1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Định lý điểm bất động trong không gian b metric chữ nhật

28 15 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 28
Dung lượng 765,07 KB

Nội dung

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHOA TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN b-METRIC CHỮ NHẬT Giảng viên hƣớng dẫn : TS LƢƠNG QUỐC TUYỂN Sinh viên thực : VÕ THỊ KIM THOA Lớp : 12ST Đà Nẵng, tháng năm 2016 LỜI CẢM ƠN! Trước hết, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển tận tình hướng dẫn suốt q trình thực khóa luận tốt nghiệp Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến thầy, giáo khoa Tốn, Trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng tận tình truyền đạt kiến thức, giúp đỡ trình học tập nghiên cứu trường Mặc dù có nhiều cố gắng, song bước đầu tiếp xúc kiến thức cịn hạn hẹp, khóa luận khơng tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn đọc để khóa luận hồn thiện Cuối cùng, tác giả xin kính chúc quý thầy, cô dồi sức khỏe thành công nghiệp cao quý Đà nẵng, tháng năm 2016 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu 5 Đóng góp đề tài 6 Cấu trúc luận văn CHƢƠNG 1: KHÔNG GIAN METRIC 1.1 KHÁI NIỆM VỀ KHÔNG GIAN METRIC 1.2 DÃY HỘI TỤ TRONG KHÔNG GIAN METRIC 1.3 KHÔNG GIAN METRIC ĐẦY ĐỦ 1.4 ÁNH XẠ LIÊN TỤC TRONG KHÔNG GIAN METRIC CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN b-METRIC CHỮ NHẬT 11 2.1 KHÔNG GIAN b-METRIC 11 2.2 DÃY HỘI TỤ TRONG KHÔNG GIAN b-METRIC 12 2.3 ÁNH XẠ LIÊN TỤC TRONG KHÔNG GIAN b-METRIC 13 2.4 KHÔNG GIAN METRIC CHỮ NHẬT 15 2.5 KHÔNG GIAN b-METRIC CHỮ NHẬT 15 2.6 SỰ HỘI TỤ VÀ DÃY CAUCHY TRONG KHƠNG GIAN b-METRIC CHỮ NHẬT VÀ TÍNH ĐẦY ĐỦ CỦA KHÔNG GIAN b-METRIC CHỮ NHẬT 16 CHƢƠNG 3: ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN b-METRIC CHỮ NHẬT 19 3.1 Định lý 19 3.2 Ví dụ 22 3.4 Định lý 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO 27 KẾT LUẬN 28 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết điểm bất động không gian metric đóng vai trị quan trọng tốn học khoa học ứng dụng Trong hai thập kỷ qua, phát triển lý thuyết điểm bất động không gian metric thu hút ý đáng kể nhiều ứng dụng lĩnh vực lý thuyết tối ưu, lý thuyết xấp xỉ, bất đẳng thức tuyến tính Năm 2000, Branciari đưa khái niệm khơng gian b-metric chữ nhật sau với cộng đưa nhiều định lý điểm bất động khơng gian b-metric chữ nhật Từ đến nay, nhiều tốn điểm bất động khơng gian b-metric chữ nhật thu hút nhiều nhà toán học giới quan tâm nghiên cứu Với lý hướng dẫn thầy giáo Lương Quốc Tuyển, định chọn đề tài nghiên cứu: “Định lý điểm bất động không gian b-metric chữ nhật.” Chúng mong muốn tạo tài liệu tham khảo tốt cho người quan tâm lý thuyết điểm bất động mong muốn đưa số ứng dụng nhằm góp phần làm phong phú kết lĩnh vực Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu số định lý điểm bất động không gian b-metric chữ nhật Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu lý thuyết điểm bất động 3.2 Phạm vi nghiên cứu số định lý điểm bất động không gian b-metric chữ nhật Phƣơng pháp nghiên cứu 4.1 Tham khảo tài liệu hệ thống hóa kiến thức 4.2 Thu thập báo khoa học tác giả nghiên cứu liên quan đến “Định lý điểm bất động không gian b-metric chữ nhật.” 4.3 Thể tường minh kết nghiên cứu đề tài 4.4 Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn Đóng góp đề tài Đề tài có ý nghĩa mặt lý thuyết, sử dụng tài liệu tham khảo dành cho quan tâm nghiên cứu điểm bất động không gian b-metric chữ nhật Cấu trúc luận văn Ngoài phần Mục lục, Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận trình bày ba chương Chương 1: Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức liên quan đến không gian metric nhằm làm tiền đề cho chương sau Chương 2: Trong chương này, trình bày khái niệm tính chất khơng gian b-metric không gian b-metric chữ nhật nhằm làm sở để chứng minh định lý Chương Chương 3: Trình bày chứng minh chi tiết số định lý điểm bất động không gian b-metric chữ nhật CHƢƠNG KHÔNG GIAN METRIC Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất khơng gian metric nhằm làm tiền đề phục vụ cho việc chứng minh Chương Chương khóa luận 1.1 KHÁI NIỆM VỀ KHÔNG GIAN METRIC 1.1.1 Định nghĩa Giả sử X tập khác rỗng Ánh xạ d : X  X  hàm thỏa mãn tiên đề sau 1 d ( x, y)  với x, y  X ; d ( x, y)   x  y;  2 d ( x, y)  d ( y, x) với x, y  X ;  3 d ( x, z)  d ( x, y)  d ( y, z) với x, y, z  X Khi đó, a d gọi metric xác định X  b  Cặp  X , d  gọi không gian metric Ký hiệu  X , d  1.2 DÃY HỘI TỤ TRONG KHÔNG GIAN METRIC 1.2.1 Định nghĩa Giả sử X không gian metric  xn  dãy X Ta nói  xn  dãy hội tụ đến x  X lim d ( xn , x)  Lúc đó, ký hiệu n lim xn  x xn  x n 1.2.2 Bổ đề Trong không gian metric X , khẳng định sau 1 Giới hạn dãy hội tụ nhất;   Nếu xn  x, dãy  xn  hội tụ đến x;  3 Nếu xn  a , yn  b, d ( xn , yn )  d (a, b) Chứng minh 1 Giả sử xn  a , xn  b Khi đó, theo tiên đề metric ta suy  d  a, b   d  a, xn   d  xn , b   d  xn , a   d  xn , b  Hơn nữa, xn  a , xn  b nên từ bất đẳng thức ta suy d  a, b   Cuối cùng, theo tính chất metric ta suy a  b Như vậy, giới hạn dãy hội tụ   Giả sử  xn k  dãy dãy x  Khi đó, x  n dãy hội tụ đến x nên với   0, tồn k0  * cho d  xn , x    với n  k0 Mặt khác, nk  k0 với k  k0 Suy   d xn k , x   với k  k0 Điều chứng tỏ xn k  x (3) Ta có d  xn , yn   d  xn , a   d  a, b   d b, yn  , kéo theo d  xn , yn   d  a, b   d  xn , a   d b, yn  Hoàn toàn tương tự ta thu d  a, b   d  xn , yn   d  xn , a   d b, yn  Từ đó, ta suy  d  xn , yn   d  a, b   d  xn , a   d  b, yn  Cuối cùng, xn  a , yn  b nên từ bất đẳng thức ta suy d ( xn , yn )  d (a, b) n 1.3 KHÔNG GIAN METRIC ĐẦY ĐỦ 1.3.1 Định nghĩa Giả sử X không gian metric Khi đó, (1)  xn  gọi dãy Cauchy lim d  xn , xm   0; m,n (2) X gọi không gian metric đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ 1.3.2 Nhận xét Mọi dãy hội tụ không gian metric dãy Cauchy Tuy nhiên, điều ngược lại chưa 1.4 ÁNH XẠ LIÊN TỤC TRONG KHÔNG GIAN METRIC 1.4.1 Định nghĩa Giả sử  X , d  , Y ,   hai không gian metric ánh xạ f : X , d   Y ,   Khi đó, (1) f gọi ánh xạ liên tục x0  X với   0, tồn   cho với x  X mà d  x, x0    , ta có   f  x  , f  x0    ; (2) f gọi liên tục X (hay liên tục) liên tục điểm X 1.4.2 Định lý Cho ( X , d X ),(Y , dY ) hai không gian metric ánh xạ f : X  Y Khi đó, ánh xạ f liên tục điểm x  X với dãy  xn   X mà xn  x ta có f  xn   f  x  Chứng minh (1) Điều kiện cần Giả sử f ánh xạ liên tục x, xn  X xn  x Khi đó, với   0, tồn   cho với y  X mà d X  y, x    , ta có dY  f  y  , f  x    Mặt khác, xn  x nên tồn n0  * cho d X  xn , x    với n  n0 Do đó, dY  f  xn  , f  x    với n  n0 Như vậy, f  xn   f  x  (2) Điều kiện đủ Giả sử dãy  xn  X mà xn  x ta có f  xn   f  x  Ta phải chứng minh f liên tục x Thật vậy, giả sử ngược lại f không liên tục x Khi đó, tồn   cho với   , tồn x  X ta có d X  x , x    ; dY  f  x  , f  x    Do đó, với n  * , tồn xn  X cho d X  xn , x    ; dY  f  xn  , f  x    Như vậy, dãy  xn  hội tụ đến x X f  x  Y Bởi thế, định lí chứng minh 10  f  xn  không hội tụ đến 2.3.2 Định lý Cho  X , d X  , Y , dY  hai không gian b-mteric ánh xạ T : X  Y Khi đó, ánh xạ T liên tục điểm x  X với dãy xn  X mà xn  x ta có T  xn   T  x  Chứng minh 1 Điều kiện cần Giả sử T ánh xạ b-liên tục x, xn  X xn  x Khi đó, với   0, tồn   cho với y  Y , ta có d X  y, x    , dY T  y  ,T  x    Mặt khác, xn  x nên tồn n0  * cho d X  xn , x    với n  n0 Do đó, dY T  y  ,T  x    với n  n0 Như vậy, T  xn   T  x   2 Điều kiện đủ Giả sử dãy  xn  X mà xn  x ta có T  xn   T  x  Ta phải chứng minh T liên tục x Thật vậy, giả sử ngược lại T không liên tục x Khi đó, tồn   cho với   0, tồn x  X cho d X  x , x    , dY T  x  ,T  x    Do đó, với n  * , tồn xn  X cho d X  xn , x    , dY T  xn  ,T  x    Như vậy, dãy  xn  hội tụ đến x X T  xn  không hội tụ đến T  x  Y Bởi thế, định lí chứng minh 14 2.4 KHƠNG GIAN METRIC CHỮ NHẬT 2.4.1 Định nghĩa Giả sử tập khác rỗng Ánh xạ X d : X  X  0,   thỏa mãn tiên đề sau 1 d  x, y    x  y với   d  x, y   d  y, x  với x, y  X ; x, y  X ;  3 d  x, y   d  x, u   d u, v   d  v, y  với x, y  X tất điểm riêng biệt u, v  X \  x, y Khi đó, d gọi metric chữ nhật X  X , d  gọi không gian metric chữ nhật (viết tắt RMS) 2.5 KHÔNG GIAN b-METRIC CHỮ NHẬT 2.5.1 Định nghĩa Giả sử tập khác rỗng Ánh xạ X d : X  X  0,   thỏa mãn tiên đề sau 1 d  x, y    x  y với   d  x, y   d  y, x  với  3 x, y  X ; x, y  X ; Tồn số thực s  cho với x, y  X tất điểm riêng biệt u, v  X \  x, y , ta có d  x, y   s d  x, u   d  u, v   d  v, y  Khi đó, d gọi b-metric chữ nhật X  X , d  gọi không gian b-metric chữ nhật (viết tắt RbMS) với hệ số s 2.5.2 Nhận xét Mọi không gian metric không gian metric chữ nhật không gian metric chữ nhật không gian b-metric chữ nhật với hệ số s  Tuy nhiên, điều ngược lại chưa 2.5.3 Ví dụ 1) Giả sử X  , ánh xạ d : X  X  X xác định 15 0 nÕu x  y;  d  x,y   4 nÕu x,y  1,2 vµ x  y;   x y 1,2 x y; đó,   số Dễ dàng kiểm tra  X , d  không gian b-metric chữ nhật với s   Nhưng  X , d  không không gian metric chữ nhật, d 1,2   4  3  d 1,3  d  3,4   d  4,2  2) Cho ánh xạ d : X  X  X cho d  x, y   d  y, x  với x, y  X 0 nÕu x  y;  10 nÕu x  1,y  2;  d  x,y    nÕu x  1,2 vµ y  3;  2 nÕu x  1,2,3 y 4; x y  1,2,3,4 vµ x  y;    số Dễ dàng kiểm tra  X , d  không gian b-metric chữ nhật với s   Nhưng  X ,d  không không gian metric chữ nhật d 1,2   10  5  d 1,3  d  3,4   d  4,2  2.6 SỰ HỘI TỤ, DÃY CAUCHY TRONG KHÔNG GIAN b-METRIC CHỮ NHẬT VÀ TÍNH ĐẦY ĐỦ CỦA KHƠNG GIAN b-METRIC CHỮ NHẬT 2.6.1 Định nghĩa Giả sử  X , d  không gian b-metric chữ nhật,  xn  dãy X x  X Khi đó, 1  xn  gọi hội tụ  X , d  hội tụ đến x với   0, tồn n0  cho d  xn , x    với n  n0 , nghĩa 16 lim xn  x xn  x n   n    xn  gọi dãy Cauchy  X , d  n0  với   0, tồn cho d  xn , xn p    với n  n0 , p  0, nghĩa   lim d xn , xn p  với p  n  3  X , d  gọi không gian b-metric chữ nhật đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ đến điểm x  X 2.6.2 Nhận xét Giới hạn dãy không gian b-metric chữ nhật không thiết phải dãy hội tụ không gian b-metric chữ nhật không thiết phải dãy Cauchy 2.6.3 Ví dụ 1  Giả sử X  A  B; A   : n   , B tập tất số nguyên dương, n  d : X  X  0,   cho d  x, y   d  y, x  với x, y  X 0 2   d  x,y     2n   nÕu x  y; nÕu x,y  A; nÕu x  A, y 2,3; trường hợp lại   số Lúc này,  X , d  không gian b-metric chữ nhật với hệ số s   Tuy nhiên, ta có 1)  X , d  khơng khơng gian metric chữ nhật, ví dụ 17 1 1 1   1 d  ,   2   d  ,4   d  4,3  d  3,  12  3 2   3 khơng khơng gian metric 2) Không tồn s  thỏa mãn với x, y, z  X , d  x, y   s d  x, z   d  z, y  ,  X , d  không không gian b-metric 17 1  3) Dãy   hội tụ đến không gian b-metric chữ nhật n giới hạn khơng 1  1  4) d  ,  n   ,   không dãy   2  n n n p Cauchy hội tụ không gian b-metric chữ nhật 18 CHƢƠNG ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN b-METRIC CHỮ NHẬT 3.1 Định lý Giả sử  X , d  không gian b-metric chữ nhật đầy đủ với hệ số s  T : X  X ánh xạ thỏa mãn  3.1 d Tx,Ty   d  x, y  ,  1 với x, y  X ,   0,  Khi đó, T có điểm bất động  s Chứng minh Lấy x0  X tùy ý Cho dãy  xn  xác định xn1  Txn với n  Bây ta chứng minh  xn  dãy Cauchy Nếu xn  xn1 xn điểm bất động T Bởi vậy, giả sử xn  xn1 với n  Đặt d  xn , xn1   dn Từ  3.1 ta suy d  xn , xn1   d Txn1,Txn    d  xn1, xn  d n   d n1 Thực tương tự, ta có d n   n d0  3.2  Ngồi ra, giả sử x0  xn với n Thật vậy, x0  xn , áp dụng  3.2  với n  2, ta có d  x0 , Tx0   d  xn ,Txn  d  x0 , x1   d  xn , xn1  d0  d n d0   n d0 19 Điều mẫu thuẫn Do đó, d0  0, x0  x1 Bởi vậy, x0 điểm bất động T Giả sử xn  xm với m, n Đặt d  xn , xn2   dn* Áp dụng  3.1 cho n , ta có d  xn , xn2   d Txn1,Txn1    d  xn1, xn1  d n*   d n*1 Thực tương tự ta có d  xn , xn2    n d0*   3.3  Xét d xn , xn p hai trường hợp Nếu p lẻ, p  2m  1, áp dụng  3.2  ta có d  xn , xn m1   s  d  xn , xn1   d  xn1, xn   d  xn , xn m1    s  d n  d n1   s  d  xn2 , xn3   d  xn3 , xn   d  xn , xn m1    s  d n  d n1   s  d n2  d n3   s  d n4  d n5    s m d n2 m  s  n d0   n1d0   s  n2 d0   n3d0   s  n4 d0   n5d0    s m n2 m d  s n 1  s  s 2   d  s n1 1  s  s 2   d 1  s n d  s Chú ý s  Do đó,  d  xn , xn2m1   1  s n d0  s  3.4  Nếu p chẵn, p  2m, áp dụng  3.2   3.3 ta có d  xn , xn2   s  d  xn , xn1   d  xn1, xn2   d  xn2 , xn2 m   s  d n  d n1   s  d  xn2 , xn3   d  xn3 , xn4   d  xn4 , xn2m   s  d n  d n1   s  d n2  d n3   s  d n4  d n5    s m1  d m4  d 2m3   s m1d  xn2m2 , xn2m  20  s  n d0   n1d0   s  n2d   n3d   s  n4d   n5d    s m1  m4 d0   m3d   s m1 n2 m2d 0*  s n 1  s  s 2   d  s n1 1  s  s 2   d  s m1 n2 m2 d0* , 1  s n d  s m1 n m2d 0*  s 1  2m  s n d0   s   n2d 0* 1  s   s 1  1   s n d0   n2d 0*     s  s  d  xn , xn m   Do đó, d  xn , xn2m   1  s nd0   n2d0*  s  3.5 Áp dụng  3.4   3.5 ta có   lim d xn , xn p  với p  n  3.6  Do vậy,  xn  dãy Cauchy X Do tính đầy đủ  X , d  , tồn u  X cho lim xn  u n Giả sử u điểm bất động T Với n , ta có d  u, Tu   s  d  u , xn   d  xn , xn1   d  xn1,Tu    s  d  u, xn   d n  d Txn ,Tu    s  d  u, xn   d n   d  xn , u   Áp dụng  3.6  ,  3.7  từ bất đẳng thức ta suy d  u,Tu   0, Tu  u Như vậy, u điểm bất động T 21  3.7  Để chứng minh tính nhất, giả sử v điểm bất động T , v  u Áp dụng  3.1 ta có d  u, v   d Tu,Tv   d u, v   d u, v  Điều mâu thuẫn Do đó, d  u, v   , nghĩa u  v Như vậy, điểm bất động u T 3.2 Ví dụ 1  Giả sử X  A  B, A   : n 2,3,4,5 B  1,2 n  1) Ánh xạ d : X  X  0,   cho d  x, y   d  y, x  với x, y  X  1 1 1 1 d  ,   d  ,   0.03;       1 1 1 1 d  ,   d  ,   0.02; 3 4   5  1 1 1 1 d  ,   d  ,   0.6;  3  2 4 d x,y x y trường hợp l¹i    Khi đó,  X , d  không gian b-metric chữ nhật với hệ số s   Nhưng  X ,d  không không không gian metric chữ nhật 2) Ánh xạ T : X  X xác định 1  nÕux  A; Tx    nÕux  B  Khi T thỏa mãn điều kiện định lý  3.1 có điểm bất động x  22 3.4 Định lý Giả sử  X , d  không gian b-metric chữ nhật đầy đủ với hệ số s  T : X  X ánh xạ thỏa mãn với x, y  X , ta có d Tx,Ty    d  x,Tx   d  y,Ty  ,  3.8     0,  Khi đó, T có điểm điểm bất động  s 1 Chứng minh Lấy x0  X tùy ý Dãy  xn  xác định xn1  Txn với n  Bây ta chứng minh  xn  dãy Cauchy Nếu xn  xn1 xn điểm bất động T Bởi vậy, giả sử xn  xn1 với n  Đặt d  xn , xn1   dn , áp dụng  3.8 ta có d  xn , xn1   d Txn1,Txn     d  xn1,Txn1   d  xn ,Txn   d  xn , xn1     d  xn1, xn   d  xn , xn1   d n    d n1  d n  dn   1  d n1   d n1,   1   s      s    Thực tương tự, ta có d n   n d0  3.9  Ngoài ra, giả sử x0  xn với n Thật vậy, x0  xn , áp dụng  3.9  với n  2, ta có d  x0 , Tx0   d  xn ,Txn  d  x0 , x1   d  xn , xn1  d0  d n d0   n d0 23 Điều mẫu thuẫn Do đó, d0  0, x0  x1 Bởi vậy, x0 điểm bất động T Giả sử xn  xm với m, n Lúc này, áp dụng  3.8  3.9  với n , ta có d  xn , xn   d Txn1 ,Txn1     d  xn1, Txn1   d  xn1 ,Txn1      d  xn1, xn   d  xn1, xn      d n1  d n1      n1d   n1d    n1 1    d   n1d Do đó, d  xn , xn2    n1d0 ,  3.10         Xét d  xn , xn p  hai trường hợp Nếu p lẻ, p  2m  1, áp dụng  3.9  ta có d  xn , xn m1   s  d  xn , xn1   d  xn1, xn   d  xn , xn m1    s  d n  d n1   s  d  xn , xn3   d  xn3 , xn   d  xn , xn m1    s  d n  d n1   s  d n  d n3   s  d n4 , d n5    s md n2 m  s   n d0   n1d0   s   n2d0   n3d0   s   n 4d0   n5d0    s m  n m d0  s n 1  s  s    d0  s n1 1  s  s    d  1  s n d  s  s  1 Do đó, 24 d  xn , xn2m1   1  s n d0  s  3.11 Nếu p chẵn, p  2m, áp dụng  3.9   3.10  ta có d  xn , xn2 m   s  d  xn , xn1   d  xn1, x n2   d  xn2 , xn2m   s  d n  d n1   s  d  xn2 , xn3   d  xn3 , xn4   d  xn4 , xn2m    s  d n  d n1   s  d n2  d n3   s  d n4 , d n5    s m1  d m4  d m3   s m1d  xn2 m2 , xn2 m   s   n d   n1d   s   n 2d   n3d   s   n 4d   n5d    s m1   m4d   m3d   s m1 n m3d  s n 1  s  s    d  s n1 1  s  s    d0  s m1 n m3d0 , 1  s n d  s m1 n m3d  s 1  m n n  s  d   s   3d0 1  s     s d  xn , xn m    1  s n d0   n3d  s 1      s  Do đó, d  xn , xn2m   1  s n d0   n3d0  s  3.12 Áp dụng  3.11  3.12  ta có   lim d xn , xn p  với p  n  3.13 Do vậy,  xn  dãy Cauchy X Do tính đầy đủ  X , d  , tồn u  X cho lim xn  u n Giả sử u điểm bất động T Với n , ta có 25  3.14 d  u, Tu   s  d  u , xn   d  xn , xn1   d  xn1,Tu    s  d  u , xn   d n  d Txn ,Tu    s  d  u , xn   d n   d  xn ,Txn   d  u ,Tu   s  d  u , xn   d n   d  xn , xn1   d  u ,Tu  1  s  d  u,Tu   s d u, xn    nd0  d  xn , xn1  Áp dụng  3.13  3.14  với   , từ bất đẳng thức ta có s 1 d  u,Tu   0, Tu  u Do vậy, u điểm bất động T Để chứng minh tính nhất, giả sử v điểm bất động T , v  u Áp dụng  3.8 ta có d  u, v   d Tu,Tv     d  u ,Tu   d  v,Tv      d  u, u   d  v, v    Do đó, d  u, v   0, nghĩa u  v Như vậy, điểm bất động u T 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Hồng, Giáo trình khơng gian metric, (2007), Nhà xuất Đại học Huế, 38-50 [2] T Abdeljawad, D Turkoglu, Locally convex valued rectangular metric spaces anh Kannan’s fixed point theorem, arXiv, 2011 (2011), 11 pages [3] A Azam, M Arshad, Kanna Fixed Point Theorem on grneralised metric spaces, J Nonlinear Sci Appl., (2008), 45-48 [4] A Azam, M Arshad, I Beg, Banach contraction principle on cone rectangular metric spaces, Appl Anal Discrete Math., (2009), 236-241 [5] M Boriceanu, Strict fixed point theorems for multivalued operators in b-metric spaces, Inter J Mod Math., (2009), 285-301 27 KẾT LUẬN Từ việc nghiên cứu lý thuyết, tham khảo giáo trình báo khoa học liên quan, luận văn đạt số kết sau 1 Hệ thống số kiến thức khơng gian metric tìm hiểu khái niệm khơng gian metric, không gian metric đầy đủ, biết dãy hội tụ, ánh xạ liên tục khơng gian metric  2 Trình bày số khái niệm, tính chất khơng gian b-metric khơng gian b-metric chữ nhật Hiểu khái niệm b-liên tục, b-hội tụ Nắm định nghĩa dãy hội tụ, ánh xạ liên tục không gian b-metric; hội tụ, dãy Cauchy tính đầy đủ khơng gian b-metric chữ nhật  3 Chứng minh chi tiết số kết định lý điểm bất động khơng gian b-metric chữ nhật Bên cạnh đó, hạn chế mặt lực thời gian nên khóa luận chưa chứng minh nhiều kết liên quan đến điểm bất động không gian b-metric chữ nhật 28 ... định lý điểm b? ??t động không gian b- metric chữ nhật Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu lý thuyết điểm b? ??t động 3.2 Phạm vi nghiên cứu số định lý điểm b? ??t động không gian b- metric. .. 2: KHÔNG GIAN b- METRIC CHỮ NHẬT 11 2.1 KHÔNG GIAN b- METRIC 11 2.2 DÃY HỘI TỤ TRONG KHÔNG GIAN b- METRIC 12 2.3 ÁNH XẠ LIÊN TỤC TRONG KHÔNG GIAN b- METRIC 13 2.4 KHÔNG GIAN METRIC. .. chất khơng gian b- metric khơng gian b- metric chữ nhật nhằm làm sở để chứng minh định lý Chương Chương 3: Trình b? ?y chứng minh chi tiết số định lý điểm b? ??t động không gian b- metric chữ nhật CHƢƠNG

Ngày đăng: 17/05/2021, 00:25

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w