[r]
(1)C / Chủ đề : Nguyên hàm – Tích phân : I / Các kiên thức bản :
- Bảng nguyên hàm hàm số :
- Công thức tính tích phân : ( ) ( ) ( ) ( )
b
b a a
f x dx F x F b F a
- Tính chất tích phân :
b b
a a
kf x dx k f x dx( ) ( )
2.
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
[ ( ) ( )] ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx( ) f x dx( ) f x dx( )
(a < c < b)
- Các phương pháp tính nguyên hàm ,tích phân : + Cơng thức đổi biến số : b
a
f x dx( ) f ( ) ( )t t dt
+ Cơng thức tích phân phần :
b b b
a
udv uv vdu
(2)
- Ứng dụng tính diện tích thể tích :
+ Cơng thức tính diện tích :Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b], trục hoành đường thẳng x = a, x = b diện tích S tính công thức
b a
Sf x dx( )
Nếu hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y = f1(x) y = f2(x) liên tục [a; b] hai đừng thẳng
x = a, x = b, diện tích S tính công thức b a
Sf x1( ) f x dx2( )
+ Cơng thức tính thể tích : b a
V S x dx( ) ; Vật tròn xoay :
b a
V f x dx2( )
Chú ý : Để làm tốt số tập nguyên hàm tích phân cần nắm khái niệm vi phân bảng đạo hàm hàm số , phương pháp tích phân phần.
II / Các dạng toán thường gặp :
/ Sử dụng công thức Niu tơn _ Lai – bơ –nit / Sử dụng tích phân phần :
/ Sử dụng phương pháp đổi biến số
(sinx)’ = cosx ; (cosx)’=-sinx ; (tanx)’ =; (sinu)’=u’.cosu ( cos u)’ = - u’.sinu (tanu)’ =
(xn)’=nxn-1.
(nN*, n>1,x R) Giả sử hàm số u = u(x), v = v(x) có đạo hàm khoảng xác định Ta có: (u+v)’ = u’ + v’ (1)
(u-v)’ = u’ – v’ (2) (uv)’= u’v+uv’ (3) (v(x)≠0) (4)
(v =v(x)≠0)
(3)+ Dạng : ( ).sinxdx; ( ) osxdx; ( ) dx;
b b b
x
a a a
p x p x c p x e
Trong P(x) đa thức x
Ta đặt u = P(x) ; dv = sinxdx ( tương tự với cosx , ex )
+ Dạng :
2
2
; ;
os sin
; ( )
os os
b b
a a
x x
dx dx
c x x
dx dx
u x dv dv
c x c x
+ Dạng ln ( ) b
a
x P x dx
; đặt u = ln
:
+ Dạng ( ) '. b
a
f u u dx
Đặt t = u ( x ) + Dạng sinx ; cosx.
b b
x x
a a
e dx e dx
Đặt u = sinx ( u = cosx ), dv = ex dx
+ Dạng sin(lnx) ; cos(lnx).
b b
a a
dx dx
Đặt u = sin(lnx) ( cos(lnx) ) ; dv = dx
/ Sử dụng biến đổi đồng thức :
1 1 A.B B A A B
/ Tính diện tích , thể tích :Chú ý phải khử dấu giá trị tuyệt đối định nghĩa tìm giao điểm đồ thị …
III / Bài tập áp dụng :
Bài / Tính tích phân I = 2
0
x sin os
2 x
c dx
2 2
0 0
2
0
2
0
x x
1 sin os cos sin os
2 2 2 2 2
1
cos sin
2 2
1 2sin cos
2 2 1
x x x
c dx dx c dx
x
dx xdx
x
x
(4)Bài / Tính I =
sin2x dx (2 sin x) /2
Giải :
Đặt t sin x dt cosxdx
x = t = , x = t
22(t 2) 21 1 2 12 I = 2 dt dt 2dt ln t1
t t
t t
1 1
I ln
® ®
Bài : Tính
1
0
dx I
x x
Giải
Áp dụng phương pháp đồng thức : Mẫu thức x2 + 3x + = ( x + ) ( x + )
2
1 1
2
0 0
1
0
1 1 1
x + 3x + x+1 2
1 1
3 2 1 2
ln 1 ln 2 2 ln ln 3
x dx
I dx dx
x x x x
x x
I
B i 4à :Tính
1
1 ln
e
x
I dx
x
Gi i:ả Đặt :
2
1
1 1 ln
1 1, 2
2 3
2
u x du dx
x
x u x e u
u
I udu
I
(5)B i 5à : Tính
1
( 1) x
I x e dx
Giải
Đặt x x
u x du dx
dv e dx v e
1
0
( 1)
x x
I x e e dx I e
Bài 6 : Tính
2
1
.ln
I x xdx
Giải
Đặt 2 ln
2 du dx
u x x
dv xdx x
v
1 1
0
1 ln
2
3 2ln
4 x
I x xdx
I
Bài 7 : Tính I 4x cos xsinxdx
0
3
Giải
4 4
0 0
cos sin sin cos sin
I x x xdx x xdx x xdx
Đặt u cosx dusindx dusinxdx
2
;
0
u x u
x
2
3
0
0
3 sin sin
cos x xdx x xdx u du x
I
(6) sin xdx x I x v dxdu xdx dv xu cos sin 2
I
16 2
2
u I 16
8
I
Bài : Tính
1
0 x dx
x I
Giải :
Đặt u x du xdx du 2xdx 2
x0 u1;x1 u2
ln2 ln 2 1 2 1
2
u
u du x
xdx I
Bài : Tính :
1
5
0
1
I x x dx Giải
Đặt
3 3
2
5 3 2
3
1 1 1
2
0 1; 1 0;
3
2
1 1 . 1
3
2 2
3 3
u x u x x u
u u x dx udu
x x dx x x x dx u u udu u u udu u u du
(7)
1
0
2 4
1 0
2 2 2
3 3 3 3 5
2 1 2 2 . 3 5 3 15
4 45
u u
I u u du u u du
I
Bài 10 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = – x2 đường thẳng y =-x
Áp dụng công thức : ( ) ( ) b
a
Sf x g x dx
Cận a , b hai nghiệm phương trình : – x2 = -x Hay x2 –x – = , pt có hai nghiệm a = -1
và b = , ta có
( ) ( )
b
a
S f x g x dx =
2
2
2
2
2
3
1
1
(2 ) ( )
(2 )
1 1 9
2
3 2 2
S x x dx
x x dx
x x x
Vậy diện tích cần tìm : S = 9
2 ( đvdt )
8
-2 -4 -6
-15 -10 -5 10 15