Xét vị trí tương đối và tìm giao điểm nếu có của 2 đường thẳng: a.. Xét vị trí tương đối và tìm giao điểm nếu có của 2 đường thẳng:.[r]
(1)PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Véctơ pháp tuyến (VTPT) đường thẳng vectơ khác
có giá vng góc với đường thẳng
2 Phương trình tổng quát đường thẳng: qua điểm M x y( ; )0 có VTPT n a b( ; )
là:
0
( ) ( )
a x x b y y ax+by+c=0, a2 b2 0
3 Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn: qua hai điểm A(a;0), B(0;b) (a,b 0) là:
x y
a b
4 Phương trình đường thẳng theo hệ số góc: qua điểm M x y( ; )0 có hệ số góc k y –y0 = k (x – x0)
5 Vị trí tương đối hai đường thẳng:
1:a x b y c1 0 2:a x b y c2 0 Nếu a b c2, 2 0 thì:
* 1 cắt 2
1 2
a b
a b
*1//2
1 1 2
a b c
a b c
*12
1 1 2
a b c
a b c
6 Vectơ phương (VTCP) đường thẳng vectơ khác0 có giá song song trùng với đường thẳng
7 Phương trình tham số đường thẳng: qua điểm M x y( ; )0 có VTCP u a a( ; )1
:
0
x x a t
y y a t
8 Phương trình tắc đường thẳng: qua điểm M x y( ; )0 có VTCP u a a( ; )1
Là:
0
1
1
,( , 0)
x x y y
a a
a a
9 cơng thức cần nhớ
Dạng Yếu tố cần có Công thức
Tọa độ vecto A x y( ;A A) B x y( ;B B) AB(xB x yA; B yA).
Độ dài đoạn thẳng A x y( ;A A) B x y( ;B B) ( )2 ( ) 2
B A B A
AB x x y y
Tích vơ hướng
1 ( ; )
a a a b( ; )b b1 2 a b a b 1 1a b2 2 Chuyển VTCP sang VTPT
1 ( ; )
(2)Chuyển VTPT sang VTCP n a b( ; ) n b a( ; )
n b a( ; )
Dạng Yếu tố cần tìm Cơng thức
Phương trình tham số 0
1 ( ; ) :
( ; )
quaM x y d
u u u
0 : x x a t
d
y y a t
Phương trình tổng quát ( ; )0 0
:
( ; )
quaM x y d
n a b
d: a x x( 0)b y y( 0) 0
Phương trình tắc 0 0
1 ( ; ) :
( ; )
quaM x y d
u u u
d: 0 2
,( , 0)
x x y y
a a
a a
Phương trình đoạn chắn
đi qua hai điểm A(a;0), B(0;b) (a,b 0)
d:
x y
ab
Góc
Tìm hai VTPT VTCP 1:a x b y c1 1
và
2:a x b y c2 2
1 2
1 2 2 2 2
1 2
| |
cos( , )
a b a b
a a b b
Vị trí tương đối 2 đường thẳng
1:a x b y c1 1
n a b 1 1; 1 2:a x b y c2 2
n a b2 2; 2
*
1 2
a b
a b 1 cắt 2
*
1 1 2
a b c
a b c 1//2
*
1 1 2
a b c
a b c 12
Khoảng cách từ điểm M x ; y0 0đến đường thẳng : ax by c 0
0 2 | ax | d(M, ) by c
a b
II BÀI TẬP:
Dạng 1: viết phương trình tổng qt đường thẳng biết qua điểm có VTCP hoặc VTPT.
Bài tốn 1: phương trình tổng qt đường thẳng qua M x ; y0 0 có VTPT n a b( ; )
có dạng : a x x( 0)b y y( 0) 0
Bài tốn 2: phương trình tổng qt đường thẳng d qua M x ; y0 0 có VTCP
( ; )
u u u nên d có vecto pháp tuyến n ( u u2; )1 có dạng: u x x2( 0)u y y1( 0) 0 Bài tốn 3: phương trình tổng qt đường thẳng d qua hai điểm A x y( ;A A) B x y( ;B B) pp: +, đường thẳng d qua hai điểm A x y( ;A A) B x y( ;B B) nhận vecto AB(xB x yA; B yA)
(3)+, viết pt tổng quát d qua A x y( ;A A) có vecto pháp tuyến n?
Bài tốn 4: phương trình tổng quát đường trung tuyến AM
PP: +, trung điểm BC có tọa độ
;
2
B C B C
x x y y
M
+, đường trung tuyến AM có vecto phương là: AM n?
+, phương trình tổng quát đường trung tuyến AM qua A có VTPT n?
Bài tốn 5: phương trình tổng quát đường cao AH?
Pp: đường cao AH qua điểm A nhận BC(xC x yB; C yB)
làm VTPT
Bài tốn 6: phương trình tổng qt đường trugn trực BC Pp: +, trung điểm BC có tọa độ là
;
2
B C B C
x x y y
M
+, đường trung trực qua
;
2
B C B C
x x y y
M
nhận BC(xC x yB; C yB)
làm VTPT
Nên có dạng…
Bài tốn 7:phương trình tổng qt đường thẳng d qua M song song với đường thẳng : ax by c 0
Pp: d //nên VTPT d nd n a b;
Bài toán 8: phương trình tổng qt đường thẳng d vng góc với đường thẳng : ax by c
Pp : d nên VTPT d nd u b a;
Bài tốn : Phương trình đường thẳng theo hệ số góc: qua điểm M x y( ; )0 có hệ số góc k y –y0 = k (x – x0)
Dạng 2: viết phương trình tham số đường thẳng biết qua điểm có VTCP hoặc VTPT.
Bài tốn : viết phương trình tham số đường thẳng biết qua điểm M x y( ; )0 có VTCP
1 ( ; )
u a a có dạng:
0 : x x a t
d
y y a t
Bài tốn : phương trình tham số đường thẳng biết qua hai điểm A x y( ;A A) ( ;B B)
B x y
PP: phương trình tham số đường thẳng d qua điểm A x y( ;A A) nhận vecto ( B A; B A)
AB x x y y
làm vecto phương có dạng : ???
Dạng hình Phương trình tham số Phương trình tổng quát
đi qua hai điểm M, N
( ; )
: quaM xM yM
d
u MN
: ( ; )0
?
quaM x y d
u MN n
(4)Cạnh AB của tam giác ( ; ) : quaA x yA A
AB u AB : ( ; ) ? A A
quaA x y AB
u AB n
Trung tuyến AM ( ; ) : quaA x yA A
AM u AM : ( ; ) ? A A
quaA x y AM
u AM n
Đườn g cao AH ( ; ) : ? A A
quaA x y AH
n BC u
AH: quaA x y( ;A A)
n BC Đườn g trung trực ( ; ) 2 : ? B C B C
x x y y
quaI
n BC u
( ; ) 2 :
B C B C
x x y y
quaI n BC Có hệ số góc k
1;
u k
Song song với đường thẳng d u u
d n n
Vn g góc với đường thẳng d u n
d n u
BÀI TẬP.
Viết phương trình tổng quát đường thẳng biết d: a Đi qua M (1;2) có VTPT n( 2;1)
(5)d Đi qua M (-5;-8) có hệ số góc k =-3
Viết phương trình tổng quát đường thẳng d:
a Đi qua M (-1;-4)và song song với đường thẳng d ':3x -5y -2=0 b Đi qua N (1;1) vng góc với đường thẳng 2x +3y +7=0 Viết phương trình tổng quát đường thẳng d:
a Đi qua hai điểm A(2;1) B(-4;5) b
3
x t
y t
c
5
2
x y
Lập phương trình tham số đường thẳng d: a Đi qua điểm M (2;1) có VTCP u(3; 2)
b Đi qua điểm M (1;-2) có VTPT n( 5;3)
c Đi qua điểm M (3;2) có hệ số góc k =-2 d Đi qua điểm A(3;4) B(4;2)
Viết phương trình tham số, đường thẳng: a d :2x+3y -6=0 b d :y =4x -5 c d: x3 d
2
:
5
x y
d
Cho hai điểm P(4;0) Q(0;-2) Viết phương trình tổng quát đường thẳng:
a Đi qua điểm R(3;2)và song song với đường thẳng PQ b Trung trực PQ
Cho điểm A(-5;2)và đường thẳng
2
:
1
x y
d
Viết phương trình đường thẳng d’:
a Qua A song song với d b Qua A vng góc với d
Viết phương trình đường trung trực ABC biết M (-1;1), N (1;9) P(9;1) trung điểm cạnh AB, AC, BC
Một đường thẳng d qua điểm M (5;-3) cắt trục Ox, Oy A B cho M trung điểm AB Viết phương trình tổng quát đường thẳng d
10 Viết phương trình đường thẳng d qua M (2;5)và cách hai điểm P(-1;2) Q(5;4) (HD: Xét 2TH d song song không song song với đường thẳng PQ)
Dạng 3: Vị trí tương đối, tương giao hai đường thẳng:
Vị trí tương đối 2 đường thẳng
1:a x b y c1 1
n a b1 1; 1
2:a x b y c2 2
n a b2 2; 2
*
1 2
a b
a b 1 cắt 2
*
1 1 2
a b c
a b c 1//2
*
1 1 2
a b c
(6)13 Xét vị trí tương đối tìm giao điểm có đường thẳng: a d :2x -5y +3=0 d ' : 5x 2y
b d : x 3y 0
1
' :
2
d x y
c d :10x 2y 0
3 ' :
2
d x y
14 Xét vị trí tương đối tìm giao điểm có đường thẳng:
a : x t d y t
6 ' ' :
2 '
x t d y t b : 2 x t d y t
d' : 2x4y10 0 c : 2 x t d y t
3 ':
1
x y
d
dang toán : Ba đường thẳng d d d1, ,2 3đồng quy giao điểm A d d1, 2 thuộc đường thẳng d3
Dạng 4: Tính góc hai đường thẳng
Góc
Tìm hai VTPT VTCP 1:a x b y c1 1
và
2:a x b y c2 2
1 2
1 2 2 2 2
1 2
| |
cos( , )
a b a b
a a b b
1 Tìm góc hai đường thẳng:
a d : 4x 2y v d ' : x 3y à b d : x y v d ' : x à c d : 3x 2y v d ': 2x 3y à d
: x t d y t
': ' ' x t d y t e,
: x t
d y t
v d ' : 2x y à
2 Cho hai đường thẳng d : x 2y v d ' : 3x y 0 à Tìm giao điểm tính góc d d’
3 Cho ABC với A(4;-1) B(-3;2) C(1;6) Tính góc A hai đường thẳng AB, AC
4 Tìm góc tam giác ABC biết phương trình cạnh tam giác là: AB : x 2y 0, AC : 2x y 0, BC : x y
DẠNG : KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Khoảng cách từ điểm M x ; y0 0đến đường 02
| ax | d(M, ) by c
a b
(7)thẳng : ax by c 0
1 tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trường hợp sau : a, A 3;5 : 4x 3y 0
b, B 1;-2 d : 3x 4y 26 0 c, C 1; m : 3x 4y 11 0
2.tìm bán kính đường tròn tâm C ; 2 tiếp xúc với đường thẳng : 5x 12y 10 0 3 Cho đường thẳng d : x 2y 0 điểm A 4;1
a Tìm tọa độ hình chiếu H A lên d b Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua d 4 Tìm hình chiếu M (3;1)lên đường thẳng
2
:
1
x t
d
y t
5 Tìm hình chiếu điểm P(3;-2)lên đường thẳng:
a, :
1
x t d
y
b,
1
:
3
x y
d
c, d: 5x12y10 0
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN
I LÍ THUYẾT:
1.*Phương trình đường trịn ( )C có tâm I a b( ; )và bán kính Rlà:(x a )2(y b )2 R2 (1) 2.*Phương trình x2y2 2ax 2by c 0 (2) với điều kiệna2b2 c0,
gọi pt đường trịn tâmI a b( ; ) bán kínhR a2b2 c
3*Phương trình tiếp tuyến ( )C tại điểm M x y( ; )0 thuộc đường tròn ( )C thay vào pt
0 0
(x a x x)( ) ( y b y y)( ) 0 II.CÁC DẠNG BÀI TẬP:
DẠNG VIẾT PHƯƠNG TRINH ĐƯỜNG TRÒN
Dạng 1: Đường trịn có tâm I a b( ; )và bán kính R,thế vào pt (1) Dạng 2:Đường trịn nhận đoạn thẳng AB BC,( ), làm đường kính
PP: + Tìm tâm I đường trịn đường kính AB BC,( ), trung điểm AB BC, , + Tính bán kính đường trịn ,( )
AB BC
R IA IB R IC IB
+ Thay vào pt đường trịn (1)
Dạng 3:Đường trịn có tâm I a b( ; ) qua điểm M x y( ; )0 PP: + Bán kính đ tròn R IM (xM xI)2(yM yI)2 + Viết pt đtròn
(8)PP: + Bán kính đ trịn 2 ( , ) A a B b C
R d I
A B
+ Viết pt đ tròn
Dạng 5: Đường tròn qua ba điểm A B C, ,
PP: + Giả sử pt đường trịn có dạngx2y2 2ax 2by c 0 (*)
+ Thay toạ độ ba điểm A B C, , vào pt(*) hệ ba pt ẩn a b c, , +Giải hệ pt ba ẩn tìm a b c, ,
+Thay kết a b c, , tìm vào pt đường tròn (*),kết luận DẠNG 2; NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN Đưa phương trình dạng: x2 y2 2ax 2by c
(1) phương trình đường trịn a2 b2 c 0 có tâm I(a;b) bán kính R a2b2 c
DẠNG 3: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRỊN
Bài tốn 1: phương trình tiếp tuyến đường trịn (C) có tâm I(a;b) bán kính R điểm M(x0;y0) là:
0 0
(x a x x)( ) ( y b y y)( ) 0
Bài toán 2: phương trình tiếp tuyến đường trịn (C) có hệ số góc k :y kx b Sử dụng điều kiện tiếp xúc để tìm b: tiếp xúc với (C) d I( , ) R
Bài tốn 3: phương trình tiếp tuyến đường trịn (C) qua M0 (x0;y0) + tiếp tuyến có dạng: A x x( 0)B y y( 0) 0, A2B2 0
+ Sử dụng điều kiện tiếp xúc để tìm A, B
DẠNG 4: CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN TỚI VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯƠNGF THẲNG ĐỐI VỚI ĐƯƠNG TRỊN.
+tìm tâm I(a;b) bán kính R
+tính khoảng cachs từ tâm đến đường thẳng *v Cà( )cắt hai điểm A ,B d I( , ) R *v Cà( )tiếp xúc A d I( , ) R
*v Cà( )khơng có điểm chung d I( , ) R BÀI TẬP ĐƯỜNG TRỊN.
Bài 1: Phương trình sau phương trình đường trịn ,nếu pt đường trịn tìm toạ độ tâm bán kính đường trịn
2
)
a x y x y b x)2 2y22x 6y 0 c x)2 22y2 x 6y1 0 Bài 2:Tìm toạ độ tâm bán kính đường trịn sau đây:
a)(x 3)2(x4)2 2 b)(x2)2(x4)2 3 c)(x5)2(x 7)2 9 d)(x1)2 (x 6)2 25 e x) 2y2 6y 0 f x) 2y2 6x 0
2
)
g x y x y h) x2 y24x 8y 0 Bài 3: Viết pt đường tròn, biết đường trịn
a) Có tâm I( 2;5) bán kính R7.
(9)c) Có tâm A(1; 3) qua điểm M(5; 2)
d) Có tâm I( 6;5) tiếp xúc với đường thẳng : 5x4y 1 e) Đi qua ba điểm B(2;3), ( 5;1), ( 2; 7)C D
Bài 4:Viết pt đường tròn, biết đường tròn a) Có tâm I(4; 5) bán kính R
b) Nhận AClàm đường kính với A( 3; 2), (5; 4) C c) Có tâm B( 2;3) qua điểm M(3; 2)
d) Có tâm I(2; 5) tiếp xúc với đường thẳng : 4x y 1
Bài 5:Cho đường tròn
2
( ) :C x y3 26 a) Tìm toạ độ tâm bán kính đường trịn
b) Viết phương trình tiếp tuyến C điểm A(1; 2)
c) Viết phương trình tiếp tuyến C ,biết tiếp tuyến qua điểm B( 3;7) song song với đường thẳng y3x8
d) Viết phương trình tiếp tuyến C ,biết tiếp tuyến qua điểm D(7;3)và vng góc với đường thẳng
1
y x
Bài 6:Cho đường tròn ( ) :C x2y2 2x6y15 0 a) Tìm toạ độ tâm bán kính đường trịn
b) Viết phương trình tiếp tuyến C điểm A( 2;1)
c) Viết phương trình tiếp tuyến C ,biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y2x3 d) viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng 3x 2y 0
PHƯƠNG TRÌNH ELIP
Trong mp Oxy cho F1( ;0), ( ;0), àc F c2 v a c 0. ta nói : elip tập hợp điểm M cho
1 2
F M F M a
của elip (E) :
2 2
x y
a b với c2 a2 b2
.
2 đặc điểm elip:
* hai tiêu điểm F1( ;0), ( ;0).c F c2
* bốn đỉnh A1( ;0),a A a2( ;0), (0;B1 b B), 2(0; ).b *độ dài trục lớn A A1 22a
*độ dài trục nhỏ B B1 2b *tiêu cự F F1 2c
*trục đối xứng : Ox , Oy *tâm đối xứng: gốc tọa độ O
*mọi điểm cuả (E) nằm hình chữ nhật giới hạn đường thăngr
, , ,
(10)* tâm sai
c e
a
(e lớn elip béo, e nhỏ elip gầy) DẠNG 1: Phươnh trình chinh tác elip
PP:
+từ giả thiêts cho , lập hệ phương trình theo hai ẩn a b2, +giải hệ tìm a b2,
+từ ta phương trình tắc elip
2 2
x y
a b
DẠNG 2: TÌM CÁC THÀNH PHẦN CỦA ELIP PP:
+chuyển elip dạng
2 2
x y
a b
+từ xác định a,b suy tiêu điểm, đỉnh, độ dài trục elip, phương trình cạnh hinh chữ nhật sở
BÀI TẬP ELIP
DẠNG 1:Từ phương trình tắc elip cho ta tính tốn số yếu tố khác elip BÀI 1: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) :
2 25
x y
a/ Tìm tọa độ đỉnh , tọa độ tiêu điểm tính tâm sai elip b/ Xác định độ dài trục tiêu cự
BÀI 2: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : x2 + 4y2 =
a/ Tìm tọa độ đỉnh , tọa độ tiêu điểm tính tâm sai elip
b/ Đường thẳng qua tiêu điểm F2 elip song song với trục 0y cắt elip điểm M,N Tính độ
dài đoạn thẳng MN
BÀI 3: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) :
2 25
x y
a/ Tìm tọa độ tiêu điểm tính tâm sai elip
b/ Tìm giá trị b để đường thẳng y = x + b có điểm chung với elip
BÀI 4: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) :
2 25
x y
a/ Tìm tọa độ đỉnh , tọa độ tiêu điểm tính tâm sai elip a/ Xác định độ dài trục tiêu cự
BÀI 5: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : x
2
49+
y2
24=1 a/ Tìm tọa độ điểm M thuộc (E) cho : MF1 = 12
b/ Tìm tọa độ điểm N thuộc (E) cho : NF2 = 2NF1
BÀI 5: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : x
2
6 +
y2
2=1 a/ Xác định độ dài trục tiêu cự
b/ Tìm điểm M thuộc (E) cho nhìn hai tiêu điểm (E) góc vng
BÀI 6: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : x
2
14+
y2
(11)a/ Tìm độ dài tiêu cự tính tâm sai (E) b/ Tính độ dài trục, c/ tìm hình chữ nhật sở
BÀI 7: : Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : 9x2
+4y2=36
Tìm điểm M thuộc (E) cho: MF1 = 3MF2
BÀI 8: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : x
2
25+
y2
16=1 , tiêu điểm F1,F2 Cho A,B hai điểm thuộc (E) cho AF1 + BF2 = Tính AF2+ BF1
DẠNG Lập phương trình tắc elip biết số yếu tố nó
Bài Lập phương trình tắc (E).
1 có độ dài trục lớn 10, trục bé có tiêu điểm F1(-2;0) độ dài trục lớn 10 có tiêu cự 8, trục bé
4 qua điểm M (5;0) có trục bé Bài 2: Lập phương trình tắc (E).
a. qua điểm M (2;
3 ) tiêu điểm F1 ( -2; 0)
b. elip qua M N với M ( 2; - √2 ) N ( - √6 ; 1)
c. có độ dài trục lớn 2, đỉnh trục nhỏ tiêu điểm elip nằm đường trịn
d. có tiêu điểm F1( 10;0), ( 10;0)F2 độ dài trục lớn bằng2 18.
Biển học mênh mông lấy chuyên cần làm bến, tri thức lồng lộng lấy chăm làm nên!