Định lý điểm bất động trong không gian s metric

111 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ THANH THẢO ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN S-METRIC Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60.46.0113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người h ng dẫn khoa học: TS Lương Quốc Tuyển Đà Nẵng – Năm 2014 111 I CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác T T 111 L C U M n tài M c ích nghiên c u it ng nghiên c u Ph m vi nghiên c u Ph ng CHƯƠNG 1: K GIAN METRIC 1 KHÁI NI M V KHÔNG GIAN M T C ngh a 111 1.1.2 Ví d 1.1.3 nh ngh a 1.1.4 Nh n xét ỘI TỤ T 1.2 GI C 1 Định nghĩa 1 CẬ 1 Đị nghĩa 1.3.2 Nh n xét 1.4 TẬP HỢP MỞ 1.4.1 Định nghĩa 1.4.2 Định lí 1.4.3 Bổ đề 10 1.5 TẬP HỢP ĐÓNG 10 1.5.1 Định nghĩa 10 111 Đị 11 11 nh lí .12 1.6 PH N TRONG VÀ BIÊN C A MỘT TẬP HỢP 13 1.6.1 Định nghĩa 13 1.6.2 B 14 1.7 BAO ÓNG C A MỘT TẬP HỢP 16 1.7.1 Định nghĩa 16 1.7.2 B 16 1.8 KHÔNG GIAN M 1 nh ngh a 18 1.8.2 Nh n xét 19 1.9 ÁNH X LIÊN T C TRÊN KHÔNG GIAN M C 1 nh ngh a 19 1.9.2 nh lí 19 1.9.3 nh lí 20 1.10 ỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA BANACH 22 1.10.1 Định nghĩa .22 1.10.2 Nh n xét .22 1.10.3 nh lí .22 CHƯƠNG 2: K GIAN S-METRIC 25 2.1 KHÔNG GIAN S-M 11 2.1.2 B C nh ngh a 25 25 2.1.3 Ví d 26 2.2 TOPO SINH B I S-M C nh ngh a 27 111 Định lí 27 2.2.3 B 2.2.4 28 nh ngh a 29 2.2.5 Nh n xét 29 2.3 S HỘI TỤ TRONG KHÔNG GIAN S-M C Định nghĩa 29 2.3.2 B 30 2.3.3 B 31 2.3.4 nh ngh a 32 2.3.5 M nh 32 CHƯƠNG 3: ĐỊNH L ĐIỂM BẤT ĐỘNG TR N KH GIAN S- METRIC 35 3.1 ÁNH X LIÊN TỤC VÀ ÁNH X CO 35 3.1.1 nh ngh a 35 3.1.2 nh lí 35 3.1.3 nh ngh a 37 3.1.4 Nh n xét 37 3.2 ỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CO TRÊN KHÔNG GIAN S-M ĐẦ ĐỦ Định lí 37 3.2.2 Ví dụ 40 3.2.3 Định lí 41 KẾT LUẬN 43 T I LIỆU THAM KHẢO 44 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ T I LUẬN VĂN (Bản sao) 111 U L chọn đề tài đ ong khơng gian metric đóng vai trị quan trọng tốn học khoa học ứng dụng Năm 2006, Mustafa Sims đưa khái ni m không gian G-metric m t suy r ng c a không gian metric (xem [3]) Nh ó, Mustafa c ng s ã a r t nhi u nh lí i m b t ng không gian G-metric (xem [1,3,4,5,6,7] B ng cách suy r ng không gian G-metric, Sedghi, Shobe, Aliouche ã gi i thi u khái ni m không gian Smetric vào n m 2012 (xem [2,8,9]), tác gi lí i m b t ã a cm ts nh ng không gian Sau ó, b ng cách suy r ng ánh x ph p hi ng gian S-metric (xem [8]) Hi n nay, toán v i mb t ng không gian S-metric ang thu hút s quan tâm c a nhi u nhà toán h c th gi i V i lý nh c ng nh d Qu c Tuy n, ã quy t is nh h nh ch n nghiên c u ng c a th y giáo L ng tài: “ nh lý i m b t ng không gian S-metric” Chúng mong mu n t o c m t tài li u tham kh o t t cho nh ng quan tâm nghiên c u v l nh v c Mục đích nghiên cứu Trong lu n v n, t p ng nghiên c u ki n th c liên quan n không gian metric, không gian suy r ng S-metric, m t s k t qu thu c không gian S-metric v i m c ích nh sau (1) H th ng l i m t s khái ni m ch ng minh chi ti t tính ch t c a không gian metric gian metric y nh lí i m b t ng i v i ánh x co không 111 ông gian S-metric T (3) Nghiên c u m t s nh lí i m b t iv il ng không gian S-metric ng nh trình bày m t s ví d liên quan Đối tượng nghiên cứu Các khái ni m tính ch t c a khơng gian metric nh dãy h i t , lân c n, t p ong, biên, bao óng c a m t t p B nh lý i m b t ng không gian S- iv il p metric Phạm vi nghiên cứu T i v i l p nh x co ông gian S-metric Phương nghiên cứu Tham kh o tài li u h th ng hóa ki n th c Thu th p ghi n “ nh lý i m b t Th hi n t Trao n ng không gian S-metric” ng minh k t qu nghiên c u i, th o lu n v i giáo viên h tài ng d n Cấu trúc luận văn N i dung lu n v n c trình bày ch cịn có L i cam oan, M c l c, ph ng Ngoài ra, lu n v n T 111 ương 1, Trình bày v khơng gian metric, bao g m 10 m c M c 1.1, trình bày khái ni m v khơng gian metric; M c 1.2, trình bày dãy h i t khơng gian metric; M c 1.3, lân c n; M c 1.4, trình bày t p ình bày t p óng; M c 1.6, trình bày ph ng c a m t t p metric y n ; M c 1.9, trình bày ánh x liên t c khơng gian metric; M c 1.10, trình bày nh lý i m b t ng c a Banach Chương 2, Trình bày m t s khái ni m tính ch t c a khơng gian Smetric, bao g m m c M c 2.1, trình bày khơng gian S-metric; M c 2.2, trình bày topo nh b i S-metric; M c 2.3, trình bày s h i t khơng gian S-metric Chương 3, Trình bày định lý m b t ng không gian S-metric iv il p nh trình bày ví d liên quan, bao g m m c M c 3.1, trình bày ánh x liên t c ánh x co; M c 3.2, trình bày định lý m b t metric y ng i v i ánh x co không gian S- T ng quan tài li u nghiên c u Trong lu n v n này, chúng tơi trình bày t ng quan h th ng v không gian metric, không gian metric y ; m t s khái ni m tính ch t đị c a không gian S-metric, topo ng gian S-metric đ iv il p ng nh trình bày m t s ví d Trong ch ng th nh t c a lu n v n, trình bày khái ni m tính ch t c a không gian metric nh dãy h i t , lân c n, t p ng, ph , ng, biên, bao óng c a m t t p nh lý i m b t ng c a Banach ông gian metric y 111 T ươ ứ ủ ng trình bày m t s khái ni m tính ch t c a không gian S-metric, topo nh b i S-metric, s h i t không gian S-metric K t qu c a chương B nh lý 2.2.2, B Trong ch ánh x co, 2.2.3, B 2.3.2, B 2.3.3, M nh 2.1.2, 2.3.5 ng th ba c a lu n v n, trình bày ánh x liên t c nh lý i m b t ng iv il p nh lý 3.2.1, nh lý 3.2.3 111 CHƯƠ IA METRIC KHÔ ươ T úng tơi trình bày m t s khái ni m tính ch t c a khơng gian metric nh m làm ti n minh định lí m b t 1.1 KHÁI 1.1.1 ng cho chương p a ũng chứng i v i ánh x co không gian metric y IAN METRIC ỆM V KHÔ nh ngh a Gi s X t p n sau (1) d ( x, y) ³ v i m i x, y Ỵ X ; d ( x, y) = ch x = y (2) d ( x, y) = d ( y, x) v i m i x, y Ỵ X (3) d ( x, z ) £ d ( x, y) + d ( y, z ) v i m i x, y, z Ỵ X Khi ó, (a) d c g i m t metric xác (b) C X d không gian metric 1.1.2 V d V 1✴     ỉ n d x y = ç å xi - yi ÷ è i =1 ø n d1 x y = å xi - yi i =1 nh X X d 111 ghĩ ọ n cho với n ³ n0 ☞ ® x Lúc đó, ta vi t xn ¾¾ c g i dãy -Cauchy n u S ( xn , xn , xm ) ® m, n đ Ơ, (2) { xn } ngh a v i m i ,t nt i cho v i m i n ³ n0 (3) Không gian S-metric (X, S) n u m i dãy S-Cauchy (X, S) c g i không gian S-metric đầy đủ uh it 3.2 B đề Giả sử (X, S) khơng gian S-metric Khi đó, (1) Nếu { xn } dãy S-hội tụ đến x, x (2) Nếu { xn } dãy S-hội tụ đến x { y n } dãy S-hội tụ đến y, S ( xn , xn , yn ) ® S ( x, x, y ) Chứng minh (1) Gi s { xn } dãy S-h i t tiên n x, y Ỵ X Khi ó, theo (S2) ta có S ( x , x , y ) £ S ( x , x , xn ) + S ( x , x , xn ) + S ( y , y , x n ) = S ( x, x, xn ) + S ( y , y , xn ) M t khác, theo B 2.1.2, ta có S ( x, x, xn ) = S ( xn , xn , x ); S ( y, y, xn ) = S ( xn , xn , y ) Suy S ( x, x, y ) £ S ( xn , xn , x ) + S ( xn , xn , y ) ® n ® ¥ 111 n T (S2) ta có ( xn , xn , yn ) £ ( xn , xn , x ) + ( xn , xn , x ) + ( yn , yn , x); ( yn , yn , x ) £ ( yn , yn , y ) + ( yn , yn , y ) + ( x, x, y ) C ng v theo v hai b t ng th c ta thu c ( xn , xn , yn ) - ( x, x, y ) £ 2[ ( xn , xn , x) + ( yn , yn , y )] ng t , theo tiên Hoàn toàn t (S2) ta có ( x, x, y ) £ ( x, x, xn ) + ( x, x, xn ) + ( y , y , xn ); ( y , y , xn ) £ ( y , y , yn ) + ( y , y , yn ) + ( xn , xn , yn ) C ng v theo v hai b t ng th c ta thu c ( x, x, y ) - ( xn , xn , yn ) £ 2[ ( x, x, xn ) + ( y, y, yn )] Do v y, £ B xn xn y n - x x y £ xn xn xn x + yn yn y yn S xn xn y n ® S x x y 3.3 B đề Giả sử X, S khơng gian S-metric Khi đó, xn dãy X, Shội tụ đến x, xn dãy S-Cauchy Chứng minh n (S2) nh ngh a S-metric ta thu £ S ( x n , xn , xm ) £ S ( xn , xn , x ) + S ( xn , xn , x ) + S ( xm , xm , x ) = S ( xn , xn , x ) + S ( xm , xm , x ) B i { xn } dãy S-h i t n x nên c 111 £ xn xn xm £ xn xn x + xm xm x ® m nđƠ D xn xn xm đ xn m nđƠ C 3.4 nh ngh a ng v t n t i ³ cho hàm d : X đ [0, +Ơ) th a cỏc tiờn sau v i m i x, y, z Ỵ X (B1) d ( x, y) = ch x = y (B2) d ( x, y) = d ( y, x) (B3) d ( x, z ) £ [d ( x, y) + d ( y, z )] Khi ó, (1) d c g i m t -m tric X k ông gian b-metric (2) C 2.3.5 M nh đề Giả sử X, S không gian S-metric Ta đ t d x y = S x x y với x y Ỵ X Khi đó, khẳng định sau d b-metric X; xn ® x X, S) xn ® x X, d); 111 xn dãy S-Cauchy (X, S) xn dãy d- Cauchy (X, d) Chứng minh T ứ inh d m t b-metric X Th t v y, (B1) d ( x, y) = ch S ( x, x, y) = 0, ch x = y (B2) B i S S-metric nên s d ng B 2.1.2 ta suy d ( x, y) = S ( x, x, y) = S ( y, y, x) = d ( y, x) (B3) S d ng B 2.1.2 tiên (S2) c a khơng gian S-metric ta có d ( x, z ) = d ( x , x, z ) £ S ( x , x , y ) + S ( x , x, y ) + S ( z , z , y ) = S ( x , x, y ) + S ( y , y , z ) = 2d ( x, y ) + d ( y, z ) d ( x , z ) = S ( z , z , x ) £ S ( z , z , y ) + S ( z , z , y ) + S ( x, x, y ) = S ( z , z , y ) + S ( x, x, y ) = 2d ( y , z ) + d ( x, y ) C ng v theo v c a hai b t ng th c ta suy r ng d ( x, z ) £ [d ( x, y ) + d ( y , z )] i u ch ng t r ng d m t b-metric v i b = (2) Gi s { xn } m t dãy X Khi ó, nh cách ta suy r ng xn ® x (X, S) ch S ( xn , xn , x ) đ n đ Ơ, ch d ( xn , x ) ® n ® ¥, t c a d nh 111 xn ® x xn ong X Khi ó, nh cách t c a d nh ta suy r ng { xn } dãy S-Cauchy (X, S) ch ( xn , xn , xm ) ® m, n ® ¥, ch d ( xn , xm ) đ m, n đ Ơ, v ch { xn } dãy d-Cauchy (X, d) 111 CHƯƠ ĐỊ H ĐI M B T ĐỘNG TR N KH IA METRIC T ươ này, chúng tơi trình bày m t s khơng gian S-metric iv il nh lí i m b t ng nh x co m t s h qu c a c ng nh trình bày m t s ví d liên quan 3.1 Á H XẠ I N TỤC VÀ Á H XẠ CO 3.1.1 Định nghĩa Gi s F : ( X , S1 ) ® (Y , S ) m t ánh x t không gian S-metric (X, S1) vào không gian S-metric (X, S2) Khi ó, S-liên tục x✌ Ỵ X n u v i m i (1) cho v i m i x Ỵ X mà S1 ( x, x, x0 ) < d , ta > 0, t n t i d > u có S [ F ( x), F ( x ), F ( x0 )] < S-liên tục X n u S-liên t c t i m i x Ỵ X (2) 3.1.2 Định lí Giả sử F : ( X , S1 ) ® (Y , S ) ánh xạ từ không gian S-metric (X, S1) vào khơng gian S-metric (Y, S ) Khi đó, F S-liên tục x0 Ỵ X với dãy { xn } S-hội tụ đến x0 (X, S1) ta u có {F ( xn )} dãy S-hội tụ đến F ( x0 ) (Y, S ) Chứng minh (1) Đi u ki n c n Gi s S-h i t n x0 (X, S1) Ta n t c t i x0 { xn } dãy ng minh r ng { ( n )} dãy S- 111 n F ( x0 ) ( n t c t i x0 nên v i m i > 0, t n t i d > cho v i m i x Ỵ X th a mãn S ( x, x, x0 ) < d , ta u có S [ F ( x0 , F ( x), F ( x )] < B i { xn } dãy S-h i t n x0 (X, S1) nên t n t i cho S ( x n , x n , x ) < d v i m i n ³ n0 Do ó, S [ F ( xn ), F ( xn ), F ( x0 )] < v i m i n ³ n0 i u ch ng t r ng {F ( xn )} dãy S-h i t n F ( x0 ) (X, S2) (2) i u ki n Gi s r ng m i dãy { xn } S-h i t n i m x0 u có {F ( xn )} dãy S-h i t (X, S2) Ta ch ng minh (X, S1) ta n t c t i x0 Th t v y, gi s ngược lại x0 Khi đó, t n ng S-liên tục > cho với d > 0, t n xd Ỵ X th a mãn S1 ( xd , xd , x0 ) < ; S [ F ( xd ), F ( xd ), F ( x0 )] ³ B i th , v i m i n Ỵ N , t n t i xn Ỵ X cho S1 ( xn , xn , x0 ) < ; S2 [ F ( xn ), F ( xn ), F ( x0 )] ³ n Suy r ng { xn } dãy S-h i t dãy S-h i t i u ki n n x0 (X, S1) {F ( xn )} không n F ( x0 ) (X, S2) i u mâu thu n v i gi thi t c a 111 1.3 Đ nh ngh a ng gian S-metric Ánh x F : X ® X ả cg i ánh xạ co n u t n t i h ng s LỴ[0,1) cho S[ F ( x), F ( x), F ( y)] £ L S ( x, x, y) v i m i x, y Ỵ X n xét 3.1.4 (1) T nh ngh a ánh x co ta suy r ng, m i ánh x co ánh x S- liên t c (2) Gi s Ta t F ( x ) = x; F n +1 ( x ) = F [ F n ( x)] 3.2 ĐỊ H KHƠ Í ĐI M B T ĐỘ G ĐỐI VỚI NH Ạ CO TR N IAN S-METRIC ĐẦY ĐỦ 3.2.1 Định Giả sử X, S) không gian S-metric đầy đủ F : X ® X ánh xạ co Khi đó, F có điểm bất động u Ỵ X Hơn nữa, lim F n ( x) = u n đƠ v 2Ln S[ F ( x), F ( x), u] £ S[ x, x, F ( x)] 1- L n n Chứng minh (1) Ta s ch ng minh r ng nh t m t i m b t ng Th t v y, (1.1) Gi s x Ỵ X Khi ó, b i nh x co nên t n t i LỴ[0,1) cho S[ ( x), ( x), ( y)] £ L S ( x, x, y) v i m i x, y Ỵ X 111 D đ F n x F n x F n+1 x £ LS F n -1 x F n-1 x F n x £ L✍ S F n -✍ x F n- ✍ x F n -✎ x £ Ln S x x F x m>n mS Fn x Fn x Fm x £ £ S F n x F n x F n +1 x + S F n x F n x F n +1 x + S F m x F m x F n +1 x = S F n x F n x F n +1 x + S F n +1 x F n +1 x F m x £ S F n x F n x F n +1 x + S F n +1 x F n +✎ x F n + ✍ x + S F n +1 x F n +1 x F n + ✍ x + S F m x F m x F n + ✍ x = S F n x F n x F n +1 x + S F n +1 x F n +✎ x F n + ✍ x + S F n+✍ x F n+✍ x F m x S Fn x Fn x Fm x £ £ m- ✏ åS F i x F i x F i +1 x + S F m-1 x F m-1 x F m x i =n £ m- ✏ å Li S x x F x + Lm-1 S x x F x i =n £ Ln S x x F x Ln S x xF x £ 1- L m>n + L + l✏ + ¼ 111 Ln SF x F x F x £ S xxF x 1- L n n m A) B i LỴ[0,1) nên ta suy 2Ln lim S[ x, x, F ( x)] = 0, nđƠ 1- L kéo theo S[ F n ( x ), F n ( x), F m ( x)] ® n đ Ơ Nh v y, {F n ( x)} m t dãy S-Cauchy không gian S-metric y X Do ó, t n t i u Ỵ X cho n lim F ( x ) = u n đƠ M t khỏc, theo Nh n xột 3.1.4 , (B) n t c nên ta suy u = lim F n +1 ( x ) = lim F [ F n ( x)] = F (u ) n đƠ n đƠ i u ny ch ng t r ng u i m b t nh t c a i mb t ng c a ng c a gh F v =v S u u v = S F u F u F v £ LS u u v 1- L S u u v £ kéo theo r ng S (u, u, v) = 0, u = v (2) Theo (B) ta có lim F n ( x ) = u n ®¥ ng 111 T ong (A), cho m ® ¥ ta thu 2Ln S[ F ( x), F ( x), u] £ S[ x, x, F ( x)] 1- L n n T (1), (2) (3) ta suy nh lí c ch ng minh .2.2 Ví d Gi s X , t S ( x, y, z ) =| x - z | + | y - z | F:X ® X x a F ( x ) = sin x Khi ó, (1) S m t S-metric X (2) (3) nh x co ng nh t u = th a mãn i u ki n c a Đ nh lí 3.2.1 Chứng minh (1) Hi n nhiên r ng S ( x, y, z ) ³ v i m i x, y, z Ỵ X H n n a, S ( x, y, z ) = ch | x - z | + | y - z |= 0, ch | x - z |= 0, | y - z |= 0, ch x = y = z Nh v y, S th a mãn tiên metric (S1) c a nh ngh a S- 111 ng, với x, y, z, Ỵ , ta có ( x, y, z ) = | x - z | + | y - z | £ | x - |+| z - |+| y - |+| - | £ [| x - | + | x - |] + [| y - | + | y - |] + [| z - | + | - |] = ( x, x, ) + ( y, y, ) + ( z, , ) Do đó, S th a mãn tiên m t S-metric (S2) c a nh ngh a S-metric, suy S (2) V i m i x, y Ỵ X ta có [ F ( x), F ( x), F ( y )] = 1 (sin x - sin y ) + (sin x - sin y ) 2 £ (| x - y | + | x - y |) = S ( x, x, y ) L= Do v y, V xỴ X n n đƠ n SF x F x Fn x = Ln £ S xxF x 1- L n c a Đ nh lí 3.2.1 th a mãn t n t i i m u = Ỵ X cho F (u) = u .2.3 Đ nh lí Cho (X,S) khơng gian S-metric đầy đủ, x0 Ỵ X , r > Ta đ t BS ( x0 , r ) = {x Ỵ X : S ( x, x, x0 ) < r} 111 Giả sử F BS x✑ r ® X ánh xạ co thỏa mãn S F x✒ F x✒ x✒ < - L r Khi đó, F có điểm bất động BS x✑ r Chứng minh T £ r✑ < r r✑ S x✒ x✒ x✒ £ - L r✒ nh lý 3.2.1 ta suy r ng nh t Nh v y, có nh t m t i m b t ng 111 LUẬN ông gian metric, T không gian metric y , không gian suy r ng S-metric ng không gian S-metric nh lý i m b t iv il ính c a lu n v n nh sau (1) H th ng l i m t s khái ni m tính ch t c a khơng gian metric (2) Trình bày m t s khái ni m tính ch t c a không gian S-metric, To inh b i S-metric Ch ng minh chi ti t l i m t s tính ch t th hi n 2.1.2, nh lý 2.2.2, B (3) Nghiên c u m t s v il 2.2.3, B 2.3.2, B nh lí i m b t 2.3.3, M nh B 2.3.5 ng không gian S-metric nh x co m t s h qu c a c ng nh trình bày m t s ví d liên quan Ch ng minh chi ti t nh lý 3.1.2, nh lý 3.2.1, nh lý 3.2.3 i 111 I THAM KHẢO Ti ng Anh An T V, Dung N V, and Hang V T L, A new approach to fixed point theorems on G-metric spaces, nd Applications, 160 (2013), 1486-1493 [2] Dung N V (2013), On coupled common fixed points for mixed weakly monotone maps in partially ordered S-metric spaces, Fixed Point Theory Appl., 2013:48, 1-17 [3] Mustafa Z and Sims B (2006), A new approach to generalized metric spaces, Nonlinear Convex Anal J., (2), 289–297 [4] Mustafa Z., Obiedat H., Awawdeh F (2008), Some fixed point theorem for mapping on complete G-metric spaces, Fixed Point Theory Appl., 2008:43, 1-12 [5] Mustafa Z and Sims B (2004), Some remarks concerning D-metric spaces, in Proceedings of the International Conference on Fixed Point Theory and Applications, 2004:39, 189–198 [6] Mustafa Z and Sims B (2009), Fixed point theorems for contractive mappings in complete G-metric spaces, Fixed Point Theory Appl., 2009:49, 1-10 [7] Mustafa Z., Shatanawi W., and Bataineh M (2009), Existence of fixed point results in G-metric spaces, Internat J Math Math Sci., 14, 355-370 [8] Sedghi S., Shobe N., A Aliouche, A generalization of xed point theorem in S-metric spaces, Mat Vesnik, 64 (2012), 258–266 [9] Sedghi S., N V Dung (2012), Fixed point theorems on S-metric spaces Mat Vesnik, to appear ... gian metric, T không gian metric y , không gian suy r ng S- metric ng không gian S- metric nh lý i m b t iv il ính c a lu n v n nh sau (1) H th ng l i m t s khái ni m tính ch t c a khơng gian metric. .. gian metric, không gian suy r ng S- metric, m t s k t qu thu c không gian S- metric v i m c ích nh sau (1) H th ng l i m t s khái ni m ch ng minh chi ti t tính ch t c a khơng gian metric gian metric. .. x0 )] < S- liên tục X n u S- liên t c t i m i x Ỵ X (2) 3.1.2 Định lí Giả s? ?? F : ( X , S1 ) ® (Y , S ) ánh xạ từ không gian S- metric (X, S1 ) vào không gian S- metric (Y, S ) Khi đó, F S- liên tục