* Điều kiện lăng trụ phải là lăng trụ đứng, đáy có đường tròn ngoại tiếp - Dựng trục đường tròn ngoại tiếp đáy (đường thẳng nối tâm hai đáy) - Trung điểm của đoạn nối tâm hai đáy là tâm [r]
(1)A - GIẢI TÍCH
CHUYÊN ĐỀ I
Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số.
Các toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm đồ thị hàm số.
1 Chiều biến thiên hàm số.
Lý thuy ết : Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số y = f (x) 1 Tìm tập xác định
2 Tính đạo hàm y= f x( ) Giải phương trình f x( )= để tìm nghiệm xi (i =1,2 ,n).
3 Sắp xếp nghiệm xi theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải và lập bảng biến thiên hàm số.
4 Kết luận (hàm số đồng biến khoảng mà f x( )> và ngược lại)
* Một số toán hay gặp khác như:
Tìm điều kiện để hàm số đồng biến(hoặc nghịch biến môt ( a,b) ; [ a, b] Chứng minh hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) ( a,b) ; [ a, b]
Bài t ập :
Câu 1: Tìm khoảng đơn điệu hàm số sau tập xác định chúng:
Câu : Xét đồng biến, nghịch biến hàm số y = x4−8x2+2 .
Câu : Xét đồng biến, nghịch biến hàm số y = x3−3x
+1 .
Câu 4 : Tìm khoảng đơn điệu hàm số: a, y=−4
3x
+6x2−9x −2
3 ; b, y=√2x − x2 ; c, y=
x+1−2x
d, y=(1− x2)3 ; e, y=√x2−2x −3 ; f, y= (x+1)2 .
Câu5 : Chứng minh : a, Hàm số y=x −2
x+2 đồng biến khoảng xác định nó.
b, Hàm số y=− x
2
−2x+3
x+1 nghịch biến khoảng xác định nó.
c, Hàm số y=x3−6x2+17x+4 hàm số y=x3+x −cosx −4 đồng biến R.
d, Hàm số y=cos 2x −2x+3 nghịch biến R.
e, Với giá trị m hàm số y=mx− x3 nghịc biến R.
f, Với giá trị m hàm số y=1
3x
−mx2+4x+3 đồng biến R.
2 C ự c tr ị h àm s ố
Lý thuy ết :
- Định lý 1, định lý SGK Giải tích 12.
D
ạng 1: Tìm m để hàm số y = f (x,m) đạt cực đại (hoặc cực tiểu) x = x0
Cách gi ải :
(2)· Điều kiện cần để hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu) x = x0 là f x( )0 = Giải phương
trình tìm m.
· Thử lại (Điều kiện đủ).Với giá trị m tìm được, ta tính f x( )0
- Nếu f x( )0 > hàm số đạt cực tiểu x = x0
- Nếu f x( )0 < hàm số đạt cực đại x = x0
Căn vào yêu cầu đề để chọn giá trị m thỏa mãn. f x · Kết luận.
(Cịn có cách khác để thử lại lập bảng biến thiên để kiểm tra xem hàm số đạt cực đại hay cực tiểu x = x0)
D
ạng 2: Chứng minh hàm số y = f (x,m) ln có cực trị với giá trị tham số m.
Cách gi ải:
Chứng tỏ f x( )= ln có nghiệm đổi dấu x chạy qua nghiệm đó. - Với hàm số bậc ba, chứng tỏ f x( )= có nghiệm;
- Với hàm số bậc bốn (trùng phương) cần theo yêu cầu đề để tìm m để f x( )= có nghiệm, nghiệm
Chú ý :
Điều kiện để hàm số có cực trị x=x0
f '(x0)=0
f left (x rSub \{ size 8\{0\} \} right ) <> \{\} # right no \} \} lbrace \} \{
¿{ ¿
Điều kiện để hàm số có cực đại x0
f '(x0)=0
f left (x rSub \{ size 8\{0\} \} right )<0 \{\} # right no \} \} lbrace \} \{
¿{ ¿
Điều kiện để hàm số có cực tiểu x0
f '(x0)=0
f left (x rSub \{ size 8\{0\} \} right )>0 \{\} # right no \} \} lbrace \} \{
¿{ ¿
Điều kiện để hàm bậc có cực trị (có cực đại, cực tiểu) y’ có hai nghiệm phân biệt
⇔
Δ>0
a≠0
¿{
Điều kiện để hàm bậc có cực trị : y’=0 có nghiệm phân biệt Bài tập:
Câu 1: Cho hàm số y = x3−6x2
+9x có đồ thị (C) Với giá trị tham số m, đường
thẳng y = x + m2 - m đi qua trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm cực đại cực tiểu
(3)Câu 2: Tìm m để hàm số y = x3−mx2+(m −2
3)x+5 có cực trị x = Khi hàm số đạt cực đại hay cực tiểu ? Tính cực trị tương ứng ?
Câu 3: (TN BTTH 2006)
Chứng minh hàm số y=x3−mx2−2x+1 luôn có cực trị với giá trị tham số m
Câu 4: Tìm cực trị hàm số: a, y=1
3x
+2x2+3x −1 b, y=x
5 −
x3
3 +2
c, y=x
2−3x
+3
x −1 d, y=|x|(x+2)
e, y=x√4− x2 g, y=x −sin 2x+2 h, y=3−2 cosx+cos 2x
Câu 6: a, Xác định hệ số a,b,c cho hàm số : f(x)=x3+ax2+bx+c đạt cực trị o
tại điểm x=-2 đồ thị hàm số qua điểm A(1;0)
b, Chứng minh với giá trị m hàm số: y=x3−mx2−2x+1 có cực
đại, cực tiểu.
c, Cho hàm số y = x4
2 −ax
+b Xác định a,b để hàm số đạt cực trị -2 x=1
d, Cho hàm số y=x3+(m−1)x2−(m+3)−1 CMR đồ thị hàm số ln có cực đại cực tiểu Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số.
3.Giá tr ị lớn nhất, giá trị nhỏ c h àm s ố.
Lý thuyết:
Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a;b] · Tính đạo hàm y= f x( )
Giải phương trình f x( )= tìm nghiệm x0 thuộc đoạn [a;b] (các nghiệm nằm ngồi đoạn khơng lấy )
· Tính f(a) , f(b) , f(x0)
· So sánh số kết luận.
* Nếu tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng(a;b). · Tính đạo hàm y= f x( )
Giải phương trình f x( )= tìm điểm tới hạn khoảng ( a, b ) · Tính giá trị hàm số điểm tới hạn
Lập bảng biến thiên,căn vào bảng biến thiên rút GTLN, GTNN
Bài tập:
Câu 1: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y=x
2+
x+1 trên đoạn [1;3]. Câu 2 : Tìm GTLN, GTNN hàm số f (x) = x + √2 cos x trên đoạn [0; π2 ]
Câu 3 : Tìm GTLN, GTNN hàm số y = x4 - 2 x2 +1 đoạn [0;2].
Câu 4 :Tìm GTLN, GTNN hàm số y=2x −1
x −3 đoạn [-1; 4].
(4)Câu : Tìm GTLN, GTNN hàm số y=√x −1 Câu : Tìm GTLN, GTNN hàm số y=4+√4− x2
Câu 9: Tìm GTLN, GTNN hàm số y = x – sin2x đoạn [ −π
2; π ] Câu 10 : Tìm GTLN, GTNN hàm số y = 2 sin2x
+2 sinx −1
4 Ti ếp tuyến, tiệm cận đồ thị h àm s ố
Lý thuy ết : D
ạng 1: Viết p/trình tiếp tuyến biết tọa độ tiếp điểm M x y( , )0 (hoặc hoành độx0,
hoặc tung độ y0 ).
Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C) M x y( , )0 là điểm (C) Tiếp tuyến với đồ thị (C) M x y( , )0 có:
- Hệ số góc: k = f x( )0
- Phương trình: (y - y0) = k( x - x0)
Hay (y - y0) = f x( )0 (x - x0)
Vậy để viết PT tiếp tuyến M x y( , )0 chúng ta cần đủ ba yếu tố sau: - Hoành độ tiếp điểm: x0
- Tung độ tiếp điểm: y0(nếu đề chưa cho ta tính cách thayx0 vào hàm số y0 = f(x0)
- Hệ số góc k = f x( )0
.
D ạng 2 : Viết p/trình tiếp tuyến biết hệ số góc nó. D
ấu hiệu :
- Cho hệ số góc k = a
- Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d ) : y = ax + b
- Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d ) : y = ax + b
- Tiếp tuyến tạo với truc Ox góc o
Cách gi ải :
· Khi t/tuyến song song với (d ) hế số góc k1của t/tuyến hệ số góc k2 (d ) Hay
k = k2= a.
· Khi t/tuyến vng góc với (d ) hế số góc k1 của t/tuyến hệ số góc k2 (d ) thỏa
mãn k1 k2 = -1
- Khi tiếp tuyến tạo với trục Ox góc othì hệ số góc tiếp tuyến k = tan
L
ời giải (Các bước):
·Tính đạo hàm hàm số y= f x( )
Tính hệ số góc tiếp tuyến k (theo dấu hiệu trên) · Gọi M x y( , )0 tọa độ tiếp điểm
· Hệ số góc t/tuyến k = f x( )0
(5)Bài Tập:
Câu1: Viết p/trình tiếp tuyến với độ thị hàm số y=x −1
x+1
a) Tại điểm có hồnh độ b) Tại điểm có tung độ 3.
Câu 2: Viết p/trình t/tuyến với đồ thị hàm số y= 2x
x −1 biết: a) Hệ số góc t/tuyến -2
b) T/tuyến song song với đường thẳng (d ) : y = - 12 x c) T/tuyến vng góc với đường thẳng (D) : y = 92 x +1
Câu 3: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y=2x+3
x+1 điểm thuộc đồ thị có
hồnh độ x0 = -3.
Câu 4: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số y = x3−3x2+2 tại điểm
A(2;4).
Câu 5 Cho hàm số y=x −1
x+2 gọi đồ thị hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến với
đồ thị (C) giao điểm (C) trục tung
Câu 6 : Cho hàm số y=3x −1
x+1 gọi đồ thị hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến
với đồ thị (C) điểm có tung độ y0 = -2
Câu 7: Viết p/trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x4 - 2 x2 +1 điểm M (-2;9)
5 Kh ảo sát h àm s ố
Sơ đồ:
· Tập xác định.
· Đạo hàm y= f x( ) Giải p/trình f x( )= 0 · Tính giới hạn lim
Bảng biến thiên (điền đầy đủ thông tin, ý giá trị giới hạn tính) · Dựa vào bảng biến thiên suy ra: - Các khoảng đơn điệu (ĐB, NB) hàm số; - Cực trị hàm số (nếu có).
· Vẽ đồ thị:
- Xác định giao điểm với trục hồnh: Cho y = , tìm x. - Xác định giao điểm với trục tung: Cho x = , tìm y.
- Chon thêm số điểm đặc biệt (Chú ý đến tính đ/xứng đồ thị: Hàm bậc ba đ/x qua tâm là trung điểm hai cực trị; hàm bậcbốn (trùng phương) đ/x qua trục tung; hàm hữu tỷ đ/x qua giao hai tiệm cận)
6 Tương giao hai đồ thị.
Lý thuy ết :
D
ạng 1: Dựa vào đồ thị hàm số y = f (x) để biện luận theo m số nghiệm phương trình f (x) = g(m) ( f x( ) =g(m) ; f x = g(m)).
(6).Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị (C) đường thẳng y = g(m)
D
ạng 2: Chứng tỏ đường thẳng (d ) : y = ax + b cắt đồ thị hàm số y = f(x) hai điểm phân biệt, không cắt.
Lập phương trình hồnh độ giao điểm f(x) = ax + b (*)
Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm (d ) đồ thị hàm số y = f(x)
Bài Tập:
Câu 1 :Cho hàm số y=2x3−3x2−1
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số.
2) Biện luận theo m số nghiệm thực phương trình 2x3−3x2−1 = m
Câu 2 :Cho hàm số y=x3−3x2+1 .
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số.
2) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt x3−3x2 -m = 0
Câu 3 :
1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y = − x3
+3x2
2 Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình − x3+3x2 -m =
3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) trục hồnh.
Câu 4: Tìm m để đồ thị ( Cm ) hàm số y = x3 + (m + 3)
x2 +1- m cắt trục hồnh
điểm có hồnh độ x = -2
Câu 5: Cho hàm số yx33x21 có đồ thị (C)
a, Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C).
b, Dùng đồ thị (C), xác định k để phương trình sau có nghiệm phân biệt x3 3x2 k 0
. Câu 6: Cho hàm số
2 1
x
x y
có đồ thị (C) a.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C).
b.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) qua điểm M(1;8) Câu 7: Cho hàm số yx3 3x1 có đồ thị (C)
a.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C).
b.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) qua điểm M( 14
9 ; 1) Câu 8: Cho hàm số
3
x
x y
có đồ thị (C) a.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C).
b.Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng (d) : y = mx + cắt đồ thị hàm số đã cho hai điểm phân biệt
Câu 9: Cho hàm số yx33x2 4 có đồ thị (C) a.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C).
b.Cho họ đường thẳng (dm) :y mx 2m16 với m tham số Chứng minh (dm) cắt đồ thị (C) điểm cố định I
Câu 10: Cho hàm số
2
x
x y
có đồ thị (C) a.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)
(7)Câu 11: Cho hàm số : y = – x3 + 3mx – m có đồ thị ( C m ) 1.Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x = – 1.
2.Khảo sát hàm số ( C1 ) ứng với m = –
3.Viết phương trình tiếp tuyến với ( C1 ) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng có phương trình 6
x y
Câu 12: Cho hàm số y ¿2x4−4x2
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
2 Tìm m để phương trình x2|(x2−2)| = m có nghiệm thực phân biệt
CHUYÊN ĐỀ II :
Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ lơgarit.
1 Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ.
Lý huyết
- Ghi nhớ phép toán với lũy thừa, mũ (Với < a 1) ax+y
=ax+ay
ay
¿x
ax¿y=axy=¿ ¿
ax − y
=a
x
ay
1
ax=a
− x
Ghi nhớ công thức khử số: af(x)
=ag(x) ⇔ f(x) = g(x)
af(x)
=1⇔f(x)=0
af(x)
=c⇔f(x)=logac
a, Phương trình mũ : D
ạng 1 : Phương trình mũ bậc hai m a2f(x) + n
af(x) + p= (1)
Cách giải:
· Đặt t = af(x) ,(t > 0) , a2f(x) = t2
Ta có p/trình m. t2 + n.t + p = 0, (t > 0) (2)
· Giải p/trình (2), tìm nghiệm t > 0 · Giải p/trình af(x)
=t⇔f(x)=logat ⇔ tìm x
· Kết luận, nghiệm (1) D
ạng 2 : Phương trình mũ m. af(x) + n
a− f(x) + p = 0
Cách giải:
· Đặt t = af(x) ,(t > 0) , a− f(x)=1
t
Thay vào p/trình cho, giải tìm nghiệm t > Rồi tìm x. Dạng : logarit hố hai vế : af(x)
=bf(x) , af(x)bf(x)=c
Dạng 4: Đốn nghiệm sử dụng tính đơn điệu hàm số b, Bất phương trình mũ :
(8)af(x)
>ag(x) ⇔
¿a>1
f(x)>g(x) ¿ ¿ ¿
0<a<1 ¿
f(x)<g(x) ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Bài Tập :
Câu 1: Giải phương trình mũ: 1/ 0,125. 4√2¿x
42x −3=¿ 2/
2x+5
=3x+2+2 3/ 3x+1+18 3− x=29
4/ 52x+1
−3 52x −1=110 5/ 3. 52x −1−2 5x −1=15 6/ 25x−6 5x+1+53=0
7/ 32x+8−4 3x+5
+27=0 8/ 9x
2
+1−3x2
−6=0 9/ 4x+2 9x=5 6x
10/ e4x
+e2x−6=0 11/ 32−log3x
=81x 12/ 5x−1+53− x−26=0
13/ 2−√3¿
x+1
√3+2¿2x −4=¿ ¿
14/ 73x+9 52x=52x+9 73x 15/ 4x+1−16x=2 log48 Câu 2: Giải bất phương trình sau :
1/ 49x−6 7x−7
<0 2/ 23−6x>1 3/ 16x>0,125
4/ (23)4x≤(3
2) 2− x
5/ 9x
<2 3x+3 6/ 52x+1>5x+4
7/ 22x+1−21
(12) 2x+3
+2≥0 8/ 2x
+2− x+1−3<0 9/ 9 4−1x
+5 6−
1
x
<4 9−
1
x
10/ 4x+1−16x
<2 log48 11/ 32x+2−4 3x+2+27>0 12/ ( 2)
x
−2 0,4x
+1,6<0
2,Phương trình bất phương trình logarit:
A,Lý huyết
- Hàm số y=loga x có đ/k xác định : x > , < a 1
- Hàm số đồng biến a > , nghịch biến < a < 1 - Một số cơng thức biến đổi (SGK giải tích 12)
a, Phương trình logarit :
- Phương pháp giải : + Đưa số
logaf(x)=logag(x)⇔
0<a ≠1
f(x)=g(x)>0 ¿{
+ Đặt ẩn phụ để đưa phương trình bản + Phương pháp mũ hoá hai vế
b, Bất phương trình logarit:
(9)Chú ý :
logaf(x)>logag(x)⇔
¿0<a<1
0<f(x)<g(x) ¿ ¿ ¿
a>1 ¿ ¿
f(x)>g(x)>0 ¿ ¿ ¿
B, Bài tập:
1, Giải phương trình: 1/ log2
1
x=log1
(x2− x −1) 2/ log2x+log4x=log1
√3
3/ log√3x log3x log9x=8 4/ log5(x −2)+log5(x −3)=2 log52+log53 5/ log2x+log4x+log8x=11 6/ log2(x+1)(x −4)=log22+log2(4− x) 7/ log4(x+3)−log4(x −1)=2−log48 8/ log3x¿2+log3x3=4
¿
9/ log3(3x+8)=2+x 10/ log3(25−4x)=2 11/ log2x
log42x
=log84x
log168x 12/
log2
x −5 log2x+6=0 13/ log1
3
(31−2x)=−3 14/ log
2(x2+3x+2)+log2(x2+7x+12)=3+log23 15/ log3(2− x)−log3(2+x)−log3x+1=0 16/ log√10+x −1=log 3−1
2log(x −1) 2, Giải bất phương trình:
1/ log5(3x −1)<1 2/ log4(x+7)>log2(x+1) 3/ log1
(x2−5x+6≥ −1)
4/ log5(x2−11x+43)<2 5/ log1
(x+1)>log3(2− x) 6/ log0,52
x+log0,5x −2<0
7/ log31−2x
x ≤0 8/ log3log2(x2−1)≤1 9/ (12) log2(x
2 −1)
>1
CHUYÊN ĐỀ IV
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
I, Nguyên Hàm:
A – Lí Thuyết :
1, Định Nghĩa: Hàm số f(x) xác định K.Hàm số F(x) gọi nguyên hàm f(x) trên K : F'(x)=f(x),∀x∈K
K/h : ∫f(x)dx=F(x)+C họ nguyên hàm f(x) K.
2, Nguyên hàm số hàm số thường gặp: 1, ∫odx=C 2, ∫dx=x+C 3, ∫xαdx=x
α+1
α+1+C 4, ∫
dx
x =ln|x|+C
Với k số khác 0 5, ∫Sinkxdx=Coskx
k +C 6, ∫Coskxdx=−
Sinkx
k +C
7, ∫ekxdx=e
kx
k +C 8, ∫a
x
dx= a
x
(10)9, ∫
Cos2x dx=tanx+C 10, ∫
1
Sin2x dx=−cotx+C
3, Các phương pháp tính nguyên hàm:
a, Phương pháp đổi biến số : ∫f[u(x)]u'
(x)dx=F[u(x)]+C
b, Phương pháp tích phân phần: ∫udv=uv−∫vdu B Bài tập:
Tìm nguyên hàm hàm số sau:
1/ f(x)=x3−2x2+3x −2 2/ f(x)=√x+x2+5x+3 3/ f(x)=xsinx
4/ f(x)= 2x+1
x2+x+3 5/ f (x)=(2x+1)
3
√x2+x+5 6/ f(x)=sin5xcosx
7/ f(x)=sinx+cos(x+1)+3 8/ f(x)=xsin2x 9/ f(x)=xcos2x
10/ f (x)=(2x+1)cos(3x −2) 11/ f(x)=excosx+3 12/ f(x)=ln2x
13/ f(x)= x −1
x2− x −2 14/ f(x)=(2x+3)lnx 15/ f(x)=e
cosxsin 2x
II.Tích Phân:
1 Định Nghĩa: ∫
a b
f(x)dx=F(a)− F(b)
2,Tính Chất: Với f(x),g(x)liên tục khoảng K a, b, c K Ta có 1. ∫
a a
f(x)dx=0 2. ∫
b a
f(x)dx=−∫
❑
b
f(x)dx 3, ∫
a b
k.f(x)dx=k.∫
a b
f(x)dx
,
f(x)dx+¿∫
b c
f(x)dx=∫
a c
f(x)dx
∫
a b
¿
5,
[f(x)± g(x)]dx=¿∫
a b
f(x)dx±∫
a b
g(x)dx
∫
a b
¿
3 Các phương pháp tính tích phân Tương tự phương pháp tính nguyên hàm
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Tính tích phân sau: 1 ∫
1
1
√x dx ∫
0
π
4
(cos4x −sin4x)dx 11 ∫
0
π
sin2x dx 15.
∫
0
1
x(x −4) dx
2 ∫
1
x2+2
3x dx ∫
0
π
6
sinx sin 4x dx 11 ∫
π
6
π
4
cotx dx 16
∫
−1
1
2−5x −3x2.dx
3 ∫
− π π
(2 sinx −3 cosx)dx ∫
0
π
sin 2x cos 3x dx 12 ∫
0
π
3
tan2x.dx 17
∫
−1
4x+3
(11)4 ∫ π π
sin2x dx −∫π
6
cos 3x.cos 5x.dx 13 ∫
1
3x+7 dx 18
∫
1
3x −1
x+1 dx
5 ∫
0
2x2+5x −1
x −3 dx 10 ∫0
π
sin x
6.dx 14 ∫0
3
|x −2| dx 19
∫
0
|x2−4x+3|dx
Bài 2:Tính tích phân sau phương pháp đổi biến số : 1, ∫
0 √3
3 1+x2dx
2, ∫
−1
1
2+2x+x2dx 3, ∫
−1
−1
2
√1− x2dx 4, ∫
1
x2√4− x2dx 5, ∫
0
π
sin 4x
1+sinxdx
Bài : Tính tích phân sau phương pháp đổi biến số :
1,
1− x¿9 ¿ x¿ ∫ ¿
2, ∫
−1
x√x2
+1 dx 3, ∫
0
x3
√1− x2dx
4, ∫
1
e
√2+3 lnx
x dx
5, ∫
0
x+1
3
√3x+1dx 6, ∫
❑
π
6
cosx√1+3 sinx.dx 7, ∫
0
e
1+lnx
x dx 8,
∫
1
e
√1+3 lnx
x lnx.dx
9, ∫
0
x
√5x+1 dx 10, ∫1
ex
ex−1 dx 11, ∫
ln ln
√ex+1 dx 12,
∫
1
π
4
etanx+2
cos2x dx
Bài 4: Tính tích phân sau phương pháp tích phan phần 1, ∫
0
π
2
(x+2)sinx dx 2, ∫
0
π
2
(1− x)cosx dx 3, ∫
0
π
2
xsin3x.dx 4,
∫
− π π
(x+1)cos x
2 dx
5, ∫0
xe2xdx
6, ∫0
(x2−3x+1)ex dx
7, ∫
2 cos dx x ex 8, ∫ π
sinx.e2x dx
9, ∫
1
e
lnx.dx 10, ∫
0
ln(x+3)dx
(12)1, I=∫
0
π
2
cos24x dx 2, I=∫
π
(ecosx
+1)sinx dx 3, I=∫
1
e
√1+lnx
x dx
4, I=∫
0
π
6
(3−2x)sin 2x dx 5, I=∫
1
(2x −1)
x
2
dx 6, I=∫
1
e
(1− x2)ln xdx
7, I=∫
0
xex.dx 8, I=∫
0
π
2
cos8xsinx dx 9, I=∫
0
π
4
xsin2xdx
10, I=∫
4
dx
x2−4x
+3 11, I=∫0
√3
x3
√x2
+1 dx 12, I=∫
0
x2ln(x+1)dx
13, I=∫
0
e
excos xdx 14, I=∫
0
π
6
2√1+sin 3xcos xdx 15, I=∫
0
x2.√81− xdx
16, I=∫
1
e
lnx+1
x dx 17, I=∫0
π
√1+cos 2xdx 18, I=∫
0
x3
√x2
+2 dx
19, I=∫
π
4
π
3 xdx
sin2x 20, I=∫
π
e2xsin2xdx 21, I=∫
0
x3
3
√1+x3
dx
22, I=∫
0
π
2
sinx
1+3 cosxdx
23, I=∫
0
(1+2x2−e
x
)dx 24, I=∫
π
4
π
3
3−2cot2x cos2x
25, I=∫
0
π
2
1+sin 2x
cos2x dx 26, I=∫π
π
3 cos3x
1+sinxdx 27, I=∫1
e
1+ln2x
x dx
28, I=∫
1
dx
3
√x2 29, I=∫
0
π
2
cosx
1+5 sinxdx
30, I=∫
1
x2−2x x3 dx
VẤN ĐỀ 14: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 1, DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG
a, Hàm số y=f(x) liên tục đoạn [a ;b] diện tích S giới hạn hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=f(x) , trục hoành đường thẳng x = a, x = b
S=∫
a b
|f(x)|dx
b, Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=f(x), y=g(x) lien tục đoạn [a ;b]
và hai đường thẳng x = a, x = b là:
S=∫
a b
|f(x)− g(x)|dx
2, THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ
a, Hàm số y=f(x) liên tục không âm đoạn [a ;b] Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số
y=f(x) trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục hồnh tạo nên khối trịn xoay có
thể tích
V=π∫
a b
f2
(x)dx
b, Nếu vật thể tròn xoay tạo thành phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x) y = g(x) , x = a, x = b
V=π|∫
a b
f2(x)dx−∫
a b
(13)B, Bài Tập :
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường:
1, y=x −1, y=0, x=0, x=3 2, y=x3−4x , y=0, x=−1, x=3
3, y=sinx , y=0, x=0, x=3π
2 4, y=cos
x
2, y=0, x=−
π
2, x=π 5, y=x2+3x −4, y=0, x=−2, x=5 6, y=e2x+1, y=0, x=0, x=1
7, y=xex
2
+1
, y=0, x=0, x=2 8, y=lnx , y=0, x=1
e2, x=e
9, y=sin2xcos2x , y=0, x=0, x=2 10, y=x2lnx , y=0, x=1, x=e
Bài 2:Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau:
1, y=x2− x , y=4−4x , x=0, x=3 2, y=− x2− x , x+y+2=0
3, y=x2+x −5, y=− x2+3x+7 4, y=(x −1)(x+2)(x −3), y=0
5, y=ex, y=1, x=2 6, y=sinx , y=cosx , x=0, x=π
(C) : y=x3+3x2−6x+2 tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ x = 1
8, (C): y=x2−2x+2 tiếp tuyến (C) qua A(32,−1) .
Bài 3: Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng D giới hạn đường sau quay xung quanh trụcOx:
1, y=3x − x2, y=0 2, y=sinx , y=0, x=0, x=π2
3, y=x2, y=3x 4, y=xex, y=0, x=0, x=1
5, y=x3+1, y=0, x=0, x=1 6, y=√xlnx , y=0, x=1, x=e
7, y=5− x , y=4
x 8, y=√cos
4
x+sin4x , y=0, x=0, x=π
2
Bài 4: a, Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) hàm số y = - x2 với đường thẳng y = x
b, Cho hàm số xy+1¿3
=¿ (C).Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) phương
trình tiếp tuyến (C) A(0,1)
c, Cho hàm số y=3x+5
2x+2 (C).Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) trục
Ox, Oy đường thẳng x = 2.
d, Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo thành hình phẳng D giới hạn
y=xex, x=1, y=0 (0≤ x ≤1) ta quay D quanh Ox.
CHUYÊN ĐỀ IV: SỐ PHỨC
A, Lí Thuyết:
1, Tập hợp số phức : C
2, Số phức (dạng đại số) : z = a + bi (a, b R , I đơn vị ảo, i2=−1 ) a phần thực, b phần ảo số phức
* z số thực phần ảo z (b = 0) * z số ảo phần thực z (a = 0) 3, Hai số phức nhau:
z1=a+bi
z2=c+di Khi
z1=z2⇔
a=c
b=d ¿{
(a, b, c, d R) 4, Cộng, trừ số phức:
(14)(a + bi) – (c + di) = (a - c) + (b - d)i * Số đối z = a + bi -z = a – bi
5, Nhân hai số phức : (a +bi)(c + di) = (ac - bd)+(ad + bc)i (a, b, c, d R) 6, Hai số phức liên hợp :
* Số phức liên hợp z = a +bi z=a −bi
* z=z ; z+z'=z+z' ; z.z'=z.z'
* z số thực ⇔ z=z
z số ảo ⇔ z=− z .
7, Môđun số phức : z = a + bi |z|=√a2+b2
|z|=0⇔z=0 ; |z|=|z|
8, Chia hai số phức :
a, Số phức nghịch đảo z (z ): z−1=1
z
b, Thương zz1
=z1.z2
|z2|
9, Phương trình bậc hai : Az2+Bz+C=0
Δ=B2−4 AC
a, Δ≠0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt − B ± δ2A ( với δ2
=Δ )
b, Δ=0 : Phương trình có nghiệm kép − B
2A
B, Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo số phức sau:
a, (4 - i) + (2 + 3i) – (5 +i) b, 1−i¿2
(1+i)2−¿
c, 3− i¿
(2+i)3−¿ d,
√3−i
1+i −
√2−i i
Bài : Cho số phức z = a + bi Tìm phần thực ,phần ảo số phức sau: a, z2−2z+4i b, izz−+i1
Bài : Giải phương trình sau : a, 12−i+i z=−1+3i
−2+i b, [(2− i)z+3+i](iz+
1 2i)=0
c, z+2z=2−4i d, z2+|z|=0 e, z2
+|z|2=0
Bài : Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số z thoả mãn : a, |z+z+3| = b, |z − z+1−i|=2 c, 2|z −i|=|z − z+2i|
Bài : Tìm số phức z thoả mãn : (z −iz+i)4=1
Bài : Thực phép tính:
a, 23
+i b,
1+i
1−i c,
1− i¿2 ¿
2+i¿2
3+2i¿2−¿ ¿
1+2i¿2−¿ ¿ ¿
d, 3+i
(1−2i)(1+i)
Bài : Tìm mơ đun, bậc hai số phức :
(15)Bài : Giải phương trình sau C :
a, x2−√3x+1=0 b, 3√2x2−2√3x+√2=0 c, x2−(3−i)x+4−3i=0
Bài : Giải hệ phương trình : a,
¿
z12
+z22=5−2i
z1+z2=4+i ¿{
¿
b,
¿
z1z2=−5−5i
z12+z22=−5+2i ¿{
¿
Bài 10 : Thực phép tính sau:
a, (-3 + 7i)(5 - i) b, 5i( 4+ 8i) ❑2 c, (3 + 2i)(i - 1)(-5 + 4i)
d, (1 2+i
√3 )
3
e, (−1
2+i √3
2 )
f, (1+i)2110−(1−i)2000
g, (3−41i−)(21i+2i) + – 3i h, 1+i√3 1−i√2+
1− i√3 1+i√2 Bài 11 : Giải phương trình sau tập số phức :
a, (2 + 3i)z = – 3i b, (4 + 3i)z = (2 - i) ❑2 c, (1 – i) ❑2 z = 5i
d, (-2 + 7i)z = (14 - i) + (1 – 2i)z e, (2−i)z=3+4i
f, (9−3i)−(11+6i)
z =5−7i g, (
1+i
3− i+
(1−5i) (1+3i))z=
1−5i
1− i
Bài 12 : Xác định phần thực, phần ảo tính mođun số phức sau : a, z1=1+√2−i
1+√2+i b, z ❑2 =
1+i√3
1+i√2 c, z ❑3 =
1+itanα
1−itanα
Bài 13 : Tìm nghịch đảo số phức sau : a, √2− i√3 b, i3 c, 1− i¿3
¿ d, (4− i)
2−
(1−3i)2 e, 1+i√3
3−2i
B – HÌNH HỌC
CHỦ ĐỀ I: THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN Các cơng thức tính thể tích
Bài tập:
1 Cho hình chop S.ABCD có dáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy, cạnh bên SB = a √3 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
2 Cho hình chop tứ giác S.ABCD có AB = a SA = b Tính thể tích khối chop S.ABCD theo a b
3 Cho hình chop tứ giác S.ABCD có AB = a góc SAC = 45 ❑0 Tính thể tích khối chóp
S.ABCD
4 Cho hình chop tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác vuông đỉnh B, cạnh bên SA vuông với đáy Biết SA = AB = BC = a Tính thể tích khối chop S.ABC theo a
5 Cho hình chop tứ giác S.ABCD có AB = a góc mặt bên mặt đáy 60 ❑0 Tính
thể tích khối chóp S.ABCD
6 Cho khối hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ tích V Tính thể tích khối tứ diện C’ABC theo V
7 Cho hình chop S.ABC có đáy ABC tam giác vuông tậi B, cạnh bên SA (ABC), biết AB = a, BC = a √3 , SA = 3a
a, Tính thể tích khối chop S.ABC theo a V ❑KC =
3 Bh; V ❑KLT = Bh ; V
❑KHCN = a.b.c B = S
(16)b, Gọi I trung điểm cạnh SC, tính độ dài cạnh BI theo a
8 Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a √3 vng góc với đáy
a Tính thể tích khối chop S.ABCD
b Chứng minh trung điểm I cạnh SC tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chop S.ABCD
9 Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD hình vng, cạnh bên SA = a √2 vng góc với đáy góc SC đáy 45 ❑0 Tính thể tích khối chóp.
10 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’D’ có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên a √3 hình chiếu A’ lên mp (ABC) trùng với trung điểm BC Tính thể tích khối lăng trụ
11 Cho tứ diện S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC), SA = a ; AB = AC = b, ABC = 60 ❑0 .
Xác định tâm bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC
12 Một hình trụ có thiết diện qua trục hình vng, diện tích xung quanh π
a Tính diện tích tồn phần hình trụ b Tính thể tích khối trụ
13 Cho khối tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a cạnh bên tạo với đáy góc 60 ❑0 Hãy tính thể tích khối chóp
14 Cho hình nón trịn xoay có đỉnh S, đường trịn đáy có tâm O, độ dài đường sinh l = a, góc hợp đường sinh mặt phẳng chứa đường tròn đáy π4 Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón theo a
15 Trong không gian cho tam giác SOM vuông O, MSO = 30 ❑0 , OM = Quay đường gấp
khúc SMO quanh trục SO tạo hình nón
a Tính diện tích xung quanh hình nón b Tính thể tích khối nón
16 Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng A, AC = b, góc C = 60 ❑0
Đường chéo BC’ mặt bên (BB’C’C) tạo với mặt phẳng (AA’C’C) góc 30 ❑0
a Tính độ dài AC’
b Tính thể tích lăng trụ
17 Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cạnh a ba góc đỉnh A 60
❑0 Tính thể tích khối hộp theo a
18 Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có dấy ABC tam giác cạnh a, điểm A’ cách ba điểm A, B, C, cạnh bên AA’ tạo với mặt đáy góc 60 ❑0
a Tính thể tích khối lăng trụ
b CMR: mặt bên BCC’B’ hình chữ nhật
c Tính tổng diện tích mặt bên lăng trụ ( Gọi diện tích xung quanh)
19 Đáy khối chóp tam giác vng cân có cạnh góc vng a Mặt bên qua cạnh huyền vng góc với đáy, mặt bên tạo với đáy góc 45 ❑0 .
a CMR chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh huyền b Tính thể tích khối chop
20 Cho khối chop tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên với đáy 60 ❑0
a Tính thể tích khối chop
b Tính góc đo mặt bên tạo với đáy
c Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chop tính bán kính mặt cầu
CHỦ ĐỀ II MẶT TRÒN XOAY VẤN ĐỀ 17: MẶT CẦU, KHỐI CẦU
1 Định nghĩa : Mặt cầu (S) có tâm O bán kính R kí hiệu: S(O;R)
2 Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O;R) mặt phẳng (P) Gọi H hình chiếu vng góc O lên (P) Khoảng cách từ O đến (P) độ dài đoạn OH Ta có:
a OH > R ⇔(P)∩ S(O; R)=φ b OH = R ⇔(P)∩ S(O; R)={H} c OH < R ⇔(P)∩ S(O; R)=C(H ;r)
- H gọi tiếp điểm ; r = √R2− d2 ; (P) gội tiếp diện
3 Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng
(17)Cho mặt cầu S(O;R) đường thẳng d Gọi H hình chiếu vng góc O lên d Khoảng cách từ O đến d độ dài đoạn OH Ta có:
a OH > R ⇔d ∩ S(O; R)=φ b OH = R ⇔d ∩ S(O; R)={H} c OH < R ⇔d ∩ S(O; R)=C{A;B}
- H gọi tiếp điểm - d gọi cát tuyến - d gọi tiếp tuyến - AB gọi dây cung
4 Tính chất tiếp tuyến mặt cầu
Từ điểm A S(O;R) có vơ số tiếp tuyến với mặt cầu
a Độ dài đoạn nối A với tiếp tuyến
b Tập hợp tiếp điểm đường trịn nằm S(O;R)
5 Các cơng thức:
Diện tích mặt cầu: S = 4πR2 ; Thể tích khối cầu: V=
3πR
(Chú ý: V’ = S)
BÀI TẬP Dạng 1: Xác định tâm bán kính mặt cầu định nghĩa
- Tập hợp điểm M cách điểm O cố định mặt cầu tam O, bán kính OM
- Các điểm nhìn đoạn AB cố định góc vuông mặt cầu tâm trung điểm O AB, bán kính R = AB
2
- Tập hợp điểm M cho tổng bình phương khoảng cách từ M tới hai điểm A, B cố định số k ❑2 mặt cầu, tâm trung điểm O AB, bán kính R =
1 2√2k
2−AB2
Bài tập áp dụng:
1 Chứng minh tám đỉnh hình hộp chữ nhật nằm mặt cầu
2 Cho tam giác ABC vuông B, DA vng góc với mặt phẳng (ABC)
a Xác định mặt cầu qua bốn đỉnh A, B, C, D
b Cho AB = 3a, BC = 4a, AD = 5a Tính bán kính mặt cầu câu a
3 Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD tứ giác có SA vng góc với mặt phẳng đáy ABCD SA = AB = a
a Xác định tâm bán kính mặt cầu qua năm điểm S, A, B, C
b Tính diện tích mặt cầu
Dạng 2: Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chop, hình lăng trụ
a. Cách xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hnhf chop (hình chop nội tiếp mặt cầu) * Điều kiện hình chop đáy có đường trịn ngoại tiếp
- Dựng trục đường tròn ngoại tiếp đáy
- Dựng mặt phẳng trung trực cạnh bên
- Xác định trung điểm trục đường tròn ngoại tiếp đáy với mặt phẳng trung trực vừa dựng
b Cách xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ (hình lăng trụ nội tiếp mặt cầu)
* Điều kiện lăng trụ phải lăng trụ đứng, đáy có đường trịn ngoại tiếp - Dựng trục đường tròn ngoại tiếp đáy (đường thẳng nối tâm hai đáy) - Trung điểm đoạn nối tâm hai đáy tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ
Bài tập áp dụng:
1 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc, OA = a, OB = b, OC = c Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC
2 Cho hình chop S.ABCD có cạnh đáy a góc cạnh bên mặt đáy ϕ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chop
3 Cho hình tứ diện ABCD cạnh a Gọi B’, C’, D’ trung điểm cạnh AB, AC, AD Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chop cụt B’C’D’.BCD
4 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác có tất cạnh a
Dạng 3: Sự tương giao mặt cầu mặt phẳng, đường thẳng.
a) Cho mặt cầu S(O;R) mặt phẳng (P) Gọi H hình chiếu O lên (P)
(18)b OH = R ⇔(P)∩ S(O; R)={H} H gọi tiếp điểm; (P) gọi tiếp diện c OH < R ⇔(P)∩ S(O; R)=C(H ;r) r = √R2− d2
b) Cho mặt cầu S(O;R) đường thẳng d Gọi H hình chiếu O lên d
a OH > R ⇔d ∩ S(O; R)=φ
b OH = R ⇔d ∩ S(O; R)={H} H gọi tiếp điểm; d gọi tiếp tuyến c OH < R ⇔d ∩ S(O; R)={A ;B} d gọi cát tuyến; AB gọi dây cung.
Bài tập áp dụng:
1 Cho mặt cầu đường kính AA’ = 2R Gọi H điểm đoạn AA’ cho AH = 43R Mặt phẳng (P) qua H vng góc với AA’ cắt mặt cầu theo đường tròn (C)
a Tính diện tích hình trịn (C)
b Gọi BCD tam giác nội tiếp đường tròn (C) Tính khoảng cách từ A, A’ đến (BCD)
2 Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R, điểm A nằm mặt cầu, (P) mặt phẳng qua A cho góc OA (P) 30 ❑0
a Xác định vị trí tương đối (P) mặt cầu Tính diện tích thiết diện
b Đường thẳng Δ qua A vng góc với (P) cắt mặt cầu B Tính độ dài đoạn AB
3 Ba cạnh tam giác có độ dài 12, 14, 15
Một mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh tam giác ba điểm nằm ba cạnh Tìm bán kính mặt cầu, biết khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng chứa tam giác
VẤN ĐỀ 18: MẶT TRỤ, MẶT NÓN
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
A. MẶT TRỤ
1. Mặt trụ hình trịn xoay sinh đường thẳng quay quanh đường thẳng Δ song song với
- Đường thẳng Δ trục
- Khoảng cách Δ bán kính
2 Hình trụ hình trịn xoay sinh quay hình chữ nhật quanh đường trung bình
3 Khối trụ hình trụ với phần bên
4 Các cơng thức Cơng thức tính diện tích
Cơng thức tính thể tích Chú ý: V’ = S ❑xq
B. MẶT NĨN
1. Mặt nón hình trịn xoay sinh đường thẳng l quay quanh đường thẳng Δ cắt l khơng vng góc với l
- Đường thẳng Δ trục
- Giao điểm O l Δ gọi đỉnh
- Hai lần góc hợp l Δ gọi góc đỉnh
2. Hình nón hình tròn xoay sinh quay tam giác cân quanh trục
3. Khối nón hình nón với phần bên
4. Các cơng thức Cơng thức tính diện tích ; Cơng thức tính thể tích
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: - Chứng minh đường thẳng thuộc mặt trụ, mặt nón.
- Một đường thẳng thuộc mặt trụ qua điểm mặt trụ song song với trục.
Sxq=2πRh Stp=Sxq+S2 day=2πR(L+R)
V=πR2h
Sxq=πRl Stp=Sxq+S2 day=πR(l+R)
V=1
3πR
(19)- Một đường thẳng thuộc mặt nón qua đỉnh mặt nón tạo với trục góc khơng đổi nửa góc đỉnh.
1 Cho mặt phăng (P), điểm A nằm mặt phẳng (P), điểm B nằm mặt phảng (P) cho hình chiếu H B (P) khơng trùng với A, điểm M chạy (P) cho
AB M^ =B^M H .
Chứng minh M nằm mặt trụ trịn xoay có trục AB
2 Trong mặt phẳng (P) cho điểm O cố định Một đường thẳng l thay đổi luôn qua O cho góc l (p) ln ln α ( α ≠900 ) không đổi Chứng minh đường thẳng l ln
ln nằm mặt nón
3 Trong mặt phăng (P) cho góc xOy Một mặt phẳng (Q) thay đổi ln ln vng góc với phân giác xOy cắt tia Õ, Oy A, B Trong mặt phẳng (Q) lấy điểm M ln nhìn đoạn AB góc vng
Chứng minh: M nằm mặt nón
Dạng 2: Thiết diện mặt phẳng với mặt trụ
- Thiết diện vng góc với trục đường tròn.
- Thiết diện qua trục song song với trục hình chữ nhật.
1, Một hình trụ có bán kính đáy R, trục OO’ đường cao R √3 Hai điểm A, B nằm hai đường trịn đáy cho góc hợp AB trục hình trụ 30 ❑0 .
a Tính diện tích thiết diện qua AB song song với trục hình trụ
b Tính góc hai bán kính đáy qua A B
c Dựng tính độ dài đoạn vng góc chung AB trục hình trụ
2, Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a đường cao SH = 2a MNPQ thiết diện song song với đáy, M SA AM = x Xét hình trụ có đáy hình trịn ngoại tiếp tứ giác MNPQ đường sinh MA
d Tính diện tích MNPQ theo a x
e Tính thể tích khối trụ theo a x
f Xác định vị trí M để hình trụ tích lớn
Dạng 3: Thiết diện mặt phẳng với mặt nón
- Thiết diện vng góc với trục đường trịn
- Thiết diện qua đỉnh cắt hình nón theo hai đường sinh tam giác cân có đỉnh đỉnh của hình nón.
1 Một hình nón có đỉnh S, tâm đáy O, đường cao SO = h, bán kính đáy R Gọi M điểm cạnh SO, đặt OM = x ( < x <h ) Tính diện tích thiết diện qua M vng góc với trục
2 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a
a Tính diện tích xung quanh thể tích hình trụ có đường trịn hai đáy ngoại tiếp hình vng ABCD A’B’C’D’
b Chứng minh tất đỉnh hùnh lập phương nằm mặt cầu tính diện tích mặt cầu
CHỦ ĐỀ III: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN VẤN ĐỀ 19: VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
1 Toạ độ điểm: O (0;0;0)
Đặc biệt :
2 Toạ độ vectơ: ⃗i=(1;0;0) ⃗j=(0;1;0)
⃗
k=(0;0;1)
3 Các công thức tính toạ độ vectơ:
M(x ; y ; z)⇔OM¯=x¯i+y¯j+z¯k
M∈(Oxy)⇒M(x ; y ;0)
M∈Ox⇒M(x ;0;0)
M∈(Oyz)⇒M(0; y ;z)
M∈Oy⇒M(0; y ;0)
⃗
(20)Cho ⃗u=(x ; y ; z) ⃗u '=(x';y';z ')
4.Tích vơ hướng: ⃗u⃗v=0⇔⃗u⊥⃗v
5 Các cơng thức tính độ dài góc: |⃗u|=√x2+y2+z2
Bài tập: Xét toán hệ trục toạ độ Oxyz Cho ⃗u=⃗i −2⃗j ,⃗v=3i⃗+5(⃗j−⃗k),⃗w=2i⃗+3⃗j −k⃗
Tìm toạ độ vectơ
Tìm cosin góc (u ;⃗ ⃗i),(⃗v ;⃗j)
Tính tích vơ hướng ⃗u⃗v ,⃗u⃗w ,⃗v⃗w
2 Cho M(a,b,c)
Tìm toạ độ hình chiếu M lên trục toạ độ Tìm toạ độ hình chiếu M lên mặt phẳng toạ độ
3 Cho hình bình hành ABCD có A(-3; -2; 0), B(3; -3; 1), C(5; 0; 2) Tìm toạ độ D tính góc hai vecto A⃗C , B⃗D .
4 Tính tích vơ hướng ab,
⃗ ⃗
biết:
a ⃗a=(3;0;−6);⃗b=(2;−4;0) b ⃗a=(1;−5;2);b⃗=(4;3;−5)
5 Tìm góc hai vecto ⃗u ;⃗v
a ⃗u=(1;1;1);⃗v(2;1;−1) b ⃗u=3i⃗+4⃗j ,⃗v=−2⃗j+3⃗k
6 Tìm M Ox cho M cách A(1 ; 2; 3), B( -3; -3; 2) Cho tam giác ABC có A( 1; -1; 1), B( 0; 1; 2), C( 1; 0; 1)
a Tìm toạ độ tâm tam giác ABC b Tính độ dài đường trung tuyến AM
8 Cho hình chop ABCD.A’B’C’D’ có A( 1; 0; 1), B( 2; 1; 2), D( 1; -1; 1), C’( 4; 5; -5) Tính toạ độ đỉnh cịn lại
9 Cho tam giác ABC với A( 1; 4; -1), B( 2; 4; 3) C( 2; 2; -1) Tìm toạ độ D cho tứ giác ABCD hình bình hành
10 Trong khơng gian cho bốn điểm A, B, C, D có toạ độ xác định hệ thức: A( 2; 4; -1),
O⃗B=⃗i+4⃗j−⃗k , C( 2; 4; 3), OD⃗=2i⃗+2⃗j −k⃗ Chứng minh AB AC, AC AD, AD AB.
11 Cho A( 1; -1; 1), A( 2; -3; 2), C( 4; -2; 2), D( 3; 0; 1), E( 1; 2; 3) a Chứng minh ABCD hình chữ nhật Tính diện tích b Tính Cos góc tam giác ABC
c Tìm đường thẳng Oy điểm cách hai điểm AB
VẤN ĐỀ 20: MẶT CẦU
Phương trình mặt cầu:
Mặt cầu có tâm I( a; b; c) bán kính R: ( )
Phương trình mặt cầu dạng khai triển:
x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0, đk: a2 + b2 + c2 - d > ( )
Tâm I( a; b; c) bán kính R = √a2
+b2+c2−d
Chú ý:
Mặt cầu có tâm I qua A R = IA = √(xA− xI)2+(yA− yI)2+(zA− zI)2
A⃗B=(x
B− xA; yB− yA;zB− zA)
⃗
u=⃗u '⇔{x=x';y=y';z=z '} ⃗u ±u '⃗ ⇔(x ± x';y ± y';z ± z ') u ±⃗ u '⃗ ⇔(x ± x';y ± y';z ± z ')
⃗
u⃗u'=xx'+yy'+zz'
AB=√(xB− xA)2+(yB− yA)2+(zB− zA)2
cos(u ;⃗ ⃗u ')= ⃗uu '⃗
|u⃗||⃗u'|=
xx'+yy'+zz'
√x2+y2+z2√x2'+y2'+z2'
(21)Mặt cầu có đường kính AB R = 12AB tâm I trung điểm AB
Mặt cầu qua điểm A, B, C, D viết phương trình mặt cầu dạng ( ) thay toạ độ điểm vào phương trình giải hệ để tìm a, b, c, d
Bài 1: Viết phương trình mặt cầu biết:
a. Mặt cầu có đường kính AB với A( 4; -3; ), B( 2; 1; 3)
b. Mặt cầu qua điểm A( 5; -2; 1) có tâm C( 3; -3; 1)
c. Mặt cầu qua điểm A( 2; 4; -1), B( 1; 4; -1), C( 2; 4; 3), D( 2; 2; -1)
d. Mặt cầu qua điểm A( 1; 0; -1), B(3; 4; -2), C(4; -1; 1), D(3; 0; 3)
Bài 2: Trong không gian Oxyz cho A( 1; -1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; -1; 2) Gọi A’ hình chiếu A lên Oxy Viết phương trình mặt cầu ( S ) qua A’, B, C, D
Bài 3: Lập phương trình mặt cầu di qua điểm A( 1; 2; -4), B( 1; -3; 1), C( 2; 2; 3) có tâm nằm mặt phẳng Oxy
Bài 4: Chứng tỏ phương trình x2
+y2+z2+2 cosxα −2 sinαy+4z −4−4 sin2α=0 ln
phương trình mặt cầu Tìm m để bán kính mặt cầu lơn
VẤN ĐỀ 21: TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Cơng thức tích có hướng:
Cho ⃗u=(x ; y ; z) u '⃗ =(x';y';z ') ;
Nhận xét:
1 ⃗u ;⃗v phương [⃗u ,v⃗]=⃗0=(0;0;0)
2 [⃗u ,⃗v]=−[⃗v ,u⃗]
3 ⃗u⊥[u ,⃗ ⃗v];⃗v⊥[u ,⃗ ⃗v]
4 Ba điểm A, B, C, thẳng hang [A⃗B , A⃗C]=⃗0
VẤN ĐỀ 22: MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN I Phương trình mặt phẳng:
1 Phương trình tổng quát mặt phẳng:
B1: Tìm toạ độ véctơ pháp tưyến ⃗n=(A ; B ;C) ( vectơ vng góc với mặt phẳng) B2: Tìm toạ độ điểm M0( x0; y0; z0; ) thuộc mặt phẳng
B3: Thế vào pt: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0, khai triển đưa pt dạng: Ax + By + Cz
+ D =
2 Chú ý:
* Cho mp (P): Ax + By + Cz + D = a VTPT cuar (P) ⃗n=(A ; B ;C)
b Nếu điểm M(x1; y1; z1)∈(P) Ax1 + By1 + Cz1 + D =
* Trong trường hợp chưa tìm vecto pháp tuyến tìm hai veto khơng phương có giá song song nămg mp Khi VTPT mp là: ⃗n=[u ,⃗ u '⃗ ]
3 Các trường hợp đặc biệt:
a Phương trình mặt phẳng toạ độ: mp(Oxy): z = 0, mp(Oyz): x= 0, mp(Oxz): y = b Mặt phẳng song song với mặt toạ độ:
Song song với (Oxy): Cz + D = Song song với (Oyz): Ax + D = Song song với (Oxz): By + D =
e. Mp song song chứa trục toạ độ Song song với Ox: By + Cz + D = Song song với Oy: Ax + Cz + D = Song song với Oz: Ax + By + D = Chứa trục Ox: By + Cz =
Chứa trục Oy: Ax + Cz = Chứa trục Oz: Ax + By =
f. Mp chứa gốc toạ độ O( 0; ;0 ): Ax + By + Cz =
yz y ' z '
¿rli ¿;
¿zx
z ' x '
¿rli ¿;
¿xy
x ' y '
(22)g. Đặc biệt mp (P) qua A( a; 0; 0), B( 0; b; 0), C( 0; 0; c) có phương trình dạng: xa+y
b+ z c=1
Bài tập:
1.Cho A(-1; 2; 3), B(2; -4; 3), C(4; 5; 6)
a Viết phương trình mặt phẳng qua A nhân vecto ⃗n(1;−1;5) làm véc tơ pháp tuyến
b Viết phương trình mặt phẳng qua A biết hai véctơ có giá song song mp
⃗
a(1;2;−1),⃗b(2;−1;3)
c Viết phương trình mp qua C vng góc với đường thẳng AB d Viết phương trình mp trung trực đoạn AC
e Viết phương trình mp (ABC)
2 Viết phương trình mặt phẳng () trường hợp sau:
a () vuông góc với AB A, biết A(1; 0; -2), B(2; 1; 1)
b () Qua ba điểm M( 2; -1; 3), N( 4; 2; 1), P(-1; 2; 3)
3 Trong không gian cho A(-1; 2; 1), O⃗B=⃗j+ ⃗k , OC⃗=⃗i+4⃗k
a Chứng minh ABC tam giác vng
b Viết phương trình tổng qt cảu mặt phẳng (ABC)
4 Trong không gian Oxyz, cho A(-2; 2; 4), B(-2; 2; 0), C(-5; 2; 0), D(-2; 1; 0) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Chứng tỏ A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện
5 Viết phương trình mặt phẳng: a Chứa trục Ox điểm A(1; 2; 3) b Chứa trục Oy điểm B(-2; 3; 5) c Chứa trục Oz điểm C(2; -1; 2)
6 Cho tứ diện ABCD có A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6) a Viết phương trình mp (ACD) (BCD)
b Viết phương trinh mp chứa AB song song CD c Viết phương trình mp chứa CD song song AB
7 Viết phương trình mp qua M(1; 3; -5) song song mp toạ độ
8 Cho điểm M(-2; 3; 1) Viết phương trình mp qua điểm hình chiếu M lên trục toạ độ
9 Cho điểm M(-2; 3; 1) Viết phương trình mp qua điểm hình chiếu M’ lên mp toạ độ
10 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 4; -1), B(2; 4; 3) C(2; 2; -1) Viết phương trình mp qua A vng góc với đường thẳng BC
11 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2), B(2; -2; 1), C(-2; 0; 1) a Viết phương trình mp qua ba điểm A, B, C
b Tìm M thuốc mp (P): 2x + 2y + z – = cho MA = MB = MC
II Vị trí tương đối hai mặt phẳng:
Cho mp (P) : Ax + By + Cz + D = (P’) A’x + B’y + C’z + D’ = 0
Khi (P) (P’) có vecto pháp tuyến n⃗=(A ; B ;C);n '⃗ =(A';B';C ')
1 (P) // (P’)
⇔
⃗
n=k⃗n '
D≠ kD' ⇔
¿(A ;B ;C)=k(A';B';C ')
D≠ kD'
¿{
2 (P) (P’)
⇔
⃗
n=k⃗n '
D=kD'
⇔
¿(A ;B ;C)=k(A';B';C ')
D=kD' ¿{
3 (P) cắt (P’) ⇔n ≠ k⃗ ⃗n '⇔(A ; B ;C)≠(A';B';C ')
(23)Chú ý:
Cho mp (P): Ax + By + Cz + D = suy (P) có VTPT ⃗n=(A ; B ;C)
1. Nếu (P’) // (P) (P’) nhận ⃗n=(A ; B ;C) VTPT
2. Nếu (P) (P’) (P’) chứa chứa ⃗n=(A ; B ;C)
Bài tập:
1 Viết phương trình mặt phẳng () trường hợp sau:
a () qua A(0; -2; 1) song song với mặt phẳng (): x – 3z + = b () qua B(2; 3; -2) song song với mặt phẳng (): x – 3y + 2z - = c () qua C(-1; 2; -1) song song với mặt phẳng (): 2x + y – 2z + = d () qua gốc toạ độ song song với mặt phẳng (): 4x + y – z + = Viết phương trình mp () trường hợp sau:
a.() qua hai điểm A(3; 1; -1), B(2; -1; 4) vng góc với mặt phẳng (): 2x – y + 3z + =
b.() qua hai điểm A(-1; 0; 3), B(5; 2; 3) vng góc với mặt phẳng (): 2x + y - z =
c.() qua hai điểm A(1; 0; 1), B(1; 2; 4) vng góc với mặt phẳng (): x - z + =
d.() qua hai điểm A(2; -1; 2), B(1; -2; 3) vng góc với mặt phẳng (): 3x + 2y - =
3 Viết phương trình mp qua B(4; -2; -1) vng góc với hai mp (Oxy), mp (P) : x – y + 2z + =
4 Trong không gian Oxyz, cho M(-1; -1; 0) mp (P) : x + y – 2z - = Viết mp (Q) qua M song song với (P)
5 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P1) : x + 2y + 3z +4 = (P2) : 3x + 2y –z +
= Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(1; 1; 1), vuông góc với hai mặt phẳng (P1) (P2)
6 Xác định giá trị m, n để cặp mặt phẳng sau sặp mp song song với a 2x + my + 3z – = nx – 8y – 6z + =
b 3x – 5y + mz – = 2x + nx – 3y – 3z + =
Tóm tắt số cách viết phương trình mặt phẳng:
Loại 1: Biết điểm M0(x0; y0; z0) vectơ pháp tuyến ⃗n=(A ; B ;C)≠0 của mặt phẳng ():
(): A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = (1)
Hay : Ax + By + Cz + D =
Loại 2: () qua ba điểm M, N, P không thẳng hang
Véctơ pháp tuyến: ⃗n=[M⃗N , M⃗P]
Điểm thuộc mặt phẳng: M (hoặc N P) thay kết vào (1)
Loại 3: () Đi qua A(xA; yA; zA) song song với mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D =
* () có dạng Ax + By + Cz + m = ( ⃗nα=⃗nβ )
* Thay toạ độ điểm A vào () để tìm m, (m = -(AxA + ByB + CzC ))
Loại 4: () qua hai điểm M, N vng góc với mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = (MN khơng vng
góc với ())
() có ⃗nα=[M⃗N ,⃗nβ]
Điểm thuộc mặt phẳng: M (hoặc N) Thay kết vào (1)
Loại 5: () qua điểm M vng góc với hai mặt phẳng () ( γ )
() có VTCP ⃗n=[⃗nβ,n⃗γ] ,M thuộc mặt phẳng () ⇒(α)
Loại 6: () qua điểm M chứa đường thẳng d: (M d)
d có VTCP ⃗u qua M’
() có VTPT ⃗n=[u ; M⃗ ⃗M '] M M’ thuộc () ⇒(α)
Loại 7: () chứa hai đường thẳng cắt d d’:
- Giả sử d ∩d '=M⇒M∈(α) có VTPT : n⃗=[⃗ud,⃗ud '] (() qua điểm tuỳ ý thuộc
d d’)
Loại 8: () chứa hai đường thẳng song song d d’:
- d có VTCP ⃗ud qua M: d’ có VTCP ⃗ud ' qua M’
- () có VTPT : ⃗n=[⃗ud, M⃗M '] n⃗=[⃗ud ', M⃗M '] M (α) M’ (α)
⇒ pt ()
Loại 9: chứa đường thẳng d song song d’:
- d có VTCP ⃗ud qua M : d’ có VTCP ⃗ud '
(24)Loại 10: () qua hai điểm M, song song d vng góc với ():
- () có VTPT : ⃗n=[⃗ud,u⃗β]≠0⃗ M (α) ⇒ pt ()
Loại 11: () qua hai điểm M, song song d d’:
- () có VTPT : ⃗n=[⃗ud,u⃗d ']≠0⃗ M (α) ⇒ pt ()
Loại 12: () song song (): Ax + By + Cz + D = tiếp xúc nặt cầu S(I; R)
- () có dạng Ax + By + Cz + m = , ( ⃗nβ=⃗nβ )
- () tiếp xúc mặt cầu S(I; R) ⇔d(I ;(α))=R Từ tìm m ⇒ pt ()
Loại 13: () qua ba điểm M, N, P hình chiếu A(xA; yA; zA) lên trục Ox, Oy, Oz:
- M(xA;0;0); N(0; yA; 0); P(0; 0; zA)
- () có TP : xx
A
+ y
yA+ z zA=1
II.Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
Cho điểm M(x0; y0; z0) mp (P): Ax + By + Cz + D =
Bài tập:
Loại 1: Khoảng cách từ M(xM; yM; zM) đến mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D =
Loại 2: Khoảng cách hai mặt phẳng () () song song Lấy điểm M tuỳ ý mặt phẳng này,
tính khoảng cách từ M điểm đến mặt phẳng
1 Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P), biết
a M(1; 2; 3), (P) : 2x – y + 2z – 10 =
b M(2; -2; 3), (P): 4x – 3z + =
c M(0; -1; 3), (P) : 3y – 11 =0
2 Tính khoảng cách hai mặt phẳng có phương trình : x + 2y + 2z +11 =0 x + 2y + 2z + =0
3 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-2; 4; 3) mp (P) có phương trình: (P) : 2x – 3y + 6z + 19 = Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (Q) qua điểm A song song với mặt phẳng (P) Tìm khoảng cách hai mặt phẳng (P) (Q)
4 Tìm m để khoảng cách từ M(m; 0; 1) đến mặt phẳng () : 2x + y – 2z + =
3
5 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 0; -1), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4; 0)
a Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Suy ABCD tứ diện
b Tính chiều cao AH tứ diện ABCD
6 Cho điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1) Tính độ dài đường cao hình chop A.BCD
7 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 0; -1), B(3; 4; -2), C(4; -1; 1), D(3; 0; 3)
a Chứng minh tam giác ABC vng A
b Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Chứng minh ABCD tứ diện
c Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC)
d Tính thể tích tứ diện ABCD
8 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2) mp (P) có phương trình: 2x – 2y + z – = Tính khoảng cách từ A đến mp (P) Viết phưong trình mp (Q) cho (Q) // (P) khoảng cách (P) (Q) khoảng cách từ A đến (P)
9 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x −1)2+(y −2)2+(z −2)2=36 mặt phẳng
(P): x + 2y + 2z + 18 = Xác định tâm T tính bán kính mặt cầu (S) Tính khoảng cách từ T đến (P)
10.Cho điểm A(1; 0; 0), A(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1) Tính độ dài đường cao hình chóp A.BCD
d(M ,(P))=|Ax0+By0+Cy0+D| √A2
+B2+C2
(25)11.Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 0; -1), B(3; 4; -2), C(4; -1; 1), D(3; 0; 3) Tính thể tích tứ diện ABCD
12.Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật OABC.O’B’C’D’ có đỉnh A(3; 0; 0), C(0; 4; 0), O’(0; 0; 5), O(0; 0; 0) điểm B’ đối diện với O
a Viết phương trình mặt phẳng (ACO’) tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng
b Tìm toạ độ điểm B’ Tính khoảng cách từ O đến (ACB’)
13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M(1;0;5) hai mặt phẳng (P) :2x y 3z 1 0 (Q) : x y z 5 0
a Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q)
b Viết phương trình mặt phẳng ( R ) qua giao tuyến (d) (P) chứa M
14.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0) , mặt phẳng (P ) :x y 2z 1 0
mặt cầu (S) : x2y2z2 2x4y6z 8 0
a Tìm điểm N hình chiếu điểm M lên mặt phẳng (P)
b Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)
* Sử dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để giải toán liên quan: Áp dụng1: Viết phương trình mặt cầu có tâm tiếp xúc với mặt phẳng cho trước
Mặt cầu có tâm I tiếp xúc mặt phẳng (P) có bán kính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P)
1. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc mặt phẳng (BCD)
2. Trong không gian Oxyz, cho A(-2; 2; 4), B(-2; 2; 0), C(-5; 2; 0), D(-2; 1; 0) Viết phương trình mặt cầu tâm D tiếp xúc mp (ABC)
3. Trong không gian Oxyz, cho mp (): x + 2y – 2x + = Viết phương trình mặt cầu tâm
là gốc toạ độ tiếp xúc với mp ()
4. Cho mặt cầu (S): (x −3)2+(y+2)2+(z −1)2=100 mặt phẳng () 2x – 2y – z + =
Chứng tỏ mặt phẳng () cắt mặt cầu (S) theo đường trịn (C) Hãy tính bán kính
đường tròn (C)
5. Cho mặt cầu (S) : x2
+y2+z2−6x+4y −2z+5=0 mặt phẳng () x + 2y +2z + 11 =
0 Chứng tỏ mặt phẳng () không cắt mặt cầu (S) 6. Cho mặt cầu (S) : x2
+y2+z2−4x+6y+6z+17=0 mặt phẳng () x – 2y + 2z + =
0 Chứng tỏ mặt phẳng () cắt mặt cầu (S) theo đường trịn (C) Hãy tính bán kính
đườn trịn (C)
7. Cho tứ diện ABCD có A(3; 6; -2), B(6; 0; 1), C(-1; 2; 0), D(0; 4; 1)
a. Viết phưong trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD Xác định tâm bán kính mặt cầu (S)
b. Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
c. Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
8. Cho mặt cầu (S) : x2+y2+z2−2x+4y+2z −3=0 Viết phương trình mp (Q) chứa trục
Ox cắt (S) theo đường trịn có bán kính
9. Trong khơng gian cho mp (P) có phương trình : 2x + 2y + z – m2 – 3m = mặt cầu (S):
(x −1)2+(y+1)2+(z −1)2=9 Tìm m để (P) tiếp xúc mặt cầu
10.Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; 4; -1), B(1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1)
a. Viết phương trình mặt cầu (S) qua điểm A, B, C, D
b. Viết phương trình mặt phẳng () tiếp xúc với mặt cầu (S) song song với mp
(ABD)
VẤN ĐỀ 23: ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
1.Viết PTTS, PTCT đường thẳng:
B1: Tìm toạ độ vecto phương (a; b; c) (là vectơ có giá song song tring với đường thẳng đó) B2: Timf ttoạ độ điểm M0(x0; y0;z0) thuộc đường thẳng
¿
x=x0+at
y=y0+bt
z=z0+ct ¿{ {
¿
x − x0
a =
y − y0
b =
(26)B3: PTTS: PTCT:
2.Chú ý:
a Nếu đường thẳng d giao tuyến hai mp (P):Ax + By + Cz + D = (P’) A’x + B’y + C’z + D’ =
Khi đt d có VTCP :
BC B ' C '
¿rli ¿;
¿CA
C ' A '
¿rli ¿;
¿AB
A ' B '
¿ || ¿⃗u=[⃗nP,⃗nP ']=¿
Muốn tìm điểm thuộc d ta cho x = x0 (thường cho x = 0), giải hệ phương trình tìm y, z
b.Đường thẳng d qua hai điểm A, B d có VTCP A⃗B
c. Đường thẳng d vng góc với mp (P) d có VTCP VTPT (P)
d. Đường thẳng d song song với đường thẳng Δ d Δ có VTCP
e. Hai đường thẳng vng góc hai véctơ phương chúng vng góc.
Tốm tắt số cách viết phương trình đường thẳng:
Loại 1: Viết phương trình đường thẳng d qua M vng góc với mp ():
- Đường thẳng d qua M có VTCP ⃗nα⇒ pt d
Loại 2: Viết phương trình đường thẳng d qua M song song với hai mp () ():
- VTCP: ⃗u=[⃗nα,n⃗β]≠⃗0 M thuộc d ⇒ pt d
Loại 3: Viết phương trình đường thẳng d giao tuyến hai mp cắt () ():
- Giả sử (): Ax + By + Cz + D = (1), () : A’x + B’y + C’z + D’ = (2)
- Đường thẳng d qua M có VTCP : ⃗u=[⃗nα,n⃗β]≠⃗0 (Với M có toạ độ thoả mãn hệ gồm (1) (2) ⇒ pt d )
Loại 4: Viết phương ttrình đường thẳng d qua M song song mp () vng góc với d’:
- Đường thẳng d qua M ta có VTCP: ⃗u=[⃗nα,u⃗d]≠0⃗ (Với ⃗nα ⃗u '
vecto chi phương VTCP () d)
Loại 5:Viết phương trình đường thẳng d qua M, vng góc với d’ cắt d’:
- Dựng mp () qua M vng góc với d’
- Gọi H=(α)∩d ' Suy đường thẳng HM đường thẳng cần dựng
Loại 6:Viết phương trình đường thẳng d qua M, vng góc d’ cắt d”
- Dựng mp () qua M vng góc với d’
- Gọi H=(α)¿∩d\} \{
¿
Suy đường thẳng HM đường thẳng cần dựng
PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỂM ĐỐI XỨNG VỚI MỘT ĐIỂM QUA MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG
THẲNG
Tìm điểm M’ đối xứng với M qua mp ( ):
Dựng đường thẳng d qua M vng góc với ()
Gọi H=(α)∩d điểm M’ đối xứng với M qua mp () H trung điểm MM’ Suy M’
Tìm điểm M’ đối xứng với M qua dt d:
Dựng mp () qua M vng góc với d
(27)BÀI TẬP:
1 Viết phương trình tham số, phương trình tắc đường thẳng d trường hợp sau:
a (d) qua A(1; 2; 3) B(3; 5; 7)
b (d) qua C(-2; 0; 2) D(1; -2; 3)
2 Viết phương trình tham số, phương trình tắc ( có ) đường thẳng d trường hợp sau:
a (d) qua M(-1; 3; 1) vng góc với mp (P): 2x – y + 3z + =
b (d) qua N(0; 2; 3) vng góc với mp (Q): x + y – z =
3 Viết phương trình tham số, phương trình tắc ( có) đường thẳng d trường hợp sau:
a (d) qua K(-2; -1; 3) song song đường thẳng
¿
x=4t
y=1−t
z=3+t ¿Δalignl{ {
¿
b (d) qua K(0; 3; -2) song song đường thẳng
¿
x=3− t
y=2
z −1+5t ¿Δalignl{ {
¿
4 Viết phương trình tham số, phương trình tắc đường thẳng d giao tuyến mp (P): x + 2y – 2z + = (Q): x – y + z – =
(P): 3x – y – z + = (Q): x + 2z + =
5 Viết phương trình tham số, phương trình tắc d qua điểm M(2; -1; 3) vng góc với hai đường thẳng : Δ: x
−2=
y+1
3 =
z −2
1 Δ':
x −3
−3 =
y
4=
z+1
2
6 Trong không gian Oxyz, cho M(-1; -1; 0) mp (P) : x + y – 2z – = Viết phương trình tham số đường thẳng d qua M vng góc với (P) Tìm toạ độ giao điểm d mp (P)
7 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2) mp (P) : 2x – 2y + z – = Viết phương trình đường thẳng qua A vng góc với mp (P)
8 Trong không gian Oxyz, cho mp (P): x + 2y + 2z +18 = Viết phương trình tham số d qua T vng góc với (P) Tìm toạ độ giao điểm d (P)
9 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d: x −−11=y+3
2 =
z −3 Và
mp (P): 2x + y – 2z + = Tìm toạ độ điểm I thuộc d cho khoảng cách từ I đến mp (P)
II VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG.
Cho Δ qua M(x0; y0; z0) vecto chi phương ⃗u=(a ;b ;c) Δ' qua M '(x0';y0';z0') có
vectơ phương ⃗u=(a';b';c ')
Có PTTS :
¿
x=x0+at
y=y0+bt
z=z0+ct
; Δ'
¿x=x0'+a ' t '
y=y0'+b ' t '
z=z0'+c ' t ' ¿Δalignl{ {
¿
*Nếu thấy ⃗u=ku '⃗ lấy toạ độ điểm M∈Δ vào phương trình đường thẳng Δ' Xảy hai khă năng:
TH1: M∈Δ' hai đường thẳng trùng nhau TH2: M∉Δ' thì hai đường thẳng song song
(28)¿
x0+at=x0'+a' t '
y0+bt=y0+b ' t '
z0+ct=z0'+c ' t '
¿{ { ¿
TH3: Hệ có nghiệm hai đường thẳng cắt nhau TH4: Hệ vơ nghiệm hai đường thẳng chéo nhau
* Nếu aa’ + bb’ + cc’ = hai đường thẳng vng góc. Xét vị trí tương đối hai đường thẳng sau:
a
¿
x y=2−4t
z=−3−3t
; Δ'
¿x=− t '
y=1+4t '
z=−3+3t ' ¿Δalignl{ {
¿
b
¿
x=9t
y=5t
z=−3−t
; Δ'; x
−18=
y −10=
z+3
2
¿Δalignl{ { ¿
c d :
z+¿
1
x −1 =
y −7 =
z −3 ;d':
x −6 =
y+1
−2 =¿
d d:
x+2
1 =
y+3
2 =
z
3;d':
x=1+t
y=−2+t
z=2+3t ¿{ {
e
¿
x=1−2t
y=2+2t
z=3t
; Δ'
¿x=1+t '
y=3−2t '
z=1 ¿Δalignl{ {
¿
2 Cho hai đường thẳng d d’ có phương trình : d: x+31=y −1
2 =
z −3
−2 ; d':
x
1=
y −1 =
z+3
2
a, Tìm toạ độ giao điểm d d’
(29)3 Cho hai đường thẳng
¿
x=1
y=−4+2t
z=3+1
; d '
¿x=−3t '
y=3+2t '
z=−2 ¿dalignl{{
¿
Chứng minh d d’ chéo
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d song song d’ Viết phương trình mp (Q) chứa d’ song song d Từ suy vị trí tương đối (P) (Q)
III, VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Cho mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = đường thẳng d :
¿
x=x0+at
y=y0+bt
z=z0+ct ¿{ {
¿
Xét hệ phương trình
¿
x=x0+at(1)
y=y0+bt(2)
z=z0+ct(3)
Ax + By + Cz + D = 0(4) ¿{ { {
¿
Thay (1), (2), (3) vào (4), ta có phương trinh: A(x0+at) + B(y0 + bt) + C(z0 + ct) + D = (*)
TH1: (*) Vơ nghiệm d (P) khơng có giao điểm hay d (P) song song
TH2: (*) Có nghiệm t d (P) có giao điểm hay d (P) cắt điểm TH3: (*) có vơ số nghiệm d (P) có vơ số giao điểm hay d nằm mặt phẳng (P)
Chú ý:
1 Trong trường hợp d // (P) d⊂(P) VTCP d VTPT (P) vng góc Khi d // (P) khoảng cách d (P) khoảng cách từ điểm d đến mặt
phẳng (P)
B, Bài Tập
Bài 1 :Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d ) :
3 1
x y z
mặt phẳng (P) : x2y z 5 0
a Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng (d) mặt phẳng (P) b Tính góc đường thẳng (d) mặt phẳng (P)
c Viết phương trình đường thẳng () hình chiếu đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P)
Bài 2 :Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d) :
2
1 2
x y z
mặt phẳng (P) : 2x y z 5 0
a Chứng minh (d) cắt (P) A Tìm tọa độ điểm A
b Viết phương trình đường thẳng () qua A , nằm (P) vng góc với (d)
Bài 3 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
(d ) :
2 3
x t
y t
z t mặt phẳng (P) : x y 2z 5
a Chứng minh (d) nằm mặt phẳng (P)
b Viết phương trình đường thẳng () nằm (P), song song với (d) cách (d) khoảng 14
(30)a Viết phương trình đường thẳng BC
b Chứng minh điểm A,B,C,D khơng đồng phẳng c Tính thể tích tứ diện ABCD
Bài5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng
1 ( ) :
2
x y z
;
2
( ) :
4
x t
y t
z a Chứng minh đường thẳng ( )1 đường thẳng (2) chéo
(31)