 B p3 C p4 D p2 Câu 12 Tìm tất giá trị n*sao cho 2n n2

A n5 B n1 n6 C n7 D n1 n5 Câu 13 Với số nguyên dương n, ta có:

   

1 1

2.5 5.8 3

an b

n n cn



   

   , , ,a b c số ngun Tính giá trị biểu thức 2

T ab bc ca

A T 3 B T 6 C T 43 D T 42 Câu 14 Với số nguyên dương n2, ta có: 1 1 12

4

an

n bn



     

   

     

      , ,a b số nguyên Tính giá trị biểu thức 2

T a b

A P5 B P9 C P20 D P36

Câu 15 Biết 1323 n3an4bn3cn2dn e , n * Tính giá trị biểu thức M a b c  de

A M 4 B M 1 C

M  D

2 M 

Câu 16 Biết số nguyên dương n, ta có 1.2 2.3   n n 1a n1 3b n1 2c n1 d1

 

2 2

1.2 2.5 3.8    n 3n1 a n b n c n d Tính giá trị biểu thức 2 2

T a a b b c c d d

A T 2 B T 1 C

M  D

3 T  Câu 17 Biết 1k 2k  nk, ,n k số nguyên dương Xét mệnh đề sau:

 

1

1 n n

S   , 2  2 1

n n n

S    ,  

2

3

1 n n

S       

2

1 3 30

n n n n n

S     

Số mệnh đề mệnh đề nói là:

A 4 B C 2 D 3

Câu 1, thấy có   2

3

1 n n

S   sai

Câu 18 Xét Câu toán: “Kiểm nghiệm với số nguyên dương n bất đẳng thức n! 2 n1” Một học sinh trình bày lời giải Câu toán bước sau:

Bước 1: Với n1, ta có: ! 1! 1n   2n121 1 20 1 Vậy n! 2 n1 Bước : Giả sử bất đẳng thức với nk1, tức ta có k! 2 k1

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Bước : Ta có k1 ! k1 ! 2.2k  k12k Vậy n! 2 n1 với số nguyên dương n Chứng minh hay sai, sai sai từ bước ?

A Đúng B Sai từ bước C Sai từ bước D Sai từ bước

Câu 19 Biết

   

2

1 1

1.2.3 2.3.4 16

an bn

n n n cn dn



   

    , , , ,a b c d n số nguyên dương Tính giá trị biểu thức T a c b d   

là :

A T 75 B T 364 C T 300 D T 256

Câu 20 Tam giác ABClà tam giác có độ dài cạnh Gọi A B C1, 1, 1lần lượtlà trung điểm , ,

BC CA AB Gọi A B C2, 2, 2lần lượtlà trung điểm B C C A A B1 1, 1 1, 1 1 …Gọi A B Cn, n, nlần lượtlà trung điểm B Cn1 n1,Cn1An1,A Bn1 n1 Tính diện tích tam giác A B Cn n n?

A

4n B

1

3n C

1

2n D

3

n      

Câu 21 Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh Gọi A B C D1, 1, 1, 1lần lượtlà trung điểm , , ,

AC BC CD DA Gọi A B C D2, 2, 2, 2lần lượtlà trung điểm A B B C C D D A1 1, 1 1, 1 1, 1 1 …Gọi , , ,

n n n n

A B C D lần lượtlà trung điểm A Bn1 n1,B Cn1 n1,Cn1Dn1,Dn1An1 Tính diện tích tứ giác n n n n

A B C D ? A

4n B

1

3n C

1

2n D

3

n      

Câu 22 Trên mặt phẳng cho n đường trịn phân biệt, đơi cắt khơng có ba đường trịn giao điểm Các đường tròn chia mặt phẳng thành 92 miền rời Tìm n

A 10 B 12 C 9 D 11

Câu 23 Sn (n1)(n2)(n3) (n n )luôn chia hết cho

A 2n B 3n C 4n D 2n1 Câu 24 Có giá trị nguyên dương ,n n100để    

2 3

1

n n

n u

  

  số phương?

A 50 B 30 C 49 D 49

Câu 25 Trên mặt phẳng cho n đường thẳng phân biệt qua điểm phân biệt, chia mặt phẳng thành 100 phần rời Tìm n

A 50 B 40 C 20 D 25

Câu 26 Bài toán chứng minh A4n15n1 chia hết cho phương pháp thích hợp nhất?

A Đồng dư thức B Quy nạp

C Tách hạng tử D Sử dụng dấu hiệu chia hết cho

Câu 27 Chứng minh.B7.22n232n1 5 (1) với n số nguyên dương Một học sinh giải sau: Bước 1: Xét với n1 ta có B105

Bước 2: Giả sử (1) với nk (k,k1), đó: Bk 7.22k232k15 Bước 3: Chứng minh (1) với nk1, hay ta cần chứng minh

2( 1) 2( 1)

1 7.2

k k

k

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Thật 2( 1) 2( 1)

1 7.2

k k

k

B    

   

2 2 2 7.2 k  k 

 

2 2 7.2 k 3k.9

 

2 2

4(7.2 k.4 3k ) 5.3 k

   5

2 5 5.3 k

k

B 

   (Bk5) Vậy Bk15

Bước 4: VậyB7.22n232n15 với n số nguyên dương Lập luận đến bước nào?

A Bước B Bước C Bước D Bước

Câu 28 Cho C7n3n1,Trong quy trình chứng minh C9 theo phương pháp quy nạp, giá trị a biểu thức Ck17.Ck a k(2 1) là:

A 9 B 0 C 9 D 18

Câu 29 Với số nguyên dương n Sn n311n chia hết cho số sau đây?

A 6 B 4 C 9 D 12

Câu 30 Với số nguyên dương n 3 5 3 n

S n  n  n chia hết cho số sau đây?

A B 4 C D 7

Câu 31 Với số nguyên dương n, a số nguyên dương cho trước, Da2n1 chia hết cho: A a B a21 C a2 D a21 Câu 32 Cho E 4ka k 1, với a số tự nhiên Giá tma1rị nhỏ a để E9 là:

A 0 B 3 C 6 D 9

Câu 33 Với số nguyên dương n 4n 15 n

S   n chia hết cho số sau đây?

A 4 B 6 C D 7

Câu 34 Với nN*, tổng Sn122232 n2 thu gọn có dạng biểu thức sau đây? A  1 2

6 n n n

B  2 1

n n n

C  2 1 n n n

D  

1 n n

Câu 35 Với số nguyên dương n 42n 32n 7 n

S    chia hết cho số sau đây? A 2 33 B 2 3.72 C 2.3 72 D 2.3.72 Câu 36 Với n *

 biểu thức S n    1 n A  1

2 n n

B n n 1 C  1 n n

D  1 2 n n n

Câu 37 Biết với số nguyên dương n ta có 1    nan2bn Tính a

b

A 2 B C 3 D 6

Câu 38 Tổng góc đa giác lồi n cạnh n3 là:

A n.1800 B n1 180 C n2 180 0 D n3 180 Câu 39 Mệnh đề mệnh đề đúng?

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 40 Với nN*, tổng Sn 1.2 2.3 3.4    n n. 1 thu gọn có dạng biểu thức sau đây?

A.  1 2 3

n n n n

B.  1 2

3 n n n

C.  1 2 n n n

D  

3 n n

Câu 41 Với nN*, tổng Sn 123252 2n12 thu gọn có dạng biểu thức sau đây? A  

2 1 n n 

B  

2

2

3 n n 

C  

2

3 n n 

D Đáp số khác.

Câu 42 Giả sử với n nguyên dương ta có: 1.4 2.7   n3n1 An3Bn2Cn Tính AB C ?

A. B. C. D.

Câu 43 Mệnh đề mệnh đề đúng?

A.Với số tự nhiên n, tồn đa thức P n  cho cosnPncos. B 1  1, *

2 n n

n  n

     

C. 2n n2, n * D n1n nn1, n *

Câu 44 Tìm tất số nguyên dương n cho 2n1n23 n

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học: 2020-2021

   

Lý thuyết. Phương pháp quy nạp tốn học

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n* là đúng với mọi n mà khơng thể  thử trực tiếp thì có thể làm như sau: 

Bước 1. Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n1. 

Bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì nk 1 (gọi là giả thiết quy nạp),  chứng minh rằng nó cũng đúng với nk1. 

Đó là phương pháp quy nạp tốn học, hay cịn gọi tắt là phương pháp quy nạp. 

Một cách đơn giản, ta có thể hình dung như sau: Mệnh đề đã đúng khi n1 nên theo kết quả ở  bước  2,  nó cũng đúng với n  1 2. Vì nó đúng với n2 nên lại theo kết quả ở bước  2,  nó  đúng  với n  2 3,   Bằng  cách  ấy,  ta  có  thể  khẳng  định  rằng  mệnh  đề  đúng  với  mọi  số  tự  nhiên n*. 

2. Chú ý:  Nếu  phải  chứng  minh  mệnh  đề  là  đúng  với  mọi  số  tự  nhiên n p  (p  là  một  số  tự  nhiên) thì: 

 Bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n p; 

 Bước 2, giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì nk p và phải chứng minh rằng nó  cũng đúng với nk1. 

DẠNG: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC, TÍNH CHIA HẾT, HÌNH HỌC…

A Phương pháp giải

Giả sử cần chứng minh đẳng thức  ( )P n Q n( ) (hoặc  ( )P n Q n( )) đúng với  n n0,  n0 ta  thực hiện các bước sau: 

Bước 1: Tính P n( ),   ( )0 Q n0  rồi chứng minh P n( )0 Q n( )0  

Bước 2: Giả sử P k( )Q k( );  k,kn0, ta cần chứng minh 

( 1) ( 1)

P k Q k  

B Bài tập tự luận

Câu Chứng mình với mọi số tự nhiên n1 ta ln có: 1 ( 1) n n

n 

    

Lời giải

Đặt  ( ) P n     n: tổng n số tự nhiên đầu tiên : 

( 1)

( ) n n

Q n    

Ta cần chứng minh  ( )P n Q n( )   n ,n1. 

Bước 1: Với n1 ta có  (1) 1,   (1) 1(1 1)

P  Q     

(1) (1) (1)

P Q

    đúng với n1. 

Bước 2: Giả sử  ( )P k Q k( ) với k,k1 tức là: 

( 1)

1

2 k k

k 

     (1) 

Ta cần chứng minh  (P k1)Q k( 1), tức là: 

Chương

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

( 1)( 2)

1 ( 1)

2

k k

k k  

       (2) 

Thật vậy: VT(2)(1    k) ( k1) 

( 1)

( 1)

2 k k

k



   (Do đẳng thức (1)) 

( 1)( 2)

( 1)( 1) (2)

2

k k k

k   VP

      

Vậy đẳng thức chođúng với mọi n1. 

Câu Chứng minh với mọi số tự nhiên n1 ta ln có: 

1 2    n 1 n

Lời giải

 Với n1 ta có VT1,  VP121 

Suy ra VT VP đẳng thức cho đúng với n1. 

 Giả sử đẳng thức chođúng với nk với k,k1 tức là: 

2

1 2    k 1 k (1)  Ta cần chứng minh đẳng thức chođúng với nk1, tức là: 

 2

1 (2    k1) (2 k1) k1 (2)  Thật vậy: VT(2)(1 2    k1) (2 k1) 

2

(2 1)

k k

   (Do đẳng thức (1)) 

2

(k 1) VP(1.2)

    

Vậy đẳng thức chođúng với mọi n1. 

Câu Chứng minh rằng với  n 1, ta có bất đẳng thức: 1.3.5 2 1

2.4.6.2

n

n n

 



Lời giải

* Với n1 ta có đẳng thức chotrở thành:1

2   đúng. 

 đẳng thức chođúng với n1. 

* Giả sử đẳng thức chođúng với nk1, tức là: 

 

1.3.5 1

2.4.6 2

k

k k

 

 (1) 

Ta phải chứng minh đẳng thức chođúng với nk1, tức là: 

  

 

1.3.5 2 1

2.4.6 2 2

k k

k k k

 



  (2) 

Thật vậy, ta có: 

1.3.5 (2 1) 1 2

(2)

2.4.6 2 2 2 2

k k k k

VT

k k k k k

   

  

     

Ta chứng minh:  1 (2 1)(2 3) (2 2)2

2 2

k

k k k

k k



     

   

3

   (luôn đúng) 

Vậy đẳng thức chođúng với mọi số tự nhiên n1. 

Câu Chứng minh rằng với    n 1, x 0 ta có bất đẳng thức: 

2 1

( 1)

1

n n n

n

x x x

x

 

   

  

  

. Đẳng thức xảy 

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021  Lời giải

 Với n1 ta cần chứng minh:

3

2

( 1)

8 ( 1) ( 1)

1

x x x

x x x

x

   

     

    

Tức là:  4

4 ( 1)

x  x  x  x   x   (đúng) 

Đẳng thức xảy ra khi x1. 

 Giả sử 

2 1

( 1)

1

k k k

k

x x x

x



  

 

  

   , ta chứng minh 

2

1

1

( 1)

1

k k k

k

x x x

x               (*)  Thật vậy, ta có: 

2 2 1

1 1 ( 1)

2 2

k k k k

k

x x x x x x

x                                      Nên để chứng minh (*) ta chỉ cần chứng minh

2 1 1 2

1

1 ( 1) ( 1)

2 1

k k k k

k k

x x x x x

x x                   Hay 

1 2

1

( 1) ( 1)( 1)

2

k k k

x

x  x x  x

           (**)  Khai triển (**), biến đổi và rút gọn ta thu được 

2 2 2

( 1) ( 1) ( 1)

k k

x  x  x  x  x  (x1) (2 xk11)20 BĐT này hiển nhiên đúng. Đẳng  thức có x1. 

Vậy Câu tốn được chứng minh. 

Chú ý: Trong một số trường hợp để chứng minh mệnh đề  ( )P n  đúng với mọi số tự nhiên n ta có  thể chứng minh theo cách sau 

Bước 1: Ta chứng minh  ( )P n  đúng với n1 và n2k 

Bước 2: Giả sử  ( )P n  đúng với nk1, ta chứng minh  ( )P n  đúng với nk.  Cách chứng minh trên được gọi là quy nạp theo kiểu Cauchy (Cô si). 

Câu Cho  hàm  số  f :,  n2là  số  nguyên.  Chứng  minh  rằng  nếu 

( ) ( )

   ,

2

f x f y x y

f x y

   

    

   (1)thìta có

1 2

( ) ( ) ( n) n

f x f x f x x x x

f n n              i x

  , i1,n (2)

Lời giải

Ta chứng minh (2) đúng với n2k, k1  * Với k 1 thì (8.2) đúng (do (1)) 

* Giả sử (2) đúng với n2k, ta chứng minh (2) đúng với n2k1 

Thật vậy: 

1

( ) ( )

2 k k k k x x

f x  f x  f   

 

 

1

2

2

( ) ( )

2 k k k k k k x x

f x f x  f 

             

Do đó:  1

1 2 2 1 2

1

( ) ( ) 2

2

k k k

k

k k

k k

x x x x

f x f x  f f 

                     1

1 2

1

2

2

k k k

k

k

x x x x

f                  

Do vậy (2) đúng với mọi n2k. 

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

1 1

( ) ( ) ( )

1

k k

f x f x f x x x x

f

k k

 

       

  

   (3) 

Ta chứng minh (8.2) đúng với nk, tức là 

1 2

( ) ( ) ( k) k

f x f x f x x x x

f

k k

       

  

 (4) 

Thật vậy: đặt 

1

k

k

x x x x

x

k k



  

  , áp dụng (3) ta có 

1 1 2

( ) ( ) ( )

1

k

x x

f x f x f x f x x

k k

f

k k

   

        

 

  

 

   

 

 

Hay f x( )1 f x( 2) f x( k) f x1 x2 xk

k k

       

  

 

. 

Vậy Câu tốn được chứng minh. 

Chú ý: Chứng minh tương tự ta cũng có Câu tốn sau 

Nếu  ( ) ( ) ( )

2

f x f y

f xy



 x y, 0(a) thì ta có  

1

( ) ( ) ( )

n n

n

f x f x f x

f x x x

n

  

 với 

0,   1,

i

x i n

    (b). 

Câu Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n1, ta ln có 

a. 12 22 ( 1)2 ( 1)(2 1)

6

n n n

n n  

       

b. 1 22 3

3 3n 4.3n

n n

      

Lời giải a. Bước 1: Với n1 ta có: 

2 1(1 1)(2.1 1)

1 1,  

6

VT   VP    VT VP 

 đẳng thức cho đúng với n1. 

Bước 2: Giả sử đẳng thức chođúng với nk1, tức là: 

2 2 ( 1)(2 1)

1 ( 1)

6

k k k

k k  

      (1) 

Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho đúng với nk1, tức là cần chứng minh: 

2 2 2 ( 1)( 1)(2 3)

1 ( 1) ( 1)

6

k k k

k k k   

        (2). 

Thật vây: 

2 2

(2) ( 1)

VT    k  k

do  (1)

2

( 1)(2 1)

( 1)

6

k k k

k

 

    

2

2 ( 1)(2 6)

( 1)

6

k k k k k

k   k    

     

 

 

( 1)( 2)(2 3)

(2)

k k k

VP

  

   

(2)

  đúng đẳng thức chođúng với mọi n1. 

b. * Với n1 ta có VT  1 VP đẳng thức cho đúng với n1 

* Giả sử đẳng thức cho đúng với nk 1, tức là:1 22 3

3 3k 4.3k

k k

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 

Ta sẽ chứng minh đẳng thức chođúng với nk1, tức là cần chứng minh 

2 1

1

3 3k 3k 4.3k

k k k

 

 

      (2). 

Thật vậy: (2) 3 11 51 (2)

4 4.3k 3k 4.3k

k k k

VT         VP  

(2)

  đúng  đẳng thức cho đúng. 

Câu

a. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n1 ta có: 

1

2 2 2 cos

2n





      (n dấu căn) 

b. Chứng minh các đẳng thức 

( 1)

sin sin

2

sin sin sin

sin

nx n x

x x nx

x



    với xk2với n1. 

Lời giải a

* Với  2,   cos

4

n VT  VP    

VT VP

   đẳng thức cho đúng với n1. 

* Giả sử đẳng thức chođúng với nk, tức là: 

1

2 2 2 cos

2k





      (k dấu căn)(1) 

Ta sẽ chứng minh đẳng thức chođúng với nk1, tức là: 

2

2 2 2 cos

2k





      (k1 dấu căn)(2). 

Thật vậy: 1

 dau can

(2)   2 2 2 cos

2k

k

VT         

  

2

1 2

2(1 cos ) cos cos (2)

2k 2k 2k VP

  

  

      

(Ở trên ta đã sử đụng công thức 1 cos cos2 a a

  ). 

(2)

  đúng  đẳng thức chođúng. 

b.  Với n1 ta có 

sin sin

2

sin ,   sin

sin x

x

VT x VP x

x

    nên đẳng thức chođúng với n1 

 Giả sử đẳng thức chođúng với nk1, tức là: 

( 1)

sin sin

2

sin sin sin

sin

kx k x

x x kx

x



   (1) 

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

( 1) ( 2)

sin sin

2

sin sin sin( 1)

sin

k x k x

x x k x

x

 

    (2) 

Thật vậy: 

( 1)

sin sin

2

(2) sin( 1)

sin

kx k x

VT k x

x



    

( 1)

sin cos sin

( 1) 2 2 2

sin

2 sin

2

kx k x x

k x

x



 



 



  

 

 

 

( 1) ( 2)

sin sin

2 (2)

sin

k x k x

VP x

 

   

Nên (2) đúng. Suy ra đẳng thức chođúng với mọi n1. 

Câu Chứng minh rằng với mọi n1 ta có bất đẳng thức:  sinnx nsinx  x  

Lời giải

* Với n1 ta có: VT  sin1. 1 sin VP nên đẳng thức cho đúng.  * Giả sử đẳng thức cho đúng với nk 1, tức là:sinkx k sinx (1)  Ta phải chứng minh đẳng thức chođúng với nk1,tức là: 

 

sin(k1)  k1 sin (2)  Thật vậy: 

 

sin k1   sinkcoscosksin   sink cos cosk sin sink sin

     

 

sin sin sin

k   k 

     

Vậy đẳng thức chođúng với nk1, nên đẳng thức chocũng đúng với mọi số nguyên dương n. 

Câu

a. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n1, ta có :  1

n

n

 

 

 

   

b.3n 3n1 với mọi số tự nhiên n2; 

c. 

 

2.4.6.2

2

1.3.5 n

n

n   với mọi số tự nhiên n1; 

Lời giải

a. Ta chứng minh 

2

1

1 1   ,1

k

n n

k n

n k k

 

     

 

  (1) bằng phương pháp quy nạp theo k. Sau đó 

cho k n ta có (7). 

* Với k VT(1) 1 12 1 VP(1)

n n n

         

(1)

  đúng với k1. 

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 

2

1

1

p

p p

n n n

 

   

 

 

(2). 

Ta chứng minh (1) đúng với k  p1, tức là 

1 2

2

1 ( 1)

1

p

p p

n n n



 

 

   

 

  (3). 

Thật vậy: 

1 2

2

1 1

1 1

p p

p p

n n n n n n



 

       

        

       

        

 

2 2

3 2

1

1

p p p p p p p p

n n n n n n

   

         

2

2

2 1 ( 1)

1

p p p p p

n n n n

    

      (3) đúng  đpcm. 

Cách khác: Khi n 1 23(đúng) dễ thấy khi n 1 n

  tiến dần về 0 1

n

n

 

  

  tiến gần về 

1.Vậy  n 1ta ln có 1

n

n

 

 

 

   

b. Với n2 ta có: VT329VP3.2 1 7 nên đẳng thức chođúng với n1   Giả sử đẳng thức chođúng với nk2, tức là:  3k 3k1(1) 

Ta chứng minh đẳng thức chođúng với nk1, tức là: 

1

3k 3(k1) 3  k4(2) 

Thật vậy: 3k13.3k 3(3k1)3k 4 (6k1)3k4 nên (2) đúng. 

Vậy Câu tóan được chứng minh. 

c. Với n1 ta có:  2,  

1

VT   VP đẳng thức chođúng với n1 

 Giả sử đẳng thức chođúng với nk1, tức là: 

 

2.4.6.2

2

1.3.5 k

k

k   (1) 

Ta chứng minh đẳng thức chođúng với nk1, tức là: 

 

2.4.6.2 (2 2)

2

1.3.5 (2 1)

k k

k

k k



 

  (2) 

Thật vậy: 

 

2.4.6.2 (2 2) 2 2

2

1.3.5 (2 1) 2

k k k k

k

k k k k

  

  

     

Nên ta chứng minh  2 2 22 (2 1)(2 3)

2

k

k k k k

k



      

  

4

   hiển nhiên đúng. 

Vậy Câu toán được chứng minh. 

Câu 10 Cho  hàm  số  f xác  định  với  mọi  x  và  thoả  mãn  điều  kiện: (f xy) f x f y( ) ( ),   x y, (*).  Chứng  minh  rằng  với  mọi  số  thực  x  và  mọi  số  tự  nhiên n ta có:  

2

2

n n

x f x f 

 

 

 

Lời giải

a. Trong BĐT  (f xy) f x f y( ) ( ) thay x và y bằng  x

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

 

2

( )

2 2 2

x x x x x

f   f   f   f x f 

       

 

Vậybất đẳng thức đã chođúng với n1.  Giả sử bất đẳng thức đúng với nk1. Ta có 

 

2

2

k k

x f x f 

 

 

(1) 

Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với nk1, tức là: 

 

2 1

2

k k

x

f x f

 

     

 

 

 (2) 

Thật vậy ta có:

2

1 1

2 2

x x x x

f f f

k k k k

 

     

    

        

 

      

 

2

2

1

2

k k

x x

f f

k k

 

              

     

    

 

 

1

2

1

2

k k

x x

f f

k k



     

      

     

   

 

Do tính chất bắc cầu ta có được:   

2 1

2

k k

x

f x f

 

     

 

 

 

Bất đẳng thức đúng với nk1 nên cũng đúng với mọi số tự nhiên n. 

Câu 11 Cho n là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: an16 – 15 –1 225n n 

Lời giải

 Với n1 ta có: a10a1225. 

 Giả sử  16k 15 225

k

a   k  , ta chứng minh 

1

1 16 15( 1) 225

k k

a  k

       

Thậ vậy: ak116.16k 15k16 16 k15k 1 15 16 k 1 

 

15 16k

k

a

    

Vì   

16k  1 15 16k 16k  15   và ak225  Nên ta suy ra ak1225. Vậy Câu tốn được chứng minh 

Câu 12 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n1 thì  ( )A n 7n3n1 luôn chia hết cho 9

Lời giải

* Với n 1 A(1)713.1 9  A(1) 9  

* Giả sử  ( ) 9 A k   k 1, ta chứng minh  (A k1) 9  

Thật vậy:A k( 1)7k13(k1) 1 7.7k21k 7 18k9 

( 1) ( ) 9(2 1)

A k A k k

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 

Vì  ( ) ( 1)

9(2 1)

A k

A k k



 

  





  

Vậy  ( )A n  chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n1. 

Câu 13 Cho n là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: Bn n1n2n3 3 n 3n

Lời giải

 Với n1, ta có:B12.3 3  

 Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức là: 

 1 2 3  3 3k k

B  k k k  k   

Ta chứng minh:Bk1k2k3k43k  13k1 

       

1  3 3

k

B  k k k  k k k  

  

3Bk 3k 3k

    

Mà Bk3k nên suy ra Bk13k1.  Vậy Câu tốn được chứng minh. 

Câu 14 Trong mặt mặt phẳng cho n điểm rời nhau (n > 2) tất cả khơng nằm trên một đường thẳng. Chứng  minh rằng tất cả các đường thẳng nối hai điểm trong các điểm đã cho tạo ra số đường thẳng khác  nhau không nhỏ hơn n

Lời giải

Giả sử mệnh đềđúng với nk3 điểm Ta chứng minh cho nk1 điểm

Ta có thể chứng minh rằng tồn tại ít nhất một đường thẳng chỉ chứa có hai điểm. Ta kí hiệu đường  thẳng đi qua hai điểm An và An1 là A An n1. Nếu những điểm A A1, 2, ,An nằm trên một đường  thẳng thì số lượng các đường thẳng sẽ đúng là n1: Gồm n đường thẳng nối An1 với các điểm 

1, 2, , n

A A A  và đường thẳng chúng nối chung. Nếu A A1, 2, ,An khơng nằm trên một đường thẳng  thì theo giả thiết quy nạp có n đường thẳng khác nhau. Bây giờ ta thêm các đường thẳng nối An1  với các điểm A A1, 2, ,An. Vì đường thẳng A An n1 khơng chứa một điểm nào trong A A1, 2, ,An1,  nên đường thẳng này khác hồn tồn với n đường thẳng tạo ra bởi A A1, 2, ,An. Như vậy số đường  thẳng tạo ra cũng không nhỏ hơn n1. 

Câu 15 Chứng minh rằng tổng các trong một n – giác lồi  (n3) bằng (n2)1800

Lời giải

 Với n3 ta có tổng ba góc tam giác 1800

 Giả sử công thức cho tất k-giác, với kn, ta phải chứng minh mệnh đề

đúng cho n-giác Ta chia n-giác đường chéo thành hai đa giác Nếu số cạnh của đa giác k+1, số cạnh đa giác n – k + 1, hai số nhỏ

hơn n Theo giả thiết quy nạp tổng góc hai đa giác k1 180 0

 

1 180

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Tổng góc n-giác tổng góc hai đa giác trên, nghĩa

   

–   –1 180 180

k  n k  n

Suy mệnh đềđúng với n3 Câu 16

a. Chứng minh rằng với  n 2, ta ln cóann1n2  n n  chia hết cho  2n. 

b Cho a b, nghiệm phương trình

27 14

x  x 

Đặt S n anbn

. Chứng minh rằng với mọi số ngun dương n thì  ( )S n  là một số ngun  khơng chia hết cho 715. 

c. Cho hàm số  f : thỏa  (1) 1, (2)f  f 2 và  (f n2)2 (f n1) f n( ).  Chứng minh rằng: 

( 1) ( 2) ( ) ( 1)n

f n  f n f n    

d. Cho pn là số ngun tố thứ n. Chứng minh rằng: 22n  pn. 

e. Chứng minh rằng mọi số tự nhiên khơng vượt qua  !n  đều có thể biểu diễn thành tổng của  khơng q n ước số đơi một khác nhau của  !n  

Lời giải a. * Với n2, ta có:a22 2   12a2422.  * Giả sử ak2k ta chứng minh ak12k1. Thật vậy: 

    

1 1 1

k

a   k  k  k  k  

k 2k  k k 2

      

k 2k  k kk k 1k k 2

         

 1 2    2. 1

k

k k k k k k k

a

       



2

2 (ak k k 1)

    

Do ak2k 2ak2k1ak12k1 đpcm. 

b. Ta có:  ( )S n 27 (S n1) 14 ( S n2) rồi dùng quy nạp để chứng minh  ( )S n  chia hết cho  751  

c

 Ta có:  (3)f 2 (2)f  f(1)5, nên  f2(2) f(3) (1)f 225.1 ( 1)  1 

Suy ra đẳng thức cho đúng với n1. 

 Giả sử đẳng thức cho đúng với nk, tức là: 

2

( 1) ( 2) ( ) ( 1)k

f k  f k f k   (1) 

Ta chứng minh đẳng thức cho đúng với nk1, tức là: 

2

( 2) ( 3) ( 1) ( 1)k

f k  f k f k    (2) 

Ta có: 

 

2( 2) ( 3) ( 1) 2( 2) 2 ( 2) ( 1) ( 1)

f k  f k f k  f k  f n  f n f k  

 

( 2) ( 2) ( 1) ( 1)

f k f k f k f k

        

2

( 2) ( ) ( 1) ( 1)k ( 1)k

f k f k f k 

          

Vậy Câu tốn được chứng minh. 

d. Trước hết ta có nhận xét: p p1 2 pn 1 pn1 

 Với n1 ta có: 221 4 p12 

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 

Thật vậy, ta có: 2 221 22 2pk  1 p p1 2 pk 1 pk1  Suy ra 

1

1 2 1

2 2

1 1

2 2

k

k k

k k k

p p p

 

  

  

       

Vậy Câu toán được chứng minh

e

 Với n1 Câu tốn hiển nhiên đúng. 

 Giả sử Câu tốn đúng với nk, ta chứng minh Câu tốn đúng với nk1  Nếu a(k1)! thì Câu tốn hiển nhiên đúng 

Ta xét a(k1)!, ta có: a(k1)dr với d k r!, k1 

Vì dk! nên d d1d2 dk với di (i1, )k  là các ước đơi một khác nhau của  !k   Khi đó: a(k1)d1(k1)d2 ( k1)dk r 

Vì  (k1) ,d ri  là các ước đơi một khác nhau của  (k1)!  Vậy Câu tốn được chứng minh. 

Câu 17 Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình:x26x 1 0. Đặt an x1nx2n. Chứng minh rằng: 

a.an6an1an2     n 2. 

b.an là một số nguyên và an không chia hết cho 5 với mọi n1. 

Lời giải

a. Ta có:  1 2

1 2 1

( )( n n ) ( n n )

n

a  x x x  x  x x x  x   

Theo định lí Viét: 

1

6

x x

x x

 

 

 

 nên ta có: 

1 2

1 1

6( n n ) ( n n )

n n n

a  x  x   x  x   a  a   

b. 

* Với n 1 a1x1x2 6a1  Và a1 không chia hết cho 5 

* Giả sử ak và ak không chia hết cho 5 với mọi k 1.  Ta chứng minh ak1 và ak1 không chia hết cho 5.  Do ak16ak ak1 

Mà a ak, k1ak1. 

Mặt khác: ak15ak (akak1)5ak5ak1ak2  Vì ak2 khơng chia hết cho 5 và 

1

5

5

k k

a a 

  



  nên suy ra ak1 khơng chia hết cho 5. 

Câu 18

a. Trong khơng gian cho n mặt phẳng phân biệt (n1), trong đó ba mặt phẳng ln cắt nhau và  khơng có bốn mặt phẳng nào có điểm chung. Hỏi n mặt phẳng trên chia khơng gian thành bao  nhiêu miền? 

b. Cho n đường thẳng nằm trong mặt phẳng trong đóhai đường thẳng bất kì ln cắt nhau và  khơng có ba đường thẳng nào đồng quy. Chứng minh rằng n đường thẳng này chia mặt phẳng 

thành 

2

2 n  n

 miền. 

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Ta chứng minh được: 

2

2

n n

n n

a  a     

Từ đó ta tính được: 

2

( 1)( 6)

6

n

n n n

a      

b. Gọi an là số miền do nđường thẳng trên tạo thành.  Ta có: a12. 

Ta xét đường thẳng thứ n1 (ta gọi là d), khi đó d cắt n đường thẳng đã cho tại n điểmvà bị n  đường thẳng chia thành n1phần đồng thời mỗi phần thuộc một miền của an. Mặt khác với mỗi  đoạn nằm trong miền của an sẽ chia miền đó thành 2 miền, nên số miền có thêm làn1. Do vậy,  ta có:an1an n 1 

Từ đây ta có:

2

2

n

n n

a     

Câu 19

a. Cho  , , , ,a b c d m là các số tự nhiên sao cho ad,  (b1)c, ab a c chia hết cho m. Chứng  minh rằng xn a b ncn d  chia hết cho m với mọi số tự nhiên n. 

b. Chứng minh rằng từ n1 số bất kì trong  2n số tự nhiên đầu tiên ln tìm được hai số là bội  của nhau

Lời giải a

 Với n0 ta có x0 ad m  

 Giả sử xk a b k ckd m  với k0,k, ta chứng minh 

1

1 ( 1)

k k

x a b  c k d m

       Thật vậy: 

 

1

1

k k k k

k k

x x a b  a b  c b ab a c  c b c 

   

( 1)

k k k

b ab a c c b b  b 

         

Mà x ab a c c bk,   , ( 1)mxk1m  Vậy Câu toán được chứng minh. 

b

 Với n1 ta thấy Câu toán hiển nhiên đúng 

 Giả sử Câu tốn đúng với n1, có nghĩa là: từ n số bất kì trong  2n2 số tự nhiên đầu tiên  ln tìm được hai số là bội của nhau. 

Ta chứng minh Câu tốn đúng với n, tức là: từ n1 số bất kì trong  2n số tự nhiên đầu tiên ln  tìm được hai số là bội của nhau. 

Ta chứng minh bằng phản chứng: 

Giả sử tồn tại một tập con X  có n1 phần tử của tập A1, 2, , 2n sao cho hai số bất kì trong  X  khơng là bội của nhau. 

Ta sẽ chứng minh rằng có một tập con X' gồm n phần tử của tập 

1, 2, , 2n2 sao cho hai phần tử bất kì của X' khơng là bội của nhau  Để chứng minh điều này ta xét các trường hợp sau đây 

TH 1: X  khơng chứa  2n và  2n1 

Ta bỏ đi một phần tử bất kì của tập X  ta được một tập X' gồm n phần tử và là tập con của 

1, 2, , 2n2 mà hai phần tử bất kì thuộc X' khơng là bội của nhau. 

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 

Ta bỏ đi phần tử  2nthì ta thu được tập X' gồm n phần tử và là tập con của 1, 2, , 2n2 mà  hai phần tử bất kì thuộc X' khơng là bội của nhau. 

TH 3:X  chứa  2n1 mà khơng chứa  2n 

Ta bỏ đi phần tử  2n1thì ta thu được tập X' gồm n phần tử và là tập con của 1, 2, , 2n2 mà  hai phần tử bất kì thuộc X' khơng là bội của nhau. 

TH 2:X  chứa  2n và  2n1 

Vì X  khơng chứa hai số là bội của nhau nên X  khơng chứa n và ước của n (Vì nếu chứa ước  của n thì số đó là ước của  2n) 

Bây giờ trong X, ta bỏ đi hai phần tử  2n1 và  2n rồi bổ sung thêm n vào thì ta thu được tập  '

X  gồm n phần tử và là tập con của 1, 2, , 2n2 mà hai phần tử bất kì thuộc X' khơng là bội  của nhau. 

Như vậy ta ln thu được một tập con X' gồm n phần tử của tập 1, 2, , 2n2 mà các phần tử  khơng là bội của nhau. Điều này trái với giả thiết quay nạp. 

Vậy Câu tốn được chứng minh theo ngun lí quy nạp. 

C Bài tập trắc nghiệm

Câu Một học sinh chứng minh mệnh đề  ''8n1 chia hết cho 7,  n *'' 

 *  như sau: 

 Giả sử  *  đúng với nk, tức là  8k 1

 chia hết cho   

  Ta  có:   

8k  1 8k1 7,  kết  hợp  với  giả  thiết  8k 1  chia  hết  cho    nên  suy  ra  được 

1

8k 1

 chia hết cho   Vậy đẳng thức  *  đúng với mọi n*. 

Khẳng định nào sau đây là đúng? 

A Học sinh trên chứng minh đúng. 

B Học sinh chứng minh sai vì khơng có giả thiết qui nạp. 

C Học sinh chứng minh sai vì khơng dùng giả thiết qui nạp. 

D Học sinh khơng kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp. 

Lời giải

Thiếu bước 1 là kiểm tra với n1, khi đó ta có 

8  1 9 không chi hết cho   

Câu Cho 

 

1 1

1 2 3

n

S

n n

    

    với 

*.

n  Mệnh đề nào sau đây đúng? 

A 3 12

S    B 2

6

S    C 2

3

S    D 3

4

S   

Lời giải. 

Nhìn vào đi của Sn là 

 

1

n n  cho n2, ta được   

1

2 1 2 3  

Do đó với n2, ta có  2 1

1 2 3

S   

   

Câu Cho 

 

1 1

1 2 3

n

S

n n

    

    với 

*

n  Mệnh đề nào sau đây đúng? 

A Sn n n



   B

1

n

n S

n



   C

1

n

n S

n

 

   D

2

n

n S

n

 

  

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Cách trắc nghiệm:  Ta  tính  được  1 1,   2 2,   3

2

S  S  S    Từ  đó  ta  thấy  quy  luật  là  từ  nhỏ  hơn  mẫu đúng 1 đơn vị. Chọn B

Cách tự luận. Ta có  1 1,   2 2,   3

2

S  S  S   dự đoán 

1 n n S n    

 Với n1, ta được  1 1

1.2 1

S  

 : đúng.   Giả sử mệnh đề đúng khi nk k1, tức là 

 

1 1

1.2 2.3 1

k

k k k

   

   

 Ta có 

 

1 1

1.2 2.3 1

k

k k k

   

   

       

       

2

1 1 1

1.2 2.3 1 1

1 1

1.2 2.3 1 2

k

k k k k k k k

k k

k k k k k k

                                

1 1 1

1.2 2.3 1 2

k

k k k k k



     

     Suy ra mệnh đề đúng với nk1. 

Câu Cho 

   

1 1

1 3 2

n

S

n n

   

      với 

*

n  Mệnh đề nào sau đây đúng? 

A

2 n n S n  

   B n

n S

n



   C n

n S

n



   D

2 n n S n     

Lời giải

Cho  1 15 3 n S n S n S                    Kiểm tra các đáp án chỉ cho B thỏa

Câu Cho  12 12 12

2 n P n               

      với n2 và n

  Mệnh đề nào sau đây đúng?

A

2 n P n    B n P n 

 C P n

n



 D

2 n P n  

Lời giải. 

Vì n2 nên ta cho 

2

3 2

1

2

2

1

3

2 3

n P n P                                   Kiểm tra các đáp án chỉ cho D thỏa

Câu Với mọi n*, hệ thức nào sau đây là sai? 

A 1  1

2 n n

n 

     

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021  C 12 22  2 1

6

n n n

n  

     

D 22 42 62  2 2  2 1

n n n

n  

     

Lời giải.  Bẳng cách thử với n1, n2, n3 là ta kết luận được. 

Câu Xét hai mệnh đề sau: 

I) Với mọi n*, số n33n25n

 chia hết cho   

II) Với mọi n*, ta có  1 13

1 2 24

n n   n   

Mệnh đề nào đúng? 

A Chỉ I.  B Chỉ II.  C Khơng có.  D Cả I và II. 

Lời giải  Ta chứng minh I) đúng. 

Với n1, ta có u1133.125.1 3  : đúng. 

Giả sử mệnh đề đúng khi nk k1, tức là  3 5 3

k

u k  k  k  

Ta có uk1k33k25k3k29k 9 uk 3k23k3 3.  Kết thúc chứng minh. 

 Mệnh đề II) sai vì với n1, ta có VT 1 12 13

1 24 24

   

  : Vô lý. 

Câu Với n*, hãy rút gọn biểu thức S1.4 2.7 3.10    n3n1. 

A S n n 12.  B Sn n 22. 

C Sn n 1.  D S2n n 1. 

Lời giải Chọn A

Để chọn được S đúng, chúng ta có thể dựa vào một trong ba cách sau đây: 

Cách 1: Kiểm tra tính đúng –sai của từng phương án với những giá trị của n. 

Với n1 thì S1.44 (loại ngay được phương án B và C); với n2 thì S 1.4 2.7 18  (loại được phương án D). 

Cách 2: Bằng cách tính S trong các trường hợp n1,S 4;  n2,S 18;  n3,S 48 ta dự  đốn được cơng thức S n n 12. 

Cách  3:  Ta  tính  S  dựa  vào  các  tổng  đã  biết  kết  quả  như   1 n n

n 

      và 

   

2 2

1

6

n n n

n  

     Ta có:   2 2    2

3

S    n    n n n  

Câu Kí  hiệu k!k k 1 2.1,  k *.  Với n*,  đặt Sn 1.1! 2.2!   n n !.  Mệnh  đề  nào  dưới  đây là đúng? 

A Sn 2 !n   B Snn1 ! 1 .  C Sn n1 !   D Sn n1 ! 1  

Lời giải Chọn B

Chúng ta có thể chọn phương án đúng dựa vào một trong hai cách sau đây: 

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Với n1 thì S11.1! 1  (Loại ngay được các phương án A, C, D). 

Cách  2:  Rút  gọn  Sn  dựa  vào  việc  phân  tích  phần  tử  đại  diện 

     

! 1 ! ! ! ! !

k k  k  k  k kk  k k   Suy  ra: 

2! 1! 3! 2!  ! !  ! 1 n

S       n n  n   

Câu 10 Với n*,  đặt  12 22 32 2 2

n

T      n và  22 42 62 2 2

n

M      n   Mệnh  đề  nào  dưới 

đây là đúng? 

A

2

n n

T n

M n

 

   B

4

2

n n

T n

M n

 

 .  C

8

1

n n

T n

M n

 

   D

2

1

n n

T n

M n

 

  

Lời giải Chọn A

Chúng ta có thể chọn phương án đúng dựa vào một trong hai cách sau đây: 

Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của n.  Với n1 thì T112225;M1224nên 

1

5 T

M   (loại ngay được các phương án B, C, D). 

Cách  2:  Chúng  ta  tính  T Mn, n  dựa  vào  những  tổng  đã  biết  kết  quả.  Cụ  thể  dựa  vào 

      

2 2

;

6

n n

n n n n n n

T    M     Suy ra 

2

n n

T n

M n

 

  

Câu 11 Tìm số nguyên dương p nhỏ nhất để  2n 2n1 với mọi số nguyên n p. 

A p5.  B p3.  C p4.  D p2. 

Lời giải Chọn B

Dễ thấy p2thì bất đẳng thức  2p 2p1 là sai nên loại ngay phương án  D

Xét  với  p3  ta  thấy  2p 2p1  là  bất  đửng  thức  đúng.  Bằng  phương  pháp  quy  nạp  toán  học  chúng  ta chứng  minh được rằng  2n2n1  với  mọi n3. Vậy  p3 là số nguyên dương  nhỏ  nhất cần tìm. 

Câu 12 Tìm tất cả các giá trị của n*sao cho 2n n2. 

A n5.  B n1 hoặc n6.  C n7.  D n1 hoặc n5 Lời giải

Chọn D

Kiểm tra với n1 ta thấy bất đẳng thức đúng nên loại ngay phương án A và  C

Kiểm  tra  với n1  ta  thấy  bất  đẳng  thức  đúng.  Bằng  phương  pháp  quy  nạp  toán  học  chúng  ta  chứng minh được rằng 2nn2, n 5. 

Câu 13 Với mọi số nguyên  dương n, ta  có: 

   

1 1

2.5 5.8 3

an b

n n cn



   

   ,  trong đó  , ,a b c là 

các số ngun. Tính các giá trị của biểu thức T ab2bc2ca2. 

A T 3.  B T 6.  C T 43.  D T 42 Lời giải

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021  Cách 1: Với chú ý 

   

1 1

3k 3k 3k 3k

 

   

     , chúng ta có: 

  

1 1 1 1 1

2.5 5.8 3n 3n 5 3n 3n

 

           

      

=

 

1

3

n n

n  n  

Đối chiếu với đẳng thức đã cho, ta có: a1,b0,c6.  Suy ra T ab2bc2ca2 6. 

Cách 2: Cho n1,n2,n3 ta được:  2; 3;

4 10 22

a b a b x b

c c c

  

  

    

Giải hệ phương trình trên ta được a1,b0,c6. Suy ra T ab2bc2ca26. 

Câu 14 Với mọi số nguyên dương n2, ta có:  1 1 12

4

an

n bn



     

   

     

      , trong đó  ,a b là các số 

nguyên. Tính các giá trị của biểu thức T a2b2. 

A P5.  B P9.  C P20.  D P36 Lời giải

Chọn C

Cách 1: Bằng cách phân tích số hạng đại diện, ta có: 1 12 k 1.k

k k k

 

   Suy ra 

2

1 1

1

4 n

     

  

     

     

1 1 2

2 3 2

n n n n

n n n n

   

    

Đối chiếu với đẳng thức đã cho ta có: a2,b4. Suy ra Pa2b2 20. 

Cách 2:  Cho  n2,n3  ta  được  3; 2

4 3

a a

b b

 

    Giải  hệ  phương  trình  trren  ta  được 

2;

a b  Suy ra  2

20

Pa b   

Câu 15 Biết  rằng  1323 n3an4bn3cn2dn e ,   n *.  Tính  giá  trị  biểu  thức  M a b c  de. 

A M 4.  B M 1.  C

4

M    D

2

M 

Lời giải Chọn B

Cách 1: Sử dụng kết quả đã biết:   

2

2

3 3

1

4

n n n n n

n   

      So sánh cách hệ số, 

ta được  1; 1; 1;

4

a b c d  e  

Cách 2:  Cho n1,n2,n3,n4,n5,  ta  được  hệ  5  phương  trình  5  ẩn  , , , ,a b c d e.  Giải  hệ 

phương trình đó, ta tìm được  1; 1; 1;

4

a b c d  e  Suy ra M a b c  d e 1. 

Câu 16 Biết  rằng  mọi  số  nguyên  dương  n,  ta  có   

1 1

1.2 2.3   n n1 a n b n c nd   và 

 

2 2

1.2 2.5 3.8    n 3n1 a n b n c n d   Tính  giá  trị  biểu  thức 

1 2 2

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

A T 2.  B T 1.  C

3

M    D

3

T 

Lời giải Chọn C

Cách 1: Sử dụng các tổng lũy thừa bậc 1 và bậc 2 ta có: 

+)     2 2   2

1.2 2.3 1

3

n n n n n n n

              

Suy ra  1 1; 1 1; 1 2; 1

3

a  b  c  d   

+) 1.2 2.5 3.8    n3n13 1 222 n21   nn3n2 Suy ra a2 b21;c2 d20. 

Do đó  1 2 1 2 1 2 1 2

3 T a a b b c c d d   

Cách 2: Cho n1,n2,n3,n4 và sử dụng phương pháp hệ số bất đinh ta cũng tìm được 

1 1

1

; 1; ;

3

a  b  c  d  ; a2 b2 1;c2 d2 0. 

Do đó  1 2 1 2 1 2 1 2

3 T a a b b c c d d 

Câu 17 Biết rằng 1k 2k  nk, trong đó  ,n k là số nguyên dương. Xét các mệnh đề sau: 

 

1

1 n n

S   ,  2  2 1

6

n n n

S    ,   

2

3

1

n n

S    và      

2

1 3

30

n n n n n

S       

Số các mệnh đề đúng trong các mệnh đề nói trên là: 

A 4.  B 1.  C 2.  D 3

Lời giải Chọn D

Bằng các kết quả đã biết ở Câu 1, chúng ta thấy ngay được chỉ có   

2

3

1

n n

S    là sai. 

Câu 18 Xét Câu tốn: “Kiểm nghiệm với số ngun dương n bất đẳng thức n! 2 n1”. Một học sinh đã  trình bày lời giải Câu tốn này bằng các bước như sau: 

Bước 1: Với n1, ta có:  ! 1! 1n    và 2n121 1 20 1. Vậy n! 2 n1 đúng.  Bước 2 : Giả sử bất đẳng thức đúng với nk 1, tức là ta có k! 2 k1. 

Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với nk1, nghĩa là phải chứng minh k1 ! 2  k. 

Bước 3 : Ta có k1 ! k1 ! 2.2k  k12k. Vậy n! 2 n1 với mọi số nguyên dương n.  Chứng minh trên đúng hay sai, nếu sai thì sai từ bước nào ? 

A Đúng.  B Sai từ bước 2.  C Sai từ bước 1.  D Sai từ bước 3

Lời giải Chọn A

Câu 19 Biết  rằng 

   

2

1 1

1.2.3 2.3.4 16

an bn

n n n cn dn



   

    ,  trong  đó  , , ,a b c d  và  n  là  các  số 

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021  A T 75.  B T 364.  C T 300.  D T 256

Lời giải Chọn C

Phân tích phần tử đại diện, ta có: 

       

1 1

1 2 1

k k k k k k k

 

   

      . 

Suy ra: 

   

1 1

1.2.32.3.4 n n1 n2  

     

1 1 1 1

2 1.2 2.3 2.3 3.4 n n n n

 

        

  

  

  

1 1

2 n n

 

   

 

 =

2

2

3

4 12 8 24 16

n n n n

n n n n

 



     

Đối chiếu với hệ số, ta được: a2;b6;c8;d 24.  Suy ra: T a c b d   300

Câu 20 Tam  giác  ABClà  tam  giác  đều  có  độ  dài  cạnh  là  1.  Gọi  A B C1, 1, 1lần  lượtlà  trung  điểm 

, ,

BC CA AB. Gọi A B C2, 2, 2lần lượtlà trung điểm B C C A A B1 1, 1 1, 1 1 …Gọi A B Cn, n, nlần lượtlà trung  điểm B Cn1 n1,Cn1An1,A Bn1 n1. Tính diện tích tam giác A B Cn n n? 

A

4n   B

1

3n   C

1

2n   D

3

n

     

. 

Lời giải Chọn A

1 1 2 1

1 1

, , ,

4 4 n n n

A B C ABC A B C A B C ABC A B C n ABC

S  S S  S  S S  S  

Câu 21 Cho  hình  vng  ABCD  có  độ  dài  cạnh  là  1.  Gọi  A B C D1, 1, 1, 1lần  lượtlà  trung  điểm 

, , ,

AC BC CD DA.  Gọi  A B C D2, 2, 2, 2lần  lượtlà  trung  điểm  A B B C C D D A1 1, 1 1, 1 1, 1 1  …Gọi 

, , ,

n n n n

A B C D lần  lượtlà  trung  điểm  A Bn1 n1,B Cn1 n1,Cn1Dn1,Dn1An1.  Tính  diện  tích  tứ  giác 

n n n n

A B C D ? 

A

4n   B

1

3n   C

1

2n   D

3

n

       

Lời giải Chọn C

1 1 2 2 1

1 1

, , ,

2 2 n n n

A B C D ABCD A B C D A B C ABC A B C n ABC

S  S S  S  S S  S

Câu 22 Trên một mặt phẳng cho n đường trịn phân biệt, đơi một cắt nhau và khơng có ba đường trịn nào  giao nhau tại một điểm. Các đường trịn này chia mặt phẳng thành  92 các miền rời nhau. Tìm n. 

A 10   B 12.  C 9   D 11. 

Lời giải Chọn A

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp ta được số miền tạo thành là n2 n 2 

2

2 92 10

n   n n  

Câu 23 Sn(n1)(n2)(n3) (n n )luôn chia hết cho 

A 2n. 

B 3n. 

C 4n. 

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Lời giải Chọn A

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp Sn (n1)(n2)(n3) (n n )luôn chia hết cho 2n  Giả sử Sk (k1)(k2)(k3) (kk)2k

 

Ta chứng minh  ( 1)( 2)( 3) ( 1)

k k

S   k  k  k k  k    

  1 

1 2 1 2

k k

k k k k

S   S k S    S   

Câu 24 Có  bao  nhiêu  giá  trị  nguyên  dương  của  ,n n100để     

2 3

1

n n

n

u

  

    là  số  chính 

phương? 

A 50   B 30   C 49   D 49  

Lời giải Chọn A

Chứng minh    

2 3

1

n n

n

u

  

   là số chính phương khi n lẻ 

Hay chứng minh    

2

2 3

1, *

2

n n

n

u n

 

  

    là số chính phương 

1

u   là số chính phương  2 32 2 32

1, *

2

k k

k

u n

 

  

    là số chính phương 

CM:     

2

1

2 3

1, *

2

k k

k

u n

 



  

  

  Là số chính phương 

Từ đó ta cóu u u1, 3, 5, ,u99 là số chính phương nên có 50 giá trị của n. 

Câu 25 Trên  một  mặt  phẳng  cho  n  đường  thẳng  phân  biệt  cùng  đi  qua  1  điểm  phân  biệt,  này  chia  mặt  phẳng thành 100 phần rời nhau. Tìm n. 

A 50   B 40   C 20   D 25  

Lời giải Chọn A

Trên  một  mặt  phẳng  cho  n  đường  thẳng  phân  biệt  cùng  đi  qua  1  điểm  phân  biệt,  này  chia  mặt  phẳng thành  2n phần rời nhau. 

Câu 26 Bài tốn chứng minh A4n15n1 chia hết cho   bằng phương pháp nào dưới đây là thích hợp  nhất? 

A Đồng dư thức.  B Quy nạp. 

C Tách hạng tử.  D Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 9.  Lời giải

Chọn B 

Do A vừa chứa lũy thừa vừa chứa đơn thức nên sử dụng phương pháp quy nạp là thích hợp. 

Câu 27 Chứng minh.B7.22n232n1.  5  (1) với n là số nguyên dương. Một học sinh đã giải như sau: 

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 

Bước 2: Giả sử (1) đúng với nk (k,k 1), khi đó: Bk 7.22k232k15.  Bước 3: Chứng minh (1) đúng với nk1, hay ta cần chứng minh 

2( 1) 2( 1)

1 7.2

k k

k

B         

Thật vậy Bk17.22(k 1) 232(k 1) 15 

2 2 2

7.2 k  k 

   

2 2

7.2 k 3k.9

   

2 2

4(7.2 k.4 3k ) 5.3 k

   5 

2

5 4Bk 5.3 k

    (Bk5)  Vậy Bk15 

Bước 4: VậyB7.22n232n15 với n là số nguyên dương.  Lập luận trên đúng đến bước nào? 

A Bước 1.  B Bước 2.  C Bước 3.  D Bước 4. 

Lời giải

Chọn B 

Ở bước 3:  2( 1) 2( 1)

1 7.2

k k

k

B    

    

2 2 2

7.2 k  k 

   

2 2

7.2 k 3k.9

   

2 2

4(7.2 k k ) 5.3 k

   5 

2 5

4 5.3 k

k

B 

    (Bk5) 

Câu 28 Cho C7n3n1,Trong quy trình chứng minh C9 theo phương  pháp quy nạp, giá trị của a  trong biểu thức Ck17.Ck a(2k1) là: 

A 9.  B 0   C 9   D 18  

Lời giải

Chọn C

1

1 3( 1) 7.7 7(7 1) 9(2 1) 9(2 1)

k k n

k k

C     k    k   n  k  C  k  

Vậy a9. 

Câu 29 Với mọi số nguyên dương n thì  11

n

S n  n chia hết cho số nào sau đây? 

A 6.  B 4   C 9   D 12  

Lời giải

Chọn A 

Ta chứng minh bằng qui nạp: 

Với mọi số nguyên dương n thì Sn n311n chia hết cho số  6 1   - Với n 1 S112 6  ( ln đúng ). 

- Giả sử  1  đúng với nk ta có:  11 6

k

S k  k   

Ta chứng minh: Sk1k1311k1 6. 

Thật vậy ta có:   3  

1 11 11

k k

S  S  k  k k  k 3k23k12

 

3k k 12

    

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Vậy theo ngun lí qui nạp thì  1  đúng với mọi số ngun dương n. 

Đáp án B,C,D sai vì với n2S230 khơng chia hết cho  4,9,12  

Câu 30 Với mọi số ngun dương n thì 3 5 3

n

S n  n  n  chia hết cho số nào sau đây? 

A 3.  B 4.  C 5.  D 7. 

Lời giải

Chọn A 

Ta chứng minh bằng qui nạp: 

Với mọi số nguyên dương n thì Sn n33n25n3 chia hết cho số  3 1   - Với n 1 S112 6  ( ln đúng ). 

- Giả sử  1  đúng với nk ta có:  3 5 3 6

k

S k  k  k   

Ta chứng minh: Sk1k133k125k13 3. 

Thật vậy ta có: Sk1Sk k133k125k13 k33k25k3  

2

3k 9k

    Sk1Sk 3 

mà Sk 3 Sk1 3. Do đó  1  đúng với nk1. 

Vậy theo ngun lí qui nạp thì  1  đúng với mọi số ngun dương n. 

Đáp án B,C,D sai vì với n2S233 khơng chia hết cho  4,5,  

Câu 31 Với mọi số nguyên dương n, a là số nguyên dương cho trước, Da2n1 chia hết cho: 

A a.  B a21.  C a2.  D a21. 

Lời giải

Chọn B

Sử dụng phương pháp quy nạp  Giả sử Dm 

Với nk hay Dk a2k 1 m  (k,k 1) 

Với nk1:  2( 1) 2 2 2 2

1 ( 1)

k k k

k k

D a  a a a a a a a a D a

               

hay Dk1a D2 ka21  Do Dk1m D m, k  nên a21m  Suy ra hoặc ma1 hoặc 

1

ma   

Câu 32 Cho E4k a k 1, với 

a là số tự nhiên. Giá tma1rị nhỏ nhất của a để E9 là: 

A 0   B 3   C 6   D 9  

Lời giải

Chọn C

Sử dụng phương pháp quy nạp 

Để E9thì Ek 4k a k 1 9 , Ek14k1a k.( 1) 1  9 (k,k 1) 

1

1 ( 1) 4.4 4(4 1)

k k k

k k

E    a k   a k  a a k  a k a E  a k a  Do Ek19, Ek9 nên (3 a k 3 a) 9

( 3)

a a

  

 



 a9t3với  (t,k0) 

Vậy giá trị nhỏ nhất của alà 6 (t1). 

Câu 33 Với mọi số nguyên dương n thì 4n 15

n

S   n  chia hết cho số nào sau đây? 

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021  Lời giải

Chọn C 

Ta chứng minh bằng qui nạp: 

Với mọi số nguyên dương n thì  4n 15

n

S   n  chia hết cho số  9 1   - Với n 1 S118 9  ( ln đúng ). 

- Giả sử  1  đúng với nk ta có: Sk 4k 15k1 9.  Ta chứng minh: Sk14k115k11 9.  Thật vậy ta có: 

   

1

1 15 1 15

k k

k k

S  S    k    k 3.4k 153 4 k 15k145k18 

mà  4k 15

k

S   k   Sk1Sk 9Sk19. Do đó  1  đúng với nk1.  Vậy theo ngun lí qui nạp thì  1  đúng với mọi số ngun dương n. 

Đáp án A,B,D sai vì vì với n2S245 khơng chia hết cho  4, 6,  

Câu 34 Với mọi nN*, tổng  12 22 32

n

S     n  thu gọn có dạng là biểu thức nào sau đây? 

A  1 2

6

n n n

.  B  2 1

6

n n n

. 

C  2 1

6

n n n

.  D  

2

1

n n

Lời giải

Chọn  D

Ta chứng minh bằng qui nạp: 

Với mọi số nguyên dương n thì   2 1

6

n

n n n

S      1  

- Với n 1 S11 ( ln đúng ). 

- Giả sử  1  đúng với nk ta có:  2 1

k

k k k

S     

Ta chứng minh: 1  1 2  1 1

6

k

k k k

S        

Thật vậy ta có: Sk1Sk k12  2 1  12

k k k

k

 

     

2

1 6

6

k k  k k

  

 1 2 3

6

k k k

  1 2  1 1

6

k k k 

  

Do đó  1  đúng với nk1. 

Vậy theo ngun lí qui nạp thì  1  đúng với mọi số ngun dương n. 

Câu 35 Với mọi số ngun dương n thìSn42n32n7 chia hết cho số nào sau đây? 

A 2 33 .  B 2 3.72 .  C 2.3 72 .  D 2.3.72

Lời giải

Chọn B 

Ta chứng minh bằng qui nạp: 

Với mọi số nguyên dương n thì  42n 32n 7 n

S     chia hết cho số 2 3.72

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

- Giả sử  1  đúng với nk ta có:  42k 32k 7 2 3.72

k

S      

Ta chứng minh: 2 2

1 3.7

k k

k

S  

      

Thật vậy ta có: 

 

2 2 2

1 7

k k k k

k k

S  S         15.42k8.32k 15 4 2k 32k77.32k 15.7mà 

2 2

4 k k 3.7

k

S      Sk1Sk 3, 2  

Và:  1 15.42k 8.32k 3 

k k

S  S     

Từ    2 ; mà các số  3, 4,  đơi một ngun tố cùng nhau do  đó:Sk1Sk 4.3.7Sk14.3.7.Do đó  1  đúng với nk1.  Vậy theo ngun lí qui nạp thì  1  đúng với mọi số nguyên dương n. 

Câu 36 Với mọi n*biểu thức 

 

S n     n bằng 

A  1

2 n n

.  B n n 1.  C  1

2 n n

.  D  1 2

6

n n n

. 

Lời giải

Chọn A 

 Với n1 ta có S 1 1 nên loại đáp án B và  C

 Với n2 ta có S 2 3 nên loại đáp án  D

Câu 37 Biết rằng với mọi số ngun dương n ta có 1    nan2bn. Tính a b. 

A 2.  B 1.  C 3.  D 6. 

Lời giải

Chọn  A

Áp dụng công thức tổng đặc biệt:   Suy ra   

Vậy   

Câu 38 Tổng các góc trong một đa giác lồi n cạnh n3 là: 

A n.1800.  B n1 180 0.  C n2 180 0.  D n3 180 0. 

Lời giải

Chọn  C

Áp dụng trong trường hợp tam giác:   ta có tổng ba góc là   

Áp dụng trong trường hợp tứ giác:   ta có tổng 4 góc là   

Tổng quát ta chọn phương án  C

Câu 39 Mệnh đề nào là mệnh đề đúng? 

A 2n n2, n *.  B 2nn2, n *\ 1; 2;3; 4 . 

C 2n n2, n *  D 2n n2, n . 

Lời giải

Chọn B 

Với n0 ta thấy đáp án D sai.  Với n2 ta thấy đáp án B và C sai. 

Với n5 ta có 25 3252 25. Do đó bất đẳng thức đúng cho trường hợp n5. 

 1

1

2 n n

n 

    

2 ab

1 a b 

3

n

180

4

n

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 

Giả sử rằng bất đẳng thức đúng cho các trường hợp  5nk. Chúng ta sẽ chứng minh bất đẳng  thức đúng cho trường hợp nk1. 

Thực vậy, theo giả thiết quy nạp thì bất đẳng thức đúng cho trường hợp nk, nên chúng ta có 

2

2k k  

Do đó 2k1 2 2k 2k2(k1)2(k1)22. 

Vì k5 nên k1 2  0, do đó 2k1(k1)  

Vậy bất đẳng thức đúng cho trường hợp nk1. Theo ngun lý quy nạp thì bất đẳng thức 

2

2n n  đúng với mọi số tự nhiên n5. 

Câu 40 Với  mọi nN*,  tổng  Sn 1.2 2.3 3.4    n n. 1  thu  gọn  có  dạng  là  biểu  thức  nào  sau  đây? 

A  1 2 3

6

n n n n

.  B  1 2

3

n n n

. 

C  1 2

2

n n n

  D

 

2 3 1

4

n n

. 

Lời giải

Chọn  B

Ta chứng minh bằng qui nạp: 

Với mọi số nguyên dương n thì   1 2

3

n

n n n

S      1  

- Với n 1 S12 ( ln đúng ). 

- Giả sử  1  đúng với nk ta có:  1 2

k

k k k

S     

Ta chứng minh: 1  1 2 3

3

k

k k k

S       

Thật vậy ta có: Sk1Sk k1k2  1 2  1 2

k k k

k k

 

     1 2 3

3

k k k

  

Do đó  1  đúng với nk1. 

Vậy theo ngun lí qui nạp thì  1  đúng với mọi số ngun dương n. 

Câu 41 Với mọi nN*, tổng  12 32 52 2 12

n

S      n  thu gọn có dạng là biểu thức nào sau đây? 

A  

2

1

n n 

.  B  

2

2

3

n n 

.  C  

2

4

3

n n 

  D Đáp số khác. 

Lời giải

Chọn  C

Ta chứng minh bằng qui nạp: 

Với mọi số nguyên dương n thì   

2

4

3

n

n n

S     1  

- Với n 1 S11 ( luôn đúng ). 

- Giả sử  1  đúng với nk ta có:  

2

4

3

k

k k

S    

Ta chứng minh:     

2

1 1

3

k

k k

S 

  

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Thật vậy ta có: Sk1Sk 2k112    

2

2

4

2

3

k k

k



  

3

4 12 12

3

k  k k  k

  

 3  

4 1

3

k  k

  

Do đó  1  đúng với nk1. 

Vậy theo ngun lí qui nạp thì  1  đúng với mọi số ngun dương n. 

Câu 42 Giả  sử  với  mọi  n  nguyên  dương  ta  có:  1.4 2.7   n3n1 An3Bn2Cn.  Tính  A B C  ? 

A 1.  B 2.  C 3   D 4. 

Lời giải

Chọn  D

Xét A n 1.4 2.7   n3n1. 

Ta  có  A 1 4 1.2 2;  A 2 182.32;  A 3 483.42.  Dự đoán A n( )n n 12.  Ta  chứng  minh bằng quy nạp. 

Có A 1 4 đúng. 

Giả sử đúng với nk, tức là A k k k 12. 

Ta có A k( 1) A k( )k1 3  k11 k k 12k1 3  k11k1k22.  Vậy đẳng thức đúng với nk1. Ta có đpcm. 

Ta có A n( )n n 12 n32n2n. Vậy A B C  4. 

Câu 43 Mệnh đề nào là mệnh đề đúng? 

A Với mọi số tự nhiên n, tồn tại một đa thức P n  sao cho cosnPncos. 

B 1  1, *

2 n n

n  n

       

C 2n n2, n *

 

D n1n nn1, n *  

Lời giải

Chọn A 

Với n1 đáp án B sai.  Với n2 đáp án C sai. 

3

n  đáp án D sai 

Ta chứng minh đáp án A đúng  Với n0, chúng ta có  cos 1  

do đó chúng ta có thể chọn đa thức P x0 1 và mệnh đề đúng với trường hợp n0.  Mệnh đề hiển nhiên đúng với trường hợp n1 với đa thức P x1 x. 

Giả sử mệnh đề đúng với các trường hợp  0nk trong đó k 1. Chúng ta sẽ chứng minh mệnh  đề cũng đúng với trường hợp nk1. 

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 

Vì  0k 1 k, theo giả thiết quy nạp thì mệnh đề đúng cho trường hợp nk1, cho nên sẽ tồn  tại một đa thức Pk1 x  để cos(k1)Pk1(cos )  

Cũng theo giả thiết quy nạp thì mệnh đề đúng cho trường hợp nk, do đó sẽ tồn tại một đa thức 

  k

P x  để  cosk Pk(cos )  Suy ra cos(k1) 2Pk(cos ) cos Pk1(cos )

Do đó nếu chúng ta chọn đa thức Pk1 x   2 P x xk     Pk1 x  thì cosk1 Pk1cos.  Như vậy thì mệnh đề đúng cho trường hợp nk1. 

Theo nguyên lý quy nạp thì mệnh đề đúng với mọi n

Câu 44 Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 2n1n23 n  

A. n3 B. n5 C. n6 D. n4

Lời giải Đáp án D

Kiểm  tra  tính  đúng  –  sai  của  bất  đẳng  thức  với  các  trường  hợp n1, 2, 3, 4,  ta  dự  đoán  được 

1

2n n 3 ,n  với n4. Ta chứng minh bất đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp tốn học.  Thật vây: 

-Bước 1: Với n4 thì vế trái bằng 24 1 2532, còn vế phải bằng 423.428.

Do  3228 nên bất đẳng thức đúng với n4

-Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với nk 4, nghĩa là 2k1k23 k

Ta  phải  chứng  minh  bất  đẳng  thức  cũng  đúng  với  nk1,  tức  là  phải  chứng  minh

 1  2  

2k   k1 3 k1  hay 2k2 k25k4 Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có 2k1k23 k

Suy ra 2.2k12k23k hay 2k2 2k26k

Mặt khác 2k26kk25k4k2  k 42  4 16 với mọi k4 Do đó 2k2 2k23kk25k4 hay bất đẳng thức đúng với nk1 Suy ra bất đẳng thức được chứng minh. 

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học: 2020-2021

Lý thuyết

1.Địnhnghĩadãysố

Mỗi hàm số u xác định tập số nguyên dương * gọi dãy số vơ hạn (gọi tắt dãy số)

Kí hiệu:

 

*

:

u

n u n 

 



Người ta thường viết dãy số dạng khai triển

1, , , ., , .,2 n

u u u u

trong unu n  viết tắt  un , gọi u1 số hạng đầu, un số hạng thứ n số hạng tổng quát dãy số

2.Địnhnghĩadãysốhữuhạn

Mỗi hàm số u xác định tập M1,2,3, ,m với *

m gọi dãy số hữu hạn Dạng khai triển u1, , , ., ,u2 u3 un u1 số hạng đầu, um số hạng cuối II.CÁCHCHOMỘTDÃYSỐ

1.Dãysốchobằngcôngthứccủasốhạngtổngquát 2.Dãysốchobằngphươngphápmôtả

3.Dãysốchobằngphươngpháptruyhồi

Cách cho dãy số phương pháp truy hồi, tức là: a) Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu)

b) Cho hệ thức truy hồi, tức hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước

DẠNG 1: TÌM SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ A Phương pháp giải

Bàitoán1: Cho dãy số (un): un  f n( ) (trong f n( ) biểu thức n) Hãy tìm số hạng uk

Phươngpháp: Thay trực tiếp nk vào un

Bàitoán2: Cho dãy số (un)cho

1 ( )

n n

u a

u f u   

 

(với (f un) biểu thức un) Hãy tìm số hạng uk

Phươngpháp: Tính u u2; 3; ;uk cách u1 vào u2, u2 vào u3, …, uk1 vào

1

k

u 

Bàitoán3: Cho dãy số (un)cho

2

,

n n n

u a u b

u  c u  d u e

 

 

  



Hãy tìm số hạng uk

Phươngpháp: Tính u u3; 4; ;uk cách u u1, 2 vào u3; u u2, 3 vào u4; …;

2,

k k

u  u  vào uk Chương

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Bài toán4: Cho dãy số (un)cho

 

 

1

1 ,

n n

u a

u  f n u

   

  

Trong fn u, n kí hiệu biểu thức un1 tính theo un n Hãy tìm số hạng uk

Phươngpháp: Tính u u2; 3; ;uk cách 1,u1 vào u2; 2,u2 vào u3; …; k1,uk1 vào uk

B Bài tập tự luận

Câu Cho dãy số (un)biết 1 5

2

5

n n

n

u

      

 

    

    

 

Tìm số hạng u6

Câu Cho dãy số (un) có số hạng tổng quát 2 n

n u

n

 

 Số 167

84 số hạng thứ mấy?

Câu Cho dãy số (un)biết

1

2 n n

n

u u u

u 

  

 



 



Tìm số hạng u10

Câu Cho dãy số (un) xác định sau: 1

1 n n u u u

  

 



Tìm số hạng u50

Câu Cho dãy số (un) xác định sau:

2

1;

2

n n n

u u

u u  u

 

 

  



Tìm số hạng u8

Câu Cho dãy số (un) xác định sau:

 

1

1

1

n n

u

n

u u

n 

   

 

 



Tìm số hạng u11

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Câu Cho dãy số (un) xác định bởi:

1

2 n n

u

u  u n

   

  



Tìm số hạng u50

C Bài tập trắc nghiệm

DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH - KHÁ

Câu Cho dãy số  ,un biết

2

2

n

n u

n

 

 Tìm số hạng u5 A 5

4

u  B 5 17

12

u  C 5

4

u  D 5 71

39 u  Câu Cho dãy số  un , biết un  1 n n Mệnh đề sau sai?

A u1 2 B u2 4 C u3 6 D u4 8

Câu Cho dãy số  ,un biết  1

n n n

u

n

  Tìm số hạng u3

A 3

u  B u32 C u3 2 D 3

3 u  

Câu Cho dãy số  ,un biết

n n

n

u  Chọn đáp án

A 4

u  B 5

16

u  C 5

32

u  D 3

8

u 

Câu Cho dãy số  un , biết ( 1) sin( )

n n

n

u n   Số hạng thứ dãy số là:

A 0 B 9 C 1 D 9

Câu Cho dãy số  un , biết

1

n u

n



 Ba số hạng dãy số số đây?

A 1 1; ;

2 B

1 1; ;

2 C

1 1 ; ;

2 D

1 1; ;

3

Câu Cho dãy số  ,un biết 2 n

n u

n

 

 Viết năm số hạng đầu dãy số

A 1 1, 2 3, 3 7, 4 3, 5 11

4

u  u  u  u  u  B 1 1, 2 5, 3 7, 4 3, 5 11

4

u  u  u  u  u  C 1 1, 2 5, 3 8, 4 3, 5 11

4

u  u  u  u  u  D 1 1, 2 5, 3 7, 4 7, 5 11

4

u  u  u  u  u  Câu Cho dãy số  un , biết

3

n n

n u 

 Ba số hạng dãy số A 1 1; ;

2 B

1

; ;

2 26 C

1 1

; ;

2 16 D

1 ; ;

Câu Cho dãy số  un , biết

2

n

n u

n

 

 Số

8

15 số hạng thứ dãy số?

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 10 Cho dãy số  un , biết

5

n

n u

n  

 Số

12 số hạng thứ dãy số?

A 6 B 8 C 9 D 10

Câu 11 Cho dãy số  un , biết 2 1

n

n u

n

 

 Số

2

13 số hạng thứ dãy số?

A Thứ B Thứ tư C Thứ năm D Thứ Câu 12 Cho dãy số  ,un biết unn38n25n7 Số 33 số hạng thứ dãy số?

A 5 B 6 C 8 D 9

Câu 13 Cho dãy số  un với n n

u  Tìm số hạng u2n1

A u2n13 32 n1 B u2n13 3n n1 C u2n132n1 D u2n132n1

Câu 14 Cho dãy số  un với un 3 n Số hạng un1 bằng: A 3n

 B 3n

 C 3 3n

D 3(n1)

Câu 15 Cho dãy ( un) với 1

1

n u

n n n n

    

   Số hạng thứ dãy (un) là:

A   

   

1 1

1

n n n n B

533 840

C 1

8 D Một kết khác

Câu 16 Cho dãy số un với un n n



 Tính u5

A 5 B 6

5 C

5

6 D 1

Câu 17 Cho dãy số un với

2

1

n an u

n



 (ahằng số) Tìm số hạng thứ un1

A  

2

n

a n u

n



 

 B

 2

n

a n u

n



 

 C

2

n

a n u

n 

 

 D

2

1

2

n

an u

n  

 Câu 18 Xét dãy số tự nhiên lẻ Số 2017 số hạng thứ mấy?

A 2017 B 1008 C 1009 D 2015 Câu 19 Số

41 số hạng thứ dãy số 2

1 n

n u

n



 ?

A 7 B 8 C 9 D 10

Câu 20 Cho dãy số  un biết 1 n

n u

n

 

 Số

2 số hạng thứ dãy số

A 3 B 4 C 5 D 6

Câu 21 Cho dãy số  un , biết n

n u

n  

 Năm số hạng dãy số số đây?

A 1; 2; 3; 4;

2

     B 2; 3; 4; 5;

3

    

C 1 5; ; ; ;

2 D

2 ; ; ; ;

Câu 22 Cho dãy số  un , biết

3 n n

n u 

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 A 1 1; ;

2 B

1 ; ;

2 26 C

1 1 ; ;

2 16 D

1 ; ; Câu 23 Cho dãy số  un , biết n

n

u  Tìm số hạng un1 A un12 2.n B

n n

u   C un12n1  D 2

n n

u   Câu 24 Cho dãy số  un , với un 5 n1 Tìm số hạng un1

A 1 n1 n

u 

  B

n n

u  C 1 5.5 n n

u 

  D

1 5.5

n n

u 

 

Câu 25 Cho dãy số  un , với

2 n n n u n        

  Tìm số hạng un1 A

 

2

1 n n n u n          

  B

 

2

1 n n n u n             C n n n u n        

  D

2 n n n u n          

Câu 26 Cho dãy số  un , biết

2 n n

n u 

 Ba số hạng dãy số

A 1 3; ;

2 B 1 1; ;

2 16 C

1 1; ;

4 D

2 1; ;

3 Câu 27 Cho dãy số  un có số hạng tổng quát 2

1 n n u n  

 (với

*

n ) Số hạng dãy là:

A 2 B 3

5 C 0 D

1 Câu 28 Cho dãy số  un có 1

n

u  n  n Số 19 số hạng thứ dãy?

A 5 B 7 C 6 D 4

Câu 29 Cho dãy số  un xác định un  1 cosn  n Giá trị u99

A 99 B 1 C 1 D 99

Câu 30 Cho dãy số  un với un2n1 số hạng thứ 2019của dãy

A 4039 B 4390 C 4930 D 4093 Câu 31 Cho dãy số  un với un  1 n Khi số hạng u2018

A 22018 B 201722017 C 1 2 2018 D 201822018 Câu 32 Cho dãy số  un với , n

3 n n u n   

 Tìm khẳng định sai A 3

10

u  B 10

31

u  C 21 19

64

u  D 50 47

150 u 

Câu 33 Cho dãy số 2 1 n n n u n   

 Tính u11 A 11 182

12

u  B 11 1142

12

u  C 11 1422

12

u  D 11 71

6 u 

Câu 34 Cho dãy số  un có số hạng tổng quát 22 1 n n u n  

 Khi 39

362 số hạng thứ dãy số?

A 20 B 19 C 22 D 21

DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Hỏi dãy số có số hạng nhận giá trị nguyên

A 2 B 4 C 1 D Không có

Câu 36 Cho dãy số  un xác định

  1 1 n n u

u u

   

  

 Tìm số hạng u4

A 4

u  B u41 C 4

3

u  D 4 14

27 u 

Câu 37 Cho dãy số  un xác định 1 2 n n u u u       

 Mệnh đề sau sai?

A 2

u  B 3 15

4

u  C 4 31

8

u  D 5 63

16 u 

Câu 38 Cho dãy số  un xác định 1

7

2

n n

u

u u

  

 



u5 bằng:

A 317 B 157 C 77 D 112

Câu 39 Cho dãy số  un xác định 1

1

n n

u u u

   

 



Ba số hạng dãy số

A 1; 2; B 1; 4; C 4; 7;10 D    1; 3; 7. Câu 40 Cho dãy số  un xác định

       1 n n u

u u Ba số hạng dãy số

A 3; 6; B 3; 2; 7.  C 3; 8;13 D   3; 5;7

Câu 41 Cho dãy số  un xác định

         2 ( 2) n n u n

u u n Số hạng thứ tư dãy số

A 0 B 93 C 9 D 34

Câu 42 Cho dãy số   : 2 n n n u u

u khi n

u          

Tính tổng số hạng thứ ba thứ tư dãy số cho

A 308

145 B 12 C 64

35 D 2

Câu 43 Cho dãy số  un biết

2 1 n n n u n          

Tìm số hạng un1

A 1 n n n u n            B n n n u n           C 1 n n n u n           D 2 n n n u n          

Câu 44 Cho dãy số  un xác định 2017 sin 2018 cos

2

n

n n

u       

    Mệnh đề đúng?

A *

9 ,

n n

u  u  n  B *

15 ,

n n

u  u  n  C un12 un, n * D un6 un, n *

Câu 45 Cho dãy số  un có u1u2 1 un2 un1un, n * Tính u4

A 5 B 3 C 2 D 4

Câu 46 Cho dãy số   1 5 : n n n u u

u  u n

  

 



TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021

A 5 B 6 C 9 D 10

Câu 47 Cho dãy số 1

4

n n u

u u n

  

 



Tìm số hạng thứ dãy số

A 16 B 12 C 15 D 14

DẠNG XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC CỦA DÃY SỐ (UN) A Phương pháp giải

Ta lựa chọn cách sau:

Cách Sử dụng biến đổi đại số để thu gọn đơn giản biểu thức un Cách Sử dụng phương pháp quy nạp việc thực theo bước sau: Bước Viết vài số hạng đầu dãy, từ dự đốn công thức cho un Bước Chứng minh công thức dự đoán phương pháp quy nạp B Bài tập tự luận

Câu Tìm số hạng đầu tìm cơng thức tính số hạng tổng quát un theo n dãy số sau : a)

1

2 n n

u u  u

  

 



b) 1

2

n n

u

u  u

  

 

Câu Dãy số  un xác định cộng thức: 3

1

n n

u

n

u u n

  

  

 

  a) Tìm cơng thức số hạng tổng quát b) Tính số hạng thứ 100 dãy số

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu Cho dãy số  un xác định bởi: u12 un15un với n1

a) Hãy tínhu u2, 4 u6

b) Chứng minh

2.5n n

u 

 với mọin1

Câu Cho dãy số  un xác định bởi: u11 vàun1un7 với n1

a) Hãy tínhu u2, 4 u6

b) Chứng minh rằng:un 7n6 1  với n1

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Câu Cho dãy số  un với u11 un13un10 với n1

Chứng minh rằng: un2.3n5  n

Câu Cho dãy số  un , biết

1 3, n 1 n

u  u   u với n1,n a) Viết năm số hạng dãy số

b) Dự đốn cơng thức số hạng tổng qt un chứng minh phương pháp quy nạp

Câu Tìm số hạng đầu tìm cơng thức tính số hạng tổng qt un theo n dãy số sau :

a)

1

, *

1 n n

n

u

n u

u

u 

  

  



 



 b) 1

1 n n

u u  u

   

 



với n1,n

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu Cho dãy số (un)xác định bởi:

1

2

n n

u

u u  n

  

   



1. Viết năm số hạng đầu dãy; 2. Chứng minh 2n 3

n

u    ;

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Câu Cho hai dãy số (un), ( )vn xác định sau u13,v12

2

1

1

2

n n n

n n n

u u v

v u v

 

  

 

  

với n2

1. Chứng minh: 2

2

n n

u  v   12

n

n n

u  v   với  n 1; 2. Tìm cơng thức tổng quát hai dãy ( )un ( )vn

C Bài tập trắc nghiệm

DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH - KHÁ

Câu Cho dãy số viết dạng khai triển 1, 4,9,16, 25,n Trong công thức sau, công thức công thức tổng quát dãy số

A un 3n2 B un n3 C unn2 D un2n21 Câu Cho dãy số có số hạng đầu là:8,15, 22, 29, 36, Tìm số hạng tổng quát dãy số cho

A un 7n7 B un 7 n C un 7n1 D un 7n3

Câu Cho dãy số 5, , , ,

2 Công thức tổng quát un dãy số cho?

A *

1 n

n

u n

n

  

  B

*

n n

n

u   n  C *

3 n

n

u n

n



  

  D

*

2 n

n

u n

n

  

 

Câu Cho dãy số có số hạng đầu là: 5;10;15; 20; 25; Số hạng tổng quát dãy số là: A un 5(n1) B un5n C un  5 n D un5.n1 Câu Cho dãy số có số hạng đầu là: ;

5 ; ; ; ;

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A un n

n



 B

1 n n u n 

 C

1 n n u n 

 D

2 n n n u n    Câu Cho dãy số có số hạng đầu là: 1;1; 1;1; 1;    Số hạng tổng quát dãy số có dạng

A un 1 B un 1 C un (1)n D un   1 n1 Câu Cho dãy số có số hạng đầu là: 2; 0; 2; 4; 6;  Số hạng tổng quát dãy số có dạng?

A un 2n B un 2n C un 2(n1) D un   2 2n1 Câu Cho dãy số có số hạng đầu là: ;

3 ; ; ; ;

2 ….Số hạng tổng quát dãy số là?

A 1

3   n n

u B 1

3

  n n

u C un n

3

 D 1

3   n n u

DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI

Câu Cho dãy số  un xác định   1 n n u n u  u

     

Tìm cơng thức số hạng tổng qt dãy số

A un3n B un 3n1 C un 3n12 D un 3n2

Câu 10 Cho dãy số có số hạng đầu là:0.1;0.01;0.001;0.0001 Số hạng tổng quát dãy số có dạng?

A 

0

0.00 01

n

n sè

u B

  0.00 01 n n sè u

C 1

10 n n

u   D 1

10 n n

u  

Câu 11 Cho dãy số có số hạng đầu là: 1,3,19,53 Hãy tìm quy luật dãy số viết số hạng thứ 10 dãy với quy luật vừa tìm

A u1097 B u1071 C u101414 D u10 971

Câu 12 Cho dãy số  un với      

 u n

u u

n n1

.Số hạng tổng quát un dãy số số hạng đây? A

2 ) (n n un



 B

2 ) (

5 n n

un    C ) (

5 n n

un    D

2 ) )( (

5  

 n n

un

Câu 13 Cho dãy số  un với

  1 n n n u u  u

        

Số hạng tổng quát un dãy số số hạng đây?

A un  1 n B un  1 n C un   1  1 2n D un n Câu 14 Cho dãy số  un với

  1 1 n n n u

u  u 

        

Số hạng tổng quát un dãy số số hạng đây?

A un 2 n B un không xác định C un  1 n D un nvới n Câu 15 Cho dãy số  un với 2

1

n n

u

u  u n

  

 



TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 A  2 1

6 n

n n n

u     B  2 2

6 n

n n n

u    

C  2 1 n

n n n

u     D  2 2

6 n

n n n

u    

Câu 16 Cho dãy số  un với 1 2 n n u

u  u n

  

  

 Số hạng tổng quát un dãy số số hạng đây?

A un 2n12 B un2n2 C un 2n12 D un 2n12 Câu 17 Cho dãy số  un với

1 2 n n u u u           

Công thức số hạng tổng quát dãy số là:

A n

n u

n 

  B n

n u

n 

 C n

n u

n 

  D

1 n n u n   

Câu 18 Cho dãy số  un với 1 2 n n u u  u

       

Công thức số hạng tổng quát dãy số là:

A 2 1

n

u   n B 2 1

n

u   n C

2 n

u   n D

2 n

u   n

Câu 19 Cho dãy số  un với 1 n n u u u         

Công thức số hạng tổng quát dãy số là:

A  1

n n

u     

  B  

1 1 n n u       

  C

1 n n u      

  D  

1 1 n n u         

Câu 20 Cho dãy số  un với 1

2

n n

u

u u

  

 

Công thức số hạng tổng quát dãy số này:

A n

n

u n  B 2n

n

u  C 2n1

n

u   D 2

n

u 

Câu 21 Cho dãy số  un với 1 2 n n u

u  u

      

Công thức số hạng tổng quát dãy số này:

A un  2n1 B 11 n n

u   C

2 n n

u   D un 2n2 Câu 22 Cho dãy số (un) xác định 3 *

1

, n n

u

u  u n n

  

 

  

Tìm số nguyên dương n nhỏ cho

2039190

n

u  

A n2017 B n2019 C n2020 D n2018

Câu 23 Cho dãy số  un xác định 1

1

2 1, n n

u

u  u n n

  

   



Giá trị n để un2017n20180

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 24 Cho dãy số  un xác định bởi:   1 n n u n u  u

      

Xác định công thức số hạng tổng quát

A un 2n1 B un3n2 C un 4n3 D un8n7 Câu 25 Cho dãy số  un với

  1 n u n n 

 dãy số  vn xác định  

1

1

1

n n n

v u

n v  v u 

      

Xác định

công thức tổng quát dãy  vn

A

3 n n v n  

 B

2 n n v n  

C

4 n n v n  

 D n

n v

n

 

Câu 26 Cho dãy số  un xác định  

1

1

3

2

n n n

u u

n u u  u

        

Tìm cơng thức số hạng tổng quát

dãy số

A un n23n2 B unn24n3 C un n23n2 D unn23n3

Câu 27 Tìm cơng thức tổng qt dãy số cho 1

5

2 3

n n

u

u  u n

  

  

 A un 2n3 B un3n2 C un 3n2 D un2n3n

Câu 28 Tìm số hạng tổng quát dãy số cho công thức truy hồi sau 1 2 n u

u n

       

A

2

n n

u   B

2

n n

u  

C 12

n n

u    D 11

n n

u   

Câu 29 Cho dãy số  un xác định 1 n n n u u u u          

Đặt n n n u v u 

 Tìm cơng thức số hạng tổng quát

của dãy số vn

A

11 n

v

n



 B

2 n v n  

C

1 n

v

n



 D

3 n

v  n

Câu 30 Xác định công thức tính số hạng tổng quát theo n dãy số sau:

A B

C D

n u 1 n n u u  u

      n

u  n un2n1

2n n

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Câu 31 Xác định cơng thức tính số hạng tổng quát theo n dãy số sau:

A B

C D

n

u 3

1

1 n n

u

n

u  u n

 

  

 



 2

2 n

n n

u    

2

1

4 n

n n

u   

 2

2 1

4 n

n n

u    

2

2 1

1

4 n

n n

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học: 2020-2021

Lý thuyết

1.Địnhnghĩadãysố

Mỗi hàm số u xác định tập số nguyên dương * gọi dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số)

Kí hiệu:

 

* :

u

n u n



 

 Người ta thường viết dãy số dạng khai triển

1, , , ., , .,2 n

u u u u

trong unu n  viết tắt  un , gọi u1 số hạng đầu, un số hạng thứ n số hạng

tổng quát dãy số

2.Địnhnghĩadãysốhữuhạn

Mỗi hàm số u xác định tập M1,2,3, ,m với *

m gọi dãy số hữu hạn Dạng khai triển u1, , , ., ,u2 u3 un u1 số hạng đầu, um số hạng cuối

II.CÁCHCHOMỘTDÃYSỐ

1.Dãysốchobằngcôngthứccủasốhạngtổngquát

2.Dãysốchobằngphươngphápmôtả

3.Dãysốchobằngphươngpháptruyhồi

Cách cho dãy số phương pháp truy hồi, tức là: a) Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu)

b) Cho hệ thức truy hồi, tức hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước

DẠNG 1: TÌM SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ A Phương pháp giải

Bàitoán1: Cho dãy số (un): un  f n( ) (trong f n( ) biểu thức n) Hãy tìm số hạng uk

Phươngpháp: Thay trực tiếp nk vào un

Bàitoán2: Cho dãy số (un)cho

1 ( )

n n

u a

u f u

  

 

(với (f un) biểu thức un) Hãy tìm

số hạng uk

Phươngpháp: Tính u u2; 3; ;uk cách u1 vào u2, u2 vào u3, …, uk1 vào

1 k u 

Bàitoán3: Cho dãy số (un)cho

2

,

n n n

u a u b

u  c u  d u e

 

 

  



Hãy tìm số hạng uk

Phươngpháp: Tính u u3; 4; ;uk cách u u1, 2 vào u3; u u2, 3 vào u4; …;

2, k k

u  u  vào uk

Chương

SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Bài toán4: Cho dãy số (un)cho

    1 , n n u a

u  f n u

      

Trong fn u, n kí hiệu biểu thức un1 tính theo un n Hãy tìm số hạng uk

Phươngpháp: Tính u u2; 3; ;uk cách 1,u1 vào u2; 2,u2 vào u3; …;

k1,uk1 vào uk B Bài tập tự luận

Câu 1. Cho dãy số (un)biết 1 5

2 n n n u                     

Tìm số hạng u6 Lờigiải

Thế trực tiếp:

6

6

1 5

8 2 u                             

Câu 2. Cho dãy số (un) có số hạng tổng quát

2 n n u n  

 Số

167

84 số hạng thứ mấy?

Lờigiải

Giả sử        



167 167

84(2 1) 167( 2)

84 84

n

n

u n n

n n250

Vậy 167

84 số hạng thứ 250 dãy số (un)

Câu 3. Cho dãy số (un)biết

1 1 n n n u u u u          

Tìm số hạng u10

Lờigiải

1

1

2

1 1

u u u        ; 3

2 2

3 u u u       

;

4

7

2 5 17

7 12 u u u        ; 17

2 12 41

17

1 1 29

12 u u u        ; 41

2 29 99

41

1 1 70

29 u u u        ; 99

2 70 239

99

1 1 169

70 u u u        239

2 169 577

239

1 1 408

169 u u u        ; 577

2 408 1393

577

1 1 985

408 u u u        ; 10 1393

2 985 3363

1393

1 1 2378

985 u u u       

Câu 4. Cho dãy số (un) xác định sau:

1

1

n n

u

u u

  

 



Tìm số hạng u50 Lờigiải

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 50 49 2 u u u u u u u       

Cộng theo vế đẳng thức trên, ta được:

50 2.49 99

u   

Câu 5. Cho dãy số ( )un xác định sau:

2

1;

2

n n n

u u

u u u

 

 

  



Tìm số hạng u8 Lờigiải

3 2 12

u  u  u   u42u33u2 5 35 u52u43u3 5 111

6 5 332

u  u  u   u72u63u5 5 1002 u82u73u6 5 3005

Câu 6. Cho dãy số (un) xác định sau:

  1 1 n n u n u u n          

Tìm số hạng u11

Lờigiải

2

1

( 1)

2

u  u   3 2( 2 1)

3

u  u   4 3( 3 1)

4

u  u   5 4( 4 1)

5

u  u  

6

5

( 1)

6

u  u  

6

( 1)

7

u  u  

7

( 1)

8

u  u  

8

( 1)

9

u  u  

10

9

( 1)

10

u  u   11 10( 10 1)

11

u  u  

Câu 7. Cho dãy số ( )un xác định bởi: 1 2 n n u

u  u n

       

Tìm số hạng u50

Lờigiải Từ giả thiết ta có:

1 50 49 2.2 2.3 2.50 u u u u u u u       

Cộng theo vế đẳng thức trên, ta được:

50 50

2

1

2.(2 50) 2548,

2 x

u x



        

C Bài tập trắc nghiệm

DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH - KHÁ Câu 1. Cho dãy số  un ,biết

2 2 n n u n  

 Tìm số hạng u5 A

1

u  B

17 12

u  C

7

u  D

71 39

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Lờigiải

ChọnC

Ta có

2

5

2.5

5

u   



Câu 2. Cho dãy số  un , biết un  1 n n Mệnh đề sau sai?

A u1 2 B u24 C u3 6 D u4 8

Lờigiải

ChọnD

Vì u4   1 2.44 8

Câu 3. Cho dãy số  un , biết  1

n n n

u

n

  Tìm số hạng u3

A 3

3

u  B u32 C u3 2 D 3

u  

Lờigiải

ChọnD

Ta có  

3 3

2

1

3

u    

Câu 4. Cho dãy số  un , biết

2

n n

n

u  Chọn đáp án

A 4

4

u  B 5

16

u  C 5

32

u  D 3

8

u 

Lờigiải

ChọnA

Ta có 4 44

2

u  

Câu 5. Cho dãy số  un , biết ( 1) sin( ) n n

n

u n   Số hạng thứ dãy số là:

A 0 B 9 C 1 D 9

Lờigiải

ChọnD

Ta có 9 9. 1 sin9 9

u      

 

Câu 6. Cho dãy số  un , biết 1 n

u n



 Ba số hạng dãy số số

đây? A 1 1; ;

2 B

1 1; ;

2 C

1 1 ; ;

2 D

1 1; ;

3 Lờigiải

ChọnA

Ta có 1 1, 2 1, 3

2

u  u  u 

Câu 7. Cho dãy số  un , biết

2

n n u

n  

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021

A 1 1, 2 3, 3 7, 4 3, 5 11

4

u  u  u  u  u  B 1 1, 2 5, 3 7, 4 3, 5 11

4

u  u  u  u  u 

C 1 1, 2 5, 3 8, 4 3, 5 11

4

u  u  u  u  u  D 1 1, 2 5, 3 7, 4 7, 5 11

4

u  u  u  u  u 

Lờigiải

ChọnB

Câu 8. Cho dãy số  un , biết

3

n n

n u 

 Ba số hạng dãy số

A 1 1; ;

2 B

1 ; ;

2 26 C

1 1 ; ;

2 16 D

1 ; ; Lờigiải

ChọnB

Câu 9. Cho dãy số  un , biết

2

n

n u

n  

 Số

8

15 số hạng thứ dãy số?

A 8 B 6 C 5 D 7

Lờigiải

ChọnD

Ta có 8 *

15 15 16

15 15

n

n

u n n n n

n



         

 

Câu 10. Cho dãy số  un , biết

5

n n u

n

 

 Số

12 số hạng thứ dãy số?

A 6 B 8 C 9 D 10

Lờigiải

ChọnB

Ta có 7  * 24 60 35 28 11 88

12 12

n

n

u n n n n n

n



           

 

Câu 11. Cho dãy số  un , biết 2 1

n

n u

n  

 Số

2

13 số hạng thứ dãy số?

A Thứ B Thứ tư C Thứ năm D Thứ

Lờigiải

ChọnC

Ta có  

   

* 2

2

5

2

13 13 2 13 15 3

13 13

2

n

n n

n

u n n n n n

n n l

 

 

            



 





Câu 12. Cho dãy số  un , biết 8 5 7.

n

u n  n  n Số 33 số hạng thứ dãy số?

A 5 B 6 C 8 D 9

Lờigiải

ChọnC

Ta có    

 

3 *

33 33 40

5

n

n n

u n n n n n n n

n l

 

               

  

 Câu 13. Cho dãy số  un với un 3 n Tìm số hạng u2n1

A u2n13 32 n1 B u2n13 3n n1 C u2n132n1 D 32 1

n n

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Lờigiải

ChọnB

Ta có u2n1 32n1 3n n

 

  

Câu 14. Cho dãy số  un với n n

u  Số hạng un1 bằng: A 3n1

B 3n3

C 3 3n

D 3(n1) Lờigiải

ChọnC

Ta có un13n13 3n

Câu 15. Cho dãy ( un) với 1

1

n

u

n n n n

    

   Số hạng thứ dãy (un) là:

A   

   

1 1

1

n n n n B

533 840 C 1

8 D Một kết khác Lờigiải

ChọnA

Câu 16. Cho dãy số un với un n n 

 Tính u5

A 5 B 6

5 C

5

6 D 1

Lời giải: Chọn B

Thay n5 vào un n n 

 ta 5

5

u   

Câu 17. Cho dãy số un với

2 n

an u

n



 (ahằng số) Tìm số hạng thứ un1

A  

2

n

a n u

n 

 

 B

 2

1

n

a n u

n 

 

 C

2

n

a n u

n



 

 D

2

1

2 n

an u

n

 



Lời giải: Chọn B

Ta có  

 

 

 

2

1

1

1 2

n

a n a n

u

n n



 

 

  

Câu 18. Xét dãy số tự nhiên lẻ Số 2017 số hạng thứ mấy?

A 2017 B 1008 C 1009 D 2015

Lời giải

Chọn C

Ta có: un 2n1,un 2017n1009

Câu 19. Số

41 số hạng thứ dãy số

2

n n u

n 

 ?

A 7 B 8 C 9 D 10

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Xét

*

2

2

9 41

1 82

n n

n

n n n

  

   

    



Câu 20. Cho dãy số  un biết

1

n n u

n  

 Số

3

2 số hạng thứ dãy số

A 3 B 4 C 5 D 6

Lời giải: Chọn C

Nhập vào máy tính biểu thức

1

X X



 , sử dụng chức CALC đáp án, ta

2 1

X X

  CALC 3

2

Câu 21. Cho dãy số  un , biết

1

n

n u

n

 

 Năm số hạng dãy số số đây?

A 1; 2; 3; 4;

2

     B 2; 3; 4; 5;

3

    

C 1 5; ; ; ;

2 D

2 ; ; ; ;

Lờigiải Ta có 1 1; 2 2; 3 3; 4 4; 5

2

u   u   u   u   u   Chọn A

Nhậnxét: (i) Dùng MTCT chức CALC để kiểm tra (tính) nhanh

(ii) Ta thấy dãy  un dãy số âm nên loại phương án C,D Đáp án A B Ta cần kiểm tra số hạng mà hai đáp án khác Chẳng hạng kiểm tra u1 thấy 1

2 u   nên ChọnA

Câu 22. Cho dãy số  un , biết

3

n n

n

u 

 Ba số hạng dãy số số đây?

A 1 1; ;

2 B

1

; ;

2 26 C

1 1

; ;

2 16 D

1 ; ;

Lờigiải Dùng MTCT chức CALC: ta có

1 2 3

1 2 3

; ;

2 26

u  u    u  

  Chọn B

Câu 23. Cho dãy số  un , biết un 2 n Tìm số hạng un1

A un12 2.n B

n n

u   C un12n1  D 2

n n

u  

Lờigiải

Thay n n1 công thức un ta được: un12n12.2n Chọn A

Câu 24. Cho dãy số  un , với un 5 n1 Tìm số hạng un1 A un15 n1 B

n n

u  C

1

1 5.5

n n

u   D

1

1 5.5

n n

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Lờigiải  1

1

1

5n n n 5n n

n n

u     u      Chọn B

Câu 25. Cho dãy số  un , với

2 n n n u n        

  Tìm số hạng un1

A

 

1 n n n u n          

  B

 

1 n n n u n             C n n n u n        

  D

2 n n n u n           Lờigiải      

2

1

1 1

1 1

n n n n n n n n n n u u

n n n

                          

      Chọn D

Câu 26. Cho dãy số  un , biết

2

n n

n

u 

 Ba số hạng dãy số A 1 3; ;

2 B

1 1; ;

2 16 C

1 1; ;

4 D

2 1; ;

3

Lờigiải

Chọn D

1

2

1, ,

3

u  u  u 

Câu 27. Cho dãy số  un có số hạng tổng quát 2 n n u n  

 (với

*

n ) Số hạng dãy là:

A 2 B 3

5 C 0 D

1 Lờigiải

ChọnD

Ta có 1 21

1

u   



Câu 28. Cho dãy số  un có

1

n

u  n  n Số 19 số hạng thứ dãy?

A 5 B 7 C 6 D 4

Lờigiải

ChọnA

Giả sử un  19, n*

Suy n2   n 1 19

2 20 0

n n        n n l       

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Câu 29. Cho dãy số  un xác định un  1 cosn  n Giá trị u99

A 99 B 1 C 1 D 99

Lờigiải

ChọnC

Ta có: u99  199cos 99  cos 98  cos  1 Câu 30. Cho dãy số  un với un2n1 số hạng thứ 2019của dãy

A 4039 B 4390 C 4930 D 4093

Lờigiải

Chọn A

Ta có: u2019 2.2019 1 4039

Câu 31. Cho dãy số  un với n n

u   Khi số hạng u2018

A 22018 B 201722017 C 2018

1 2 D 201822018 Lờigiải

ChọnC

Ta có 2018

2018 u  

Câu 32. Cho dãy số  un với , n

3

n n u

n



 

 Tìm khẳng định sai

A 3

10

u  B 10

31

u  C 21 19

64

u  D 50 47

150

u 

Lờigiải

ChọnD

Ta có: 50 50 48 3.50 151

u   



Câu 33. Cho dãy số

2

2

1

n

n n

u

n

 



 Tính u11

A 11 182

12

u  B 11 1142

12

u  C 11 1422 12

u  D 11 71

6

u 

Lờigiải

ChọnD

Ta có:

2 11

11 2.11 71

11

u    



Câu 34. Cho dãy số  un có số hạng tổng quát 22

1

n

n u

n

 

 Khi

39

362 số hạng thứ dãy số?

A 20 B 19 C 22 D 21

Lờigiải

ChọnB

Ta có 22 39

1 362

n n

  

2

39n 724n 323

   

19 17 39

n n

   

   

, *

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI

Câu 35. Cho dãy số  un với   



2

3

1 n

n n

u

n

Hỏi dãy số có số hạng nhận giá trị nguyên

A 2 B 4 C 1 D Khơng có

Lờigiải

ChọnC

Ta có  

2

*

3

2

1

n

n n

u n n

n n

 

    

  

Để un nhận giá trị nguyên  *

1 n

n  số nguyên hay n4 Vậy dãy số  un có số hạng nhận giá trị nguyên

Câu 36. Cho dãy số  un xác định

 

1

1

1

n n

u

u u

   

  

 Tìm số hạng u4

A 4

9

u  B u41 C 4

3

u  D 4 14

27

u 

Lờigiải

ChọnA

Ta có 2 12 1 1, 3 11 1 2, 4

3 3 3

u    u    u    

 

Câu 37. Cho dãy số  un xác định

1

1

2

n n

u u u    

  

 Mệnh đề sau sai?

A 2

2

u  B 3 15

4

u  C 4 31

8

u  D 5 63

16

u 

Lờigiải

ChọnA

Vì 2

2

u   

Câu 38. Cho dãy số  un xác định

1

7

2

n n

u

u u

  

 



u5 bằng:

A 317 B 157 C 77 D 112

Lờigiải

ChọnB

Ta có u2 2.7 17,  u32.17 3 37,u4 2.37 3 77,u5 2.77 157 

Câu 39. Cho dãy số  un xác định

1

1

n n

u u u    

 



Ba số hạng dãy số A 1; 2; B 1; 4; C 4; 7;10 D    1; 3; 7.

Lờigiải

ChọnA

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Câu 40. Cho dãy số  un xác định

       1 n n u

u u Ba số hạng dãy số

A 3; 6; B 3; 2; 7.  C 3; 8;13 D   3; 5;7 Lờigiải

ChọnC

Ta có u13,u2  3 8,u3  8 13

Câu 41. Cho dãy số  un xác định

         2 ( 2) n n u n

u u n Số hạng thứ tư dãy số

A 0 B 93 C 9 D 34

Lờigiải

ChọnD

Ta có u22.222 0, u32.0 3 39,u42.9 4 34

Câu 42. Cho dãy số  

1 : 2 n n n u u

u khi n

u          

Tính tổng số hạng thứ ba thứ tư dãy số cho

A 308

145 B 12 C 64

35 D 2

Lời giải: Chọn A

Ta có: 2

2

1

2

2

1

u u

  

  ; 22

2 2

5

1

u u

  

  ; 32

2 50

29 2 u u           

Do 3 4 50 308

5 29 145

u u   

Câu 43. Cho dãy số  un biết

2 1 n n n u n          

Tìm số hạng un1

A 1 n n n u n            B

1 3

n n n u n           C

1 3

n n n u n           D 2

1 3

n n n u n           Lời giải: Chọn B      

2 1 2 3

1 1 n n n n n u n n                       

Câu 44. Cho dãy số  un xác định 2017 sin 2018 cos

2

n

n n

u       

   

Mệnh đề đúng?

A *

9 ,

n n

u  u  n  B * 15 ,

n n

u  u  n 

C *

12 ,

n n

u  u  n  D * ,

n n

u  u  n  Lờigiải

ChọnC

Ta có: 12 2017 sin  12 2018cos  12

2

n

n n

u  

 

   

    

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

2017 sin 2018 cos

2

n n

 

   

      

   

2017 sin 2018 cos

2

n n

   

    

   

*

,

n u n

  

Câu 45. Cho dãy số  un có u1u2 1 un2 un1un, n * Tính u4

A 5 B 3 C 2 D 4

Lờigiải

ChọnB

Ta có u3u2u12

4 3

u u u 

Câu 46. Cho dãy số  

1 5 :

n

n n

u u

u  u n

  

 



Số 20 số hạng thứ dãy?

A 5 B 6 C 9 D 10

Lờigiải

ChọnB

Cách1:

1 5, 6, 8, 11, 15, 20

u  u  u  u  u  u 

Vậy số 20 số hạng thứ Cách2:

Dựa vào cơng thức truy hồi ta có

 

1

2

3

4 5

5 1 5 2 5 3

1 5 1 5

2 n

u u u u

n n

u n

         



        

 

 

1

20 5 *

2

n n n



          

  

2 6

30 0

5(lo¹i) n

n n

n

Vậy 20 số hạng thứ

Cách3: Sử dụng máy tính CASIO fx – 570VN PLUS SHIFT STO A

5 SHIFT STO B

Ghi vào hình C = B + A: A = A + 1: B = C Ấn CALC lặp lại phím =

Ta tìm số 20 số hạng thứ

Câu 47. Cho dãy số

1

4

n n

u

u u n

  

 



Tìm số hạng thứ dãy số

A 16 B 12 C 15 D 14

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Ta có u2u1 1 5; u3u2 2 7; u4 u3 3 10 Do số hạng thứ dãy số

5 4 14 u u  

DẠNG XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC CỦA DÃY SỐ (UN) A Phương pháp giải

Ta lựa chọn cách sau:

Cách Sử dụng biến đổi đại số để thu gọn đơn giản biểu thức un

Cách Sử dụng phương pháp quy nạp việc thực theo bước sau: Bước Viết vài số hạng đầu dãy, từ dự đốn cơng thức cho un

Bước Chứng minh cơng thức dự đốn phương pháp quy nạp

B Bài tập tự luận

Câu 1. Tìm số hạng đầu tìm cơng thức tính số hạng tổng qt un theo n dãy số sau :

a)

1

3

n n

u u  u

  

 



b)

1

2

n n

u

u  u

  

 

Lờigiải a)

1

3

n n

u u  u

  

 



Ta có:

2 u u    

3 2 u u    

4

u u    

5 11

u u    

Từ số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng tổng quát un có dạng:  

2 1 *

n

u  n  n

Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh công thức * Với n1;u12.1 3  (đúng) Vậy  * với n1

Giả sử  * với nk Có nghĩa ta có: uk 2k1 2 

Ta cần chứng minh  * với nk1 Có nghĩa ta phải chứng minh:

 

1 1 k

u   k   k

Thật từ hệ thức xác định dãy số theo  2 ta có:

1 2 2

k k

u  u   k   k

Vậy  * nk1 Kết luận  * với số nguyên dương n b)

1

2

n n

u

u  u

  

 

Ta có:

2 2 2.2

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 3 2 2.4

u  u   

4

4 2.8 16

u  u   

5 2.16 32

u  u   

Từ số hạng đầu tiên, ta dự đoán số hạng tổng quát un có dạng: un 2n n *  Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh cộng thức  * Với n1, có:u1212 (đúng) Vậy  * với n1

Giả sử * với nk, có nghĩa ta có:uk 2 2k  

Ta cần chứng minh  * với nk1 Có nghĩa ta phải chứng minh:

1 k k

u   

Thật từ hệ thức xác định dãy số theo  2 ta có:

1 2.2

k k

k k

u   u   

Vậy  * với nk1 Kết luận  * với số nguyên dương n

Câu 2. Dãy số  un xác định cộng thức: 3

1

1

n n

u

n

u u n

  

  

 

  a) Tìm cơng thức số hạng tổng quát b) Tính số hạng thứ 100 dãy số

Lờigiải a) Ta có:un1unn3un1unn3

Từ suy ra:

1 u 

3 1

u u 

3 2

u u 

3 3

u u 

 3

1 2

n n

u  u  n

 3

1

n n

u u   n

Cộng vế n đẳng thức trên:

 3  3

3 3

1 n n n n 1 u u u u u  u  u  u u        n  n

 3  3

3 3

1

n

u n n

         

Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được:    

2

3 3

1

4

n n

n 

     

Vậy  

2

1

4

n

n n

u   

b)

2 100

100 99

1 24502501

4

u   

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 b) Chứng minh

2.5n n

u 

 với mọin1 Lờigiải a) Ta có:

2 5.2 10 u  u  

3 5.10 50 u  u  

4 5.50 250 u  u  

5 5.250 1250

u  u  

6 5 5.1250 6250

u  u  

b) Ta chứng minh: 2.5n1 1  n

u   với n1, phương pháp quy nạp

Với n1, ta có: u12.502 (đúng) Vậy  1 với n1 Giả sử  1 với nk k N* Có nghĩa ta có: uk 2.5 k1

Ta phải chứng minh  1 với nk1 Có nghĩa ta phải chứng minh: uk12.5 k

Từ hệ thức xác định dãy số:  un giả thiết quy nạp ta có:

1

1 2.5 2.5

k k

k k

u  u    (đpcm)

Câu 4. Cho dãy số  un xác định bởi: u11 vàun1un7 với n1 a) Hãy tínhu u2, 4 u6

b) Chứng minh rằng:un7n6 1  với n1 Lờigiải a) Ta có:

2 7

u u    

3 15 u u    

4 15 22 u u    

5 22 29 u u    

6 29 36 u u    

b) Với n1, ta có:u17.1 1  (đúng) Vậy  1 với n1 Giả sử  1 với nk k N* Có nghĩa ta có: uk 7k6

Ta phải chứng minh  1 với nk1 Có nghĩa ta phải chứng minh:

 

1 k

u   k 

Từ hệ thức xác định dãy số  un giả thiết quy nạp ta có:

   

1 7 7

k k

u  u   k   k  (đúng)

Câu 5. Cho dãy số  un với u11 un13un10 với n1 Chứng minh rằng: un2.3n5  n

Lờigiải Ta chứng minh 2.3n 1 

n

u   phương pháp quy nạp

Với n1, ta có: 1 2.3 1

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Giả sử  1 với nk k N* Có nghĩa ta có: uk 2.3k 5 2  Ta phải chứng minh  1 với nk1 Có nghĩa ta phải chứng minh:

1 2.3

k n

u 

  

Từ hệ thức xác định dãy số  un từ (2) ta có:

 

1 10 2.3 10 2.3 15 10 2.3

k k k

k k

u   u           (đpcm)

Câu 6. Cho dãy số  un , biết u13,un1 1un2 với n1,n a) Viết năm số hạng dãy số

b) Dự đốn cơng thức số hạng tổng quát un chứng minh phương pháp quy nạp Lờigiải

a) Ta có:

2

2 1 10

u  u 

2

3 11

u  u 

2

4 12

u  u 

2

5 13

u  u 

b) Ta có: u1 8, u2  8, u3  8, u4 8, u5  8

Ta dự đốn un  n8 1 

Với n1, có:u1 8 3 (đúng) Vậy (1) với n1 Giả sử (1) với nk, có nghĩa ta có:uk  k8 2 

Ta cần chứng minh (1) với nk1 Có nghĩa ta phải chứng minh:

1

k

u   k

Thật từ hệ thức xác định dãy số theo  2 ta có:

2

1 1 ( 8)

k k

u   u   k  k

Vậy (1) với nk1 Kết luận  * với số nguyên dương n

Câu 7. Tìm số hạng đầu tìm cơng thức tính số hạng tổng quát un theo n dãy số sau :

a)

1

1

1

, *

1

n n

n u

n u

u

u 

  

  



 



 b)

1

1

n n

u u  u

   

 



với n1,n

Lờigiải a) Ta có:

1

1

1

1 1

u u

u

  

 

2

2

1

2 .

1

1 1

2

u u

u

  

 

3

3

1

3 .

1

1 1

3

u u

u

  

 

4

4

1

4 .

1

1 1

4

u u

u

  

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Từ số hạng đầu trên, ta dự đốn số hạng tổng qt un có dạng: un 1, n * 

n

  

Ta dùng phương pháp quy nạp để chứng minh cơng thức * Đã có: * với n1

Giả sử  * nk Nghĩa ta có:uk k



Ta chứng minh  * nk1 Nghĩa ta phải chứng minh: 1

k

u k

   Thật từ hệ thức xác định dãy số giả thiết quy nạp ta có:

1

1

1

1

1

1

k k

k

u k k

u

k

u k

k k

     

 



Kết luận:  * nk1,suy  * với số nguyên dương n b) Ta có :

2 3.2 u u    

3 3.3 u u    

4 3 3.4

u u    

5 11 3.5 u u    

Từ số hạng đầu trên, ta dự đốn số hạng tổng qt un có dạng: un 3n4, n *  Ta dùng phương pháp quy nạp để chứng minh cơng thức *

Đã có: * với n1

Giả sử  * nk Nghĩa ta có:uk 3k4

Ta chứng minh  * nk1 Nghĩa ta phải chứng minh: uk13(k1) 4

Thật từ hệ thức xác định dãy số giả thiết quy nạp ta có:

1 3 3( 1)

k k

u  u   k   k 

Kết luận:  * nk1,suy  * với số nguyên dương n

Câu 8. Cho dãy số (un)xác định bởi:

1

1

2

n n

u

u u  n

  

   



1. Viết năm số hạng đầu dãy;

2. Chứng minh un 2n13;

Lờigiải 1. Ta có số hạng đầu dãy là:

1 1;

u  u2 2u1 3 5; u32u2 3 13; u4 2u3 3 29

5 61 u  u  

2. Ta chứng minh toán phương pháp quy nạp

* Với 1

1

1

n u 

      toán với N1 * Giả sử 2k 3

k

u    , ta chứng minh

1

k k

u 

  

Thật vậy, theo công thức truy hồi ta có:

1

1 2(2 3) 3

k k

k k

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 9. Cho hai dãy số (un), ( )vn xác định sau u13,v12

2

1

1

2

n n n

n n n

u u v

v u v





  

 

  

với n2

1. Chứng minh: 2

2

n n

u  v   12

n

n n

u  v   với  n 1;

2. Tìm cơng thức tổng qt hai dãy (un) ( )vn Lờigiải 1. Ta chứng minh toán theo quy nạp

a) Chứng minh: un22vn21 (1)

 Ta có u122v12322.22 1 nên (1) với n1  Giả sử uk22vk2 1, ta có:

 2    2

2 2 2

1 2 2

k k k k k k k k

u   v  u  v  u v  u  v 

Từ suy (1) với  n

b) Chứng minh  12

n

n n

u  v   (2)

Ta có: un 2vn un212vn212 2un1vn1un1 2vn12  Ta có: u1 2v1 3 2  1 2 nên (2) với n1  Giả sử  12

k

k k

u  v   , ta có:

  2 2

1 2

k

k k k k

u v u v



      

Vậy (2) với  n

2. Theo kết đề ta có:  

2

2

n

n n

u  v  

Do ta suy    

   

2

2

2 2

2 2

n n

n n

n

n u

v



   

 

    



Hay

   

   

2

2

1

2

2

2

2

n n

n n

n

n u

v

  

   

  

  



 

    

 

  



C Bài tập trắc nghiệm

DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH - KHÁ

Câu 1. Cho dãy số viết dạng khai triển 1, 4,9,16, 25,n Trong công thức sau, công thức công thức tổng quát dãy số

A un 3n2 B un n3 C unn2 D un2n21

Lời giải: Chọn C

Thử đáp án với n1, 2, 3, 4, ta thấy đáp án C

Câu 2. Cho dãy số có số hạng đầu là:8,15, 22, 29, 36, Tìm số hạng tổng quát dãy số cho

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Lời giải:

Chọn C Ta có:

8 7.1 1 

15 7.2 1 

22 7.3 1 

29 7.4 1 

36 7.5 1 

Suy số hạng tổng quát un 7n1

Câu 3. Cho dãy số 5, , , ,

2 Công thức tổng quát un dãy số cho?

A *

1

n n

u n

n

  

  B

*

2

n n n

u   n  C *

3

n n

u n

n



  

  D

*

2

2

n n

u n

n

  

 

Lờigiải Viết lại dãy số: 5, , , ,

4

3

n n

u n

n





   

 

Câu 4. Cho dãy số có số hạng đầu là: 5;10;15; 20; 25; Số hạng tổng quát dãy số là: A un 5(n1) B un5n C un  5 n D un5.n1

Lời giải

Chọn B

Ta có:

55.1 105.2 15 5.3

205.4 255.5

Suy số hạng tổng quát un5n

Câu 5. Cho dãy số có số hạng đầu là: ;

5 ; ; ; ;

0 Số hạng tổng quát dãy số là:

A un n

n



 B

1

n n u

n



 C

1

n n u

n



 D

2

1

n

n n u

n

 



Lời giải

Chọn B

Ta có: 0

0

 

1

21 1

2

32 1

3

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

4

5 4 1

Suy

1

n n u

n

 

Câu 6. Cho dãy số có số hạng đầu là: 1;1; 1;1; 1;    Số hạng tổng quát dãy số có dạng A un 1 B un 1 C un (1)n D un   1 n1

Lời giải

Chọn C

Ta có:

Các số hạng đầu dãy          1 ;1 1 ;2 1 ;3 1 ;4 1 ; un  1 n

Câu 7. Cho dãy số có số hạng đầu là: 2; 0; 2; 4; 6;  Số hạng tổng quát dãy số có dạng? A un 2n B un 2n C un 2(n1) D un   2 2n1

Lời giải

Chọn D

Dãy số dãy số cách có khoảng cách số hạng  2 nên  2 2. 1

n

u    n

Câu 8. Cho dãy số có số hạng đầu là: ;

3 ;

1 ;

1 ;

1 ;

5

2 ….Số hạng tổng quát dãy số là?

A 1

3



 n

n

u B 1

3



 n

n

u C un n

3

 D 1

3



 n

n

u

Lời giải

Chọn C

5 số hạng đầu 2 3 4 5

1

1 1 1

; ; ; ; ; 3 3 nên

1

n n u 

DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI

Câu 9. Cho dãy số  un xác định  

1

1

n n

u

n u  u

 

 

 

Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số

A un3n B 3n1

n

u C 3n12

n

u D un 3n2

Lờigiải

ChọnB

Ta có

0

1

2

1 3

u u u

   

…

Dự đoán un 3n1,n *



  Ta dễ dàng chứng minh công thức quy nạp + với n 1 u11 suy khẳng định

+ Giả sử nk2 ta có  1 3k k

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Thật vậy, theo công thức truy hồi ta có 

   

1

1 3.3

k k

k k

u u

Vậy theo nguyên lý quy nạp ta dã chứng minh 3n1, * n

u   n

Câu 10. Cho dãy số có số hạng đầu là:0.1;0.01;0.001;0.0001 Số hạng tổng quát dãy số có dạng?

A 

0 0.00 01

n

n sè

u B





1 0.00 01

n

n sè

u

C 1

10

n n

u   D 1

10

n n

u  

Lờigiải

ChọnA

Ta có

1

2

3

1 0.1

10 0.01

10 0.001

10

u u u

 

 

 

…

Dự đoán  

0

0.00 01 10

n n

n sè

u

Câu 11. Cho dãy số có số hạng đầu là: 1,3,19,53 Hãy tìm quy luật dãy số viết số hạng thứ 10 dãy với quy luật vừa tìm

A u10 97 B u10 71 C u101414 D u10971

Lời giải:

Chọn A

Xét dãy (un) có dạng:  3 2  n

u an bn cn d

Ta có hệ:

1

8

27 19

64 16 53

    



    

 

   



    



a b c d

a b c d

a b c d

a b c d

Giải hệ ta tìm được: a1,b0,c 3,d1

3 3 1

unn  n quy luật Số hạng thứ 10: u10 971

Câu 12. Cho dãy số  un với   

  

 u n

u u

n n 1

.Số hạng tổng quát un dãy số số hạng đây?

A

2 ) (n n

un   B

2 ) (

5 n n

un   

C

2 ) (

5 n n

un    D

2 ) )( (

5  

 n n

un

Lời giải

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Ta có  1

n

n n

u         n 

Câu 13. Cho dãy số  un với

 

1

2

1

1 n

n n

u u  u

   

  

 

Số hạng tổng quát un dãy số số hạng

đây?

A un  1 n B un  1 n C un   1  1 2n D un n Lờigiải

Chọn D

Ta có:  

2

1 1 2; 3; 4;

n

n n n

u  u   u  u  u  u 

Dễ dàng dự đoán un n

Thật vậy, ta chứng minh unn  * phương pháp quy nạp sau: + Với n 1 u11 Vậy  * với n1

+ Giả sử  * với nk k *, ta có: k

u k Ta chứng minh  * với

nk , tức là: uk1k1

+ Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số  un ta có: uk1uk   1 2k k1 Vậy  * với

mọi *

n

Câu 14. Cho dãy số  un với

 

1

2 1

1

1 n

n n

u

u  u 

   

  

 

Số hạng tổng quát un dãy số số hạng

đây?

A un 2 n B un không xác định C un  1 n D un nvới n

Lờigiải

Chọn A

Ta có: u2 0;u3 1;u4  2, Dễ dàng dự đoán un  2 n

Câu 15. Cho dãy số  un với

2

1

n n

u

u  u n

  

 



Số hạng tổng quát un dãy số số hạng đây?

A  2 1

6

n

n n n

u     B  2 2

6

n

n n n

u    

C  2 1

6

n

n n n

u     D  2 2

6

n

n n n

u    

Lờigiải

Chọn C

Ta có:

 

1

2

2

2

1

2

1

n n

u

u u

u u

u u n

  

 

 

 

  

   



Cộng hai vế ta 2  2  2 1

1 1

6

n

n n n

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Câu 16. Cho dãy số  un với

1 2 n n u

u  u n

  

  

 Số hạng tổng quát un dãy số số hạng

đây?

A un 2n12 B un2n2 C un 2n12 D un 2n12 Lờigiải

Chọn A

Ta có: 2 n n u u u u u

u u  n

                

Cộng hai vế ta un    2 2n3 2 n12

Câu 17. Cho dãy số  un với

1 2 n n u u u           

Công thức số hạng tổng quát dãy số là:

A un n

n



  B un n

n



 C un n

n



  D

1 n n u n    Lờigiải

Chọn C

Ta có: 1 3; 2 4; 3 5;

2

u   u   u   Dễ dàng dự đoán un n n

  

Câu 18. Cho dãy số  un với 1 2 n n u u  u

       

Công thức số hạng tổng quát dãy số là:

A 2 1

2

n

u   n B 2 1

2

n

u   n C

2

n

u   n D

2

n

u   n

Lờigiải

Chọn B

Ta có: 1 2 n n u u u u u

u u 

                 

Cộng hai vế ta 2 2 1

2

n

u       n

Câu 19. Cho dãy số  un với

1 1 n n u u u         

Công thức số hạng tổng quát dãy số là:

A  1

2

n n

u     

  B  

1 1 n n u       

  C

1 n n u      

  D  

1 1 n n u          Lờigiải

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có: 1 2 1 2 n n u u u u u u u                   

Nhân hai vế ta      

1

1

1 lan

1

2.2.2 2

n n

n n n

n u u u u

u u u u u

                 

Câu 20. Cho dãy số  un với

1

2

n n

u

u u

  

 

Công thức số hạng tổng quát dãy số này:

A n

n

u n  B 2n n

u  C 2n

n

u   D 2

n u  Lờigiải

Chọn B

Ta có: 2 2 n n u u u u u

u u 

            

Nhân hai vế ta u u u1 .2 3 un 2.2 n1u u1 2 un1un 2n

Câu 21. Cho dãy số  un với 1 2 n n u u  u

      

Công thức số hạng tổng quát dãy số này:

A

2n

n

u    B 11

2

n n

u   C

2

n n

u  D

2n

n

u  

Lờigiải

Chọn D

Ta có: 1 2 n n u u u u u

u u 

              

Nhân hai vế ta 1 .2 3 1.2 1 2 1 2

n n

n n n

u u u u  u u u u 



  

Câu 22. Cho dãy số ( )un xác định 3 *

1

1

,

n n

u

u  u n n

  

 

  

Tìm số nguyên dương n nhỏ cho 2039190

1

n

u  

A n2017 B n2019 C n2020 D n2018

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021

3 3 3

1 ( 1) ( 2) ( 1) 1 ( 1)

n n n

u u  n u  n  n  u     n

Lại có

2

3 3 ( 1)

1 ( 1) (1 ( 1))

4

n n

n n 

         

Suy ra:

2( 1)2 ( 1)

1

4

n n

n n n n

u     u   

Sử dụng mode cho n chạy từ 2017 đến 2020 , ta kết n2020

Câu 23. Cho dãy số  un xác định

1

1

2 1,

n n

u

u  u n n

  

   



Giá trị n để un2017n20180

là

A Khơng có n B 1009 C 2018 D 2017 Lờigiải

Với n1 ta có:

2 u u   

Với n2 ta có:

3 2.2 u u    

Với n3 ta có:

4 2.3 16 u u     Từ ta có: un n2

Suy un2017n20180  n22017n20180  

  2018

n L

n N

    

 

Câu 24. Cho dãy số  un xác định bởi:  

1

1

n n

u

n u  u

 

 

 



Xác định công thức số hạng tổng quát A un 2n1 B un 3n2

C un 4n3 D un 8n7

Lờigiải

ChọnA

Ta có

  

1

3

3 u u u …

Dự đoán un 2n1,n* Ta dễ dàng chứng minh cơng thức dự đốn quy nạp Câu 25. Cho dãy số  un với

 

1

n u

n n



 dãy số  vn xác định  

1

1

1

n n n

v u

n v  v u 

 

 

 



Xác định công thức tổng quát dãy  vn

A

3 n

n v

n  

 B

2

3

n n v

n 



C

4 n

n v

n  

 D n

n v

n 



NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

ChọnD

Ta có 1

v  vn1vnun1

 

1

2

3

1

1 2.3

1 3.4

1

n n

v v v v v

v v

n n 



 

 

 



Cộng vế theo vế đẳng thức ta

 

1 1

2 2.3 3.4

1 1 1 1

1

2 3 1

n v

n n

n

n n n n

    



       

             

  

       

Câu 26. Cho dãy số  un xác định  

1

1

3

2

n n n

u u

n u u  u 

 



 

  



Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số

A unn23n2 B un n24n3 C unn23n2 D unn23n3

Lờigiải

ChọnD

Ta có un2un1un22unun1un1un22,n3

   

3 2

4 3

2 1

1

2

2 2 *

2

n n n n

n n n n

u u u u u u u u

u u u u n u u n

u u u u

 

  

    



    

         

  

    

Từ  * giả thiết ta lại có

 

2

3

4

1

2

1

2

4

2

2 3

n

n n

n

n n

k u u

u u

u u u u n

u u n

u u k n n u n n





  



  



         

  

   

          

Câu 27. Tìm cơng thức tổng qt dãy số cho

1

2 3

n n

u

u  u n

  

  



TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Lờigiải

ChọnD

Ta có

2

3

4

10 3.2 17 3.3 28 3.4

2n

n u u u

u n

  

  

  

 

Ta chứng minh cơng thức dự đốn quy nạp

Câu 28. Tìm số hạng tổng quát dãy số cho công thức truy hồi sau

1

1

1

2

n u

u  n

   

  



A

2

n n

u   B

2

n n

u  

C 12

2

n n

u    D 11

n n

u   

Lờigiải

ChọnB

Ta có

2

3

4

1

1 1

3

2 2

3 1

3

4 4

7 1

3

8 8

1

4

2

n n n

u

u

u

u 

 

      

 

 

      

 

 

      

 

   

Ta chứng minh cơng thức dự đoán quy nạp

Câu 29. Cho dãy số  un xác định

1

1

1

n n

n u

u u

u 

    



 



Đặt n n

n u v

u



 Tìm cơng thức số hạng tổng quát

của dãy số vn

A

11 n v

n 

 B

2 n v

n 



C

1 n v

n 

 D

3 n

v  n

Lờigiải

ChọnD

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Ta có

1

1

1 1 1

1

1

n

n n n n

n n n n

n

n n n n n

n u

u u u u

v v v v

u

u u u u u

u 

 





   

          



Khi

 

2

3

1

1 1

1 1

1

n n

n n

v v v v

v v n v n v

v v

   



   

        

  

   

Ta lại có 1

1

1

2 u

v u

 

  



Vậy 1

2

n

v   n  n

Cách2:Tìm un rồisuyra vn

2

3

4

5 2

1

2 2 1

2

7

2

2

n

n u u

n

u v n

n u

n



  

   



 

 

     



 

   

 

 

Câu 30. Xác định cơng thức tính số hạng tổng quát theo n dãy số sau:

A B

C D

Lờigiải

ChọnA

Ta có:

Từ số hạng đầu trên, ta dự đốn số hạng tổng qt có dạng:

Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh công thức

Với (đúng) Vậy với

Giả sử với Có nghĩa ta có:

Ta cần chứng minh với Có nghĩa ta phải chứng minh:

Thật từ hệ thức xác định dãy số theo ta có:

n

u

1

3

n n

u u  u

  

 



2

n

u  n un2n1

2n

n

u   2n

n

u  

2 u u    

3 2

u u    

4 u u    

5 11

u u    

n u  

2 1

n

u  n  n 

 

1

1; 2.1

n u      n1

  nk uk 2k1 2 

  nk1

 

1 1 k

u   k   k

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021

Vậy Kết luận với số nguyên dương n

Câu 31. Xác định cơng thức tính số hạng tổng quát theo n dãy số sau:

A B

C D

Lờigiải

ChọnB

Ta có:

Từ suy ra:

Cộng vế n đẳng thức trên:

Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được:

Vậy

Mởrộngphươngpháp:

Nếu dãy số  un cho dạng liệt kê ta thử giá trị n vào đáp án

Nếu dãy số  un cho hệ thức truy hồi tính vài số hạng đầu dãy số sau ta thử giá trị n vào đáp án



1 2 2

k k

u  u   k   k

  nk1  

n

u 3

1

1

1

n n

u

n u  u n

 

  

 



 2

2 1

4

n

n n

u    

2

2 1

1

4

n

n n

u   

 2

2

1

n

n n

u    

2

1

4

n

n n

u   

3

1

n n n n

u u n u  u n

1 u 

3 1

u u 

3 2

u u 

3 3

u u 

 3

1 2

n n

u u  n

 3

1

n n

u u  n

 3  3 3

1 n1 n n n 1

u u u u u  u u  u u       n  n

 3  3

3 3

1

n

u n n

         

   

2

3 3

1

4

n n

n 

     

 2

2 1

1

4

n

n n

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học: 2020-2021

Lý thuyết

DÃYSỐTĂNG,DÃYSỐGIẢMVÀDÃYSỐBỊCHẶN 1.Dãysốtăng,dãysốgiảm

Dãy số  un gọi dãy số tăng ta có un1un với n* Dãy số  un gọi dãy số giảm ta có un1un với

*

n

Chúý: Không phải dãy số tăng giảm Chẳng hạn, dãy số  un với  3

n n

u   tức

dãy 3, 9, 27,81,  không tăng không giảm

2.Dãysốbịchặn

Dãy số  un gọi bị chặn tồn số M cho

*

,

n

u M  n 

Dãy số  un gọi bị chặn tồn số m cho

*

,

n

u m  n 

Dãy số  un gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức tồn số ,

m M cho

*

,

n

mu M  n  Lưu y: + Dãy tăng bị chặn u1

+ Dãy giảm bị chặn u1

DẠNG 1: XÉT TÍNH TĂNG, GIẢM CỦA DÃY SỐ A Phươngphápgiải

Cách1: Xét hiệu un1un

Nếu *

1

n n

u  u   n  ( )un dãy số tăng

Nếu *

1

n n

u  u   n  (un) dãy số giảm Cách2: Khi 0 *

n

u   n  ta xét tỉ số n

n u

u 

Nếu n 1

n u

u

  ( ) n

u dãy số tăng

Nếu n 1

n u

u

  ( ) n

u dãy số giảm

Cách3: Nếu dãy số ( )un cho hệ thức truy hồi ta sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh *

1

n n

u  u  n  (hoặc *

n n

u  u  n  ) *Cơngthứcgiảinhanhmộtsốdạngtốnvềdãysố

Dãy số ( )un có un an b tăng a0và giảm a0 Dãy số ( )un có n

n u q

Không tăng, không giảm q0

Giảm 0q1 Chương

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Tăng q1

Dãy số ( )un có n

an b u

cn d

 

 với điều kiện

*

cnd  0 n  Tăng adbc0

Giảm adbc0

Dãy số đan dấu dãy số không tăng, không giảm Nếu dãy số (un)tăng giảm dãy số  n 

n

q u (với q0) không tăng, không giảm

Dãy số (un)có un1aunb tăng

2 0 a u u      

; giảm

2 0 a u u      

và không tăng không giảm a0

Dãy số (un)có

*

, 0,

n n n n au b u cu d

c d u n

              tăng 0 ad bc u u       

và giảm

2 0 ad bc u u       

Dãy số ( )un có

1

*

, 0,

n n n n au b u cu d

c d u n

             

không tăng không giảm adbc0

Nếu ( )

( ) n n u v       

thì dãy số unvn Nếu ( )

( ) n n u v       

thì dãy số unvn

Nếu

* *

( ) ;

( ) ;

n n

n n

u u n

v v n

             

 dãy số u vn n Nếu

* *

( ) ;

( ) ;

n n

n n

u u n

v v n

             

 dãy số u vn n Nếu (un) 0 *

n

u   n  dãy số  un

và dãy số ( )un m  m *

Nếu (un) 0 *

n

u   n  dãy số  un

và dãy số (un)m  m *

Nếu ( )un 

*

0 n

u   n  dãy số n u       

Nếu ( )un 

*

0 n

u   n  dãy số n u       

B Bài tập tự luận

Câu Xét tính tăng giảm dãy số sau: 1) Dãy số un với un 2n35n1

2) Dãy số  un với un 3nn

3) Dãy số  un với 2

1 n n u n  

4) Dãy số  un với

2

n n

n u 

5) Dãy số  un với 32 n n u

n 

6) Dãy số  un : Với

2

3

1 n n n u n    

7) Dãy số  un với

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 8) Dãy số  un vớiun  n n21

9) Dãy số  un vớiun n 1 n

  

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021

Câu Xét tính tăng giảm dãy số  un cho hệ thức truy hồi sau:

a) *

1

2

2 3,

n n

u

u  u n N

   

   

 

b)

1

3

n n

n u

u u

u 

   



 



Câu Cho dãy số  un xác định bởi:

1

5

3 n n

u

u  u n 

 

   

a) Tìm cơng thức số hạng tổng qt b) Chứng minh dãy số tăng

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu Cho dãy số  an định bởi:

 

1

0 1; *

1

1 ; *

4 n

n n

a n N

a  a n N

    

 

    



a) Chứng minh: 1 , * 1 

2

n

a n N

n

   

b) Xét tính đơn điệu dãy số  an

Câu Cho a2 Xét dãy Un xác định

 

2

2

1 *

n n u a

u  u a n N  

 

   

 

Xét tính đơn điệu dãy Un

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Câu Cho dãy số (un) định bởi:

4

; *

2

n a n

u n N

n 

 

 Định a để dãy số (un)tăng

C Bài tập trắc nghiệm

DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH - KHÁ Câu Cho dãy số ( )un biết un3n6 Mệnh đề sau đúng?

A Dãy số tăng B Dãy số giảm C Dãy số không tăng, không giảm D Cả A, B, C sai Câu Cho dãy số (un)biết

2

n

n u

n

 

 Mệnh đề sau đúng?

A Dãy số tăng B Dãy số giảm

C Dãy số không tăng, khơng giảm D Có số hạng 1

n

n u

n





 



Câu Cho dãy số (un)biết 52 n n u

n

 Mệnh đề sau đúng? A Dãy số tăng B Dãy số giảm

C Dãy số không tăng, không giảm D Dãy số dãy hữu hạn Câu Trong dãy số  un cho số hạng tổng quát un sau, dãy số tăng?

A

2

n n

n

u  B 2

2

n

n u

n



 C

2 1

n

n u

n  

 D

2

( 2)n

n

u   n 

Câu Cho dãy số (un)biết un 5n2 Mệnh đề sau đúng?

A Dãy số tăng B Dãy số giảm C Dãy số không tăng, không giảm D Cả A, B, C sai Câu Cho dãy số (un)biết

3

n

u n



 Mệnh đề sau đúng?

A Dãy số tăng B Dãy số giảm

C Dãy số không tăng, không giảm D Cả A, B, C Câu Cho dãy số (un)biết 10

3

n n

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

C Dãy số không tăng, không giảm D 1 10

3

n n

u 



Câu Cho dãy số (un)biết

2

n

u  n  n Mệnh đề sau đúng? A Dãy số tăng B Dãy số giảm

C Dãy số không tăng, không giảm D un12n123n11

Câu Cho dãy số (un)biết  1 n 1

n

u   n  Mệnh đề sau đúng? A Dãy số tăng B Dãy số giảm

C Dãy số không tăng, không giảm D Dãy số dãy hữu hạn Câu 10 Cho dãy số ( )un biết

2 400

n

u n  n Mệnh đề sau đúng? A Dãy số tăng B Dãy số giảm

C Dãy số không tăng, không giảm D Mọi số hạng âm Câu 11 Trong dãy số  un cho số hạng tổng quát un sau, dãy số tăng?

A

n n

u  B

2

n

u n



 C

1

3

n

n u

n

 

 D

4

n

n u

n

 



Câu 12 Trong dãy số  un cho số hạng tổng quát un sau, dãy số giảm? A

3 n n

u    

  B  1 5 

n n n

u    C un  3 n D un  n4

Câu 13 Trong dãy số  un cho số hạng tổng quát un sau, dãy số không tăng, không giảm? A un n

n

  B 5n

n

u   n C n n

u   D un   3 n n21 Câu 14 Cho dãy số (un)biết un 5n4n Mệnh đề sau đúng?

A Dãy số tăng B Dãy số giảm

C Dãy số khơng tăng, khơng giảm D Dãy số có số hạng thứ 100 bé Câu 15 Cho dãy số (un)biết

3

n

an u

n

 

 Tìm tất giá trị a để dãy số tăng

A a6 B a6 C a6 D a6 Câu 16 Cho dãy số (un)biết 2n

n

u  an Tìm tất giá trị a để dãy số tăng A a2 B a2 C a2 D a2 Câu 17 Cho dãy số (un)biết

n n u

an

 Tìm tất giá trị a để dãy số tăng

A  a B Không tồn a C  a * D a0 Câu 18 Cho dãy số (un)biết un  3n 2 3n1 Mệnh đề sau đúng?

A Dãy số tăng B Dãy số giảm

C Dãy số không tăng, không giảm D Cả A, B, C Câu 19 Cho dãy số (un)biết un  n n21 Mệnh đề sau đúng?

A Dãy số tăng B Dãy số giảm

C Dãy số không tăng, không giảm D Các số hạng dương Câu 20 Cho dãy số (un)biết

2

2

2 n

n n u

n   

 Mệnh đề sau đúng?

A Dãy số tăng B Dãy số giảm

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021

A

2

n

n

u   B un

n

  C

5 n n u n  

 D  1

n n

n

u  

Câu 22 Trong dãy số  un cho số hạng tổng quát un sau, dãy số dãy số giảm? A

2

n n

u  B

1 n n u n  

 C

2

n

u n D un  n2 Câu 23 Trong dãy số sau, dãy số dãy số giảm

A

1 n n u n  

 B n

n

u  C un 22 n

 D  1

3

n

n n

u   Câu 24 Dãy số sau dãy số giảm?

A , *

2 n n u n n   

  B  

5 , * n n u n n     

C un 2n33,n* D un cos 2 n1 , n* Câu 25 Cho dãy số sau Dãy số dãy số tăng?

A 1; 1; 1; 1; 1; 1; B 1; 1; ; 1; ;

2 16

  

C 1; 3; 5; 7; 9; D 1; ; ; ; 1 1 ;

2 16 

Câu 26 Trong dãy số  un cho số hạng tổng quát un sau, dãy số dãy số tăng? A

2

n n

u  B un

n

 C

3 n n u n    D n n u n   

Câu 27 Trong dãy số  un cho số hạng tổng quát un sau, dãy số dãy số tăng? A

3

n n

u  B un

n

 C un 2 n D un   2 n

Câu 28 Trong dãy số sau, dãy số dãy số giảm?

A un n2 B un 2n C un n31 D

2 1 n n u n   

Câu 29 Trong dãy số  un cho số hạng tổng quát un sau, dãy số dãy số giảm? A un sin n B

2 n n u n  

C un  n n1 D  1 2n  n  n

u   

Câu 30 Mệnh đề sau đúng? A Dãy số un

n

  dãy tăng B Dãy số  1 n2n 1 n

u    dãy giảm

C Dãu số

1 n n u n  

 dãy giảm D Dãy số

1

2 cos

n

u n

n

  dãy tăng Câu 31 Mệnh đề sau sai?

A Dãy số un n n 

 dãy giảm B Dãy số 2 5

n

u  n  dãy tăng

C Dãy số 1 n n u n     

  dãy giảm D Dãy số

2

sin

n

u  n nlà dãy tăng

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 32 Cho dãy số (un)biết

1

1

2

( ) : 3 1

2 n n n u u u

u  n

         

Mệnh đề sau đúng?

A Dãy số tăng B Dãy số giảm

C Dãy số không tăng, không giảm D Cả A, B Câu 33 Trong dãy số  un cho số hạng tổng quát un sau, dãy số tăng?

A n sin

n u n  B n n u n  

 C

3 n n u n

 D 4 3 1.

n

u  n  n 

Câu 34 Cho dãy số (un)biết

1 1 3 n n u

u u         

Mệnh đề sau đúng?

A Dãy số tăng B Dãy số giảm

C Dãy số không tăng, không giảm D Cả A, B, C sai Câu 35 Cho dãy số (un)biết

2 1 3, n n u

u  u n 

          

Mệnh đề sau đúng? A Dãy số tăng B Dãy số giảm

C Dãy số không tăng, không giảm D Cả A, B, C

Câu 36 Cho dãy số (un)biết

1 3 n n n u u u u         

Mệnh đề sau đúng?

A Dãy số tăng B Dãy số giảm

C Dãy số không tăng, khơng giảm D Có u10 2 Câu 37 Cho dãy số (un)biết 1

1

n

u

n n n n

   

   Mệnh đề sau đúng?

A Dãy số tăng B Dãy số giảm

C Dãy số không tăng, khơng giảm D Có hữu hạn số hạng Câu 38 Cho dãy số (un)biết

  * 1,

n n n

u u

u au  a u n

            

Tìm tất giá trị a để (un)tăng? A a0 B 0a1 C a1 D a1

Câu 39 Cho ( )un biếtun an b cn d

 

 c0,d0 Khi điều kiện đủ để dãy số (un)tăng là?

A a0,b0 B a0,b0 C a0,b0 D a0,b0

Câu 40 Cho dãy số (un)biết

1 * n n u u

u  n

          

Mệnh đề sau đúng?

A Dãy số tăng B Dãy số giảm

C Dãy số không tăng, không giảm D Là dãy số không đổi Câu 41 Với giá trị a dãy số  un , với

1 n na u n  

 , dãy số tăng?

A a2 B a2 C a2 D a2

Câu 42 Gọi A tập hợp tất giá trị nguyên a thuộc đoạn 5; 5 cho dãy số (un) với 2 n an u n  

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021

A 6 B 11 C 5 D Vô số

Câu 43 Cho dãy số  un với

n n

n

u   Biết hiệu 1

3

n n n

a b

n

c c

u  u



  a b,

c c phân số tối giản Tính tổng a b

cc

A 1 B -1 C

3

 D 3

Câu 44 Cho dãy số tăng  un với

n

an u

bn

 

 , với a, b hai số thực dương Mệnh đề

đúng?

A 3b a 0 B a3b C a3b0 D a3b 6

Câu 45 dãy số (un) xác định un 2010 2010   2010 (n dấu căn)Khẳng định sau đúng?

A Tăng B Giảm C Không tăng, không giảm D Bị chặn DẠNG 2: XÉT TÍNH BỊ CHẶN CỦA DÃY SỐ

A Phương pháp giải

Phươngpháp1: Chứng minh trực tiếp phương pháp chứng minh bất đẳng thức Cách1: Dãy số ( )un có un f n( ) hàm số đơn giản

Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức *

( ) , n

u  f n M  n  *

( ) , n

u  f n m  n  Cách2: Dãy số ( )un có unv1v2 vk  vn(tổng hữu hạn)

Ta làm trội vk ak ak1

Lúc un a1a2  a2a3 anan1

Suy *

1 ,

n n

u a a  M  n 

Cách3: Dãy số ( )un có unv v v1 vn với

*

0, n

v   n  (tích hữu hạn) Ta làm trội k

k k a v

a 



Lúc 1

n n

n a a a

u

a a a 



Suy *

1

, n n

a

u M n

a 

   

Phươngpháp2: Dự đoán chứng minh phương pháp quy nạp

Nếu dãy số (un)được cho hệ thức truy hồi ta sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh

Chúý:Nếudãysố ( )un giảmthìbịchặntrên,dãysố (un)tăngthìbịchặndưới

*Cơngthứcgiảinhanhmộtsốdạngtốnvềdãysốbịchặn Dãy số (un)có unqn q 1 bị chặn

Dãy số (un)có unqn q 1 khơng bị chặn

Dãy số (un)có n n

u q với q1 bị chặn

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Dãy số (un)có

n

u an bnc bị chặn a0và bị chặn a0 Dãy số ( )un có

1

1

m m

n m m

u a n a n  a n a 

     bị chặn am 0 bị chặn

m a 

Dãy số ( )un có  

1

n m m

n m m

u q a n a n  a n a



     với am 0 q 1 khơng bị chặn Dãy số ( )un có

1

1

m m

n m m

u a n a n  a n a 

     bị chặn với am 0 Dãy số (un)có

1

m m

n m m

u a n a n  a n a 

     bị chặn am 0 bị chặn

m a 

Dãy số (un)có     n

P n u

Q n

 P n và Q n là đa thức, bị chặn bậc P n nhỏ bậc Q n 

Dãy số ( )un có     n

P n u

Q n

 P n và Q n là đa thức, bị chặn bị chặn bậc P n  lớn bậc Q n 

B Bài tập tự luận

Câu Xét tính bị chặn dãy số sau a) 21

2

n

u n



 b) n 3.cos

nx

u  c) un 2n31

d)

2

2 n

n n

u

n n  

  e)

1

n

u n n

 

Câu Xét tính tăng hay giảm bị chặn dãy số: 1; *

3

n

n

u n N

n



 



TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Câu Cho dãy số  un với un 1 n1 2 n

a) Viết số hạng đầu dãy số b) Tìm cơng thức truy hồi

c) Chứng minh dãy số tăng bị chặn

Câu Cho dãy số  un xác định

1

2

2

, 1,

2

n n

n u

u

u n n

u 

   

  

 



 1) Chứng minh dãy số  un giảm bị chặn

2) Hãy xác định số hạng tổng quát dãy số  un

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu Chứng minh dãy số  un , với

2

1

2

n n u

n  

 dãy số bị chặn

Câu Chứng minh dãy số  un , với

5

n

n u

n

 

 dãy số tăng bị chặn

Câu Cho dãy số  un với

4

n

u n  n

a) Viết công thức truy hồi dãy số b) Chứng minh dãy số bị chặn

c) Tính tổng n số hạng đầu dãy số cho

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Câu Xét tính bị chặn dãy số: 1 ; *

n

n

u n N

n

 

   

 

Câu Cho 15 15 15 *

2

n

U n N

n

       Chứng minh Un bị chặn

Câu 10 Cho dãy số  un định

1

1

5

n n

u

u  u    

 

 

*

n N

 

a) Chứng minhun15, n N*

b) Chứng minh dãy số  un tăng bị chặn

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 11 Xét tính bị chặn dãy số sau:

a)

 

1 1

1.2 2.3

n u

n n

   

 b) 2 2

1 1

1

n

u

n

    

c)

  

1 1

1.3 2.5 2 n

u

n n

   

  d)  

1 1

1.4 2.5

n u

n n

   



C Bài tập trắc nghiệm

DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH - KHÁ Câu Cho dãy số (un)biết

2

n

u n

 

 Mệnh đề sau ?

A Dãy số bị chặn B Dãy số bị chặn C Dãy số bị chặn D Không bị chặn Câu Cho dãy số (un)biết

1

n

n u

n

 

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021

A Dãy số bị chặn B Dãy số bị chặn C Dãy số bị chặn D Không bị chặn Câu Cho dãy số (un)biết

3 1

n n u

n 

 Mệnh đề sau ?

A Dãy số bị chặn B Dãy số bị chặn C Dãy số bị chặn D Không bị chặn Câu Trong dãy số sau dãy số bị chặn ?

A Dãy  an , với , *

n

a  n n  n  B Dãy  bn , với , *

2 n

b n n

n

    C Dãy  cn , với ( 2)n 3, *

n

c     n  D Dãy  dn , với 33 , *

2 n

n

d n

n

  

 

Câu Cho dãy số ( )un biết unasinn b cosn Mệnh đề sau ? A Dãy số không bị chặn B Dãy số bị chặn C Dãy số bị chặn D Dãy số bị chặn

Câu Xét tính bị chặn dãy số sau: un  ( 1)n

A Bị chặn B Không bị chặn C Bị chặn D Bị chặn Câu Xét tính bị chặn dãy số sau: un 3n1

A Bị chặn B Bị chặn C Bị chặn D Không bị chặn Câu Trong dãy số  un cho số hạng tổng quát  un sau, dãy số bị chặn?

A un n2 B un2 n C un

n

 D un  n1

Câu Trong dãy số  un cho số hạng tổng quát un sau, dãy số bị chặn? A

2

n n

u  B un3 n C un  n1 D

2

1 n

u n 

Câu 10 Xét tính bị chặn dãy số sau:

2  



n

n u

n

A Bị chặn B Không bị chặn C Bị chặn D Bị chặn Câu 11 Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số ( )un , biết: 13

3

 



n

n u

n

A Dãy số tăng, bị chặn B Dãy số giảm, bị chặn

C Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn D Cả A, B, C sai

Câu 12 Xét tính bị chặn dãy số sau:

2

1

 



n n u

n

A Bị chặn B Không bị chặn C Bị chặn D Bị chặn Câu 13 Xét tính bị chặn dãy số sau:  4 3 

n

u n n

A Bị chặn B Không bị chặn C Bị chặn D Bị chặn Câu 14 Trong dãy số (un) sau, dãy số bị chặn?

A un n 1. n

  B un n1 C 2

2 1

n

n u

n



 D

2

1 n

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 15 Trong dãy số (un) sau, dãy số bị chặn? A unnsin 3n B

2 1

n n u

n 

 C

 

1

n

u

n n



 D un n.sin 3 n1

Câu 16 Trong dãy số  un cho dãy số dãy số bị chặn ? A

3

1 n

n u

n 

 B

2

2017 n

u n  C un  ( 1) (n n2) D 2

n

n u

n

 

Câu 17 Xét tính tăng giảm bị chặn dãy số sau: ( ) :  



n n

n u u

n

A Tăng, bị chặn B Giảm, bị chặn C Tăng, chặn D Giảm, chặn Câu 18 Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un), biết: (un) :un n32n1

A Tăng, bị chặn B Giảm, bị chặn C Tăng, chặn D Giảm, chặn Câu 19 Cho dãy số ( ) :

3

n n

n u u

n

 

 Dãy số  un bị chặn số đây?

A 1

3 B 1 C

1

2 D 0

Câu 20 Khẳng định sau sai?

A Mỗi dãy số tăng dãy số bị chặn B Mỗi dãy số giảm dãy số bị chặn C Mỗi hàm số dãy số D Mọi dãy số hữu hạn bị chặn

Câu 21 Trong dãy số (un)sau, dãy số bị chặn? A unn21 B

2

3

n

u

n

  C un nsinn D unsin2n

Câu 22 Xét tính bị chặn dãy số sau

2

1

n

n n

u

n n

  

 

A Bị chặn B Không bị chặn C Bị chặn D Bị chặn Câu 23 Cho dãy số  un với

1

n

n u

n

 

 Khẳng định sau đúng?

A Là dãy số không bị chặn B Năm số hạng đầu dãy là:

2 

;

3 

;

4 

;

5 

;

6 

C Là dãy số tăng

D Năm số hạng đầu dãy là:

2 

;

3 

;

4 

;

5 

;

6 

Câu 24 Trong dãy số sau, dãy dãy số bị chặn?

A

1

n

n u

n

 

 B un2nsin n C

2

n

u n D un n31

Câu 25 Chọn kết luận sai:

A Dãy số 2n1 tăng bị chặn B Dãy số

1

n

 

 

 

   giảm bị chặn

C Dãy số

n    

 

  tăng bị chặn D Dãy số

1 3.2n

 

 

 

  giảm bị chặn

Câu 26 Cho dãy số  un , biết un cosnsin n Dãy số  un bị chặn số đây? A 0 B 1

C D Không bị chặn

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021

A 0 B 1

C  D Không bị chặn

Câu 28 Cho dãy số  un , biết un cosnsin n Dãy số  un bị chặn chặn số m M đây?

A m 2; M 2 B 1;

m  M  

C m  1;  M  1. D 1;

2

m  M 

Câu 29 Cho dãy số  un , biết un  1 5n 2n



  Mệnh đề sau đúng? A Dãy số  un bị chặn không bị chặn

B Dãy số  un bị chặn không bị chặn C Dãy số  un bị chặn

D Dãy số  un không bị chặn Câu 30 Cho dãy số  un , với

 

1 1

, 1; 2;

1.4 2.5

n

u n

n n

     

  Mệnh đề sau đúng?

A Dãy số  un bị chặn không bị chặn B Dãy số  un bị chặn không bị chặn C Dãy số  un bị chặn

D Dãy số  un không bị chặn

Câu 31 Cho dãy số  un , với 12 12 12, 2; 3; 4;

2

n

u n

n

       Mệnh đề sau đúng? A Dãy số  un bị chặn không bị chặn

B Dãy số  un bị chặn không bị chặn C Dãy số  un bị chặn

D Dãy số  un không bị chặn

Câu 32 Trong dãy số  un sau đây, dãy số dãy số bị chặn? A un  n21 B un n

n

  C 2n

n

u   D

1

n

n u

n

 

Câu 33 Cho dãy số  un , xác định *

1

6

,

n n

u

u  u n

   

   



 

Mệnh đề sau đúng?

A

n

u

  B 6un 3

C un2 D un2 Câu 34 Cho dãy số  un , với sin

1

n

u

n

 

 Khẳng định sau đúng?

A Số hạng thứ n1 dãy 1 sin

n

u

n 

 



NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

D Dãy số  un không tăng không giảm

DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI Câu 35 Cho dãy số (un)biết

1

1

1

n n

u

u  u    

 

 

Mệnh đề sau ?

A Dãy số bị chặn B Dãy số bị chặn C Dãy số bị chặn D Không bị chặn

Câu 36 Xét tính bị chặn dãy số sau 1 1.3 2.4 ( 2)

n

u

n n

   



A Bị chặn B Không bị chặn C Bị chặn D Bị chặn Câu 37 Xét tính bị chặn dãy số sau

  

1 1

1.3 3.5 2

n

u

n n

   

 

A Bị chặn B Không bị chặn C Bị chặn D Bị chặn Câu 38 Cho dãy số (un)biết un1.3.5 2n 1  

2.4.6.2n Mệnh đề sau ?

A Dãy số bị chặn B Dãy số bị chặn

C Dãy số không bị chặn D Dãy số bị chặn Câu 39 Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un), biết:

2

3 1

  



n

n n

u

n

A Tăng, bị chặn B Tăng, bị chặn C Giảm, bị chặn D Cả A, B, C sai Câu 40 Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un), biết:

2

1



 

n u

n n

A Tăng, bị chặn B Tăng, bị chặn C Giảm, bị chặn D Cả A, B, C sai Câu 41 Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số ( )un , biết:

2 !



n n u

n

A Tăng, bị chặn B Tăng, bị chặn C Giảm, bị chặn D Cả A, B, C sai Câu 42 Cho dãy số  un , biết uncosnsin n Dãy số  un bị chặn số đây?

A 0 B 1 C  D Không bị chặn Câu 43 Cho dãy số  un , biết un cosnsin n Dãy số  un bị chặn chặn

số m M đây?

A m 2; M 2 B 1;

m  M 

C m  31; M  31 D 1;

2

  

m M

Câu 44 Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un), biết: 12 12 12

2

    

n

u

n

A Dãy số tăng, bị chặn B Dãy số tăng, bị chặn

C Dãy số giảm, bị chặn D Cả A, B, C sai

Câu 45 Xét tính tăng giảm bị chặn dãy số sau:

1

2

( ) : 1

, 2



  

 

  

 

n n

n u

u u

u n

A Tăng, bị chặn B Giảm, bị chặn

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021

Câu 46 Cho hai dãy số (xn); (yn) xác định: 1

3 x y

 

 

  

2

1

1

1

1

1

n n n

n n

n

x x x

y y

y

 





   

  

 

  



,  n Mệnh đề sau

đây đúng?

A. 1x yn n 2,  n B. 3x yn n 4,  n

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học: 2020-2021

Lý thuyết

DÃYSỐTĂNG,DÃYSỐGIẢMVÀDÃYSỐBỊCHẶN

1.Dãysốtăng,dãysốgiảm

Dãy số  un gọi dãy số tăng ta có un1un với n*

Dãy số  un gọi dãy số giảm ta có un1un với

*

n

Chúý: Không phải dãy số tăng giảm Chẳng hạn, dãy số  un với  3 n n

u   tức

dãy 3, 9, 27,81,  không tăng không giảm

2.Dãysốbịchặn

Dãy số  un gọi bị chặn tồn số M cho

*

,

n

u M  n 

Dãy số  un gọi bị chặn tồn số m cho

*

,

n

u m  n 

Dãy số  un gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức tồn số ,

m M cho

*

,

n

mu M  n 

Lưu y: + Dãy tăng bị chặn u1

+ Dãy giảm bị chặn u1

DẠNG 1: XÉT TÍNH TĂNG, GIẢM CỦA DÃY SỐ A Phươngphápgiải

Cách1: Xét hiệu un1un

Nếu *

1

n n

u  u   n  ( )un dãy số tăng

Nếu *

1

n n

u  u   n  (un) dãy số giảm

Cách2: Khi 0 *

n

u   n  ta xét tỉ số n

n

u u



Nếu n 1

n

u u

  ( )

n

u dãy số tăng

Nếu n 1

n

u u

  ( )

n

u dãy số giảm

Cách3: Nếu dãy số ( )un cho hệ thức truy hồi ta sử dụng phương pháp

quy nạp để chứng minh *

1

n n

u  u  n  (hoặc *

1

n n

u  u  n  )

*Cơngthứcgiảinhanhmộtsốdạngtốnvềdãysố

Dãy số ( )un có un an b tăng a0và giảm a0 Dãy số ( )un có n

n

u q

Không tăng, không giảm q0

Giảm 0q1

Chương

DÃY SỐ TĂNG, GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Tăng q1

Dãy số ( )un có n

an b u

cn d

 

 với điều kiện

*

cnd  0 n 

Tăng adbc0 Giảm adbc0

Dãy số đan dấu dãy số không tăng, không giảm Nếu dãy số (un)tăng giảm dãy số  n 

n

q u (với q0) không tăng, không giảm

Dãy số (un)có un1aunb tăng

2 0 a u u      

; giảm

2 0 a u u      

và không tăng không

giảm a0

Dãy số (un)có

*

, 0,

n n n n au b u cu d

c d u n

              tăng 0 ad bc u u       

và giảm

2 0 ad bc u u       

Dãy số ( )un có

1

*

, 0,

n n n n au b u cu d

c d u n

             

không tăng không giảm adbc0

Nếu ( )

( ) n n u v       

thì dãy số unvn Nếu ( )

( ) n n u v       

thì dãy số unvn

Nếu

*

* ( ) ;

( ) ;

n n

n n

u u n

v v n

             

 dãy số u vn n Nếu

*

* ( ) ;

( ) ;

n n

n n

u u n

v v n

             

 dãy số u vn n

Nếu (un) 0 *

n

u   n  dãy số  un dãy số ( )un m  m *

Nếu (un) 0 *

n

u   n  dãy số  un dãy số (un)m  m *

Nếu ( )un 

*

0 n

u   n  dãy số n u       

Nếu ( )un 

*

0 n

u   n  dãy số

n u       

B Bài tập tự luận

Câu 1. Xét tính tăng giảm dãy số sau:

1) Dãy số un với un 2n35n1

2) Dãy số  un với un 3nn

3) Dãy số  un với 2

1 n n u n  

4) Dãy số  un với

2

n n

n u 

5) Dãy số  un với 32 n n

u n



6) Dãy số  un : Với

2

3

1 n n n u n     7) Dãy số  un với

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021

8) Dãy số  un vớiun  n n21

9) Dãy số  un vớiun n 1 n

  

Lờigiải

1) Dãy số un với un 2n35n1

Với nN*, ta có: un1un2n135n112n35n1

 

3

2n 6n 6n 5n 2n 5n          

 

2

6n 6n 6n 3n 3n

        ( ) n1

Vì dãy số  un dãy số tăng 2) Dãy số  un với un 3nn

Với *

nN , ta có: un 1 un 3n n 1 3n n 

       3.3n n 3n n

    

2.3n 3n 3n 2.3n

       (đúng) (vì n1.)

Kết luận dãy số  un dãy số tăng 3) Dãy số  un với 2

1

n

n u

n





Với *

nN , ta có:

 

         2

1 2 2

1 1

1

1

1 1 1

n n

n n n n

n n

u u

n

n n n



 

    

  

   

  

    

 

 

   

3

2

1 2

1 1

n n n n n n

n n

     



    

     

2

2

1

0

1 1

n n

n n

  

 

    

 

Vì n2  n  n 1, vàn121n210  n 1.

 

Kết luận: dãy số  un dãy số giảm 4) Dãy số  un với

2

n n

n u 

Dễ thấy un 0  n N* Xét tỉ số:

1

n n

u u

Ta có:  

1

1

2

1

2 1

n n

n n

u n n

n

u n n





    

 

Thật vậy: 4

1

n n

n n n

n

n          ( đúng n )

Kết luận:  un dãy số giảm 5) Dãy số  un với 32

n n

u n



Dễ thấy un 0  n N* Xét tỉ số:

1

n n

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

 2

2

1

1

3 1

3 n n n n n u n

u  n  n

   

   

 

Nếu

2

1 1

1 3 n n n n                 

3 3

n

n n n n

n



       

 1 1

3

n n n

      



Nếu  

2

1 1

1 3 3 1

3

n n n

n n n

n n n

                          n n     

6) Dãy số  un : Với

2

3

1 n n n u n    

Ta có:

1 n u n n    

Với nN* ta có:

 

6

3 5

2

n n

u u n n

n n                     6 n n               

1 2 2

3

2

n n n n

n n                       3

0

2 n n n n n       

Kết luận  un dãy số tăng

7) Dãy số  un với

2

2

3

1 2

2 2

n n n n u n n        

Với nN*, xét hiệu số:

 

1 2

3

1

1 2 2

2 2 1 1 2

n n n n u u n n                      2 2

2

n n

n n n

              2 2

2 2

2

2

n n n n n

n n n

   

     

   

   



     

5

0

2

n

n

n n n

 

   

  

Vậy dãy số  un dãy số giảm 8) Dãy số  un vớiun n n21

Ta có:  

2 2 2 1 1 n n n

u n n

n n n n

 

    

   

Dễ dàng ta có: n1 n12 1 n n21    2

1

1

1 1

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021

Từ suy dãy số  un dãy số giảm 9) Dãy số  un vớiun n 1

n

  

Ta có:  

 

1 1

1 1

n

n u

n

n n

 

 

   

Dễ dàng ta có: n1  1 n 1

 

1

1

1 1 n

n

 

 

  

n n

u  u

  Vậy dãy số

 un dãy số giảm

Câu 2. Xét tính tăng giảm dãy số  un cho hệ thức truy hồi sau:

a)

*

2

2 3,

n n

u

u  u n N

   

   

 

b)

1

1

3

n n

n

u

u u

u



   



 



Lờigiải

a) *

1

2

2 3,

n n

u

u  u n N

   

   

 

Vì u2 2u13  u1, ta dự đốn un1un * với n1 Ta có * với n1

Giả sử ta có: uk uk1 Khi ta có:

1 3

k k k k

u   u   u   u ( uk uk1 )

Suy  * với nN*, suy  un dãy số tăng b)

1

1

3

n n

n

u

u u

u



  

 

 



Từ hệ thức truy hồi cho, dễ thấy un0 với nN*

Ta có:

2

1

2

1

3

u

u u

u

    

Ta dự đốn un1un ** với nN* Ta có  ** n1 Giả sử có uk uk1

Khi 1 2 6

3 3

k k

k

k k k

u u

u

u u u



 

   

  

Vì uk uk1 nên 1

1

6 6

2

3 k k

k k k

u u

u  u     u   

Suy  ** với nN* Vậy  un dãy số giảm

Câu 3. Cho dãy số  un xác định bởi:

1

5

3

n n

u

u  u n

  

  



a) Tìm cơng thức số hạng tổng quát b) Chứng minh dãy số tăng

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

a)Ta có:un1un3n 2 un1un 3n2 Từ suy ra:

1

u 

2 3.1

u u  

3 3.2

u u  

4 3.3

u u  

 

1 2

n n

u  u   n 

 

n n

u u   n 

Cộng vế n đẳng thức rút gọn, ta được:

    3

n

u        n  n  

     

3

5

2

n

n n n n n

u  n   

      

 3 4

5

2 n

n n

u  

  

Vậy:  3 4

2 n

n n

u    

b) Ta có: un1un 3n 2  n

1

n n

u  u n

    Kết luận dãy số  un dãy số tăng

Câu 4. Cho dãy số  an định bởi:

 

0 1; *

1

1 ; *

4 n

n n

a n N

a  a n N

   

  

   

 

a) Chứng minh: 1 , * 1 

2

n

a n N

n

   

b) Xét tính đơn điệu dãy số  an

Lờigiải

a) Ta có: 1 1 : 1 

2 2.1

n

a a

      n=1

Giả sử  1 n=kN*, nghĩa là: 1 ; * 2

k

a k N

k

  

Ta cần chứng minh  1 nk1, nghĩa chứng minh:

 

1

; *

2

k

a k N

k

   



Ta có: 1

2

k

a

k

 

1 1 1 1

1

2 2 2 2 1

k k

k

k k

a a

k k k k a k



              

 

Theo giả thiết: 11 

4

k k

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021

   

 

     

2 2

1 1

:

4 4 2

k

k

k k

a

a k k k



 

     

    nk1

Vậy: 1 , *

2

n

a n N

n

   

b) Ta có:    

2

2 1 1

0 1

4 4

n n n n n n n

a a  a    a a     a a

 

Từ giả thiết suy ra: 11  1  1 ; *

4

n n n n n n

a a  a a a a  n N

Vậy:  an tăng

Câu 5. Cho a2 Xét dãy Un xác định

 

2

1 *

n n

u a

u  u a n N

 

 

   

 

Xét tính đơn điệu dãy Un

Lờigiải

Ta có u1a2 2a (do a2)

Giả sử uk 2a uk  a auk1uk a2 a2 2a Vậy un2 ;a  n N*

 2  

1

n n n n n n

u u  u a u u  a u a

    

2 0; *

n n

u a u a a n N

         un đơn điệu tăng

Câu 6. Cho dãy số (un) định bởi:

4

; *

2

n

a n

u n N

n



 

 Định a để dãy số (un)tăng

Lờigiải

Ta có:

 

4

4

; *

2 2

n

a n a a

u n N

n n

 

   

 

   

1 4 4

4 5 1

2

2 5

2

n n

a a a

u u

n

n n

n



 

  

      



          

 

     

4

1 4

2 5

4

2 2 1 5 2 1 5

n n

n n

a

u u

n n



   



  

       

   

   

    4

4

1

2 5

n n

a

n n

 

 

       

   

Mà:  

    4

4

1

0; *

2 5

n n

n N

n n

 

  

       

   

Nên:  un tăng 1 0; *

5

n n

u  u n N a a

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

C Bài tập trắc nghiệm

DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH - KHÁ

Câu 1. Cho dãy số (un)biết un 3n6 Mệnh đề sau đúng?

A Dãy số tăng B Dãy số giảm

C Dãy số không tăng, không giảm D Cả A, B, C sai

Lờigiải

ChọnA

Ta có un 3n 6 un13n1 6 3n9

Xét hiệu un1un3n9  3n6   3 n *

Vậy (un)là dãy số tăng

Giảinhanh: Dãy có dạng un an b ; a30nên dãy số tăng

Câu 2. Cho dãy số (un)biết

2

n

n u

n

 

 Mệnh đề sau đúng?

A Dãy số tăng B Dãy số giảm

C Dãy số không tăng, không giảm D Có số hạng 1

2

n

n u

n

 

 



Lờigiải

ChọnB

Ta có 1

2

n n

n

u u

n n  n



     

  

Xét hiệu

  

*

3 3

0

3 2

n n

u u n

n n n n





      

    

Vậy ( )un dãy số giảm

Giảinhanh: Dãy có dạng un an b

cn d

 



Mẫu *

2

n   n  adbc2 5   3 nên (un)là dãy số giảm

Câu 3. Cho dãy số (un)biết 52

n n

u n

 Mệnh đề sau đúng?

A Dãy số tăng B Dãy số giảm

C Dãy số không tăng, không giảm D Dãy số dãy hữu hạn

Lờigiải

ChọnA

Ta có

  *

1

2

5

0,

1

n n

n n

u n u

n n

 

     





Xét tỉ số

 

1 2 2

1

2 2

5

5 2

1 n n

n n

u n n n n n n

u n n n n n



        

   



 

*

2

1 1,

2

n n n

n

n n

  

    

  

Vậy (un)là dãy số tăng

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021

A

2

n n

n

u  B 2

2 n n u n   C n n u n    D ( 2)n

n

u   n 

Lờigiải

ChọnC

Ta xét đáp án A

1 2 2 n n u n

u u u

u              LoạiA

Ta xét đáp án B

1 2 2 n u n

u u u

n u               LoạiB

Ta xét đáp án C

2

1 2

2 16

1 40

25 40 n u n

u u u

n u                  Xéttiếp

Ta xét đáp án D  

1

2

3

2

8

n n

u

u n u u u u

u                 LoạiD

CóthểdùngTabletrongcasio để nhập hàm loại trừ với Start1;End20;Step1

Chúý: Nếu mà giải theo tự luận dài ta phải xét un1un dãy số

Câu 5. Cho dãy số (un)biết un 5n2 Mệnh đề sau đúng?

A Dãy số tăng B Dãy số giảm

C Dãy số không tăng, không giảm D Cả A, B, C sai

Lờigiải

ChọnA

* Trắc nghiệm: Tính vài số hạng đầu dãy số suy kết * Tự luận:

Ta có un1un  5n12 5n2  5n7 5n20un1un

Câu 6. Cho dãy số ( )un biết

3

n

u n



 Mệnh đề sau đúng?

A Dãy số tăng B Dãy số giảm

C Dãy số không tăng, không giảm D Cả A, B, C

Lờigiải

ChọnB

Ta có

    

1

1 1

0

3 3 3

n n

u u

n n n n n n

        

      

Vậy *

1 ,

n n n n

u  u  u  u  n 

Câu 7. Cho dãy số (un)biết 10

3

n n

u  Mệnh đề sau đúng?

A Dãy số tăng B Dãy số giảm

C Dãy số không tăng, không giảm D 1 10

3

n n

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Lờigiải

ChọnB

Ta có 1 101 10 10 10 20

3 3.3 3.3

n n n n n n n

u u        

Vậy un1un0un1un, n *

Câu 8. Cho dãy số (un)biết un 2n23n1 Mệnh đề sau đúng?

A Dãy số tăng B Dãy số giảm

C Dãy số không tăng, không giảm D un12n123n11

Lờigiải

ChọnA

Ta có un1un 2n123n1 1 2n23n 1 4n 5 0, n *

Vậy un1un0un1un, n *

Câu 9. Cho dãy số ( )un biết    

2

1 n

n

u   n  Mệnh đề sau đúng?

A Dãy số tăng B Dãy số giảm

C Dãy số không tăng, không giảm D Dãy số dãy hữu hạn

Lờigiải

ChọnC

Dãy khơng tăng, khơng giảm số hạng đan dấu

Câu 10. Cho dãy số ( )un biết

400 n

u n  n Mệnh đề sau đúng?

A Dãy số tăng B Dãy số giảm

C Dãy số không tăng, không giảm D Mọi số hạng âm

Lờigiải

ChọnC

Ta có un1un n12400n1n2400n2n399

Do 2n3990 399

2

n 2n3990khi 399

2

n

Vậy dãy số cho không tăng, không giảm

Câu 11. Trong dãy số  un cho số hạng tổng quát un sau, dãy số tăng?

A

3

n n

u  B

2

n

u n



 C

1

n

n u

n

 

 D

4

n

n u

n

 



Lờigiải

ChọnD

Ta có:

1

1 1

0 3 3.3 3.3

n n n n n n n

u  u 



        loại A

    

1

1 1

0

2 1 2 2

n n

u u

n n n n n n





      

        loại B

  

2 1

0

3 3

n n

n n

u u

n n n n



 

     

     loại C

  

1

4 14

0

4

n n

n n

u u

n n n n



 

    

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021

Câu 12. Trong dãy số  un cho số hạng tổng quát un sau, dãy số giảm?

A

3 n n

u    

 

B un   1 n5n1  C un  3 n D un  n4

Lờigiải

ChọnC

Ta có:

1

1

4 4 4

3 3 3 3

n n n n n

n n

u u





         

             

           loại A

Dãy  un với un  1 n5n1  có số hạng đan dấu nên dãy không tăng, không giảm  loại B

1

1 3 3.3 2.3

n n n n n

n n

u u 

            Chọn C

1

1

5

5

n n

u u n n

n n

       

    loại D

Câu 13. Trong dãy số  un cho số hạng tổng quát un sau, dãy số không tăng, không giảm?

A un n

n

  B un 5n3 n C un  3 n D un  3 n n21

Lờigiải

ChọnD

Dãy khơng tăng, khơng giảm số hạng đan dấu

Dãy đáp án A B tăng, dãy đáp án C dãy giảm

Câu 14. Cho dãy số ( )un biết

n n

n

u   Mệnh đề sau đúng?

A Dãy số tăng B Dãy số giảm

C Dãy số khơng tăng, khơng giảm D Dãy số có số hạng thứ 100 bé

Lờigiải

ChọnA

Ta có un1 un 5n 4n 5n 4n 5 n 4n 0, n *  

          

Vậy un1un0un1un, n *

Câu 15. Cho dãy số (un)biết

3

n

an u

n

 

 Tìm tất giá trị a để dãy số tăng

A a6 B a6 C a6 D a6

Lờigiải

ChọnB

Ta có

  

*

2

,

3 3

n n

an a an a

u u n

n n n n



   

     

    

Để dãy số tăng

  

*

6

0,

3

n n

a

u u n a

n n





      

  

Câu 16. Cho dãy số (un)biết un2nan Tìm tất giá trị a để dãy số tăng

A a2 B a2 C a2 D a2

Lờigiải

ChọnC

Ta có un1 un 2n an a 2n an 2n a, n *



NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Để dãy số tăng * * *

1 a 0, , 2,

n n

n n

u u     n  a  n  a  n 

Câu 17. Cho dãy số (un)biết

n n

u an

 Tìm tất giá trị a để dãy số tăng

A  a B Không tồn a C  a * D a0

Lờigiải

ChọnD

Ta có  

 

1

*

1 2

.3

3

,

n

n n

n n

a n

u u n

an a an a n n

 



     

  

Để dãy số tăng  

 

*

1 2 2

.3

0,

n

n n

a n

u u n a

a n n





      

 

Câu 18. Cho dãy số ( )un biết un  3n 2 3n1 Mệnh đề sau đúng?

A Dãy số tăng B Dãy số giảm

C Dãy số không tăng, không giảm D Cả A, B, C

Lờigiải

ChọnB

Ta có 3 1

3

n

u n n

n n

    

  

Khi

   

  

1

*

1

3 3

3 3

0,

3 3

n n

u u

n n n n

n n n n

n

n n n n

   

     

      

   

      

Câu 19. Cho dãy số (un)biết un  n n21 Mệnh đề sau đúng?

A Dãy số tăng B Dãy số giảm

C Dãy số không tăng, không giảm D Các số hạng dương

Lờigiải

ChọnA

Ta có

2 1

1

n

u n n

n n

    

 

Khi

 

 

 

 

  

2

*

1 2 2

2

1 1

1

0,

1 1 1 1

n n

n n

u u n

n n

n n n n n n



    



      

 

         

 Vậy

dãy số cho dãy tăng

Câu 20. Cho dãy số (un)biết

2

2

2 n

n n

u

n

  

 Mệnh đề sau đúng?

A Dãy số tăng B Dãy số giảm

C Dãy số không tăng, không giảm D Có số hạng âm

Lờigiải

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021

Ta có

  

2 2

*

2 2 10

0,

3

n n

n n n n n n

u u n

n n n n



    

      

    

Vậy dãy số cho dãy tăng

Câu 21. Trong dãy số có cơng thức tổng quát sau, dãy số dãy số tăng?

A

2 n

n

u   B un n

  C

5 n n u n  

 D  1 n n n

u  

Lờigiải:

Chọn A

Thử đáp án với n=1,2 ta được:

A 1 1; 2

2

u   u   tăng

B u13;u2 2  giảm ( loại)

C 1 3; 2

7 12

u  u   giảm (loại)

D u1 3;u2 9 tăng Tính thêm u3 27giảm (loại)

Câu 22. Trong dãy số  un cho số hạng tổng quát un sau, dãy số dãy số giảm?

A

2

n n

u  B

1 n n u n  

 C

n

u n D un  n2

Lờigiải

Ta có

2

n n

u  11 1

2n un

   n *

Câu 23. Trong dãy số sau, dãy số dãy số giảm

A

1 n n u n  

 B n

n

u  C un 22 n

 D  1

n

n n

u  

Lờigiải

XétA:

Ta có 3;

1 n n u n    2 n n u n   

 Khi đó:   

2

0

2 1

n n

n n

u u

n n n n



 

    

     n 

Vậy  un dãy số tăng

XétB:

Ta có ;

2

n

n

u  1

2

n

n

u    Khi đó: 1 1

2 2

n n

n n

u u       n 

Vậy  un dãy số tăng

XétC:

Ta có un 22 n  ,   2 n u n      2

2 1,

1 n

n

u n n

n

u n n



     

 

Vậy  un dãy giảm

XétD:

Ta có 1 1;

3

u  2 1;

u  3

27

u   Vậy  un dãy số không tăng không giảm

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

A , *

2 n n u n n   

  B  

5 , * n n u n n      C un2n33,n* D un cos 2 n1 , n*

Lờigiải

Xét , *

2 n n u n n   

  , ta có

   

5

2 3

n n n n u u n n          

2

2

n n n n               

2 3 5

n n n n

n n            2

4 6 10 25 15

2

n n n n n n

n n              19 0, *

2n 2n n



   

  

Vậy , *

2 n n u n n   

  dãy giảm

Câu 25. Cho dãy số sau Dãy số dãy số tăng?

A 1; 1; 1; 1; 1; 1; B 1; 1; ; 1; ; 16

  

C 1; 3; 5; 7; 9; D 1; ; ; ; 1 1; 16 

Lờigiải

Xét đáp án A: 1; 1; 1; 1; 1; 1;đây dãy nên không tăng không giảm

Xét đáp án B: 1; 1; ; 1; ; 1 2 3

2 16 u u u

     loại B

Xét đáp án C: *

1

1; 3; 5; 7; 9;un un, n Chọn C

Xét đáp án D: 1; ; ; ; 1 1 ; 1 2 3

2 16 u u u  un  loại D

Câu 26. Trong dãy số  un cho số hạng tổng quát un sau, dãy số dãy số tăng?

A

2

n n

u  B un

n

 C

3 n n u n    D n n u n    Lờigiải

Vì ;n n dãy dương tăng nên 1

; 2n

n dãy giảm, loại đáp án A B

Xét đáp án C:

1 2 n u n

u u u

n u               

loại C

Xét đáp án D: 2 1 1

1 1

n n n

n

u u u

n n  n n

  

         

      Chọn D

Câu 27. Trong dãy số  un cho số hạng tổng quát un sau, dãy số dãy số tăng?

A

3

n n

u  B un

n

 C un 2 n D un   2 n

Lờigiải

Xét đáp án C:

1

2n 2n 2n 2n

n n n

u u u 



TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021

Vì ;n n dãy dương tăng nên ; 2n

n dãy giảm, loại đáp án A B

Xét đáp án D:   2 3

3

4

8 n

n

u

u u u

u

 

     

  

loại D

Câu 28. Trong dãy số sau, dãy số dãy số giảm?

A un n2 B un2n C un n31 D

1

n

n u

n

 



Lờigiải

*

n

  ta có: n2 n12 nên A sai; 2n2n1 nên B sai; n3 1 n131 nên C sai

Với

1

n

n u

n

 

  

3

n n

u u

n n





  

 nên dãy

2 1

n

n u

n

 

 giảm

Câu 29. Trong dãy số  un cho số hạng tổng quát un sau, dãy số dãy số giảm?

A un sin n B

2

1 n

n u

n

 

C un  n n1 D  1 2n  n  n

u   

Lờigiải

A sin 1 cos sin1

2

n n n

u  nu u  n 

  dương âm phụ thuộc n nên đáp án A

sai Hoặc dễ thấy sinn có dấu thay đổi * nên dãy sinn không tăng, không giảm

B

 

2

1

1 1 1

1

1

n n n

n n n

u n u u

n n  n n n n

  

         

  nên dãy cho tăng nên B sai

C 1 ,

1 n

u n n

n n

   

  dãy n n 1 dãy tăng nên suy un giảm

Chọn C

D un   1 n2n1 dãy thay dấu nên không tăng không giảm

Cáchtrắcnghiệm

A un sinn có dấu thay đổi * nên dãy không tăng không giảm

B

2 1

n

n u

n



 , ta có

2

1 2

1

1

2

2

n

n u

n

u u u

n

n u

  



 

   



  

 

không giảm

C un  n n1, ta có 1 2

2

1

2

n u

u u

n u

   



  

    



nên dự đoán dãy giảm

D  1 n2n 1

n

u    dãy thay dấu nên không tăng không giảm

CáchCASIO

 Các dãy sin ;n  1 n2n1 có dấu thay đổi * nên dãy không tăng không giảm

nên loại đáp án A, D

 Còn lại đáp án B, C ta cần kiểm tra đáp án chức TABLE Chẳng hạn kiểm tra đáp án B, ta vào chức TABLE nhập  

2 1

X F X

X



 với thiết lập

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Nếu thấy cột F X  giá trị tăng loại B chọn C, ngược lại thấy cột F X  giá trị giảm dần thị chọn B loại C

Câu 30. Mệnh đề sau đúng?

A Dãy số un

n

  dãy tăng B Dãy số un   1 n2n1 dãy giảm

C Dãu số

1

n

n u

n

 

 dãy giảm D Dãy số

1 cos

n

u n

n

  dãy tăng

Lờigiải

Xét đáp án A: 1 1

1

n n n

u u u

n  n n

       

 loại A

Xét đáp án B: un  1 n2n1 dãy có dấu thay đổi nên khơng giảm nên loại B

Xét đáp án C: 1 1 1

1 1

n n n

n

u u u

n n  n n

  

         

      loại C

Xét đáp án D: cos1 1 cos cos

1

n n n

u n u u

n  n n

 

       

 

  nên Chọn D

Câu 31. Mệnh đề sau sai?

A Dãy số un n n



 dãy giảm B Dãy số un 2n25là dãy tăng

C Dãy số 1

n n

u

n

    

  dãy giảm D Dãy số

2 sin

n

u  n nlà dãy tăng

Lờigiải

Xét A: 1 1 1

1

n n n

n

u n u u n n

n n  n n



          

 nên dãy  un dãy

giảm nên C

Xét đáp án B: un2n25 dãy tăng n2 dãy tăng nên B Hoặc

 

1 2

n n

u  u  n  nên  un dãy tăng

Xét đáp án C: 1 1 0 2. 1  

1

n n n

n

n n

n

u

n n n

u u

n n u n n



  

     

           



      dãy tăng

nên Chọn C

Xét đáp án D:  2 

1

sin sin sin

n n n

u  n nu u   n  n nên D

DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI

Câu 32. Cho dãy số (un)biết

1

1

2

( ) : 3 1

2

n n

n

u

u u

u  n

  

 

  

 

Mệnh đề sau đúng?

A Dãy số tăng B Dãy số giảm

C Dãy số không tăng, không giảm D Cả A, B

Lờigiải

ChọnB

(Dãysốnàychobởicơngthứctruyhồinêntalàmtheocách3) Ta dự đốn dãy số giảm sau ta chứng minh giảm

Ta có 1

1

3 1

4

n n

n n n

u u

u u  u 

 

 

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021

Do đó, để chứng minh dãy (un)giảm ta chứng minh un  1 n phương pháp quy nạp toán học Thật

Với n 1 u12 1

Giả sử 1 3 1

4

k

k k

u

u u

 

    

Theo ngun lí quy nạp ta có un   1 n

Suy unun10unun1  n hay dãy ( )un giảm

Giảinhanh: Dãy ( )un có dạng un1aunb

Ở

4

a  2 1

4

u u      Suy dãy số giảm

Tổng quát ta chứng minh dãy số

 

1

1

1 ( ) :

, a,b>0

n n

n

u c

u au b

u n

a b



 

 

 

  

 



giảm tương tự

trên

Câu 33. Trong dãy số  un cho số hạng tổng quát un sau, dãy số tăng?

A un sinn

n

 B

2

n

n u

n

 

 C

3 n n

u n

 D un 4n33n21

Lờigiải

ChọnD

* Với n k ; k2 ,k sinn sinn

n

  

     

và n  k2 ; k2 ,k sinn sinn

n

   

       Suy dãy số đáp án A không

tăng, không giảm  loại A

* Ta có

 

2

2

1

2

n

n n

u

n n

 

 

 

Xét dãy  vn với

 

2

1

2

n

n v

n

 



   

2 2

1 2 2

2

4 12 4

n n

n n n n n

v v

n n n n n n



    

   

     

Do vn1vn vừa nhận giá trị âm lẫn dương nên dãy số  vn không tăng, không giảmloại B *

 

 

 

1 2 2

3 2

3.3

1

n

n n

n n

n n

u u

n

n n n



 

   

  Do un1un nhận giá trị âm lẫn dương nên dãy

cho không tăng, không giảm  loại C * Theo phương pháp loại trừ ta chọn D

Câu 34. Cho dãy số (un)biết

1

1

1

1

3

n n

u

u u 

   

 

 

Mệnh đề sau đúng?

A Dãy số tăng B Dãy số giảm

C Dãy số không tăng, không giảm D Cả A, B, C sai

Lờigiải

ChọnA

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Từ giả thiết *

0,

n

u   n 

Giả sử uk uk1,k2 Ta chứng minh uk1uk

Thật vậy: 1 1 1 1

3

k k k k k k

u u  u u   u  u Vậy dãy cho dãy tăng

Câu 35. Cho dãy số (un)biết

2

1

3,

n n

u

u u n 



   

   



 

Mệnh đề sau đúng?

A Dãy số tăng B Dãy số giảm

C Dãy số không tăng, không giảm D Cả A, B, C

Lờigiải

ChọnA

Ta có 0u1u2u3 Dự đốn dãy số cho tăng, ta chứng minh quy nạp Từ giả thiết un 0, n *

Giả sử uk uk1,k2 Ta chứng minh uk1uk

Thật vậy: 2  1 1

1 2 2

1

3

3

k k k k

k k k k k k

k k

u u u u

u u u u u u

u u

 

  



 

        

  

dãy cho

dãy tăng

Câu 36. Cho dãy số (un)biết

1

1

3 3

n n

n

u

u u

u



  

 

 



Mệnh đề sau đúng?

A Dãy số tăng B Dãy số giảm

C Dãy số không tăng, không giảm D Có u10 2

Lờigiải

ChọnB

Ta có u1u2 u3 Dự đốn dãy số cho giảm, ta chứng minh quy nạp Từ giả thiết un 0, n *

Giả sử uk uk1,k2 Ta chứng minh uk1uk

Thật vậy:  

   1

1

1

9

3

0

3 3

k k

k k

k k k k

k k k k

u u

u u

u u u u

u u u u

 

 

 



      

    dãy cho dãy

giảm

Câu 37. Cho dãy số (un)biết 1

1

n

u

n n n n

   

   Mệnh đề sau đúng?

A Dãy số tăng B Dãy số giảm

C Dãy số khơng tăng, khơng giảm D Có hữu hạn số hạng

Lờigiải

ChọnA

Xét hiệu

  

*

1

1 1

0

2 2 2 1

n n

n n

u u n

n n n n n



 

       

     

Câu 38. Cho dãy số (un)biết

 

1

*

2

1,

n n n

u u

u au  a u n

  

 

    



 

Tìm tất giá trị a để (un)tăng?

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021

Lờigiải

ChọnD

Xét hiệu un2un1aun11a u nun1a1un1un

         

 

3 2

2

4 3

1

1

1

1 n

n n

u u a u u a

u u a u u a

u  u a 

      

      

    

Để dãy số (un) tăng suy a1

Câu 39. Cho ( )un biết n

an b u

cn d

 

 c0,d0 Khi điều kiện đủ để dãy số ( )un tăng là?

A a0,b0 B a0,b0 C a0,b0 D a0,b0

Lờigiải

ChọnC

Xét hiệu

   

1

n n

ad bc

u u

c n d cn d





 

  

 

 

Câu 40. Cho dãy số (un)biết

1

*

2 n n

u u

u  n

 



 

  



 

Mệnh đề sau đúng?

A Dãy số tăng B Dãy số giảm

C Dãy số không tăng, không giảm D Là dãy số không đổi

Lờigiải

ChọnB

Dự đoán dãy giảm sau chứng minh un1un0 quy nạp tốn học

Chúý: Từ giả thiết suy 0 *

n

u   n 

Ta có 2 1

4

u u    

Giả sử uk1uk 0, k

Xét hiệu   

2

1

2 1

1 1

0

4 4

k k

k k k k k k

u u

u u  u u u u

   

 

      

Theo nguyên lý quy nạp suy *

1 0,

n n

u  u   n 

Vậy dãy số (un) giảm

Câu 41. Với giá trị a dãy số  un , với

1 n

na u

n  

 , dãy số tăng?

A a2 B a2 C a2 D a2

Lờigiải:

Chọn D

Ta có:

  

1

2

0

2

n n

a

u u a

n n





    

 

Câu 42. Gọi A tập hợp tất giá trị nguyên a thuộc đoạn 5; 5 cho dãy số (un) với

2

1

2

n

an u

n

 

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

A 6 B 11 C 5 D Vô số

Lờigiải:

Chọn C

Ta có

 

2 2

n

a a

u

n



 

 nên  2

2 1

,

2 2 1 3

n n

a

u u

n n



 

  

  

    

 

với n1, 2,

Với n*

 2

1

0

2

2 n n

 



 

nên dãy số tăng un1un 0 hay

2 a

Trên đoạn  5; , ta có giá trị nguyên a 1; 2; 3; 4;

Câu 43. Cho dãy số  

n

u với

3 n n

n

u   Biết hiệu 1

3

n n n

a b n c c u  u



  a b,

c c phân số tối

giản Tính tổng a b

cc

A 1 B -1 C

3

 D 3

Lờigiải

Chọn B

Cách 1: Ta có 1

1

2

2 3 3

3 3.3

n n n n n n

n

n n n

u  u 

 

   

     Do 2,

3

a b

c   c   , suy

a b cc  

Cách2: Thay n1 vào 1

3

n n n

a b n c c u  u



  , ta có a b 3u2 u1

cc   

Câu 44. Cho dãy số tăng  un với

1 n

an u

bn  

 , với a, b hai số thực dương Mệnh đề

đúng?

A 3b a 0 B a3b C a3b0 D a3b 6

Lờigiải:

Chọn A

Ta có:  

 

        

1

1 3 3

1

1 1

n n

a n an an a bn an bn b

u u

bn

b n bn b bn



         

   



    

 

  

2

3 3 3

1

abn an abn bn a abn abn an bn b bn b bn

          



  

=

 

3

1 ( 1)

a b bn b bn



  

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021

Câu 45. dãy số (un) xác định un 2010 2010   2010 (n dấu căn)Khẳng định sau

là đúng?

A Tăng B Giảm C Không tăng, không giảm D Bị chặn

sai

Lờigiải:

Chọn A

Ta có un21 2010un

2

1 1 2010

n n n n

u u u u      

Bằng quy nạp ta chứng minh 8041

2 n

u   n

Suy un1un 0 dãy (un) dãy tăng

DẠNG 2: XÉT TÍNH BỊ CHẶN CỦA DÃY SỐ A Phương pháp giải

Phươngpháp1: Chứng minh trực tiếp phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Cách1: Dãy số ( )un có un f n( ) hàm số đơn giản

Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức ( ) , *

n

u  f n M  n  ( ) , *

n

u  f n m  n 

Cách2: Dãy số ( )un có unv1v2 vk  vn(tổng hữu hạn) Ta làm trội vk ak ak1

Lúc un a1a2  a2a3 anan1

Suy *

1 ,

n n

u a a  M  n 

Cách3: Dãy số ( )un có unv v v1 2 3 vn với *

0, n

v   n  (tích hữu hạn)

Ta làm trội k

k k

a v

a





Lúc

1

n n

n

a a

a u

a a a





Suy *

1

, n n

a

u M n

a



   

Phươngpháp2: Dự đoán chứng minh phương pháp quy nạp

Nếu dãy số (un)được cho hệ thức truy hồi ta sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh

Chúý:Nếudãysố ( )un giảmthìbịchặntrên,dãysố (un)tăngthìbịchặndưới

*Cơngthứcgiảinhanhmộtsốdạngtốnvềdãysốbịchặn

Dãy số (un)có n  1

n

u q q  bị chặn

Dãy số (un)có unqn q 1 khơng bị chặn Dãy số (un)có n

n

u q với q1 bị chặn

Dãy số (un)có unan b bị chặn a0và bị chặn a0 Dãy số (un)có unan2bnc bị chặn a0và bị chặn a0

Dãy số (un)có

1

m m

n m m

u a n a n  a n a



     bị chặn am 0 bị chặn

0 m

a 

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Dãy số (un)có

1

m m

n m m

u a n a n  a n a



     bị chặn với am 0

Dãy số (un)có

1

m m

n m m

u a n a n  a n a



     bị chặn am 0 bị chặn

0 m

a 

Dãy số (un)có     n

P n u

Q n

 P n và Q n là đa thức, bị chặn bậc P n nhỏ bậc Q n 

Dãy số (un)có     n

P n u

Q n

 P n và Q n là đa thức, bị chặn bị chặn bậc P n  lớn bậc Q n 

B Bài tập tự luận

Câu 1. Xét tính bị chặn dãy số sau

a) 21

2

n

u n



 b) n 3.cos

nx

u  c) un 2n31

d)

2

2 n

n n

u

n n

 

  e)

1

n

u n n

 

Lờigiải

a) 21

2

n

u n



 Có

2

2 1 = 1,

2

n

n u n

n

     

 Vậy dãy số bị chặn

b) 3.cos

n

nx

u  có cos 3.cos

3

nx nx

      

Vậy dãy số bị chặn 3 ; chặn

c) un 2n31 có

2n  1 3,  n Vậy dãy số bị chặn

d)

2

2 n

n n

u

n n

 

  có

2

2

2

1

1

n

n n n

u

n n n n

 

   

    ,  n

Vậy dãy số bị chặn

e) un n

n

  có un n n.1

n n

    ,  n Vậy dãy số bị chặn

Câu 2. Xét tính tăng hay giảm bị chặn dãy số: 1; *

3

n

n

u n N

n



 



Lờigiải

Ta có:

     

2

1

2 2 7

0; *

4 4

n n

n n n n n n

u u n N

n n n n n n



      

       

     

Vậy:  un dãy số tăng

Ta có 2( 3) 7

3 3

n

n n

u

n n n

  

   

   , suy ra:

*, n

n u

   nên  un bị chặn Vì  un dãy số tăng *, 1 n

n u u

    Nên  un bị

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021

Câu 3. Cho dãy số  un với un 1 n1 2 n a) Viết số hạng đầu dãy số b) Tìm cơng thức truy hồi

c) Chứng minh dãy số tăng bị chặn

Lờigiải

a).Ta có:

 

1 1

u    

 

2 2

u    

 

3 17

u    

 

4 49

u    

 

5 129

u    

b) Xét hiệu: un 1 un n.2n 1 n 2 n 

            

2 2n n n 2n 2n n 2n n 2n

        1   n

n n

u  u n

   

Vậy công thức truy hồi:

 

1

1 2n

n n

u

n u u n

  

  

   



c) Ta có:un1unn1 2 n0  n Từ suy dãy số  un dãy số tăng Ta có: un 1 n1 2 n1  n Kết luận  un dãy số bị chặn

Câu 4. Cho dãy số  un xác định

1

2

2

, 1,

2

n n

n

u

u

u n n

u



   

  

 



 1) Chứng minh dãy số  un giảm bị chặn

2) Hãy xác định số hạng tổng quát dãy số  un

Lờigiải

1) Ta có 12; 2  41

u u

Giả sử uk 1, k2 (giả thiết quy nạp)

Ta chứng minh uk11 * 

Theo công thức truy hồi  *     



2

2

1

2

k

k k

k

u

u u

u (2uk  1 0)

 

uk22uk 1 0 uk 120 (vì uk 1)

Vậy un 1,  n *, suy  un bị chặn

+) Xét hiệu        

 

2

1

0

2

n n

n

n n n

n n

u u u

u u u

u u (vì uk 1)  un giảm

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Vậy dãy số  un giảm bị chặn

2) Từ 



 

        

  

2

1 2

1

1 1

1

2

n n

n n n n n n

u u

u u u u u u

        1 n u

Đặt n 1

n

v

u  1   

1 1 2

v vn1 vn2

Từ suy v1 2 ; 1 v2 2 ; 2 v3 2 ; 4 v4  28 Giả sử vn  22n1, n4 (giả thiết quy nạp)

    



    

2

2

1 2

n n

n

v Do vn 22n, n

Mà

1

1

2

1 1

1

1 2

n n n n n n n v u u v             

Vậy số hạng tổng quát dãy số  un

1 2 2 n n n u    

Câu 5. Chứng minh dãy số  un , với

2 2 n n u n  

 dãy số bị chặn

Lờigiải

Công thức un viết lại:

   

1

2 2

n

u

n

 



Dễ thấy  n ta có: 21

2n

  

 Do từ  1 suy  2 un1  n 1

Từ suy ra un dãy số bị chặn

Câu 6. Chứng minh dãy số  un , với

5 n n u n  

 dãy số tăng bị chặn

Lờigiải

Công thức un viết lại:

 

7 24

5 5

n

u

n

 

 Xét hiệu số:

   

1

7 24 24

5 5 5

n n u u n n                        

24 1

0 5n n n

             n n

u  u

  Vậy dãy số  un dãy số tăng

Ta có:0 1

5n 12 n

   

  

24

0

5 5n

    

  

7 24

5 5 5n 5

      n u

   Suy  un dãy số bị chặn Kết luận  un dãy số tăng bị chặn

Câu 7. Cho dãy số  un với unn24n3

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021

c) Tính tổng n số hạng đầu dãy số cho

Lờigiải

a).Ta có: u1124.1 3 0

Xét hiệu:  2    

1 4 3

n n

u  u  n  n   n  n  n

  un1un2n3

Vậy công thức truy hồi:

1

0

2

n n

u

n

u  u n

 

  

  



b) Ta có:un n24n  4 n22  1  n

Vậy dãy số bị chặn dưới, khơng bị chặn c) Ta có:

2

2

2

2

1 4.1

2 4.2

3 4.2

4

n

u u u

u n n



  



   



   

  

  



 2 2  

1

n

S     n     n  n

 2 1  1

3

6

n n n n n

n

  

  

 2 1 12  1 18

n n n  n n  n



 2 11 18

n n n  n



Câu 8. Xét tính bị chặn dãy số: 1 ; *

n n

u n N

n

 

   

 

Lờigiải

Ta có: 1 0; *

n n

u n N

n

 

       

nên  un bị chặn (1)

Lại có:

 

0

1 !

1

! !

n n k n

k

n n k

k k

n

u C

n  n  k n k n

 

   

                      

0

1

1

; *

! !

n n

k k

n k n k n k k

n N

k n n n k

 

       

   

 

 

Mà:

 

1 1 1

1

! 1.2 2.3 3.4

n

k k n n

      





1 1 1

2 3; *

2 n n n n N

     

             



     

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Từ (1) (2)  dãy số (un)bị chặn

Câu 9. Cho 15 15 15 *

2

n

U n N

n

       Chứng minh Un bị chặn

Lờigiải

Với k2,3, ,n ta có  

1

k k k  (do   2 

1 0)

k k k k k  k

 

1 1

1

k k k k k

   

 

Do đó:

1 1

1

1  2

5

1 1  23

………

5

1 1

1

n n n

 

2 *

n n

U n N U

n

       bị chặn

Câu 10. Cho dãy số  un định

1

1

1

5

n n

u

u  u

   

 

 

*

n N

 

a) Chứng minhun 15, n N*

b) Chứng minh dãy số  un tăng bị chặn

Lờigiải

a) Ta có u1 1 15, giả sử uk 15, 1 15  15

3

k k

u   u    

Vậyun 15 , nN* 1 

b) Ta có 1 15 0, *  1

3

n

n n n n

u

u u  u  u     n N do

 dãy số  un tăng unu1 1  un bị chặn

Câu 11. Xét tính bị chặn dãy số sau:

a)

 

1 1

1.2 2.3

n

u

n n

   

 b) 2 2

1 1

1

n

u

n

    

c)

  

1 1

1.3 2.5 2

n

u

n n

   

  d)  

1 1

1.4 2.5

n

u

n n

   



Lờigiải

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021

Lại có:

 

1 1

1

k k  k k Suy

1 1 1

1 1, *

2 1

n

u n

n n n

     

            

 

       nên  un bị chặn

Kết luận  un bị chặn

b) Rõ ràng un0, n * nên  un bị chặn Có

 

1 1

, 2,

1 k k

k  k k k k    Do đó:

1 1 1 1

1 2

2 3

n

u

n n n

       

               

        với số nguyên dương n, nên

 un bị chặn Kết luận  un bị chặn

c) Rõ ràng un0, n * nên  un bị chặn Lại có:

  

1 1

2k 2k 2k 2k

 

   

     

Suy

1 1 1 1 1

1

2 2 2

n

u

n n n

       

            

  

       

 

với số nguyên dương n,

nên  un bị chặn Kết luận  un bị chặn

d) Rõ ràng un0, n * nên  un bị chặn Lại có:

 

1 1

3 3

k k k k

 

   

    Suy

1 1 1

[

3

n

u                   1

 

  

 

1 1 1 1

3 1

n n n n n n n n

       

           

     

       

]

1 1 1 11

1

3 3 18

n

u

n n n

 

       

  

  với số nguyên dương n, nên  un bị chặn

Kết luận  un bị chặn C Bài tập trắc nghiệm

DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH - KHÁ

Câu 1. Cho dãy số ( )un biết

2

n

u n

 

 Mệnh đề sau ? A Dãy số bị chặn B Dãy số bị chặn

C Dãy số bị chặn D Không bị chặn

Lờigiải

ChọnA

Ta có 5, * 1, * 1 0, *

2 5

n n n n

n n



              

 

  

1

0 un    

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Giảinhanh: dãy số (un)có uncó bậc tử thấp bậc mẫu nên bị chặn

Câu 2. Cho dãy số ( )un biết

4

n

n u

n

 

 Mệnh đề sau ? A Dãy số bị chặn B Dãy số bị chặn

C Dãy số bị chặn D Không bị chặn

Lờigiải

ChọnA

Ta có 0, *

1

n

n

u n

n



   

 

*

4 4( 1) 1 9

4 ,

1 1 2

n n

n n

u u n

n n n

  

          

   

Suy 9, *

2

n

u n

   

Vậy dãy số (un) bị chặn

Giảinhanh: dãy số (un) có uncó bậc tử bậc mẫu nên bị chặn

Câu 3. Cho dãy số (un)biết

3

1 n

n u

n



 Mệnh đề sau ?

A Dãy số bị chặn B Dãy số bị chặn

C Dãy số bị chặn D Không bị chặn

Lờigiải

ChọnC

Ta có

3

*

2 0, ( )

1

n n

n

u n u

n

    

  bị chặn (không bị chặn bậc tử cao bậc

mẫu)

Câu 4. Trong dãy số sau dãy số bị chặn ?

A Dãy  an , với , *

n

a  n n  n 

B Dãy  bn , với , *

2 n

b n n

n

   

C Dãy  cn , với cn  ( 2)n3, n *

D Dãy  dn , với 33 , *

2 n

n

d n

n

  

 

Lờigiải

ChọnD

Xét dãy  an , có an  n3n0, n * bị chặn Xét dãy  bn , có

0, *

2 n

b n n

n

     bị chặn

Xét dãy  cn , có cn  ( 2)n3, n * không bị chặn

Xét dãy  dn , có 33 , *

2 n

n

d n

n

  

  Ta có    

2

3 2 0, *

n  n  n n   n 

3

3

2

2

n

n n

n

     

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021

Giảinhanh: Ta dễ thấy dãy số  dn có bậc tử thấp bậc mẫu Suy dãy  dn bị chặn

Cáchkhác: Dãy cho dãy số giảm nên bị chặn u11

Câu 5. Cho dãy số (un)biết unasinn b cosn Mệnh đề sau ?

A Dãy số không bị chặn B Dãy số bị chặn

C Dãy số bị chặn D Dãy số bị chặn

Lờigiải

ChọnB

Xét un  asinn b cosn  a b  a  bun  a b Vậy ( )un bị chặn

Câu 6. Xét tính bị chặn dãy số sau: un  ( 1)n

A Bị chặn B Không bị chặn C Bị chặn D Bị chặn

Lờigiải

ChọnA

Câu 7. Xét tính bị chặn dãy số sau: un 3n1

A Bị chặn B Bị chặn C Bị chặn D Không bị chặn

Lờigiải

ChọnC

Ta có un2, n * Dãy bị chặn

Khi n tiến tới dương vơ cực un tiến tới dương vơ cực nên dãy số không bị chặn Vậy dãy cho bị chặn

Câu 8. Trong dãy số  un cho số hạng tổng quát  un sau, dãy số bị chặn?

A 2.

n

u n B n

n

u  C un

n

 D un  n1

Lờigiải

ChọnC

Ta có: un 1

n

   với *

n nên dãy  un bị chặn

Nhậnxét: Các dãy số n2; ;n n1 dãy tăng đến vô hạn n tăng lên vô hạn nên chúng khơng bị chặn (có thể dùng chức TABLE MTCT để kiểm tra)

Câu 9. Trong dãy số  un cho số hạng tổng quát un sau, dãy số bị chặn?

A

2

n n

u  B un3 n C un  n1 D

1 n

u n 

Lờigiải

ChọnA

Ta có:

2

n n

u

   với n* nên dãy  un bị chặn

Câu 10. Xét tính bị chặn dãy số sau:

2  



n

n u

n

A Bị chặn B Không bị chặn C Bị chặn D Bị chặn

Lờigiải

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Ta có 2 2( 2)

2 2

n

n n n

u n

n n n

  

     

   nên dãy ( )un bị chặn

Câu 11. Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un), biết: 13

3  



n

n u

n

A Dãy số tăng, bị chặn

B Dãy số giảm, bị chặn

C Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn

D Cả A, B, C sai

Lờigiải

ChọnA

Ta có: 1 11 13 34

3 (3 1)(3 2)



 

    

   

n n

n n

u u

n n n n với n1

Suy un1un   n dãy ( )un dãy tăng  dãy bị chặn 1

4

u  

Mặt khác: 35

3 3(3 2)

n n

u u n

n

       

 Vậy dãy ( )un dãy bị chặn

Câu 12. Xét tính bị chặn dãy số sau:

2

1  

 n

n u

n

A Bị chặn B Không bị chặn C Bị chặn D Bị chặn

Lờigiải

ChọnA

Ta có:

2

2

2

1 2

0 1 , ( )

1

1

n n

n n n n n

u n u

n n n

n

  

         

 



bị chặn

Câu 13. Xét tính bị chặn dãy số sau: un  4 3n n

A Bị chặn B Không bị chặn C Bị chặn D Bị chặn

Lờigiải

ChọnC

Ta có:

2

25 25

( )

4

n n

u  n    u

  bị chặn trên; dãy ( )un không bị chặn

Câu 14. Trong dãy số (un) sau, dãy số bị chặn?

A un n 1.

n

  B un n1 C

2

2 1

n

n u

n



 D

2

1 n

u n  n

Lờigiải

ChọnC

Câu 15. Trong dãy số (un) sau, dãy số bị chặn?

A unnsin 3n B

1 n

n u

n



 C

 

1

n

u

n n



 D un n.sin 3 n1

Lờigiải

ChọnC

Ta có

 

*

1

0 ,

1

n

u n

n n

     

  Dãy ( )un với  

1 n

u

n n



TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021

Câu 16. Trong dãy số  un cho dãy số dãy số bị chặn ?

A

3

1 n

n u

n



 B

2 2017.

n

u n  C ( 1) (n 2)

n

u   n D 2

1

n

n u

n

 

Lờigiải

ChọnD

Ta có 2 1, *

1

n

n

u n

n

     

  Dãy ( )un với un

n n



 bị chặn

Câu 17. Xét tính tăng giảm bị chặn dãy số sau: ( ) :

2  



n n

n u u

n

A Tăng, bị chặn B Giảm, bị chặn C Tăng, chặn D Giảm, chặn

Lờigiải

ChọnA

Ta có

2

2 ( 2) ( 3)( 1)

3 ( 2)( 3)



     

   

   

n n

n n n n n

u u

n n n n

1

0,

( 2)( 3)

  

  n

n n

Và 1, *

2

n

n n

u n

n n

 

     

  

Vậy dãy ( )un dãy tăng bị chặn

Câu 18. Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số ( )un , biết: (un) :un n32n1

A Tăng, bị chặn B Giảm, bị chặn C Tăng, chặn D Giảm, chặn

Lờigiải

ChọnC

Ta có: un1un (n1)32(n1)n32n

3 3 0,

 n  n  n

Mặt khác: un 1, n n lớn un lớn Vậy dãy ( )un dãy tăng bị chặn

Câu 19. Cho dãy số ( ) :

3

n n

n u u

n

 

 Dãy số  un bị chặn số đây?

A 1

3 B 1 C

1

2 D 0

Lờigiải

ChọnB

Ta có 1

3

n

n u

n n



   

  Mặt khác:

5 1

u     nên suy dãy  un bị chặn

trên số

Câu 20. Khẳng định sau sai?

A Mỗi dãy số tăng dãy số bị chặn B Mỗi dãy số giảm dãy số bị chặn

C Mỗi hàm số dãy số D Mọi dãy số hữu hạn bị chặn

Lờigiải

Chọn C

Mọi dãy số hàm số, điều ngược lại không (khác tập xác định)

Câu 21. Trong dãy số (un)sau, dãy số bị chặn?

A unn21 B

2

3 n

u

n

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Chọn D

Với n*, ta có  1 sinn  1 sin2n1 nên dãy số cho bị chặn

Câu 22. Xét tính bị chặn dãy số sau

2

1

n

n n u

n n

  

 

A Bị chặn B Không bị chặn C Bị chặn D Bị chặn

Lờigiải:

Chọn A

Ta có: 1un 2  n ( )un bị chặn

Câu 23. Cho dãy số  un với

1

n

n u

n

 

 Khẳng định sau đúng? A Là dãy số không bị chặn

B Năm số hạng đầu dãy là:

2 

;

3 

;

4 

;

5 

;

6 

C Là dãy số tăng

D Năm số hạng đầu dãy là:

2 

;

3 

;

4 

;

5 

;

6 

Lờigiải

ChọnD

Năm số hạng đầu dãy là:

2 

;

3 

;

4 

;

5 

;

6 

Câu 24. Trong dãy số sau, dãy dãy số bị chặn?

A

1

n

n u

n

 

 B un2nsin n C

n

u n D un n31

Lờigiải

Xét dãy số

1

n

n u

n

 

 ta có:

* 0; *

1

n

n

u n

n



    

  dãy  un bị chặn giá trị

* 1 *

2 2;

1

n

n

u n

n n



      

   dãy  un bị chặn giá trị

 dãy  un dãy bị chặn

Câu 25. Chọn kết luận sai:

A Dãy số 2n1 tăng bị chặn B Dãy số

1

n

     

   giảm bị chặn

C Dãy số

n

     

  tăng bị chặn D Dãy số

1 3.2n

     

  giảm bị chặn

Lờigiải

Đáp án B dãy số

1

n

     

   giảm bị chặn

Đáp án C dãy số

n

     

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021

Đáp án D dãy số

3.2n

     

  giảm bị chặn

Đáp án A sai dãy số 2n1 tăng khơng bị chặn Chọn A

Câu 26. Cho dãy số  un , biết un cosnsin n Dãy số  un bị chặn số đây?

A 0 B 1

C D Không bị chặn

Lờigiải

Ta có unMTCTu1sin1 cos1 0   nên loại đáp án A B (dùng TABLE MTCT để kiểm tra, cần số hạn dãy số lớn  dãy số bị chặn

 )

Ta có cos sin sin

4

n

u  n n n 

  Chọn C

Câu 27. Cho dãy số  un , biết un sinncos n Dãy số  un bị chặn số đây?

A 0 B 1

C  D Không bị chặn

Lờigiải

5 sin cos

MTCT n

u u       loại A B (dùng TABLE MTCT để kiểm tra, cần có số hạng dãy số nhỏ  dãy số khơng thể bị chặn với số  )

Ta có sin

4

n

u  n    

 Chọn C

Câu 28. Cho dãy số  un , biết un cosnsin n Dãy số  un bị chặn chặn

các số m M đây?

A m 2; M 2 B 1;

2

m  M  

C m  1;  M  1. D 1;

2

m  M 

Lờigiải

 

1

1

2

MTCT TABLE n

u u     loại C D

 

4

MTCT TABLE n

u u   loạiB. Vậy Chọn A

Nhậnxét: 3sin 1cos sin

2

n n

u   n n n   u

 

 

 

Câu 29. Cho dãy số  un , biết un  1 5n 2n 

  Mệnh đề sau đúng?

A Dãy số  un bị chặn không bị chặn

B Dãy số  un bị chặn không bị chặn

C Dãy số  un bị chặn

D Dãy số  un không bị chặn

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Nếu n chẵn

5n

n

u 

  tăng lên vô hạn (dương vô cùng) n tăng lên vô hạn nên dãy  un khơng bị chặn

Nếu n lẻ 52n1 0

n

u     giảm xuống vô hạn (âm vô cùng)

n tăng lên vô hạn nên dãy  un

không bị chặn

Vậy dãy số cho không bị chặn Chọn D

Câu 30. Cho dãy số  un , với

 

1 1

, 1; 2;

1.4 2.5

n

u n

n n

     

  Mệnh đề sau đúng?

A Dãy số  un bị chặn không bị chặn

B Dãy số  un bị chặn không bị chặn

C Dãy số  un bị chặn

D Dãy số  un không bị chặn

Lờigiải

Ta có un0 un bị chặn Mặt khác

     

*

1 1

3 1 k

k k  k k k k  nên

suy ra:

 

1 1

1.2 2.3 3.4

1 1 1 1 1

1 1

1 2 1

n

n n

u

n n n

          

     

  

 

nên dãy  un bị chặn trên, dãy  un bị chặn Chọn C

Câu 31. Cho dãy số  un , với 12 12 12, 2; 3; 4;

2

n

u n

n

       Mệnh đề sau đúng?

A Dãy số  un bị chặn không bị chặn

B Dãy số  un bị chặn không bị chặn

C Dãy số  un bị chặn

D Dãy số  un không bị chặn

Lờigiải

Ta có un 0 un bị chặn Mặt khác

   

2

*

1 1

,

1 k k

k  k k k k   nên

suy ra:

 

1 1

1.2 2.3 3.4

1 1 1 1 1

1 1

1 2 1

n

n n

u

n n n

          

     

  

 

nên dãy  un bị chặn trên, dãy  un bị chặn Chọn C

Câu 32. Trong dãy số  un sau đây, dãy số dãy số bị chặn?

A un n21 B

1

n

u n n

  C un 2n1 D

n

n u

n

 

Lờigiải

Các dãy số n2; ; 2n n dương tăng lên vô hạn (dương vô cùng) n tăng lên vô hạn, nên

dãy n2 1;n 1; 2n

n

   tăng lên vô hạn (dương vô cùng), suy dãy không bị

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021

Nhậnxét: 1

1

n

n u

n n

    

 

Câu 33. Cho dãy số  un , xác định

*

6

6 ,

n n

u

u  u n

   

   



 

Mệnh đề sau đúng?

A

2

n

u

  B 6un 3

C un2 D un2

Lờigiải

Ta có 2 12

2

u     nên loại đáp án A, B, C Chọn D

Nhậnxét: Ta có

1

1

1 1

1

6

0

6

6

0

6 n n n n n

n n

u u u

u u

u

u  u u  u 

   



  





 

 



    

    

 

Ta chứng minh quy nạp un 2

1 3; k k k 6

u  u  u   u      

Câu 34. Cho dãy số  un , với sin

1

n

u

n





 Khẳng định sau đúng? A Số hạng thứ n1 dãy 1 sin

1

n

u

n

  

 B Dãy số  un dãy số bị chặn

C Dãy số  un dãy số tăng

D Dãy số  un không tăng không giảm

Lờigiải

 

sin sin sin

1 1

n n

u u

n n n

 





    

    A sai

sin 1

1

n n

u

n u



   

 B Chọn B

1 sin sin 0

2 2

n n

u u

n n n n

    



 

       

       C, D sai

DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI

Câu 35. Cho dãy số (un)biết

1

1

1

1

n n

u

u  u

   

 

 

Mệnh đề sau ?

A Dãy số bị chặn B Dãy số bị chặn

C Dãy số bị chặn D Không bị chặn

Lờigiải

ChọnA

Ta dự đoán dãy số bị chặn (dùng máy casio để tính vài số hạng) Ta chứng minh quy nạp: 2 un  1, n *

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Giả sử mệnh đề với nk1: 2 uk 1

1

1 1

1

2 2

2

k k

k

u u

u 

         

   

Theo nguyên lí quy nạp ta chứng minh 2 un   1, n * Vậy (un) bị chặn

Câu 36. Xét tính bị chặn dãy số sau 1

1.3 2.4 ( 2) n

u

n n    



A Bị chặn B Không bị chặn C Bị chặn D Bị chặn

Lờigiải

Chọn A

Ta có: 1 1 1

1.2 2.3 ( 1)

n

u

n n n

       

  Dãy (un) bị chặn

Câu 37. Xét tính bị chặn dãy số sau

  

1 1

1.3 3.5 2

n

u

n n

   

 

A Bị chặn B Không bị chặn C Bị chặn D Bị chặn

Lờigiải

Chọn A

Ta có:

2

n n

n

u u

n

   

 , dãy (un) bị chặn

Câu 38. Cho dãy số ( )un biết

  

 n

1.3.5 2n u

2.4.6.2n Mệnh đề sau ?

A Dãy số bị chặn B Dãy số bị chặn

C Dãy số không bị chặn D Dãy số bị chặn

Lờigiải

ChọnD

Xét  

  

2

2

2

2 2

,

2 2

k

k k k

k

k k k k k



  

    



 



*

*

1 1

,

3 2

1

0 ,

3 n

n

n

u n

n n

u n



     

 

    

 

Vậy (un) bị chặn

Câu 39. Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un), biết:

2

3

1

 

  n

n n

u

n

A Tăng, bị chặn B Tăng, bị chặn C Giảm, bị chặn D Cả A, B, C sai

Lờigiải

ChọnB

Ta có:

2

1

( 1) 3( 1)

2



     

  

 

n n

n n n n

u u

n n

2

5

2

   

 

 

n n n n

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021

2

( 5)( 1) ( 1)( 2) ( 1)( 2)

       

 

n n n n n n

n n

2

3

0 ( 1)( 2)

 

   

 

n n

n

n n

1



un un   n dãy ( )un dãy số tăng

2

2

1

 

    

 n

n n

u n

n dãy (un) bị chặn

Câu 40. Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số ( )un , biết:

2

1 

  n

u

n n

A Tăng, bị chặn B Tăng, bị chặn C Giảm, bị chặn D Cả A, B, C sai

Lờigiải

ChọnC

Ta có: un0  n

2

1

2

1

1 *

3

( 1) ( 1)

         

 

   



n n

u n n n n

n

u n n n n

1 ,

n n

u  u n

     dãy (un) dãy số giảm

Mặt khác: 0un  1 dãy ( )un dãy bị chặn

Câu 41. Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số ( )un , biết:

! 

n n

u n

A Tăng, bị chặn B Tăng, bị chặn C Giảm, bị chặn D Cả A, B, C sai

Lờigiải

ChọnC

Ta có:

1

1 :2 . ! 1 1

( 1)! ! ( 1)!

n n n

n

n n

u n

n

u n n n n

 

      

  

Mà un 0  n un1un   n dãy (un) dãy số giảm Vì 0unu12   n dãy ( )un dãy bị chặn

Câu 42. Cho dãy số  un , biết uncosnsin n Dãy số  un bị chặn số đây?

A 0 B 1 C  D Không bị chặn

Lờigiải

ChọnC

5 sin cos

MTCT n

u  u       loại A B (dùng TABLE MTCT để kiểm tra, cần có số hạng dãy số nhỏ  dãy số khơng thể bị chặn )

Ta có sin

4

n

u  n



Câu 43. Cho dãy số  un , biết un cosnsin n Dãy số  un bị chặn chặn số m M đây?

A m 2; M 2 B 1;

2

m  M  

C m  31; M  31 D 1;

2

  

m M

Lờigiải

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  

1

1

2

MTCT TABLE n

u  u    loại C D

 

1

MTCT TABLE n

u u  loại B

Nhậnxét: 3sin 1cos 2sin

2 n

n

u   n n n u

  

 

 

Câu 44. Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un), biết: 12 12 12

2     

n

u

n

A Dãy số tăng, bị chặn B Dãy số tăng, bị chặn

C Dãy số giảm, bị chặn D Cả A, B, C sai

Lờigiải

ChọnA

Ta có: 1 2

( 1)

    



n n

u u

n dãy ( )un dãy số tăng

Do 1

1.2 2.3 ( 1)

n

u

n n n

      



1 un 2, n

      dãy (un) dãy bị chặn

Câu 45. Xét tính tăng giảm bị chặn dãy số sau:

1

1

2

( ) : 1

,

2



  

 

  

 

n n

n

u

u u

u n

A Tăng, bị chặn B Giảm, bị chặn

C Tăng, chặn dưới, không bị chặn D Giảm, chặn trên, không bị chặn

Lờigiải

ChọnB

Trước hết quy nạp ta chứng minh: 1un 2, n

Điều với n1, giả sử 1un 2 ta có:

1

1

1

2 

   n 

n

u

u nên ta có đpcm

Mà 1 0,

2 



  n  

n n

u

u u n

Vậy dãy (un) dãy giảm bị chặn

Câu 46. Cho hai dãy số (xn); (yn) xác định:

1

3 x y    

  

2

1

1

1

1

1

n n n

n n

n

x x x

y y

y

 





   

  

 

 

 

,  n Mệnh đề sau

đây đúng?

A 1x yn n 2,  n B 3x yn n4,  n

C 4x yn n 5,  n D 2x yn n3,  n

Lờigiải:

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021

Ta có: 1 2

cos

3 cot cot cot cot

6 6 sin 2.6

6

x x



   





       

Bằng quy nạp ta chứng minh được:

1

cot n n

x   Tương tự, ta có:

1

tan n n

y  

Đặt cot ; tan tan cot

2

n n xn n yn n x yn n n n



          

Đặt

2

2

tan tan cot

1

n n n

t t

t

t t

  

   

 

Vì 0 tan 2

6 3

n

n      t     t 

2

2

2 3,

1 t x yn n n

       

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học: 2020-2021

 

Lý thuyết

1. Cấp số cộng là một dãy số (vơ hạn hay hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số  hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số d khơng đổi, nghĩa là: 

(un) là cấp số cộng   n 2,unun1d  Số d được gọi là cơng sai của cấp số cộng. 

2. Định lý 1: Nếu (un) là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng ( trừ số hạng cuối  đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là 

1

2

k k k

u u

u      

Hệ quả: Ba số a b c, ,  (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng a c 2b. 

3. Định lý 2: Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và cơng sai d thì số hạng tổng qt un của  nó được xác định bởi cơng thức sau: un u1n1d 

4. Định lý 3: Giả sử  un  là một cấp số cộng có cơng sai d. 

Gọi  1 2

1

n

n k n

k

S u u u u



      

( Sn là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng). Ta có: 

   1

2

n n

n u n d

n u u

S       . 

DẠNG 1: CHỨNG MINH MỘT DÃY SỐ  un LÀ CẤP SỐ CỘNG.  A Phương pháp giải

Để chứng minh dãy số  un  là một cấp số cộng, ta xét Aun1un 

• Nếu A là hằng số thì  un  là một cấp số cộng với cơng sai d  A. 

• Nếu A phụ thuộc vào n thì  un  khơng là cấp số cộng. 

Câu Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng. Tìm số hạng đầu và cơng sai của cấp số cộng đó:  a). Dãy số  un  với un 19n5 b). Dãy số  un  với un  3n1 

c). Dãy số  un  với un n2 n 1 d). Dãy số  un  với un   1n10n 

                                       

Chương

CẤP SỐ CỘNG

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

                                            

Câu Định x để 3 số 10 , 2 x x23, 4 x theo thứ tự đó lập thành 1 cấp số cộng. 

                            

Câu Một tam giác vng có  chu vi bằng 3a, và 3 cạnh lập thành một CSC Tính độ dài ba cạnh của  tam giác theo a. 

                            

Câu Ba góc của một tam giác vng lập thành một CSC Tìm số đo các góc đó. 

                    

C Bài tập trắc nghiệm

DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH – KHÁ Câu Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?

A  

1

1 :

2,

n

n n

u u

u u n

 



    

.  B  

1

3 :

2 1,

n

n n

u u

u u n

 



    

. 

C  un :1; 3; 6; 10; 15; .  D  un : 1; 1;  1 ; 1;  1 ; . 

Câu Trong các dãy số sau, có bao nhiêu dãy số là cấp số cộng?  a) Dãy số  un  với un 4n. b) Dãy số  vn  với vn 2n21.  b) Dãy số  wn  với 

3

n n

w    d) Dãy số  tn  với tn  55n. 

A 4   B 2   C 1.  D 3. 

Câu Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng? 

A 1; 2; 4; 6; 8      B 1; 3; 6; 9; 12.     

C 1; 3; 7; 11; 15.      D 1; 3; 5; 7; 9     

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021  A 1 9; ; ; ;

2 2 2.  B 1;1;1;1;1   C    8; 6; 4; 2; 0.  D 3;1; 1; 2; 4    

Câu Xác định a để 3 số 1 ; 2 a a2 1; 2a theo thứ tự thành lập một cấp số cộng? 

A Khơng có giá trị nào của a B

a 

C a 3.  D

a   

Câu Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? 

A un 3n22017.  B un 3n2018.  C un 3n.  D un   3 n1. 

Câu Dãy số nào sau đây là cấp số cộng? 

A  un :un n

   B  un :un un12, n 2.  C  un :un 2n1.  D  un :un 2un1, n 2. 

Câu Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là một cấp số cộng?

A un n21, n1.  B un2 ,n n1.  C un  n1,n1.  D un 2n3, n1  Câu Trong các dãy số sau, dãy nào

 là cấp số cộng: 

A 3n

n

u     B

1

n

u n



   C

2

n

u  n  D

3

n

n u    

Câu 10 Các dãy số có số hạng tổng qt un. Trong các dãy số sau, dãy số nào khơng phải là cấp số cộng? 

A un 2n5.  B 49,  43 , 37 ,  31,  25 C un  1 3n.  D un n32n2. 

Câu 11 Dãy số nào dưới đây là cấp số cộng? 

A un  n ,n n*. B  

*

3 1,

n

u  n n  

C un 3 ,n n*.  D 1, *

n n

u n

n



 

   

Câu 12 Dãy số nào sau đây là cấp số cộng ? 

A 1; 2;3; 4;5 B 1; 2; 4;8;16 C 1; 1;1; 1;1  D 1; 3; 9; 27;81   

Câu 13 Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng? 

A  

1

1 :

2,

n

n n

u u

u u n

 



    

B  

1

3 :

2 1,

n

n n

u u

u u n

 



    

C  un : 1; 3; 6; 10; 15;  D  un : 1; 1; 1; 1; 1; . 

DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI

 

Câu 14 Tam giác ABC có ba  cạnh a, b, c  thỏa mãn a2, b2, c2  theo  thứ tự đó lập thành một cấp số  cộng. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A tan2A, 

tan B, 

tan C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. 

B cot2A, cot2B, cot2C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. 

C cosA, cosB, cosC theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. 

D sin2A, sin2B, sin2C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. 

Câu 15 Biết bốn số 5; x; 15;y theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của biểu thức  3x2y bằng. 

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Câu 16 Cho tam giác ABC, có ba cạnha b c, ,  theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Tính giá trị biểu  thức  cot cot

2

A C

P  

A P1.  B P2.  C P3.  D P4.  Câu 17 Với giá trị nào của a, ta có thể tìm được các giá trị của x để các số: 

1

5 , , 25 25

x x a x x

   lập thành một cấp số cộng? 

A 2 B 12 C 4 D 24. 

Câu 18 Cho tam giác ABCcó độ dài ba cạnh a b c, , theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Đẳng thức  nào sau đây là đúng? 

A tan tan 2 3

A C

B tan tan 2 2

A C

C tan tan 2 

A C

D tan tan 2 

A C

Câu 19 Cho tam giác ABC biết ba góc tam giác lập thành cấp số cộng và sin sin sin 3

A B C   

tính các góc của tam giác 

A 30 ,60 ,900 0  B 20 ,60 ,1000 0  C 10 , 50 ,1200 0  D 40 ,60 ,800 0  Câu 20 Cho  2; ;1

2

x y  theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Gọi M m,  lần lượt là giá trị lớn nhất và giá  trị nhỏ nhất của biểu thức P 3xyy2. Tính S M m 

A 1   B 2   C 3.  D 2.  Câu 21 Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên k sao cho  14k

C ,  14

k

C  ,  14

k

C   theo thứ tự đó lập thành một  cấp số cộng. Tính tổng tất cả các phần tử của S. 

A 12.  B 8.  C 10.  D 6. 

Câu 22 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc đoạn 0; 2018 sao cho ba số  1

5x 5x; 

2

a

;  25x25x, 

theo thứ tự đó, lập thành một cấp số cộng?

A 2008 B 2006 C 2018.  D 2007. 

Câu 23 Biết x thỏa mãn x22, , 6x  x lập thành cấp số cộng. Tính tổng bình phương các giá trị x tìm  được. 

A 12  B 17.  C 26.  D 10  

Câu 24 Tìm x biết x21,x2,1 3 x lập thành cấp số cộng. 

A x4,x3.  B x2,x3.  C x2,x5.  D x2,x1. 

Câu 25 Cho các số dương a b c, ,  Nếu các số  , ,

b c c a a b  theo thứ tự lập thành một cấp số cộng  thì các số nào sau đây theo thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng? 

A a b c, ,   B a b c2, 2, 2.  C a b c3, 3, 3.  D a4,b4,c4. 

Câu 26 Cho  tam  giác  ABC  biết 3  góc  của  tam  giác  lập  thành  một  cấp  số  cộng  và  có  một  góc  bằng 

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021  A 65; 90.  B  75; 80.  C 60; 95.  D 60; 90. 

Câu 27 Cho tứ giác ABCD biết  sn  góc của tứ giác lập thành một cấp số cộng và góc A bằng 30. Tìm  các góc cịn lại? 

A 75 120;165.  B 72;114;156. 

C 70; 110;150.  D 80; 110;135.   

DẠNG 2: TÌM SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN, CÔNG SAI CỦA CẤP SỐ CỘNG, TÌM SỐ HẠNG THỨ K CỦA CẤP SỐ CỘNG, TÍNH TỔNG K SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN

A Phương pháp giải

Ta thiết lập một hệ phương trình gồm hai ẩn u1 và d. Sau đó giải hệ phương trình này tìm được u1  và d. 

Muốn tìm số hạng thứ k, trước tiên ta phải tìm u1 và d. Sau đó áp dụng cơng thức: 

 

1

k

u u  k d. 

Muốn tính tổng của k số hạng đầu tiên, ta phải tìm u1 và d. Sau đó áp dụng cơng thức: 

  2 ( 1) 

2

k k

k u u k u k d

S       

B Bài tập tự luận

Câu Tìm số hạng đầu tiên, cơng sai, số hạng thứ  20  và tổng của  20  số hạng đầu tiên của các cấp số  cộng sau, biết rằng: 

a)

19 35

u u

  

 

 b) 

10 26

u u u

u u

  

 

 



 c)  12

14 129

u u s

 

 

 

 d)  62 2

2

8 16

u

u u

   

  



 

                                                                            

Câu Tìm số hạng đầu và cơng sai của cấp số cộng, biết:  a)

15 27

59

u u

  

 

 b) 13

5

2

u u

u u

  

 



 c)

8

7

u u u

u u u

   

 

 



 

d) 7

8 75

u u u u

  

 

 

 e)

2 2

1

3

155 21

u u u

s

   

 

  

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021  Câu Tìm số hạng đầu và cơng sai của cấp số cộng, biết: 

1)

12 35

S S

  

 

 2)  12 2 2

1

9 35

u u u

u u u

   

 

  

 

 3) 12 2 2 2

1

16 84

u u u u

u u u u

    

 

   

 

 

4)

1 5

45

S

u u u u u

  

 

 5)

1

20

1 1 25

24

S

u u u u

   

   

 

 

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

                                        

Câu Xác định số hạng đầu, công sai và số hạng thứ n của các cấp số cộng sau, biết rằng:  a).  12

18 34 45

S S

  

 

 b).  10

10

u S

  

 

 c).  20 10

5

S S S

   d).  20 10 15

2

S S

S S

  

 

 

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021  Câu Cho cấp số cộng:u u u1; 2; 3;  có cơng sai d. 

1). Biết u2u2240. TínhS23 

2). Biết u1u4u7u10u13u16 147. Tính u6u11   u1u6u11u16  4). Biết u4u8u12u16224. Tính:S19 

5). Biếtu23u5729. Tính:u10u70u1573u1 

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

        

Câu Tìm 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 27 và tổng các bình phương  của chúng là 293  

                                                                    

Câu Tìm 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng có tổng bằng 20 và tích của chúng là 384. 

                                                                

Câu Tìm 3 số hạng liên tiếp của một CSC biết tổng của chúng bằng 15 và tổng bình phương của chúng  bằng 83. 

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021  Câu Tìm 5 số hạng liên tiếp của một CSC biết tổng của chúng bằng 40 và tổng bình phương của chúng 

bằng 480. 

                                                                     

Câu 10 Tìm 4 số hạng liên tiếp của một CSC biết tổng của chúng bằng 10 và tổng bình phương của chúng  bằng 30. 

                                                                        

Câu 11 Một CSC có 7 số hạng với cơng sai d dương và số hạng thứ tư bằng 11. Hãy tìm các số hạng cịn  lại của CSC đó, biết hiệu của số hạng thứ ba và số hạng thứ năm bằng 6. 

                                            

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

                                                                            

Câu 13 Viết sáu số xen giữa hai số 3 và 24 để được CSC có tám số hạng. Tìm CSC đó 

                    

Câu 14 Bốn số ngun lập thành CSC, biết tổng của chúng bằng 20, tổng nghịch đảo của chúng bằng 25

24. 

Tìm bốn số đó. 

                                            

Câu 15 Tính các tổng sau: 

a). S     1 (2n1) (2 n1) 

b). S     1 (3n2) (3 n1) (3 n4)  c). S1002992982972 2 212 

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 

                    

C Bài tập trắc nghiệm

DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH – KHÁ Câu Cho cấp số cộng  un  với u19 và công sai d 2. Giá trị của u2 bằng 

A 11.  B 9

2.  C 18   D 7  

Câu Cho cấp số cộng  un  với u18 và công sai d3. Giá trị của u2 bằng

A 8

3 B 24 C 5 D 11. 

Câu Cho cấp số cộng  un với u17công sai d 2. Giá trị u2 bằng 

A 14.  B 9.  C 7

2.  D 5 

Câu Cho một cấp số cộng  un  có  1

u  , u8 26. Tìm cơng sai d

A 11

3

d    B 10

3

d    C

10

d    D

11

d   

Câu Cho dãy số  un  là một cấp số cộng có u13 và cơng sai d4. Biết tổng n số hạng đầu của  dãy số  un  là Sn 253. Tìm n. 

A 9 B 11 C 12 D 10. 

Câu Cho cấp số cộng  un  có số hạng tổng qt là un3n2. Tìm cơng sai d của cấp số cộng. 

A d3.  B d2.  C d 2.  D d 3. 

Câu Cho cấp số cộng  un  có u1 3, u6 27. Tính cơng sai d. 

A d7.  B d5.  C d8.  D d6. 

Câu Cho dãy số vô hạn  un  là cấp số cộng có cơng sai d, số hạng đầu u1. Hãy chọn khẳng định sai?

A

2

u u

u     B unun1d, n2. 

C 12 2 1 11 

n

S  u  d   D un u1(n1).d,  *

n

   

Câu Cho một cấp số cộng  un  có u15 và tổng của 50 số hạng đầu bằng 5150. Tìm cơng thức của  số hạng tổng qt un. 

A un  1 4n.  B un5n.  C un  3 2n.  D un 2 3n. 

Câu 10 Cho cấp số cộng  un  thỏa mãn 

4 10

26

u

u u

  

  

 có cơng sai là

A d 3.  B d 3.  C d5.  D d6. 

Câu 11 Cho cấp số cộng  un  có u5 15, u2060. Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này  là: 

A S10  125.  B S10 250.  C S10200.  D S10 200. 

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

A S16 24.  B S1626.  C S16  25.  D S16 24. 

Câu 13 Cho cấp số cộng  un biết u5 18 và 4Sn S2n. Tìm số hạng đầu tiên u1và cơng sai dcủa cấp số  cộng. 

A u12;d 4.  B u12;  d3.  C u12; d 2.  D u13;d2. 

Câu 14 Cho cấp số cộng  un  có u1 2 và cơng sai d3. Tìm số hạng u10. 

A 10 2.3

u     B u1025.  C u10 28.  D u10  29. 

Câu 15 Cho cấp số cộng  un  có  u111 và cơng sai d4. Hãy tính u99. 

A 401.  B 403.  C 402.  D 404. 

Câu 16 Cho cấp số cộng  un , n* có số hạng tổng quát  1 3

n

u   n. Tổng của 10 số hạng đầu tiên của  cấp số cộng bằng

A 59048.  B 59049.  C 155.  D 310. 

Câu 17 Cho cấp số cộng  un  có u14;u21. Giá trị của u10 bằng

A u1031.  B u10 23.  C u10  20.  D u10 15. 

Câu 18 Cấp số cộng  un  có số hạng đầu u13, cơng sai d5, số hạng thứ tư là

A u4 23.  B u4 18.  C u4 8.  D u4 14. 

Câu 19 Cho cấp số cộng  un  có số hạng đầu u13 và cơng sai d2. Tính u5. 

A 11.  B 15.  C 12   D 14  

Câu 20 Cho cấp số cộng  un  có u1123, u3u15 84. Số hạng u17 bằng

A 235.  B 11.  C 96000cm  3 D 81000cm  3

Câu 21 Cho cấp số cộng  un  có u11 và cơng sai d2. Tổng S10u1u2u3 u10 bằng:

A S10110.  B S10 100.  C S10 21.  D S10 19. 

Câu 22 Cho cấp số cộng  un , biết u23 và u47. Giá trị của u15 bằng

A 27.  B 31.  C 35.  D 29. 

Câu 23 Viết ba số xen giữa   và  22  để ta được một cấp số cộng có 5 số hạng?

A 6, 12 , 18.  B 8, 13, 18.  C 7, 12 , 17.  D 6, 10, 14  

Câu 24 Cho dãy số u11;un un12, n,n1. Kết quả nào đúng?

A u5 9.  B u34.  C u2 2.  D u613. 

Câu 25 Cho cấp số cộng có tổng n số hạng đầu là 

3

n

S  n  n, n*. Giá trị của số hạng thứ 10 của  cấp số cộng là

A u1055.  B u1067.  C u1061.  D u1059. 

Câu 26 Cho cấp số cộng có tổng n số hạng đầu là  4 3

n

S  n  n, n* thì số hạng thứ 10 của cấp số  cộng là

A u1095.  B u1071.  C u1079.  D u1087. 

Câu 27 Người ta viết thêm 999 số thực vào giữa số 1 và số 2018 để được cấp số cộng có 1001 số hạng.  Tìm số hạng thứ 501. 

A 1009.  B 2019

2   C 1010.  D

2021  

DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021  Câu 28 Bốn số tạo thành một cấp số cộng có tổng bằng  28  và tổng các bình phương của chúng bằng  276  

Tích của bốn số đó là : 

A 585   B 161.  C 404   D 276  

Câu 29 Chu  vi  một  đa  giác  là 158cm,  số  đo  các  cạnh  của  nó  lập  thành  một  cấp  số  cộng  với  cơng  sai 

3

d cm. Biết cạnh lớn nhất là 44cm. Số cạnh của đa giác đó là?

A 3.  B 4   C 5.  D 6. 

Câu 30 Cho hai cấp số cộng  xn : 4, 7, 10,… và  yn :  1, 6,  11,…. Hỏi trong 2018 số hạng đầu tiên  của mỗi cấp số có bao nhiêu số hạng chung?

A 404.  B 673.  C 403.  D 672. 

Câu 31 Tìm  bốn  số  hạng  liên  tiếp  của  một  cấp  số  cộng  biết  tổng  của chúng  bằng 20  và  tổng  các  bình  phương của chúng bằng 120. 

A 1,5,6,8.  B 2,4,6,8.  C 1,4,6,9.  D 1,4,7,8. 

Câu 32 Cho cấp số cộng ( )un  thỏa: 

10 26

u u u

u u

   



 



. Xác định công sai d và số hạng đầu tiên u1. 

A d3,u11.  B d1,u11.  C d1,u13.  D d 3,u11.  Câu 33 Xen vào giữa hai số 4 và 40 bốn số để dược một cấp số cộng? Tìm tổng bốn số đó? 

A 72 B 88 C 100 D 66 

Câu 34 Ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng có tổng của chúng bằng 3 và tổng các nghịch đảo của  chúng bằng 1

3. Tìm tổng bình phương các số hạng. 

A 8  B 11  C 14  D 15  Câu 35 Cho cấp số cộng  un  có cơng sai dương và  212 272

21 27 86 3770 u u

u u

  

 

  



. Tích của số hạng đầu và cơng sai  bằng: 

A 36.  B 26.  C 16.  D 6. 

Câu 36 Cho cấp số cộng  un  biết tổng của n số hạng đầu là Sn  4n217n. Tìm u6 ? 

A u6  27.  B u1 23.  C u128.  D u122. 

Câu 37 Cho một tam giác vng có độ dài ba cạnh lập thành cấp số cộng. Chu vi tam giác đó bằng 24.  Độ dài cạnh nhỏ nhất của tam giác này là: 

A 3.  B 4.  C 8.  D 6. 

Câu 38 Ba góc của một tam giác vng lập thành một cấp số cộng. Cơng sai d d 0 của cấp số cộng đó  bằng 

A 30 o   B 45 o   C 25 o   D 20 o  

Câu 39 Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng cho bởi Sn 3n2n. Cơng sai của cấp số cộng đó  là 

A d4.  B d5.  C d6.  D d7. 

Câu 40 Cho cấp số cộng ( )un  thỏa: 

3 21

3 34

u u u

u u

    



  



.Tính S u 4u5 u30 

A S 1286  B S 1276  C S 1242  D S 1222 

Câu 41 Cho một dãy số có các số hạng đầu tiên là 1,8,22,43,. Hiệu của hai số hạng liên tiếp của dãy số đó  lập thành một cấp số cộng: 7,14,21., 7n. số 35351 là số hạng thứ mấy của cấp số đã cho? 

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Câu 42 Một dãy số ( )un có số hạng tổng quát là       

2

1

2

2

n n

n n

S u u u  Khẳng định nào sau đây  là đúng khi nói về ( )un ? 

A ( )un  không là cấp số cộng B ( )un  là cấp số cộng có  100101

2

u

C ( )un  là cấp số cộng có  100 301

2

u D ( )un  là cấp số cộng có  100201

2

u  

Câu 43 Cho  hai  cấp  số  cộng  hữu  hạn an : 2; 5; 8;11; ;a1000.  và  bn : 1; 6;13; 20; ; b1000.Có  bao  nhiêu  số hạng có mặt ở cả hai dãy số trên? 

A 213.  B 400.  C 142.  D 138. 

Câu 44 Biết tổng nsố hạng đầu tiên của một cấp số cộng bằng nửa tổng n số hạng tiếp theo. Tính tỷ số 

2

n n

S S ? 

A 4.  B 5.  C 3.  D 2. 

Câu 45 Một đồng hồ đánh giờ, khi kim giờ chỉ số n (từ 1 đến 12) thì đồng hồ đánh đúng n tiếng. Hỏi  trong một ngày (24 giờ) đồng hồ đánh được bao nhiêu tiếng? 

A 156.  B 152.  C 148.  D 160. 

Câu 46 Cho ba số lập thành một cấp số cộng. Tổng của chúng bằng 15 và tích của chúng bằng 80. Cơng  sai d d 0 của cấp số cộng đó bằng 

A 3.  B 4.  C 5.  D 6.  Câu 47 Cho cấp số cộng (un) biết: 

8

6 52

   



  

u u u

u u  Tính Su2u4u6 u2020

A S5105110.  B S5101510 C S5105010 D S5105101. 

Câu 48 Cho cấp số cộng  un  thỏa 

4

10 26

u u u u u

   



  

 Tính Su1u4u7 u2020

A S2041881 B S2041882.  C S2041883 D S2041884. 

Câu 49 Một cấp số cộng có số hạng đầu u12018 cơng sai d  5. Hỏi bắt đầu từ số hạng nào của cấp  số cộng đó thì nó nhận giá trị âm. 

A u406.  B u403.  C u405.  D u404. 

Câu 50 Cho cấp số cộng  un  có u14. Tìm giá trị nhỏ nhất của u u1 2u u2 3u u3 1?

A 20.  B 6.  C 8.  D 24. 

Câu 51 Cho cấp số cộng  un  có u13 và cơng sai d7. Hỏi kể từ số hạng thứ mấy trở đi thì các số  hạng của  un  đều lớn hơn 2018?

A 287   B 289.  C 288.  D 286. 

Câu 52 Cho tam giác đều A B C1 1 1 có độ dài cạnh bằng 4. Trung điểm của các cạnh tam giác A B C1 1 1 tạo  thành tam giác A B C2 2 2, trung điểm của các cạnh tam giác A B C2 2 2 tạo thành tam giác  A B C3 3 3…  Gọi  P P P1, 2, 3,   lần  lượt  là  chu  vi  của  tam  giác  A B C1 1 1,  A B C2 2 2,  A B C3 3 3,…Tính  tổng  chu  vi 

1

PPP P 

A P8 B P24 C P6 D P18. 

DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021  Câu Sinh nhật lần thứ 17 của An vào ngày 01 tháng 5 năm 2018. Bạn An muốn mua một chiếc máy  ảnh giá 3850000 đồng để làm q sinh nhật cho chính mình nên An quyết định bỏ ống heo 1000  đồng  vào ngày 01  tháng 02  năm 2018.  Trong  các  ngày  tiếp  theo,  ngày  sau  bỏ  ống  nhiều  hơn  ngày trước 1000 đồng. Hỏi đến ngày sinh nhật của mình, An có bao nhiêu tiền (tính đến ngày 30  tháng 4 năm 2018)?

A 4095000 đồng B 89000 đồng.  C 4005000 đồng D 3960000 đồng. 

Câu Người ta trồng 3003 cây theo dạng một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng  thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây, …, cứ tiếp tục trồng như thế cho đến khi hết số cây.  Số hàng cây được trồng là 

A 77 B 79 C 76 D 78. 

Câu Một em học sinh dùng các que diêm để xếp thành hình tháp có quy luật được thể hiện như trong  hình sau: 

   

Hỏi cần bao nhiêu que diêm để xếp thành hình tháp có 10  tầng? 

A 69.  B 39.  C 420.  D 210. 

Câu Sinh nhật bạn của An vào ngày  01  tháng năm. An muốn mua một món quà sinh nhật cho bạn nên  quyết định bỏ ống heo 100  đồng vào ngày  01  tháng  01  năm  2016 , sau đó cứ liên tục ngày sau  hơn ngày trước  100  đồng. Hỏi đến ngày sinh nhật của bạn, An đã tích lũy được bao nhiêu tiền?  (thời gian bỏ ống heo tính từ ngày  01  tháng  01  năm  2016  đến ngày  30  tháng 4 năm  2016 ). 

A 738.100 đồng.  B 726.000 đồng.  C 714.000 đồng.  D 750.300 đồng. 

Câu Trong sân vận động có tất cả 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 15 ghế, các dãy liền sau nhiều hơn dãy  trước   ghế, hỏi sân vận động đó có tất cả bao nhiêu ghế? 

A 2250.  B 1740.  C 4380.  D 2190. 

Câu Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Họ thuê một đội khoan giếng nước. Biết giá  của mét khoan đầu tiên là 80.000 đồng, kể từ mét khoan thứ hai giá của mỗi mét khoan tăng thêm 

5.000 đồng so với giá của mét khoan trước đó. Biết cần phải khoan sâu xuống 50m mới có nước.  Hỏi phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó?

A 4.000.000 đồng.  B 10.125.000 đồng.  C 52.500.000 đồng.  D 52.500.000 đồng. 

Câu Trong hội chợ tết Mậu Tuất 2018, một cơng ty sữa muốn xếp 900 hộp sữa theo số lượng 1, 3, 5,   từ trên xuống dưới (số hộp sữa trên mỗi hàng xếp từ trên xuống là các số lẻ liên tiếp - mơ hình  như hình bên). Hàng dưới cùng có bao nhiêu hộp sữa? 

A 59.  B 30.  C 61.  D 57. 

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Câu Người ta trồng 465 cây trong một khu vườn hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây, hàng  thứ hai có   cây, hàng thứ ba có 3 cây….Số hàng cây trong khu vườn là

A. 31. B. 30. C. 29. D. 28

Câu Hùng đang tiết kiệm để mua một cây guitar. Trong tuần đầu tiên, anh ta để dành 42 đơ la, và trong  mỗi tuần tiếp theo, anh ta đã thêm 8 đơ la vào tài khoản tiết kiệm của mình. Cây guitar Hùng cần  mua có giá 400 đơ la. Hỏi vào tuần thứ bao nhiêu thì anh ấy có đủ tiền để mua cây guitar đó? 

A. 47 B. 45 C. 44 D. 46

Câu 10 Một  công  ti  trách  nhiệm  hữu  hạn  thực  hiện  việc  trả lương  cho các  kĩ  sư  theo phương  thức  sau:  Mức lương của q làm việc đầu tiên cho cơng ti là 4, 5 triệu đồng/q, và kể từ q làm việc thứ  hai, mức lương sẽ được tăng thêm 0, 3 triệu đồng mỗi q. Hãy tính tổng số tiền lương một kĩ sư  nhận được sau   năm làm việc cho cơng ti. 

A. 83, 7 (triệu đồng).  B 78, 3 (triệu đồng).  C 73,8 (triệu đồng).  D 87, 3 (triệu đồng)

Câu 11 Người ta trồng  465  cây trong một khu vườn hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây, hàng  thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có   cây….Số hàng cây trong khu vườn là 

A. 31. B. 30. C. 29. D. 28.

Câu 12 Người ta trồng 1275  cây theo hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ 2 có 2

cây, hàng thứ  có   cây,.hàng thứ k có k cây k 1  Hỏi có bao nhiêu hàng ?

A. 51 B. 52 C. 53 D. 50

Câu 13 Bà chủ qn trà sữa X  muốn trang trí qn cho đẹp nên quyết định th nhân cơng xây một bức  tường bằng gạch với xi măng (như hình vẽ bên dưới), biết hàng dưới cùng có  500  viên, mỗi hàng  tiếp theo đều có ít hơn hàng trước 1 viên và hàng trên cùng có 1 viên. Hỏi số gạch cần dùng để  hồn thành bức tường trên là bao nhiêu viên? 

A. 25250 B. 250500 C.12550 D.125250

 

Câu 14 Người ta trồng 3240 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, kể từ hàng  thứ hai trở đi số cây trồng mỗi hàng nhiều hơn   cây so với hàng liền trước nó. Hỏi có tất cả bao  nhiêu hàng cây? 

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học: 2020-2021

 

Lý thuyết

1. Cấp số cộng là một dãy số (vơ hạn hay hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số  hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số d khơng đổi, nghĩa là: 

(un) là cấp số cộng   n 2,unun1d 

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. 

2. Định lý 1: Nếu (un) là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng ( trừ số hạng cuối  đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là 

1

2

k k

k

u u

u      

Hệ quả: Ba số a b c, ,  (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng a c 2b. 

3. Định lý 2: Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và cơng sai d thì số hạng tổng qt un của  nó được xác định bởi cơng thức sau: un u1n1d 

4. Định lý 3: Giả sử  un  là một cấp số cộng có cơng sai d. 

Gọi  1 2

1

n

n k n

k

S u u u u



      

( Sn là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng). Ta có: 

   1

2

n n

n u n d

n u u

S       . 

DẠNG 1: CHỨNG MINH MỘT DÃY SỐ  un LÀ CẤP SỐ CỘNG.  A Phương pháp giải

Để chứng minh dãy số  un  là một cấp số cộng, ta xét Aun1un  • Nếu A là hằng số thì  un  là một cấp số cộng với cơng sai d  A.  • Nếu A phụ thuộc vào n thì  un  khơng là cấp số cộng. 

B Bài tập tự luận

Câu 1. Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng. Tìm số hạng đầu và cơng sai của cấp số cộng đó:  a). Dãy số  un  với un 19n5 b). Dãy số  un  với un  3n1 

c). Dãy số  un  với un n2 n 1 d). Dãy số  un  với   1 10 n n

u    n 

Lời giải

a). Dãy số  un  với un 19n5 

Ta có un1un19n1 5 19n519. Vậy  un  là một cấp số cộng với công sai d 19và  số hạng đầu u119.1 14   

b). Dãy số  un  với un  3n1 

Chương

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Ta có un1un  3(n1) ( 3   n1) 3. Vậy  un  là một cấp số cộng với công sai d  3và  số hạng đầu u1 3.1 1  2. 

c). Dãy số  un  với unn2 n 1 

Ta có   2    

1 1 1 2

n n

u  u  n  n   n  n  n , phụ thuộc vào n 

Vậy  un  khơng là cấp số cộng.  d). Dãy số  un  với un   1n10n 

Ta có un1un   1 n110n1 1 n10n   1 n10  1 n 10 2  1 n

  , phụ thuộc 

vào n. Vậy  un  không là cấp số cộng. 

Câu 2. Định x để 3 số 10 , 2 x x23, 4 x theo thứ tự đó lập thành 1 cấp số cộng. 

Lời giải

Theo tính chất cấp số cộng ta có: 10 3 x  4 x2 2 x23 

2 11

17 7 11  

4

x x x x x x

              

Câu 3. Một tam giác vng có  chu vi bằng 3a, và 3 cạnh lập thành một CSC. Tính độ dài ba cạnh của  tam giác theo a. 

Lời giải

Gọi x, y, z theo thứ tự tăng dần của độ dài ba cạnh của tam giác. 

Chu vi của tam giác: x  y z 3a (1) 

Tính chất của CSC có x z 2y (2) 

Vì tam giác vng nên có: x2y2 z2 (3) 

Thay (2) vào (1) được 3y3a ya, thay y = a vào (2) được: xz2ax2az 

Thay x và y vào (3) được: 2 2 2 5

4

a a

az a z  a  az z x  

Kết luận độ dài ba cạnh của tam giác thỏa yêu cầu: 3 , ,5

4

a a

a  

Câu 4. Ba góc của một tam giác vng lập thành một CSC. Tìm số đo các góc đó. 

Lời giải

Gọi 3 góc A, B, C theo thứ tự đó là ba góc của tam giác ABC lập thành CSC. 

Ta có 

180 90 30

2 90 60

90 90 90

A B C A B A

A C B A B B

C C C

     

  

  

       

  

     

  

 

C Bài tập trắc nghiệm

DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH – KHÁ Câu 1. Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?

A  

1

1 :

2,

n

n n

u u

u u n

 



    

.  B  

1

3 :

2 1,

n

n n

u u

u u n

 



    

. 

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021  Lời giải

Chọn A 

Dãy số ở đáp án A thỏa un1un2 với mọi n1 nên là cấp số cộng. 

Câu 2. Trong các dãy số sau, có bao nhiêu dãy số là cấp số cộng?  a) Dãy số  un  với un4n. b) Dãy số  vn  với 

2

2 1

n

v  n   

b) Dãy số  wn  với 

3

n

n

w    d) Dãy số  tn  với tn  55n. 

A 4   B 2   C 1.  D 3. 

Lời giải 

Chọn D

Dãy số  un  với un 4n có un14n14n4un1un 4,  n *dãy số  un  là 

cấp số cộng với công sai d4. 

Dãy số  vn  với vn 2n21 có v13, v2 9, v319 nên dãy số  vn  khơng là cấp số cộng. 

Dãy số  wn  với 

3

n

n

w    có  1

3

n

n

w   

3

n

   1

3

n n

u  u

   ,  n *dãy số 

 wn  là cấp số cộng với công sai 

1 d  

Dãy số  tn  với tn  55n có tn1 55n5un1un5,  n *dãy số  wn  là 

cấp số cộng với cơng sai d 5. 

Vậy có 3 dãy số là cấp số cộng. 

Câu 3. Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng? 

A 1; 2; 4; 6; 8      B 1; 3; 6; 9; 12.     

C 1; 3; 7; 11; 15.      D 1; 3; 5; 7; 9     

Lời giải 

Chọn C

Dãy số  un  có tính chất un1und thì được gọi là một cấp số cộng. 

Ta thấy dãy số: 1; 3; 7; 11; 15     là một cấp số cộng có số hạng đầu là 1 và cơng sai bằng  4.  

Câu 4. Trong các dãy số sau, dãy số nào khơng phải cấp số cộng?

A 1 9; ; ; ;

2 2 2.  B 1;1;1;1;1   C    8; 6; 4; 2; 0.  D 3;1; 1; 2; 4    

Lời giải 

Chọn D Định nghĩa:

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vơ hạn) mà trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng  đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số d khơng đổi. 

Đáp án A: Là cấp số cộng với  1 1;

2

u  d   

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Đáp án C: Là cấp số cộng với u1 8;d 2. 

Đáp án D: Khơng là cấp số cộng vì u2 u1  2 ;u4 u3  1  

Câu 5. Xác định a để 3 số 1 ; 2 a a2 1; 2a theo thứ tự thành lập một cấp số cộng? 

A Khơng có giá trị nào của a B

4

a 

C a 3.  D

2

a   

Lời giải Chọn D

Theo cơng thức cấp số cộng ta có: 2(2 1) (1 ) ( ) 3

4

a    a   a a  a   

Câu 6. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? 

A un3n22017.  B un3n2018.  C un 3n.  D un   3n1. 

Lời giải 

Chọn B

Ta có un1un3(n1) 2018 (3  n2018) 3 un1un3. 

Vậy dãy số trên là cấp số cộng có cơng sai d3. 

Câu 7. Dãy số nào sau đây là cấp số cộng? 

A  un :un

n

   B  un :un un12, n 2. 

C  un :un 2n1.  D  un :un2un1, n 2. 

Lời giải Chọn B

Xét dãy số  un :un un12, n 2  Ta có unun1   2, n 2 

Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với cơng sai d  2 

Câu 8. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là một cấp số cộng?

A unn21, n1.  B un 2 ,n n1.  C un  n1,n1.  D un 2n3, n1 

Lời giải Chọn D

Theo định nghĩa cấp số cộng ta có: un1undun1un d,     n 1,  dconst  Thử các đáp án ta thấy với dãy số: un2n3,    n1 thì: 

 

1

2

2

2

n

n n n

u n

u u const

u  n n 

 

 

   



    

 

 

Câu 9. Trong các dãy số sau, dãy nào

 là cấp số cộng: 

A

3n n

u 

   B

1

n u

n 

   C

2

1

n

u  n  D

3

n n

u    

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 

Ta có dãy un là cấp số cộng khi  *

1  ,  n

n n

u  u d    với d là hằng số. 

Bằng cách tính 3 số hạng đầu của các dãy số ta dự đốn đáp án D

Xét hiệu    *

1

5 5

 , n

3 3

n n

n n

u  u          

Vậy dãy 

3

n n

u    là cấp số cộng. 

Câu 10. Các dãy số có số hạng tổng qt un. Trong các dãy số sau, dãy số nào khơng phải là cấp số cộng? 

A un 2n5.  B 49 ,  43 , 37 ,  31,  25 C. un  1 3n.  D un n32n2. 

Lời giải Chọn C

Xét dãy số un  1 3n, suy ra un1 1 3n1. Ta có 

*

1 2.3 ,

n

n n

u  u   n   Do đó 

n n

u    

không phải là cấp số cộng. 

Câu 11. Dãy số nào dưới đây là cấp số cộng? 

A un  n ,n n*. B un3n1,n*. 

C un 3 ,n n*.  D 1, *

n

n

u n

n



 

   

Lời giải Chọn B

Với dãy số un n ,n n*, xét hiệu:   

1 *

1 2 1,

n n n

n n

u u   n   n   n  thay đổi 

theo n nên  ,n  *

n

u  n n  không là cấp số cộng. (A loại) 

Với dãy số un3n1,n*, xét hiệu:     

*

1 1 3,

n n

u  u  n   n  n  là hằng số 

nên un 3n1,n* là cấp số cộng. (B đúng) 

Với dãy số un3 ,n n*, xét hiệu:   

1 *

1 3 2.3 ,

n n n

n n

u  u     n  thay đổi theo n nên 

 *

3 ,n

n

u  n  không là cấp số cộng. (C loại) 

Với dãy số  1, *

2

n

n

u n

n



 

  , xét hiệu: 

 

    

*

3 1

,

1 2

n n

n n

u u n

n n n n



  

    

       thay đổi theo n nên   

*

3

,

n

n

u n

n



 

   

không là cấp số cộng. (D loại) 

Câu 12. Dãy số nào sau đây là cấp số cộng ? 

A 1; 2;3; 4;5 B 1; 2; 4;8;16 C 1; 1;1; 1;1  D 1; 3; 9; 27;81   

Lời giải Chọn A 

Câu 13. Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng? 

A  

1

1 :

2,

n

n n

u u

u u n

 



    

B  

1

3 :

2 1,

n

n n

u u

u u n

 



    

C  un : 1; 3; 6; 10; 15;  D  un : 1; 1; 1; 1; 1;   

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Dãy số ở đáp án A thỏa un1un 2 với mọi n1 nên là cấp số cộng. 

DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI Câu 14. Tam giác  ABC có  ba cạnh a, b, c thỏa mãn 

a , 

b , 

c  theo thứ tự  đó lập thành  một cấp số 

cộng. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A tan2A, tan2B, tan2C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. 

B cot2A, cot2B, cot2C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. 

C cosA, cosB, cosC theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. 

D sin2A, sin2B, sin2C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. 

Lời giải Chọn D

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC ta có 

2 sin

a R A, b2 sinR B, c2 sinR C 

Theo giả thiết 

a , 

b , 

c  theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng nên  2

2

a c  b  

2 2 2

4R sin A 4R sin C 2.4R sin B

   sin2Asin2C2.sin2B. 

Vậy 

sin A, 

sin B, 

sin C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. 

Câu 15. Biết bốn số 5; x; 15;y theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của biểu thức  3x2y bằng. 

A 50.  B 70.  C 30.  D 80. 

Lời giải Chọn  B

Ta có:  15 10

2

x    y20. Vậy  3x2y70. 

Câu 16. Cho tam giác ABC, có ba cạnha b c, ,  theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Tính giá trị biểu 

thức  cot cot

2

A C

P  

A P1.  B P2.  C P3.  D P4. 

Lời giải  Chọn C 

Nếu ba cạnh a b c, ,  lập thành cấp số cộng thì ta có: a c b  

A-C B

sin sin 2sin 2sin os sin os

2 2

A C B

A C B  c c

     (1) 

Vì:   

0

0

0

B

sin sin 90 os

2 2

180 90 *

2

os os 90 sin

2 2

A C B

c

A C B

A C B

A C B B

c c

   

   



   

      

   

  

  

 



 

Do đó (1) trở thành: 

A-C A+C A-C A-C A+C

sin os 2sin os os 2sin os os

2 2 2 2

A C A C B

c c c c c

 

       

A C C A C

os os sin sin cos os sin sin os os 3sin sin

2 2 2 2 2 2

A C A A C A C

c c c c c

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 

cot cot

2

A C

   

Câu 17. Với giá trị nào của a, ta có thể tìm được các giá trị của x để các số: 

1

5 , , 25 25

2

x x a x x

   lập thành một cấp số cộng? 

A 2 B 12 C 4 D 24. 

Lời giải

Chọn B 

Để 3 số hạng đó lập thành cấp số cộng, ta có: 

 1   

2

1

5 25 25 5

2 5

x x x x x x

x x

a a

        

            

      

Theo bất đẳng thức cơ si, ta có: 5 2,52 12 5.2 12

5

x x

x x a

          

Vậy với a12, thì ba số đó lập thành cấp số cộng. 

Câu 18. Cho tam giác ABCcó độ dài ba cạnh a b c, , theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Đẳng thức  nào sau đây là đúng? 

A tan tan 2 3

A C

B tan tan 2 2

A C

C tan tan 2 

A C

D tan tan 2 

A C

Lời giải

Chọn A 

Ta có a b c, , theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng suy ra 

2 sin sin sin

sin sin sin

2 sin cos sin cos

2 2

cos sin

2

cos cos

2 2

cos cos sin sin cos cos sin sin

2 2 2 2

3 sin sin cos

2 2

    

  

 

 



 

   

 

      

   

 



     

 

 

a c b R A R C R B

A C B

A C A C B B

A C B

A C A C

A C A C A C A C

A C A

cos tan tan

2 2 3

C A C

 

Các đáp án A, C, D là cấp số cộng, đáp án B không phải là cấp số cộng. 

Câu 19. Cho tam giác ABC biết ba góc tam giác lập thành cấp số cộng và sin sin sin 3

A B C   

tính các góc của tam giác 

A 30 ,60 ,900 0  B 20 ,60 ,1000 0  C 10 , 50 ,1200 0  D 40 ,60 ,800 0  Lời giải

Chọn A 

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

0

0

0

20 180

2 60

5 180 100

A

A B C C A

A C B B A B

C A A C



      



 

     

  

     



 

. 

Ba góc của tam giác: 30 ,60 ,900 0

Câu 20. Cho  2; ;1 2

x y  theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Gọi M m,  lần lượt là giá trị lớn nhất và giá 

trị nhỏ nhất của biểu thức P 3xyy2. Tính S M m 

A 1   B 2   C 3.  D

2 2. 

Lời giải 

Chọn A

Ta có:  2; ;1 2

x y  theo thứ tự lập thành một cấp số cộng x2y21. 

Đặt xsin,ycos. 

2 cos

3 sin cos cos sin2

2

P xyy         2P 1 sin2cos 2. 

Giả sử P là giá trị của biểu thức2P 1 sin2cos 2 có nghiệm. 

 2  2

2

2

P P

         

Vậy  3; 1

2

M  m  S  

Câu 21. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên k sao cho  14k

C , 

14

k

C  ,  14

k

C   theo thứ tự đó lập thành một 

cấp số cộng. Tính tổng tất cả các phần tử của S. 

A 12.  B 8.  C 10.  D 6. 

Lời giải 

Chọn A

Điều kiện: k,k12 

14

k

C , 

14

k

C  ,  14

k

C   theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng ta có 

2

14 14 14

k k k

C C   C   

         

14! 14! 14!

2

! 14 ! ! 12 ! ! 13 !

k k k k k k

  

      

        

1

14 k 13 k k k k 13 k

  

       

14 k13 k k 1k 2 14 kk 2

          

2 4 (tm)

12 32

8 (tm)

k

k k

k  

     

 

. 

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021  Câu 22. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc đoạn 0; 2018 sao cho ba số 

1

5x 5x; 

2 a

;  25x25x, 

theo thứ tự đó, lập thành một cấp số cộng?

A 2008 B 2006 C 2018.  D 2007. 

Lời giải Chọn  D

Ba số  1

5x 5x;  a

;  25x25x, theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi 

5x 51 x 25x 25 x

a       1

2 5x 5x 25 25x x

    12. 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 

1

5

0

25 25

x x

x x x

 



 



 

   

. 

Như vậy nếu xét a0; 2018 thì ta nhận a12; 2018. Có 2007 số a thoả đề 

Câu 23. Biết x thỏa mãn x22, ,5 6x  x lập thành cấp số cộng. Tính tổng bình phương các giá trị x tìm  được. 

A 12  B 17.  C 26.  D 10. 

Lời giải

Chọn D 

Ta có: x22, , 6x  x lập thành cấp số cộng 

         

     

2

2

1 2

2 1; 10

x x x x x

x x x x  

Câu 24. Tìm x biết x21,x2,1 3 x lập thành cấp số cộng. 

A x4,x3.  B x2,x3.  C x2,x5.  D x2,x1. 

Lời giải

Chọn B 

Ta có: x21,x2,1 3 x lập thành cấp số cộng 

2 1 3 2( 2) 5 6 0 2 ; 3

x x x x x x x

              

Vậy x2,x3 là những giá trị cần tìm. 

Câu 25. Cho các số dương a b c, ,  Nếu các số  , ,

b c c a a b  theo thứ tự lập thành một cấp số cộng 

thì các số nào sau đây theo thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng? 

A a b c, ,   B a b c2, 2, 2.  C a b c3, 3, 3.  D a4,b4,c4. 

Lời giải  Chọn B 

Ta có:  1 a2 c2 2b2

b c a b ca    

Câu 26. Cho  tam  giác  ABC  biết 3  góc  của  tam  giác  lập  thành  một  cấp  số  cộng  và  có  một  góc  bằng 

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

A 65; 90.  B  75; 80.  C 60; 95.  D 60; 90. 

Lời giải

Chọn C 

Dựa vào Chọn ta có u125 

Lại có u2 u1 d; u3u12d.Ta có tổng 3 góc của tam giác bằng 180 hay 

   

1 2 3180  1 1  12 180  1 60

u u u u u d u d u d  

Suy ra u260 hay d35  Từ đó ta có u395 

Câu 27. Cho tứ giác ABCD biết  sn  góc của tứ giác lập thành một cấp số cộng và góc A bằng 30. Tìm  các góc cịn lại? 

A 75 120;165.  B 72;114;156. 

C 70; 110;150.  D 80; 110;135. 

Lời giải

Chọn C 

Dựa vào Chọn ta có u130 

Lại có u2 u1 d; u3u12d; u4u13d. 

Ta có tổng 4 góc của tứ giác bằng 360 

Hay u1u2u3u4360 4u16d360  d 40  Suy ra u270;u3110;u4150. 

DẠNG 2: TÌM SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN, CƠNG SAI CỦA CẤP SỐ CỘNG, TÌM SỐ HẠNG THỨ K CỦA CẤP SỐ CỘNG, TÍNH TỔNG K SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN

A Phương pháp giải

Ta thiết lập một hệ phương trình gồm hai ẩn u1 và d. Sau đó giải hệ phương trình này tìm được u1 

và d. 

Muốn tìm số hạng thứ k, trước tiên ta phải tìm u1 và d. Sau đó áp dụng cơng thức: 

 

1

k

u u  k d. 

Muốn tính tổng của k số hạng đầu tiên, ta phải tìm u1 và d. Sau đó áp dụng cơng thức: 

  2 ( 1) 

2

k k

k u u k u k d

S       

B Bài tập tự luận

Câu 1. Tìm số hạng đầu tiên, cơng sai, số hạng thứ  20  và tổng của  20  số hạng đầu tiên của các cấp số  cộng sau, biết rằng: 

a)

9

19 35

u u

  

 

 b) 

4

10 26

u u u

u u

  

 

 



 c) 

12

14 129

u u

s

 

 

 

 d)  62 2

2

8 16 u

u u

   

  



 

Lời giải

a)  

9

19    35

u u

  

 

. Áp dụng cơng thức un u1n1d, ta có:   1

1

4 19

1

8 35

u d u

u d d

  

 

 

   



  Vậy số hạng đầu tiên u13, công sai d 4. 

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 

Tổng của  20  số hạng đầu tiên:  20 20 2 19  10 2.3 19.4  820

2

u d

S       

b)   

4

10    26

u u u

u u        

. Ta cũng áp dụng công thức un u1n1d : 

    1

1

1

2 10 10

1

2 26

3 26

u d u d u d u d u

u d d

u d u d

                             Vậy số hạng đầu tiên u11, công sai d 3. 

Số hạng thứ  20 : u20 u119d  1 19.358. 

Tổng của  20  số hạng đầu tiên:     

20

20 19

10 2.1 19.3 590

2

u d

S       

c)   

12 14    129 u u s      

. Áp dụng công thức unu1n1d,  2 ( 1) 

2

n

n u n d

S     Ta có: 

 

 

1

1 1

1 12

5

2 14 14 2

1

6 129 12 66 129

u

u d u d u d

u u u d

d                             

Vậy số hạng đầu tiên  1

2

u  , công sai 

2 d  

Số hạng thứ  20 :  20 1 19 19.3 31

2

u u  d    

Tổng của  20  số hạng đầu tiên:  20 20 2 19  10 2.5 19.3 335

2 2

u d

S      

    d)          1

2 2

2

2 1

5 8

8

16 16 8 16

u d u d

u

u u u d u d d d d d

                                          2

8 16   *

u d d d              

Giải  * :20 96 112 14   d = 2

5

d  d  d   

Với 14 1

5

d u    

Số hạng thứ  20 :  20 1 19 19.14 236

5

u u  d     

Tổng của  20  số hạng đầu tiên:  20 20 2 19  10 2.( 6) 19.14 412

2

u d

S       

 

  Vớid 2u1 2 

Số hạng thứ  20 : u20 u119d  2 19.236. 

Tổng của  20  số hạng đầu tiên:  20 20 2 19  10 2.( 2) 19.2  340

2

u d

S        

Câu 2. Tìm số hạng đầu và cơng sai của cấp số cộng, biết: 

a) 15 27 59 u u     

 b)

13 5 u u u u      

 c)

8

7

u u u

u u u

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

d)

2 75 u u u u         e)

2 2

1

3

155 21

u u u

s           

Lời giải

Gọi số hạng đầu là u1 và công sai là d. 

a) 1

15

27 27

59 14 59

u u d u

u u d d

                    

b).   

 

1

9 1

13 1

8

5 3

2 12 5

u d u d

u u u d u

u u u d u d u d d

                                  

c)   

8

7   

u u u

u u u

                  

1 1 1

1

1

3 7

1

2

7 l

u d u d u d u d u

u d d

u d u d u d

                                

d)   

2    75 u u u u                         1

1 1

1

2 8

1

6 75 12 75   *

6 75

u d u d d d

u d u d u u

u d u d

                                 

Giải   12 1

1

3

* 14 51

17 u u u u             

Vậy

2 u d     

 hoặc  17

2 u d         e). 

2 2

1

3

155 21

u u u

s           

Ta có: S321u1u2u321u1u1du12d 21d  7 u1.  Ta có: u12u22u32 155u12u1d2u12d2155 

 2  2  2

2

1 1 14 155 49 14 155

u u u u u u u

              

1 1

2u 28u 90 u 9    u

         

Vớiu1 9 d  2. Vớiu1 5 d 2 

Câu 3. Tìm số hạng đầu và cơng sai của cấp số cộng, biết: 

1) 12 35 S S     

 2)  12 2 2

1

9 35

u u u

u u u

          

 3) 12 2 2 2

1

16 84

u u u u

u u u u

               4)

1

5

45

S

u u u u u       5)

1

20

1 1 25

24

S

u u u u

           

6)  12 2 2 25 2

1

20 170

u u u u u

u u u u u

              

 7)

1

12

u u u

u u u

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021  Lời giải

1) 12 35 S S            1 1

2 12

2

2

5 14

2 35

2

u d

u d u

u d d

u d                         

2)  12 2 2

1

9 35

u u u

u u u

                

1 1

2

2

1 1

2

2 35

u u d u d

u u d u d

                     

1 1 1

2 2 2

3 3 3

2

3 3 35

u d u d u d

d d d d                            Với d 2u11. Với d   2 u15. 

3)

2 2

1

16 84

u u u u

u u u u

            

1 1

2 2

1

2 16

84

u u d u d u d

u u u u

                          

2 2

2

1 1

4 16  

2 84 

u d

u u d u d u d

                

Từ 1 1 16

4

d

u  d

     thay vào  2  được: 

2 2

3 3

4 4 84

2d 2d d 2d d 2d d

       

          

       

         

2 2

2

3

4 4 84 64 84

2 2

d d d

d d d d

       

                    

        Với 

1

2

d  u   Với d   2 u17 

4)

1

5

45

S

u u u u u              

1 1

1 1 1

5

2 2   (1)

2

2 45      (2)

u d u d u d

u u d u d u d u d

                     Thay (1) vào (2): 

1 2d1 2d d1 2d 2d1 2d 3d1 2d 4d 45

            

1 2d1 d1 d1 2d 45 1 2d1 2d1 d1 d 45

             

 2 2

1 4d d 45

     Đặt td2,  t0 

1 4t1 t 45 4t2 5t 44 0

         

4

t

   (nhận) hoặc  11

4

t   ( loại) d24d 2 

Với d 2u1 3. Với d   2 u15. 

5)

4

1

20

1 1 25

24

S

u u u u

           

 

1

2 20

1 1 25

24

u d

u u u u

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   

1 1 25

  

3 3 24

5 5

2 2

u d

d d d d d d d

                      

  2

1 1 25 10 10 25

2

3 24 24

5 5 25 25

2 2 4

d d d d

d d                                  Đặt: ; d t t              

2 25 25

10 10 25 100 20

25 25 24 25 25 24 25 25 24

t t t

t t t t t t

   

      

       

     145

24 20 25 25 154 145      t = 1

9

t t t t t t

             

2

145 145 145

• 

9

t d  d    

Với 145 1 145

3

d u    Với 145 1 145

3

d  u    

2

• t 1 d  1 d 1 

Với 1

2

d u     Với 1 13

2

d  u     

6)  12 2 2 25 2

1

20 170

u u u u u

u u u u u

              

  12 2 21 2 12

1

2 20

170

u u d u d u d u d

u u u u u

                                1

2 2

2

1 1 1

5 10 20

2 170 

u d u d

u u d u d u d u d

                      Thay:u1 4 2d vào 2  được: 

4 2 d24 2 dd24 2 d2d24 2 d3d24 2 d4d2 170 

 2  2  2  2

4 2d d 4 d 2d 170

           

2

80 10d 170 d d

         

Vớid  3 u1   4 2. Vớid   3 u1  4 10. 

7)

1

12

u u u

u u u

   

 

 

  1

1

2 12

u u d u d

u u u

                       1

1 1 1

4       

3 12

2 8   

u d

u d

u u d u d u u d u d

                       

Thay (1) vào (2) ta được:  4 d 4 dd 4 d2d 8 4dd42 

2

16 18

d d d

         

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021  8)  5 65 72 u u u u              1 1 65 72

u u d

u d u d

               

1 1

5

2

6

5 65 13

2 2

6 72 12

u d u d u

d d d d d d

                                            

Câu 4. Xác định số hạng đầu, công sai và số hạng thứ n của các cấp số cộng sau, biết rằng: 

a).  12 18 34 45 S S       b).  10 10 u S     

 c).  20 10

5

S S S

   d).  20 10

15 S S S S       

Lời giải

a).      1 12

18 1

12 11 32

34

34 2 33 17 9

45 18 17 17

45

9

u d

u

S u d

S u d u d

d                                         33 1 9 n

u u  n d  n 

b).   

1

5 1

1

10

4 10

10 10 86

10

5 5 19

2

u d

u u d u

u d

S u d d

                                 

1 105 19

n

u u  n d   n 

c). 

   

   

1

20 10

20 10

10 1

20 19 10

5 10

5 10

3 6 4

u d u d

S S

S S S

S S u d u d

                          1

2 55 0

0

2 24 0 n

u d u

u

u d d

                

d).     

   

1

20 10

1

15 1

20 19 20

2

3 15 14 15 n

u d u d

S S d

u u

u

S S u d u d

                            

Câu 5. Cho cấp số cộng:u u u1; 2; 3;  có cơng sai d.  1). Biết u2u2240. TínhS23 

2). Biết u1u4u7u10u13u16 147. Tính u6u11   u1u6u11u16  4). Biết u4u8u12u16224. Tính:S19 

5). Biếtu23u5729. Tính:u10u70u1573u1 

Lời giải

1). Biết u2u2240. TínhS23 

Ta có:u2u22 40u1du121d 402u122d 40 

Mà  23 232 1 22  23.40 460

2

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

2). Biết u1u4u7u10u13u16147. Tính u6u11   u1u6u11u16  Có: u1u4u7u10u13u16 147. 

1 12 15 147

u u d u d u d u d u d

             

1

6u 45d 147 2u 15d 49

       

Ta có:u6u11u15du110d 2u115d 49.  Ta có: u1u6u11u16 u1u15du110du115d 

 

1

4u 30d 2u 15d 2.49 98

       

4). Biết u4u8u12u16224. Tính:S19  Có:u4u8u12u16 224 

1 15 224 36 224 56

u d u d u d u d u d

              

Ta có: 19 192 1 18  19 1  19.56 1064

2

S  u  d  u  d    

5). Biếtu23u57 29. Tính:u10u70u1573u1 

Ta có: u23u57 29u122du156d292u178d 29.  Ta có: 3u1u10u70u157 3u1u19du169du1156d 

 

1

6u 234d 2u 78d 3.29 87

       

Câu 6. Tìm 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 27 và tổng các bình phương  của chúng là 293  

Lời giải

Gọi 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng:u u u1; 2; 3. Theo đề bài ta có: 

   

1

2 2

1

27    293  

u u u

u u u

   

 

  

 

 

 1 u1u1du12d 273u13d 27d  9 u1. 

   2  2

1 1

2 u  u d  u 2d 293 

 2  2  2

2

1 1 18 293 81 18 293

u u u u u u u

              

2

1 1

2u 36u 112 u 14     u

          Vớiu114d   5 u2 9;u34.  Vớiu14d  5 u2 9;u314. 

Ta gọi số hạng liên tiếp CSC u1ud u, 2u u, 3  u d với cơng sai d Câu 7. Tìm 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng có tổng bằng 20 và tích của chúng là 384. 

Lời giải

Gọi 4 số hạng của cấp số cộng cần tìm là u u u u1, 2, 3, 4 có cơng sai d. 

Theo đề bài ta có:   

 

1

1

20  

384 

u u u u

u u u u

    

  

 



 

 1 u1u1du12du13d 20 

1

20

4 20

4

d

u d u  d

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021   2 u u1 1du12du13d384. 

3 3

5 5 384

2d 2d d 2d d 2d d

       

              

         

2

3

5 5 384 25 25 384

2 2 4

d d d d

d d    

       

                 

           

 

Đặt 

2

,

4

d

t t  

  

1

241

25 25 384 250 241     t

9

t t t t t

             

Cách 2: gọi u1u3 ,  d u2ud u,   3ud u,   4 u3d  Ta có:u1u2u3u4 204u20u5. 

Và: u u u u1 .2 3 4 384.u3dududu3d384 

 2 2  2 2

9 384 25 25 384

u d u d d d

         

Đặt: td t2, 0. 

2 241

9 250 241 1    t=

9

t t t

        

Với t 1 d2  1 d 1. 

1

• d  1 u 2;u 4;u 6;u 8 

1

• d   1 u 8;u 6;u 4;u 2 

Với:  241 241

9

t d   

1

241 241

•  241; 241; ; 241

3

d u   u   u   u    

1

241 241 241

•  241; ; ; 241

3 3

d  u   u   u   u    

Ta gọi số hạng liên tiếp CSC u1u3 ,d u2ud u, 3 ud u, 4 u3d với công sai 2d

Câu 8. Tìm 3 số hạng liên tiếp của một CSC biết tổng của chúng bằng 15 và tổng bình phương của chúng  bằng 83. 

Lời giải

Gọi ba số hạng liên tiếp của CSC là u1ud u, 2u u, 3ud với cơng sai là d:  Theo đề bài ta có: 

   

1

2

2 2 2

2

3 15

15 5

2

83 83

l

u

u u u u u

d

u u u u d u u d d

 

   

   

 

  

   

 

        

   

 

  Với d 2u13,u25,u37 

Với d   2 u17,u2 5,u3 3. 

Câu 9. Tìm 5 số hạng liên tiếp của một CSC biết tổng của chúng bằng 40 và tổng bình phương của chúng  bằng 480. 

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Gọi năm số hạng liên tiếp của CSC là u1 u ,d u2 u d u, 3u u, 4ud u, 5 u2d với  cơng sai là d: 

Theo đề bài ta có:  12 22 32 42 52

2

40 480

l

u u u u u

u u u u u

     

 

     



 

 2  2  2  2

5 40 8

4 16

2 480

u u u

d d

u d u d u u d u d



    



  

  

         

 



  Với d 4u10,u24,u38,u4 12,u516. 

Với d   4 u116,u2 12,u38,u44,u50 

Câu 10. Tìm 4 số hạng liên tiếp của một CSC biết tổng của chúng bằng 10 và tổng bình phương của chúng  bằng 30. 

Lời giải

Gọi bốn số hạng liên tiếp của CSC là u1 u ,d u2 u d u, 3ud u, 4  u 3d  với cơng sai là  2d: 

Theo đề bài ta có:  12 22 32 42

2

10 30

l

u u u u

u u u u

    

 

    



 

 2  2  2  2

5

4 10 8

2

4

3 2 30

16

u u u

d

u d u d u d u d

d  

   

 

  

 

        

 

  

 

Câu 11. Một CSC có 7 số hạng với cơng sai d dương và số hạng thứ tư bằng 11. Hãy tìm các số hạng cịn  lại của CSC đó, biết hiệu của số hạng thứ ba và số hạng thứ năm bằng 6. 

Lời giải

Gọi u u u u u u u1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 là bảy số hạng liên tiếp của CSC với cơng sai d.  Theo đề bài ta có hệ phương trình: 

4 1

3 1

11 11 11 17

6 ( ) ( ) 2

u u d u d u

u u u d u d d d

     

   

  

   

            



  Kết luận: u117,u2 15,u313,u411,u5 9,u4 7,u5 5,u63,u7 1. 

Câu 12. Một CSC có 7 số hạng mà tổng của số hạng thứ ba và số hạng thứ năm bằng 28, tổng số hạng thứ  năm và số hạng cuối bằng 140. Tìm CSC đó. 

Lời giải

Gọi u u u u u u u1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 là bảy số hạng liên tiếp của CSC với cơng sai d.  Theo đề bài ta có hệ phương trình: 

3 1 1

5 1

28 28 28 70

140 140 10 140 28

u u u d u d u d u

u u u d u d u d d

         

   

  

   

           



 

Câu 13. Viết sáu số xen giữa hai số 3 và 24 để được CSC có tám số hạng. Tìm CSC đó 

Lời giải

Gọi 3,u u u u u u2, 3, 4, 5, 6, 7, 24 là CSC cần tìm, ta có: 

1 1

8

3 3

24 24

u u u

u u d d

  

  

 

  

     



TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 

Vậy u13,u26,u3 9,u412,u515,u6 18,u721,u824 

Câu 14. Bốn số ngun lập thành CSC, biết tổng của chúng bằng 20, tổng nghịch đảo của chúng bằng 25 24.  Tìm bốn số đó. 

Lời giải

Gọi bốn số hạng liên tiếp của CSC là u1 u ,d u2 ud u, 3 u d u, 4u3d với cơng sai là  2d: 

Theo đề bài ta có: 

1

2

20 4 20

1 1 25 1 1 25

24 3 24

l

u u u u u

u u u u u d u d u d u d

   

  

 



 

       

     



 

 

2

5

1 1 25 10 10 25

  

5 5 24 25 25 24

u u

d d d d d d

 

 

 



 

     

       

 

 

Giải (2): đặt td2, điều kiện t0 

 

       

2 100 20

2 24 20 25 25

25 25 24 25 25 24

t

t t t

t t t t



         

     

2 145

9 154 145

9

t t t t

         

Vì các số hạng là những số nguyên nên chọn t = 1. 

Câu 15. Tính các tổng sau: 

a). S     1 (2n1) (2 n1) 

b). S     1 (3n2) (3 n1) (3 n4) 

c).  2 2 2

100 99 98 97

S        

Lời giải

a). Ta có dãy số 1,3,5,, (2n1), (2n1) là cấp số cộng với cơng sai d 2 và u11, số hạng  tổng quát um 2n1. Do đó có 2n 1 u1(m1)d 2n  1 (m1).2m n 1. 

Vậy  1  2  ( 1)(2 1)

2

n

n u nd n n

S         

b). Ta có dãy số 1, 4, 7,, (3n2), (3n1), (3n4) là cấp số cộng với cơng sai d 3 và u11, số  hạng tổng qt um 3n4. Do đó có: 3n4u1m1d 3n4 1 m1 3 mn2 

Vậy  2 2 ( 1)  ( 2) ( 1)3 ( 2)(3 5)

2 2

n

m u m d n n n n

S             

c).  2 2 2

100 99 98 97

S        

100 99 100 99  98 97 98 97  2 1 

           

199 195

     

Ta có dãy số 3, 7, ,195,199 là cấp số cộng với cơng sai d 4, số hạng đầu tiên u13 và số 

hạng n là un 199. 

Do đó có 199 3 n1 4 n50. 

Vậy  50 2.3 49.4  5050

2

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  C Bài tập trắc nghiệm

DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH – KHÁ Câu 1. Cho cấp số cộng  un  với u19 và công sai d 2. Giá trị của u2 bằng 

A 11.  B 9

2.  C 18   D 7  

Lời giải Chọn A 

Ta có: u2 u1d  9 11  

Câu 2. Cho cấp số cộng  un  với u18 và công sai d3. Giá trị của u2 bằng

A 8

3 B 24 C 5 D 11. 

Lời giải Chọn D

Áp dụng cơng thức ta có: u2 u1d  8 11. 

Câu 3. Cho cấp số cộng  un với u17công sai d 2. Giá trị u2 bằng 

A 14.  B 9   C 7

2.  D 5  

Lời giải Chọn B

Vì  un là một cấp số cộng thì un1und u2u1d  7 29 

Câu 4. Cho một cấp số cộng  un  có  1

u  , u826. Tìm cơng sai d

A 11

3

d    B 10

3

d    C

10

d    D

11

d   

Lời giải 

Chọn A

8

u u  d 26

3 d

   11

3

d

   

Câu 5. Cho dãy số  un  là một cấp số cộng có u13 và cơng sai d 4. Biết tổng n số hạng đầu của  dãy số  un  là Sn253. Tìm n. 

A 9 B 11 C 12 D 10. 

Lời giải Chọn B

Ta có  2  1  2.3  4  253

2

n

n u n d n n

S         

 

2

11

4 506 23

2 n

n n

n L

       

   

. 

Câu 6. Cho cấp số cộng  un  có số hạng tổng qt là un 3n2. Tìm cơng sai d của cấp số cộng. 

A d3.  B d2.  C d 2.  D d 3. 

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021  Chọn A

Ta có un1un3n1 2 3n 2 3 

Suy ra d3 là cơng sai của cấp số cộng. 

Câu 7. Cho cấp số cộng  un  có u1 3, u6 27. Tính cơng sai d. 

A d7.  B d5.  C d8.  D d6. 

Lời giải 

Chọn  D

Ta có u6u15d 27d 6. 

Câu 8. Cho dãy số vơ hạn  un  là cấp số cộng có cơng sai d, số hạng đầu u1. Hãy chọn khẳng định sai?

A

2

u u

u     B unun1d, n2. 

C 12 2 1 11 

n

S  u  d   D un u1(n1).d,  *

n

   

Lời giải Chọn C

Ta có cơng thức tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:  1  1

2

n

n n d

S nu    

Suy ra  12 12 1 12.11

2

d

S  u  6 2 u111d 2 1 11 

n

u d

   

Câu 9. Cho một cấp số cộng  un  có u15 và tổng của 50 số hạng đầu bằng 5150. Tìm cơng thức của  số hạng tổng qt un. 

A un  1 4n.  B un5n.  C un  3 2n.  D un 2 3n. 

Lời giải Chọn A

Ta có:  50 502 1 49  5150

2

S  u  d  d4. 

Số hạng tổng quát của cấp số cộng bằng unu1n1d 1 4n. 

Câu 10. Cho cấp số cộng  un  thỏa mãn 

4

10 26 u

u u

  

  

 có cơng sai là

A d 3.  B d 3.  C d5.  D d6. 

Lời giải Chọn B

Gọi d là cơng sai. 

Ta có:  1

4

10 10

26 26

u u d u

u u u d d

   

  

 

  

       

. 

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Câu 11. Cho cấp số cộng  un  có u5  15, u2060. Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này  là: 

A S10 125.  B S10 250.  C S10 200.  D S10  200. 

Lời giải 

Chọn A

Gọi u1, d lần lượt là số hạng đầu và cơng sai của cấp số cộng. 

Ta có: 

20

15 60 u u

   

 



1

4 15

19 60

u d

u d

   



  

 35

5 u d

   

 

. 

Vậy  10 10 2 1 

2

S  u  d 5 2. 359.5  125. 

Câu 12. Cho cấp số cộng  un  có u4 12, u14 18. Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này. 

A S16 24.  B S1626.  C S16  25.  D S16 24. 

Lời giải Chọn D

Gọi d là cơng sai của cấp số cộng. Theo giả thiết, ta có 

1

3 12

13 18

u d

u d

   



  

  21

3 u d

    

 

. 

Khi đó,   

16

2 15 16

2

u d

S    842 45 24. 

Câu 13. Cho cấp số cộng  un biết u5 18 và 4Sn S2n. Tìm số hạng đầu tiên u1và cơng sai dcủa cấp số  cộng. 

A u12;d 4.  B u12;  d 3.  C u12; d 2.  D u13;d2. 

Lời giải Chọn A

Ta có: u518u14d 18 1  

2

4Sn S n 1  1 1 2 1

2

 

   

     

   

n n d n n d

nu nu 4u12nd2d 2u12ndd

1

2

 u d    2  

Từ  1 và  2  suy ra u12;d4. 

Câu 14. Cho cấp số cộng  un  có u1 2 và cơng sai d3. Tìm số hạng u10. 

A

10 2.3

u     B u1025.  C u10 28.  D u10  29. 

Lời giải Chọn B

Ta có u10u19d   2 9.325. 

Câu 15. Cho cấp số cộng  un  có  u111 và cơng sai d4. Hãy tính u99. 

A 401.  B 403.  C 402.  D 404. 

Lời giải 

Chọn B

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021  Câu 16. Cho cấp số cộng  un , n* có số hạng tổng quát  1 3

n

u   n. Tổng của 10 số hạng đầu tiên của 

cấp số cộng bằng

A 59048.  B 59049.  C 155.  D 310. 

Lời giải Chọn C

Ta có: un 1 3n  

10

1 3.1

1 3.10 29

u u

    



    

. 

Áp dụng công thức:    10 10 155

2

n

n u u u u

S        

Câu 17. Cho cấp số cộng  un  có u14;u2 1. Giá trị của u10 bằng

A u1031.  B u10  23.  C u10 20.  D u1015. 

Lời giải Chọn B

1 4;

u  u   d 3. Vậy u10u19d 4 9. 3  23. 

Câu 18. Cấp số cộng  un  có số hạng đầu u13, cơng sai d 5, số hạng thứ tư là

A u4 23.  B u4 18.  C u48.  D u4 14. 

Lời giải Chọn  B

4

u u  d 35.318. 

Câu 19. Cho cấp số cộng  un  có số hạng đầu u13 và cơng sai d2. Tính u5. 

A 11.  B 15.  C 12   D 14  

Lời giải Chọn A

Ta có u5u14d   3 4.2 11  

Câu 20. Cho cấp số cộng  un  có u1123, u3u1584. Số hạng u17 bằng

A 235.  B 11.  C 96000cm3.  D 81000cm3. 

Lời giải 

Chọn B

Giả sử cấp số cộng  un  có cơng sai d. 

Theo giả thiết ta có: u3u1584 u12du114d 84  12d84 d 7.  Vậy u17 u116d 123 16.  7 11. 

Câu 21. Cho cấp số cộng  un  có u11 và cơng sai d 2. Tổng S10 u1u2u3 u10 bằng:

A S10 110.  B S10100.  C S10 21.  D S10 19. 

Lời giải 

Chọn B

* Áp dụng công thức   1  1

2

n n

n u n d

n u u

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

 

10

10 10

100

S      . 

Câu 22. Cho cấp số cộng  un , biết u23 và u47. Giá trị của u15 bằng

A 27.  B 31.  C 35.  D 29. 

Lời giải 

Chọn D

Từ giả thiết u2 3 và u4 7 suy ra ta có hệ phương trình: 

1

3

3

u d

u d

  



  

1

2 u d

   

 

.  Vậy u15 u114d 29. 

Câu 23. Viết ba số xen giữa   và  22  để ta được một cấp số cộng có 5 số hạng?

A 6, 12 , 18.  B 8, 13, 18.  C 7, 12 , 17.  D 6, 10, 14  

Lời giải 

Chọn C

Xem cấp số cộng cần tìm là  un  có: 

5

2 22 u u

  

 

. Suy ra: 

5 u d

  

 

.  Vậy cấp số cộng cần tìm là  un :  ,7, 12 , 17,  22  

Câu 24. Cho dãy số u11;un un12, n,n1. Kết quả nào đúng?

A u5 9.  B u34.  C u2 2.  D u613. 

Lời giải 

Chọn A

Ta có un un12 unun12 nên dãy  un  là một cấp số cộng với cơng sai d2. 

Nên theo cơng thức tổng qt của CSC unu1n1 d  

Do đó: u2 u1d   1 3; u3u12d 1 2.25;u5u14d 1 4.29; 

6 5d

u u   1 5.2  11   Vậy u59. 

Câu 25. Cho cấp số cộng có tổng n số hạng đầu là 

3

n

S  n  n, n*. Giá trị của số hạng thứ 10 của 

cấp số cộng là

A u1055.  B u1067.  C u1061.  D u1059. 

Lời giải 

Chọn C

Từ giả thiết ta có 

1 3.1 4.1

S u     

Ta có  8 

2

n

n n

S  n  n    7 1

2

n  n

  un 6n1 u10 61. 

Câu 26. Cho cấp số cộng có tổng n số hạng đầu là  4 3

n

S  n  n, n* thì số hạng thứ 10 của cấp số 

cộng là

A u1095.  B u1071.  C u1079.  D u1087. 

Lời giải 

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 

Theo cơng thức ta có    4 3

2

n

n u u

n n



  u1un8n6 un u18n6.  Mà u1S17 do đó u10   7 8.10 6 79. 

Câu 27. Người ta viết thêm 999 số thực vào giữa số 1 và số 2018 để được cấp số cộng có 1001 số hạng. 

Tìm số hạng thứ 501. 

A 1009.  B 2019

2   C 1010.  D

2021

2  

Lời giải 

Chọn B

Áp dụng cơng thức cấp số cộng ta có: 

     

1 1001

2017

1 1001 2018 1001

1000

n

u u  n du u   d     dd   

Vậy số hạng thứ 501 là  501 1 501 1 2019

2

u u   d   

DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI

Câu 28. Bốn số tạo thành một cấp số cộng có tổng bằng  28  và tổng các bình phương của chúng bằng  276   Tích của bốn số đó là : 

A 585   B 161.  C 404   D 276  

Lời giải 

Chọn A

Gọi   số cần tìm là a3r, ar, ar, a3r.  Ta có: 

 2  2  2  2

3 28

3 276

a r a r a r a r

a r a r a r a r

       

  

       





7

a r

   

 

7

a r

   

  

.  Bốn số cần tìm là 1,  ,  , 13  có tích bằng  585  

Câu 29. Chu  vi  một  đa  giác  là 158cm,  số  đo  các  cạnh  của  nó  lập  thành  một  cấp  số  cộng  với  cơng  sai 

d cm. Biết cạnh lớn nhất là 44cm. Số cạnh của đa giác đó là?

A 3.  B 4   C 5.  D 6. 

Lời giải Chọn B

Giả sử đã giác đã cho có n cạnh thì chu vi của đa giác là:  

2

n n

u u n

S   với u1 là cạnh nhỏ nhất. 

Suy ra: 158  44

2

u  n

 316u144n2 792 u144n 

Do đó u144là ước nguyên dương của 

3162 79và đa giác có ít nhất ba cạnh nên 

1

316

44 44

3 u    Suyra:u14479u135. 

Số cạnh của đa giác đã cho là: 44 35

3 

  ( cạnh ). 

Câu 30. Cho hai cấp số cộng  xn : 4, 7, 10,… và  yn :  1, 6,  11,…. Hỏi trong 2018 số hạng đầu tiên  của mỗi cấp số có bao nhiêu số hạng chung?

A 404.  B 673.  C 403.  D 672. 

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Số hạng tổng quát của cấp số cộng  xn là: xn  4 n1 3 3n1.  Số hạng tổng quát của cấp số cộng  yn là: ym  1 m1 5 5m4. 

Giả sử k là 1 số hạng chung của hai cấp số cộng trong 2018 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số. 

Vì k là 1 số hạng của cấp số cộng  xn  nên k3i1 với 1 i 2018 và  *

i   Vì k là 1 số hạng của cấp số cộng  yn  nên k 5j4 với 1 j2018 và  j*. 

Do đó  3i 1 5j43i5j5 i5 i 5;10;15; ; 2015 có 403 số hạng chung. 

Câu 31. Tìm  bốn  số  hạng  liên  tiếp  của  một  cấp số  cộng  biết  tổng  của  chúng  bằng 20  và  tổng các  bình 

phương của chúng bằng 120. 

A 1,5,6,8.  B 2,4,6,8.  C 1,4,6,9.  D 1,4,7,8. 

Lời giải

Chọn B 

Giả sử bốn số hạng đó là a3 ;x a x a x a ;  ; 3x với cơng sai là d2x.Khi đó, ta có: 

       

  2  2  2 2

3 20

3 120

a x a x a x a x

a x a x a x a x

        

 

       

 

 

2

4 20 20 120

a a

a x x

   

 

   

 

 

Vậy bốn số cần tìm là 2,4,6,8. 

Câu 32. Cho cấp số cộng ( )un  thỏa: 

4

10 26

u u u

u u

   



 



. Xác định công sai d và số hạng đầu tiên u1. 

A d3,u11.  B d1,u11.  C d1,u13.  D d 3,u11.  Lời giải

Chọn A  Ta có: 

1 1

1

( ) ( ) ( ) 10 ( ) ( ) 26

u d u d u d

u d u d

      



   



1

1

3 10 13

u d u

u d d

    

 

   



  Vậy d3,u11. 

Câu 33. Xen vào giữa hai số 4 và 40 bốn số để dược một cấp số cộng? Tìm tổng bốn số đó? 

A 72 B 88 C 100 D 66 

Lời giải

Chọn B 

Nếu xen 4 số vào giữa hai số để được một cấp số cộng thì cấp số đó có 6 số hạng. Theo đầu bài ta 

có:  1 4, 6 40 40 40 7,

5

u  u     dd    

4 số thêm vào là: 11, 2,  18, 4., 25, 6,32,8S11,  18, 25, 32,8   88 

Câu 34. Ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng có tổng của chúng bằng 3 và tổng các nghịch đảo của 

chúng bằng 1

3. Tìm tổng bình phương các số hạng. 

A 8  B 11  C 14  D 15 

Lời giải

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 

Giả sử bốn số hạng đó là a x a a x ; ;   với cơng sai là dx.Khi đó, ta có: 

   

       

 



 

  

  

   

 





        

 

2

3

1 1 1 1

1 1 3

1

2(1 ) 1

a x a a x a

x x

a x a a x

x x

x x

 

Vậy tổng bình phương các số hạng là( 1) 2(1)23211 

Câu 35. Cho cấp số cộng  un  có cơng sai dương và  21 27

2

21 27

86 3770 u u

u u    



  



. Tích của số hạng đầu và cơng sai  bằng: 

A 36.  B 26.  C 16.  D 6. 

Lời giải

Chọn D

Vì cơng sai là số dương nên u27 u21.  Ta có 

 

  

       

 

  

   

 

    

  

 

21 27

21 27 21 27 21

2

2

21 27 27

21 27 21 27 21 27

86

86 86 37

1813 49 3770 3770

u u

u u u u u

u u u

u u u u u u  

    

 

 

  



1

20 37 26 49

u d d

u

u d  Suy ra u d1.  6. 

Câu 36. Cho cấp số cộng  un  biết tổng của n số hạng đầu là  4 17

n

S   n  n. Tìm u6 ? 

A u6  27.  B u1 23.  C u128.  D u122. 

Lời giải

Chọn A

Ta có u6 S6S5   4 6. 217 6.   4 5. 217 5.  27. 

Câu 37. Cho một tam giác vng có độ dài ba cạnh lập thành cấp số cộng. Chu vi tam giác đó bằng 24.  Độ dài cạnh nhỏ nhất của tam giác này là: 

A 3.  B 4.  C 8.  D 6. 

Lời giải

Chọn D

Vì ba cạnh lập thành cấp số cộng nên độ dài ba cạnh là: a d a a d a d d ; ;    ; 0. 

Chu vi tam giác bằng 24     a d a a d 24a8. (1) 

Mặt khác tam giác này vng nên ta có: a d 2a2 a d 2 a2 4ad0a4d. (2) 

Từ (1) và (2) suy ra  8 6

2  

   

 

.

a

a d

d  

Câu 38. Ba góc của một tam giác vng lập thành một cấp số cộng. Cơng sai d d 0 của cấp số cộng đó  bằng 

A 30 o   B 45 o   C 25 o   D 20 o  

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Gọi 3 góc của tam giác vng là a d a a , , d d 0 

Ta có hệ phương trình     

o o

o o

180 60 30 90

a d a a d a

d

a d

 

       

 

 

 

    

 



 

Câu 39. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng cho bởi Sn3n2n. Cơng sai của cấp số cộng đó  là 

A d4.  B d5.  C d6.  D d7. 

Lời giải  Chọn C 

1 2, 2 10

S u  S u u  u   d u  u  

Câu 40. Cho cấp số cộng ( )un  thỏa: 

7

3 21 34

u u u

u u

    



  



.Tính S u 4u5 u30 

A S 1286  B S 1276  C S 1242  D S 1222

 

Lời giải

Chọn C 

Từ giả thiết bài tốn, ta có:  1

1

4 3( ) ( ) 21 3( ) 2( ) 34

u d u d u d

u d u d

       



    



 

1

1

3

12 34

u d u

u d d

     

 

     



. 

Ta có:  4 5 30 27 4 26

2

S u u  u   u  d 

 

27 u 16d 1242      

Câu 41. Cho một dãy số có các số hạng đầu tiên là 1,8,22,43,. Hiệu của hai số hạng liên tiếp của dãy số đó  lập thành một cấp số cộng: 7,14,21., 7n. số 35351 là số hạng thứ mấy của cấp số đã cho? 

A 99.  B 101.  C 100.  D 102. 

Lời giải  Chọn B 

Theo đầu bài ta có: 

 

2

3

4

1

7 14 21

7

n n

u u

u u

u u

u u  n

  



 

 

 

  

   



 

Cộng các vế của các phương trình của hệ ta dược: 

     

1

1

7 14 21 7

2

n

n n

u u n 

          

Đặt:  35351  1 35351  1 10100 101

2

n

n n

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021  Câu 42. Một dãy số ( )un có số hạng tổng quát là       

2

1

2

2

n n

n n

S u u u  Khẳng định nào sau đây 

là đúng khi nói về ( )un ? 

A ( )un  khơng là cấp số cộng B ( )un  là cấp số cộng có  100 101

2

u

C ( )un  là cấp số cộng có  100 301

2

u D ( )un  là cấp số cộng có  100 201

2

u  

Lời giải

Chọn D 



 



     

   

      



     

2

1

2

1

1 100

2

2

( 1) 2( 1)

2

2 201

2

n n n

n n

n n n

n n

S u u u u

n n n

S u u u

n

u S S u

 

Câu 43. Cho  hai  cấp  số  cộng  hữu  hạn an : 2; 5; 8;11; ;a1000.  và  bn : 1; 6;13; 20; ; b1000.Có  bao  nhiêu  số hạng có mặt ở cả hai dãy số trên? 

A 213.  B 400.  C 142.  D 138. 

Lời giải

Chọn C 

Ta thấy cấp số cộng  an  có số hạng đầu u1 2 và cơng sai d1 3. Khi đó số hạng thứ mcủa 

cấp số cộng này là: am  2 m1 3.  

Cấp số cộng  bn  có số hạng đầu u1 1 và cơng sai d2 7. Khi đó số hạng thứ ncủa cấp số 

cộng này là: bn   1 n1 7.  

Xét am bn 2m1 3   1 n1 7. 3m7n1m7m7k k* 

Mà 1 1000 1000 1000 1 142

7

 

          

 

*

; , ; ; ; ;

m k k k k  Vậy có 

142 giá trị ktương ứng với 142số hạng có mặt ở cả hai dãy số trên. 

Câu 44. Biết tổng nsố hạng đầu tiên của một cấp số cộng bằng nửa tổng n số hạng tiếp theo. Tính tỷ số 

2

n

n S S ? 

A 4.  B 5.  C 3.  D 2. 

Lời giải

Chọn D

Từ giả thiết ta có: 

       

1

3

2

n n n n n

n n

S  S S S  S  nu n n d nu   d u d n

 

 

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Khi đó 

 

 

 

 

   

   

1

1

3

2

1

3

3 2 3 1 1 3 1

2 2.

3 1

3

2

n n

n n

n n

nu d u n d n d n d

S S

S S n n u n d n d n d

nu d



     

    

    

  



 

 

 

 

Câu 45. Một đồng hồ đánh giờ, khi kim giờ chỉ số n (từ 1 đến 12) thì đồng hồ đánh đúng n tiếng. Hỏi  trong một ngày (24 giờ) đồng hồ đánh được bao nhiêu tiếng? 

A 156.  B 152.  C 148.  D 160. 

Lời giải  Chọn A 

Số tiếng đồng hồ đánh trong một ngày là 

  12.13 2 12 156

2

S       

Câu 46. Cho ba số lập thành một cấp số cộng. Tổng của chúng bằng 15 và tích của chúng bằng 80. Cơng 

sai d d 0 của cấp số cộng đó bằng 

A 3.  B 4.  C 5.  D 6.  Lời giải 

Chọn A 

Gọi 3 số lập thành cấp số cộng là a d a a , , d d 0 

Ta có hệ phương trình     

   

15 80

a d a a d a

d

a d a a d

       

 

 

     

 



 

Câu 47. Cho cấp số cộng (un) biết: 

8

6 52

   



  

u u u

u u  Tính Su2u4u6 u2020

A S5105110.  B S5101510 C S5105010 D S5105101. 

Lời giải Chọn B

Ta có:  1 1

8 1

6 6

52 52 10 52

           

   

  

   

           



u u u u d u d u d u d u

u u u d u d u d d  

Ta có: Dãy số u26,u416,u626,u836, ,u202010096là một cấp số cộng với số hạng đầu 

1 6, 10, 1010 202010096

v u d v u  

 

2 2020

1010

2.6 (1010 1).10 5101510

2

        

S u u u u  

Câu 48. Cho cấp số cộng  un  thỏa 

4

10 26

u u u u u

   



  

 Tính Su1u4u7 u2020

A S2041881 B S2041882.  C S2041883 D S2041884. 

Lời giải Chọn C

2 1 1

4 1

10 10 10

26 26 26

u u u u d u d u d u d u

u u u d u d u d d

               

 

  

   

           

 



 

4 10, 19, 10 28,

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 

Ta có u u u u1, 4, 7, 10, ,u2020 là cấp số cộng có 

1

9 674

u d n

  

    

 

Do đó  6742.1 673.9 2041883

2

S    

Câu 49. Một cấp số cộng có số hạng đầu u12018 cơng sai d  5. Hỏi bắt đầu từ số hạng nào của cấp  số cộng đó thì nó nhận giá trị âm. 

A u406.  B u403.  C u405.  D u404. 

Lời giải Chọn C

Ta có un n1du1 n.  Theo đề ra un 2018 5 n10 

 

2018

  n   2023

2023 405

5

  nn n  

PPtrắcnghiệm: 

Vì un n1du12018 5 n1  Thay từng giá trị vào ta có: 

403 404

2018 5.402

2018 5.403

  

  

u

u  

4052018 5.404  2

u  

Câu 50. Cho cấp số cộng  un  có u14. Tìm giá trị nhỏ nhất của u u1 2u u2 3u u3 1?

A 20.  B 6.  C 8.  D 24. 

Lời giải Chọn D

Ta gọi d là công sai của cấp số cộng. 

      

1 2 3 4 4 4

u u u u u u  d  d  d   d  

 2

2

2d 24d 48 d 24 24

          Dấu  "" xảy ra khi d 6 

Vậy giá trị nhỏ nhất của u u1 2u u2 3u u3 1 là  24  

Câu 51. Cho cấp số cộng  un  có u13 và cơng sai d 7. Hỏi kể từ số hạng thứ mấy trở đi thì các số  hạng của  un  đều lớn hơn 2018?

A 287.  B 289.  C 288.  D 286. 

Lời giải 

Chọn B

Ta có: unu1n1d  3 7n17n4; un 20187n 4 2018 2022

7

n

   

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Câu 52. Cho tam giác đều  A B C1 1 1 có độ dài cạnh bằng 4. Trung điểm của các cạnh tam giác A B C1 1 1 tạo  thành tam giác A B C2 2 2, trung điểm của các cạnh tam giác A B C2 2 2 tạo thành tam giác  A B C3 3 3…  Gọi  P P P1, 2, 3,   lần  lượt  là  chu  vi  của  tam  giác  A B C1 1 1,  A B C2 2 2,  A B C3 3 3,…Tính  tổng  chu  vi 

1

PPP P 

A P8 B P24 C P6 D P18. 

Lời giải

 

Chọn B

Ta có: 

2

1

P  P;  3 2 1

2

P  P  P;  4 3 1

2

P  P  P…; 11 1

2

n n

P   P 

… 

Vậy 

1 1 1

1 1

24

1

2 1

2

P

PPP P  P  P P P   P 



 

DẠNG MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ LIÊN QUAN ĐẾN CẤP SỐ CỘNG DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI

Câu 1. Sinh nhật lần thứ 17 của An vào ngày 01 tháng 5 năm 2018. Bạn An muốn mua một chiếc máy 

ảnh giá 3850000 đồng để làm q sinh nhật cho chính mình nên An quyết định bỏ ống heo 1000 

đồng  vào  ngày 01  tháng 02  năm 2018.  Trong  các  ngày tiếp  theo,  ngày  sau  bỏ  ống  nhiều  hơn 

ngày trước 1000 đồng. Hỏi đến ngày sinh nhật của mình, An có bao nhiêu tiền (tính đến ngày 30 

tháng 4 năm 2018)?

A 4095000 đồng B 89000 đồng.  C 4005000 đồng D 3960000 đồng. 

Lời giải Chọn C

* Số tiền bỏ heo của An mỗi ngày tạo thành một cấp số cộng có số hạng đầu u11000 cơng sai 

1000

d  

* Tổng số tiền bỏ heo tính đến ngày thứ n là: 

   

1

2

2

n

n n

n u n d

n u u

S u u  u        

* Tính đến ngày 30 tháng 4 năm 2018 (tính đến ngày thứ 89) tổng số tiền bỏ heo là: 

B3

C3 A3

C2

A2 B2

C1

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 

 

89

89 2.1000 89 1000

45.89.1000 4005000

2

S         đồng. 

Câu 2. Người ta trồng 3003 cây theo dạng một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng 

thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây, …, cứ tiếp tục trồng như thế cho đến khi hết số cây. 

Số hàng cây được trồng là 

A 77 B 79 C 76 D 78. 

Lời giải Chọn A

Gọi số cây ở hàng thứ n là un. 

Ta có: u11, u22, u33, … và Su1u2u3 un 3003.  Nhận xét dãy số  un  là cấp số cộng có u11, cơng sai d1. 

Khi đó   1

2

n u n d

S      3003. 

Suy ra  2.1  1 3003

2

n  n 

  n n 16006n2 n 60060 77

78

n n

 

   



77

n

   (vì 

n). 

Vậy số hàng cây được trồng là 77. 

Câu 3. Một em học sinh dùng các que diêm để xếp thành hình tháp có quy luật được thể hiện như trong  hình sau: 

   

Hỏi cần bao nhiêu que diêm để xếp thành hình tháp có 10  tầng? 

A 69   B 39   C 420   D 210  

Lời giải

Chọn  D

Ta có: Số que diêm để xếp được tầng đế của tháp là một cấp số cộng với u13;d 4. 

Suy ra số que diêm để xếp được tầng đế của tháp 10  tầng là u10u19d 39. 

Từ đó số que diêm để xếp được hình tháp 10  tầng là  10 10  

10 39

210

2

S u u  u     

Câu 4. Sinh nhật bạn của An vào ngày  01  tháng năm. An muốn mua một món quà sinh nhật cho bạn nên  quyết định bỏ ống heo 100  đồng vào ngày  01  tháng  01  năm  2016 , sau đó cứ liên tục ngày sau  hơn ngày trước  100  đồng. Hỏi đến ngày sinh nhật của bạn, An đã tích lũy được bao nhiêu tiền? 

(thời gian bỏ ống heo tính từ ngày  01  tháng  01  năm  2016  đến ngày  30  tháng 4 năm  2016 ). 

A 738.100 đồng.  B 726.000 đồng.  C 714.000 đồng.  D 750.300 đồng. 

Lời giải 

Số ngày bạn An để dành tiền (thời gian bỏ ống heo tính từ ngày  01  tháng  01  năm  2016  đến ngày 

30  tháng 4 năm  2016 ) là  31 29 31 30 121     ngày. 

Số tiền bỏ ống heo ngày đầu tiên là: u1100. 

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Số tiền bỏ ống heo ngày thứ hai là: u2100 1.100  

Số tiền bỏ ống heo ngày thứ ba là: u3100 2.100  

… 

Số tiền bỏ ống heo ngày thứ n là: unu1n1d 100n1 100 100n. 

Số tiền bỏ ống heo ngày thứ 121 là: u121100.12112100. 

Sau 121 ngày thì số tiền An tích lũy được là tổng của 121 số hạng đầu của cấp số cộng có số hạng 

đầu u1100, cơng sai d 100. 

Vậy số tiền An tích lũy được là  121 121 1 121

2

S  u u 121100 12100

2

  738100 đồng. 

Câu 5. Trong sân vận động có tất cả 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 15 ghế, các dãy liền sau nhiều hơn dãy  trước   ghế, hỏi sân vận động đó có tất cả bao nhiêu ghế? 

A 2250.  B 1740.  C 4380.  D 2190. 

Lời giải

Gọi u u1, 2, u30 lần lượt là số ghế của dãy ghế thứ nhất, dãy ghế thứ hai,… và dãy ghế số ba mươi. 

Ta có cơng thức truy hồi ta có unun14n2, 3, , 30. 

Ký hiệu:S30u1u2 u30, theo công thức tổng các số hạng của một cấp số cộng, ta được: 

 

   

30

30

2 30 15 2.15 29.4 2190

2

S  u       

Câu 6. Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Họ th một đội khoan giếng nước. Biết giá 

của mét khoan đầu tiên là 80.000 đồng, kể từ mét khoan thứ hai giá của mỗi mét khoan tăng thêm 

5.000 đồng so với giá của mét khoan trước đó. Biết cần phải khoan sâu xuống 50m mới có nước.  Hỏi phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó?

A 4.000.000 đồng.  B 10.125.000 đồng.  C 52.500.000 đồng.  D 52.500.000 đồng. 

Lời giải 

Chọn B

* Áp dụng cơng thức tính tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng đầu u180.000, 

cơng sai d5.000 ta được số tiền phải trả khi khoan đến mét thứ n là 

   1

2

n n

n u n d

n u u

S        

* Khi khoan đến mét thứ 50, số tiền phải trả là 

 

50

50 2.80000 50 5000

10.125.000

S       đồng. 

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021  A 59.  B 30.  C 61.  D 57. 

Lời giải 

Chọn A

Cách 1: p dụng cơng thức tính tổng n số hạng liên tiếp của CSC: 

 

1

2

2

n n

S   u  n d 900 2.1  2

n

n

      n2900n30. 

Vậy u30 1 29 * 259. 

Cách 2: Áp dụng công thức 1    2n1n2, suy ra n30.  Vậy 2n 1 59  

Câu 8. Người ta trồng 465 cây trong một khu vườn hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây, hàng 

thứ hai có   cây, hàng thứ ba có 3 cây….Số hàng cây trong khu vườn là

A 31.  B 30.  C 29.  D 28. 

Lời giải Chọn B

Cách trồng 465 cây trong một khu vườn hình tam giác như trên lập thành một cấp số cộng  un  

với số un là số cây ở hàng thứ n và u11 và cơng sai d1. 

Tổng số cây trồng được là: Sn 465   1 465

2

n n

 

930

n n

   

 

30 31

n

n l

 

   



. 

Như vậy số hàng cây trong khu vườn là 30. 

Câu 9. Hùng đang tiết kiệm để mua một cây guitar. Trong tuần đầu tiên, anh ta để dành 42 đơ la, và trong  mỗi tuần tiếp theo, anh ta đã thêm 8 đơ la vào tài khoản tiết kiệm của mình. Cây guitar Hùng cần  mua có giá 400 đơ la. Hỏi vào tuần thứ bao nhiêu thì anh ấy có đủ tiền để mua cây guitar đó? 

A 47.  B 45 C 44.  D 46. 

Lời giải 

Sau tuần đầu, Hùng cần thêm 358 đô la. Như vậy Hùng cần thêm 358 : 844, 75 tuần. 

Vậy đến tuần thứ 46 Hùng đủ tiền. 

Câu 10. Một  công  ti  trách  nhiệm  hữu  hạn thực  hiện việc  trả  lương  cho  các  kĩ  sư  theo  phương  thức  sau: 

Mức lương của q làm việc đầu tiên cho cơng ti là 4,5 triệu đồng/q, và kể từ q làm việc thứ 

hai, mức lương sẽ được tăng thêm 0,3 triệu đồng mỗi q. Hãy tính tổng số tiền lương một kĩ sư 

nhận được sau   năm làm việc cho cơng ti. 

A 83, 7 (triệu đồng).  B 78, 3 (triệu đồng).  C 73,8 (triệu đồng).  D 87, 3 (triệu đồng). 

Lời giải 

Ta có   năm bằng 12 quý. 

Gọi u1,u2, …, u12 là tiền lương kĩ sư đó trong các quý (từ quý 1 đến quý 12).  Suy ra  un  là cấp số cộng với công sai 4, 5. 

Vậy số tiền lương kĩ sư nhận được là 

 

1 12

2

2

u n d

S n   122 4,5 11 0, 73,8

2

  