dinh ly pythago

 Tồn tại vô số các bộ ba nguyên Pitago nguyên thủy mà hiệu giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông lớn bằng 1 ("cạnh góc vuông lớn" là cạnh có độ dài lớn hơn trong hai cạnh góc vuôn[r]

(1)

Bộ ba số Pythagore

Một bộ ba số Pythagore gồm ba số nguyên dương a, b, c, cho

a2 + b2 = c2 Khi ta viết ba (a, b, c), ba biết (3, 4, 5) Nếu (a, b, c) ba số Pythagore, ba (ka, kb, kc) với số nguyên dương k Pythagor Một ba số Pythagore gọi bộ ba số

Pythagor nguyên tố a, b c

số nguyên tố

Tên gọi ba số xuất phát từ định

lý Pythagore Các ba số Pythagore

lấy làm độ dài cạnh tam giác vuông

với độ dài cạnh huyền c Tuy nhiên, độ dài

các cạnh tam giác vuông không tạo

thành ba số Pythagor chúng không

các số nguyên Chẳng hạn, tam giác với cạnh a = b = c = √2 tam giác vuông , (1, 1, √2) khơng ba số Pythagore √2 khơng số ngun Khơng có ba số Pythagore có số chẵn có số liền (trừ 3,4 5)

Có 16 ba số Pythagor nguyên tố với c ≤ 100:

( 3, 4, 5) ( 5, 12, 13) ( 7, 24, 25) ( 8, 15, 17) ( 9, 40, 41) (11, 60, 61) (12, 35, 37) (13, 84, 85) (16, 63, 65) (20, 21, 29) (28, 45, 53) (33, 56, 65) (36, 77, 85) (39, 80, 89) (48, 55, 73) (65, 72, 97) Công thức sau tổng quát tất ba số Pythagore (không đơn trị):

a = k*(2mn) b = k*(m2 - n2) c = k*(m2 + n2)

trong m n hai số nguyên dương với m > n k số nguyên dương tùy ý Đặc biệt với k = dẫn tới cơng thức cổ điển cho Euclid (kh 300 TCN) sách Elements ông, thường gọi công thức Euclid:

(2)

Bộ ba số sinh công thức Euclid nguyên tố m n số nguyên tố chúng số chẵn Nếu n m chẵn, a, b, c chẵn, ba số khơng ngun tố Mọi ba ngun tố (có thể đổi vai trị a b) sinh từ cặp số nguyên tố m, n, mà chúng lẻ

Tính chất sơ cấp

Trong ba Pitago nguyên thủy, kí hiệu: Hai cạnh góc vng:

m2 − n2 2mn cạnh góc vng a,b; 2mn cạnh góc vuông chẵn

c = m2 + n2 cạnh huyền

 Mối liên hệ khác ba số ba Pitago,

 (c − a)(c − b)/2 số phương Điều có ích kiểm tra xem ba số có phải ba Pitago hay khơng, điều kiện cần, chưa đủ Ví dụ, ba {6, 12, 8} thỏa mãn (c − a)(c − b)/2 số phương, lại khơng phải ba Pitago Điều kiện (nếu a cạnh góc vng chẵn) " (c − a) (c − b)/2 đồng thời số phương" điều kiện cần đủ để (a,b,c) lập thành ba Pitago; ba Pitago khơng ngun thủy

 Nếu hai số ba Pitago ngun tố ba Pitago nguyên thủy

 Trong số a, b, c có nhiều số phương

 Tồn vơ số ba Pitago ngun thủy có cạnh huyền số phương

 Tồn vơ số ba Pitago ngun thủy có cạnh góc vng số phương

 Tổng cạnh huyền cạnh góc vng chẵn ba Pitago nguyên thủy số phương lẻ; trung bình cộng cạnh huyền cạnh góc vng lẻ số phương

(m2 + n2) + (2mn) = (m + n)2

 Diện tích (A = ab/2) số đồng dư (tiếng Anh: congruent number) chẵn  Trong hai số a, b có số lẻ; c số lẻ

(3)

 Trong hai số a, b có số chia hết cho  Trong ba số a, b, c có số chia hết cho

 Trong bốn số a, b, (a + b), (b − a) có số chia hết cho

 Trong bốn số (a + c), (b + c), (c − a), (c − b) có số chia hết cho

8

 Trong bốn số (a + c), (b + c), (c − a), (c − b) có số chia hết cho

9

 Trong sáu số a, b, (2a + b), (2a − b), (2b + a), (2b − a) có số

chia hết cho 11

 Tất ước nguyên tố c số nguyên tố có dạng 4k +

Chứng minh

 Tất số tự nhiên "lớn số có dạng 4k + 2" ln thuộc ba Pitago nguyên thủy

 Tất số tự nhiên lớn thuộc Pitago (ngun thủy khơng), ví dụ số 6,10,14 18 không thuộc ba Pitago nguyên thủy nào, lại thuộc ba Pitago không nguyên thủy 6, 8, 10; 14, 48, 50 18, 80, 82

 Tồn vô số ba nguyên Pitago nguyên thủy mà hiệu cạnh huyền cạnh góc vng lớn ("cạnh góc vng lớn" cạnh có độ dài lớn hai cạnh góc vng) Tổng qt: Với số ngun j lẻ bất kì, tồn vơ số ba Pitago nguyên thủy mà hiệu cạnh huyền cạnh góc vng chẵn j 2

 Tồn vô số ba nguyên Pitago nguyên thủy mà hiệu cạnh huyền cạnh góc vng lớn ("cạnh góc vng lớn" cạnh có độ dài lớn hai cạnh góc vng) Tổng quát: Với số nguyên k > bất kì, tồn vô số ba Pitago nguyên thủy mà hiệu cạnh huyền cạnh góc vng lẻ 2k 2

 Nếu j k số ngun dương lẻ, khơng thiết phân biệt, ba Pitago nguyên thủy cho a + j2 = c = b + 2k

 Cạnh huyền tất ba nguyên thủy có hiệu với cạnh góc vng chẵn số phương, có hiệu với cạnh góc vng lẻ hai lần số phương:

(m2 + n2) − (2mn) = (m − n)2

 Khơng có ba Pitago ngun thủy mà hiệu cạnh huyền cạnh góc vng số ngun tố lẻ

 Với số tự nhiên n, tồn n ba Pitago có diện tích, khác độ dài cạnh huyền

 Với số tự nhiên n, có n ba Pitago khác có cạnh góc vng a, với a số tự nhiên

(4)

 Trong ba Pitago, bán kính đường trịn nội tiếp "3 bán kính ba đường trịn bàng tiếp" số tự nhiên Bán kính đường trịn nội tiếp r = n(m − n)