Định lý điểm bất động trong không gian g metric

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHẠM THỊ THANH NGA ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN G-METRIC Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số : 60.46.0113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng d n khoa học: TS Lương Quốc Tuyển Đà Nẵng – Năm 2014 I CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Những nội dung trình bày luận văn nghiên cứu thực hướng dẫn TS Lương Quốc Tuyển Mọi tài liệu tham khảo luận văn trích dẫn rõ ràng, trung thực tên tác giả, tên đề tài, thời gian địa điểm cơng bố Nếu có chép khơng hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo xin chịu hoàn toàn trách nhiệm nv n Ph m Th Thanh Nga L C U M Lý ch n đề tà Mục đích n h ên cứu tượn phạm ươ Đ n pháp n ên cứu óp c a đề tà ấ ủ ận v n CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ố n h ên cứu ệm tính chất b n khôn ậ an metr c ậ đón an metr c đầy đủ ánh xạ l ên tục an compact GIAN G-METRIC CHƯƠNG KH an G metr c nh chất khôn an G metr c CHƯƠNG MỘT SỐ ĐỊNH L ĐIỂ Ấ ĐỘ G GIAN G- ETRIC ộ ộn n uyên lý ánh xạ co anach ộ ố định lý đ m bất độ … khôn K T an G metr c đầy đủ ẬN T I LI QUY đố vớ ánh xạ AM ĐỊ O GIAO ĐỀ T I Ậ Ă ẠC SĨ SAO) NH M C C C QUY ƯỚC VÀ ¥ tập tất s t nh ên ¡ t p t t c s th c ¥ t p t t c s n yên d n ¡+ t p t t c s th c khô õm G xn ắắ đx dóy {xn } l G-h t đến x Ý HI U U Lý ch n tài ế điể L g học ế điể hi bấ bấ độ g ức g gia g g gia a học ứ g d ứ g dụ g bấ đẳ g g g T g gia e ic đ h h ế ộ gọi gia G metr c khôn b i ề iư h điể ế ấ bấ độ g h g gia G metr c thu quan tâm h ên cứu th y muốn t o đ c ườ quan tâm lý thuyết đ ểm bất độn c n mon muốn đưa số ứn dụn nh m ph n làm áo ên cứu Đị gia G metr c” hún tô m ệu tham kh o tốt cho nhữn đ an G metr c (xem [ Quốc Tuyển chún tô định chọn đề đ g ể bấ độ an suy rộn khôn điể bấ độ g ể c a ự ch Vớ lý c n dướ định hướ điể h g gia G metr c (xem [ hút n ều nhà toán học Lươ a đ đư ộ g ự đ đưa a a h N m e ic Từ đ đế g hai g c c ĩ h ực ế e ic đ p phú thêm k t qu tron l nh v c Mục đ ch nghi cứu N h ên c u m t s định lý đ ểm bất n tron khô an G metr c Đối tượng ph m vi nghiên c u G metr c t n n h ên c u lý thuyết đ ểm bất ghi c c c h iể bấ n g g h g gia Phương pháp nghiên c u ả T ệ h ac c ế ức ậ T đế ệ Đị điể ể ghi bấ g ế ả a g h g gia G metr c” ệ T c ậ ả ghi ới gi đề i hướ g dẫ Đóng góp c a đề tài Đề i c d c gh a ề ữ đa g ế c a ể dụ g ề điể i ệ bấ g ả g gia G metr c Cấu trúc luận văn N du c a lu n v n n oà ph n m Chương t ệu u kết luận m có ba chươ ến thức l ên quan đến khôn an metr c Chương Tro chất khôn chươ chún t khơ ệm tính an G metr c Chương Trình bày chứn m n tro trình bày an G metr c c ết m t s nh lý ểm bất CHƯƠNG CÁC T g chươ g gia N C ch g hb e ic h i c g g c a 1.1 M T S N c ch c a ch c ch g KH I NI M VÀ CH CƠ C A NG ETRIC GIAN 1.1.1 nh ngh a ho X t p h p khác r n cg i metric Û x y x, y Ỵ X d x y =d y x x, y, z Ỵ X d x y £d x z +d z y T c g X i e ic d nh t c a X 1.1.5 nh t c a X cg i không gian metric m nh ngh a c c y Ỵ X s X t p h p khác r n Kh supermum c a t p X Ký nh ngh a c m c y Ỵ X nh ngh a ho X m t t p c a ¡ S x Ỵ X m t cận c a X n u x £ y v 1.1.4 h nh ngh a ho X m t t p c a ¡ S x Ỵ X m t c n c a X n u y £ x v 1.1.3 c ( X d) hi 1.1.2 a x y ỴX (1) d ( x y ³ d x y = ac X hx d X´X ®¡ u sup X s X t p h p khác r n Kh infimum c a t p X Ký ó c n bé u nf X ó c nd l n 1.1 ả ( X d) nh ngh a e ic x Ỵ X g gia A Ì X Ta d ( x A) = i f d ( x y ) y Ỵ A d ( x A) hi cg i kho ng cách từ x đến A 1.1.7 Nh n xét Nếu x Î A d ( x, A ) = 1.1.8 M nh đề Giả sử ( X d ) khơng gian metric A Ì X Khi đó, với x x Ỵ X ta có d x A -d x A £d x x Chứng minh ả y ỴA đ d x y £d x x +d x y D đ f d ( x y ) £ i f [d ( x x + d x y A d x x + f d ( x y ) y ỴA A Suy d ( x A) £ d ( x x + d x A ậ B d x A -d x A £d x x ự a g Tươ i d (x A - d x A £ d x x D đ d x A -d x A £d x x 1.1.9 Định nghĩa { xn } x ẻX { xn } nđƠ xn = x 1.1.10 Nhận g hội tụ đến x xn ® x ( ca d h i gia nđƠ e ic X d xn x = c a { xn } c ế xn ® x ế xn ® x yn ® y x d xn yn ® d x y ả xn ® a Chứng minh h i xn đ b nẻƠ d a b Ê d a xn + d xn b nđƠ d (a b) = d xn a ® D đ d xn b ® { } > ức a a=b ả xnk i bấ đẳ g { xn } c ad xn ® x hi i i k Î¥ d xn x < k³k n³k nk ³ k d xnk x < D xnk ® x ế ả ầ g d xn yn - d x y 1.1.11 Ví d bấ đẳ g ức £ d xn x + d yn y ¡, xn ® x T xn - x < a ế ới □ > i i n ẻƠ nn xn è Ă k xn đ x ẻĂ k ( xn = x n x n xkn ) x = x x 1/2 é k ( n) (0) ù lim xn = x0 lim xi - xi ỳ nđƠ nđƠ i =1 ë û ( ( ) Û lim xi( n ) - xi(0) nđƠ ) xk =0 = víi mäi i = 1,2,K, k Û lim xi( n ) = xi(0) víi mäi i = 1,2,K, k nđƠ D g Ă k ch h h i he h h a 1.1.12 ả sử ( X d ) m t khôn nh ngh a an metr c x Ỵ X r> T B x r = { x Ỵ X d x x < r} hình c u m ( h r x T B [ x r ] = { x Ỵ X d x x £ r} hình cầu đóng N ta ký u x r =B x r B Từ đị h 1.1.13 cg i x r Ì B x r Ì B[ x r] nh ngh a C ( X d) ế A A g gia hc ữ g An AÌ X e ic T B x r ÌA ại r > lân cận c a x ế 1.1.14 Nh n xét c x ĩa a c B ( h r x B( x r c c a x n cậ x I Ai c i =1 c a x Chứng minh (1) Suy tr c ếp từ định ( i ri > ả A A An ĩa lân cận ữ g cậ x r= B x ri Ì Ai T B( x r ) Ì B( x ri i hi đ ri hi i i =1 n £ i £n D n n i= i= B x r Ì I B x ri Ì I Ai ới i i= n d ( T n -1 x , T k1 T n -1 x ) = d ( TT n -2 x, T k1 +1T n-2 x ) ( ) £ k d éëO T n-2 x, k1 + ùû < k1 + £ m - n + Lại he Đị h ghĩa ( ) ( ) ( ) d éëO T n-2 x, k1 + ùû £ d éëO T n-2 x, m - n + ùû d ( T n-1 x, T k1 T n-1 x ) £ k d éëO T n-2 x, m - n + ùû D đ ( ) ( ) d éëO T n-1 x, m - n + ùû £ k d éëO T n-2 x, m - n + ùû Bở ậ ( ) ( ) d ( T n x, T m x ) £ k d éëO T n-1 x, m - n + ùû £ k d éëO T n-2 x, m - n + ùû ế ụ a h ( ) d ( T n x, T m x ) £ k d éëO T n -1 x, m - n + ùû M £ k n d éëO ( x, m) ùû M t khác d éëO ( x m) ùû £ d éëO ( x ¥) ùû nên theo Định lý 1.1 ta suy kn d T x, T x £ d ( x, Tx ) 1- k ( ữa X k Ỵ[ y n m ) lim k n = 0, nđƠ T qu he {T n x} o nên T n x ® u Tu = u Th t v y T m t t ánh x nên ây ( 1) d ôs tron X ta ch n m r n d (u, Tu) £ d (u, T n+1 x ) + d ( T n +1 x, Tu) = d (u, T n+1 x ) + d ( TT n x, Tu) { £ d (u, T n+1 x ) + k max d ( T n x, u); d ( T n x, T n+1 x ); } d (u, Tu); d ( T n x, Tu); d ( T n+1 x, u) £ d (u, T n+1 x ) + k ëé d ( T n x, T n+1 x ) + d ( T n x, u) + d (u, Tu) + d ( T n+1 x, u) ùû £ d (u, T n+1 x ) + k d ( T n x, T n+1 x ) + k d ( T n x, u) + k d (u, Tu) + k d ( T n+1 x, u) đề ( ủ Đị gh a 1.1.1 a c d ( T n x, u) = d (u, T n x ) d ( T n+1 x, u) = d (u, T n+1 x ) ởi ế bấ đẳ g ức a (1 - k ) d (u, Tu) £ £ d (u, T n+1 x ) + k d ( T n x, T n +1 x ) + k d (u, T n x ) + k d (u, T n+1 x ) £ (1 + k ) d (u, T n+1 x ) + k d ( T n x, T n +1 x ) + k d (u, T n x ) đ d (u, Tu) £ éë(1 + k ) d (u, T n+1 x ) + k d (u, T n x ) + k d ( T n x, T n +1 x ) ùû 1- k cùn {T n x} dãy ơs lim T n x = u, nên ta suy d (u, Tu) = nđƠ Nh v y kh n gi a ch vc g h gh a nh ( g gu i b i u b gc aT iể bấ g c a T c a T Th gh a T (v) = v hi gi d d ( u v) = d (Tu Tv ) { d ( u v) d ( u £k Tu ) d ( v Tv ) d ( u Tv) d ( v Tu )} { d ( u v ) d ( u v ) d ( v u )} £k = k d ( v u) £ k d ( u v) ( Đề - k ) d ( u v) £ d ( u v) = he u=v u c a T g (1) a cùn theo kh n lim T m x = u D nh ( mđƠ kn d ( T x , u) £ d ( x, Tx ) 1- k k Ỵ[0,1) n g B 3.2 M T S ( ) a ĐỊNH LÝ ĐIỂ Ấ ETRIC NG GIAN 3.2.1 ĐỘ G ĐỐI V I CÁC ÁNH Y F nh ngh a ([ g gi : [ 0, +Ơ) đ [ 0, +Ơ) a i cg i 3.2.2 lim nđƠ n (t ) = i i t ẻ(0, +Ơ) hi F ánh xạ đề ([ Gi sử m t F ánh xạ Khi đó, ih ỴF (1) (t ) < t vi m i t ẻ ( +Ơ = Chng minh c i i t ẻ ( +Ơ đị h (1) t ³t t ]³ t = ëé a n (t ) t n nđƠ i h Đ ( ả ược ại t ³t t ỷự t t i n ẻƠ Suy i lm hi đ g gi [ t = B g đ g (t ) ³ t > ĩa g g đị h ( gđ hi đ ( > gi (t ) ³ ( t = B g a [ t ]³ [ (t ) > ( n nđƠ ] > t i h nh lý ([ G-metric đầy đủ ( X , G ) v +Ơ tẻ > tẻ > +Ơ +Ơ tẻ +Ơ a ca Gi s T : X ® X m t ánh xạ khơng gian F -ánh xạ thỏa mãn G (T x T y T z ) £ Khi đó, tỴ ược n 3.2.3 > (G x y z ) với x y z Ỵ X T có nh t m t điểm bất động u Ỵ X ; T G-liên tục u ả x0 Ỵ X , Chứng minh x n = T ( x n -1 ) {xn} d n ẻƠ x n xn -1 i n ẻƠ i G ôs tron X Th t v y gi a ch n ẻƠ, ta cú m G ( xn , xn+1 , xn+1 ) = G ( T ( xn -1 ), T ( xn ), T ( xn )) (G ( x (G ( x £ n -1 £ , xn , xn )) n-2 , xn-1 , xn-1 ) ) ( ) Ê s e > K ú nh nđ+Ơ ( G ( x , x , x )) 1 n lim n ( G ( x , x , x )) = 0 ( e ) < e i n0 ẻƠ a c B n ( G ( x , x , x )) < e - ( ) 1 i n ³ n0 i ( D G ( x n , x n +1 , xn+1 ) < e - g i g a b G ( xn , xm , xm ) < e (1.1) s m = n + K ( ) ó he i i m ³ n ³ n0 (e ) < e hi m = n + (1 ( ) ( G ( x n , x m , xm ) = G ( xn , xn+1 , xn+1 ) < e - D n ³ n0 g hi m = k > n + 1, gh a n ³ n0 G ( xn , xk , xk ) < e g T ( ) h gh a m ³ n ³ n0 i m = k + Th g h ch c a e (G d g( G ( xn , xk +1, xk +1 ) £ G ( xn , xn+1, xn+1 ) + G ( xn+1, xk +1, xk +1 ) n e i (G h G ( x n , x m , xm ) £ G ( xn , xn +1 , xn +1 ) + G ( xn +1 , xm , xm ) £ a £ G ( xn , xn+1 , xn+1 ) + G ( xn+1 , xn+2 , xn+ ) + G ( xn+ , xm , xm ) £ G ( xn , xn+1 , xn+1 ) + G ( xn+1 , xn+2 , xn+ ) ( £ (k ) + + G ( xm -1 , xm , xm ) £ k n + k n+1 + L + k m -1 d £ kn d 1- k kn ac d đ0 1- k k ẻ[0,1) B ) + k n+1 + L d n n đ Ơ Suy lim G ( x n , x m , xm ) = m , nđƠ Nh vy {xn} dãy G ơs tron khơn t u Ỵ X cho {xn} G t t u an G metr c đầy đủ y ta ch m o t n Tu = u Th t v y ( 11) a c G ( xn , Tu, Tu) £ k max { G ( xn-1 , u, u), G ( xn -1, Tu, Tu), G (u, Tu, Tu), G (u, xn , xn )} Lấ giới hạ hai b g hi n đ Ơ a c ức G (u, Tu, Tu) £ k G (u, Tu, Tu), he (1 - k ) G (u, Tu, Tu) £ Điề G (u, Tu, Tu) = e u = Tu Tiế iể he a iể ch bấ ậ u để g g c a T gh a e ấ i đề (G ủ Đị a c a T c a u Th Tv = v hi gi vc ( 11) a c G (u, v, v) £ k max { G (u, v, v), G (u, v, v), G (v, u, u), G (v, u, u)} ( = k G (v, u, u) g ự ac Tươ G (v, u, u) £ k max { G (v, u, u), G (v, u, u), G (u, v, v), G (u, v, v)} = k G (u, v, v) ế hợ ( G (u, v, v) £ k G (u, v, v) Đề dẫ đế k Ỵ[0,1) Như u đ ểm bất ẫ nh t c a T ( n èX n đu nđƠ G (u, Tyn , Tyn ) £ k max { G (u, yn , yn ), G (u, Tyn , Tyn ), G ( yn , Tyn , Tyn ), G ( yn , u, u)} = k max { G (u, yn , yn ), G ( yn , Tyn , Tyn )} = max { k G (u, yn , yn ), k G ( yn , Tyn , Tyn )} dụ g i đề (G ủ Đị h gh a G ( yn , Tyn , Tyn ) £ G ( yn , u, u) + G (u, Tyn , Tyn ) G (u, Tyn , Tyn ) £ k G ( yn , Tyn , Tyn ) ac G ( yn , Tyn , Tyn ) £ G ( yn , u, u) + k G ( yn , Tyn , Tyn ) Suy (1 - k ) G ( yn , Tyn , Tyn ) £ G ( yn , u, u), kéo theo G ( yn , Tyn , Tyn ) £ o ( 1 G ( yn , u, u) 1- k đượ k ì ü G (u, Tyn , Tyn ) £ max ík G (u, yn , yn ), G ( yn , u, u) ý 1- k ợ ỵ n ụ i đề (G ủ Đị h gh a G (u, Tyn , Tyn ) = G ( Tyn , u, Tyn ) Từ ấ đẳ g ức a k ì ü G ( Tyn , u, Tyn ) £ max ík G (u, yn , yn ), G ( yn , u, u) ý 1- k ỵ þ L gi i h hai b đẳ g ức nđƠ a c lim G ( Tyn , u, Tyn ) = nđƠ Suy Tyn đ u = Tu o T G l ên tục tạ u LUẬN Luận văn ã ệ ( t c m t số kết sau: g ế hb T ức ề h g gia i ểu e ic h ch c a ệm G- ên tục G-h t g gia G metr c Tìm G ôs tro khô an metr c suy r n ( n m h ch khô ết m t s kết định lý đ ểm bất an G-metr c o h n chế m t n chún tô chưa chứn m khô n tron an suy r n G metr c lực thờ an n h ên cứu luận v n nên n ều kết đ ểm bất n tron I LI U Ti A O Vi t Li ( h T Giải tích tập 1, BG V n n( i c học, Tr ng iể h g gia G metr c y bấ i ”, Tạp chí khoa i học Vinh Anh C A g neralization of Banach’s contraction principle, B S ms ( A new approach to generalized metric Nonl near onvex spaces a Some fixed point O theorem for mapping on complete G-metric spaces, The , B theorems a i W ( Remarks on G -metric spaces and fixed point The Fixed point theory for contractive mappings satisfying F - maps in G-metric spaces The a d ... ch n tài ế điể L g học ế điể hi bấ bấ độ g ức g gia g g gia a học ứ g d ứ g dụ g bấ đẳ g g g T g gia e ic đ h h ế ộ g? ??i gia G metr c khôn b i ề iư h điể ế ấ bấ độ g h g gia G metr c thu quan... m t không gian c a X Khi đó, (1) Nếu Y khơng gian đầy đủ, Y tập đóng X ( Giả sử X không gian đầy đủ Y tập hợp đóng X Khi đó, Y khơng gian đầy đủ xn Ì Y Chứng minh xn đ x ẻ Y g c h g gia Y... MỘT M g i g c c i 3.1.1 hb g g gia G- e ic hb g chi ế gc c i [ LÝ ÁNH Ạ CO C A BANACH R NG C A NGUY d g ch g ch g gia chi ế đị h e ic T qu điể bấ o nh lý ([ ) N u T m t tự ánh xạ không gian metric