Phân dạng và bài tập chuyên đề bất đẳng thức - bất phương trình của tác giả Nguyễn Bảo Vương.

DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(côsi) ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRI LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT.. Nhận xét: BĐT câu a) là bất đẳng côsi cho bốn số không âm... Loại 2: Kĩ [r]

Chương IV Bài BẤT ĐẲNG THỨC

BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM

TÀI LIỆU LỚP 10

Mục lục

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TOÁN 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍCH CHẤT CƠ BẢN 3

1 Phƣơng pháp giải.

2 Các ví dụ minh họa.

Loại 1: Biến đổi tƣơng đƣơng bất đẳng thức đúng.

Loại 2: Xuất phát từ BĐT ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh

3 Bài tập luyện tập

DẠNG TỐN 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(cơsi) ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRI LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT 11

Loại 1: Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức côsi 12

Loại 2: Kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp. 15

Loại 3: Kĩ thuật tham số hóa 21

Loại 4: Kĩ thuật côsi ngƣợc dấu. 23

3 Bài tập luyện tập. 25

DẠNG 3: ĐẶT ẨN PHỤ TRONG BẤT ĐẲNG THỨC 39

DẠNG 4: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ 48

C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP 57

TỔNG HỢP LẦN 57

BẤT ĐẲNG THỨC

A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1 Định nghĩa :

Cho a, b hai số thực Các mệnh đề "ab", "ab", "ab", "ab" đƣợc gọi bất đẳng thức

Chứng minh bất đảng thức chứng minh bất đẳng thức đúng(mệnh đề đúng)

Với A, B mệnh đề biến " AB" mệnh đề chứa biến Chứng minh bất đẳng thức AB (với điều kiện đó) nghĩa chứng minh mệnh đề chứa biến " AB" với tất giá trị biến(thỏa mãn điều kiện đó) Khi nói ta có bất đẳng thức ABmà không nêu điều kiện biến ta hiểu bất đẳng thức xảy với giá trị biến số thực

2 Tính chất :

* ab b c  a c * a    b a c b c

* ab c d    a c b d * Nếu c0 a b acbc Nếu c 0 a b acbc

* a  b a b

* a  b a2b2 *a  b an bn

3 Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối. *   a a a với số thực a * x     a a x a ( Với a0) * x a x a

x a

 

    

 ( Với a0)

4 Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (Bất đẳng thức Cauchy) a) Đối với hai số không âm

Cho a 0, b 0  , ta có a b ab



 Dấu '=' xảy ab Hệ quả :

* Hai số dƣơng có tổng khơng đổi tích lớn hai số * Hai số dƣơng có tích khơng đổi tổng nhỏ hai số

b) Đối với ba số không âm

Cho a 0, b 0, c 0   , ta có a b c 3abc

  

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TOÁN 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍCH CHẤT CƠ BẢN

1 Phƣơng pháp giải.

Để chứng minh bất đẳng thức(BĐT) AB ta sử dụng cách sau:

Ta chứng minh A B 0  Để chứng minh ta thƣờng sử dụng đẳng thức để phân tích A B thành tổng tích biểu thức không âm

Xuất phát từ BĐT đúng, biến đổi tƣơng đƣơng BĐT cần chứng minh 2 Các ví dụ minh họa.

Loại 1: Biến đổi tƣơng đƣơng bất đẳng thức đúng.

Ví dụ : Cho hai số thực a, b,c Chứng minh bất đẳng thức sau a)

2

a b ab

2



 b)

2

a b ab

2   

  

 

c) a 2b2c2a b c  2 d) a b c  23 ab bc ca    Lời giải

a) Ta có a2b22ab (a b)  2 0 a2b22ab Đẳng thức a b b) Bất đẳng thức tƣơng đƣơng với

2

a b

ab

    

 

 

 2

2

a 2ab b 4ab a b

       (đúng) ĐPCM Đẳng thức xảy ra a b

c) BĐT tƣơng đƣơng 3 a 2b2c2a2b2c22ab 2bc 2ca 

  2  2 2

a b b c c a

       (đúng) ĐPCM Đẳng thức xảy ra  a b c

d) BĐT tƣơng đƣơng a2b2c22ab 2bc 2ca  3 ab bc ca     2 2  

2 a b c ab bc ca

         2  2 2

a b b c c a

       (đúng) ĐPCM Đẳng thức xảy ra  a b c

Nhận xét: Các BĐT đƣợc vận dụng nhiều, đƣợc xem nhƣ "bổ đề" chứng minh bất đẳng thức khác

Ví dụ : Cho năm số thực a, b,c,d,e Chứng minh

2 2 2

a b c d e a(b c d e)   Lời giải

Ta có : a2b2c2d2e2a(b c d e)   

2 2

2 2

a a a a

( ab b ) ( ac c ) ( ad d ) ( ae e )

4 4

2 2

a a a a

( b) ( c) ( d) ( e)

2 2

          đpcm Đẳng thức xảy b c d e a

2

    

Ví dụ : Cho ab 1 Chứng minh :

2

1

1 ab a 1 b 1  Lời giải

Ta có

2 2

1 1

( ) ( )

1 ab ab ab

a 1 b 1   a 1   b 1 

2 2

2 2 2

ab a ab b a b b a a b b a a b b a

( )

1 ab ab

(a 1)(1 ab) (b 1)(1 ab) b a (1 b )(1 a )

      

    

 

       

2

2 2

a b (a b)(ab 1) (a b) (ab 1) ab (1 b )(1 a ) (1 ab)(1 b )(1 a )

    

  

      (Do ab 1)

Nhận xét : Nếu   1 b BĐT có chiều ngƣợc lại : 21 21 ab a 1 b 1  Ví dụ 4: Cho số thực x Chứng minh

a) x4 3 4x b) x4 5 x24x c) x12x4 1 x9x Lời giải

a) Bất đẳng thức tƣơng đƣơng với x44x 0    3 2   2 2 

x x x x x x 2x

          

  2 2

x  x 1

     

  (đúng với số thực x )

Đẳng thức xảy x 1

b) Bất đẳng thức tƣơng đƣơng với x4x24x 0 

 2  2

4 2

x 2x x 4x x x

           

Ta có x2120, x 2  2 0 x212x 2 20 Đẳng thức xảy

2

x

x

    

 

 (không xảy ra) Suy x212x 2 2 0 ĐPCM

c) Bất đẳng thức tƣơng đƣơng với x12x9x4  x

+ Với x 1 : Ta có x12x9x4  x x12x x4  5 1 x Vì x 1 nên x 0, x   50 x12x9x4  x 0

Vậy ta có x12x4 1 x9x.

Ví dụ 5: Cho a, b,c số thực Chứng minh a) a4b44ab 0 

b) a 4 1 b2122 ab 1  2

c) a 2b2ab 4 2 a b 2 1 b a21 Lời giải

a) BĐT tƣơng đƣơng với a4b42a b2 2  2a b2 24ab 2 0  2 22  2

a b ab

     (đúng) Đẳng thức xảy a  b

b) BĐT tƣơng đƣơng với 2 a 4 1 b42b2 1 2 a b2 22ab 1  0 a4 b4 2a b2 2 2a2 4ab 2b2 a4 4a2 1 0

         

2 2 2

(a b ) 2(a b) (a 1)

       (đúng) Đẳng thức xảy a  b

c) BĐT tƣơng đƣơng với 6 a 2b22ab a b   2 1 b a210

     

2 2 2 2

a 4a b b b 4b a a a 2ab b

   

               

  2 2  

2 2

a b b a a b

         (đúng) Đẳng thức khơng xảy

Ví dụ 6: Cho hai số thực x, y thỏa mãn xy Chứng minh rằng; a) 4 x 3y3x y 3

b) x33x 4 y33y Lời giải

a) Bất đẳng thức tƣơng đƣơng x y x   2xy y 2x y 30    2 2  2   2 2

x y x xy y x y  x y 3x 3xy y 

             

 

  y 3y2

3 x y x

2

  

 

      

  

 

(đúng với xy) ĐPCM Đẳng thức xảy xy

Theo câu a) ta có x3 y3 1x y3

4

   , ta cần chứng minh  3

1

x y 3x 3y

4     (*), Thật vậy, BĐT (*) x y 312 x y  16 0

   2  

x y  x y x y 8

        

 

  2 

x y x y

      (đúng vớixy ) Đẳng thức xảy không xảy

Loại 2: Xuất phát từ BĐT ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh

Đối với loại thƣờng cho lời giải không đƣợc tự nhiên ta thƣờng sử dụng biến có ràng buộc đặc biệt * Chú ý hai mệnh đề sau thƣờng dùng

  

a α;β  a α a β  0  *

          a, b,c α;β  a α b α c α    β a β b β c   0 * *

Ví dụ : Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh :a2b2c22(ab bc ca)  Lời giải

Vì a,b,c độ dài ba cạnh tam giác nên ta có :

2

a b c  ac bc c Tƣơng tự

2

bc ba b ; ca cb c  cộng ba BĐT lại với ta có đpcm

Nhận xét : * Ở toán ta xuất phát từ BĐT tính chất độ dài ba cạnh tam giác Sau cần xuất bình phƣơng nên ta nhân hai vế BĐT với c

Ngoài xuất phát từ BĐT |a b| c  bình phƣơng hai vế ta có đƣợc kết Ví dụ : Cho a, b,c [0;1] Chứng minh : a2b2c2 1 a b b c c a2   Lời giải

Cách 1: Vì a, b,c [0;1]  (1 a )(1 b )(1 c ) 02   

2 2 2 2 2 2

1 a b b c c a a b c a b c

        (*)

Ta có : a b c2 20; a b2 2b c2 2c a2 2a b b c c a2   nên từ (*) ta suy

2 2 2 2 2 2

a b c  1 a b b c c a  1 a b b c c a  đpcm

Cách 2: BĐT cần chứng minh tƣơng đƣơng với a b2  b c2   c a2  1 Mà a, b,c 0;1 a2a, b2b,c2c do

           

2 2

Thật vậy: a, b,c 0;1 nên theo nhận xét  * * ta có    

abc 1 a b c  0  a b c  ab bc ca  1  a b   b c  c a 1 BĐT ban đầu đƣợc chứng minh

Ví dụ : Cho số thực a,b,c thỏa mãn : a2b2c21 Chứng minh :2(1 a b c ab bc ca) abc 0        Lời giải

Vì a2b2c2 1 a, b,c [ 1;1]  nên ta có :

(1 a)(1 b)(1 c) 0        1 a b c ab bc ca abc 0    (*) Mặt khác :

2

(1 a b c)

0 a b c ab bc ca

2

           

(**)

Cộng (*) (**) ta có đpcm

Ví dụ 10: Chứng minh a4, b 5,c 6  a2b2c290 a b c 16  

Lời giải

Từ giả thiết ta suy a 9, b 8,c 7   áp dụng  * ta có

a a 9   0, b b 8    0, c c 7    0 nhân cộng BĐT chiều lại ta đƣợc:

2 2

a b c 13(a b c) 118 0    suy  2 

1

a b c a b c 118 16 13

       a2b2c290

vậy a b c 16   dấu “=” xảy a4, b5,c 7

Ví dụ 11: Cho ba số a, b, c thuộc  1;1 không đồng thời không Chứng minh

4 2012

2 2012 2012

a b b c b

3 a

c a c

 



  

Lời giải

Vì ba số a, b, c thuộc  1;1 nên a , b ,c 2 21 Suy ra(1 b )(1 b  2a ) 04  a4b4a b4 21 (*)

Mặt khác a4a2012, b4b2012 với a, b thuộc  1;1 Suy a4b4a b4 2a2012b2012a b4 (**)

Từ (*) (**) ta có a2012b2012 a4b21 hay

2012 2012 20

4

12 2012

b a

b

c

1

a  c

  

Tƣơng tự ta có

2012 2012 20

4

12 2012

b c a

b 1 a c    



2012 2012 20

4

12 2012

c a b

b 1 a c      Cộng vế với ta đƣợc

4 2012 2012 2012 2012 201 20

2

1

2

a b b c a c

3

a c

c a b

b          Hay

4 2012

2 2012 2012

a b b c b a c a c     

 ĐPCM 3 Bài tập luyện tập

Bài 4.0. Cho số thực a, b, c số thực Khẳng định sau a)

A. a b c  2 ab bc ca  B. 2a 2b 2c   ab bc ca C. a b c  3 ab bc  ca D. a b c   ab bc ca b)

A. a2b2 1 ab 3a 2b  B. a2b2 1 ab a b 

C. a2b2 1 2ab a b  D. a2 b2 ab 1a b

2

    

c)

A. a2 b2 c2 2(a b c)

      B. a2b2c2 3 2(a b c) 

C. 2a22b22c2 3 2(a b c)  D. 1a2 1b2 1c2 2(a b c)

2 2 2    

d)

A. a2b2c23(ab bc ca)  B. a2 b2 c2 2(ab bc ca)

    

C. a2b2c2 2(ab bc ca)  D. a2b2c22(ab bc ca) 

Bài làm:

Bài 4.0: a) BĐT      

2 2

a b b c c a

      

b) BĐT(a b) 2 (a 1)2(b 1) 20

c) BĐT (a 1) 2(b 1) 2 (c 1)20

d) BĐT(a b c)  20

Bài 4.1: Cho a, b,c,d số dƣơng Khẳng định sau nhất? a)

A. a a c b b c

 

 với

a

b B.

a a c b b c

 

 với a

C. a a c b b c

 

 với a

1

b D.

a a c b b c

 

 với

a b

b)

A. a b c

a b b c c a  B.

a b c

2 a b b c c a 

C. a b c

a b b c c a  D.

a b c

4 a b b c c a 

c)

A.1 a b c d

a b c b c d c d a d a b

    

       

B. a b c d

a b c b c d c d a d a b

    

       

C.1 a b c d

a b c b c d c d a d a b

    

       

D.1 a b c d

a b c b c d c d a d a b

    

       

d)

A. a b b c c d d a

a b c b c d c d a d a b

   

    

       

B. a b b c c d d a

a b c b c d c d a d a b

   

    

       

C. a b b c c d d a

a b c b c d c d a d a b

   

    

       

D. a b b c c d d a

a b c b c d c d a d a b

   

    

       

Bài làm:

Bài 4.1: a) BĐT a – b c 0 

b) Sử dụng câu a), ta đƣợc: a a c a b a b c

 

   ,

b b a

b c a b c

 

   ,

c c b

c a a b c

 

  

Cộng BĐT vế theo vế, ta đƣợc đpcm

c) Sử dụng tính chất phân số, ta có: a a a a b c d   a b c  a c Tƣơng tựta có b b b

a b c d   b c d  b d ,

c c c

a b c d   c d a  a c ;

d d d

d) Chứng minh tƣơng tự câu c) Ta có: a b a b a b d a b c d a b c a b c d

   

 

       

Cùng với BĐT tƣơng tự, ta suy đpcm Bài tập tự luận

Bài 4.2: Chứng minh bất đẳng thức sau

a) (ax by)(bx ay) (a b) xy    ( vớia, b 0; x, y R  ) b)

2 2

c a c b

c a c b

  

  với a b 0; c ab c) a b c b

2a b 2c b

   

  với a, b,c0

1

a c b

d) a(b c) 2b(c a) 2c(a b) 2a3b3c3 với a, b,c ba cạnh tam giác Bài làm:

Bài 4.2: a) BĐTabx2a2b xy aby2  2a b xy 2

 2

ab x y

   (đúng)

b) Bình phƣơng vế, ta phải chứng minh:(c a)2 22 (c b)2 22

c a c b

  

 

2

(a b)(c ab)

    Điều hiển nhiên giải thiết c) Ta có 1 a a c, c

a    c b b 2c b 2 2a

BĐT

a c a c

1 1

b b 4 2c 2a 4

a c a c

2 1 1

b b c a

     

     

     

 

2

2

3c 3a a c

4 a c

2a 2c 2 ac



          (đúng)

d) BĐT  (a b c)(b c a)(c a b) 0     (đúng) Bài 4.3: Cho x  y z Chứng minh rằng: a) xy3yz3zx3xz3zy3yx3

b)

2 2 2

x y y z z x x z y x z y z  x  y  y  z  x

Bài làm:

Bài 4.3: a) BĐT  x y xy3  3x z y z xz3   3yz30 (x y)(y z)(z x)(x y z)

       (đúng vìx  y z 0) b) BĐT (x y)(y z)(x z)(xy yz zx)

xyz

1 1

1 1 1

a b c d a c b d

 

  

 

Bài làm: Bài 4.4: Ta có:

  

1 1 1

1 1 1 a b c d a b c d

a b c d a c b d ab cd a c b d

    

    

  

   

      

     

a c b d ab c d cd a b a c b d

ab cd

a b c d a b c d a b c d a b c d

      

    

         

abc abd acd bcd ab ad bc cd ac ad bc bd a b c d

     

 

     

a b c d abc abd acd bcd  ab ad bc cd ac ad bc bd 

             

 2 2 2 2 2

2abcd a d b c a d 2abcd b c ad bc

         

Do bất đẳng thức cuối nên bất đẳng thức cần chứng minh

Dấu " " xảy adbc

Bài 4.5: Cho a, b,c 1; 3 thoả mãn điều kiện a b c  6 Giá trị lớn P a 2b2c2

A.14 B.13 C.12 D.11

Bài làm:

Bài 4.5: Vì a, b,c 1; 3 ta có a b c 1       3 a b c    

   

2 ab bc ca a b c 26

         2   2 2 2

a b c a b c 26 a b c

         

Mà a b c  6 suy a2b2c214

DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(côsi) ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRI LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT

1 Phƣơng pháp giải.

Một số ý sử dụng bất đẳng thức côsi:

* Khi áp dụng bđt cơsi số phải số không âm

* BĐT côsi thƣờng đƣợc áp dụng BĐT cần chứng minh có tổng tích * Điều kiện xảy dấu „=‟ số

* Bất đẳng thức cơsi cịn có hình thức khác thƣờng hay sử dụng

Đối với hai số:

2

2 2 (x y) x y

x y 2xy; x y ; xy

2

   

      

 

Đối với ba số:

3 3

a b c a b c

abc , abc

3

     

   

2 Các ví dụ minh họa.

Loại 1: Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức côsi

Ví dụ 1: Cho a, b số dƣơng thỏa mãn a2b22 Chứng minh rằng

a)

2

a b a b

4

b a b a

    

  

   b)     

5 2 2

a b 16ab a b Lời giải

a) Áp dụng BĐT cơsi ta có

2 2

a b a b a b a b

2 2,

b a b a b a b a ab

     

Suy a b a2 b2

b a b a ab

  

  

  

   (1)

Mặt khác ta có a 2b22 a b2 2abab 1 (1) Từ (1) (2) suy

2

a b a b

4

b a b a

    

  

   ĐPCM Đẳng thức xảy a b

b) Ta có a b 5a22ab b 2a33ab23a b b2  3 Áp dụng BĐT cơsi ta có

 

2 2

a 2ab b 2 2ab a b 4 ab

a33ab2  3a b b2  32 a33ab23a b b2  34 ab b  2a21 Suy a22ab b 2a33ab23a b b2  316ab a21 b 21 Do a b 516ab a  21 b 2 ĐPCM.

Đẳng thức xảy a b

Ví dụ 2: Cho a, b,c số dƣơng Chứng minh a) a b c

b c a

   

   

   

   

b) a (1 b ) b (1 c ) c (1 a ) 6abc2       c) (1 a)(1 b)(1 c)    1 3abc3

d) a2 bc b ac c aba3b3c3 Lời giải

a) Áp dụng BĐT cơsi ta có

1 a b c

a , b , c

b b c c a a

Suy a b c a b c

b c a b c a

   

    

   

    ĐPCM

Đẳng thức xảy a b c b) Áp dụng BĐT côsi cho hai số dƣơng ta có

2

1 a 2 a 2a, tƣơng tự ta có 1 b 22b, c 22c

Suy a (1 b ) b (1 c ) c (1 a ) a b b c c a2           Mặt khác, áp dụng BĐT côsi cho ba số dƣơng ta có

2 2 2

a b b c c a  3 a b.b c.c a3abc

Suy a (1 b ) b (1 c ) c (1 a ) 6abc2       ĐPCM Đẳng thức xảy a  b c

c) Ta có (1 a)(1 b)(1 c) 1    ab bc ca      a b c abc Áp dụng BĐT cơsi cho ba số dƣơng ta có

 2

3

ab bc ca  3 ab.bc.ca3 abc a b c  3 abc3

Suy (1 a)(1 b)(1 c) 3      3abc 23 abc abc3   1 3abc3ĐPCM

Đẳng thức xảy a b c d) Áp dụng BĐT côsi cho hai số dƣơng ta có

2 b c 2 a c 2 a b

a bc a , b ac b , c ab c

2 2

        

        

     

Suy

2 2 2 2 2 a b b a a c c a b c c b

a bc b ac c ab

2

    

   (1)

Mặt khác theo BĐT cơsi cho ba số dƣơng ta có

3 3 3 3 3 a a b b b a a a c

a b , b a , a c ,

3 3

     

  

3 3 3 3 3 c c a b b c c c b

c a , b c , c b

3 3

     

  

Suy a b b a a c c a b c c b a2        3b3c3 (2)

Từ (1) (2) suy a2 bc b ac c aba3b3c3 Đẳng thức xảy a b c

Ví dụ 3: Cho a, b,c,d số dƣơng Chứng minh a) a b c d 4abcd

4

   

b) a3 b3 c3 d3 a b b c  16

b c d a

 

     

 

c)

3

a b c 8abc

4 (a b)(b c)(c a) abc

 

 

  

Lời giải

a) Áp dụng BĐT cơsi ta có

a b ab,c d cd    ab cd2 ab cd 2 abcd4 Suy a b c d ab cd 4abcd

4

   

  ĐPCM

Dấu xảy a  b c d b) Áp dụng câu a) ta có

4

3 3 3 3

a b c d a b c d

4

b c d a  b c d a  abcd

Suy   

3 3

a b c d

a b c d ab.2 cd 16

b c d a abcd

        

 

  ĐPCM

Đẳng thức xảy a  b c d c) Áp dụng câu a) ta có

 3

4

3

8 a b c

a b c 8abc a b c 8abc

VT 4

(a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a) 27(a b)(b c)(c a)

3 abc abc

 

 

   

     

          

Nhƣ ta cần chứng minh  

3 a b c

4

27(a b)(b c)(c a)

 



  

 3    

8 a b c 27 a b b c c a

       (*)

Áp dụng BĐT côsi cho ba số ta có

    a b b c c a a b c 3 a b b c c a

3 27

        

     

 

Suy BĐT (*) nên BĐT ban đầu ĐPCM Đẳng thức xảy a b c

Nhận xét: BĐT câu a) bất đẳng côsi cho bốn số không âm Ta có BĐT cơsi cho n số khơng âm nhƣ sau: Cho n số không âm a , i 1,2, ,ni 

Khi ta có n n

1 n

a a a

a a a n

  



Ví dụ 4: Cho a, b,c số dƣơng thỏa mãn a2b2c23 Chứng minh a) a b b c c a2   3

b)

2 2

ab bc ca

4 c 3 a 3 b 

Lời giải

Áp dụng BĐT cơsi ta có a4b42a b , b2 4c42b c , c2 4a42c a2 Cộng vế với vế lại ta đƣợc a4b4c4a b2 2b c2 2c a2 (2)

Từ (1) (2) ta có a b2 2b c2 2c a2 23 (3) Áp dụng BĐT cơsi ta có

2 2 2 2

a a b 2 a a b 2a b, tƣơng tự ta có b2b c2 22b c, c2 2c a2 22c a2 Cộng vế với vế ta đƣợc a2b2c2a b2 2b c2 2c a2 22 a b b c c   2a (4) Từ giả thiết (3), (4) suy a b b c c a2   3 ĐPCM

Đẳng thức xảy a  b c b) Áp dụng BĐT cơsi ta có

        

2 2 2 2

3 a   3 b c  b  3 c 2 b c

  

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

bc bc b c b c b c

2 4

3 a 2 3 b 3 c c b c b b a c a

   

         

            

Tƣơng tự ta có

2 2

2 2 2 2 2

ab a b ca c a

,

4

3 c a c b c b c b a b

   

       

         

Cộng vế với vế ta đƣợc

2 2

ab bc ca

4

3 c 3 a 3 b  ĐPCM Đẳng thức xảy a  b c

Loại 2: Kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp

 Để chứng minh BĐT ta thƣờng phải biến đổi (nhân chia, thêm, bớt biểu thức) để tạo biểu thức giản ƣớc đƣợc sau áp dụng BĐT côsi

 Khi gặp BĐT có dạng x y z a b c     (hoặc xyz abc ), ta thƣờng chứng minh x y 2a(hoặcab x 2), xây dựng BĐT tƣơng tự cộng(hoặc nhân) vế với vế ta suy điều phải chứng minh

 Khi tách áp dụng BĐT côsi ta dựa vào việc đảm bảo dấu xảy ra(thƣờng dấu xảy biến biên)

Ví dụ 5: Cho a, b,c số dƣơng Chứng minh rằng: a) ab bc ac a b c

c  a  b    b) 2

a b c 1 a b c b c a    Lời giải

a) Áp dụng BĐT cơsi ta có ab bc ab bc 2b

c  a  c a 

Tƣơng tự ta có bc ac 2c, ac ba 2a

a  b  b  c 

Cộng vế với vế BĐT ta đƣợc

 

ab bc ac ab bc ac

2 a b c a b c

c a b c a b

 

          

 

Đẳng thức xảy a b c

b) Áp dụng BĐT cơsi ta có a2 a 12

a a b

b   b 

Tƣơng tự ta có b2 2, c2

b c c a

c   a   Cộng vế với vế BĐT ta đƣợc

2 2 2

a b c 1 2 a b c 1

a b c a b c a b c

b c a       b c a    ĐPCM Đẳng thức xảy a b c

Ví dụ 6: Cho a, b,c dƣơng cho a2b2c23 Chứng minh a)

3 3 3

a b b c c a

3abc

c  a  b 

b) ab bc ca c  a  b 

Lời giải

a) Áp dụng BĐT cơsi ta có

3 3 3 3 3

a b b c a b b c

2 2b ac

c  a  c a 

Tƣơng tự ta có b c3 c a3 3 c a3 a b3 3

2abc , 2a bc

a  b  b  c 

Cộng vế với vế ta có  

3 3 3

2 2

a b b c c a

2 2abc a b c

c a b

 

    

 

 

3 3 3

a b b c c a

3abc

c a b

    ĐPCM Đẳng thức xảy a  b c b) BĐT tƣơng đƣơng với

2

ab bc ca

c a b

 

  

 

 

 

2 2 2

2 2

ab bc ca ab bc ca

2 a b c

c a b c a b

           

                

           

Áp dụng BĐT cơsi ta có

2 2

2

ab bc ab bc

2 2b

c a c a

         

       

       

Tƣơng tự ta có

2 2

2

bc ca ca ab

2c , 2a

a b b c

         

       

       

Cộng vế với vế rút gọn ta đƣợc

2 2

ab bc ca

3

c a b

     

  

     

      ĐPCM Đẳng thức xảy a  b c

a) a b b c c a        a b c      b) 3 2a 2b 2c     abc

Lời giải

a) Áp dụng BĐT cơsi ta có

   a b b c 3 a2 a b b c

2

     

    

 

Tƣơng tự ta có          

2

3 c a

b c c a , c a a b

4

 

     

Nhân vế với vế lại ta đƣợc a b b c c a     264 a b c      2 Suy a b b c c a        a b c      ĐPCM

Đẳng thức xảy a  b c

b) * TH1: Với 3 2a 2b 2c     0: BĐT hiển nhiên * TH2: Với 3 2a 2b 2c     0:

+ Nếu ba số 3 2a , 2b , 2c        dƣơng Áp dụng BĐT cơsi ta có 3 2a 2b  3 2a 3 2b c2

2

    

    

  , tƣơng tự ta có 3 2b 2c   a , 2c 2a2     b2

Nhân vế với vế ta đƣợc 3 2a 2b 2c     2a b c2 2

 

Hay 3 2a 2b 2c     abc

+ Nếu hai ba số3 2a , 2b , 2c        âm số dƣơng Khơng tính tổng quát giả sử 2a 0, 2b 0    suy racó 2a 2b 0    c 0(không xảy ra)

Vậy BĐT đƣợc chứng minh Đẳng thức xảy    a b c

Ví dụ 8: Cho a, b,c số dƣơng Chứng minh

2 2

a b c a b c

b c c a a b

 

  

  

Lời giải

Áp dụng BĐT Côsi cho hai số thực dƣơng ta có :

2

a b c a b c

2 a

b c b c

 

  

 

Tƣơng tự ta có

2

b c a c a b

b; c

c a a b

 

   

 

2 2

a b c a b c

a b c

b c c a a b

 

     

  

2 2

a b c a b c

b c c a a b

 

   

  

Đẳng thức xảy   a b c Lưu ý :Việc ta ghép

2

a b c

b c

 

 đánh giá nhƣ lí sau:

Thứ ta cần làm mẫu số đại lƣợng vế trái (vì vế phải khơng có phân số), chẳng hạn đại lƣợng

2

a b c ta áp dụng BĐT cơsi cho đại lƣợng với đại lƣợng chứa b c

Thứ hai ta cần lƣu ý tới điều kiện xảy đẳng thức BĐT côsi hai số Ta dự đốn dấu xảy

khi a b c

2

a a

b c 2 b c 2a ta ghép nhƣ

Ví dụ 9: Cho a, b,c số dƣơng thỏa mãn a b c  3 Chứng minh rằng: a) a b c

2 b c a

  

  

b)

3 3

a b c

b 3  c 3  a 3 2 Lời giải

a) Đặt P a b c

b c a

  

  

Áp dụng BĐT cơsi ta có

  3  

2a b 2a b

a a a a 2a

3

4

b b b b

 

   

   

Tƣơng tự ta có

   

2b c 2c a

b b 2b c c 2c

,

4

c c a a

 

     

   

Cộng vế với vế ba BĐT ta đƣợc

   

2

2P ab bc ca a b c a b c

4

        

 

15 2

P ab bc ca

8

     (vì a b c  3)

Mặt khác ta có a b c  23 ab bc ca    (theo ví dụ 1) Do ab bc ca  3

Suy P 15 2.3

8

b) Đặt Q a3 b3 c3

b c a

  

  

Ta có

     

2 2

a b c

Q

a b b c c a

  

  

Áp dụng BĐT côsi ta có a b 3  2 4a b 3  4a b 3  Suy

 

2

a 4a

4a b a b



 

 , tƣơng tự ta có

   

2 2

b 4b c 4c

,

4b c 4c a

b c c a

 

   

 

Cộng vế với vế lại ta đƣợc

2 2

4a 4b 4c

Q L

4a b 4b c 4c a

   

     

Áp dụng BĐT cơsi ta có

   

2

4a 4a

4a b 4a b a

4a b 16      4a b 16     Tƣơng tự ta có

   

2

4b 4c

4b c b, 4c a c

4b c 16      4c a 16      Cộng vế với vế lại ta đƣợc L a b c  a b c

16 

       

Vì a b c  3 nên L

 suy Q

 ĐPCM

Đẳng thức xảy    a b c

Ví dụ 10: Cho a, b,c số dƣơng thỏa mãn abc 1 Chứng minh  

2 2

1 1

3 a b c

a b c    

Lời giải

Ta có a b 1       b c 1       c a 1     a 1  2 b 1  2 c 1 20

Do khơng tính tổng quát giả sử a b 1     ab a b   2 ab c 1    2 a b c   Do ta cần chứng minh 12 12 12 ab c 1 

a b c      

2 2

1 1

1 ab c a b c

     

Áp dụng BĐT cơsi ta có

2 2

1 2

2c, 2ab

ab c

a b   c    (do abc 1 ) Cộng vế với vế ta đƣợc  

2 2

1 1

1 ab c

Ví dụ 11: Tìm giá trị nhỏ biểu thức a)  

2

x f(x)

x

 

 với x2 b)  2

1 g(x) 2x

x

 

 với x 1

c) h x  x x

  với x 2 d)  

2

1

k x 2x

x

  với x   Lời giải

a) Ta có

2

x 2x 1

f(x) x 2

x x

 

    

 

Do x2 nên x 0, x

  

 Áp dụng BĐT cơsi ta có  

1

x 2 x

x x

    

 

Suy f x 4

Đẳng thức xảy x x 22 x x

       

 (loại) x3(thỏa mãn) Vậy f x 4 x3

b) Do x 1 nên x 0  Áp dụng BĐT cơsi ta có    

 2 3     2

1

g(x) x x x x

x x

          

 

Đẳng thức xảy

   

3

1

x x 1 x

x

       

 (thỏa mãn)

Vậy ming x 1 x 0 c) Ta có h x  3x x

x 4

 

  

 

Áp dụng BĐT cơsi ta có 3x 3x x  x 

Mặt khác x 2 suy h x  3x x

x 4

 

     

 

Đẳng thức xảy

3 3x

x x

x

  

  

  

Vậy h x 

 x2 d) Ta có k x  x x 12 72

8x 8x

Áp dụng BĐT cơsi ta có

2

1

x x x.x

2

8x 8x

   

Mặt khác x 72

2 8x

    suy k x 

2

  

Đẳng thức xảy x

1

8x x

2

x 

 

  

 



Vậy k x 5 x



Loại 3: Kĩ thuật tham số hóa

Nhiều khơng dự đoán đƣợc dấu xảy ra(để tách ghép cho hợp lí) cần đƣa tham số vào chọn sau cho dấu xảy

Ví dụ 12: Cho a, b,c số dƣơng thỏa mãn a2b2c21 Tìm giá trị lớn A 1 2a 2bc   Phân tích

Rõ ràng ta đánh giá biểu thức A để làm xuất a2b2c2 Trƣớc tiên ta đánh giá a qua a2

2

2 a

a m 2ma 2a m

m

     (với m 0 )

Do b,c bình đẳng nên dự đoán dấu A đạt giá trị nhỏ b c nên ta đánh giá 2bcb2c2 Suy

 

2

2

a

A m 1 b c B

m

 

      

  Tiếp tục ta sử dụng BĐT côsi dƣới dạng

2

x y xy

2   

  

  để xuất

2 2

a b c nên ta tách nhƣ sau

      

2 2 2 2 2 a m m b c

1

B a m m b c

m m

      

 

     

 

 

Suy A m2 m 22 4m

  

Dấu xảy am, b c,a 2m2m b  2c2 a2b2c21 Từ ta có m

3

 Do ta có lời giải nhƣ sau:

Lời giải

Áp dụng BĐT cơsi ta có

2 4 3a

a a 2a

9 3

     2bcb2c2

Suy  

2

2

3a

A b c

2

 

     

 

   

2 2 2

2 2 2

10

a b c

3a 10 9 98

1 b c a b c

2 2 27

     

 

             

 

   

   

   

 

Suy A 98 27

 , đẳng thức xảy

2 2 2

2 a

2

a

b c

10

a b c b c

9 18

a b c

 

 

   

 

 

       

 

    

Vậy max A 98 27

 a

 b c

18

 

Ví dụ 13: Cho a, b,c số dƣơng thỏa mãn 2a 4b 3c  268 Tìm giá trị nhỏ A a 2b2c3 Phân tích

Ta cần đánh giá biểu thức A qua biểu thức 2a 4b 3c  2 Do ta cho thêm vào tham số vào đánh giá

nhƣ sau (m,n,p dƣơng)

2 2

a m 2am, b n 2bn

3

3

c c

4p 3pc    Suy a2b2 c3 m2n24p32am 2bn 3pc  (*) Để 2am 2bn 3pc  2 bội số 2a 4b 3c  thì

3p

2m 2n n

m p

2     2

Mặt khác dấu BĐT (*) xảy am, b n,c 2p Hay am, b2m,c2m2m 2m    3 2m 268

2

12m 10m 68 m

      (nhận) m 17

  (loại)

Suy p 2,n 4 ta có lời giải nhƣ sau Lời giải

Áp dụng bĐT cơsi ta có

2

a  4 4a, b 16 8b

3

2

c c

32 6c    Cộng vế với vế ta đƣợc

2

a b  c 52 4a 8b 6c   , kết hợp với 2a 4b 3c  268 Suy a2b2c384

Đẳng thức xảy a2, b 4,c 4 Vậy A 84  a 2, b 4,c 4

a)

2

x x A

1 x

  

 với x 1

b) B  x2 4x 21   x2 3x 10 với   2 x Lời giải

a) Ta có

  

2

x x

A

1 x x x

  

  

Áp dụng BĐT cơsi cho hai số dƣơng ta có

       2

2 2 x x x x x

1 x x x x x x

2

2 2

     

        

Suy

2

x x

A 2

x x

2  

 

 

Đẳng thức xảy 2 x  x2 x 1 x2 3x 0 x 13

2  

         

Vậy

x

min A 2

 

3 13

x    b) Ta có

2

x 11 x 11

B

(x 3)(7 x) (x 2)(5 x) x 4x 21 x 3x 10

 

 

    

      

Với   2 x x 11 ; x ; x ; x ; x     số không âm nên theo BĐT côsi ta có :

1 (2x 6) (7 x) x 13

(x 3)(7 x) (2x 6)(7 x)

2

2 2

     

       

  (1)

1 (2x 4) (5 x) x

(x 2)(5 x) (2x 4)(5 x)

2

2 2

     

       

  (2) Từ (1) (2) suy (x 3)(7 x) (x 2)(5 x) x 11

2 

      , từ ta có B

Dấu xảy (1) (2) đồng thời xảy dấu x

 

Vậy

2 x

1 B x

3      

Loại 4: Kĩ thuật côsi ngƣợc dấu

Ví dụ 15: Cho a, b,c số thực dƣơng Tìm giá trị lớn

bc ca ab

P

a bc b ca c ab

  

  

Lời giải

Áp dụng BĐT cơsi ta có bc 1 a 1 a

2 a b c

a bc a bc

   

      

 

Tƣơng tự ta có ca 1 b , ab 1 c

2 a b c a b c

b ca c ab

   

       

   

     

Cộng vế với vế BĐT ta đƣợc

1 a b c

P

2 a b c a b c a b c

 

     

     

 

Đẳng thức xảy a b c Vậy minP 1   a b c

Ví dụ 16: Cho a, b,c số thực không âm thỏa mãn a b c  3 Chứng minh a)

2 2

a b c

2 b 1 c 1 a  b)

2 2

3 3

a b c

1 a 2b b 2c c 2a 

Lời giải

a) Áp dụng BĐT cơsi ta có:

 2 2 2

2 2

a b b

a ab ab ab

a a a

2b

1 b b b

 

      

  

Tƣơng tự ta có b 2 b bc

1 c  

c ca

c a   Cộng vế theo vế BĐT ta đƣợc:

2 2

a b c ab bc ca ab bc ca

a b c

2

1 b c a

   

       

  

Mặt khác ta có a b c  23 ab bc ca   ab bc ca  3 Do a 2 b 2 c 2 3

2

1 b 1 c 1 a    ĐPCM Đẳng thức xảy a  b c b) Theo bất đẳng thức Cơsi ta có :

 3 3

2

3 3 6

a a 2b 2ab

a 2ab 2b a

a a

3

a 2b a 2b 3 ab

 

    

 

Tƣơng tự ta có

2 3

3

b 2c b c 2a c

b , c

3

b 2c   c 2a  

Cộng vế theo vế BĐT ta đƣợc:

 

2 2

3 3

3 3

a b c

a b c b a a c c b

3

a 2b b 2c c 2a      

Mặt khác a b c  3 ta cần chứng minh: b a3 2c b3 2a c3 3 Thật vậy, theo bất đẳng thức Cơsi ta có :

 

3 2ab b

b a b a a

3



Tƣơng tự ta có c b3 2bc c, a c3 2ca a

3

 

 

Cộng vế theo vế BĐT ta có:

   

3 3 2ab b 2bc c 2ca a

b a c b a c ab bc ca a b c

3 3 3

  

          

Từ suy ra: b a3 c b3 a c3 2.3 1.3 3

     ĐPCM

Đẳng thức xảy a  b c

Ví dụ 17: Cho a, b,c số thực không âm thỏa mãn a2b2c21 Chứng minh c b a

1 ab ac   1 bc  Lời giải

Đặt P c b a ab ac bc

  

  

Áp dụng BĐT côsi ta có

  ca cb

c abc abc ca cb

c c c c

1 ab ab 2 ab



       

 

Tƣơng tự ta ta có b b ba bc, a a ab ac

1 ac bc

 

   

 

Cộng vế theo vế BĐT ta đƣợc:P a b c ab bc ca

 

   

Mặt khác a2b2c2 1 a b c  2 1 ab bc ca    (*)Hay  

2

a b c ab bc ca

2

  

  

Suy  

2

(a b a b c

P a b c

4

c 1)(3 a b c)

  

            (1)

Từ giả thiết ta có a, b,c [0;1]     3 a b c (2) Và từ (*) suy a b c 1   (3)

Từ (1), (2) (3) suy P 1 ĐPCM

Dấu xảy ba số a, b, c có số hai số lại

3 Bài tập luyện tập.

Bài 4.6: Cho x, y,z dƣơng Chứng minh 32 x2 y3 2 32 z2 12 12 12 x y y z z x x y z Bài làm:

Bài 4.6: Áp dụng BĐT Cơsi cho hai số thực dƣơng ta có:

3

3

2 x x

x y 2xy x

xy x y 2xy x

    

Tƣơng tự: y3 2 ; 32 z2 VT 1

yz zx xy yz zx

y z  z x     

Mặt khác: a2 b2 c2 ab bc ca 1 12 12 12

xy yz zx x y z

          

Vậy :

2 2

1 1

VT

x y z

    đpcm Đẳng thức xảy    x y z

Bài 4.7: Cho số dƣơngx, y, z thỏa mãn xyz 1 Giá trị nhỏ biểu thức

3 3 3

1 x y y z z x

P

xy yz zx

     

  

A.3 B. C. D.

Bài làm:

Bài 4.7: Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:

3 3 x y

1 x y 3xy

xy xy

 

    

Chứng minh tƣơng tự, ta đƣợc:

3

1 y z

yz yz

 

 ,

3

1 z x

zx zx

  

Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta đƣợc:

 

3 3 3

1 x y y z z x 1

3

xy yz zx xy yz zx

 

            

 

 

Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có:  

3

1 1

3

xy yz zx  xyz  Từ (1) (2), ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy x  y z

Bài 4.8: Với số dƣơng a, b, c, d sao cho: a b c d 1 a 1 b c   1 d  Giá trị lớn P abcd

A.

81 B.1 C.2 D.

1 64

Bài làm: Bài 4.8:

   

3

1 a b c d bcd

1

1 a  1 a 1 b c   1 d  b c d   Xây dựng BĐT tƣơng tự nhân vế với vế ta đƣợc abcd

Bài 4.9: Với số dƣơng a, b, c sao cho: a b c 1 b c   1 a  Giá trị nhỏ P b 1 c 1 a

a b c

      

      

   

A.3 B.4 C.6 D.8

Bài làm: Bài 4.9:

  

a b a b c bc

1

1 b b c a c a

 

    

     

Chứng minh tƣơng tự, ta thu đƣợc: 1 b a c b a c   8abc

1 b c a

1 a

a b c

      

      

      

   

Bài 4.10: Cho ba số dƣơng x, y,z thoả mãn hệ thức xyz x y z   1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức Px  y x   z 

A.2 B.4 C.6 D.8

Bài làm:

Bài 4.10: Ta có xyz x y   zyz x 2xyxz Áp dụng BĐT cơsi ta có

   yz x2 xy zx  

P x y x   z     2 yz x xy zx 2 Suy minP 2

Bài 4.11: Cho ba số thực dƣơng a, b,c thỏa mãn ab bc ca 1   Giá trị lớn

2 2

a b c

P

1 a b c

  

  

A.3

2 B.

1

2 C.1 D.2

Bài làm: Bài 4.11: Ta có

  

2

a a a a a

2 a b a c a b a c

1 a ab cb ca a

 

     

 

 

 

   

Tƣơng tự

2

b b b

2 a b b c b

 

   

 

 

 ,

c c c

2 a c b c c

 

   

 

 



Cộng vế với vế bất đẳng thức suy điều phải chứng minh

Bài 4.12: Cho ba số thực dƣơng a, b,c thỏa mãn a b c 1   Giá trị lớn

ab bc ca

P

c ab a bc b ca

  

  

Bài làm:

Bài 4.12: Áp dụng BĐT cơsi ta có

    

ab ab ab ab ab

2 c a c b c ab c a b c ab c a c b

 

     

 

       

Tƣơng tự ta có bc bc bc , ca ca ca

2 a b a c b a b c

a bc b ca

   

       

   

     

Cộng vế với vế BĐT ta đƣợc ab bc ca

c ab a bc b ca

  

  

Bài tập tự luận

Bài 4.13: Cho ba số thực dƣơng a, b,c Chứng minh ab bc ca a b c

 

   

Bài làm:

Bài 4.13: BĐT a b c a b c  ab bc ca

 

    

 

Áp dụng BĐT cơsi ta có    

2

3 a b c a b c

a b c

ab bc ca ab bc ca

   

   

   

Do ta cần chứng minh  

2

3 a b c

2

ab bc ca  



 

 2  

a b c ab bc ca

      (đúng)

Bài 4.14: Cho ba số thực dƣơng a, b,c thỏa mãn abc 1 Giá trị nhỏ

  1    P

a b b c c a

  

  

A.3

2 B.

1

2 C.1 D.4

Bài làm:

Bài 4.14: Ta có 1 abc      1 1 a b b c c a

                        

1 abc abc abc

1 1

a b b c c a

1 a ab abc b bc abc c ca abc

a b b c c a

                                           

1 a  b c  1 b  c b  1 c  a b 

a b a b b c b c c a c a

  

  

     

     

Áp dụng BĐT côsi ta có

1 a  1 b  1 c  33 1 a   b   c

a b b c c a a b b c c a

     

   

     

 

           

b c c b a b b c c b a b

3

a b b c c a a b b c c a

     

   

Suy 1 abc      1 1 a b b c c a

 

     

  

 

  1    32 a b b c c a

   

   ĐPCM

Đẳng thức xảy a  b c

Bài 4.15: Cho ba số thực dƣơng a, b,c thỏa mãn a b c  3 Giá trị nhỏ P a b b c c a

2ab 2bc 2ca

  

  

A.3 B.2 C.4 D.1

Bài làm:

Bài 4.15: Áp dụng BĐT cơsi ta có

3

a b b c c a a b b c c a

3

2ab 2bc 2ca 2ab 2bc 2ca

        

Do ta cần chứng minh a b b c c a 2ab 2bc 2ca

   

(*)

Ta có a b b c c a ab bc ca

2ab 2bc 2ca 2ab 2bc 2ca abc

  

  (1)

Mặt khác a b c   3 abc3 abc 1 (2)

Từ (1) (2) suy (*) Đẳng thức xảy a  b c Bài tập tự luận

Bài 4.16: Cho ba số thực dƣơng a, b,c Chứng minh

3

a b c a b c

1 1

b c a abc

 

     

      

   

     

Bài làm Bài 4.16: Ta có BĐT

3

a b c b c a a b c

2

b c a a b c abc

        

Áp dụng BĐT cơsi ta có

3

a a a a a a 3a

b  c a b c a  abc Tƣơng tự ta có

3

b b b 3b c c c 3c

,

c  a b abc a  b c abc

Cộng vế với vế BĐT ta đƣợc

3

a b c b c a a b c

3

b c a a b c abc

        

Mặt khác theo BĐT cơsi ta có

3

a b c abc  

 Do

3

a b c b c a a b c

2

b c a a b c abc

 

      ĐPCM

Đẳng thức xảy a b c

2a 2b 2c P

2b 2c a 2c 2a b 2a 2b c

  

     

A. P B. P 26 C. P D. P5

Bài làm:

Bài 4.17: Áp dụng BĐT Cơsi ta có:

2a a a

2b 2c a   3a(2b 2c a)  a b c 

Tƣơng tự: 2b b ; 2c c 2c 2a b  a b c  2a 2b c  a b c  Cộng BĐT ta đƣợc:

6(a b c)

P

a b c  

 

  Đẳng thức xảy   a b c Vậy P

Bài tập tự luận

Bài 4.18: Với số dƣơng a, b, c, chứng minh rằng: a) a3b3c3ab2bc2ca2

b)

3 3

a b c

ab bc ca b  c  a    c)

6 6 4 3

a b c a b c

c a b

b c a   

Bài 4.18: a) Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có:

3 3 3 3 3

a b b 3ab , b  c c 3bc , c a a 3ca Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta đƣợc:

 3 3  2 2 3 2

3 a b c ab bc ca

a b c ab bc ca

    

     

Dấu đẳng thức xảy ra  a b c b) Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có:

3

2

a

ab 2a b   ,

3

2

b c

bc 2b , ca 2c c   a  

Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta đƣợc:  

3 3

2 2

a b c

ab bc ca a b c b  c  a       (1) Lại có, a2b2c2ab bc ca  (2)

Từ (1) (2) suy ra:  

3 3

a b c

ab bc ca ab bc ca

b  c  a      

3 3

a b c

ab bc ca

b c a

Dấu đẳng thức xảy a b c c) Áp dụng BĐT côsi

6 6 3

a a b 3a c

b b c  Chứng minh tƣơng tự, ta thu đƣợc:

6 6 4 3

a b c a b c

c a b b c a    Bài 4.19: Với số dƣơnga, b, c thỏa mãn điều kiện ab bc ca 1  

Tìm giá trị nhỏ P a 3b3c3 A.

3

B.

C. 13

D. 12 Bài làm:

Bài 4.19: Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: a3 b3 ab 3

3

  

3 3

b c bc 3, c a ca

3 3

     

Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta đƣợc:

   

 

3 3

3 3 3

1

2 a b c ab bc ca

3

2

2 a b c a b c

3

      

       

Dấu đẳng thức xảy a b c   

Bài 4.20: Với số dƣơnga, b, c thỏa mãn điều kiện a b c   3abc Tìm giá trị nhỏ :

3 3

1 1

P

a b c

  

A.3

8 B

13

8 C

23

8 D.2

Bài làm:

Bài 4.20: Ta có: a b c  3abc 1 ab bc ca

      

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

3

1 1 ab a b  

3 3

1 1 1 1

,

8 bc ca b c   c a  

Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta đƣợc:

3 3 3

1 1 3 1 1

2

8 ab bc ca 8

a b c a b c

   

          

   

   

Bài tập tự luận

Bài 4.21: Với số dƣơng a, b, c Chứng minh rằng: a)

       

3 3

a b c

a b c

b b c c c a a a b    b)

       

3 3

2 2

a b c

a b c

b 2c c 2a a 2b

    

  

Bài làm

Bài 4.21: a) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

   

3

3

a b b c a b b c

3 a

2 4

b b c b b c

 

   

 

Tƣơng tự, ta có:

   

3

b c c a c a a b

b, c

2 2

c c a a a b

 

     

 

Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta đƣợc:

       

       

3 3

3 3

a b c

a b c a b c

2

b b c c c a a a b

a b c

a b c

b b c c c a a a b

       

  

     

  

Dấu đẳng thức xảy a b c b) Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có:

   

3

3

2

a b 2c b 2c a b 2c b 2c a

3

27 27 27 27

b 2c b c

   

   

 

Tƣơng tự, ta có:

 

3

b c 2a c 2a b

27 27

c 2a       ,  

c a 2b a 2b c

27 27

a 2b

 

  



Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta đƣợc:

           

 

3 3

2 2

3 3

2 2

a b c a b c a b c

9

b 2c c 2a a 2b

2 a b c

a b c

9

b 2c c 2a a 2b

                   

Dấu đẳng thức xảy a b c

3

3 3

x   1 x 1.13xx  2 3x.Tƣơng tự : y3 2 3y; z3 2 3y

Cộng ba BĐT lại với ta đƣợc : x3y3z3 6 3(x y z)  Mặt khác : x y z xyz    3 2(x y z) 6  

3 3 3

x y z (x y z) 2(x y z) x y z x y z

                đpcm

Đẳng thức xảy    x y z

Bài 4.23: Cho a, b,c dƣơng a b c 1   Chứng minh rằng: 9(a4 b4 c )4  a2 b2c2 Bài làm

Bài 4.23: Áp dụng BĐT Cơsi ta có:

4 2

a a

81

  ; b4 b2

81

  ; c4 b2

81

  cộng ba BĐT lại với

2 2 2 4 a b c a b c

a b c

27 9

   

     

Mặt khác: a2 b2 c2 1(a b c)2

3

      9(a4 b4c )4  a2b2c2 đpcm.

Đẳng thức xảy a b c

   

Bài 4.24: Cho x, y,z dƣơng thỏa mãn x y z 1   Tìm giá trị nhỏ của:P (1 1)4 (1 1)4 (1 1)4

x y z

     

A.768 B.244 C.453 D.489

Bài làm:

Bài 4.24: Đặt a 1; b 1; c 1 a b c 12

x y z

         

Ta có : a44444444 a4 12 4 a4 a43.444 a.4 Tƣơng tự

4 4 4

b 3.4 4 b; c 3.4 4 c cộng ba BĐT lại với ta đƣợc

4 4 4 4 4

a b c 9.4 4 (a b c) 12.4   a b c 3.4 768 đpcm Đẳng thức xảy a b c x y z

3

       

Bài 4.25: Choa, b dƣơng thỏa mãn a b 1  Tìm giá trị nhỏ của: a)

2

1

P

ab a b

 



A.6 B.8 C.9 D.1

b)

2

1

P 4ab

ab a b

  



c) 2

2

1

P a b

b a            A.289 16 B 29 16 C 28 16 D 289 26 Bài làm:

Bài 4.25: a) Áp dụng BĐT cơsi ta có

     

2 2 2 2

1 1 1 1

2

ab a b 2ab 2ab a b 2ab 2ab a b a b a b

 

        

       b) Áp dụng BĐT côsi ta có

2 2

1 1

A 4ab 4ab

ab 2ab 4ab 4ab

a b a b

   

        

     

  2 2

4

A 4ab 11

4ab a b a b

      

 

c) Ta có

2 2 2

2

2 2

1 a b a b 1

a b ab

ab

b a b a

         

    

    

Ta có: ab ab 15

ab 16ab 16ab

 

   

  (1)

Áp dụng BĐT Cơsi ta có: ab ab 1

16ab 16ab

   (2)

mà a b ab

2



  nên ab



ab

  (3)

Từ (1) (2) (3) ab 1 15.4 17

ab 16

    

2 2

2

1 17 289

a b 16 b a                  

Bài 4.26: Cho hai số thực dƣơng a, b Chứng minh

2 3 1

a b b a 2a 2b

4 2

     

      

     

     

Bài làm

Bài 4.26: Áp dụng BĐT cơsi ta có a2 a a2 b a b

4

       

2

b b b a a b

4

       

Suy

2

2 3

a b b a a b

4

          

    

     (1)

Theo BĐT cơsi ta lại có

2

1 2a 2b 1

2a 2b a b

2 2

        

     

      

       (2)

Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh

1 P

xyz (x y)(y z)(z x)

 

  

A.3

2 B.1 C.2 D.

1 Bài làm:

Bài 4.27: Trƣớc tiên, ta dễ dàng có xyz 1 Áp dụng cơsi ta có

xyz (x y)(y z)(z x)   

1

2xyz 2xyz (x y)(y z)(z x)

 

   

  

 

1 2

2xyz xyz(x y)(y z)(z x)

 

  

   

1 2

2xyz xy xz yz yx zx zy

 

  

3

1 2

2 xy xz yz yx zx zy

3

  

      

 

 

Bài 4.28: Cho x, y,z dƣơng thỏa mãn x y z  3 Chứng minh  

3

3

3 3

y

x z

xy yz zx 27

y 8z 8x 8    Bài làm

Bài 4.28: Ta có    

2 2

3

3

y 2y

y 9x y y

x x x

27 27 27

y y

 

   

    

 

Tƣơng tự ta có

3

3

y 9y z z z 9z x x

,

27 27

z x

     

 

  nên

   2 2  2 2 10 x y z x y z 18 12 x y z VT

27 27

        

  mà ta lại có

 2 2 2  2  2 2 2  

12 x y z x y z x y z 1 2

xy yz zx

27 27 27

        

    

Từ suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy x  y z

Bài 4.29: Cho a, b,c dƣơng Chứng minh

 

2 2

2 2 2

a b c

a b c

3a 8b 14ab 3b 8c 14bc 3c 8a 14ca

    

     

Bài làm

Bài 4.29: Áp dụng BĐT cơsi ta có 3a2 8b2 14ab a 4b 3a 2b  14a 6b 2a 3b

2 2

a a

2a 3b 3a 8b 14ab

 



 

Mặt khác

2

a 2a 3b 2a a 8a 3b

2a 3b 25 2a 3b 25

 

   

 

Do

2

a 8a 3b

25 3a 8b 14ab

 

 

Tƣơng tự ta có 2

2 2

b 8b 3c c 8c 3a

,

25 25

3b 8c 14bc 3c 8a 14ca

 

 

   

Cộng vế với vế BĐT ta đƣợc điều phải chứng minh Bài 4.30: Cho ba số thực dƣơng x, y,z Tìm giá trị nhỏ

16y

16x 16z

P 1

y z z x x y

     

  

A.9 B.3 C.6 D.12

Bài làm:

Bài 4.30: Áp dụng bất đẳng thức BĐT cơsi ta có 2(8x 5y 5z)

16x 16x

6 1

y z y z y z

   

    

    

Suy 16x 8x 5y 5z(*)

y z 3(y z)

 

 

  Sử dụng (*), ta có

16x 16x

y z y z

16x 16x 6x

1 1 1 1

8x 5y 5z

y z y z 16x 1 x y z

1 3(y z)

y z

   

          

 

      

  



Tƣơng tự, ta có

16y 6y 16z 6z

1 1, 1

z x x y z x y x y z

     

     

Từ suy điều phải chứng minh

Bài 4.31: Cho a, b,c số dƣơng thỏa mãn abc 1 Chứng minh a2 1 b2 1 c2 1 a b c    Bài làm

Bài 4.31: Ta có a2 1 a 1 22a  a 1  2a a 1   2a

    

1

2 a 2a 2 a 2a

2

      

Áp dụng BĐT cơsi ta có         2 a 2a 2 a 2a

1

a a a

2

      

    

Tƣơng tự ta có b2 1 2 b  b , c  2 1 2 c  c 1 

 

2 2

a  1 b  1 c  1 a b c   a b c 3 (1) Mặt khác theo BĐT cơsi ta có a b c33 abc1 (2) Từ (1) (2) suy a2 1 b2 1 c2 1 a b c    Bài 4.32: Cho a, b,c số dƣơng Chứng minh

a)  

2

a b c 1

a b c

b c a a b c

                   b)      

3 3

3 3

3 3

a b c

1

a b c b c a c a b

  

     

Bài làm Bài 4.32: a) BĐT

2 2 2

a b c a b c a b b c a c

2( )

c a b b a c b c a

b c a

            

2 2 2

a b c a b c a b b

3

c a b b a c

b c a

         

Áp dụng BDT côsi ta có có :

2 2 2

2 2 2

a 2a b 2b a 2a b 2b c 2c

1 ; ; ; ;

b c b c a

b   c   b   c   a  

Mặt khác a b b a b c b     a c c a b Cộng vế BĐT lại ta có ĐPCM

b) Ta có

  3 3 a 1 x

a b c

 

  với

b c x

a

 

Áp dụng BĐT cơsi ta có

 

2

3 2 2 2

1 2 2a

1 x 1 x x x 1 x b c b c 2a

1 a                   

Mặt khác ta có    

 

2

2 2 2

2 2 2

2a a

b c b c

a b c

b c 2a

    

 

 

Do ta có

 

3

3 2

a a

a b c

a b c



 

 

Tƣơng tự ta có

   

3

3 2 2

3

b b c c

,

a b c a b c

b c a c a b

 

   

   

Cộng vế với vế BĐT ta đƣợc điều phải chứng minh

A.2 B.3 C.4 D.6 Bài làm:

Bài 4.33: Khơng tính tổng qt giả sử (1 x)(1 y) 0     x y xy 1 Suy z(x y xy) z   xy yz zx xyz xy z    

Mặt khác, theo BĐT côsi ta có

3 3

3

3 3

3 x y z 1

xy x y ; z z 1.1

3

   

   

Suy

3 3

x y z

xy z

3

  

   ĐPCM

Bài 4.34: Chox, y,z dƣơng thỏa mãn

2 2 3x

y yz z

    Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P   x y z

A. B.2 C.1 D.

Bài làm: Bài 4.34:

2 2 3x

y yz z

   

2 2 2 2

1 1 1

( x y ) ( x z ) yz (x y z )

2 2 2

        

Ta có 1x2 1y2 xy, 1x2 1z2

2 2  2 yz

Suy 1(x y z)2 1 P 2

2     

Bài 4.40: Cho x, y,z dƣơng thỏa mãn xy yz zx1 Tìm giá trị nhỏ của:

2 y

x z

T

x y y z z x

  

  

A. T

 B. T

12

 C. T

22

 D. T

32



Bài làm:

Bài 4.40: Ta có:  

2 x x y xy xy xy

x

x x

x y x y x y

 

    

  

Chứng minh tƣơng tự:

2 yz

y y

y z   ;

2

z zx

z z x  

Suy ra: T x y z xy yz zx x y z 1 1

2 2

 

          

(vì x y z   xy yz zx1) Vậy T

2



3 x y  z

Bài 4.41: Cho x, y,z dƣơng thỏa mãn x y z  3.Tìm giá trị nhỏ

2

2

2 2

y

x z

A

x y y z z x

  

A. minA 22

 B. minA 1 C. minA3 D. minA

2  Bài làm:

Bài 4.41: Theo BĐT cơsi ta có

 

2 2 2

xy yz zx

A x y z xy yz zx

2

x y y z z x

 

         

  

 

Lại có xy yz zx 1[(x 1)y (y 1)z (z 1)x] 1(x y z xy yz zx)

2

              1(3 1(x y z) )2 3

2

    

3 A

2

  Đẳng thức xảy x  y z

Vậy minA 

DẠNG 3: ĐẶT ẨN PHỤ TRONG BẤT ĐẲNG THỨC

1 Phƣơng pháp giải.

Điều quan trọng kĩ thuật phát ẩn phụ (ẩn phụ

     

x f a, b,c , y g a, b,c , z  h a, b,c ẩn phụ tf a; b; c ) Ẩn phụ có biểu thức bất đẳng qua số phép biến đổi, đánh giá

2 Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Cho số dƣơng a, b,c

a) Chứng minh a b 6b 8c 3a 2b c a b c 2a b b c

   

  

   

b) Tìm giá trị nhỏ P a b b c c a a b c b c 4a c a 16b

  

  

     

Lời giải

a) Đặt x a b c, y   2a b, z  b c Suy a x z, b   2x y 2z, c2x y z 

Bất đẳng thức trở thành x y z 4x 2y 4z x y

x y z

     

  

y z 4x 4z x y

1

x x y y z z

         

y 4x z x 4z y

10

x y x z y z

     

      

 

    (*)

Đẳng thức xảy

2x y

2x y 2z

x z

2z y

 



    

 



suy không tồn a, b,c

Dấu đẳng thức không xảy

b) Đặt x a b c, y     b c 4a, z c a 16b   Suy a y x, b z x, c 21x 5y z

3 15 15

   

  

Khi ta có P 6x 5y z 4x y 16x z

15x 3y 15z

    

  

y 4x z 16x

P

3x 3y 15y 15z

     

Áp dụng BĐT cơsi ta có y 4x 4, z 16y 3x3y3 15y15z 15 Suy P 16

3 15 15

    , đẳng thức xảy 4x 2y z a 5b 5c

     

Vậy P 16 15

 a 5b 5c

3

 

Ví dụ 2: Cho a, b,c ba cạnh tam giác có chu vi 2p Chứng minh

a b c b c c a a b

p a p b p c p a p b p c

  

    

     

Lời giải

Đặt x p a; y p b; z p csuy a y z; b z x; c   x y Do a, b,c ba cạnh tam giác nên x, y,z dƣơng

Bất đẳng thức cần chứng minh đƣợc đƣa dạng: y z z x x y y z z x x y

x y z x y z

             

Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có: y z y z y z

x x x

    

     

 

Tƣơng tự ta có z x z x 6, x y x y

y y z z

 

 

     

Cộng vế với vế BĐT ta đƣợc

y z z x x y y z z x x y

4 2 18

x y z x y z

       

          

 

 

Vì ta cần chứng minhy z z x x y y z z x x y 18

x y z x y z

 

     

       

y z z x x y

x y z

  

   

Ta có y z z x x y y x y z x z

x y z x y z y z x

   

           

     

 

   

Áp dụng BĐT cơsi ta có y x y.x 2, y z 2,x z x y x y  z y z x Suy y z z x x y

x y z

  

   ĐPCM

Đẳng thức xảy a b c hay tam giác

Nhận xét : Đối với BĐT có giả thiết a, b,c ba cạnh tam giác ta thực phép đặt ẩn phụ

a b c a b c a b c

x , y , z

2 2

      

   a y z; b z x; c   x y x, y,z dƣơng Ta chuyển tốn với giả thiết x, y,z dƣơng khơng cịn ràng buộc ba cạnh tam giác

Ví dụ 3: Cho x, y,z số dƣơng Chứng minh x3 2y3 3z3 1590x y z3 1331

    

Lời giải Ta có BĐT

3 3

y

x z

2

x y z x y z x y z

     

        

     

     

Đặt a x , b y , c z a, b,c

x y z x y z x y z

   

      dƣơng a b c 1   BĐT trở thành a3 2b3 3c3 1590

1331

  

Áp dụng BĐT cơsi ta có

3 3 6 18

a a

11 11 11

   

    

    ,

3 3 3 18

2b 2 b

11 11 11

   

      

    ,

3 3 2 18

3c 3 c

11 11 11

   

      

   

Cộng vế với vế BĐT ta đƣợc

 

3 3 588 18 18

a 2b 3c a b c

1331 11 11

      

Suy a3 2b3 3c3 1590 1331

  

Nhận xét: Phƣơng pháp đặt ẩn phụ đƣợc áp dụng BĐT đồng bậc(Ngƣời ta gọi phƣơng pháp chuẩn hóa) Ví dụ 4: Cho x, y,z số dƣơng thỏa mãn x y z

2    Chứng minh x y z 1 15

x y z

     

Lời giải

3

1 1

3

x  y z xyz

3

x y z  3 xyz nên 1 x  y z x y z  Suy x y z 1 x y z

x y z x y z

          

Đặt t x y z t

2      

Khi ta cần chứng minhx y z t 15

x y z t

     

  Áp dụng BĐT cơsi ta có

9 27 27 15

t t t

3

t 4t 4t 4t

4

       ĐPCM

Đẳng thức xảy x y z

  

Ví dụ 5: Cho ba số thực dƣơng a, b,c thỏa mãn 1 1

a 2 b 2 c 2  Tìm giá trị nhỏ biểu thức

3

4 P a b c

abc

   

Lời giải

Ta có 1 1 abc ab bc ca a 2 b 2 c 2       Áp dụng BĐT cơsi ta có ab bc ca  33 abc

Suy 4 abc ab bc ca abc 3      3 abc  t3 3t2, với t3abc

  2

t 3t t t t

         

Cũng theo BĐT cơsi ta có

3

3

4

P a b c abc

abc abc

     

Suy P 3t 3t

t t t

 

    

 

Áp dụng BĐT cơsi ta có 3t 3t.3

t t

   , mặt khác t 1 t

  

Do P 3t t

   , đẳng thức xảy t 1 hay a  b c Vậy minP 7    a b c

Ví dụ 6: Cho x, y, z dƣơng thỏa mãn 1 1 1

x y z

 

   

     

   

Tìm giá trị lớn

 

2 2

x y z 14xyz P

4 x y z 15xyz

  



  

Lời giải

Ta có 1 1 1 8xyz x y z xy yz zx xyz

x y z

 

               

 

   

   

 2    

2 2

x y z 14xyz x y z x y z

          

Áp dụng BĐT cơsi ta có: 1 1 1 xyz 2 

x y z xyz

 

   

        

   

Từ (1) (2) ta có    

 

2

2

2

x y z x y z t 2t 2

P

4t 15

4 x y z 15

       

 



   với x y z   t

Xét  

2

2

2 2

t

t 2t t 6t

0

4t 15 12t 45 12t 45

             Suy 2

t 2t

3 4t 15

  

 P

3 

Đẳng thức xảy t3 hay x  y z Vậy max P

3

 x  y z 3 Bài tập luyên tập.

Bài 4.42: Cho x, y,z dƣơng , CMR 25x 4y 9z 12 y z z x x y  Bài làm

Bài 4.42: Đặt a y z, b z x,c   x y ( với a,b,c dƣơng) x b c a, y c a b,z a b c

2 2

     

   

     

25 b c a c a b a b c 25b 4a 25c 9a 4c 9b

2VT 38

a b c a b a c b c

20 30 12 24 VT 12

           

           

     

     

Dấu xảy

2 2

25b 4a 5b 2a

5b 5c 5a x (vơ lí) 5c 3a 25c 9a                  

Bài 4.43: Cho số dƣơng a, b,c Tìm giá trị nhỏ

4a b 3c 8c

P

a b 2c 2a b c a b 3c



  

     

A.12 17 B. 12 13 C. 12 14 D. 14 17 Bài làm:

Bất phƣơng trình trở thành 8x 4y 4z 2x y 8x 8z 12 17

x y z

        

4y 2x 4z 8x

12

x y x z

   

      

 

  (*)

Áp dụng BĐT cơsi ta có 4y 2x , 4z 8x

x  y  x  z 

Cộng vế với vế lại suy BĐT (*) ĐPCM

Bài 4.44: Cho x, y, z số dƣơng thoả mãn xyz x y z 2    Tìm giá trị nhỏ P  x y z

A.6 B.7 C.9 D.10

Bài làm:

Bài 4.44: Áp dụng BĐT Cơsi ta có  3

3 x y z

x y z xyz xyz

27

 

    

Mặt khác xyz x y z   suy  

3

x y z

x y z 27

 

   

Đặt t  x y z,t0 ta có   

3

2

t

t t 27t 54 t t t

27           

Suy x y z 6   , đẳng thức xảy    x y z Bài 4.45: Cho a, b,c số thực dƣơng

Chứng minh

11 11 11 6 2

a b c a b c

bc ca ab a b c

  

   

Bài làm

Bài 4.45: Sử dụng bất đẳng thức cơsi ta có

11 11

6

a a

abc abc 2a

bc  bc 

Tƣơng tự ta có

11 11

6

b c

,

abc 2b abc 2c ca   ab  Từ suy

11 11 11

6 6

a b c

2(a b c ) 3abc

bc ca ab    

Vậy ta cần chứng minh

6 6 6

2 2

3 a b c

2(a b c ) 3abc

2 a b c

  

    

Hay 6

2 2

6

3(a b c ) 6abc a b c

    

Bây lại sử dụng bất đẳng thức côsi ta đƣợc a6b6c63a b c2 2

Do ta cần chứng minh 2

2 2

6

9a b c 6abc a b c

Đặt tabc,t0 BĐT trở thành 2

6

9t 6t

t

  

Sử dụng bất đẳng thức côsi ta đƣợc

2 2

2 2

6 6

9t 6t 9t 3(t 1) 6t 12

t t t

            ĐPCM

Đẳng thức xảy a  b c

Bài 4.46: Cho x, y,z số không âm thoatr mãn x2y2z2xyz4 Giá trị lớn P  x y z

A.3 B.7 C.9 D.1

Bài làm:

Bài 4.46: Từ điều kiện suy x, y,z 0; 2 Áp dụng BĐT Côsi ta có:

 3

27(2 x)(2 y)(2 z)    x y z    

     3

27 x y z xy yz zx xyz x y z

            

     2 2 2  3

27 x y z xy yz zx x y z 4 x y z

               

   2  3

27 4 x y z x y z  x y z

           

 

Đặt t  x y z, t0 ta có     

3

2

2

27(t 4t 4) t t 9t 108

t t t

        

     

Suy x y z  3

Bài 4.47: Cho x, y,z số thực thỏa mãn x2y2z22 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thứcPx3y3z33xyz

A. P 2 2, maxP2 B. P 4 2, maxP4 2. C. P 3 2, maxP3 D. P 5 2, maxP5

Bài làm:

Bài 4.47: Giả thiết toán P đa thức đối xứng ba biến nên ta biểu diễn đa thức qua ba đa thức đối xứng x y z, xy yz zx, xyz   

Ta có: x2y2z22(xy yz zx) (x y z)    

3 3 2

x y z 3xyz (x y z)(x   y z xy yz zx)  Suy ra:

2

2 2 (x y z)

P (x y z)(x y z xy yz zx) (x y z)(2 )

2

  

           

Đặt t  x y z ,t0 suy

2

t t

P t(2 ) 3t

2



Ta chứng minh

3

3

t

3t 2 t 6t

     

Thật theo BĐT cơsi ta có t34 2 t3 2 2 3 t 2.2 23 6t Do P 2 Đẳng thức xảy t

Ta có P2 chẳng hạn x ,y z 0, P 2 chẳng hạn x  ,y z 0, Vậy P 2 2, maxP2

Nhận xét :

1) Việc chúng biết phải chứng minh

3

t

3t 2

   dự đoán đƣợc dấu xảy biên

2) Ta có đa thức đối xứng ba ẩn biểu diễn qua đƣợc đa thức đối xứng sơ cấp

a  x y z; b xy yz zx; c   xyz Hơn ba đa thức đối xứng sơ cấp ln có đánh giá qua lại chúng, cụ thể a23b c Với toán từ giả thiết ta có:

2

2 a

a 2b b



    tức ta thay b a biểu diễn Px3y3z33xyz

cịn hai biến a c Mặt khác ta đánh giá đƣợc c qua a (hoặc a qua c) lúc P cịn biến a c

Bài 4.48: Cho x, y,z (0;1) xyz (1 x)(1 y)(1 z)    Tìm giá trị nhỏ Px2y2z2 A.3

4 B.1 C.2 D.3

Bài làm:

Bài 4.48: Ta có xyz (1 x)(1 y)(1   z)1x y z  xy yz zx  2xyz

   

2 2

x y z  2 x y z   x y z  4xyz 

Áp dụng BĐT cơsi ta có

3

x y z

xyz

    

 

  nên

   

2

2

x y z 2 x y z x y z x y z

3

           



 

 

Đặt t  x y z t 3 Khi đó:

2 2 t3 t2 2t 2 (2t 3) (2 15 t) 3

27 27 4

x y z

4

         

 

Đẳng thức xảy t

 hay x y z

2

   ĐPCM

Cho x, y R x, y 1 Tìm giá trị nhỏ    

3 2

x y x y

P

(x 1)(y 1)

  



 

Đặt t x y; t 2 ta có

2

t xy

4

3

t t xy(3t 2) P

xy t

  



  Do 3t 0 

2

t xy

4

   nên ta có

2

2

t (3t 2)

t t t 4

4

P t

t t

t t               (2; )

min P f(t) f(4)



   đạt đƣợc x y x

xy y

    



   

 

Bài 4.49: Cho số thực x, y thỏa x 2y Tìm giá trị nhỏ biểu thức :

2 2

(2x 13y xy) 6xy

P

(x 2y)

   





A.5 B.2 C.3 D.6

Bài làm:

Bài 4.49: Áp dụng BĐT cơsi ta có

2 2

2

6(2x 13y xy) 6xy 2x 13y 2xy

P 6.Q

(x 2y) (x 2y)

    

  

 

Rõ ràng y0 ta có

 

2

2t 2t 13 x

Q , t

y t

 

 



Xét    

2

t

Q Q P

t          Suy x 28 P

3 y 28            

Bài 4.50 Cho a,b,c ba số thực khơng âm có tổng Tìm giá trị lớn : P a ab 2abc  

A.5 B.9

2 C.3 D.6

Bài làm:

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM dạng  

2

x y xy

4



 ta có

2

2

1

b c a

2

1 a(7 2a)

b 2abc 2a.b c 2a 2a

2 4

       

   

      

      

 

Do đó, chứng minh hồn tất ta đƣợc

2

a(7 2a) a

8



Dấu đẳng thức xảy khi(a, b,c) 3,1,1

2

 

  

 

DẠNG 4: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ

1 Phƣơng pháp giải.

Điều quan trọng dạng toán cần phát đƣợc bất đẳng thức phụ Bất đẳng thức phụ BĐT có từ đặc điểm BĐT cần chứng minh dự đoán đƣa BĐT phụ từ vận dụng vào tốn

2 Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Cho a, b,c số dƣơng Chứng minh rằng: a)

3 3

a b c a b c abc b c a

 

  

b)

3 3 3

1 1

abc a b abcb c abcc a abc Lời giải

Trƣớc tiên ta chứng minha3b3a b b a2 

BĐT tƣơng đƣơng vớia3b3a b b a 02   a (a b) b (b a) 02    

(a b) (a b)

    (đúng với a0, b 0 )

3 2

a b a b b a

    Đẳng thức xảy ab a) Ta có 3 2

3 2

a 1

a b a b b a

ab

b a b

      

Hoàn toàn tƣơng tự ta có b3 12 12 , c3 12 12

bc ac

c b c  a c a  Cộng vế với vế rút gọn ta đƣợc a3 b3 c3 1

a b c b c a    Hay

3 3

a b c a b c

abc

b c a

 

   , đẳng thức xảy a b c b) Theo tốn ta có : a3b3a b b a ab(a b)2   

3

3

1 c

a b abc ab(a b c)

ab(a b c) abc(a b c)

a b abc

        

   

 

Tƣơng tự : 3 13 a ; 3 31 b

abc(a b c) abc(a b c)

b c abc   c a abc  

Cộng ba BĐT lại với ta có đpcm Đẳng thức xảy a b c

Ví dụ 2: Cho a, b số thực Chứng minh rằng: a) 3(a b 1)  2 1 3ab

Lời giải

a) Áp dụng bất đẳng thức

2

a b ab

2   

  

  nên ta chứng minh

2

3(a b 1) (a b)

4

     (*)

Thật : (*)12(a b) 224(a b) 16 3(a b)   

2

9(a b) 24(a b) 16 (3a 3b 4)

          (đúng) ĐPCM Đẳng thức xảy khia b

3

  

b) Dễ thấy bất đẳng thức ab 0 Xét ab 0 Áp dụng BĐT

2

a b ab

2   

  

  ta có

 

2 3 2 2

2

2 a b 2ab

16ab 2ab 16 (a b )

64a b (a b ) (

2

a ) a b

2

b 

             

   

 Suy 64a b (a3 2b )2 2a b 6 Đẳng thức xảy khiab

Ví dụ 3: Cho a số dƣơng b số thực thỏa mãn a2b2 5 Tìm giá trị nhỏ

3

2a a

P 2b

a  

 

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức a2b2c2d2ac bd 2(*), dấu đẳng thức xảy adbc Ta có a2b21 4 25a 2b 2 a 2b 5

Suy 2b a 5  Do

3

2 2

2a a 2a a 1

P 2b a 3a

a

a a a

   

         (1)

Áp dụng BĐT cơsi ta có

2

1

a 2, a a

a a

    

Do 3a 12 a a

   (2)

Từ (1) (2) suy sa P 0 Đẳng thức xảy a 1, b 2 Vậy P 0  a 1, b 2

Nhận xét: Bất đẳng thức (*) bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bốn số Ta tổng quát bất đẳng thức Cho 2n số

1 n n

a ,a , ,a , b , b , , b Khi ta có bất đẳng thức

2 2 2 2 1 2 n n n n

a)

3 3

a b c

3 bccaab

b) 12 12 12 a2 b2 c2 a b c    Lời giải

a) Áp dụng BĐT a2b2c2ab bc ca  hai lần ta có :

4 4 2 2 2 2 2 2 2

a b c (a ) (b ) (c ) a b b c c a (ab) (bc) (ca)  ab.bc bc.ca ca.ab abc(a b c) 3abc

       (vìa b c  3 )

Suy

4 4

a b c

3 abc

  

hay

3 3

a b c

3

bccaab ĐPCM Đẳng thức xảy ra  a b c

b) Áp dụng a2b2c2ab bc ca  ta có

2 2

1 1 1

ab bc ca abc

a b c    

Do ta cần chứng minh a2 b2 c2 abc a b2 c2 3

abc       (*) Lại áp dụng a b c  23 ab bc ca   (ví dụ 1) ta có

 2   ab bc ca2

ab bc ca 3abc a b c abc

9

 

       (**)

Áp dụng bất đẳng thức

3

a b c abc

3

   

  

  (**) ta có

       

3 2 2 2 2 ab bc ca a b c a b c

abc a b c

9

 

       

    

 

 

Vậy BĐT (*) nên BĐT ban đầu ĐPCM Đẳng thức xảy ra  a b c

Ví dụ 5: Cho a, b,c số dƣơng Chứng minh a) 1 1 1( 1)

2a b c   2a 2b c   a b 2c   a b c

b) 1 1 1

a 3b b 3c c 3a 2a b c  a 2b c  a b 2c  lời giải

Áp dụng BĐT Côsi cho hai số thực khơng âm ta có:

a b ab

1 1

(a b)( ) ab.2

1 1 a b ab

2

a b ab

  

     



  

 Suy 1

a) Áp dụng BĐT (*) ta có:

1 1 1 1

( ) ( )

2a b c  (a b) (a c)   4 a b a c 16 a b c Tƣơng tự ta có 1 1( 1); 1 1( 2)

a 2b c  16 a b c a b 2c  16 a b c Cộng ba BĐT ta có đƣợc đpcm Đẳng thức xảy   a b c b) Áp dụng BĐT (*) ta có:

1

a 3b a b 2c  2a 4b 2c  a 2b c  Tƣơng tự

1 1

;

b 3c 2a b c  a b 2c  c 3a a 2b c  2a b c  Cộng ba BĐT ta có đpcm Đẳng thức xảy   a b c Ví dụ 6: Cho a, b,c dƣơng thỏa mãn a b c 1   Chứng minh a) a b c

1 a 1 b c   4 b) 2 12 2 1 30

ab bc ca a b c     Lời giải

Áp dụng BĐT Cơsi cho ba số thực dƣơng ta có :

3

3 3

a b c abc

1 1

(a b c)( ) abc.3

1 1

a b c

3 abc

a b c abc

   

       



   

 Suy 1

a  b c a b c  (*) Đẳng thức xảy   a b c a) Ta có BĐT a 1 b 1 c 1

a b c

     

   

  

1 1 1

3 ( )

a b c a b c

        

     

Áp dụng BĐT (*) ta có 1 9 a b c 1     a b c 3   4 đpcm Đẳng thức xảy a b c

3

   

b) Áp dụng BĐT (*) ta có : 1 abbccaab bc ca 

2 2 2

1 1 1

ab bc ca ab bc ca

a b c a b c

     

 

   

2 2

1 1

ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b c

   

     

Mặt khác : ab bc ca 1(a b c)2 21

3 ab bc ca

       

 

2 2 2

1 1

9 ab bc ca ab bc ca

a b c       a b c 2(ab bc ca)   Suy : 2 12 2 1 21 30

ab bc ca

a b c       đpcm Đẳng thức xảy a b c

3

   

Ví dụ 7: Cho a, b,c số thuộc 0;1 thỏa mãn

4 4

1

7 4a 54b 54c 5 Tìm giá trị lớn P ab c

Lời giải

Ta chứng minh bất đẳng thức sau

Với x, y thuộc [0,1], ta ln có 41 41 222

4x 54y 54x y 5 (*) Thật vậy, BĐT (*)

2x4 2y4 5 4x y 2 5 4x4 5 4y 5

      

  

4 2 4 2

8x y 10x y x y 4x y

     

2 2 2

(5 4x y )(x y )

    (đúng với x, y [0,1] ) Dấu xảy xy

Áp dụng BĐT (*) ta có: 41 41 2 22 , 41 41 2 22 4a 54c 54a c 5 4b 54c 54b c 5 Suy

4 4 2 2

1 2

4a 54b 54c 54a c 54b c 54abc 5 (1) Và

4

1 1

,

7

4b b c c

4 5

2

   

   

Suy 41 41 22 22 bc

4b 4c b c 4. 5

4 5

2

2

    

  

 

(2)

Ta lại có

2 2 3

4

bc

4abc 4. 5 ab c

4

2 2

 

 

 (3)

Từ (1), (2) (3) ta có 4 4 4

2

1

7

4a 4b 4c ab c

4

2

   

  

Kết hợp giả thiết suy 3

8

ab c

7

ab c

4

2

  



Dấu xảy a b c

2   

Vậy max P 16

 a b c

2

  

3 Bài tập luyện tập.

Bài 4.50: Cho a, b, x, y  R Chứng minh bất đẳng thức sau:

2 2 2

a x  b y  (a b)  (x y) (1)

Bài làm: Bình phƣơng vế ta đƣợc: (1)  (a2b )(x2 2y )2 ab xy (*)

Nếu ab xy 0  (*) hiển nhiên

Nếu ab xy 0  bình phƣơng vế ta đƣợc: (*)  (bx ay) 20 (đúng) Áp dụng chứng minh bất đẳng thức sau:

a) Cho a, b  thoả a b 1  Giá trị nhỏ P 1 a 2 1 b

A. B.1 C.3 D.4

b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 2

2

1

a b

b a

  

A.17

2 B. 17 C.1 D.54

c) Cho x, y, z > thoả mãn x y z 1   Tìm giá trị nhỏ

2 2

2 2

1 1

P x y z

x y z

     

A. 82 B. 12 C.1 D.4

d) Cho x, y, z > thoả mãn x y z   Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 223 x 2 223 y 2 223 z

A. 2010 B.2010 C.232 D.12

Bài làm:

Bài 4.50: Bình phƣơng vế ta đƣợc: (1)  (a2b )(x2 2y )2 ab xy (*)

Nếu ab xy 0  (*) hiển nhiên

Nếu ab xy 0  bình phƣơng vế ta đƣợc: (*)  (bx ay) 20 (đúng)

b) Sử dụng (1) P 

2

2 1

(a b) (a b) 17

a b a b

   

         

   

Chú ý: 1

a b a b (với a, b > 0) c) Áp dụng (1) liên tiếp hai lần ta đƣợc:

2

2 2

2 2

1 1 1

x y z (x y z)

x y z

x y z

 

           

 



2

(x y z) 82

x y z

 

    

 

 

Chú ý: 1

x  y z x y z  (với x, y, z > 0)

d) Tƣơng tự câu c) Ta có: P  3 2232  (x y z)2  2010.

Bài 4.51: Cho a, b dƣơng Chứng minh 1 a b a b (1) Áp dụng chứng minh BĐT sau:

a) 1 1

a b c a b b c c a

 

         

 ; với a, b, c >

b) 1 1

a b b c c a 2a b c a 2b c a b 2c

 

      

          ; với a, b, c > c) Cho a, b, c > thoả 1

a  b c Chứng minh:

1 1

1 2a b c  a 2b c  a b 2c   d) ab bc ca a b c

a b b c c a

 

  

   ; với a, b, c >

e) Cho x, y,z dƣơng thoả mãn x 2y 4z 12   Chứng minh: 2xy 8yz 4xz x 2y 2y 4z 4z x  f) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh

rằng: 1 1

p a p b p c a b c

 

      

    

Bài làm

Bài 4.51: a) Áp dụng (1) ba lần ta đƣợc: 1 ; 1 ;1 a b a b b  c b c c  a c a Cộng BĐT vế theo vế ta đƣợc đpcm

b) Tƣơng tự câu a)

c) Áp dụng a) b) ta đƣợc: 1 1

a b c 2a b c a 2b c a b 2c

 

            

d) Theo (1): 1 1

a b a b

 

   

   

ab (a b) a b 4  Cùng với BĐT tƣơng tự, cộng vế theo vế ta đƣợc đpcm

e) Áp dụng câu d) với ax, b 2y, c 4z a b c 12    đpcm f) Nhận xét:p – a  p – b2p – a b  c

Áp dụng (1) ta đƣợc: 1 4 p a p b (p a) (p b)   c Cùng với BĐT tƣơng tự, cộng vế theo vế, ta đƣợc đpcm

Bài 4.52: Cho a, b,c số dƣơng Chứng minh 1

a  b c a b c  (1) Áp dụng chứng minh BĐT sau:

a) (a2 b2 c )2 1 3(a b c)

a b b c c a

 

       

  

  với a, b,c dƣơng b) a b c

a b c 1     4 Với a, b,c dƣơng thoả a b c 1   c) 2 2 2

a 2bcb 2acc 2ab Với a, b,c dƣơng thỏa mãn a b c 1   d)

2 2

1 2009

670 ab bc ca

a b c     Với a, b,c dƣơng thỏa mãn a b c  3 Bài làm

Bài 4.52: Ta có: (1) (a b c) 1 a b c

 

     

  Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si

a) Áp dụng (1) ta đƣợc: 1 a b b c c a  2(a b c)  VT 

2 2 2

9(a b c ) 3(a b c )

(a b c)

2(a b c) a b c

   

   

   

Chú ý: (a b c)  23(a2b2c )2 b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P nhƣ sau: P = x 1 y 1 z 1

x y z

 

     

   =

1 1

3

x y z

 

   

  

 

Ta có: 1 9

x y z 1     x y z 3   4 Suy ra: P 

9

3

4

 

c) Ta có: P  2 2 2 2 a 2bc b 2ca c 2ab(a b c)   d) Ta có

   

2 2 2 2

1 1 9

1 ab bc ca ab bc ca

và ab bc ca     a b c  2 nên

 2

2007 3.2007

669 ab bc ca   a b c   Đẳng thức xảy a  b c

Bài 4.53: Cho a, b,c 0 abc 1 Chứng minh :

5 5 5

ab bc ca

1 a b abb c bcc a ac Bài làm

Bài 4.53: Ta có : a5 b5 a b3 b a3 a b (a b)2 a5 b5 ab aba b c c

 

        

5

ab ab c

a b c a b c

a b ab ab

c

  

   

 

Tƣơng tự : 5 bc5 a ; 5 ca5 b

a b c a b c

b c bc   c a ac   Cộng ba BĐT lại với ta có đpcm

Bài 4.54: Cho ba số thực khơng âm a, b, c khơng có hai số đồng thời khơng Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2 2

a b c ab bc ca

P

b c c a a b a b c

 

   

    

A. P 6 B. minP 7 C. P 8 D. minP 12

Bài 4.54: * Trƣớc tiên, ta chứng minh kết sau:

2 2

a b c a b c

b c c a a b ab bc ca

 

  

     (1)

Nhân hai vế (1) với ab bc ca  , để ý a .(ab bc ca) a a(b c) bc a2 abc

b c    b c      b c Dễ thấy đó, (1) trở thành a2 abc b2 abc c2 abc a2 b2 c2

b c c a a b

       

  

Hay abc 1

b c c a a b

   

    

  (hiển nhiên đúng) Điều phải chứng minh * Quay trở lại toán, sử dụng kết trên, ta suy

2 2

2 2

a b c ab bc ca

P t

ab bc ca a b c t

   

   

    ,

với

2 2

a b c

t

ab bc ca

 



 

Với cách đặt trên, dễ dàng suy t 1 Vậy ta tìm giá trị nhỏ f(t) t2

t

  với t 1

Áp dụng BĐT cơsi ta có f(t) t2 2 2 3 t 3 2 2 2. 6

t t t t

    

C.BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP TỔNG HỢP LẦN

Bài 1. Nếu ab cd bất đẳng thức sau ln đúng?

A.acbd B. a c  b d C.a d  b c D.   ac bd

Bài 2. Nếu m0, n 0 bất đẳng thức sau đúng?

A. m n B.n – m 0 . C.–m–n D. m – n 0

Bài 3. Nếu a, b c số ab bất đẳng sau đúng?

A.acbc B. a2 b2 C.a c  b c D. c a  c b

Bài 4. Nếu ab cd bất đẳng thức sau đúng? A. a b

c d B. a c  b d C.acbd D. a c  b d

Bài 5. Bất đẳng thức sau với số thực a?

A.6a3a B. 3a6a C. 3a  3 6a D. a  3 a

Bài 6. Nếu a, b,c số ab bất đẳng thức sau đúng?

A. 3a 2c 3b 2c B. a2 b2 C.acbc D. acbc

Bài 7. Nếu a b , c d 0  bất đẳng thức sau không đúng?

A.acbc B. a c  b d C.a2 b2. D. acbd

Bài 8. Nếu a b 0, c d 0.  bất đẳng thức sau khơng đúng? A.a c  b d B. acbd C.a b

c d D.

a d b c

Bài 9. Sắp xếp ba số 6 13, 19 3 16 theo thứ tự từ bé đến lớn thứ tự A 19, 3 16, 6 13 B. 3 16, 19, 6 13 C. 19, 6 13, 3 16 D. 6 13, 3 16, 19

Bài 10. Nếu a 2c  b 2c bất đẳng thức sau đúng?

A.3a 3b B.a2 b2 C. 2a2b D. 1 ab

Bài 11. Nếu 2a2b 3b 3c bất đẳng thức sau đúng?

A.a c B. ac C.  3a 3c D. a2 c2

Bài 12. Một tam giác có độ dài cạnh 1,2,x x số nguyên Khi đó, x

A.1 B.2 C.3 D.

KHÔNG ĐÁP ÁN

A.a22a 1 B. a2 a C.a22a 1 D. a22a 1

Bài 14. Với số thực a bất kì, biểu thức sau luôn dƣơng

A.a22a 1 B. a2 a C.a22a 1 D. a22a 1

Bài 15. Trong số 3 2, 15 , 2 ,

A.số nhỏ 15 , số lớn là2 B.số nhỏ 2 3, số lớn C. số nhỏ 15, số lớn 3 D số nhỏ 2 3, số lớn 3

Bài 16. Cho hai số thực a, b cho ab Bất đẳng thức sau không đúng?

A.a4 b4 B.    2a 2b 1 C. b a 0 D. a 2  b

Bài 17. Nếu a 1  bất đẳng thức sau ?

A 1 a

a B.

1 a

a

 C.a a D.a3a2

Bài 18. Cho a, b,c,d số thực đóa,c0 Nghiệm phƣơng trình ax b 0  nhỏ nghiệm phƣơng trình cx d 0 

A.b c

ad B.

b c

ad C.

b a

dc D.

b d

a c

Bài 19. Nếu a b a  b a b bất đẳng thức sau đúng?

A.ab 0 B. b a C.a b D.a0 b 0

Bài 20. Cho a, b,c độ dài ba cạnh tam giác Mệnh đề sau không đúng ?

A.a2ab ac B. ab bc b2 C. b2c2a22bc D. b2c2a22bc

Bài 21. Chof x  x x2 Kết luận sau đúng? A.f(x) có giá trị nhỏ bằng1

4 B. f(x)có giá trị lớn

C.f(x)có giá trị nhỏ

 D. f(x)có giá trị lớn

Bài 22. Cho hàm số  

2

1 f x

x



 Mệnh đề sau ? A.f(x) có giá trị nhỏ 0, giá trị lớn B.f(x) khơng có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn C.f(x) có giá trị nhỏ 1, giá trị lớn D.f(x) khơng có giá trị nhỏ giá trị lớn

Bài 23. Với giá trị a hệ phƣơng trình x y

x y 2a

      

 có nghiệm (x; y) với x.y lớn A a

4

 B.a

2

 C.a

2

  D. a 1

A.có giá trị nhỏ là9

4 B.có giá trị lớn

C.có giá trị lớn

2 D.khơng có giá trị lớn

Bài 25. Cho a b 2 Khi đó, tích hai số a b

A.có giá trị nhỏ là1 B.có giá trị lớn 1 C.có giá trị nhỏ ab D.khơng có giá trị nhỏ

Bài 26. Chox2y2 1 , gọi S x y Khi ta có

A.S  2 B.S

C. 2 S D.   1 S

Bài 27. Cho x, y hai số thực thay đổi cho x y 2 Gọimx2y2 Khi ta có: A.giá trị nhỏ m B.giá trị nhỏ m C.giá trị lớn m D.giá trị lớn m

Bài 28. Với x2 , biểu thức: x ,

2 x 1 ,

2 x 1 ,

x 

,x

2 giá trị biểu thức nhỏ nhất?

A.

x B

2

x 1 C.

2

x 1 D.

x

Bài 29. Giá trị nhỏ biểu thức x23x với x là:

A.

 B.

4

 C. 27

4

 D. 81

8



Bài 30. Giá trị nhỏ biểu thức x23 x với x là:

A.

 B.

2

 C.0 D.

2

Bài 31. Giá trị nhỏ củabiểu thức x x2 với x là:

A. 9 B.6 C. D.

Bài 32. Cho biểu thức P  a a vớia 0 Mệnh đề sau mệnh đề đúng? A.Giá trị lớn P

4 B.Giá trị nhỏ P

C.Giá trị lớn P

2 D.P đạt giá trị nhỏ a

4



Bài 33. Giá trị lớn hàm số  

2

2 f x

x 5x



 

A. 11

4 B.

4

11 C.

11

8 D.

8 11

C.Hàm số f(x) có giá trị nhỏ giá trị lớn

D Hàm số f(x) khơng có giá trị nhỏ khơng có giá trị lớn

Bài 35. Cho a số thực bất kì,

2

2a P

a



 Bất đẳng thức sau với a?

A.P 1 B. P 1 C. P 1 D.P 1

Bài 36. Cho Q a 2b2c2ab bc ca  với a, b,clà ba số thực Khẳng định sau đúng? A.Q 0 a, b,clà số dƣơng

B. Q 0 a, b,clà số không âm C.Q 0. với a, b,clà số

D.Q 0 với a, b,clà số

Bài 37. Số nguyên a lớn cho a2003300 là:

A.3 B.4 C.5 D.6

Bài 38. Điền dấu    , , ,  thích hợp vào ô trống để đƣợc bất đẳng thức

A.Nếu a, bdƣơng ab a b a b





B.Với a, bbất kỳ a 2ab b 2 a2b2 C.Nếu a, b,cdƣơng a b c

b c c a a b

Bài 39. Cho a, blà số thực Xét tính đúng–sai mệnh đề sau:

A.

2 2 2

a b a b

2

   



 

 

B.a2b2   1 a b ab C.a2b2 9 a b  ab

Bài 40. Cho hai số thực a, btùy ý Mệnh đề sau đúng? A. a b ab

B a b  ab C. a b  ab D. a b ab

Bài 41. Cho hai số thực a, b tùy ý Mệnh đề sau đúng?

A. ab a b B. a a

b  b với b0 C.Nếu a  b a2 b2 D. a b  ab

Bài 42. Cho hai số thực a, b tùy ý Mệnh đề sau đúng? A a b  ab B. a b  ab

C. a b  ab D. a b  ab

A. x x B. x  x C. x2 x2 D xx

Bài 44. Nếu a, b số thực a b bất đẳng thức sau đúng?

A a2b2 B. 1

a  b với ab0

C.   b a b D. ab

Bài 45. Cho a 0 Nếu x a bất đẳng thức sau đúng?

A. x a B.  x x C. x  a D. 1 a x 

Bài 46. Nếu x a bất đẳng thức sau ln đúng?

A. x a B. 1

xa C. x  a D. x a

Bài 47. Cho a 1, b 1  Bất đẳng thức sau không đúng ? A. a2 a 1 B. ab 2a b 1  C. ab 2b a 1  D. b 1 b

Bài 48. Giá trị nhỏ hàm số f(x) x x

  với x 0

A.4 B.

2 C. D. 2

Bài 49. Giá trị nhỏ hàm số f(x) 2x x

  với x 0

A. B. C. D.

Bài 50. Giá trị nhỏ hàm số f(x) x

2 x

 

 với x 1 A. B 5

2 C. 2 D.3

Bài 51. Cho x 2 Giá trị lớn hàm số f(x) x x





A.

2 B.

2

2 C.

2

2 D.

1

Bài 52. Giá trị nhỏ hàm số f(x) 2x x

  với x 0 A. B.

2

C. D. 2

Bài 53. Giá trị nhỏ hàm số f(x) 2x 12 x

A. B. C. D. 2

Bài 54. Cho a, b, c, d số dƣơng Hãy điền dấu    , , ,  thích hợp vào trống A.Nếu a c

bd

a b c d a  c

 

B.Nếu a c bd

a b c d b  d

 

C. a b c   ab bc ca D. ab( a b)2ab a b 

Bài 55. Điền số thích hợp vào chỗ chấm để đƣợc mệnh đề

A.Giá trị lớn hàm số y x 1  x với x 3  là….2 x2 ………… B.Giá trị nhỏ hàm số y2x25x 1 là …… 17 x

8

  ………

Bài 56. Cho a2b2c21 Hãy xác định tính đúng-sai mệnh đề sau:

A. ab bc ca 0   Sai B. ab bc ca

2     Đúng C. ab bc ca 1   Sai D. ab bc ca 1   Đúng TỔNG HỢP LẦN

Bài 57. Tìm mệnh đề đúng?

A. a b acbc B. a b 1 a b

  

C.a   b c d acbd D. a b acbc, c 0

Bài 58. Suy luận sau

A. a b ac bd

c d

 

 

 

 B.

a b a b

c d c d

 

   



C. a b a c b d

c d

 

     

 D

a b

ac bd

c d

  

 

  



Bài 59. Bất đẳng thức m n 2 4mn tƣơng đƣơng với bất đẳng thức sau A. n m 1  2m n 1  20 B m2n22mn

C.m n 2m n 0  D.m n 2 2mn

Bài 60. Với a, b0, ta có bất đẳng thức sau đúng?

A.a b 0  B. a2ab b 20 C a2ab b 20 D. a b 0 

Bài 61. Với hai số x, y dƣơng thoả xy36, bất đẳng thức sau đúng? A. x y 2 xy12 B. x y 2xy 72   C. 4xyx2y2 D. 2xyx2y2

A. xy6 B.

2

x y

xy 36

2   

  

 

C 2xyx2y2 D. xy6

Bài 63. Cho x, y hai số thực thỏa xy2 Giá trị nhỏ Ax2y2

A. B. C. D.4

Bài 64. Cho a b x a 2, y b 2

1 a a b b

 

 

    Mệnh đề sau ?

A. xy B. xy

C. xy D.Không so sánh đƣợc.

Bài 65. Cho bất đẳng thức: (I)a b b a (II)

a b c

3 b  c a (III)

1 1

a  b c a b c  (với a, b, c > 0) Bất đẳng thức bất đẳng thức đúng?

A.chỉ I B.chỉ II C.chỉ III D.I, II, III

Bài 66. Với a, b,c0 Biểu thức P a b c b c c a a b

  

   Mệnh đề sau đúng?

A.0 P

  B. P

2 C.

4 P

3 D.

3 P 2

Bài 67. Cho a, b 0 ab a b  Mệnh đề sau ?

A.a b 4 B. a b 4 C.a b 4  D. a b 4 

Bài 68. Cho a  b c d xa b c d , y    a c b d ,z    a d b c    Mệnh đề sau đúng?

A. x y z B. y x z  C. z x y D. x z y

Bài 69. Với a, b,c,d 0 Trong mệnh đề sau mệnh đề sai? A. a a a c

b b b c

   



B. a a a c

b b b c

   



C a c a a c c

b d b b c d



   



D.Có hai ba mệnh đề sai

Bài 70. Hai số a, b thoả bất đẳng thức

2 2

a b a b

2

   

  

 

A.ab B. ab C.ab D. ab

Bài 71. Cho x, y,z0 xét ba bất đẳng thức (I) x3y3z33xyz (II) 1

x  y z x y z  (III) y

x z

3

NGUYỄN BẢO VƯƠNG

TOÁN 10

CHƯƠNG IV ĐẠI CƯƠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT

§2 ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa bất phƣơng trình ẩn 2 Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng, biến đổi tƣơng đƣơng bất phƣơng trình a) Định nghĩa: Hai bất phƣơng trình (cùng ẩn) đƣợc gọi tƣơng đƣơng chúng có tập nghiệm b) Định lý hệ quả: B CÁC DẠNG TOÁN VÀ P HƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TỐN 1: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA BẤT PHƢƠNG TRÌNH Phƣơng pháp giải Các ví dụ điển hình 3 Bài tập luyện tập DẠNG TOÁN 2: XÁC ĐỊNH CÁC BẤT PHƢƠNG TRÌNH TƢƠNG ĐƢƠNG VÀ GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƢƠNG

1 Phƣơng pháp giải Các ví dụ minh họa Bài tập luyện tập §3 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ B ẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 10 A TĨM TẮT LÝ THUYẾT. 10 Bất phƣơng trình bậc hai ẩn .10 a) Bất phƣơng trình bậc hai ẩn miền nghiệm 10 b) Cách xác định miền nghiệm bất phƣơng trình bậc hai ẩn 10 Hệ bất phƣơng trình bậc hai ẩn 10 B CÁ C DẠNG TOÁN VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI. 11

 DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN. 11

§2 ĐẠI CƢƠNG VỀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1 Định nghĩa bất phƣơng trình ẩn

Cho hai hàm số yf x  yg x  có tập xác định lần lƣợt Df Dg Đặt DDfDg Mệnh đề chứa biến có dạng f x   g x , f x   g x , f x   g x , f x   g x đƣợc gọi bất phƣơng trình ẩn ; x đƣợc gọi ẩn số (hay ẩn) D gọi tập xác định bất phƣơng trình

0

x Dgọi nghiệm bất phƣơng trình f x   g x f x   0 g x0 mệnh đề

Giải bất phƣơng trình tìm tất nghiệm(hay tìm tập nghiệm) bất phƣơng trình

Chú ý : Trong thực hành, ta không cần viết rõ tập xác đinh D bất phƣơng trình mà cần nêu điều kiện để x D Điều kiện gọi điều kiện xác định bất phƣơng trình, gọi tắt điều kiện bất phƣơng trình

2 Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng, biến đổi tƣơng đƣơng bất phƣơng trình.

a) Định nghĩa: Hai bất phƣ ơng trình (cùng ẩn) đƣ ợc gọi tƣơng đƣơng chúng có tập nghiệm.

Kí hiệu: Nếu f x1 g x1  tƣơng đƣơng với f x2 g x2  ta viết f x1 g x1 f x2 g x2 

 Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm phƣơng trình gọi phép biến đổi tƣơng đƣơng b) Định lý hệ quả:

Định lý 1: Cho bất phƣơng trình f x   g x có tập xác định D; yh x  hàm số xác định D Khi D, Bất phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với bất phƣơng trình sau

       

1) f x h x g x h x

       

2) f x h x g x h x h x 0 với x D

       

3) f x h x g x h x h x 0 với x D

Hệ quả: Cho bất phƣơng trình f x   g x có tập xác định D Khi

    3  3 

1) f x g x f x g x

    2  2 

2) f x g x f x g x với f x 0, g x 0,  x D

Lƣ u ý: Khi giải phƣơng trình ta cần ý

 Đối với việc giải bất phƣơng trình ta thƣờng thực phép biến đổi tƣơng đƣơng nên cần lƣyu ý tới điều kiện để thực phép biến đổi tƣơng đƣơng

B CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TỐN 1: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA BẤT PHƢƠNG TRÌNH.

1 Phƣ ơng pháp giải.

- Điều kiện xác định bất phƣơng trình bao gồm điều kiện để giá trị f x , g x đƣợc xác định điều    kiện khác (nếu có yêu cầu đề bài)

- Điều kiện để biểu thức

 f x  xác định f x 0



 1

f x xác định f x 0 

  f x

xác định f x 0

2 Các ví dụ điển hình.

Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định phƣơng trình sau: a) x 25

4x

 



A.x

2

  B. \

2

   

  C.

3 x

2

 D.

b) 2x 2 x x 2x



 

 

A. x

x

 

 

 

 B.

x

x

 

 

 

 C. x 2 D. x 1 

Lời giải

a) Điều kiện xác định bất phƣơng trình 4x2 x2 x

4

      

b) Điều kiện xác định bất phƣơng trình

2

x x

4 2x

x 2x x x

   

    

 

     

   

 

  

a) 2x x 3 2 x 3  b)  x2 4x 4 27 3x

c) x 1

x x

  

 

d) x 1  2 4x 5x 4x 7 

Lời giải

a) Điều kiện xác định bất phƣơng trình x x x

3 x x

    

  

    

 

Thử vào bất phƣơng trình thấy x3 thỏa mãn Vậy tập nghiệp bất phƣơng trình S 3 b) Điều kiện xác định bất phƣơng trình

 2

x 4x x x

         

Thay x 2 vào thấy thỏa mãn bất phƣơng trình Vậy tập nghiệp bất phƣơng trình S 3

c) Điều kiện xác định bất phƣơng trình x x x

x x

   

  

    

 

Với điều kiện bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với x  2 x Đối chiếu với điều kiện ta thấy bất phƣơng trình vơ nghiệm Vậy tập nghiệm bất phƣơng trình S 

d) Điều kiện xác định bất phƣơng trình    

2

x 4x 4x

   

 

 

 (*)

Dễ thấy x 1 thỏa mãn điều kiện (*)

Nếu x 1

3 x

3 4x 4

(*) x

4x 3

x

  

   

     

  



Vậy điều kiện xác định bất phƣơng trình x 1 x  Thay x 1 x

4

Vậy tập nghiệm bất phƣơng trình S 1;3

 

    

3 Bài tập luyện tập.

Bài 4.55: Tìm điều kiện xác định phƣơng trình sau: a) 2 x

x 3 x 6x 9

A. x3 B. x3 C. D. \ 3 

b) x x  



A. x 2 B. x 2 C. x 2 D. x 2

Bài 4.55: a) x3 b) x 2

Bài 4.56: Tìm điều kiện xác định bất phƣơng trình sau suy tập nghiệm nó: a) 2x 2x 1 2 2x 1 

A. x

2

 B. x

2

 C. x

2

 D. x

2 

b)    x2 x

A.Vô nghiệm B C. \ 1  D. \ 1 

c) x x  x 2 

A. x 1  B. x 1  C. x 2  D. x 2 

d) x 1  2 x x 2    7

A. x 1,x 2 B. x 1,x 2 C. \ 1; 2  D. x 1,x 2

Bài 4.56: a) x

DẠNG TỐN 2: XÁC ĐỊNH CÁC BẤT PHƢƠNG TRÌNH TƢƠNG ĐƢƠNG VÀ GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƢƠNG

1 Phƣ ơng pháp giải.

Để giải bất phƣơng trình ta thực phép biến đổi để đƣa bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với phƣơng trình cho đơn giản việc giải Một số phép biến đổi thƣờng sử dụng

 Cộng (trừ) hai vế bất phƣơng trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định bất phƣơng trình ta thu đƣợc bất phƣơng trình tƣơng đƣơng bất phƣơng trình cho

 Nhân (chia) vào hai vế bất phƣơng trình với biểu thức luôn dƣơng(hoặc luôn âm) không làm thay đổi điều kiện xác định phƣơng trình ta thu đƣợc bất phƣơng trình cùng chiều (hoặc ngƣợc chiều) tƣơng đƣơng với bất phƣơng trình cho

 Bình phƣơng hai vế bất phƣơng trình (hai vế ln dƣơng) ta thu đƣợc bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với bất phƣơng trình cho

 Lập phƣơng hai vế bất phƣơng trình ta thu đƣợc bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với bất phƣơng trình cho

2 Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Trong bất phƣơng trình sau đây, bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với bất phƣơng trình 3x 0  (*) : a) 3x 1

x x

   

  b)

x x

3x

3x 3x

  

 

Lời giải

Ta có 3x x

    

a) 3x 1 x x

   

  (1) không tƣơng đƣơng 3x 0  x3 nghiệm bất phƣơng trình (*) nhƣng khơng

nghiệm bất phƣơng trình (1)

b) 3x x x 3x x

3

3x 3x

        

 

Do 3x x x

3x 3x

  

  tƣơng đƣơng 3x 0 

Ví dụ 2: Khơng giải bất phƣơng trình, giải thích bất phƣơng trình sau vơ nghiệm

a) x22x 3 0 b) x x 2

x x



 



Lời giải

a) Ta có x22x  0 x22x 3 0 do bất phƣơng trình vơ nghiệm.

Áp dụng BĐT cơsi ta có x x x x

x x x x

 

  

 

Suy bất phƣơng trình vơ nghiệm

Ví dụ 3: Khơng giải bất phƣơng trình, giải thích bất phƣơng trình sau nghiệm với x

a) x 1 x22x 1 b)  2

2

1

x

x 1   x 1

Lời giải

a) BPT x 1 x22x 0   x 1 x 1 20

Do x 1 0, x 1  2 0 với x nên x 1 x 1 2 0 với x Vậy bất phƣơng trình nghiệm với x

b) BPT  x 12 0 x 1 20 (đúng với x) Vậy bất phƣơng trình nghiệm với x

Ví dụ 4: Bạn Nam giải bất phƣơng trình x 1  x 1nhƣ sau Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với x 1  2 x 1 2

2

x 2x x 2x 4x x

         

Vậy bất phƣơng trình có tập nghiệm S [0; )

Theo em ban Nam giải nhƣ hay sai? Nếu sai sửa lại cho

Lời giải

Bạn Nam mắc sai lầm phép biến đổi bình phƣơng hai vế Lời giải là:

 Với x 1 ta có x 1 0, x 0  suy nghiệm bất phƣơng trình x 1

 Với x 1 : Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với

  2 2

x x x

 

 

  



2

x x

x

x 2x x 2x 4x

   

   

     

 

Vậy bất phƣơng trình có tập nghiệm S

Bài 4.57: Trong bất phƣơng trình sau đây, bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với bất phƣơng trình 3x 0  :

1

3x

x x

  

  (I)

3x 1  x 1  x 1 (II)

A.(I) B.(II) C.(I), (II) D.Khơng có phƣơng trình

Bài 4.57: Ta có 3x x

3

    

I) Ta có

x x

1 1

3x 1 x

3x

x x x

3

  

   

         

     

Do 3x 1 x x

  

  tƣơng đƣơng 3x 0 

II)

x

x 1

3x x x 1 x

3x x

3

  

   

         

   

 

Do 3x 1  x 1  x 1 tƣơng đƣơng 3x 0 

Bài 4.58: Khơng giải bất phƣơng trình, giải thích bất phƣơng trình sau vơ nghiệm a) x 1   x

b) x 1    x2 x

Bài 4.58: a) ĐKXĐ: x x

x x

     



     

  không tồn giá trị x Suy bất phƣơng trình vơ nghiệm

b) Ta có

2

2

x 0, x x x

2

 

          

 

Suy bất phƣơng trình vơ nghiệm

Bài 4.59: Khơng giải bất phƣơng trình, giải thích bất phƣơng trình sau nghiệm với x

b)

2

x

2

x

  

Bài 4.59: a) Ta có x 1 0, 2x22x 1 x 1 2x20 Suy x 1 2x22x 0 

Đẳng thức xảy

 2 2

x x x

  

 

  

 (vô nghiệm)

Suy x 1 2x22x 0  với x

Vậy bất phƣơng trình nghiệm với x b) Áp dụng BĐT cơsi ta có

2

2

2 2

x 1

x x

x x x

      

  

Suy bất phƣơng trình nghiệm với x

Bài 4.60: Bạn Bình giải bất phƣơng trình x 1  2x 1   nhƣ sau Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với

1

2x 2x 2x x

2

           

Vậy bất phƣơng trình có tập nghiệm S [ 1; )

  

Theo em ban Bình giải nhƣ hay sai? Nếu sai sửa lại cho

Bài 4.60: Bạn Bình mắc sai lầm phép biến đổi Lời giải là:

  x x

x 2x

2x 2x

     

     

    

 

 

x x

1 2x x

2

  

   

 

   

 

Vậy bất phƣơng trình có tập nghiệm S  1 1;

 

    

§3 BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

A TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1 Bất phƣơng trình bậc hai ẩn.

a) Bất phƣơng trình bậc hai ẩn miền nghiệm

 Bất phƣơng trình bậc hai ẩn x,y bất phƣơng trình có dạng:

ax by c 0,ax by c 0,ax by c 0,ax by c 0            a, b, c số thực cho,a b không đồng thời 0; x y ẩn số

Mỗi cặp số (x0; y0) cho ax0 + by0 < c gọi một nghiệm bất phƣơng trình ax by c 0   ,

Nghiệm bất phƣơng trình dạng ax by c,ax by c,ax by c      đƣợc định nghĩa tƣơng tự

 Trong mặt phẳng tọa độ nghiệm bất phƣơng trình bậc hai ẩn đƣợc biểu diễn điểm tập nghiệm đƣợc biểu diễn tập hợp điểm Ta gọi tập hợp điểm miền nghiệm bất phƣơng trình

b) Cách xác định miền nghiệm bất phƣ ơng trình bậc hai ẩn.

Định lí : Trong mặt phẳng tọa độ đƣờng thẳng  d : ax by c  0 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng Một hai nửa mặt phẳng (khơng kể bờ (d)) gồm điểm có tọa độ thỏa mãn bất phƣơng trình ax by c  0 , nửa mặt phẳng cịn lại (khơng kể bờ (d)) gồm điểm có tọa độ thỏa mãn bất phƣơng trình ax by c 0  

Vậy để xác định miền nghiệm bất phƣơng trình ax by c 0   , ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) nhƣ sau:

Bƣ ớc 1. Vẽ đƣờng thẳng (d): ax by c 0  

Bƣ ớc 2. Xét điểm M x ; y 0 0không nằm (d)

 Nếu ax0by0 c nửa mặt phẳng (khơng kể bờ (d)) chứa điểm M miền nghiệm bất phƣơng trình ax by c 0  

 Nếu ax0by0 c nửa mặt phẳng (khơng kể bờ (d)) không chứa điểm M miền

nghiệm bất phƣơng trình ax by c  0

Chú ý: Đối với bất phƣơng trình dạng ax by c 0   ax by c 0   miền nghiệm nửa mặt phẳng kể bờ

2 Hệ bất phƣ ơng trình bậc hai ẩn

Trong mặt phẳng tọa độ, ta gọi tập hợp điểm có tọa độ thỏa mãn bất phƣơng trình hệ miền nghiệm hệ Vậy miền nghiệm hệ giao miền nghiệm bất phƣơng trình hệ

Để xác định miền nghiệm hệ, ta dùng phƣơng pháp biểu diễn hình học nhƣ sau:

 Với bất phƣơng trình hệ, ta xác định miền nghiệm gạch bỏ (tơ màu) miền cịn lại

 Sau làm nhƣ lần lƣợt tất bất phƣơng trình hệ mặt phẳng tọa độ, miền cịn lại khơng bị gạch (tơ màu) miền nghiệm hệ bất phƣơng trình cho

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH

BẬC NHẤT HAI ẨN.

Ví dụ 1: Xác định miền nghiệm bất phƣơng trình sau:

a) 2x y 0  b) x 2y 2x y

2

  



Lời giải

a) Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đƣờng thẳng  d : 2x y 0 Ta có  d chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng Chọn điểm khơng thuộc đƣờng thẳng đó, chẳng hạn điểmM 1; Ta thấy (1; 0) nghiệm bất phƣơng trình cho Vậy miền  nghiệm cần tìm nửa mặt phẳng chứa bờ (d) chứa điểm M 1; (Miền không đƣợc  tơ màu hình vẽ)

b) Ta có x 2y 2x y x 2y  2 2x y 1

2

  

      

x 4y x 4y

        

Trong mặt phẳng tọa độ , vẽ đƣờng thẳng Δ : x 4y 0  

Xét điểm O 0; , thấy    0; nghiệm bất phƣơng trình cho miền nghiệm cần tìm nửa mặt phẳng bờ Δ (không kể đƣờng thẳng Δ) không chứa điểm O 0; (Miền khơng đƣợc tơ màu hình vẽ). 

x y

(d) 2

O 1

x y

Δ -2

-2

Ví dụ 2: Xác định miền nghiệm hệ bất phƣơng trình sau:

a) x y

x 3y        

 b)

x y 2x 3y x 2y

  

   



    

Lời giải

a) Vẽ đƣờng thẳng  d : x y 2  0 , d' : x 3y 0     mặt phẳng tọa độ Oxy

Xét điểm O 0; , thấy    0; nghiệm bất phƣơng trình x y 0   x 3y 0   miền nghiệm cần tìm phần mặt phẳng khơng đƣợc tơ màu hình vẽ kể hai đƣờng thẳng  d  d'

b) Vẽ đƣờng thẳng  d : x y 0 , d' : 2x 3y 6    0  d" : x 2y 0   mặt phẳng tọa độ Oxy

Xét điểm O 0; , thấy    0; nghiệm bất phƣơng trình 2x 3y 0   x 2y 0   Do O 0; thuộc miền nghiệm bất phƣơng trình  

2x 3y 0   x 2y 0  

Xét điểm M 1; ta thấy    1; nghiệm bất phƣơng trình x y 0  điểm M 1; thuộc miền nghiệm bất phƣơng trình   x y 0 

Vậy miền nghiệm cần tìm phần mặt phẳng khơng đƣợc tơ màu hình vẽ kể đƣờng thẳng  d "

Ví dụ 3: Xác định miền nghiệm bất phƣơng trình x y x  3y30

Lời giải

Ta có x y x  3y3 0 x y x y x    2xy y 20

   x y

x y x y

x y   

     

 

 (1)

x y

x y

       (2)

x y

(d) (d')

-3

1

2 2

-2 O 1

x y

(d) (d')

(d")

-1 3

-3

1

2 2

-2 O 1

x y

(d)

-1 1

2 2

Nhƣ miền nghiệm bất phƣơng trình cho gồm hai miền nghiệm hệ bất phƣơng trình (1) (2)

Vẽ đƣờng thẳng  d : x y 0 , d' : x y   0 mặt phẳng tọa độ Oxy Xét điểm M 1; , ta có    1; nghiệm bất phƣơng trình hệ (1) M 1; thuộc miền nghiệm hệ bất phƣơng trình (1) Xét điểm   N1; 0, ta có 1; 0 nghiệm bất phƣơng trình hệ (2) N1; 0 thuộc miền nghiệm hệ bất phƣơng trình (2) Vậy miền nghiệm cần tìm phần mặt phẳng khơng đƣợc tơ màu hình vẽ kể hai đƣờng thẳng    d , d'

3 Bài tập luyện tập.

Bài 4.61: Xác định miền nghiệm bất phƣơng trình sau: a) x 3y 0 

A

B

C

x y

O 1

x y

O 1

x y

Δ -2

-2

D

Bài 4.61: a) Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đƣờng thẳng  d : x 3y 0 Ta thấy (1; 0) nghiệm bất phƣơng trình cho

Vậy miền nghiệm cần tìm nửa mặt phẳng chứa bờ (d) chứa điểm M 1; (Miền  không đƣợc tô màu hình vẽ)

b) x y x y



   

A

B

x y

O 1 x

y

(d) 2

O 1

x y

O 1

x y

C

D

b) Ta có x y x y x y x y 1 



        

 3x y

   

Trong mặt phẳng tọa độ , vẽ đƣờng thẳng Δ : 3x y 0  

Xét điểm O 0; , thấy    0; khơng phải nghiệm bất phƣơng trình cho miền nghiệm cần tìm nửa mặt phẳng bờ Δ (không kể đƣờng thẳng Δ) không chứa điểm O 0; (Miền không đƣợc tô màu hình vẽ). 

Bài 4.62: Xác định miền nghiệm hệ bất phƣơng trình sau: a) x y

x y         

x y

O 1

x y

Δ -2

-2

O 1

x y

(d) 2

A

B

C

D.Đáp án khác

Bài 4.62: a) Vẽ đƣờng thẳng  d : x y 2  0 , d' : x y 0     mặt phẳng tọa độ Oxy

y x

y

O 1

x y

(d)

(d') -1

1

2 2

-2 O 1

x y

(d) (d')

-3

1

2 2

-2 O 1

Xét điểm O 0; , thấy    0; nghiệm bất phƣơng trình x y 0   x y 0   miền nghiệm cần tìm phần mặt phẳng khơng đƣợc tơ màu hình vẽ kể hai đƣờng thẳng  d'

b)

x y 2x 3y x 2y

   

   



    

A

B

x y

O 1

x y

(d) (d')

(d")

-1 3

-3

1

2 2

C

D Đáp án khác

b) Vẽ đƣờng thẳng  d : x y 2  0 , d' : 2x 3y 6    0  d" : x 2y 0   mặt phẳng tọa độ Oxy Xét điểm O 0; , thấy    0; nghiệm bất phƣơng trình x y 0  

2x 3y 0   Do O 0; thuộc miền nghiệm bất phƣơng trình   x y 0   2x 3y 0  

Xét điểm M 0; ta thấy    0; nghiệm bất phƣơng trình x 2y 0   điểm M 0; thuộc miền nghiệm bất phƣơng trình   x 2y 0   Vậy miền nghiệm cần tìm phần mặt phẳng khơng đƣợc tơ màu hình vẽ kể đƣờng thẳng    d' , d"

DẠNG TOÁN 2: ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN KINH TẾ.

Vấn đề tìm miền nghiệm hệ bất phƣơng trình bậc có liên quan chặt chẽ đến quy hoạch tuyến tính Đó ngành tốn học có nhiều ứng dụng đời sống kinh tế

Lƣu ý: Ta thừa nhận kết sau "Giá trị nhỏ hay lớn biểu thức P x; y ax by b  0 miền đa giác lồi (kể biên) đạt đƣợc đỉnh đa giác"

Ví dụ 1: Một công ty kinh doanh thƣơng mại chuẩn bị cho đợt khuyến mại nhằm thu hút khách hàng cách tiến hành quảng cáo sản phẩm công ty hệ thống phát truyền hình Chi phí cho phút quảng cáo sóng phát 800.000 đồng, sóng truyền hình 4.000.000 đồng Đài phát nhận phát chƣơng trình quảng cáo dài phút Do nhu cầu quảng cáo truyền hình lớn nên đài truyền hình nhận phát chƣơng trình dài tối đa phút Theo phân tích, thời lƣợng phút quảng cáo, truyền hình có hiệu gấp

x y

O 1

x y

(d) (d')

-3

1

2 2

lần sóng phát Cơng ty dự định chi tối đa 16.000.000 đồng cho quảng cáo Công ty cần đặt thời lƣợng quảng cáo sóng phát truyền hình nhƣ để hiệu nhất?

Lời giải

Phân tích tốn: Gọi thời lƣợng cơng ty đặt quảng cáo sóng phát x (phút), truyền hình y (phút) Chi phí cho việc là: 800.000x 4.000000y (đồng)

Mức chi không đƣợc phép vƣợt qúa mức chi tối đa, tức: 800.000x 4.000.000y 16.000.000  hay x  5y 20 0 

Do điều kiện đài phát thanh, truyền hình đƣa ra, ta có:x 5, y 4  Đồng thời x, y thời lƣợng nênx 0, y 0  Hiệu

chung quảng cáo là:x 6y

Bài toán trở thành: Xác định x, y cho: M x; y  x 6y đạt giá trị lớn

Với điều kiện

x 5y 20 x

0 y

  

       

(*)

Trƣớc tiên ta xác định miền nghiệm hệ bất phƣơng trình (*)

Trong mặt phẳng tọa độ vẽ đƣờng thẳng

 d : x 5y 20  0, d' : x  5, d'' : y  4

Khi miền nghiệm hệ bất phƣơng trình (*) phần mặt phẳng(tam giác) khơng tơ màu hình vẽ Giá trị lớn M x; y  x 6y đạt điểm     5; , 5; , 20; 0

Ta có M 5; 3 23, M 5; 0 5, M 20; 0 20 suy giá trị lớn M x; y   23  5; tức đặt thời lƣợng quảng cáo sóng phát phút truy ền hình phút đạt hiệu

Ví dụ 2: Một xƣởng sản xuất hai loại sản phẩm, kg sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu 30 giờ, đem lại mức lời 40000 đồng Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu 15giờ, đem lại mức lời 30000 đồng Xƣởng có 200kg nguyên liệu 120 làm việc Nên sản xuất loại sản phẩm để có mức lời cao nhất?

Lời giải

(d)

x y

4

O 5 20

Phân tích tốn: Gọi x(x 0 ) số kg loại I cần sản xuất, y(y 0 ) số kg loại II cần sản xuất Suy số nguyên liệu cần dùng 2x 4y , thời gian 30x 15y có mức lời 40000x 30000y Theo giả thiết tốn xƣởng có 200kg nguyên liệu 120 làm việc suy 2x 4y 200  hay

x 2y 100 0   ,30x15y1200 hay 2x y 80 0  

Bài tốn trở thành: Tìm x, y thoả mãn hệ

x 2y 100

2x y 80

x

y

   

   

      

(*) cho L x; y 40000x 30000y đạt giá trị lớn Trong mặt phẳng tọa độ vẽ đƣờng thẳng

 d : x 2y 100  0, d' : 2x y 80    0

Khi miền nghiệm hệ bất phƣơng trình (*) phần mặt phẳng(tứ giác) khơng tơ màu hình vẽ

Giá trị lớn L x; y 40000x 30000y đạt điểm   0; , 40; , 0  ; 50 , 20; 40 Ta có

 0; , L 40; 

L 0 1600 000 ,

  1500000, L 20; 4 

L 0; 50  2000000 suy giá trị lớn

 

L x; y 2000000   x; y  20; 40

Vậy cần sản xuất 20 kg sản phẩm loại I 40 kg sản phẩm loại II để có mức lời lớn

2 Bài tập luyện tập.

Bài 4.63: Một công ty cần thuê xe vận chuyển 140 ngƣời hàng hóa Nơi cho thuê xe có 10 xe hiệu MITSUBISHI xe hiệu FORD Một xe hiệu MITSUBISHI chở 20 ngƣời 0,6 hàng Một xe hiệu FORD chở 10 ngƣời 1,5 hàng Tiền thuê xe hiệu MITSUBISHI triệu đồng, xe hiệu FORD triệu đồng Hỏi phải thuê xe loại để chi phí thấp nhất?

A.4 xe hiệu MITSUBISHI xe hiệu FORD

B.4 xe hiệu MITSUBISHI xe hiệu FORD

C.4 xe hiệu MITSUBISHI xe hiệu FORD

D.5 xe hiệu MITSUBISHI xe hiệu FORD

x y

100 50

O 20 80

Bài 4.63: Gọi x, y (x, yN) lần lƣợt số xe loại MITSUBISHI, loại FORD cần th Từ tốn ta đƣợc hệ bất phƣơng trình

0 x 10

0 y

20x 10y 140

0,6x 1, 5y   

   

  



  



0 x 10

0 y

2x y 14

2x 5y 30

      

   



  



(*)

Tổng chi phí T x, y 4x 3y (triệu đồng)

Bài tốn trở thành tìm x, y ngun khơng âm thoả mãn hệ (*) cho T x, y nhỏ nhất.  Từ ta cần thuê xe hiệu MITSUBISHI xe hiệu FORD chi phí vận tải thấp

Bài 4.64: Nhân dịp tết Trung Thu, Xí nghiệp sản xuất bánh Trăng muốn sản xuất hai loại bánh: Đậu xanh, Bánh dẻo nhân đậu xanh Để sản xuất hai loại bánh này, Xí nghiệp cần: Đƣờng, Đậu, Bột, Trứng, Mứt, Giả sử số đƣờng chuẩn bị đƣợc 300kg, đậu 200kg, nguyên liệu khác có Sản xuất bánh đậu xanh cần 0,06kg đƣờng, 0,08kg đậu cho lãi ngàn đồng Sản xuất bánh dẻo cần 0,07kg đƣờng, 0,04kg đậu cho lãi 1,8 ngàn đồng

Cần lập kế hoạch để sản xuất loại bánh để không bị động đƣờng, đậu tổng số lãi thu đƣợc lớn (nếu sản xuất bán hết)?

A.625 bánh đậu xanh 3750 bánh dẻo

B.628 bánh đậu xanh 3758 bánh dẻo

C.629 bánh đậu xanh 3759 bánh dẻo

D.630 bánh đậu xanh 3760 bánh dẻo

Bài 4.64: Gọi x, y lần lƣợt số bánh Đậu xanh, bánh Dẻo (x, y N ) Bài tốn trở thành tìm số tự nhiên x, y thoả mãn hệ 6x 7y 30000

2x y 5000

  

  

 cho L 2x 1,8y  lớn Từ ta có x 625

y 3750    

CHƯƠNG IV BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT DẤU CỦA

NHỊ THỨC BẬT NHẤT

BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM

NGUYỄN BẢO VƯƠNG

§3 BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Giải biện luận bất phƣơng trình dạng ax b 0  . 2 Hệ bất phƣơng trình bậc ẩn B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG TOÁN 1: GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH DẠNG ax b 0.

1 Các ví dụ minh họa. 2 Các tập luyện tập.  DẠNG TOÁN 2: GIẢI HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN. Các ví dụ minh họa 3 Bài tập luyện tập. 13 DẠNG TOÁN 3: BẤT PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 16

1 Các ví dụ minh họa. 16 Bài tập luyện tập 22 §4 DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT 26 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 26 1 Nhị thức bậc dấu nó. 26

Bài 2: Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc ẩn 52 Bài 3: Dấu nhị thức bậc nhất 57

§3 BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

A TĨM TẮT LÝ THUYẾT. 1 Giải biện luận bất phƣơng trình dạng ax b 0 

Giải bất phƣơng trình dạng ax b 0  (1)

 Nếu a 0 bất phƣơng trình có dạng 0.x b 0  - Với b 0 tập nghiệm BPT S = 

- Với b 0 tập nghiệm BPT S

 Nếu a 0 1 x b

a suy tập nghiệm

b

S ;

a

 

   

 

 Nếu a 0 1 x b

a suy tập nghiệm ; b S

a

Các bất phƣơng trình dạng ax b 0,ax b 0,ax b 0 đƣợc giải hồn tốn tƣơng tự

2 Hệ bất phƣơng trình bậc ẩn

Để giải hệ bất phƣơng trình bậc ẩn ta giải bất phƣơng trình hệ bất phƣơng trình Khi tập nghiệm hệ bất phƣơng trình giao tập nghiệm bất phƣơng trình

B CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TỐN 1: GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH DẠNG ax b 0

1 Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Khẳng định sau Sai? a) mx 2x 3m  

A. m 2 bất phƣơng trình nghiệm với x(có tập nghiệm S ) B.m 2 bât phƣơng trình có nghiệm x 3 (có tập nghiệm S ;3 ) C.m 2 bât phƣơng trình có nghiệm x 3(có tập nghiệm S3;) D Cả A, B, C sai

b) x m m x 3x 4

A. m 2 bất phƣơng trình vơ nghiệm

B.m 2 bât phƣơng trình có nghiệm x m 2 C. m 2 bât phƣơng trình có nghiệm x m 2 D. Cả A, B, C sai

c) m29 x m 6x     

A. m 3 bất phƣơng trình nghiệm với x B.m 3 bât phƣơng trình có nghiệm 32

3 m x

m

d) m m x2 2 x m2 1

A. m2 bất phƣơng trình vơ nghiệm

B. m 1 bât phƣơng trình có nghiệm 2 1

1 m

m x

m C. m 1 bât phƣơng trình có nghiệm 2 1

1

m m x

m

D. Cả A, B, C sai

Lời giải

a) Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với m x  3m 6

Với m 2 bất phƣơng trình trở thành 0x 0suy bất phƣơng trình nghiệm với x Với m2 bât phƣơng trình tƣơng đƣơng với x 3m

m 

 



Với m 2 bât phƣơng trình tƣơng đƣơng với 3 6 3

2 m x

m

Kết luận

2

m bất phƣơng trình nghiệm với x(có tập nghiệm S ) m2 bât phƣơng trình có nghiệm x 3(có tập nghiệm S ;3 )

2

m bât phƣơng trình có nghiệm x3(có tập nghiệm S 3; ) b) Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với m 2 x 4 m2

Với m2 bất phƣơng trình trở thành 0x 0suy bất phƣơng trình vơ nghiệm Với m 2 bât phƣơng trình tƣơng đƣơng với

2

4 m

x m

m



   



Với m 2 bât phƣơng trình tƣơng đƣơng với

2

4 m

x m

m 

   



Kết luận

2

m bất phƣơng trình vơ nghiệm

m2 bât phƣơng trình có nghiệm x m 2 m 2 bât phƣơng trình có nghiệm x  m

c) Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với m 3 2x m 3

Với m 3 bất phƣơng trình trở thành 0x 6suy bất phƣơng trình nghiệm với x Với m 3 bât phƣơng trình tƣơng đƣơng với

 2

m x

m  



Kết luận

3

m bất phƣơng trình nghiệm với x m 3 bât phƣơng trình có nghiệm 32

3 m x

m

d) Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với m31 x m  22m 1

  m 12 2 m x

m m



  

  (vì

2

2 1 1 3 0

2 4

Với m 1 bất phƣơng trình trở thành 0x 0suy bất phƣơng trình vơ nghiệm Với m 1 bât phƣơng trình tƣơng đƣơng với 2 1

1 m

m x

m

Với m 1 bât phƣơng trình tƣơng đƣơng với 2 1

1

m m x

m

Kết luận

2

m bất phƣơng trình vơ nghiệm

m 1 bât phƣơng trình có nghiệm 2 1

1 m

m x

m

1

m bât phƣơng trình có nghiệm 2 1

1

m m x

m

Ví dụ Tìm m để bất phƣơng trình m2 m x m 6x 2 vô nghiệm A. m 2 m 3

B. m 2 m 5 C. m5 m 3 D. m 5 m2

Lời giải

Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với m2m x    2 m

Rõ ràng 6 0 2

3

m m

m m bất phƣơng trình ln có nghiệm

Với m 2 bất phƣơng trình trở thành 0x 0 suy bất phƣơng trình vơ nghiệm Với m 3 bất phƣơng trình trở thành 0x 5 suy bất phƣơng trình vơ nghiệm Vậy giá trị cần tìm m 2 m3

Ví dụ 3. Tìm m để bất phƣơng trình 4m2 2x 1 4m2 5m 9 x 12m có nghiệm  x

A. 9

4

m B. 7

4

m C. 5

4

m D. 3

4 m

Lời giải

Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với 4m25m x 4m   212m

Dễ dàng thấy

1

4 5 9 0 9

4 m

m m

m bất phƣơng trình khơng thể có nghiệm  x

Với m 1 bất phƣơng trình trở thành 0x 16 suy bất phƣơng trình vô nghiệm Với 9

4

m bât phƣơng trình trở thành 0 27

4

Vậy giá trị cần tìm m



Ví dụ Tìm m để bất phƣơng trình 4m2 2m 1 x 5m 3x m 1 có tập nghiệm [ 1; )

A. m 2 B. m 3 C.m 5 D. m 1

Lời giải

Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với 4m2 2m 2 x 4m 1 m 2 4m 1 x 4m 1 Với

2

2 4 1 0 1

2 m

m m

m bất phƣơng trình vơ nghiệm nghiệm với x khơng

thỏa mãn u cầu toán

Với 1 2 4

4 1 0

m m m bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với x m 

 Do để bất phƣơng trình có tập nghiệm [ 1; ) 1 1 3

2 m

m (không thỏa mãn)

Với m m 2 1

4 4m

2 

      bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với 1

2

x

m suy

1 2

4

m không thỏa mãn yêu cầu toán

Với m 2 m 2 4m 1 0 bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với 1

2

x m

Do để bất phƣơng trình có tập nghiệm [ 1; ) 1 1 3

2 m

m (thỏa mãn)

Vậy m 3 giá trị cần tìm

Ví dụ 5: Tìm m để hai bất phƣơng trình sau tƣơng đƣơng

1 2 3 0

m x m (1) m 1 x m 4 0(2)

A. m 2 11 B. m  2 12 C.m 2 12 D. m  2 11

Lời giải

* Với m 1 bất phƣơng trình (1) trở thành 0.x 1 0(vơ nghiệm), bất phƣơng trình (2) trở thành 2x x     hai bất phƣơng trình khơng tƣơng đƣơng

* Với m 1 bất phƣơng trình (1) trở thành 2x x

      , bất phƣơng trình (2) trở thành

* Với m 1 ta có  1 x 2m m

  

 ,

4 2

1

m x

m

Suy hai bất phƣơng trình tƣơng đƣơng 3 2 4

1 1

m m

m m

2

m 4m m 11

       

Đối chiếu với điều kiện m 1 suy m 2 11 * Với 1 m 1 ta có 1 3 2

1 m x

m ,

4 2

1

m x

m hai bất phƣơng trình khơng tƣơng đƣơng

* Với m 1 ta có 1 3 2

1 m x

m ,

4 2

1

m x

m

Suy hai bất phƣơng trình tƣơng đƣơng 2m m

m m

 

 

 

2 4 7 0 2 11

m m m

Đối chiếu với điều kiện m 1 suy m  2 11

Vậy hai bất phƣơng trình tƣơng đƣơng m 2 11

2 Các tập luyện tập.

Bài 4.66: Khẳng định sau sai? a) m(x m) x 1.  

A. Nếu: m=1 0x 2 (đúng) Tập nghiệm: S=R

B. Nếu: m>1 thìx m+1 Tập nghiệm: S= ;m 1 C. Nếu : m<1 xm+1 Tập nghiệm: S= m 1; D Cả A, B, C sai

b) 3x m2 m x( 3).

A. Nếu: m=3 bất phƣơng trình 0x0: nghiệm với x B. Nếu: m>3 bất phƣơng trình có nghiệm x m C. Nếu: m<3 bất phƣơng trình có nghiệm xm D. Cả A, B, C sai

Bài làm:

Bài 4.66: a) m x( m) x 1 (m 1)x m2 1 Nếu: m=1 0x 2 (đúng) Tập nghiệm: S=R

Nếu : m<1 xm+1 Tập nghiệm: S=  m 1;  b) 3x m2 m x( 3) (m 3)x m2 3 m Nếu: m=3 bất phƣơng trình 0x0: nghiệm với x Nếu: m>3 bất phƣơng trình có nghiệm xm

Nếu: m<3 bất phƣơng trình có nghiệm x m

Bài 4.67: a)Tìm m để bất phƣơng trình mx 2 x m vô nghiệm

A. m 1 B. m 3 C. m  D. m 1

b) Tìm m để bất phƣơng trình m x2 1 9x 3m có nghiệm x

A. m 1 B. m 3 C.m D. m 1

Bài làm:

Bài 4.67: a) Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với m 1 x 2 m Rõ ràng m 1 bất phƣơng trình ln có nghiệm

Xét m 1 bât phƣơng trình trở thành 0x 1 suy bất phƣơng trình nghiệm với x Vậy khơng có giá trị m thỏa mãn u cầu tốn

b) Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với m2 9 x m2 3m

Dễ dàng thấy m2  9 0 m 3 bất phƣơng trình khơng thể có nghiệm x

Với m3 bất phƣơng trình trở thành 0x 18 suy bất phƣơng trình vơ nghiệm

Với m 3 bât phƣơng trình trở thành 0x 0 suy bất phƣơng trình nghiệm với x Vậy giá trị cần tìm m 3

Bài 4.68: Cho hàm số f x   2m x 3m 2   

a) Tìm m để phƣơng trình f x 0 có nghiệm x 0;1

A. 2 3

3 m B.

2 m

3 C.m 3 D.

m

2 m

3    

  b) Tìm m để f x 0 với x  1; 2

A. 4 m B. m

5

 C.

4 1 5 m

m D.

1 4

Bài làm:

Bài 4.68: a) Ta có đồ thị hàm số y f x   0;1 đoạn thẳng AB với A(0; 3 m2) B(1; m 3) nên phƣơng trình f x 0 có nghiệm

 0;1 đoạn thẳng AB có điểm chung với trục hoành  điểm đầu mút A, B nằm hai phía Ox (có thể nằm Ox) Điều có nghĩa

   0 1 0

f f  ( 3 2)( 3) 0 2 3

3

m m m

b) Ta có f x  với x [ 1; 2]đồ thị hàm số y f x  đoạn [1; 2] nằm Ox  hai đầu mút đoạn thẳng nằm Ox

 ( 1) 0

(2) 0

f

f 

5 1 0 4 0

m

m 

1 4

5

m

Bài 4.69: Tìm m để bất phƣơng trình m 2x 1 2x 1 có tập nghiệm [1; )

A. m3 B.m 1 C.m 1 D. m 1

Bài làm:

Bài 4.69: Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với 2m 2 x m 1

Với m 1 bất phƣơng trình vơ nghiệm khơng thỏa mãn yêu cầu toán Với m 1 bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với 1

2 2

m x

m

Do để bất phƣơng trình có tập nghiệm [1; ) 1 1 3

2 2

m

m

m (thỏa mãn)

Với m 1 bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với 1

2 2

m x

m suy m 1 không thỏa mãn yêu cầu toán

Vậy m 3 giá trị cần tìm

Bài 4.70: Tìm m để hai bất phƣơng trình sau tƣơng đƣơng

2 m x 2m 4 0 m x m   2 4 0

A. m 1 B. 1 m 2 C.m 2 D.m 

Bài làm:

Bài 4.70: * Với m 2 bất phƣơng trình 2 m x 2m 0     (1) trở thành 0.x 0  (nghiệm với x), bất phƣơng trình m x m   2 4 0 (2) trở thành 3x 0  x 0 hai bất phƣơng trình khơng tƣơng đƣơng

* Với m 1 bất phƣơng trình (1) trở thành 3x x

     , bất phƣơng trình (2) trở thành 0.x 0  ( vơ nghiệm) hai bất phƣơng trình khơng tƣơng đƣơng

* Với m 2 không thỏa mãn yêu cầu tốn * Với 1 m 2 ta có 1 2 4

2 m x

m ,

2 4 2

1 m x

m

Suy hai bất phƣơng trình tƣơng đƣơng

2

2 4 4

2 2 1

m m

m

m m (loại)

* Với m 1 khơng thỏa mãn u cầu tốn

Vậy khơng có giá trị m để hai bất phƣơng trình tƣơng đƣơng

DẠNG TỐN 2: GIẢI HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

1 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải hệ bất phƣơng trình sau: a) 5x 4x

5x x

   

   



A.

7 3 2 x

x B. x 7 C.

3 2

x D Vô nghiệm

b)

6x 4x

7 8x

2x



  



 

  



A. x

 B. 22

7

x C. 7

4

x D. 22

7 x

c)

 2

5x 4x

x x

   

 

 



A. 1 x B.x 7 C. 1 x 7 D. Vô nghiệm

d)

x 2x 3x x

5 3x x



   

     

  



A. 11 5

5 x 2 B.x 2 C.

11

5 x D.

5 2 x

Lời giải

a) Hệ bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với x

5x 4x

3 5x x x

2

 

    

    



 

Suy hệ bất phƣơng trình vơ nghiệm b) Hệ bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với

5 22

6 4 7 7

7 7

8 3 2 5 7 4

2 4

x x x

x x

x x

Vậy hệ bất phƣơng trình có nghiệm x 

c) Hệ bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với 7 1 7

1

x

x x

Vậy hệ bất phƣơng trình có nghiệm   1 x

d) Hệ bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với

2

5 11 5

2 5 2

11 5 x

x x

x

Vậy hệ bất phƣơng trình có nghiệm 11 5

5 x 2

Ví dụ 2. Tìm m để hệ bất phƣơng trình sau có nghiệm

a) 2 1 2 2

1 4 2 3 6

x x

m m x m m x m

A. m 0 B.m 0 C. m 0 D. m 0

b) m mx 1  

m mx 2m

  

 

  



A. 1 3

m B. m

3

 C. 1

3

m D. m

3 

Lời giải

a) Hệ bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với 2 32

2 3 4 6

x

m x m m

2 3

3 4 6

2 x

m m

x

m

Suy hệ bất phƣơng trình có nghiệm

2

3m 4m

3 m

m

 

  



Vậy m 0 giá trị cần tìm

b) Hệ bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với

2

2 4 1

m x m

m x m

Với m 0 ta có hệ bất phƣơng trình trở thành 0 2

0 1

x

x suy hệ bất phƣơng trình vơ nghiệm

Với m 0 ta có hệ bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với 2

2

4 1

m x

m m x

m

Suy hệ bất phƣơng trình có nghiệm 22 4 2 1 1

3

m m

m

m m

Vậy m

 giá trị cần tìm

Ví dụ Tìm m để hệ bất phƣơng trình sau vơ nghiệm a)  

2 2

x x 7x

2m 5x

    

 

 



A. m 72 13

 B. m 72

13

 C. 72

13

m D. 72

13 m

b) 1 1

2 3 5 4

mx x

x x

A. m 1 B. m 1 C.m 1 D.Vô nghiệm

Lời giải

a) Hệ bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với 8 13 2 8 5 x m x

Suy hệ bất phƣơng trình vơ nghiệm 8 2 8 72

13 5 13

m

m

Vậy m 72 13

 giá trị cần tìm

b) Hệ bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với

1 2

14 3

m x

x

Với m 1 hệ bất phƣơng trình trở thành

0 2

14 3 x

x (hệ bpt vô nghiệm)

Với m 1 hệ bất phƣơng trình

2 x m 14 x         

suy hệ bất phƣơng trình vơ nghiệm

 

2 14

6 14 m m

m



       



Do m 1 hệ bất phƣơng trình vơ nghiệm Với m 1 hệ bất phƣơng trình

2 x m 14 x         

(hệ bpt ln có nghiệm)

Vậy giá trị cần tìm m 1

Ví dụ Tìm m để hệ bất phƣơng trình 2 1 3

4 3 4

m x x

mx x có nghiệm

A. 1

4

m B. m

4

 C.m 1 D. m

2 

Lời giải

Hệ bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với    

2m x 2m

4m x

   



   



Giả sử hệ bất phƣơng trình có nghiệm 3 2 3

2 1 4 4

m

m m

2

8m 26m 15 m

4

      5

2

m

Với 3

4

m hệ phƣơng trình trở thành

3

1 x x

Với 5

2

m hệ phƣơng trình trở thành 4 2 1

6 3 2

x

x x

Vậy giá trị cần tìm 3

4

m

3 Bài tập luyện tập.

Bài 4.71: Giải hệ bất phƣơng trình sau:

a) 4x

x

3x

2x

 

  

 

  



A. 26 28

3 x 5

   B. 26 x

3

  C. 28

5



x D. Vô nghiệm

b)

4

12x x

3

4x x

2



  



  

 



A. 5

78x B.

13 x

14

 C. 5 13

78 x 14 D. Vô nghiệm

c)

x

x

2

2x 19 x

3

   

  

 



A. x12 B. x 75 C. x75 D. x75

d)

11

2 5

2

8

2 3 1

2 x

x x x

A. 12 21

11 x 5

   B. x 21

5

 C. 12

11

 x D. Vô nghiệm

Bài làm:

Bài 4.71: a) 26 28 3 x 5

   b) 5 13 78 x 14

c) x75 d) 12 21

11 x 5

  

Bài 4.72: Tìm m để hệ bất phƣơng trình sau có nghiệm

a) 4 3 1 3 3

1

x x

x m

A. m 1 B.m 2 C. m0 D. m 2

b)

 

      x 3(x 4)

3x x

m x m x m

   

   



     



A. m 2 B. m 2 C.m 1 D. m 1

Bài làm:

Bài 4.72: a) Hệ bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với 2

1

x

x m

Suy hệ bất phƣơng trình có nghiệm m  m 1 Vậy m 1 giá trị cần tìm

b) Hệ bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với

2

2 4

4

2 2

x

x x

x m

x m

Suy hệ bất phƣơng trình có nghiệm m 4  m 2

Vậy m 2 giá trị cần tìm

Bài 4.73: Tìm m để hệ bất phƣơng trình sau vơ nghiệm

a) 2 7 8 1

5 2

x x

m x

A. m 3 B.m 3 C.m 3 D. m 3

b)      

2

3x x

x x

mx m x m

   

    



    



A. m 3 B. m 3 C.m 3 D. m 3

Bài làm:

Bài 4.73: a) Hệ bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với x

m x

2   

 

 

Suy hệ bất phƣơng trình vơ nghiệm 1 5 3

2 m

m

Vậy m 3là giá trị cần tìm

b) Hệ bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với

3 3 1

1 1

1 2 2

x x

x m

x m

x

Suy hệ bất phƣơng trình vơ nghiệm 1 1 3

2 m

m

Vậy m3 giá trị cần tìm

Bài 4.74: Tìm m để phƣơng trình 15x211xy 2y 2 7 có nghiệm thỏa mãn  

 

2 3 0

x y

m x my

A. m

2

   B. m0 C. m0 D.Vô nghiệm

Bài làm:

Bài 4.74: Ta thấy y  0 phƣơng trình vơ nghiệm Với y0 Đặt x ty

 

2 2

15x 11xy 2y   7 y 15t 11t 2  7

 

  

  2 3 0

x y

m x my

   



  

( 1) 0

(2 3 ) 0

y t

y m t m (*)

Phƣơng trình có nghiệm 15t2 11t 0 3t 5t 2  0 t

3

          

Do

  

 

  

0 (*)

2 3 0

y

m t m

Nhƣ ta cần tìm m để hệ bất phƣơng trình



  



   

1 2

3 5

2 3 0

t

m t m

(**) có nghiệm với ẩn t

Với m0 hệ bất phƣơng trình (**) có nghiệm

Với m0

1 2

3 5

(**)

3 2

t t

m

     

   

Hệ bất phƣơng trình (**) có nghiệm

   

    

            

  

   

0 9

3 1 2 9

0 0

2 3 2

9 2 m m

m m

m

m

Vậy m

   giá trị cần tìm

DẠNG TỐN 3: BẤT PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.

1 Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Cho bất phƣơng trình tham số 1 0

1

mx m

x , Khẳng định sau sai? A. m

2

  tập nghiệm bất phƣơng trình S ;1 1 m;

m B. m

2

 tập nghiệm bất phƣơng trình S \ 1

C. m

 tập nghiệm bất phƣơng trình S ;1 m 1;

m D. m 0 tập nghiệm bất phƣơng trình S \ 2;1 m

m

Lời giải

ĐKXĐ: x 1

Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với 1

1 0

x

mx m (3)

x mx m

 

   

 (4)

+ TH1: m 0 ta có (3) 1 1 x m x m (4) x 1 m x m        

Nếu 1 1 1

2 m

m

m (3)

1 m

x

m (4)  x

Suy nghiệm bất phƣơng trình x  ;1 m; m

  

   

 

Nếu 1 1 1

2 m

m

m (3)  x (4) x 1

Suy nghiệm bất phƣơng trình x \ 1 Nếu m m

m



   (3) x 1 (4) x m m   

Suy nghiệm bất phƣơng trình x ;1 m 1;

m

+ TH2: m 0 ta có (3) trở thành 1 1

0 1 0

x

x

x , (4) trở thành

x 0x

 

  

 (vô nghiệm) Suy nghiệm bất phƣơng trình x 1;

+ TH3: m 0 ta có (3)

x 1 m x m       

 (4)

x 1 m x m        

Nếu 1 1 1

2 m

m

m (3)

1 m x 1;

m

  

  

  (4)

1

;1 m;

x

m

Suy với m 0 nghiệm bất phƣơng trình x \ 1;1 m m         Kết luận 1 0 2

m tập nghiệm bất phƣơng trình S  ;1 m; m          1 2

m tập nghiệm bất phƣơng trình S \ 1 

1 2

m tập nghiệm bất phƣơng trình S ;1 m 1;

m 0

m tập nghiệm bất phƣơng trình S 1;

m 0 tập nghiệm bất phƣơng trình S \ 1;1 m

m

Ví dụ 2: Cho bất phƣơng trình m24 x m 3   2

a) Giải bất phƣơng trình m 1 A. S ( ; 2]

3

   B. S 2;

3 C. S D. S

b) Tìm m để bất phƣơng trình nghiệm với x

A. m 2 B.m 2 C. m 2 D.Không tồn m

Lời giải

a) Khi m 1 bất phƣơng trình trở thành 3x 2 2

3 2 0 2 3 2 4 3

x

x

x

Vậy tập nghiệm bất phƣơng trình S ( ; 2]

3

b) ĐKXĐ: m24 x m 0    (*)

Giả sử bất phƣơng trình nghiệm với x (*) x Suy m2 4 0 m 2

Với m 2 ta có bất phƣơng trình trở thành 0.x 3  2(vô nghiệm)

Với m 2 ta có bất phƣơng trình trở thành 0.x 3  2 (đúng với x) Vậy m 2 giá trị cần tìm

Ví dụ 3: Cho bất phƣơng trình x 1(x 2m 2) 0

a) Giải bất phƣơng trình m 2

A. S 1 [2;) B. S 1 ;2

C. S D. S

b) Tìm m để x 2;3 nghiệm bất phƣơng trình cho

A. 3

2

m B. 3 2

2 m C. m 2 D.

3 2 m

Lời giải

a) Khi m 2 bất phƣơng trình trở thành x 1(x 2) 0  

Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với

1 0

1 0

2 0

x x x x

x x

x

x

 

  

  



 

  

Vậy tập nghiệm bất phƣơng trình S 1 [2; )

b) Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với

1 0 1 0 2 2 0

x x

x m

x x

x 2m

 

   

  



+ TH1: 2m m

    : Ta có bất phƣơng trình x

x 2m

 

   



Suy tập nghiệm bất phƣơng trình S 1 [2m 2; ) Do x 2; 3 nghiệm bất phƣơng trình (*)

2;3 S 2m 2 2 m 2

Suy 3 2

2 m thỏa mãn yêu cầu toán

+ TH2: 2m m

    : Ta có bất phƣơng trình 1 1

1

x

x x

Suy 3

2

m thỏa mãn yêu cầu toán

+ TH3: 2 2 1 3

2

m m : Ta có bất phƣơng trình x x x

 

   

 Suy 3

2

m thỏa mãn yêu cầu tốn Vậy giá trị cần tìm m 2

Ví dụ 4: Tìm tất giá trị m để

a) Bất phƣơng trình mx 0  (1) nghiệm với x 8

A. 1 1

2 m 2 B.m 0 C.m 0 D.

1

m

2

  

b) Bất phƣơng trình 2 2 3 0

1

mx

m

x (2) nghiệm với x (0; )

A. m

2

  B. 3

2

m C.m 0 D. 3 0

2 m

Lời giải

W

a) Cách 1: Ta có x        8 x x  8; 8 + TH1: m 0 ta có (1) mx x

m

     

Suy tập nghiệm bất phƣơng trình (1) S 4 ;

m

Bất phƣơng trình (1) nghiệm với x 8

 

8; S m

m

       

Suy 0 1

2

m thỏa mãn yêu cầu tốn

+ TH2: m 0 bất phƣơng trình (1) trở thành 0.x 4 0(đúng với x) Do m 0 thỏa mãn u cầu tốn

+ TH3: m 0 ta có (1) mx x m

     

Suy tập nghiệm bất phƣơng trình (1) S ; 4

m

Bất phƣơng trình (1) nghiệm với x 8

 

8; S m

m

       

Suy 1 0

2 m thỏa mãn yêu cầu toán

Vậy m

2

   giá trị cần tìm

Cách 2: Bất phƣơng trình (1) nghiệm với x 8 khimx 4 0, x 8;8

Xét hàm số f x mx 4 Ta biết đồ thị đƣờng thẳng

( 8) 0 ( ) 4 0, 8;8

(8) 0

f

f x mx x

f 1

8 4 0 2 1 1

8 4 0 1 2 2

2 m m

m m

m

Vậy m

2

b) Đặt 2

1

x t

x bất phƣơng trình trở thành mt 2m 3 0

Với x 0 ta có 2

2

1 2 1 2

x x

x x

1 t

2

 

Bất phƣơng trình (2) nghiệm với x (0; ) bất phƣơng trình mt 2m 0   với

2 3 0 3

1 3

(0; ] 1 2

2 2 3 0 2 2

2 m

m

t m

m m m

Vậy m

  giá trị cần tìm

Nhận xét : Bất phƣơng trình 0, ; 0

0

f

f x ax b x

f , Bất phƣơng trình

0 0, ;

0

f

f x ax b x

f Các trƣờng hợp khác tƣơng tự

Ví dụ 5: Cho phƣơng trình m 1 x2 4m 3 x 4m 1 0 (1) Tìm m để phƣơng trình (1) a) Có nghiệm lớn nghiệm nhỏ

A. m 1 B.m 1 C. m 1 D. Vô nghiệm

b) Có nghiệm lớn

A. m 1 B. m

4

    C.m 1 D. m

4  

Lời giải

Đặt y x 2 x y 2 phƣơng trình (1) trở thành    2  

m y 2   4m y 2  4m 0 

1 4 1 4 1 4 3 2 4 3 4 1 0

m y m y m m y m m

m y y 0

     (2)

a) Phƣơng trình (1) có nghiệm lớn nghiệm nhỏ phƣơng trình (2) có hai nghiệm trái + TH1: Với m 1 phƣơng trình (2) trở thành y 0   y suy m 1 không thỏa mãn yêu cầu tốn TH2: Với m 1 phƣơng trình (2) phƣơng trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu

1

0 0 1 0 1 1

P m m

m

Vậy với m 1 phƣơng trình (1)

b) Ta có phƣơng trình (1) có nghiệm lớn phƣơng trình (2) có nghiệm dƣơng

 Với m 1 phƣơng trình (2) trở thành y 0   y suy m 1 thỏa mãn yêu cầu toán

 Với m 1 phƣơng trình (2) phƣơng trình bậc hai + TH1: Phƣơng trình (2) có hai nghiệm dƣơng phân biệt

1 4 1 0

0 1 5

5 0

0 1 4 1

4 1

0 1

0 1

m

m

S m m

m P

m

+ TH2: Phƣơng trình (2) có hai nghiệm trái dấu m 1 (theo câu a) + TH3: Phƣơng trình (2) có nghiệm kép dƣơng

  5

1 4 1 0

0 5

4 1

0 0 4

1 1

m

m

m S

m m

           

        

      

+ TH4: Phƣơng trình (2) có nghiệm dƣơng nghiệm không

 

0

S m 1

1

P 0

m

Δ

1 m



 



  



 

   

   

  

  

(không tồn giá trị m )

Vậy 5

4

m giá trị cần tìm

Nhận xét: Để so sánh nghiệm phƣơng trình bậc hai ax2bx c 0 với số thực ta đặt y x quy việc xét

dấu nghiệm phƣơng trình bậc hai Bài tập luyện tập

Bài 4.75: Cho bất phƣơng trình 2x m x

  

 Khẳng định sau sai? A. m 3 tập nghiệm bất phƣơng trình S  ; 1 m;

2

  

    

 

B. m 3 tập nghiệm bất phƣơng trình S \ 1

C. m3 tập nghiệm bất phƣơng trình ;1 1;

2 m

S

D Cả A, B, C sai

Bài làm:

Bài 4.75: ĐKXĐ: x 1

Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với 1

2 1 0

x

x m (1)

1 2 1 0

x

x m (2)

Ta có (1)

1 1

2 x

m x , (2)

x

1 m x

2

  



  

 

Nếu 1 1 3

2 m

m (1) 1

2 m

x , (2) x 1

Suy bất phƣơng trình có nghiệm x  ; 1 m;

  

    

 

Nếu 1 1 3

2 m

m (1)  x 1, (2) x 1 Suy bất phƣơng trình có nghiệm x \ 1 

Nếu 1 1 3

2 m

m (1)   x 1, (2) 1

2 m

x

Suy nghiệm bất phƣơng trình x ;1 m  1; 

  

    

 

Kết luận

3

m tập nghiệm bất phƣơng trình ; 1 1 ;

2 m S

3

m tập nghiệm bất phƣơng trình S \ 1 

m3 tập nghiệm bất phƣơng trình ;1 1;

2 m

S

Bài 4.76: Tìm điều kiện m để phƣơng trình 2x2 2m 1 x m 1 0 a) Có hai nghiệm khác dấu

A.

m m

2

 

 



 B.m 1 C.

3 m

2

 D. Vơ nghiệm

b) Có hai nghiệm phân biệt âm

A.

m m

2

 

 



 B.m 1 C.

3 m

2

 D. Vô nghiệm

c) Có hai nghiệm phân biệt dƣơng

A.

m m

2

 

 



 B. m 1 C.

3 2

m D. Vô nghiệm

d) Có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu

A.

1 3 2 m

m B. m 1 C.

1 m

2

 D. Vô nghiệm

Bài làm:

Bài 4.76: a) Phƣơng trình có hai nghiệm khác dấu P 0 hay m 1 0 m 1 b) Phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt âm

 2

2m

Δ m 1

S 2m 3

m

P m

    

 

 

     

  



     

 



c) Phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt dƣơng

0 2 3 0 0 1 2 0 0 1 0

m

S m

P m

khơng có giá trị m thoả mãn

d) Phƣơng trình có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu hay phƣơng trình có hai nghiệm đối Phƣơng trình có hai nghiệm đối Δ 2m m

S

 

    

 



Bài 4.77: Cho bất phƣơng trình 4 x m2 1 x 5m2 0 Khẳng định sau sai?

A Nếu  2 m 2 2 4 5 1 x m x m        

B Nếu m  2 m 2  x 4

C Cả A, B D Cả A, B sai

Bài làm:

Bài 4.77: Ta có

 

x

x

bpt

m x 5m

              2 4 4 5 1 x x m x m            (*)

 Nếu

2

2

5m

4 m m

m 1       ta có

(*) 2 4 5 1 x m x m        

 Nếu

2 2 2 5 4 4 2 1 m m m m m            :   4 * 4 4 x x x        Bài 4.78:

a) Cho bất phƣơng trình 1 4 2 2 2 3

1 1

x x

m

x x Tìm m để bất phƣơng trình nghiệm với x 0

A. 4 m B. 2

3

m C. 4 2

3

m D. Vô nghiệm

b) Với điều kiện a b, bất phƣơng trình a x 1 b 0

x nghiệm với x 0 A. a0; b 0 B.a 0;b 0 C.a 0;b 0 D. a0; b 0

Bài làm:

Bài 4.78: a) m

   b) a0; b 0

Bài 4.79: Tìm m để phƣơng trình x22x22m x 22x  m 3 0có nghiệm phân biệt

A.  ; 4 1 13 2

m      

 

  B.

1 13 2

  

 

  

 

 

m

C. m   ; 4 D.Vô nghiệm

Bài làm:

Bài 4.79: Đặt tx22x1 t0, suy x22x t 1 Thay vào phƣơng trình (1) ta đƣợc phƣơng trình sau:

   

2

2 1 4 0 *

t  m t  m

Để phƣơng trình ban đầu có nghiệm phân biệt pt (*) có nghiệm thỏa t1 0 t2, phƣơng trình (*) có nghiệm thỏa t 1 t2

 Phƣơng trình (2) có nghiệm t1          0 t2 P 0 m 4 0 m 4

 Phƣơng trình (2) có nghiệm

2

0 3 0 1 13

0

0 1 0 2

m m

t t m

S m

     

  

        

 

Kết luận: với  ; 4 1 13 2

m      

 

  phƣơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt §4 DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1 Nhị thức bậc dấu nó. a) Định nghĩa nhị thức bậc nhất:

Nhị thức bậc (đối với x) biểu thức dạng ax b, a b hai số cho trƣớc với a0

0

b x

a đƣợc gọi nghiệm cảu nhị thức bậc f x ax b

b) Dấu nhị thức bậc

Định lí: Nhị thức bậc f x ax bcùng dấu với hệ số a x lớn nghiệm trái dấu với hệ số a x nhỏ nghiệm

2 Một số ứng dụng

a) Giải bất phƣơng trình tích

 Dạng P(x) 0 (1) (trong P x tích nhị thức bậc nhất.)

 Cách giải: Lập bảng xét dấu củaP x  Từ suy tập nghiệm (1)

b) Giải bất phƣơng trình chứa ẩn mẫu

 Dạng ( ) 0

( ) P x

Q x (2) (trong P x , Q x    tích nhị thức bậc nhất.)  Cách giải: Lập bảng xét dấu ( )

( ) P x

Q x Từ suy tập nghiệm (2)

Chú ý: 1) Không nên qui đồng khử mẫu

2) Rút gọn bớt nhị thức có lũy thừa bậc chẵn (cần lƣu ý việc rút gọn để tránh làm nghiệm)

c) Giải bất phƣơng trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ)

 Tƣơng tự nhƣ giải phƣơng trình chứa ẩn dấu GTTĐ, ta thƣờng sử dụng định nghĩa tính chất GTTĐ để khử dấu GTTĐ

Chú ý: Với B 0 ta có A B B A B; A B A B

A B

  

   



B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG 1: LẬP BẢNG XÉT DẤU BIỂU THỨC CHỨA NHỊ THỨCBẬC NHẤT HAI ẨN.

1 Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Lập bảng xét dấu biểu thức sau a) 2x 3

A x

 3

2  2x 3

   0 

B x

 3

2  2x

  + 0  C

x

 3

2 

2x

   0 + D

x

 3

2  2x 3

  + 0  b) 4x 12

A

x  3  4x12  

B

x  

4x 12  + C

x  3  4x 12  0 +

D

x  4  4x12  0 +

c) x24

A

x  2 2  2

x  0  | + 2

x  |  +

2

4

x  + + + B

x  2  x 2 + + | +

2

x  |  +

2

4

x  +  + C

x  2 2  2

x  0 + | + 2

x + |  +

2

x 4 +  + D

x  2 2  2

x  0 + | + 2

x  |  +

2

x 4 +  + d) 2x25x 2

A

x

 1

2 2  1 2 x + 0  | 

2

x  |  +

2x 5x 2  +  B

x

 1

2  1 2 x + + | 

2

x  |  +

2

2x 5x

   + + 

C

x 

2  2x + 0 + | 

x 2  |  +

2

2x 5x

    +  D

x  1

2  2x +  | 

x 2  |  +

2

2x 5x

    + 

Lời giải

a) Ta có 2x x

     , a  2 0

Bảng xét dấu

x

 3

2  2x 3

  + 0  b) Ta có 4x 12 0   x 3, a 4

Bảng xét dấu

x   4x 12  +

c) Ta có x2 4 x x 2   , x 0

x 2, x x

        

Bảng xét dấu

x  2 2 

x 2  + | + x 2  |  +

2

x 4 +  + d) Ta có

x

2x 5x 1

x

  

    

  

Suy 2x2 5x 2 2 x x  x 2x 

2

 

          

 

Bảng xét dấu x

 1

2 2  1 2 x +  | 

x 2  |  +

2

2x 5x

    + 

Ví dụ 2: Lập bảng xét dấu biểu thức sau a) 2x

x  



A

x 

3

2 

2x

  +  |  x 2 + |  +

2 3

2 x

x  + || 

B

x

 3

2 

2x

  +  |  x 2  | + +

2 3

2 x

x  + || 

C

x

 3

2 2 

2x

  +  |  x 2 + | + + 2x

x  

  + ||  D

x 

2  2x

  + 0  |  2

x  |  +

2 3

2 x

x  + || 

b) 4x 122

x 4x





A

x   4x 12  |  + | +

x  + | + | + x 4  |  | + +

2

4x 12

x 4x



  || +  || + B

x  0 4  4x 12 + |  + | +

x  + | + | + x 4  |  |  0 +

2

4x 12

x 4x



  || +  || +

C

x  3 4  4x12  | + + | +

x  + | + | + x 4  |  |  0 +

2

4x 12

x 4x



  || +  || + D

x  0  4x12  |  + | +

x  + | + | + 4

x  |  |  +

2

4x 12

x 4x



  || +  || +

c) x x (x 2)  2 

A

x  2 2  x  |  + | + 2x + | + | + 

x 2  + | + | +  2

x x (x 2) 

  + 

B

x  2 0 

x + |  + | + x + | + | + +

2

x + + | + | +  2

x x (x 2) 

  + 

C

x  2 0 2  x  |  + | + x + | + | + + x 2  + | + | +  2

x x (x 2) 

  +  D

x  2 2  x + |  + | +

2 x + | + | +  2

x  + | + | +  2

x x (x 2) 

  + 

d)

 

2

4x

x 



A

x

 1 1 3

  3x 1 + |  + | +

1x + | + | +  x 1  + | + | +  

2

4x

x 

  ||  + 

B

x 

1

  3x1  |  + | +

1 x + | + | +  x 1  + | + | +  

2

4x

x 

  ||  + + C

x 

1

  3x 1  |  + | + 1x + | + | + 

x 1  + | + | +  

2

4x

x 

 + || + + 

D

x

 1 1 3

  3x1  |  + | +

1 x + | + | +  1

x  + | + | +  

2

4x

x 

  ||  + 

Lời giải

a) Bảng xét dấu

x

 3

2  2x 3

  +  |  x 2  |  +

2 3

2 x

x  + || 

b) Ta có 42 12 4 12

4 4

x x

x x

x x

Bảng xét dấu

x  0 4  4x12  |  + | +

x  + | + | + x 4  |  |  +

4 12

4 x

x x  || +  || +

c) Ta có x 4 x2 (x 2) x 2 x x 2 Bảng xét dấu

x  2 2 

x  |  + | + x + | + | +  x 2  + | + | +

2

4 ( 2)

x x x

  +  d) Ta có

 

   

    

2 2

2 2

x 4x 3x 1 x

4x

x x x

   

  

  

Bảng xét dấu

x  1

  3x 1  |  + | +

1 x + | + | +  x 1  + | + | +  

2

4x

x 

  ||  + 

Ví dụ 3: Tùy vào m xét dấu biểu thức sau 2

2

x m

x

A B C D

Lời giải

a) Ta có 2 0 2, 2 0

2

m

x    x x   m x

TH1: m m

2    :

Bảng xét dấu

x

 m

2 

2x m

  + | +  2

x  + | +

2 2

x m

x

 || + 

Suy 2 0 2;

2 2

x m m

x

x  

2x m m

0 x ; ;

x 2

   

     

  

TH2: 2 4

2

m

m

   : Ta có 2 2 2 2

2 2

x m x

x x

Suy 2x m x \ 2  x

    



TH3: m m

2    :

Bảng xét dấu

x 

m

2 2  2x m

  +  |  x 2  |  + 2x m

x  



 || +  Suy 2x m x m;

x 2

   

   

    

2x m m

0 x ; 2;

x 2

       

 

  

2 Bài tập luyện tập.

Bài 4.80: Lập bảng xét dấu biểu thức sau a)  4x

A

x  2  4x

  + 0 +

B

x   4x

   0 

C

x   4x

  + 0  D

x   4x

   0 + b) 3x 9

A

x  3  3x 9  0 

B

x  3  3x 9 + +

C

x  3 

3x 9  0 + D

x  3 

3x 9 + 0 

c) x2 4x 3 A

x  3 1  x 2 + 0 + | +

2

x  |  +

2

x 4 +  + B

x  3 1  x 2  + | +

2

x  | + +

2

x 4 +  + C

x  3 1  x 2  0 + | +

2

x + |  +

2

x 4 +  +

D

x  3 1  2

x  + | + 2

x  |  +

2

x 4 +  + d) 3x2 10x 3

A

x  1

3  3x +  | 

x 3 + |  +

2

3x 10x

    +  B

x

 1

3  1 3 x + 0 + | 

3

x  |  +

3x 10x 3  +  C

x 

3 3  3x +  | 

x 3  |  +

3x 10x 3  + + D

x 

3  3x +  | 

x 3  |  +

2

3x 10x

    + 

Bài làm:

Bài 4.80: a) Ta có     4x x 2, a  4 0 Bảng xét dấu

x  

4x 8 +  b) Ta có 3x 0    x 3, a 4 0

Bảng xét dấu

x  3  3x 9  0 +

c) Ta có x24x 3 x x 3   , x 1 0 x 1,x 3 0 x 3

Bảng xét dấu

x  3 1  x 2  0 + | +

x 2  |  +

2

x 4 +  + d) Ta có

3

3 10 3 0 1

3 x

x x

x

Suy 3x210x 3 x 3x   

Bảng xét dấu

x 

3 3 

1 3 x + 0  |  x 3  |  +

3x 10x 3  +  Bài 4.81: Lập bảng xét dấu biểu thức sau

a) 2x x  

 A

x   2x

  + + |  3

x + |  +

2 4

3 x

x + + || 

B

x  2 3  2x 4

  +  |  3

x  |  +

2 4

3 x

x  + || +

C

x  2  2x

  + 0 + |  x 3  | + + 2x

x

 

  + || 

D

x  2  2x 4

  +  |  3

x  |  + 2x

x

 

  + || 

b) 4x 82

x 3x





A

x  0 2  4x 8  |  + | +

x  + | + | + x 3  |  |  0 +

2

4x

x 3x



  || +  || +

B

x  3  4x 8 + |  + | +

x  + | + | + x 3  | + | + +

4 8

3 x

x x  || +  || + C

x  2  4x8  |  + | +

x  + | + | + 3

x  | + | + +

4 8

3 x

x x  || +  || + D

x  0 3  4x 8  |  + | +

x  + | + | + 3

x + |  |  +

2

4x

x 3x



  || +  || +

c) x 9 x2 (x 3) A

x  3 3  x + |  + | + x + | + | + 

3

x  + | + | +  2

x x (x 3)    +  B

x  3 0  x  | + + | + x + | + | + 

3

x  + | + | +  2

x x (x 3)    +  C

x  3 0 

x  |  + | + 3x + | + | + 

3

x  + | + | +  2

x x (x 3)   + + +

D

x  3 

x  |  + | + x + | + | + 

3

x  + | + | +

9 ( 3)

x x x   + 

d)  

2

x x





A

x  1

  2x 1  | + +

1

x  + | +  

2

x x



  ||  +

B

x 

1

  2x1 + |  +

x 1  + | +

2 1 1 x

x  ||  + C

x 

1

  2x 1  |  +

1

x + + | +  

2

x x



 + ||  + D

x 

1

  2x 1  |  +

1

x  + | +  

2

x x



  ||  +

Bài làm:

Bài 4.81: a) Bảng xét dấu

x   2x 4

  +  |  x 3  |  + 2x

x

 

  + ||  b) Ta có

 

2

4x 4x x x x 3x

  

 

Bảng xét dấu

x  0 2  4x8  |  + | +

x  + | + | +

x 3  |  |  +

2

4x

x 3x



  || +  || + c) Ta có x x (x 3)  2  x x x 3    2

Bảng xét dấu

x  3 

x  |  + | + 3x + | + | + 

x 3  + | + | +  2

x x (x 3)    +  d) Ta có

 

 

   

2 2

2 2

x x

x 2x

1

x x x

  

  

  

Bảng xét dấu x

 1 1 2

  2x 1  |  +

x 1  + | +

2 1 1 x

x  ||  +

DẠNG 2: ỨNG DỤNG XÉT DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT HAI ẨN VÀO GIẢI TỐN.

1 Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Giải bất phƣơng trình sau a) x 1 2 3x 0

A. S 2;1

 

  

  B.

2

S ;1

3

 

  

  C.

2 ;1 3

 

 

S D. 2;1

3

 

  

S

b) x x  25x 4 0

A. S  ;1 B. S 2; C. S  D. S  ;1   2; c) 2x x  3 1 0

A. S 1;1

 

  

  B.

1

S ;1

2

 

  

  C.

1

S ;1

2

 

 

  D.

1 ;1 2

 

  

S

d) x 3x 3 3 x2 0

A. S (  ; 3] B.S [0; )

C. S  D. S ( ; 3] [0; )

Lời giải

a) Ta có

1

1 2 3 0 2

3 x

x x

x

Bảng xét dấu

x  2

3  x 1  |  +

2 3x +  | 

1 2 3

x x  +  Suy bất phƣơng trình có tập nghiệm S 2;1

3

 

  

 

b) Ta có x 2 x2 5x 4 x 2 x 1 x 4 Bảng xét dấu

x  2  1

x  + | + | + x 2  |  + | + x 3  |  |  +

2

2 5 4

x x x  +  + Suy bất phƣơng trình có tập nghiệm S   ;1  2; 4

c) Ta có 2x x  3  1 2x x x    2  x 1

2x 1 x 1 0(vì

2

2 1 1 3 0

2 4

x x x )

Bảng xét dấu x

 1

2  1

x  |  + 2x1  + | +

1 2 3

x x +  + Suy bất phƣơng trình có tập nghiệm 1;1

2

S   

 

d) Ta có x 3x 3 3 x2 0 x 3 x 3 3 x 3 x 0   2   x 3

3x x x

x x

 



     

  

 Bảng xét dấu

x    x  |  +

x  + | + x 3x    +  +

Suy x x 3 0 x ( ; 3] [0; )

Vậy tập nghiệm bất phƣơng trình S ( ; 3] [0; )

Ví dụ 2: Giải bất phƣơng trình sau a)  2x 4 

2x 3x

  

 

A. S ( 1; )

  B.S [2; )

C. S ( 1; ) [2; )

    D. S

b) 32 2 1

1

x x

x

A. S (1; ) B. S ( 5; 1)  

C.S ( 5; 1) (1; ) D. S 

c) 1 2 1

4

2 x

x

A. S [4; ) B. S ( 4; 0] 

C.S ( 4;0] [4; ) D. S 

Lời giải

a) Bảng xét dấu

x 

1 3



2 

3x1  + | + | + 2x 1  |  + | +

2x

  + | + | +  2x 3x 12x 4 

 

  + ||  || +  Vậy tập nghiệm bất phƣơng trình ( 1 1; ) [2; )

3 2 S

b) Ta có x x 22  1 x x 22   x 5  x x

x x

    

     

 

 

Bảng xét dấu

x  5 1  5

x  + | + | + 1

x  |  + | + 1

x  |  |  +

x x 1x 5 



   + ||  || + Vậy tập nghiệm bất phƣơng trình S ( 5; 1) (1;    )

c) ĐKXĐ: x

x

    



Ta có

 2  2

1 1

0 x x

x x

   

 

 

  

    

   

2

2

x x x x

x 4x

0 0

x x x x x

 



     



   

Bảng xét dấu

x  4 4  4

x  + | + | + x  |  + | + x 4  |  |  +

   

4 4

x x x

 

 || +  +

Kết hợp với điều kiện xác định suy tập nghiệm bất phƣơng trình S ( 4;0] [4; )

Ví dụ 3: Giải bất phƣơng trình sau: a) 2x 1 3x

A. S1; B. S 1;

 

 

  C.

1

S ;

2

  

  

  D. S 

b) 2x 1 4 3

A. S ; 3 B. S 0;1

C. S4; D. S    ; 3   0;1  4;

c) x 1   x

A. S [1; ) B. S [3; ) C. S [2; ) D. S [4; )

Lời giải

a) Với 1 2

x  ta có bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với 2x 3x   x Kết hợp với điều kiện 1

2

x  suy bất phƣơng trình có tập nghiệm 1; Với x

2

  ta có bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với 2 1 3 1

5

x x x

Kết hợp với điều kiện 1 2

x  suy bất phƣơng trình vơ nghiệm Vậy tập nghiệm bất phƣơng trình S1;

b) Ta có 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 7

2 1 4 3 2 1 1

x x

x

x x

2x x

2x x

1 2x 1 x

    

 

      

      

 

Vậy tập nghiệm bất phƣơng trình S ; 3 0;1 4; c) Bảng xét dấu

x  1  1

x  0 + | + 2

x  |  + Từ bảng xét dấu ta chia trƣờng hợp sau

Với x 1 ta có bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với x 1 x 2 3

        (vô nghiệm)

Với   1 x 2 ta có bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với

x  1 x 2  3 x 2

Kết hợp với điều kiện   1 x suy bất phƣơng trình vơ nghiệm Với x 2 ta có bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với

x 1  x 2   3 3

Kết hợp với điều kiện x 2 suy bất phƣơng trình có nghiệm x 2 Vậy tập nghiệm bất phƣơng trình S [2; )

Ví dụ 4: Giải bất phƣơng trình sau: a) x 2 x 1

x

A. S ( ;2 )

  B. S ( ; 0)

C. S ( ; 0) ( ;2 )

    D. S 

b) x 14 2

x x

  



A. S    ( ; 1) (0;) \ 1 B. S  ( ; 1)

C. S (0; )\ 1  D. S    ( ; 1) (0;) \ 1 

c)   

x 2x x x

    





A. S [3; ) B. S (1; 2]

C. S (1; 2] [3;  ) D. S 

Lời giải

a) Với x 2 ta có bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với

2 2

1 1 2

x x

x

x x

Kết hợp điều kiện x2suy tập nghiệm bất phƣơng trình S1[2;) Với x2 ta có bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với

2 x x 2x 2x 3x

1 1 0

x x x x

    

       

Bảng xét dấu

x  0 2

3  x  + | +

3x 2  |  +

3x 2 x

+ ||  +

Kết hợp điều kiện x 2 suy tập nghiệm bất phƣơng trình S2 ( ; 0) ( ; 2)2

  

Vậy tập nghiệm bất phƣơng trình S 1 2 ( ;0) ( ;2 ) 3

S S

      b) ĐKXĐ: x4 x2 0 x

x

 

   

 



Ta có   

2

4 4

x 1 x 1

x 1 x 1

0 0

x x x x x x

                      

4 2

1 1

0 0 0

1 1 1

x x

x x

x x x x x x x

 

        

Bảng xét dấu

x  1 0  x 1  + | +

x  |  +  

x x 1

+ ||  || +

Kết hợp điều kiện xác đinh suy tập nghiệm bất phƣơng trình S (   ; 1) (0;)\ 1  c) ĐKXĐ:

1

2x x

x

x x 1

x

x x 1

                         

Vì x 1  2x 1 0, x 0   nên bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với  x 2x 1 x 2x 1 x 2 x 2

0 x

         

 

 x x 3  x

  

 



Bảng xét dấu

x   x 1  + | + | +

2

x

  + | +  | 

3

x  |  |  +  x x 3 

x

  



+ ||  +  Kết hợp với điều kiện xác định suy tập nghiệm bất phƣơng trình S (1;2] [3; )

Nhận xét:

* Đối với bất phƣơng trình phức tạp nên đặt điều kiện xác định sau rút gọn cho biểu thức chung rút gọn biểu thức xác định dấu

* Nhiều cần phải nhân hay chia với biểu thức xác định dấu nhằm khử thức hay dấu giá trị tuyệt đối tốn trở nên đơn giản

Ví dụ 5: Cho hệ bất phƣơng trình

  

  

2 2 2

0 (1)

2 1 2

2 (2)

x x

x x

mx

        

 

a) Giải hệ bất phƣơng trình m 1

A. S  B. S   ; 2 C. S 2;1  2

2

 

  

  D.S

b) Tìm m để hệ bất phƣơng trình có nghiệm A.   1 m 1 m

B.  1 m 0 m C.   21 m 0 m 12 D.  1 m 0 m 2

Lời giải

ĐKXĐ: x

1 x

2

    





Ta có     

     

x 2 x 2 x

1

0 2x x

2x x

 

  

   



  

 



Bảng xét dấu

x 

2

2 

2

x  + | + 2x 1  |  + 2x x 2 1  

+ ||  || +

Kết hợp với điều kiện suy tập nghiệm bất phƣơng trình (1) S1 2;1  2

 

  

 

a) Khi m 1 ta có bất phƣơng trình  2 trở thành     x 2 x 2 Kết hợp với điều kiện suy tập nghiệm bất phƣơng trình (2) S2   ; 2 Vậy tập nghiệm hệ bất phƣơng trình S  S1 S2  

b) Với m 0 bất phƣơng trình  2 trở thành 0.x2 suy bất phƣơng trình vơ nghiệm hệ bất phƣơng trình vơ nghiệm

 Với m0 bất phƣơng trình (2) x m

 

Đối chiếu với điều kiện ta có Nếu m

m 2  tập nghiệm bất phƣơng trình (2) 2 ; S m      

Hệ bất phƣơng trình có nghiệm 1 2

0 m 0 m 4

S S 2 m

2 m

m                      

Nếu 2 1 4

2 m

m   tập nghiệm bất phƣơng trình (2)

2 1 ; \ 2 S m            

Hệ bất phƣơng trình có nghiệm 1 2

m m 4

S S 2 m

2 m

m                     Với m 0 bất phƣơng trình (2) x

m   Đối chiếu với điều kiện ta có

Nếu 2 2 m 1

m     tập nghiệm bất phƣơng trình (2)  

S ; \

m

 

   

 

Hệ bất phƣơng trình có nghiệm 1 2

1 m 1 m 0

S S 2 m

m m                      

Nếu 2 m

m     tập nghiệm bất phƣơng trình (2)

2 S ; m       

Hệ bất phƣơng trình có nghiệm

1 1 0 2 1 2 m m S S m m                   (loại)

Vậy hệ bất phƣơng trình có nghiệm   1 m 0 m

3 Bài tập luyện tập

Bài 4.82: Giải bất phƣơng trình sau:

  

2

) 3 10 3 0

a x x A. T ( ; ]1

3

  B.T [3;)

C.T   D. T ( ; ] [3;1 )

3

   

b)  2 x x  22 2x 4  0

A. T2; B. T   ; 2

C. T  D. T    ; 22; c) 1

x 9  x

A. x

3 x          B. 3 6 3 0           x x C. 9 6 3 0         x x D.

9 x

3 x    

  



d) 

 

2 3

1 2x x 1

A. x 1 x         B. x 1 x         C. x 1 x         D. x 1 x        

e) 2 1 1

2

x x

x

A. 0 1

5

 x B. x C. x

5

 D. Vô nghiệm

f) 2 2 2 0 1 x x    

A. 1 0

1 4         x x B.

1 x

1 x

     

 C.

1 x

1 x

       D. 1 2 1 4         x x

g) 4 22 0 4 9

x x

  



A. x

 B. 2 0

3

  x C. x 2, x

3

    D. S  

h)   

  

2

3

2 3

0

3 1 4 5

x x x x A. x x        

B. x

2  C.x 1 D. Vô nghiệm

Bài làm:

Bài 4.82: a) BXD :

x  1

3 3  VT +  

Tập nghiệm : T ( ; ] [3;1 )

   

b) T    ; 22;

c) bpt x x 6   x x x x

     

   

  

 

d)

  

1

8 1 2

0

1

2 1 1

1

8

x x

bpt

x x

x

   

   

     

e) 0 1

5

bpt  x f) x

1 x

     

 g)

2

x , x

3

   

h) 33x  1 34 5 x   0 3 2x 0 suy 33x 1 34 5x dấu với 3 2 x

     

         



     

2 3

3

1 3

2 3 3

0 0 2

3 2

3 1 4 5 1

x x

x x x

x

x x x

Bài 4.83: Giải bất phƣơng trình sau: a) x x

2

 

A. 4

3x B. x 4 C.

4

x

3  D. Vô nghiệm

b) 4x2x 1 3

A. x2 B. x2 C. x 1 D. x 3

c) 3x 1  4

A. x 1 B. x

3

 C. x 1, x

3

   D. Vô nghiệm

c) 2x 3 3x 4  5

A.  6 x B. x 4 C.   6 x 4 D. Vô nghiệm

Bài làm:

Bài 4.83: a) 4 4

3 x b) x 2 c)

7 1,

3

x  x d)   6 x 4

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN TỔNG HỢP LẦN 1.

Bài 2: Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc ẩn

Câu Số x 3 nghiệm bất phƣơng trình sau đây?

A. x 1  B. 3x 4  C. 4x 11 x  D. 2x 3  Câu Số x 1 nghiệm bất phƣơng trình sau đây?

A. x 0  B. 2x 0  C. 2x 0  D. x 0  Câu Số sau nghiệm bất phƣơng trình x x

3 x x

 



  ?

A. B. C.0 D.

2 Câu Số x 1 nghiệm bất phƣơng trình m x 22

A. m 3 B. m 3 C. m 3 D. m 1

Câu Số x 1 nghiệm bất phƣơng trình 2m 3mx 21

A. m 1 B. m 1 C.  1 m 1 D. m 1

Câu Xác định tính đúng-sai mệnh đề sau:

A. x x 1  2 x 1  x Sai B. x x 1  x 1  x 0.Đúng C.  2x 3 2 2 2x 2  Sai D. x x 1  x 1  x 0.Sai Câu Bất phƣơng trình sau tƣơng đƣơng với bất phƣơng trình 2x 1 ?

A. 2x x 2  1 x 2 B. 2x 1

x x

  

 

C. 4x21 D. 2x x 2  1 x 2

Câu Tập nghiệm bất phƣơng trình 2x x 

A. ; 3 B. 3; C.;1 D. 1; Câu Tập nghiệm bất phƣơng trình 2x x    

A. 1; B.  ; 5 C.5; D. ; 5 Câu 10 Tập xác định hàm số y

2 3x 

 là:

A. ;2

 



 

  B.

2 ;     

  C.

3 ;     

  D.

3 ; 2      

Câu 11 Tập nghiệm bất phƣơng trình 5x x 0    là: A. 8;

7

 

 

  B.

8 ;

 

 

  C.

8 ;

7

 

 

  D.

8 ;      

Câu 12 Tập nghiệm bất phƣơng trình 3x x    là: A. 5;

2

 

 

  B.

5 ;     

  C.

5 ;     

  D.

5 ;       

Câu 13 Tập xác định hàm số y x 

 là:

A. ; 2 B. 2; C. ; D.  2; 

Câu 14 Tập nghiệm phƣơng trình x x

x x

 



 

A. 3; B.  3;  C. 3 D. 2; Câu 15 Tập nghiệm bất phƣơng trình x x

5 x x

 



 

A. ; 2 B.  2; C. 2; D.  ;

Câu 16 Tập nghiệm bất phƣơng trình 2x  x  x x

A.  1; B. 1; 2 C.;1 D. 1; Câu 17 Phƣơng trình x 2x

1 4x 4x

 



  có nghiệm ?

A. B. C. D. nhiều 2

Câu 18 Tập hợp giá trị m để bất phƣơng trình (m22m)x m 2 thoả mãn với x

A. 2; 0 B.2; 0 C. 0 D.  2; 0 Câu 19 Tập hợp giá trị m để bất phƣơng trình m2m x m vô nghiệm

A.  0;1 B. 0 C. 0;1 D. 1

Câu 20 Phƣơng trình x27mx m 0   có hai nghiệm trái dấu

A. m 6 B. m 6 C. m 6 D. m 6

Câu 21 Phƣơng trình x22mx m 23m 0  có nghiệm

A. m

 B. m

3

 C. m

3

 D. m

3

 

Câu 22 Phƣơng trình m21 x 2 x 2m 0  có hai nghiệm trái dấu

A. m

 B. m

2

 C. m

2

 D. 3

2

m  Câu 23 Phƣơng trình x24mx 4m 22m 0  có nghiệm

A. m

2 

 B. 5

2

m C. m

 D. 5

2

m

Câu 24 Tập nghiệm hệ bất phƣơng trình 3x 2x

1 x

   

  

 là:

A. 1;1 5

   

  B. ;1 C. 1; D.  ( tập rỗng )

Câu 25 Tập nghiệm bất phƣơng trình 2x x

 



A. 3;1 2

   

  B.  ; 3 C.

1 ; 2

   

  D.  

1

; \

2

  

 

 

Câu 26 Tập nghiệm hệ bất phƣơng trình 2 1 3 2 3 0 x x x       



A.  3;  B. ; 3 C. 3;3 D.  ; 3 3; Câu 27 Tập nghiệm hệ bất phƣơng trình 2 5 0

8 3 0

x x

  

   

A. 8;

 

 

  B.

3 2 ; 8 5

 

 

  C.

8 ;

 

 

  D.

8 ; 3

 

 

Câu 28 Tập xác định hàm số y 2x 3x

  

 là:

A. 1 2; 2 3

  

  B.

1 3 ; 2 2

  

  C.

2 ;     

  D.

1 ; 2     

Câu 29 Tập xác định hàm số y 2x 3  3x A. 3 4;

2 3

 

 

  B.

2 ;

 

 

  C.

4 3 ; 3 2

 

 

  D. 

Câu 30 Hai đẳng thức: 2x 3 2x3; 3x  8 8 3x xảy khi:

A. x

3 3 B.

3 8

2 x 3 C. x

3

 D. 3

2

x Câu 31 Tập xác định hàm số y 2x  6x

A. ;5

6

 

 

  B.

6 ;

5

 

 

  C.

3 ;

2

 

 

  D.

2 ;      

Câu 32 Tập xác định hàm số y 4x 3 5x6 A. 6;

5

 

 

  B.

6 ; 5

 



  C.

3 ;    

  D.

3 6 ; 4 5      

Câu 33 Tập nghiệm bất phƣơng trình x x

3 x x

 



 

A.  B.  1;3 C. ;1 D. ;3

Câu 34 Tập xác định hàm số y x 1 x

  



A.1; B.1;  \ 4 C. 1;  \ 4 D.  4;  Câu 35 Tập hợp nghiêm bất phƣơng trình x  1 x 1 là:

A.  0;1 B. 1; C. 0; D. 0;

Câu 36 Tập hợp nghiêm bất phƣơng trình x  1 x 1 là:

A.  0;1 B. 1; C. 0; D. 1;

Câu 37 Với giá trị a hệ phƣơng trình x y

x y 2a

      

 có nghiệm (x;y) với x > y?

A. 1

2

a B. 1

3

a C. a

2

  D. 1

2

a

Câu 38 Hệ phƣơng trình 2x

x m

  

  

 vô nghiệm

A. 5

2

m  B. m

2

  C. 7

2

m D. m

2

 

Câu 39 Cho hệ bất phƣơng trình 0 (1) 5 0 (2)

x m

x

  

  

 Hệ cho có nghiệm khi:

A. m 5 B. m 5 C. m5 D. m5

Câu 40 Phƣơng trình x22(m 1)x m 0    có hai nghiệm đối

A. m3 B. m 1 C. m1 D. m 3  Câu 41 Phƣơng trình x2  x m 0 vơ nghiệm

A. m

4

  B. 3

4

m  C. m

 D. 5

4

m 

Câu 42 Tập nghiệm bất phƣơng trình x 1 x

 



A.  B. C. 3; D. ; 5

Câu 43 Hệ bất phƣơng trình 2 1 0 2

x x m

  

  

 có nghiệm

A. m

2

  B. m

2

  C. m

2

  D. m

2

 

Câu 44 Tập hợp giá trị m để hệ bất phƣơng trình 2 1 3 0

x x m

  

  

 có nghiệm

A.  B. 2 C.2; D. ; 2

Câu 45 Hệ phƣơng trình 2 5 2

x y

x y a

  

   

 có nghiệm  x y; với x0

A. 2

5

a B. 2

5

a C. 6

5

a D. 5

2

a

Câu 46 Phƣơng trình x m xm 1 có nghiệm

A. 1

4

m B. 1

4

m C. 1

4

m D. m4

Câu 47 Số nghiệm phƣơng trình 3 2 3

1 2 1 2

x x

x x

  

  bao nhiêu?

A. 0 B. C. 2 D. Nhiều

Câu 48 Tập nghiệm phƣơng trình x x

x x

 



 

A.1; B.  2;  C. 2; D.  1;   \ Câu 49 Tập nghiệm bất phƣơng trình x x

3 x x

 



 

A. ;3 B.  1;3 C.1;3 D. ;1

Bài 3: Dấu nhị thức bậc nhất

Câu 50 Nhị thức sau nhận giá trị âm với x nhỏ 2 ?

A. f x 3x6 B. f x 6 – 3x C. f x 4 – 3x D. f x 3 – 6x Câu 51 Nhị thức sau nhận giá trị âm với số x nhỏ

3

 ?

A. f x  6 – 4x B. f x 3x2 C. f x  3 – 2x D. f x 2x3 Câu 52 Nhị thức sau nhận giá trị âm với số x nhỏ

2

 ?

A. f x 2x 3 B. f x   2x 3 C. f x  3 – 2x D. f x   2x 3 Câu 53 Nhị thức sau nhận giá trị âm với x lớn ?

A. f x 2x – B. f x x – C. f x 2x 5 D. f x  6 3x Câu 54 Nhị thức  5x nhận giá trị âm

A. 1

5

x B. 1

5

x  C. 1

5

x  D. 1

5

x Câu 55 Nhị thức  3x nhận giá trị dƣơng

A. 3

2

x B. x

 C. 3

2

x  D. x

 Câu 56 Nhị thức  2x 3 nhận giá trị dƣơng

A. x

2

  B. 2

3

x  C. 3

2

x  D. 2

3

x  Câu 57 Nhị thức sau nhận giá trị dƣơng với x nhỏ 2?

A. f x 3x6 B. f x 6 – 3x C. f x 4 – 3x D. f x 3x – Câu 58 Tập xác định hàm số

2

1 1

x y

x

 



A.  ;1 B.  1; C. \ 1  D. ;1

Câu 59 Tập xác định hàm số y x2m 4 2 x 1; 2

A. 1

2

m  B. m1 C. 1 2

m D. 1

2

m

Câu 60 Tập xác định hàm số y x m  6 2 x đoạn trục số

A. m3 B. m3 C. m3 D. 1

3

m

Câu 61 Tập xác định hàm số y m2x x1 đoạn trục số

A. m 2 B. m2 C. 1

2

m  D. m 2

Vẫn tổng hợp…

PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ

BẬC NGUYỄN BẢO VƯƠNG

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM]

PHƢƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI

 DẠNG TOÁN 1: PHƢƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

1 Phƣơng pháp giải

Để giải phƣơng trình, bất phƣơng trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) ta cần khử dấu GTTĐ Sau số cách thƣờng dùng để khử dấu GTTĐ

+ Sử dụng định nghĩa tính chất GTTĐ để khử dấu GTTĐ. + Đặt ẩn phụ biểu thức chứa dấu GTTĐ để khử dấu GTTĐ 2 Các ví dụ minh họa.

Loại 1: Sử dụng định nghĩa tính chất dấu giá trị tuyệt đối.

*Lưu ý: Sau số loại tốn phƣơng trình, bất phƣơng trình thức hiện bằng phép biến đổi tƣơng đƣơng.



( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

g x

f x g x f x g x

f x g x

 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f x g x f x g x

f x g x

 ( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( )

g x f x g x

g x f x g x



( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

g x f x g x f x g x

f x g x f x g x

Ví dụ 1: Giải phƣơng trình sau:

a) 2x2 3x 1 x2 2x 1 b) x2 5x 4 x3 3x 4 c) x2 5x 4 x 1 x2 x d) x2 3x 1 x 1 12 x 3 Lời giải

a) Ta có phƣơng trình

2

2 2

2 2

2 1 0 2x 1 0

2 3 1 2 1 3 5 2 0

2 3 1 ( 2 1) 0

x x x

x x x x x x

x x x x x x

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM]

1 2 1 2

2 2

1 1

3

3 0

0

1 1

x

x x

x x

x x

x x

Vậy nghiệm phƣơng trình 0;1;2; 1

3 x

b) Với 1 x 4 x2 5x 4 0 ta có

Phƣơng trình x2 5x 4 x3 3x 4 x3 x2 8x 8 0 Áp dụng BĐT cơsi ta có x3 4 2 3 83 x3 6 ,x x2 2 2 2x

Suy x3 x2 8x 8 6x 2 2x 8x 2 2 2 x 0 Do phƣơng trình vơ nghiệm

Với 4 5 4 0

1

x

x x

x ta có

Phƣơng trình x2 5x 4 x3 3x 4

3 2 0 0

x x x x (thỏa mãn)

Vậy nghiệm phƣơng trình x 0 c) Bảng xét dấu

x 1 1 4

1

x + 0 + | +

2 5 4

x x + 0 + 0 +

Từ ta có trƣờng hợp sau

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM]

 Với 1 x 1, ta có phƣơng trình x2 5x 4 x 1 x2 x

x = 3

7 (thỏa mãn)

 Với 1 x 4, ta có phƣơng trình x2 5x 4 x 1 x2 x

2x 3x 5 0 phƣơng trình vơ nghiệm.

Với x 4, ta có phƣơng trình 5 4 1 3

7

x x x x x x (loại)

Vậy phƣơng trình cho có nghiệm 3

7 x

d) Ta có phƣơng trình 2 3

3 1 1 12 3

x

x x x x

2

3

3 1 1 12 3 14

3

36 0

x

x x x x

x

x x

3

7 13

7 13

x

x x

Vậy phƣơng trình có nghiệm x 7 13 Ví dụ 2: Giải bất phƣơng trình sau

a) x2 x 1 x 1 b) x2 3x 2 x2 3x 2 c) 3x2 2 3 2x2 6 x2 2 d) 2x2 5x 3 x 1 x 2 Lời giải

a) Với x 1 ta có VT 0,VP 0 suy bất phƣơng trình nghiệm với x 1 Với x 1 ta có bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với

2

2

1 1

1 1 2 0

1 1 2 0

x x

x x x x x

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM]

1

1

2 2

2

0 1 2

2

2 2

x

x

x x

x

x x

x x

Vậy nghiệm bất phƣơng trình x ( ; 2] [2; )

b) Với x2 3x 2 0 1 x 2 ta có VT 0,VP 0 suy bất phƣơng trình vơ nghiệm

Với ta có 3 2 0 2 1

x

x x

x

Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với x2 3x 2 x2 3x 2 x2 3x 2

2 3

2 6 0

0

x

x x

x

Đối chiếu với điều kiện 2 1

x

x suy nghiệm bất phƣơng trình

3 0

x x

Vậy bất phƣơng trình có nghiệm x ( ;0) (3; )

c) Nếu x2 2 0 VT 0,VP 0 suy bất phƣơng trình vơ nghiệm

Do bất phƣơng trình

2

2 2

2 0

3 2 2 3 6 2

x

x x x

2

2

2 2

2 2 7

7

3 2 2 3 6 2 7

x x x

x

x x x x

Vậy nghiệm bất phƣơng trình x ( ; 7] [ 7; ) d) 2x2 5x 3 x 1 x 2

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM]

Với x 2 ta có 2x2 5x 3 x 1 2x 3 0suy bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với

2

2x 5x 3 x 1 x 2 2x 6x 4 x 2

2x 6x 4 x 2(vì x 2 2x2 6x 4 x 1 (2x 4) 0)

2

2 7 6 0 3

2 x

x x

x

Đối chiếu với điều kiện x 2 ta có nghiệm bất phƣơng trình x 2 Vậy bất phƣơng trình có nghiệm x \ 2

Ví dụ 3: Tìm m để phƣơng trình sau có bốn nghiệm phân biệt

2 6 4

x x x m Lời giải

Ta có x2 x 6 4x m x2 x 6 4x m Xét hàm số f x x2 x 6 4x

Ta có

2

2

5 6 3;2

; 3 2; 3 6

x x khi x

f x

khi x

x x

Bảng biến thiên

x

3 5

2

3

2 2

f x

99 4

12

4 Từ bảng biến thiên ta có

Phƣơng trình ban đầu có bốn nghiệm phân biệt đồ thị hàm số f cắt đƣờng thẳng

y m tại bốn điểm phân biệt 12 99 4

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM] Vậy 12 99

4

m giá trị cần tìm

Nhận xét: Nghiệm phƣơng trình f x g m là hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số

y f x và đƣờng thẳng y g m Từ suy

Phƣơng trình f x g m có nghiệm đƣờng thẳng y g m cắt đồ thị hàm số

y f x

Số nghiệm phƣơng trình f x g m số giao điểm đƣờng thẳng y g m đồ thị hàm số y f x

Do gặp tốn liên quan đến phƣơng trình f x m, 0 mà ta lập đƣợc m thì ta sử dụng đồ thị(hoặc bảng biến thiên) để giải

Ví dụ 4: Tìm m để bất phƣơng trình sau có nghiệm

2 3 2 3 5 3 5

x x x x m m

Lời giải

Bất phƣơng trình x2 3x 2 3x2 5x 3m2 5m Xét hàm số f x x2 3x 2 3x2 5x

Ta có  

2

2

2 8 2 ( ;1] [2; 4 2 2 1;2

x x x

f x

x x x

Bảng biến thiên

x

2 1

4 1 2

f x 10

8

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM]

Từ ta có: maxf x f 2 10

Do bất phƣơng trình cho có nghiệm 10 3m2 5m

2 5 145 5 145

3 5 10 0

6 6

m m m

Vậy 5 145 5 145

6 m 6 giá trị cần tìm

Nhận xét Cho hàm số y f x xác định D

Bất phƣơng trình f x k f x( k) có nghiệm D max

D f x k (minD f x k)

với điều kiện tồn max

D f x (minD f x )

Bất phƣơng trình f x k f x( k) nghiệm với x  D min

D f x k

(max

D f x k) với điều kiện tồn maxD f x (minD f x ).

Loại 2: Đặt ẩn phụ

Ví dụ 5: Giải phƣơng trình bất phƣơng trình sau a) 3 x2 4x x 2 12 b)

2

2

1 1

3 2

x

x x x

c) x4 2x2 4x 2x 5 x2 1 7 0 Lời giải

a) Đặt t x 2 ,t 0 t2 x2 4x 4 Bất phƣơng trình trở thành 3 t2 4 t 12

2

3

3 24 0 8

3 t t t

t

Kết hợp điều kiện t 0 ta có t 3 suy

2 3 5

2 3

2 3 1

x x

x

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM] Vậy bất phƣơng trình có nghiệm x ; 1 5; b) ĐKXĐ: x 0

Bất phƣơng trình 2

1 1

4 3

x x

x x

Đặt 2

2

1 1

2

t x t x

x x

Ta có t x 1 x 1 2 x . 1 2 t 2

x x x

Bất phƣơng trình trở thành t2 2 3t

2 3 2 0 1 2

t t t

Kết hợp với t 2 suy t 2 Do

2

2

1 2 1

2 2 1 1

1 2

x x

x x x x

x x

x (thỏa mãn)

Vậy bất phƣơng trình có nghiệm x 1

c) Phƣơng trình x2 1 2x 5 x2 1 4x 6 0 Đặt t x2 1 ,t 0

Phƣơng trình trở thành t2 2x 5 t 4x 6 0 2 3

2 3 2 0

2

t x

t x t

t

Với t 2x 3 ta có 2

2

2 3 0

1 2 3

2 3 1

1 2 3

x

x x

x x

x x

2

2

2 3 0 3

2 4 0 2 1 5

1 5

2 2 0

x

x

x x x

x

x x

Với t 2 ta có

2

2

2

1 2

2 1 3 3

1 2

x

x x x

x

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM] Phƣơng trình tƣơng đƣơng với

2 2

2 2 1 2 2 2 2 2 1

1 1

x x m x x x m x x m x x

x x

2

2 2 2 1 2 1 0 (*)

1

x x m x x m

x

Đặt t x2 2x

, x 1 t x 1 1 1 Phƣơng trình (*) trở thành t2 2m 1 t m2 1 0

(**)

Phƣơng trình ban đầu có nghiệm phƣơng trình (**) có nghiệm t 1

Đồ thị hàm số f t t2 2m 1 t m2 1 trên [ 1; )cắt trục hồnh Ta có

2 1

2 2

b m

a

+ TH1: Nếu 2 1 1 1

2 2

m

m ta có Bảng biến thiên

x

1 2 1

2 m

f x

1 f

2 1

2 m f

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM]

2

2 1 2 1 2 1 5

0 2 1 1 0

2 2 2 4

m m m

f m m m

Kết hợp với điều kiện 1

2

m suy 1 5

2 m 4 thỏa mãn yêu cầu toán

+ TH2: Nếu 2 1 1 1

2 2

m

m phƣơng trình (**) trở thành

2 2 3 0 2 7

4 2

t t t có 2 7 1

2

t suy 1

2

m thảo mãn yêu cầu bài toán

+ TH3: Nếu 2 1 1 1

2 2

m

m ta có Bảng biến thiên

x 1

f x

1 f

Suy phƣơng trình cho có nghiệm f 1 0

2

1 2m 1 m 1 0 m 2m 1 0 1 2 m 1 2 Kết hợp với điều kiện 1

2

m suy 1 2 1

2

m thỏa mãn yêu cầu toán

Vậy 1 2 5

4

m giá trị cần tìm

Ví dụ 7: Tìm m để bất phƣơng trình x x 2 m x 1 2 0 nghiệm với

x Lời giải

Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với x 1 m x 1 1 0

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM] Với x 1 Đặt t x 1 t 0

Bất phƣơng trình trở thành

2

2 1 0 t 1

t mt m

t (*)

Suy bất phƣơng trình ban đầu nghiệm với x 1 bất phƣơng trình (*) nghiệm với

2

0

1

0 min

t

t

t m

t

Ta có

2 1 2

2

t t

t t , đẳng thức xảy t 1

Suy

0

1

min 2

t

t

t , m 2 thỏa mãn u cầu tốn

Vậy m 2 giá trị cần tìm 3 Bài tập luyện tập.

Bài 4.113: Giải phƣơng trình sau

a) 3x 2 x2 2x 3 b) | 2x2 7x 2 | x 2 c) x2 3x 2 x 2 x2 3x d) 2 1 1

1 1 1

x

x x x

lời giải

Bài 4.113: a) Ta thấy x22x  3 0 x nên phƣơng trình cho

2

2

x 2x 3 3x 2 x x 5 0 5 21

x

2 x 2x 3 3x 2 x 5x 1 0

          

 

   

         

 

b) Phƣơng trình 2

2

x 2 0 x 2

2x 7x 2 x 2 2x 8x 0 2x 7x 2 x 2 2x 6x 4 0

   

 

 

 

         

         

 

Phƣơng trình cho có bốn nghiệmx0; x1; x2; x4 c) x 4, x0

d) ĐKXĐ: x 1 Với ĐK đó:

PT 2 22 2 2 . 1

1 1 1 1 1

x x x x

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM]

2 1

1 0

1 1

2

0 1 x

x x

x x

2 1

1 0

1 1

2

0 1 x

x x

x x

Giải ta có nghiệm phƣơng trình x 0 và x 2

Bài 4.114: Giải bất phƣơng trình sau

a) x2 5x 4 x 2 b) x2 x 6 x

c) x 3 x 1 x 2 d) 2x 1 3x 2 x 3 e) x3 13 3 x 1

x x

lời giải

Bài 4.114: a) * Nếu x 2    0 x 2 bptluôn * Nếu x2

2

x 5x 4 x 2 bpt

x 5x 4 x 2

     

 

      

2

x 6x 6 0 x 4x 2 0

    



    

x 3 3 V x 3 3

2 2 x 2 2

      

   



Kết hợp với x2 ta có: 2  x 2 2 V x 3 3

Vậy nghiệm bất phƣơng trình : 2 x 2 2 x 3 3

    

 



b) Bất phƣơng trình

2

2

x 0 x 0

x 2x 6 0 x x x 6 x

x 6 0

  

 



         

 



  

6 x 1 7

   

Vậy nghiệm bất phƣơng trình : 6   x 1 7

c) ;1 5; 

5

T    

  d)

3 0;

2

T    

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM]

e) Đặt

2

3

3

1 1 1 1 1 1

, 0 1 3

t x t x x x x x

x x x x x x

 

      

                  

       

Đáp số: x 1, 0 x 1

Bài 4.115: Biện luận số nghiệm phƣơng trình : x 1 x2 3x 2 5m 3 lời giải

Bài 4.115: Số nghiệm phƣơng trình số giao điểm đƣờng thẳng y5m 3 đồ thị (C) :y  x 1 x23x2

Ta có:

2

2

x 4x 3 x 2 y x 2x 1 x 2

x 2x x 1

   



    



   



Lập bảng biến thiên ta có

 Nếu 5m 3 1 m 4 5

    phƣơng trình vơ nghiệm.

 Nếu m 4 5

  phƣơng trình có nghiệm.

 Nếu m 4 5

 phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt.

Bài 4.116: Tìm m để phƣơng trình sau có bốn nghiệm phân biệt:

2

2x 10x 8 m 5x x lời giải

Bài 4.116: PT 2x210x 8 x25xm

Xét hàm số      

 

2

2

2

x 5x x ;1 4; f x 2x 10x 8 x 5x

3x 15x x 1; 4

      



      

   



Phƣơng trình cho có bốn nghiệm phân biệt  Đồ thị hàm số

  2

f x  2x 10x 8 x 5x cắt đƣờng thẳng ym 4 m 43 4

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM]

Bài 4.117: Tìm m để bất phƣơng trình 2x2 3x 2 5m 8x 2x2 nghiệm với mọi x

lời giải

Bài 4.117: Bất phƣơng trình  2x23x 2 8x2x25m

Xét hàm số

 

2 1

4x 5x 2 x ; 2; 2 y f (x)

1 11x 2 x ; 2

2

        

 

     

          

Lập bảng biến thiên hàm số

 

2 1

4x 5x 2 x ; 2; 2 y f (x)

1 11x 2 x ; 2

2

        

 

     

          

Ta có min 57 16

y  suy yêu cầu toán 5 57 57

16 80

m m

     

Bài 4.118: Cho bất phƣơng trình x2 4x 3 |x 2 | 2m 2 0 a) Giải phƣơng trình m 1

b) Tìm m để phƣơng trình có nghiệm phân biệt. lời giải

Bài 4.118: Đặt t x , t 0  ta có phƣơng trình: t2 3t 2m 0   (*) a) x 2, x6

b) Yêu cầu tốn (*) có hai nghiệm dƣơng phân biệt

27 8m 0 3 m 27

2m 0 8

   



   

 



VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM] a) Giải bất phƣơng trình m 2

b) Tìm m để bất phƣơng trình nghiệm với x lời giải

Bài 4.119: a) x2, x0 b) m 1

 DẠNG TOÁN 2: PHƢƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH CHỨA CĂN 1 Phƣơng pháp giải.

Để giải phƣơng trình, bất phƣơng trình chứa ẩn dấu mục đích phải khử căn thức Sau số phƣơng pháp thƣờng dùng.

+ Biến đổi tƣơng đƣơng( Bình phƣơng hai vế, phân tích thành nhân tử)

Lƣu ý: Đối với bất phƣơng trình, bình phƣơng hai vế khơng âm thu bất phƣơng trình tƣơng đƣơng chiều

+ Đặt ẩn phụ + Đánh giá

2 Các ví dụ minh họa.

Loại 1:Sử dụng phép biến đổi tƣơng đƣơng

Lƣu ý số phƣơng trình, bất phƣơng trình sử dụng phép biến đổi tƣơng đƣơng nhƣ sau

Phương trình:

 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( )

f x f x g x

f x g x

 ( ) 0 ( ) ( )

( ) ( )

g x f x g x

f x g x

Bất phương trình:

 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

f x g x f x g x

g x



2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0

( ) ( )

f x f x g x g x

f x g x



2 ( ) 0 ( ) 0

( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) g x

f x

f x g x g x

f x g x Ví dụ 1: Giải phƣơng trình sau

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM]

c) x 4 1 x 1 2x d) x 1 1 1 x

x x

Lời giải

a) Ta có phƣơng trình

2

3

2 2 0

1 2 2

x x

x x x x

3

1 17 1 17

1 17 1 17 4 4

1

4 4

2 1 0 1 5

2 x

x x

x x

x 1

1 5

2 x x

Vậy phƣơng trình có nghiệm 1 5; 1; 1 5

2 2

x

b) Phƣơng trình

2

2

2

3 0

2 3 1 3

x

x x x

4 2

3 3

3 3

8 3 10 0 1 2 5 0

x x

x x x x x x x

3 3

2

1 1

1 21

2 x x

x x

x

Vậy phƣơng trình có nghiệm x 1 c) ĐKXĐ: 4 1

2 x

Phƣơng trình x 4 1 2x 1 x

4 1 2 2 (1 2 )(1 ) 1

x x x x x

2 2 1 0 2 1 (1 2 )(1 )

(2 1) (1 2 )(1 )

x

x x x

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM]

2 1

0 2

2 7 0

x

x

x x

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy phƣơng trình có nghiệm x 0

d) Phƣơng trình

0 1

0 1

1 1 1

1 0 1

1 1

1 x

x x

x

x x

x x x

x x

x x

2

2

1

1 1 1 2 1 0

1 2 1

1 x

x x x x

x x x

x x

x x

2

1

1 1 1 5

1 5 2

2

1 0

1

x

x x

x x x x x x

Vậy phƣơng trình có nghiệm 1 5

2

x

Ví dụ 2: Giải phƣơng trình sau

a) 5x2 8x 3 5x 3 1 x 1

b) x2 3 x 2x 1 x 3 2x2 5x 2 x 2 Lời giải

a) ĐKXĐ:

2

5 8 3 0

3

5 3 0 1

5

1 0

x x

x x

x

Phƣơng trình 5x 3 1 x 5x 3 1 x 1

( 5x 3 1)( 1 x 1) 0 4

5 3 1

5

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM] Vậy phƣơng trình có nghiệm 4

5 x

b) ĐKXĐ:

2 5 2 0

2 1 0 2

2 0

x x

x x

x

Phƣơng trình x 2 2x 1 x x 2 3x x2 3 2x 1 x 2x 1 0

2 2 1 3 2 1 3 0

x x x x x x x

2

( 2 1 )( 2 3 ) 0 1

2 3

x

x x x x

x x

x

2

2

2 1 2 1 0

3 0 3

7 11 0

2 3

x x x x

x x

x x

x x

1

1 3

7 5 7 5

2 2

x

x x

x x

Đối chiếu với điều kiện x 2 suy 7 5

2

x thỏa mãn Vậy phƣơng trình có nghiệm 7 5

2

x

Ví dụ 3: Giải phƣơng trình 5 x 3 3x 2 5x2 31x 41 Lời giải

ĐKXĐ:

3

3 0 2

2

3 2 0 3

3 x x

x

x x

Phƣơng trình tƣơng đƣơng với

2

5 x 3 x 9 5 3x 2 3x 2 5x 35x 30

2

2

5 35 30

5 3 9 5 3 2

7

3

6 6

2 7

x x x x

x x

x x x x

2

5 3 9 5 3 2 3

1 1

7 6

2 5 0

x x x x

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM]

2 7 6 0 1

6

x

x x

x (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phƣơng trình có nghiệm x 1 x 6

Nhận xét: Ở phƣơng trình đầu (câu a) dễ thấy x 1,x 6 nghiệm ta tìm cách làm xuất nhân tử chung x2 7x 6 Đối với 5 x 3 ta ghép thêm với x , nhƣ sau khi trục thức ta có

2

25 3

5 3

5 3

x x

x x

x x nhƣ để có đại

nhân tử x2 7x 6

5 1 3 0 1

9

5 6 3 .6 0 Hoàn toàn tƣơng tự với đại

lƣợng 5 3x 2 Do ta tách đƣợc nhƣ lời giải Ví dụ 4: Giải bất phƣơng trình sau

a) x 1 2(x2 1) b) (x 5)(3x 4) 4(x 1) c) 5x 1 x 1 2x 4 d) (x 3) x2 4 x2 9 Lời giải

a) Bất phƣơng trình

2

2

2( 1) 0 1 0

2( 1) ( 1)

x x

x x

2

1 1

1 1

1

1 1

1 3

1 3

2 3 0

x x

x x

x

x x

x x

x x

Vậy bất phƣơng trình có tập nghiệm S 1 1;3

b) Bất phƣơng trình

2

4( 1) 0

( 5)(3 4) 0

1 0

( 5)(3 4) 16( 1)

x

x x

x

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM]

2

1 5

4 4

1

3 3

5 1

1 1

4

13 51 4 0 13

x x

x x

x x

x

x

x x

5

5 4

1 4

3 4

3

1 4

x

x x

x x

Vậy bất phƣơng trình có tập nghiệm ( ; 5] [ 4;4)

3

S

c) ĐKXĐ:

5 1 0

1 0 2

2 4 0

x

x x

x

Bất phƣơng trình 5x 1 x 1 2x 4

2 2 4 1

x x x

2 4 4 2 6 4

x x x x (do x 2)

2 10 0 0 10

x x x

Kết hợp điều kiện ta đƣợc tập nghiệm bất phƣơng trình S [2;10) d) (x 3) x2 4 x2 9

ĐKXĐ: 4 0 2

2

x x

x

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM] Bất phƣơng trình x2 4 x 3

2

2 4 3 13

6

x x x

Kết hợp với điều kiệnx 3 ta có tập nghiệm bất phƣơng trình S 3; +) Vớix 3

Bất phƣơng trình x2 4 x 3

2

3 0 4 0

x

x (I) hoặc 2

3 0

4 3

x

x x (II)

Ta có (I)

3

2 3

2 x

x x

x

(II)

3

3 13

3 13

6 13 0 6

6 x

x

x

x x

Kết hợp với điều kiện x 3 suy bất phƣơng trình có tập nghiệm ( ; 13]

6 S

Vậy tập nghiệm bất phƣơng trình ( ; 13] [3; )

6 S

Ví dụ 5: Giải bất phƣơng trình sau a)

2 51 2

1 1

x x

x b)

2

2( 16) 7

3

3 3

x x

x

x x

c) 8 2 3 3 6 2 3 4

1 1

x

x

x x

Lời giải

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM]

Ta có bất phƣơng trình 2 1

51 2 0 51 2 1

x

x x

x x x

2 1

1 52 1 52 x 25

x

x 1 52 x 5

* Nếu x 1 ln VT 0 1

Vậy nghiệm tập bất phƣơng trình cho S [1 52; 5) 1;

b) ĐKXĐ:

2 16 4

4 4

3

3 x x

x x

x

x

Bất phƣơng trình 2(x2 16) x 3 7 x

2(x 16) 10 2x kết hợp với điều kiện x 4 ta có bất phƣơng trình 10 2 0

4

x

x (I) hoặc 2 2

4 10 2 0

2( 16) (10 2 )

x x

x x

(II)

Ta có 5 5

4

x

I x

x

2

2

4

4 5

10 2 0

20 66 0 2( 16) (10 2 )

x

x

II x

x x

x x

4 5

10 34 5

10 34 10 34

x

x x

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM]

c) ĐKXĐ: 2 3 0 3

1 0 2

x

x

x

Bất phƣơng trình 8 2x 3 3 x 1 6 (2x 3)(x 1) 4

4(2 2x 3 1) 3 x 1 1 2 2x 3 0

2 2x 3 1 4 3 x 1 0

(8 13)(7 9 )

0 2 2 3 1 4 3 1

7 13 (8 13)(7 9 ) 0

9 8

x x

x x

x x x

Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm bất phƣơng trình là: 3 13;

2 8

S

Loại 2: Đặt ẩn phụ

Ví dụ 6: Giải bất phƣơng trình sau a) x 1 x 4 5 x2 5x 28

b)

2

2

1 2

1 3

2 3

x x

x x

x x

c) 7x 7 7x 6 2 49x2 7x 42 181 14x

d) 3 3 2 1 7

2 2

x x

x x

Lời giải

a) Bất phƣơng trình x2 5x 4 5 x2 5x 28 Đặt t x2 5x 28,t 0 x2 5x 4 t2 24 Bất phƣơng trình trở thành t2 24 5t

2 5 24 0 3 8

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM] Suy x2 5x 28 8 x2 5x 36 0 9 x 4 Vậy bất phƣơng trình có tập nghiệm S 9;4

b) ĐKXĐ: x2 2x 3 0 1 x 3

Bất phƣơng trình (x2 2x 3) x2 2x 3 1 x2 2x Đặt t x2 2x 3, t 0 x2 2x t2 3

Bất phƣơng trình trở thành t3 2 t2 t3 t2 2 0

2

(t 1)(t 2t 2) 0 t 1

Do ta có x2 2x 3 1 x2 2x 3 1

2 2 2 0 1 3 1 3

x x x

Kết hợp với điều kiện xác định suy tập nghiệm bất phƣơng trình

1 3;1 3

S

c) ĐKXĐ: 7 7 0 6

7 6 0 7

x

x

x :

Đặt : t 7x 7 7x 6,t 0

2 7 7 7 6 2 7 7 7 6

t x x x x

2 14x 2 7x 7 7x 6 t 1 Bất phƣơng trình trở thành t2 t 1 181

2 182 0 14 13

t t t

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM]

2

2

12

49 7 42 84 7

49 7 42 84 7

12

6 6

x

x x x

x x x

x

x x

Đối chiếu với điều kiện xác định suy tập nghiệm bất phƣơng trình [ ;6)6 7 S

d) ĐKXĐ: x 0.

Bất phƣơng trình 3 1 2 1 7

4 2

x x

x x

Đặt 1 , 0 1 1 1 1

4 4

2

t x t t x x t

x x

x

Bất phƣơng trình trở thành 3t 2 t2 1 7

2

3

2 3 9 0 3 3

2 t

t t t

t (do t 0)

Ta có 1 3 1 1 9

4 2

x x

x x

2

8 3 7

2

4 36 1 0

8 3 7 2 x

x x

x

Kết hợp với điều kiện xác định suy tập nghiệm bất phƣơng trình

8 3 7 8 3 7

0; ;

2 2

S

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM]

a) x 1 x2 4x 1 3 x b) 2

2

3 1

1

1

1 x x

Lời giải

a) ĐKXĐ:

2 4x 1 0 2 3 2 3

2 3

0 0 2 3

0 x

x x

x

x x

x

Dễ thấy x 0 là nghiệm bất phƣơng trình

Với x 0, bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với x 1 x 1 4 3

x x

Đặt t x 1 ,t 0 t2 2 x 1 x

x , bất phƣơng trình trở thành

2 6 3

t t

2

3

3 0

5 3

3 0

2 5

6 3

2

t t

t

t t

t t t

Từ ta có 1 5 1 2 25

2 4

x x

x x

2

4

4 17 4 0 1

4 x

x x

x

Kết hợp với điều kiện suy tập nghiệm bất phƣơng trình cho

1

S 0; [4; )

4

b) ĐKXĐ: 1 x2 0 1 x 1 Bất phƣơng trình 2

2

1 3

1 2

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM]

2 3 2 0

1 1

x x

x x

Đặt

2 1

x t

x ta có bất phƣơng trình :

2 3 2 0 1

2

t

t t

t

*

2

2

1 0

0 1

1 1 1

1 1

x x

x

t x x

x x x

1 0

1 1

1

0 2

2 x

x

x

* 2 2

2

0 1

2 2 2 1

4(1 ) 1

x x

t x x

x x

x

2

1

5 x

Vậy nghiệm bất phƣơng trình cho là: 1; 1 2 ;1

2 5

T

Ví dụ 8: Giải bất phƣơng trình sau

a) x3 3x2 2 x 2 6x 0 b) x3 4x2 5x 6 7x2 9x 4 Lời giải

a) ĐKXĐ: x 2

Đặt y x 2, điều kiện y 0.

Bất phƣơng trình trở thành: x3 3xy2 2y3 0

2 0

2 0

x y

x y x y

x y

2

2 2

x x

x x

Với 2 0 2 2

2

x

x x x

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM]

Với

2 0

0 0

2 2

2 2 3 0

4( 2)

x

x x

x x

x

x x

2 2 3

x

Kết hợp điều kiện suy tập nghiệm bất phƣơng trình cho

2 2 3; S

b) Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với x 1 7x2 8x 5 7x2 9x 4

3 3 2 2

1 1 7 9 4 7 9 4

x x x x x x

Đặt a x 1,b 7x2 9x 4

, bất phƣơng trình trở thành :

3 2 0

a a b b a b a ab b a b

2 1 0

a b a ab b a b(do a2 ab b2 1 0) Suy x 1 7x2 9x 4 x3 4x2 6x 5 0

2

1 5

2

5 1 0

1 5

5 2

x

x x x

x

Vậy tập nghiệm bất phƣơng trình cho ; 1 5 1 5;5

2 2

S

Ví dụ 9: Cho phƣơng trình x 1 x x x2 m a) Tìm m để phƣơng trình có nghiệm nhất

b) Tìm m để bất phƣơng trình sau có nghiệm. Lời giải

ĐKXĐ: 0 x 1

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM]

0 1 0 1

x x x x m ta viết lại

0 0

1 x x 1 x x m do 1 x0 cũng nghiệm phƣơng trình cho Do phƣơng trình có nghiệm 0 1 0 0 1

2

x x x

thay vào ta có 1 2 2

2 m

Với 1 2 2

2

m ta có phƣơng trình 1 1 2 2

2

x x x x (*)

Áp dụng BĐT cơsi ta có 1 1 1

2 2

x x

x x x x

Mặt khác

2

1 1 2 1 2 1 2

x x x x x x

Suy 1 1 2 2

2

x x x x , đẳng thức xảy 1

2 x

Do phƣơng trình (*) có nghiệm Vậy 1 2 2

2

m giá trị cần tìm

b) Đặt t x 1 x t2 1 2 x 1 x Theo câu a ta có

2

1 x 1 x 1 2 x 1 x 2 Suy 1 t 2

Phƣơng trình trở thành

2 1

2 1 2

2 t

t m t t m(**)

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM]

Đồ thị hàm số y t2 2t 1 1; 2 cắt đƣờng thẳng y 2m

Xét hàm số y t2 2t 1 1; 2 Bảng biến thiên

t 1 2

y

1 2 2

0

Suy phƣơng trình cho có nghiệm 1 2m 1 2 2 hay 1 1 2 2

2 m 2

Ví dụ 10: Tìm m để bất phƣơng trình sau nghiệm với x 1

3 x 1 m x 1 2 x 1 Lời giải

ĐKXĐ: x 1

Chia hai vế phƣơng trình cho x 1 0 ta có

Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với 3 1 24 1

1 1

x x

m

x x

Đặt 1 1 2 0 1, 1

1 1

x

t t x

x x

Bất phƣơng trình trở thành:3t2 m 2t 3t2 2t m (*)

Bất hƣơng trình cho nghiệm với x 1 (*) nghiệm đúng t (0;1)

0;1 max

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM] Xét hàm số f t 3t2 2t trên 0;1

Bảng biến thiên

t

0 1

3 1

f t

1 3

0 1

Từ bảng biến thiên suy 0;1

1 max

3 f t

Bất phƣơng trình cho nghiệm với x 1 1

3 m

Vậy 1

3

m giá trị cần tìm

Loại 3: Phƣơng pháp đánh giá

Đối với phƣơng trình ta thƣờng làm nhƣ sau

Cách 1: Tìm nghiệm chứng minh nghiệm

Cách 2: Biến đổi đẳng thức đƣa bất phƣơng trình f x 0 trong f x tổng các bình phƣơng

Cách 3: Với phƣơng trình f x( ) g x( ) có tập xác định D Nếu ( ) ( )

( ) ( )

f x m x

g x m x , x D thì

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

f x m x f x g x

g x m x

Ví dụ 11: Giải phƣơng trình sau

a) 6 8 6

3 x 2 x b)

3

1 3 2 1

x x x x x

c) x x 1 x 1 d) 4 x 8 x 4 2x 3 3x

Lời giải

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM]

Ta thấy phƣơng trình có nghiệm 3

2

x ta chứng minh nghiệm Thật

* Với 3

2

x ta có 6 4 6 2

3 x 3 x

8 8

4

2 3

2 2 x

6 8

6

3 x 2 x phƣơng trình vơ nghiệm

* Với 3 2

2 x ta có

6 6

4 2

3 x 3 x

8 8

4

2 3

2 2 x

Suy 6 8 6

3 x 2 x phƣơng trình vơ nghiệm

Vậy phƣơng trình có nghiệm 3

2 x

b) ĐKXĐ:

1 0

1 0

1

3 2 0 1 2 0

x x

x

x x x x

Dễ thấy x 1 nghiệm phƣơng trình

Với x 1 ta có x 1 x x3 3x 2 0, 1 x 0 do phƣơng trình vơ nghiệm Vậy phƣơng trình có nghiệm x 1

c) Rõ ràng phƣơng trình có nghiệm phải thỏa mãn 0 0 1

1 0

x

x

x (*)

Phƣơng trình tƣơng đƣơng với x x 1 x 1

Do x 1 x 1 1 x 1 x 1 (**)

Từ (*) (**) phƣơng trình có nghiệm phải thỏa mãn 0 1 1 1

x

x x

Thử x 1 vào thấy khơng nghiệm phƣơng trình Vậy phƣơng trình cho vơ nghiệm

d) ĐKXĐ: x 0

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM] Với x 1 ta có 2x 3 x 4 2x 3 x 4 0

Và x 1 9x 8 0 9x2 x 8 0 x 8 9x2 x 8 3x 0 Suy phƣơng trình vơ nghiệm

Với 0 x 1 ta có 2x 3 x 4 2x 3 x 4 0

Và x 1 9x 8 0 9x2 x 8 0 x 8 9x2 x 8 3x 0 Suy phƣơng trình vơ nghiệm

Vậy phƣơng trình cso nghiệm x 1 Ví dụ 12: Giải phƣơng trình sau a) x2 9x 28 4 x 1

b) 1 2x 1 2x 2 x2

c) 20x 38 4 x 1 6 2x 3 12 2x2 5x 3 Lời giải

a) ĐKXĐ: x 1

Phƣơng trình tƣơng đƣơng với x2 10x 25 x 1 4 x 1 4 0

2

(x 5) ( x 1 2) 0 (*)

Vì (x 5)2 ( x 1 2)2 0 với x nên

Phƣơng trình (*) 5 0 5

1 2 0

x

x x

Vậy phƣơng trình có nghiệm x 5

b) ĐKXĐ: 1 2 0 1 1

1 2 0 2 2

x

x x

Phƣơng trình tƣơng đƣơng với 1 2x 1 2x 2 x2 2

2 4

2 2 1 4x 4 4x x 1 4x 1 x 0

0

0

1 4 1 0

x

x x

Vậy phƣơng trình có nghiệm x 0

c) ĐKXĐ: 1 0 1

2 3 0

x

x x

Phƣơng trình tƣơng đƣơng với

1 4 1 4 2 3 6 1 9 9 9 12 ( 1)(2 3) 8 12 0

x x x x x x x x

2 2

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM]

3 1 2 2 3 0 1 2 0

2x 3 3 0 3

x

x

x x

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy phƣơng trình có nghiệm x 3 Ví dụ 13: Giải phƣơng trình sau

a) x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2 b)

2

2 1

( 1)

1 3 1

x x

x x x

c) 3 x2 1 x x3 2 Lời giải

a) Giả sử PT có nghiệm x Theo bất đẳng thức cơsi ta có :

2

2 1 1

1.( 1)

2 2

x x x x

x x

2

2 1 1 2

1.( 1)

2 2

x x x x

x x

Cộng vế với vế ta đƣợc x2 x 1 x2 x 1 x 1 Suy x2 x 2 x 1 x 1 0 x 1

Thử lại thấy x 1 nghiệm phƣơng trình Vậy phƣơng trình có nghiệm x 1

b) Giả sử phƣơng trình có nghiệm, nghiệm phải thỏa mãn

2

1 0

1 0 1 [1; )

2 1 0

x

x x x

x x

Rõ ràng x 1 không nghiệm phƣơng trình, ta xét x 1 Phƣơng trình cho 2x2 x 1 x2 x 3 x x( 1)

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM]

2

2 , 3 ( 1) 3 1

2 2

x x

x x

x x x x

Suy

2

2

3 1

(*) 2 1 (*)

2 2

x x

x x

VP x x VT

Đẳng thức xảy 1 0 1 5 2

x x x

Thử lại phƣơng trình ta thấy 1 5 2

x nghiệm phƣơng trình

Vậy phƣơng trình có nghiệm 1 5

2

x

c) ĐKXĐ: x3 2 0 x 2 Giả sử phƣơng trình có nghiệm

Sử dụng bất đẳng thức côsi, ta đƣợc 3 1 2( 1) ( 1) 4 1.

6 2

x x x

x

Kết hợp với phƣơng trình suy 1 2

2 x

x x

3 2

4(x 2) (3x 1) (x 3)(4x 3x 3) 0 x 3 Nhƣ ta có 3

2 x 3.(**)

Ta có 3 x2 1 x 1 x 1 (x 1)2 x(3 x) 0(đúng với đk (**)) và x3 2 2x 1 (x 3)(x2 x 1) 0(đúng với đk (**))

Suy 3 x2 1 x 2x 1 x3 2

Đẳng thức xảy x 3 Thử lại ta thấy x 3 là nghiệm phƣơng trình cho Vậy phƣơng trình có nghiệm x 3

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM] giá từ giải đƣợc tốn

Ví dụ 14: Giải bất phƣơng trình sau a)

2 2

2

6 5

x x

x x b)

3

2x 11x 21 3 4x 4 Lời giải

a) ĐKXĐ : x2 6x 5 0 1 x 5

Ta có 2

2

2 2

1

6 5 3 4

x x x

x x x (1)

Mặt khác x2 1 2x, dấu xảy x 1 suy x2 1 2 ,x x 1;5 (2) Từ (1) (2) ta có với x 1;5 ta có

2

2 2

2

6 5

x x

x x

Vậy bất phƣơng trình có tập nghiệm S 1;5

b) Xét tam thức f x 2x2 11x 21, có a 2 0, 47 0 Suy f x 0, x

Do phƣơng trình có nghiệm phải thỏa mãn 3 43 x 4 0 x 1 p dụng BĐT Cơsi ta có :

3 3

3 4x 4 3 2.2 x 1 2 2 x 1 x 3 Kết hợp với phƣơng trình suy 2x2 11x 21 x 3

2

2 x 3 0 x 3

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM] 3 Bài tập luyện tập

Bài 4.120: Giải bpt sau :

2

2

. 3 2 1 . 1 3

3 2 4 3 3 4 1

a x x b x x x

c x x d x x x

lời giải

Bài 4.120: a) Bpt

2

1

2 1 0 2

3 0 3

3 (2 1) 4 5 4 0

x x

x x

x x x x

3 x

b) Bpt

2

2

1 0

8 3 0

7 1 ( 3)

x x

x x

x x x

c) Bpt 4 3 0 4 3 0 2

3 2 0 3 2 (4 3)

x x

x x x

2 3

2

3 4 1

3 1 3

4 x

x x

d) Bpt

2

2

1 0 4

3 4 0 3

1 0 1 41

4

3 4 ( 1)

x

x

x x

x

x

x x x

Bài 4.121: Giải bất phƣơng trình sau

a) (x2 3 ) 2x x2 3x 2 0 b)

2

2 4

(1 1 )

x

x x

c) x2 3x 1 (x 3) x2 1 lời giải

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM]

TH 1: 2 3 2 0 2, 1

2

x x x x Khi BPT ln

TH 2:

2

2

1

2 3 2 0 V 2 1

Bpt 2 V 3

3 0 0 V 3 2

x x x

x x

x x x x

Vậy nghiệm Bpt cho là: ( ; 1] {2} [3; )

2

T

b) ĐK: x 1

* Với x 0 ta thấy Bpt

* Với x 0 1 x 1 0 Nhận lƣợng liên hợp VT Bpt ta đƣợc

2

2

2

(1 1)

4 (1 1) 4 1 3 8

(1 1) (1 1)

x x

x x x x x

x x

Vậy nghiệm Bpt cho là: T [ 1;8)

c) Bất phƣơng trình x x( 3) (x 3) x2 1 1 0

2 2

(x 3)(x x 1) ( x 1) x 0

2 1 1 3 0

x x x (*)

Do x2 1 x x2 x x x 0

2

(*) x 1 3 x 8 2 2 x 2 2

Vậy 2 2 x 2 2 là nghiệm bất phƣơng trình cho.

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM]

2

2

2

) 2 1 8 ) 2 6 1 2 0

) 6 5 8 2 ) 3 2 8 7

2

) 2 1 ) 21

3 9 2

a x x b x x x

c x x x d x x x

x

e x x x f x

x

’

lời giải

Bài 4.122: a)

2 2

8

8 0

1 1

2 1 0 5

2 2

2 1 (8 ) 18 65 0

x x

bpt x x x

x x x x

b) 2 6 1 2 2 2 0

2 6 1 0

x

bpt x x x

x x

hoặc 2

2 0

2 6 1 2

x

x x x

2

3 7

2

3 7

2 x

x x

2

3 2

3 7

2 3 0

2 x x

x x x

c) ĐS: 3 x 5

d) ĐKXĐ:

3 0

2 8 0 4 7

7 0

x

x x

x

2

2

2

3 2 8 7 3 1 2 2 8 7

2 2 8 7 4 2 22 56

5

11 30 0

6

bpt x x x x x

x x x x

x

x x

x

Đối chiếu điều kiện ta nghiệm bpt 4 5

6 7

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM]

e) ĐKXĐ :

2 0

1 0 0

0 x

x x

x

2 1 2 2 1 2 ( 1)

bpt x x x x x x x

1 0

1 2 ( 1)

0

x

x x x

x

1 0

1 4 ( 1)

x

x x x

3 2 3

3

3 2 3

3 x

x

Đối chiếu điều kiện ta nghiệm bpt 3 2 3

3 x

f) ĐKXĐ :

9

9 2 0

2

3 9 2 0 0

x x

x x

2

2

2 3 9 2 7

21 9 2 4

2 4

x x

bpt x x x

x

Đối chiếu điều kiện ta nghiệm bpt

9 7

2 2

0 x x

Bài 4.123: Giải bất phƣơng trình sau :

2 2

3 4 2

) x x 2 ) 3 2 4 3 2 5 4

a b x x x x x x

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM]

2

2 2

) 8 15 2 15 4 18 18 ) 1 1 2

4 x

c x x x x x x d x x

lời giải

Bài 4.123: a) ĐKXĐ :

4 1

3 0

x x

:

Với 0 4

3

x :

2

2

3 4 2

2 3 4 2 2

x x

BPT x x x

x

2 2

2

2 2 0 1 9

7 9 0 7

3 4 2 2

x x

x

x x

x x x

Suy nghiệm bất phƣơng trình 9 4

7 x 3

Với 1 x 0 : bpt

Đối chiếu điều kiện ta nghiệm bpt

1 0

9 4

7 3

x x

b) ĐKXĐ:

2

2

3 2 0

4 4 3 0

1 5 4 0

x x

x

x x

x

x x

1 2 1 3 2 1 4

bpt x x x x x x

Dễ thấy x 1 nghiệm bpt

+ Với x 1: Bpt 1 x 2 x 1 x 3 x 2 1 x 4 x

2 x 3 x 2 4 x

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM] +) Vớix 4 : bpt x 2 x 3 2 x 4

Ta có : x 2 x 3 x 4 x 4 2 x 4, x x, 4 Suy : x 4 bất pt

Vậy nghiệm bpt : 1 4

x x

c) ĐS: 5, 3, 5 17

3

x x x

d) ĐKXĐ: 1 0 1 1

1 0

x

x

x :

Khi : 1 1 2 1 4

16 x

bpt x x x x

4

2

1 2 1 1 0

16 x

x x

4 2

1 1 0

16 x

x (luôn đúng) Vậy nghiệm bpt : 1 x 1

Bài 4.124: Giải bất phƣơng trình sau:

a) 4(x 1)2 (2x 10)(1 3 2 )x 2 b) 1 x 1 x x

c) 25 x2 x2 7x 3 d) 2 2 1 1

2 9

x

x x

e)

2

3 4 2

2

x x

x f) 2

1 1 2

x x

x

x x

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM] lời giải

Bài 4.124: a)

2

4( 1) 1 3 2 2 10 0

bpt x x x

ĐS: x 1,x 3

b) 0 x 1 c) 0 x 5 d) 0 45

8 x

e) 1 0, 9 4

7 3

x x f) x 5

4 g)

17 3 x

h)bpt 9x2 16 3x 2 2 3x 2 2x 4 2 2 x)

Chia hai trƣờng hợp giải ta đƣợc 2 2 2, 2

3 3

x x

Bài 4.125: Giải bất phƣơng trình sau:

2 2

2

) 3 6 4 2 2 ) 2 4 3 3 2 1

3

) 3 5 7 3 5 2 1 ) 2 1 2 1

2

a x x x x b x x x x

c x x x x d x x x x

2

5 1 1 35

) 5 2 4 ) 2 3 )

2 1 12

2 1

x x x

e x x f g x

x x x

x x

lời giải

Bài 4.125: a) Đặt :

2

2 4

3 6 4, 0 2

3 t

t x x t x x

Bất phƣơng trình trở thành

2 4 2

3 t t

2 3 10 0 0 2( 0)

t t t t

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM]

3x 6x 0 2 x 0

Vậy nghiệm bpt 2 x 0 b) ĐKXĐ: 3 x 1

Đặt : t 3 2x x t2, 0 t2 3 2x x2 2x x2 3 t2 Bất phƣơng trình trở thành 2 3 t2 3t 1

2 5

2 3 5 0 0 ( 0)

2

t t t dot

Ta có 3 2 5

2 x x

2

3 1

3 1

25 3 2

4 x

x x x

Vậy nghiệm bpt 3 x 1 2 x 0

c) ĐKXĐ:

2 3 1 x

x

Đặt t 3x2 5x 2,t 0 3x2 5x t2 2 Bất phƣơng trình trở thành t2 5 t 1

2

2 5 1 5 1 2

t t t t t

Ta có

2

2

3 5 2 0 3 5 2 2

3 5 2 4

x x

x x

x x

2

2 1

3

1 2 1

1 3 3

2

3 x

x x

x x

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM]

2 3

1 1 1 1

2

bpt x x

3

1 1 1 1

2

x x

Đặt t x 1,t 0

Bất phƣơng trình trở thành 1 1 3

2

t t (*)

+) Với t 1 ta có (*) 2 3 3

2 4

t t

Suy nghiệm bpt(*) t 1 do x 1 1 x 2

+) Với 0 t 1 ta có (*) 2 3

2 đúng t

Do đó0 1 1 1

2

x x

x

Vậy nghiệm bpt x 1 e) ĐKXĐ : x 0

1 1

5 2 4

2 2

bpt x x

x x

Đặt 1 2 . 1 2, 2 1 1

4

2 2

t x x t x t

x

x x

Bất phƣơng trình trở thành 2

1

5 2 1 4 2 5 2 0 2

2 t

t t t t

t

Vì t 2 t 2 ta có 1 2 2 4 1 0

2

x x x

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM]

2 2 3 2 2

0 0

2 2

2 2 3 2 2

2 2

x x

x x

Vậy nghiệm bpt 0 3 2 2

2

x 3 2 2

2

x

f) ĐKXĐ: x 1,x 0

Đặt: 1, 0 12

1

x x

t t

x x t

Ta đƣợc : 2

2 1

2t 3 2t 3t 1 0 t 1 2t t 1 0

t 1 0

2

t (vì t 0 )

Ta có 0 1 1 4 1

2 3

x

x x

Vậy nghiệm bpt 4 1

3 x

g) ĐKXĐ: 1 0 1

1

x x

x

+) Với x 1: bpt VN +) Với x 1:

2

2

2

1225 2.

144

1 1

x x

bpt x

x x

4

2 2

1225

2. 0

144

1 1

x x

x x

Đặt :

2

2 1, 0

x

t t

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM]

2 2 1225 0 25( 0)

144 12

t t t dot

Do ta có

4

2

25

144 625 625

12 1 x

x x

x

2

4

2

25 5

0 1

16 4

144 625 625 0 ( ox 1)

25 5

9 3

x x

x x d

x x

Bài 4.126: Giải phƣơng trình sau:

a) x 2 7 x 2 x 1 x2 8x 7 1 b)

2 (2 1)

2 1 3 2

2 x

x x

c) 10x 1 3x 5 9x 4 2x 2 d) x 1 (x 1)2 8 x3

lời giải

Bài 4.26: a) ĐKXĐ: 1 x 7

Ta có: PT x 1 2 7 x 2 x 1 7 x x 1 0

1 1 2 7 1 2 0

x x x x

1 2 1 7 0

x x x

1 2 5

4

1 7

x x

x

x x

b) ĐKXĐ: 1 3

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM] Phƣơng trình cho 2 1 3 2 (4 4 1)2

4

x x

x x

2

2 (4 4 1)

4 2 4 4 3

4

x x

x x

Đặt t 4x2 4x 3= 4 (2x 1)2 0 t 2 Ta có phƣơng trình :

2

16 8t (4 t ) t 8t 8t 0 t t( 8t 8) 0

2 0 (n)

( 2)( 2 4) 0

1 5 (l) t

t t t t

t

2

1 2

0 4 4 3 0 4 4 3 0

3 2 x

t x x x x

x

Vậy 1; 3

2 2

x x nghiệm phƣơng trình cho

c) ĐKXĐ: 5

3 x

Phƣơng trình 10x 1 9x 4 3x 5 2x 2 0

3 3

0

10 1 9 4 3 5 2 2

x x

x x x x

1 1

( 3) 0 3

10 1 9 4 3 5 2 2

x x

x x x x (thỏa điều kiện)

Vây x 3 là nghiệm phƣơng trình cho. d) PT x 1 x3 x2 2x 9 0

2 2

( 2)( 4) 0

1 1

x

x x x

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM]

1

( 2) 4 0 2

1 1

x x x x

x

Bài 4.127: Giải phƣơng trình sau

a) x2 2x 3 2x2 x 1 3x 3x2 b) 314 x3 2 x2 2x 1 2 x c) 2 1 3x x 2 5

x lời giải

Bài 4.127: a) Theo cơsi ta có:

2

2 2 1

2

2

x x

x x ;

2

2 2 3 3

1 3 3

2

x x

x x

Suy

2

2 2 3

2 1 3 3

2

x x

x x x x

Mà

2 2 3

2. 2

x x

Dấu xảy <=>x=1 Thử lại thấy thỏa mãn Vậy pt cho có nghiệm x=1

b) ĐKXĐ: x2 2x 1 0

Do x2 2x 1 0 nên 3 14 x3 2 x

3

14 x 8 12x 6x x x 2x 1 0

Suy phƣơng trình có nghiệm x2 2x 1 0 x 1 2 Thử lại ta thấy phƣơng trình cso nghiệm x 1 2 c) ĐK: x 0 Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:

2

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM]

Suy 2 1 3x x 2 2 x 2 1 5

x x

Đẳng thức xảy x 1 nghiệm phƣơng trình.

Bài 4.128: Giải phƣơng trình 2x 3 x 1 x2 11x 33 3x 5 lời giải

Bài 4.128: ĐKXĐ: 2

2 3 0

1 0 5

11 33 0 3

3 5 0

x x

x

x x

x

Phƣơng trình tƣơng đƣơng với

2

2 2x 3 x 1 x 11x 24 2 x 11x 33 3x 5

2

2 2x 3 x 1 x 11x 33 3x 5 x 11x 24

3

2

3 40 149 168

2 11 24

2 3 1 11 33 3 5

x x x

x x

x x x x x

2

2

3x 7 11 24

2 11 24

2 3 1 11 33 3 5

x x

x x

x x x x x

2

2

2 3 7

11 24 1 0

2 3 1 11 33 3 5

x

x x

x x x x x

2 11 24 0 3

8

x

x x

x (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phƣơng trình có nghiệm x 3 và x 8

Bài 4.129: Cho phƣơng trình: 2x2 2 m 1 x m2 m x 1 1 a) Tìm m để phƣơng trình (1) có nghiệm.

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM]

Bài 4.129: Phƣơng trình (1)

     2

2

1 0

x 2 1 1 2

x

m x m m x

    

      

Đặt t  x 1, x 1 0 nên ta có điều kiện t0, thay vào phƣơng trình (2) ta đƣợc phƣơng trình: t22m1tm2 m 0 3 

a) Để phƣơng trình (1) có nghiệm phƣơng trình (3) có nghiệm t0 TH1: Phƣơng trình (3) có nghiệm

1 0 0 0 0 1

t     t P m     m m

TH2: Phƣơng trình (3) có nghiệm 2

1 0

' 0

0 0 0 1

0 1 0

m

t t P m m m

S m

     

 

             

 

Kết luận: Với m 0;1 phƣơng trình (1) có nghiệm.

b) Để phƣơng trình (1) có nghiệm phân biệt phƣơng trình (3) có nghiệm

1

1 0

0

0 0 0

0 1 0

m

t t P m m

S m

     

 

             

(vô nghiệm)

Kết luận: Không tồn m để phƣơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt

c) Để phƣơng trình (1) có nghiệm phƣơng trình (3) có nghiệm t0 TH1: Phƣơng trình (3) có nghiệm

1 0 0 0 0 1

t     t P m     m m

TH2: Phƣơng trình (3) có nghiệm 2

1 0

0

0 0 0 0

0 1 0

m

t t P m m m

S m

    



 

             

 

TH3: Phƣơng trình (3) có nghiệm

0 1 0

0 1

0 1 0

m

t t m

S m

     

        

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM] Kết luận: Với m 0;1 phƣơng trình (1) có nghiệm nhất.

Bài 4.130: Cho phƣơng trình x2 m x2 1 3m 2 0 1 a) Tìm m để phƣơng trình (1) có nghiệm.

b) Tìm m để phƣơng trình (1) có nghiệm phân biệt. c) Tìm m để phƣơng trình (1) có nghiệm nhất. lời giải

Bài 4.130. ĐK x R Đặt t x2 1 1 t 0 suy x2 t 1 1, thay vào phƣơng trình (1) ta đƣợc phƣơng trình: t2 m 2 t 3m 2 0 2

a) Để phƣơng trình (1) có nghiệm phƣơng trình (2) có nghiệm t 0

TH1: Phƣơng trình (2) có nghiệm 1 0 2 0 3 2 0 2 3

t t P m m

TH2: Phƣơng trình (2) có nghiệm

1

0 16 4 0

0 0 3 2 0 8 68

0 2 0

m m

t t P m m

S m

Kết luận: với ; 2 8 68;

3

m phƣơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt b) Để phƣơng trình (1) có nghiệm phân biệt phƣơng trình (2) có nghiệm thỏa:

2

1

0 16 4 0

0 0 3 2 0 8 68

0 2 0

m m

t t P m m

S m

VƢƠNG [BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM] TH1: Phƣơng trình (2) có nghiệm

2

1

0 16 4 0

2

0 0 3 2 0

3

0 2 0

m m

t t P m m

S m

TH2: Phƣơng trình (2) có nghiệm

2

1

0 16 4 0

0

0 2 0

m m

t t

S m (vô

nghiệm)

Kết luận: với 2

3

m pt (1) có nghiệm

ÔN TẬP CHƢƠNG IV

Bài 4.131: Cho số thực a b c, , số thực Chứng minh rằng:

a) a4 b4 c2 1 2 (a ab2 a c 1) b)

2 2

4 a

b c ab ac bc

c) (a5 b5)(a b) (a4 b4)(a2 b2), với ab 0

Bài 4.132: Cho a b c, , số dƣơng thỏa mãn a b c 1 Chứng minh

a) 1 1 1 1 1 1 8

a b c

b) 2 2 2 2 2 2 3

4 4 4

a b b c c a

b bc c c ca a a ab b

Bài 4.133: Cho a b c, , số dƣơng abc 1 Chứng minh :

a)

3 3 3

( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 4

a b c